小学五年级下册数学学科第二单元单元教学计划
李家鄢小学课堂教学导学案
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2016苏教版平移、旋转、轴对称知识点总结 平移 1、物体在同一平面上沿直线运动，这种现象叫做平移。 注意：平移只是沿水平方向左右移动（×） 平移不仅仅局限于左右运动。 2、平移二要素：（1）平移方向；（2）平移距离。 将一个图形平移时，要先确定方向，再确定平移的距离，缺一不可。 3、平移的特征：物体或图形平移后，他们的形状、大小、方向都不改变，只是位置发生改变。 4、在方格纸上平移图形的方法： （1）找出图形的关键点； （2）以关键点为参照点，按指定方向数出平移的格数，描出平移后的点； （3）把各点按原图顺序连接，就得到平移后的图形。 注意：用箭头标明平移方向（→） 旋转 1、旋转：物体绕某一点或轴的转动。 2、旋转方向：与时针运动方向相同的是顺时针方向； 与时针运动方向相反的是逆时针方向； 3、旋转三要素：旋转点（旋转中心）、旋转方向、旋转角度。
4、图形旋转的特征：图形旋转后，形状、大小都没发生变化，只是位置和方向 变了。 5、图形旋转的性质：图形绕某一点旋转一定的角度，图形中的对应点、对应线 段都旋转相同的角度，对应点到旋转点的距离相等。 6、旋转的叙述方法：物体是绕哪个点向什么方向旋转了多少度。 7、简单图形旋转90°的画法： （1）找出原图形的关键线段或关键点，借助三角板作关键线段的垂线，或者作关键点与旋转点所在线段的垂线； （2）从旋转点开始，在所作的垂线上量出与原线段相等的长度取点，即所找的点是原图形关键点的对应点； （3）参照原图形顺次连接所画的对应点。 关键线段：水平的、竖直的、过旋转点的线段。 轴对称图形 1、将图形沿着一条直线对折，如果直线两侧的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形。折痕所在的直线叫做对称轴。 注意：对称轴是直线，既不是线段，也不是射线，画时不用实线，用虚线（虚线、尺子、露头） 2、轴对称图形性质：对称点到对称轴的距离相等。 3、对称点：轴对称图形沿对称轴对折后，互相重合的点叫做对称点。 4、在方格纸上补全轴对称图形关键： 找出所给图形的关键点的对称点，要按照顺序将对称点连接起来。 5、不同的轴对称图形，对称轴的数量也不同，轴对称图形至少有一条对称轴。
轴对称知识梳理 一、基本概念 1.轴对称图形 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴.折叠后重合的点是对应点，叫做对称点. 2.线段的垂直平分线 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线 3.轴对称变换 由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换. 4.等腰三角形 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 5.等边三角形 三条边都相等的三角形叫做等边三角形. 二、主要性质 1.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.或者说轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 2.线段垂直平分钱的性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 3.（1）点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标为P′（x，-y）. （2）点P（x,y）关于y轴对称的点的坐标为P″（-x，y）. 4.等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）. （2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合. （3）等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴. （4）等腰三角形两腰上的高、中线分别相等，两底角的平分线也相等. （5）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的一半。 （6）等腰三角形顶角的外角平分线平行于这个三角形的底边. 5.等边三角形的性质 （1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°. （2）等边三角形是轴对称图形，共有三条对称轴. （3）等边三角形每边上的中线、高和该边所对内角的平分线互相重合. 三、有关判定 1.与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 2.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）. 3.三个角都相等的三角形是等边三角形. 4.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
第一单元平移、旋转和轴对称 第1课时图形的平移 数海启航 1.下面哪些物体的运动是平移？是平移的，在□里画“√”。 缆车的运动□汽车方向盘□汽车在公路上行驶□ 2.看图填一填。 ⑴两座房子都是向（）平移的。（）号房子平移得长一些，1号房子平移了（）格，2号房子平移了（）格。 ⑵（）号长方形向下平移5格可以得到（）号长方形，1号长方形向（）平移（）格可以得到3号长方形。 3.下面哪些图案可以由“基本图形”通过平移得到？可以的，在里画“√”． □ □ □ 乘风扬帆 4.按要求画一画。
⑴三角形向右平移3格。 ⑵平行四边形向上平移2格。 思维冲浪 5.如下图，先将三角尺靠在一根直尺上，沿一条直角边画一条线段，把三角尺沿着直尺向右平移3厘米，沿三角尺的同一条直角边画一条线段，继续向右平移3厘米，再画一条线段。这样画出了三条线段。这三条线段互相（）。 第2课时图形的旋转 数海启航 1.填一填。 ⑴左图中，从3:15到3:30，分针将会按（）时针方向旋转（）°。 ⑵①图形①绕点O顺时针旋转90°就到图形（）的位置。 ②图形②绕点O（）时针旋转90°就到达图形③的位置，图形②想到达图形①的位置可以绕点（）逆时针旋转（）°。 ③图形③绕点O（）时针旋转（）。可以到达图形①的位置，如果图形③绕点O（）时针旋转（）。也可以到达图形①的位置。 ⑶左边的盘秤上已有（）千克的物品，再加入（）千克的物品，可以使指针顺时针旋转90°。 2．观察下图，想一想，填一填。
⑴四边形甲是四边形乙绕点A按（）时针方向旋转（）°得到的。 ⑵四边形甲绕点（）按（）时针方向旋转（）°得到四边形乙。 乘风扬帆 3.画一画。 ⑴①把梯形绕点A顺时针旋转90°。 ②把三角形绕点B逆时针旋转90°。 ⑵①把三角形小旗绕点A顺时针旋转90°。 ②把平行四边形小旗绕点B逆时针旋转90°。 ③把梯形绕点C顺时针旋转90°。 思维冲浪 4．下面哪些图案可以由“基本图形”通过旋转得到？可以的，在□里画“√”：不可以的，在□里画“×”。 □ □ □
轴对称图形与平图形
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轴对称与平移 知识要点 一、轴对称 （1）轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这样的图形就叫（）图形，那条直线就是（）。 例：下面图形中，不一定是轴对称图形的是（） A.长方形 B.正方形 C.圆 D.平行四边形 变形题型 长方形有（）条对称轴，圆有（）条对称轴，正方形有（）条对称轴。 （2）轴对称图形的性质： ①在轴对称图形中，对称轴两侧的对应点到对称轴两侧的距离相等。 ②在轴对称图形中，沿对称轴将它对折，左右两边完全重合。 （3）画对称轴 方法：①找出对称轴的位置；②用虚线画出对称轴 例：画出下列每组图形的所有对称轴。 同类型题 请画出来下列各图的所有对称轴，并填在（）里填上适当的数． （3）画轴对称图形 方法：①描出关键点的对称点；②用线段按顺序连接各关键点
例：画出图形的另一半，使它成为一个轴对称图形。 同类型题 画出图形的另一半，使它成为一个轴对称图形。 二、平移图形 （1）平移的定义：在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移 例：下列现象中，不属于平移的是（） A.乘电梯从一楼到二楼 B.钟表的指针转动 C.火车在笔直的轨道上行驶 D.汽车在平坦笔直的公路上行驶
（2）平移图形的性质：①图形的位置发生改变；②图形的形状大小不变 例：仔细观察，填一填 同类型题 小鱼先向（）平移了（）格，再向（）平移了（）格，又向（）平移了（）格，最后向（）平移了（）格。 （3）画平移图形 方法：①按平移方向和平移格数描出各个关键点；②用线段按顺序连接各点 例：先画出向右平移8格的图形，再画出原图向上平移4格的图形。 (1)长方形向( )平移了( )格。 (2)六边形向( )平移了( )格。 (3)五角星向( )平移了( )格。
第十章知识点总结
对应点间的连线平行且相等（或在同一条直线上） 对应边平行且相等（或在同一条直线上），对应角相等，图形的形状和大小不改变。 图形上每 一点都绕同一 点按相同的方 向和角度旋转 对应点到 旋转中心的距 离相等 对应边相 等，对应角相 等，图形的性状 大小不改变 旋转 180°能否与 自身重合 对应点 间的连线是否 经过同一点， 并被这一点平 分 找对称轴：找一组对应点连线，做其垂直平分线。找两组对应点连线，过两条中点的 找对称中心：找一组对应点连线找其中点 两组对应点连线的交点
找关键点 过每个关键点做对称轴的垂线截取与之相等的距离，标出对应点 连接对应点。 找关键点 过每个关 键点做平移方向 的平行线截取与 之相等的距离，标 出对应点 连接对应 点。 找关键点 连接关键 点与旋转中心， 将这条线段按 方向和角度旋 转，标出对应点 连接对应 点。 找关键 点 连接关 键点与对称中 心，延长并截 取相等的长 度，标出对应 点 连接对 应点。 线段是轴对称图形，对称轴是它的垂直平分线。 角是轴对称图形，对称轴是它的角平分线。 垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点到线段两端的距离相等。④角平分线的性质： 多次平移 相当于一次平移 两条对称 轴平行时，两次轴 对称相当于一次 平移 线段旋转 90°后与原来 的位置垂直 两条对称 轴相交时，两次 轴对称相当于 一次旋转。 中心对 称一定是旋转 对称，旋转对 称不一定是中 心对称。 任何通 过中心对称图 形的对称中心 的直线都将这 个图形分成面 积相等的两部 分。 两条对 称轴互相垂直 时，两次轴对 一个图 形经过轴对称、 平移或选转等 变换得到的新 图形一定与原 图形全等 两个全 等的图形总能 经过轴对称、平 移或旋转等变 换后重合。
轴对称知识点总结新 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
轴对称知识点总结 1、轴对称图形： 一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合。 这条直线叫做对称轴。互相重合的点叫做对应点。 2、轴对称： 两个图形沿一条直线对折，其中一个图形能够与另一个图形完全重合。 这条直线叫做对称轴。互相重合的点叫做对应点。 3、轴对称图形与轴对称的区别与联系： （1）区别。轴对称图形讨论的是“一个图形与一条直线的对称关系”；轴对称讨论的是“两个图形与一条直线的对称关系”。 （2）联系。把轴对称图形中“对称轴两旁的部分看作两个图形”便是轴对称；把轴对称的“两个图形看作一个整体”便是轴对称图形。 4、轴对称的性质： （1）成轴对称的两个图形全等。 （2）对称轴与连结“对应点的线段”垂直。 （3）对应点到对称轴的距离相等。 （4）对应点的连线互相平行。 5、线段的垂直平分线： （1）定义：经过线段的中点且与线段垂直的直线，叫做线段的垂直平分线。 性质：线段垂直平分线上的点与线段两端点的距离相等。 （2）判定： 与线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。 6、等腰三角形： （1）定义。有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形。。 （2）性质。等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是“底边的垂直平分线”，只有一条。等边对等角。三线合一。 （3）判定。有两条边相等的三角形是等腰三角形。有两个角相等的三角形是等腰三角形。 7、等边三角形： （1）定义。三条边都相等的三角形，叫做等边三角形。 说明：等边三角形就是腰和底相等的等腰三角形，因此，等边三角形是特殊的等腰三角形。 （2）性质。 等边三角形是轴对称图形，其对称轴是“三边的垂直平分线”，有三条。 三条边上的中线、高线及三个内角平分线都相交于一点。 等边三角形的三个内角都等于60°。 （3）判定。 三条边都相等的三角形是等边三角形。 三个内角都相等的三角形是等边三角形。 有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形。 （4）重要结论。在Rt△中，30°角所对直角边等于斜边的一半。 8、平面直角坐标系中的轴对称：图 7
旋转、平移、轴对称、中心对称知识点总结 轴对称平移旋转中心对称全等 定义一个（两个）平 面图形沿某条直 线对折能够完全 重合 平面图形在它所在 平面上的平行移动。 决定要素：平移的方 向、平移的距离 一个平面图形绕一 定点按一定的方向 旋转一定的角度的 运动。 一个图形旋转 180°能与自身 重合 能够完全重合的 两个图形 表示方法： ΔABC≌△DEF 轴对称 图形 成轴对 称 中心对 称图形 成中心 对称 全等多边形 全等三角形 对应边 对应角 一个图 形； 不止一 条对称 轴 两个图 形； 只有一 条对称 轴 旋转对称图形：一 个图形绕内部某一 点旋转一定的角度 能与自身重合。 一个图 形 两个图 形 图形 特征对应角相等，对 应边相等 ①对应点间的连线 平行且相等（或在同 一条直线上） ②对应边平行且相 等（或在同一条直线 上），对应角相等， 图形的形状和大小 不改变。 ①图形上每一点都 绕同一点按相同的 方向和角度旋转 ②对应点到旋转中 心的距离相等 ③对应边相等，对 应角相等，图形的 性状大小不改变 连结对应点的线 段必然经过对称 中心，并被对称 中心平分成相等 的两部分。 对应边相等，对应 角相等
判断方法沿着某条直线对 折看是否重合。 找平移的方向和距 离： 找一组对应点，连线 即是他平移的方向 和距离 找旋转的方向和角 度： 找一组对应点，与 旋转中心连线的夹 角 ①旋转180°能 否与自身重合 ②对应点间的连 线是否经过同一 点，并被这一点 平分 各边对应相等 各角对应相等 找对称轴：①找一 组对应点连线， 做其垂直平分 线。②找两组对应 点连线，过两条 中点的直线 找对称中心：① 找一组对应点连 线找其中点 ②两组对应点连 线的交点 画法 ①找关键点 ②过每个关键点 做对称轴的垂线 截取与之相等的 距离，标出对应 点 ③连接对应点。 ①找关键点 ②过每个关键点做 平移方向的平行线 截取与之相等的距 离，标出对应点 ③连接对应点。 ①找关键点 ②连接关键点与旋 转中心，将这条线 段按方向和角度旋 转，标出对应点 ③连接对应点。 ①找关键点 ②连接关键点与 对称中心，延长 并截取相等的长 度，标出对应点 ③连接对应点。 重要结论①线段是轴对称 图形，对称轴是 它的垂直平分 线。 ②角是轴对称图 形，对称轴是它 的角平分线。 ③垂直平分线的 性质：垂直平分 线上任意一点到 线段两端的距离 相等。④角平分 线的性质：角平 分线上任意一点 到叫两边的距离 相等。⑤对称轴 垂直平分对称点 间的连线。 ①多次平移相当于 一次平移 ②两条对称轴平行 时，两次轴对称相当 于一次平移 ①线段旋转90°后 与原来的位置垂直 ②两条对称轴相交 时，两次轴对称相 当于一次旋转。 ①中心对称一定 是旋转对称，旋 转对称不一定是 中心对称。 ②任何通过中心 对称图形的对称 中心的直线都将 这个图形分成面 积相等的两部 分。 ③两条对称轴互 相垂直时，两次 轴对称相当于一 次中心对称 ①一个图形经过 轴对称、平移或选 转等变换得到的 新图形一定与原 图形全等 ②两个全等的图 形总能经过轴对 称、平移或旋转等 变换后重合。
平移旋转和轴对称标准化工作室编码[XX968T-XX89628-XJ668-XT689N]
第一单元平移、旋转和轴对称 第1课时图形的平移 数海启航 1.下面哪些物体的运动是平移是平移的，在□里画“√”。 缆车的运动□汽车方向盘□汽车在公路上行驶□ 2.看图填一填。 ⑴两座房子都是向（）平移的。（）号房子平移得长一些，1号房子平移了（）格，2号房子平移了（）格。 ⑵（）号长方形向下平移5格可以得到（）号长方形，1号长方形向（）平移（）格可以得到3号长方形。 3.下面哪些图案可以由“基本图形”通过平移得到 可以的，在里画“√”． □ □ □ 乘风扬帆 4.按要求画一画。 ⑴三角形向右平移3格。
⑵平行四边形向上平移2格。 思维冲浪 5.如下图，先将三角尺靠在一根直尺上，沿一条直角边画一条线段，把三角尺沿着直尺向右平移3厘米，沿三角尺的同一条直角边画一条线段，继续向右平移3厘米，再画一条线段。这样画出了三条线段。这三条线段互相（）。 第2课时图形的旋转 数海启航 1.填一填。 ⑴左图中，从3:15到3:30，分针将会按（）时针方向旋转（）°。 ⑵①图形①绕点O顺时针旋转90°就到图形（）的位置。 ②图形②绕点O（）时针旋转90°就到达图形③的位置，图形②想到达图形①的位置可以绕点（）逆时针旋转（）°。 ③图形③绕点O（）时针旋转（）。可以到达图形①的位置，如果图形③绕点O （）时针旋转（）。也可以到达图形①的位置。 ⑶左边的盘秤上已有（）千克的物品，再加入（）千克的物品， 可以使指针顺时针旋转90°。 2．观察下图，想一想，填一填。 ⑴四边形甲是四边形乙绕点A按（）时针方向旋转（）°得到 的。 ⑵四边形甲绕点（）按（）时针方向旋转 （）°得到四边形乙。 乘风扬帆 3.画一画。 ⑴①把梯形绕点A顺时针旋转90°。 ②把三角形绕点B逆时针旋转90°。 ⑵①把三角形小旗绕点A顺时针旋转90°。 ②把平行四边形小旗绕点B逆时针旋转90°。 ③把梯形绕点C顺时针旋转90°。 思维冲浪
轴对称知识点总结 1、轴对称图形： 一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合。 这条直线叫做对称轴。互相重合的点叫做对应点。 2、轴对称： 两个图形沿一条直线对折，其中一个图形能够与另一个图形完全重合。 这条直线叫做对称轴。互相重合的点叫做对应点。 3、轴对称图形与轴对称的区别与联系：（1）区别。轴对称图形讨论的是“一个图形与一条直线的对称关系”；轴对称讨论的是“两个图形与一条直线的对称关系”。（2）联系。把轴对称图形中“对称轴两旁的部分看作两个图形”便是轴对称；把轴对称的“两个图形看作一个整体”便是轴对称图形。 4、轴对称的性质： （1）成轴对称的两个图形全等。 （2）对称轴与连结“对应点的线段”垂直。（3）对应点到对称轴的距离相等。 （4）对应点的连线互相平行。 5、线段的垂直平分线：（1）定义。经过线段的中点且与线段垂直的直线，叫做线段的垂直平分线。 如图2， ∵CA=CB， 直线m⊥AB于C， ∴直线m是线段AB的垂直平分线。 （2）性质。线段垂直平分线上的点与线段两端点的距离相等。 如图3， ∵CA=CB， 直线m⊥AB于C， 点P是直线m上的点。 ∴PA=PB 。 （3）判定。 与线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。 如图3，∵PA=PB， 直线m是线段AB的垂直平分线， m C A B 图1 图2 m C A B P 图3
∴点P 在直线m 上 。 6、等腰三角形： （1）定义。有两条边相等的三角形，叫做等 腰三角形。 相等的两条边叫做腰。 第三条边叫做底。 两腰的夹角叫做顶角。 腰与底的夹角叫做底角。 说明：顶角=180°- 2底角 底角= 顶角顶角2 1 -902180?=-? 可见，底角只能是锐角。 （2）性质。 等腰三角形 是轴对称图 形，其对称轴是“底边 的垂直平分 线” ，只有 一条。 等边对等角。 如图5，在△ABC 中 ∵AB=AC ∴∠B=∠C 。 三线合一。 （3）判定。 有两条边相等的三角形是等腰三角形。 如图5，在△ABC 中， ∵AB=AC ∴△ABC 是等腰三角形 。 有两个角相等的三角形是等腰三角形。 如图5，在△ABC 中 ∵∠B=∠C ∴△ABC 是等腰三角形 。 7、等边三角形： （1）定义。三条边都相等的三角形，叫做等 边三角形。 说明：等边三角形就是腰和底相等的等腰三角形，因此，等边三角形是特殊的等腰三角 形。 （2）性质。 等边三角形是轴对称图形，其对称轴是“三 边的垂直平分线” ，有三条。 三条边上的中线、高线及三个内角平分线都 相交于一点。 等边三角形的三个内角都等于60°。 如图6，在△ABC 中 ∵AB=AC=BC D' D C' B' A' K J I H 底边 底角底角顶角 腰 腰 D C B A 图5 A B C 图4
轴对称与轴对称图形 一、知识点： 1．什么叫轴对称： 如果把一个图形沿着某一条直线折叠后，能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。 2．什么叫轴对称图形： 如果把一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。 3．轴对称与轴对称图形的区别与联系： 区别： ①轴对称是指两个图形沿某直线对折能够完全重合，而轴对称图形是指一个图形的两个部分沿 某直线对折能完全重合。 ②轴对称是反映两个图形的特殊位置、大小关系；轴对称图形是反映一个图形的特性。 联系： ①两部分都完全重合，都有对称轴，都有对称点。 ②如果把成轴对称的两个图形看成是一个整体，这个整体就是一个轴对称图形； 如果把一个轴对称图形的两旁的部分看成两个图形，这两个部分图形就成轴对 称。 常见的轴对称图形有：圆、正方形、长方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、等 边三角形、角、线段、相交的两条直线等。 4．线段的垂直平分线：Array垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 （也称线段的中垂线） 5．轴对称的性质： ⑴成轴对称的两个图形全等。
⑵如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。 6．怎样画轴对称图形： 画轴对称图形时，应先确定对称轴，再找出对称点。 二、举例： 例1：判断题： ①角是轴对称图形，对称轴是角的平分线；（） ②等腰三角形至少有1条对称轴，至多有3条对称轴；（） ③关于某直线对称的两个三角形一定是全等三角形；（） ④两图形关于某直线对称，对称点一定在直线的两旁。（） 例2：下图曾被哈佛大学选为入学考试的试题.请在下列一组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律，然后把图形空白处填上恰当的图形. 例3：如图，由小正方形组成的L形图中，请你用三种方法分别在下图中添画一个小正方形使它成为一个轴对称图形： 例4：如图，已知：ΔABC和直线l，请作出ΔABC关于直线l的对称三角形。 方法1 方法2 方法3
轴对称知识点总结 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】
轴对称知识点总结1、轴对称图形： 一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合。 这条直线叫做对称轴。互相重合的点叫做对应点。 2、轴对称： 两个图形沿一条直线对折，其中一个图形能够与另一个图形完全重合。 这条直线叫做对称轴。互相重合的点叫做对应点。 3、轴对称图形与轴对称的区别与联系：（1）区别。轴对称图形讨论的是“一个图形与一条直线的对称关系”；轴对称讨论的是“两个图形与一条直线的对称关系”。 （2）联系。把轴对称图形中“对称轴两旁的部分看作两个图形”便是轴对称；把轴对称的“两个图形看作一个整体”便是轴对称图形。 4、轴对称的性质： （1）成轴对称的两个图形全等。（2）对称轴与连结“对应点的线段”垂 直。 （3）对应点到对称轴的距离相等。 （4）对应点的连线互相平行。 5、线段的垂直平分线： （1）定义。经过线段的中点且与线段垂 直的直线，叫做线段的垂直平分线。 如图2， ∵CA=CB， 直线m⊥AB于C， ∴直线m是线段 AB的垂直平分线。 （2）性质。线段垂直平分线上的点与线 段两端点的距离相等。 如图3， ∵CA=CB， 直线m⊥AB于C， 点P是直线m上的点。 ∴PA=PB 。 （3）判定。 与线段两端点距离相等的点在线段的 垂直平分线上。 如图3，∵PA=PB， m C A B 图2 图3
直线m 是线段AB ∴点P 在直线m 上 。 6、等腰三角形： （1做等腰三角形。 相等的两条边叫做腰。 第三条边叫做底。 两腰的夹角叫做顶角。 腰与底的夹角叫做底角。 说明：顶角=180°- 2底角 底角= 顶角2 1 -902180?=-?可见，底角只能是锐角。 （2）性质。 一条。 等边对等角。 如图5，在△ABC 中 ∵AB=AC ∴∠B=∠C 。 ）判定。 5，在△ABC 中， ∵AB=AC ∴△ABC 是等腰三角形 。 5，在△ABC 中 ∵∠B=∠C ∴△ABC 是等腰三角形 。 ）定义。三条边都相等的三角形，叫 ）性质。 ，有三条。 D' D C' B' A' K J I H B 图5
1 简单的轴对称图形 概念1：角平分线性质定理 1．定理：角平分线上的点到角的两边距离 相等． 几何语言： ∵点P 在∠AOB 的平分线上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ， ∴PD=PE ． 2．三角形的三条角平分线相交于一点，这一点叫三角形的内心 （三角形内接圆的圆心），它到三角形三条边的距离相等，它的位置在三角形内部。 概念2：线段垂直平分线定理 1．定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两 个端点的距离相等． 几何语言： ∵MN 垂直平分AB ，点P 在MN 上 ∴PA=PB 2．三角形三边的三条垂直平分线相交于一点，这一点叫三角形 的外心，它到三角形三个顶点的距离相等．它的位置分为如下三种情况：锐角三角形在三角形的内部、钝角三角形在三角
形外部、直角三角形在斜边中点上。 概念3：等腰三角形性质定理与判定定理 性质定理1：等腰三角形的两个底角相等 几何语言：在△ ABC中，∵AB=AC（已知） ∴∠B=∠C（等边对等角） 性质定理2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线 互相重合。 （1）∵ AB=AC，∠BAD=∠CAD（已知） ∴BD=DC，AD⊥BC（等腰三角形性质） （2）∵AB=AC，BD=DC（已知） ∴∠BAD=∠CAD，AD⊥BC（等腰三角形性质） （3）∵AB=AC，AD⊥BC于D（已知） ∴BD=DC，∠BAD=∠CAD（等腰三角形性质） 判定定理1：两个角相等的三角形是等腰三角形 几何语言：在△ ABC中，∵∠B=∠C（已知） ∴AB=AC（等角对等边） 概念4：等边三角形和特殊的Rt△ 性质定理：等边三角形的三条边相等，三个角相等；等边三角 2
图形的轴对称、平移和旋转变换复习指导 一、知识网络 二、课标要求 1.通过具体实例，认识图形的平移变换、旋转变换，探索并掌握平移变换与旋转变换的基本特征； 2.能按要求作出简单的平面图形经过平移或旋转后的图形； 3.理解中心对称与中心对称图形的意义； 4.掌握成中心对称的两个图形的特征，会判断两个图形是否成中心对称； 5.会画已知图形关于已知点的中心对称图形； 6.灵活运用轴对称、平移、旋转或它们的组合进行图案设计。 三、知识要点
１．平移与旋转是几何图形的常见变换，这两种变换和翻折变换统称几何图形三大变换； ２．平移是指图形按照一定的方向从一个位置平行移动到另一个位置．平移后所得图形与原来的图形的形状、大小和方向都不变，只是位置发生了改变而已．因此，平移前后两个图形的对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角也相等；平移后的图形上的每一点移动的距离都相等； ３．旋转是指图形绕着某一个点按一定方向（顺时针或逆时针）旋转一定的角度（小于３６０°），旋转前后两个图形的形状、大小都不变，只是图形的方向和位置发生了改变．因此，旋转前后两图形的对应线段和对应角分别相等，对应点到旋转中心的距离相等；旋转后的图形上的每一个点旋转的角度都一样； ４．中心对称变换是特殊的旋转变换，特指图形绕着某一点旋转１８０°，其特征与旋转变换相同； ５．轴对称变换是指图形沿着某条直线翻折１８０°，翻折前后两个图形的形状和大小都不变，变的同样也是图形的位置； ６．图形若干次平移后可以看作是一次平移，也就是说如果把某个图形先向上平移，再向右平移，则实际上可以看作是向右上角方向
一次性平移； ７．对称图形： （１）轴对称图形：把一个图形沿着某条直线翻折１８０°后，如果在这条直线两旁的图形能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴； （２）旋转对称图形：把一个图形绕着某一点旋转一定的角度后，如果该图形与原来的图形能够互相重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形； （３）中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转１８０°后，如果该图形与原来的图形能够互相重合，那么这个图形就叫做中心对称图形； 注意：旋转对称图形可以旋转任意的角度，而中心对称图形必须旋转１８０°． ８．一个简单的图形经过若干次平移、旋转后可以组成丰富多彩、形态优美的图案． 五、易混易错警示 1.不能正确作出简单的平面图形平移或旋转后的图形。 主要类型有三：一是平移或旋转作图定位不准确；二是把平移
教学过程 教师活动学生活动 【知识点的梳理】： 一、轴对称 1、轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这 个图形就是轴对称图形，那条直线就叫做对称轴。两图形重合时互相重合的点叫 做对应点，也叫对称点。 2、轴对称图形的性质：对应点到对称轴的距离相等，对应点连线垂直于对称轴。 3、轴对称图形具有对称性。 二、平移 1、平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图 形运动称为平移。 2、平移的基本性质： （1）平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。 （2）经过平移，对应线段，对应角分别相等；对应点所连的线段平行且相等。 课堂练习一、下面的运动哪些是平移？哪些是旋转？ 1、升降国旗 2、拧开水龙头 3、用钥匙拧开房间门 4、拉动抽屉 5、吊扇在空中运动 6、乘坐电梯 7、转动转盘 8、指针运动属于平移的有：属于旋转的有： 二、选择正确答案的序号填在括号里。 （1）教室门的打开和关上，门的运动是（）①平移②旋转③既平移又旋转（2）电风扇的运动是（）①平移②旋转③既平移又旋转 （3）下面（）的运动是平移。①转动着的呼啦圈②电风扇的运动③拔算珠（4）左图是图形经过（）得到的。①平移②旋转③既平移又旋转
（5）右图中，从图①到图②是（ ）得到的，从图②到图③是（ ）得到的。 A 、向右平移7格 B 、向右平移9格 C 、向右平移11格 D 、向下平移1格 E 、向下平移5格 F 、向下平移9格 三、看图填一填。 图①向（ ）平移了（ ）格。图②向（ ）平移了（ ）格。 W w .X k b 1.c O m 图③向（ ）平移了（ ）格。图④向（ ）平移了（ ）格。 四、移一移，画一画。 （1）画出图1向下平移4格后的图形。 （2）画出图2向左平移6格后的图形。 （3）画出图 向右平移8格后的图形。 ① ② ③ 2 1 ② ① ③ ④
轴对称 1.1轴对称图形 如果一个图形沿某一条直线折叠， 直线两旁的部分能够互相重合，？这个图形就叫做 轴对称图形， 这条直线就是它的 对称轴?（有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴。 ） 轴对称 有一个图形沿着某一条直线折叠， 如果它能够与另一个图形重合， ？那么就说这两个图形关于这 条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做 对称点.两个图形关于直 线对称也叫做轴对称. 图形轴对称的性质 性质1:若两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线 ; 注：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线 ，叫做这条线段的 垂直平分线，也叫线段的 中垂 线. 如图所示，△ ABC 与△亠关于I 对称，其中点A 、-巴是对称点，设4屮 证明：将厶ABC 和△ 匚 沿I 折叠后，点 A 与二 重合，则有 宀匸一二一-，/仁/ 2=90°, 即对称轴把-丄丁垂直平分，同样也能把 C ， -都垂直平分，于是得出性质 1 . 性质2 :轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 性质1的证明如下: 证明类似性质1 . 交对称轴，于点P .
轴对称与轴对称图形的区别 轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，？成轴对称的两个图形是全等形，且有特殊位置关系；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称?如图所示： 1.2线段的垂直平分线 性质1：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 证明：如图所示，I是线段AB的垂直平分线，P为I上任意一点，求证性质1. 性质2 :与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 证明：如图所示，P在线段AB上方，且PA=PB，求证P在线段AB的垂直平分线上。 以上两点性质可得出：线段的垂直平分线可看作是与线段两个端点距离相等的所有点的集合 1.3轴对称变换 由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换.？ 成轴对称的两个图形中的任何一个可以看着由另一个图形经过轴对称变换后得到. 对称轴的作法
第十章知识点总结 轴对称平移旋转中心对称全等 定义一个（两个） 平面图形沿某 条直线对折能 够完全重合平面图形在它所 在平面上的平行 移动。 决定要素：平移的 方向、平移的距离 一个平面图形 绕一定点按一 定的方向旋转 一定的角度的 运动。 一个图形旋转 180°能与自 身重合 能够完全重合 的两个图形 表示方法： ΔABC≌Δ DEF 轴对称图形成轴 对称 中心 对称 图形 成中 心对 称 全等多边形 全等三角形 对应边 对应角 一个图形； 不止一条对称轴两个 图形； 只有 一条 对称 轴 旋转对称图形： 一个图形绕内 部某一点旋转 一定的角度能 与自身重合。 一个 图形 两个 图形 图形 特征对应角相等， 对应边相等①对应点间的连 线平行且相等（或 在同一条直线上） ②对应边平行且 相等（或在同一条 直线上），对应角 相等，图形的形状 和大小不改变。 ①图形上每一点 都绕同一点按 相同的方向和 角度旋转 ②对应点到旋转 中心的距离相 等 ③对应边相等， 对应角相等，图 形的性状大小 不改变 连结对应点的 线段必然经过 对称中心，并 被对称中心平 分成相等的两 部分。 对应边相等，对 应角相等
判断方法沿着某条直线 对折看是否重 合。 找平移的方向和 距离： 找一组对应点，连 线即是他平移的 方向和距离 找旋转的方向 和角度： 找一组对应点， 与旋转中心连 线的夹角 ①旋转180° 能否与自身重 合 ②对应点间的 连线是否经过 同一点，并被 这一点平分 各边对应相等 各角对应相等 找对称轴：① 找一组对应点 连线，做其垂 直平分线。② 找两组对应点 连线，过两条 中点的直线 找对称中心： ①找一组对应 点连线找其中 点 ②两组对应点 连线的交点 画法①找关键点 ②过每个关键 点做对称轴的 垂线截取与之 相等的距离， 标出对应点 ③连接对应 点。①找关键点 ②过每个关键点 做平移方向的平 行线截取与之相 等的距离，标出对 应点 ③连接对应点。 ①找关键点 ②连接关键点与 旋转中心，将这 条线段按方向 和角度旋转，标 出对应点 ③连接对应点。 ①找关键点 ②连接关键点 与对称中心， 延长并截取相 等的长度，标 出对应点 ③连接对应 点。 重要结论①线段是轴对 称图形，对称 轴是它的垂直 平分线。 ②角是轴对称 图形，对称轴 是它的角平分 线。 ③垂直平分线 的性质：垂直 平分线上任意 一点到线段两 端的距离相 等。④角平分 线的性质：角 平分线上任意 一点到叫两边 的距离相等。 ⑤对称轴垂直 平分对称点间 ①多次平移相当 于一次平移 ②两条对称轴平 行时，两次轴对称 相当于一次平移 ①线段旋转 90°后与原来 的位置垂直 ②两条对称轴相 交时，两次轴对 称相当于一次 旋转。 ①中心对称一 定是旋转对 称，旋转对称 不一定是中心 对称。 ②任何通过中 心对称图形的 对称中心的直 线都将这个图 形分成面积相 等的两部分。 ③两条对称轴 互相垂直时， 两次轴对称相 当于一次中心 对称 ①一个图形经 过轴对称、平移 或选转等变换 得到的新图形 一定与原图形 全等 ②两个全等的 图形总能经过 轴对称、平移或 旋转等变换后 重合。
一、选择题 1. （2015江苏徐州，6，3分）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是( ) A.直角三角形 B.正三角形 C.平行四边形 D.正六边形 【答案】B 【解析】：A.直角三角形不是轴对称图形也不是中心对称图形；B.正三角形只是轴对称图形；C.平行四边形只是 中心对称图形； D.正六边形是轴对称图形也是中心对称图形.故选B 2. （2015省市，3，分）一张菱形纸片按图1-1、图1-2一次对折，再按图1-3打出1个圆形小孔． 展铺平后的图案是（ ） 【答案】C 【解析】解：打孔时，小孔距离铅垂对角线近，水平对角线远，且由折纸知道是对称的，因此C 选项正确，故 选C ． 3. （2015河北省，15，2分）如图7，点A 、B 为定点，定直线l ∥AB ，P 是l 上一动点，点M ，N 分别为P A ， PB 的中点，对于下列各值： ①线段MN 的长； ②△P AB 的周长； ③△PMN 的面积； ④直线MN ，AB 之间的距离； ⑤∠APB 的大小． 其中会随点P 的移动而变化的是（ ） A ．②③ B ．②⑤ C ．①③④ D ．④⑤ 【答案】B 【解析】解：①线段MN 是△P AB 的中位线，所以MN 的长度是AB 的一半；②点P 移动过程中，P A 、PB 的长 度都会发生变化，因此△P AB 的周长也会发生改变；③△PMN 的面积始终是△P AB 的14 ，不会发生变化；④MN 与AB 之间的距离始终等于△P AB 的高的一半，不会变化；⑤∠APB 会发生变化，故会发生变化的有②⑤，故选B ． 4. （2015山东省莱芜市，6，3分）下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是 A ． B ．D ． 【答案】D 【解析】根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义即可知 5. （2015湖南省邵阳市，10题，3分）如图（七），在矩形ABCD 中，已知AB =4，BC =3，矩形在直线l 上绕其 右下角的顶点B 向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，依次类推，这样连续旋转2015次后，顶点A 在整个旋转过程中所经过的路程之和是（ ） A. 2015π B. 3019.5π C. 3018π D. 3024π 图（七） 【答案】D 【解析】旋转4次是一个循环，其中前三次旋转，第四次是绕A 点旋转，点A 不移动距离，每一个循环，所转 过的弧长之和是 904905903180180180πππ???++= 9012180 π?= 6π，2015=4×503＋3，因此 连续旋转2015次后，顶点A 在整个旋转过程中所经过的路程之和是503×6π＋6π=3024π，答案选择D. 6（2015四川省雅安市，4，3分）下列大写英文字母既可以看成是轴对称图形又可以看成是中心对称图形的是l 图7
§13．1 轴对称（一） 一、轴对称：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫轴对称图形，这条直线叫对称轴． 二、两个图形成轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称． 下列各图，你能找出它们的对称轴吗？ (1) (2) (3) (4) (5) §13．1 轴对称（二） 一、线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做线段的垂直平分线． 二、图形轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．类似地，轴对称图形的对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线． 三、线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的点到这条线段两个端点的距离相等；反过来，与这条线段两个端点距离相等的点都在它的垂直平分线上． [探究1] 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．即AP 1=BP 1，AP 2=BP 2，… 证明． 证法一：利用判定两个三角形全等． 如下图，在△APC 和△BPC 中， P C P C P C A P C B R t A C B C =??∠=∠=∠ ??=? ? △APC ≌△BPC ? PA=PB.
证法二：利用轴对称性质． 由于点C 是线段AB 的中点，将线段AB 沿直线L 对折，线段PA 与PB 是重合的，?因此它们也是相等的． [探究2] 1.作线段AB ，取其中点P ，过P 作L ，在L 上 取点P 1、P 2，连结AP 1、AP 2、BP 1、BP 2．会有以下 两种可能． 2．讨论：要使L 与AB 垂直，AP 1、AP 2、BP 1、 BP 2应满足什么条件？ 探究过程： 1．如上图甲，若AP 1≠BP 1，那么沿L 将图形折叠后，A 与B 不可能重合，也就是∠APP 1≠∠BPP 1，即L 与AB 不垂直． 2．如上图乙，若AP 1=BP 1，那么沿L 将图形折叠后，A 与B 恰好重合，就有∠APP 1=∠BPP 1，即L 与AB 重合．当AP 2=BP 2时，亦然． §12．2作轴对称图形 一．如何由一个平面图形得到它的轴对称图形． 【探究】四边形ABCD 的四个顶点的坐标分别为A(－5,1)、B(－2,1)、C(－2,5)、D(－5,4)，分别作出与四边形ABCD 关于x 轴和y 轴对称的图形．（归纳：与已知点关于y 轴或x 轴对称的点的坐标的规律；） 【引申】 分别作出△PQR 关于直线x=1(记为m)和直线y=－1(记为n)对称的图形，你能发现它们的对应点的坐标之间分别有什么关系吗？ 若△P 1Q 1R 1中P 1(x 1,y 1)关于x=1(记为m)轴对称的点的坐标P 2 (x 2,y 2) ， 则m x x =+2 21，y 1= y 2．
轴对称知识点总结及练习 1、轴对称图形： 一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够 ；这条直线叫 做 。互相重合的点叫 。 2、成轴对称： 两个图形沿一条直线对折，其中一个图形能够与 完全重合；这条直线叫做对称轴。 3、轴对称图形与轴对称的区别与联系： （1）区别：轴对称图形讨论的是“一个图形与一条直线的对称关系” ；轴对称讨论的是“两个图形与一条直线的对称关系”。 （2）联系：把轴对称图形中“对称轴两旁的部分看作两个图形”便是两图成轴对称；把成轴对称的“两个图形看作一个整体”便是轴对称图形。 4、轴对称的性质：如图 （1）成轴对称的两个图形 。 （2）连结“对应点的线段” 被对称轴 。 （3）对应点到对称轴的距离 。 （4）（4）对应点的连线互相 或在同一直线。 5、线段的垂直平分线： （1）定义：经过线段的中点且 的直线，叫做线段的垂直平分线。符号语言：如图 ∵CA=CB ，直线m ⊥AB 于C ， ∴直线m 是线段AB 的垂直平分线。 （2）性质： 。 ∵直线m 垂直平分AB ，点P 是直线m 上的点。符号语言：如图 ∴PA=PB 。 （3）判定：与线段两端点距离相等的点在线段的 上。 如图，∵PA=PB ， ∴点P 在 上 。 6、等腰三角形： （1）定义：有两边 的三角形，叫做等腰三角形。 ①相等的两条边叫做 。第三条边叫做 。 ②两腰的夹角叫做 。③腰与底的夹角叫做 。 说明：底角顶角?-=2180 顶角顶角底角2 1-902180?=-?= （2）性质： ①等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是 ，一般有 条。 ②等腰三角形的两个底角 ；简称 。符号语言： 如图，在△ABC 中 ∵AB=AC ∴∠B=∠C （等边对等角）。 ③三线合一：顶角平分线、 和 相互重合。 符号语言：如图，在△ABC 中 ∵AB=AC AD ⊥BC ∴ （3）判定方法： ①定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形。 如图5，在△ABC 中， ∵AB=AC ∴△ABC 是等腰三角形 。 ②判定：有两个角 的三角形是等腰三角形；简称 。 m C A B D'D C'A'K J I H 底边底角底角顶角腰腰D C B A A