一、填空题(共21分 每小题3分)
1.曲线???=+=0
12x y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为12
2++=y x z .
2.直线35422:1z y x L =--=-+与直线??
?
??+=+-==t
z t y t
x L 72313:2的夹角为
2π. 3.设函数2
2232),,(z y x z y x f ++=,则=
)1,1,1(grad f }6,4,2{.
4.设级数
∑∞
=1
n n u 收敛,则=∞
→n n u lim 0
.
5.设周期函数在一个周期内的表达式为???≤<+≤<-=,
0,10
,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处
收敛于
2
1π+.
6.全微分方程0d d =+y x x y 的通解为
C
xy =.
7.写出微分方程x
e y y y =-'+''2的特解的形式
x
axe y =*.
二、解答题(共18分 每小题6分)
1.求过点)1,2,1(-且垂直于直线???=+-+=-+-0
20
32z y x z y x 的平面方程.
解:设所求平面的法向量为n ρ,则{}3,2,11
11121=--=k
j i n ρρ
ρρ
(4分)
所求平面方程为 032=++z y x (6分) 2.将积分
???Ω
v z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分,其中Ω是曲面
)(22
2y x z +-=及22y x z +=
所围成的区域.
解: πθ20 ,10 ,2 :2
≤≤≤≤-≤≤Ωr r z r (3分)
???
Ω
v z y x f d ),,(?
??-=2
210
20
d ),sin ,cos (d d r r
z z r r f r r θθθπ (6分)
3.计算二重积分??+-=
D
y x y x e
I d d )
(22,其中闭区域.4:22≤+y x D
解 ??-=
20
20
d d 2
r r e
I r π
θ??--=-202
20)(d d 212
r e r πθ?-?-=202
d 22
1r e π)1(4--=e π
三、解答题(共35分 每题7分)
1.设v
ue z =,而2
2y x u +=,xy v =,求z d .
解:
)2(232y y x x e y ue x e x
v v z x u u z x z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (3分)
)2(223xy x y e x ue y e y
v v z y u u z y z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (6分) y xy x y e x y y x x e z xy xy d )2(d )2(d 2332+++++= (7分)
2.函数),(y x z z =由方程0=-xyz e z
所确定,求y
z x z ????,. 解:令xyz e z y x F z
-=),,(, (2分)
则 ,yz F x -= ,xz F y -= ,xy e F z
z -= (5分)
xy
e yz
F F x z z
z x -=-=??, xy e xz F F y z z z y -=-=??. (7分) 3.计算曲线积分?+-L
y x x y d d ,其中L 是在圆周22x x y -=上由)0,2(A 到点)0,0(O 的有
向弧段.
解:添加有向辅助线段OA ,有向辅助线段OA 与有向弧段OA 围成的闭区域记为D ,根据格林
公式
????+--=+-OA D
L y x x y y x y x x y d d d d 2d d (5分)
ππ
=-?=02
2 (7分)
4.设曲线积分?++L
x y x f x y x f e d )(d )]([与路径无关,其中)(x f 是连续可微函数且满足1)0(=f ,
求)(x f .
解: 由x
Q y P ??=?? 得 )()(x f x f e x
'=+, 即x
e x
f x f =-')()( (3分)
所以 )d ()(d d )1(C x e e e x f x x x
+?=??
---?
)(C x e x +=, (6分) 代入初始条件,解得1=C ,所以)1()(+=x e x f x
. (7分)
5.判断级数∑∞
=12
)!
2()!(n n n 的敛散性.
解: 因为 )!
2()!()!22(])!1[(lim lim
2
2
1n n n n u u n n
n n ++=∞→+∞→ (3分) )12)(22()1(lim
2
+++=∞→n n n n 14
1<= (6分) 故该级数收敛. (7分)
四、(7分)计算曲面积分??∑
++y x z x z y z y x d d d d d d ,其中∑是上半球
面2
21z y x --=的上侧.
解:添加辅助曲面1,0:2
2
1≤+=∑y x z ,取下侧,则在由1∑和∑所围成的空间闭区域Ω上应用高斯公式得
??∑
++y x z x z y z y x d d d d d d ??∑+∑++=1
d d d d d d y x z x z y z y x
??∑++-
1
d d d d d d y x z x z y z y x (4分)
0d 3
-=???Ω
v (6分)
3
4213π
??=π2=. (7分)
五、(6分)在半径为R 的圆的内接三角形中,求其面积为最大的三角形.
解:设三角形各边所对圆心角分别为z y x ,,,则π2=++z y x ,
且面积为)sin sin (sin 2
12
z y x R A ++=,
令)2(sin sin sin πλ-+++++=z y x z y x F (3分)
由 ???????=++=+==+==+=π
λλλ20
cos 0
cos 0cos z y x z F y F x F z y
x (4分)得32π===z y x .此
时,其边长为R R 32
3
2=?
. 由于实际问题存在最大值且驻点唯一,故当内接三角形为等边三角形时其面积最大. (6分)
六、(8分)求级数∑∞
=1n n
n
x 的收敛域,并求其和函数.
解: 1)
1(lim lim
1
=+==∞→+∞→n n a a R n n n n ,故收敛半径为1=R . (2分) 当1-=x 时,根据莱布尼茨判别法,级数收敛; 当1=x 时, 级数为调和级数,发散.
故原级数的收敛域为)1,1[-. (5分)
设和为)(x S ,即∑∞
==1)(n n n
x x S ,求导得
∑∞
=-='1
1)(n n x x S x
-=
11
, (6分) 再积分得 ?'=
x
x x S x S 0d )()(
x x
x
d 110?-=)1ln(x --=,)11(<≤-x (8分) 七、(5分)设函数)(x f 在正实轴上连续,且等式
???+=y
x x y
t t f x t t f y t t f 1
1
1
d )(d )(d )(
对任何0,0>>y x 成立.如果3)1(=f ,求)(x f . 解:等式两边对y 求偏导得
)(d )()(1
y f x t t f y x f x x
+=? (2分)
上式对任何0,0>>y x 仍成立.令1=y ,且因3)1(=f ,故有
?+=x
x t t f x xf 1
3d )()(. (3分)
由于上式右边可导,所以左边也可导.两边求导,得
3)()()(+=+'x f x f x f x 即)0(3
)(>=
'x x
x f .
故通解为 C x x f +=ln 3)(.当1=x 时,3)1(=f ,故3=C . 因此所求的函数为 )1(ln 3)(+=x x f .
(5分)
八. (5分)已知x x e xe y 21
+=,x x e xe y -+=2,x x x e e xe y --+=23
是某二阶线性非齐次微分方程的三个解,求此微分方程. 解1:由线性微分方程解的结构定理知x
e
2与x
e
-是对应齐次方程的两个线性无
关的解,x
xe 是非齐次方程的一个特解,故可设此方程为 )(2x f y y y =-'-''
将x xe y
=代入上式,得x x xe e x f 2)(-=,因此所求的微分方程为
x x xe e y y y 22-=-'-''
解2:由线性微分方程解的结构定理知x
e
2与x
e
-是对应齐次方程的两个线性无
关的解,x
xe 是非齐次方程的一个特解,故x x x e C e C xe y -++=221是所
求微分方程的通解,从而有 x x x x e C e C xe e y --++='2212,
x x x x e C e C xe e y -+++=''22142
消去21,C C ,得所求的微分方程为
x x xe e y y y 22-=-'-''
06高数B
一、填空题(共30分 每小题3分)
1.
xoy 坐标面上的双曲线369422=-y x 绕x 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为
36)(94222=+-z y x .
2.设函数2
2),,(z yz x z y x f ++=,则=-)1,0,1(grad f )2,1,2(--.
3.直线35422:1z y x L =--=-+与直线??
?
??+=+-==t
z t y t
x L 72313:2的夹角为
2π. 4. 设Ω是曲面222y x z --=
及22y x z +=所围成的区域积分,则
???Ω
v z y x f d ),,(化为柱面
坐标系下的三次积分形式是?
??-221
20d ),sin ,cos (d d r r
z z r r f r r θθθπ
.
5. 设L 是圆周22x x y -=
,取正向,则曲线积分=+-?L
y x x y d d
π
2.
6. 幂级数∑∞
=--1
1)1(n n
n n x 的收敛半径
1=R .
7.设级数
∑∞
=1
n n u 收敛,则=∞
→n n u lim 0
.
8.设周期函数在一个周期内的表达式为???≤<≤<-=,
0,0
,0)(ππx x x x f 则它的傅
里叶级数在π=x 处收敛于
2
π.
9.全微分方程0d d =+y y x x 的通解为
C
xy =.
10.写出微分方程x
e y y y =-'+''2的特解的形式
x
axe y =*.
二、解答题(共42分 每小题6分)
1.求过点)1,2,1(且垂直于直线???=+-+=-+-0
320
2z y x z y x 的平面方程.
解:设所求平面的法向量为n ρ,则{}3,2,11
11121=--=k
j i n ρρ
ρρ
(4分)
所求平面方程为 032=++z y x (2分) 2.函数),(y x z z =由方程z y x z y x 32)32sin(-+=-+所确定,求
x
z
??. 解:令z y x z y x z y x F 32)32sin(),,(+---+=, (2分)
则,1)32cos(--+=z y x F x 3)32cos(3+-+-=z y x F z . (2分)
)
32cos(33)
32cos(1z y x z y x F F x z z x -+--+-=
-=?? . (2分) 3.计算
??D
xy σd ,其中D 是由直线2 ,1==x y 及x y =所围成的闭区域.
解法一: 原式??=
211d ]d [x
x y xy (2分)
x y x x d ]2[2
112??=x x
x d )2
2(213?-=
8
1
1]48[2124=-=x x . (4分)
解法二: 原式??
=212
d ]d [y y x xy 8
1
1]8[2142
=-=y y .(同上类似分)
4.计算??
--D
y x y x d d 122,其中D 是由122=+y x 即坐标轴所围成的在第一象限内的闭区
域.
解: 选极坐标系
原式?
?-=
2
1
2d 1π
θ
r r r d (3分)
)1(1)21(22
102r d r ---?=?π
6
π= (3分)
5.计算
?Γ
-+-z x y yz x z y d d 2d )(222,其中Γ是曲线,t x =,2t y =
3t z =上由01=t 到12=t 的一段弧.
解:原式??-?+-=
1
22564d ]322)[(t t t t t t t (3分)
?-=1
04
6
d )23(t t t 1057]5273[t t -=35
1
= (3分)
6.判断级数
∑∞
=-1
21
2n n n 的敛散性. 解: 因为 n n n n
n n n n u u 21
22)12(lim lim
11-+=+∞→+∞→ (3分) 12
1
<=
, (2分) 故该级数收敛. (1分) 7.求微分方程043=-'-''y y y 满足初始条件,00==x y 50-='=x y 的特解. 解:特征方程 0432
=--r r ,特征根 1,421-==r r
通解为 x x e C e C y -+=241, (3分)
x x
e C e C y --='2414,代入初始条件得 1,121=-=C C ,
所以特解
x x e e y -+-=4.
(3分)
三、(8分)计算曲面积分??∑
++y x z x z y z y x d d d d d d ,其中∑是上半球面2
21z y x --=的上侧.
解:添加辅助曲面1,0:2
21≤+=∑y x z ,取下侧,则在由1∑和∑所围成的 空间闭区域Ω上应用高斯公式得
??∑
++y x z x z y z y x d d d d d d ??∑
+∑++=1
d d d d d d y x z x z y z y x ??∑++-
1
d d d d d d y x z x z y z y x (4分)
0d 3
-=???Ω
v (2分)
3
4213π
??
=π2=. (2分) 四、(8分)设曲线积分?-+L
y x x xf x x yf d ])(2[d )(2
在右半平面)0(>x 内
与路径无关,其中)(x f 可导,且满足1)1(=f ,求)(x f .
解:由x
Q
y P ??=??, 得x x f x x f x f 2)(2)(2)(-'+=, 即1)(21
)(=+
'x f x
x f , (3分) 所以
)d (
)(d 21d 21C x
e
e x
f x x x x +=?
?-?
)
(
21
21C dx x x
+=?
-
)32
(2
321C x x
+=-
, (3分)
代入初始条件,解得3
1
=C
,所以x
x x f 3132)(+=. (2分)
五、(6分)求函数xy y x y x f 3),(3
3-+=的极值. 解:?????=-==-=0
33),(033),(2
2
x y y x f y x y x f y x 得驻点 )1,1(),0,0( (3分)
,6),(x y x f xx = ,3),(-=y x f xy y y x f yy 6),(=
在点)0,0(处,,092
>=-AC B 故)0,0(f 非极值;
在点)1,1(处,,0272
<-=-AC B 故1)1,1(-=f 是极小值. (3分)
六、(6分)试证:曲面)(x
y
xf z =上任一点处的切平面都过原点.
证:因
),()(x
y
f x y x y f x z '-=?? )(1)(x y f x x y f x y z '=?'=?? (3分) 则取任意点),,(0000z y x M ,有)(00
00x y f x z =,得切平面方程为
))(())](()([)(
00
000000000000y y x y
f x x x y f x y x y f x y f x z -'+-'-=- 即 0)()]()([0
000000=-'+'-
z y x y f x x y f x y x y f 故切平面过原点. (3分)
07A
一、 填空题(每小题3分,共21分)
1.设向量}5,1,{},1,3,2{-==λb a ρρ,已知a ρ与b ρ
垂直,则=λ1
-
2.设3
),(,2,3π
===b a b a ρρρρ,则=
-b a ρρ6
-
3.yoz 坐标面上的曲线122
22=+b
z a y 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为
122
2
22=++b
z a y x
4.过点)0,4,2(且与直线???=--=-+0
230
12z y z x 垂直的平面方程0832=+--z y x
5.二元函数)ln(y x x z +=的定义域为}0,0,({>+≥=y x x y x D
6.函数)ln(),,(222z y x z y x f ++=,则=)1,0,1(gradf }
1,0,1{
7.设xy e z
=,则=
dz )
(xdy ydx e xy +
8.设),(x y x xf u =,f 具有连续偏导数,则=
??x
u
2
1f x
y
xf f -+ 9.曲线3
2
,,t z t y t x ===上点)1,1,1(处的切向量=
T ρ
}
3,2,1{
10.交换积分顺序:??=
y
dx y x f dy 0
1
0),(??1
10
),(x
dy
y x f dx
11.闭区域Ω由曲面222
y x z
+=及平面1=z 所围成,将三重积分???Ω
dv z y x f ),,(化为柱面
坐标系下的三次积分为???π
θθθ201
01
),sin ,cos (r dz z r r f rdr d 12.设L 为下半圆周2
1x y
--=,则=
+?ds y x
L )(22
π
13.设L 为取正向圆周922
=+y x
,则=-+-?dy x x dx y xy L )4()22(2π18-
14.设周期函数在一个周期内的表达式为
??
?<≤≤<-=π
πx x
x x f 000)(则它的傅里叶级数在
π=x 处收敛于
2
π
15.若0lim ≠∞
→n
n u ,则级数∑∞=1
n n u 的敛散性是 发散
16.级数∑∞
=1!
2n n n n
n 的敛散性是 收敛
17.设一般项级数∑∞=1
n n u ,已知∑
∞
=1
n n u 收敛,则∑∞
=1
n n u 的敛散性是 绝对收敛
18.微分方程05)
(23
=+'-''xy y y x 是 2 阶微分方程
19.微分方程044=+'+''y y y 的通解=
y x
x xe C e C 2221--+
20.微分方程x xe y y y 223=+'-''的特解形式为x
e b ax x 2)(+
二、(共5分) 设xy v y x u v u z
==
=,,ln 2,求y
z
x z ????, 解:
]1)ln(2[1ln 222
2+=?+?=?????+?????=??xy y
x y v u y v u x v v z x u u z x z
]1)ln(2[)(ln 232
22--=?+-?=?????+?????=??xy y
x x v u y x v u y v v z y u u z y z 三、(共5分) 设022=-+
+xyz z y x ,求
x
z
?? 解:令xyz z y x z y x F 22),,(-++=
xyz
yz
xyz F x -=
xyz
xy
xyz F z -=
xy
xyz xyz yz F F x z
z x --=
-=?? 四、(共5分)
计算???Ω
xdxdydz ,其中Ω为三个坐标面及平面1=++
z y x 所围成的闭区域
解:y x z x y x --≤≤-≤≤≤≤Ω10,10,10:
???
?????----Ω
--==x
y
x x
dy y x x dx xdz dy dx xdxdydz 101010
10
1
)1(
24
1)2(21)1(213
1021
02=+-=-=??dx x x x dx x x
五、(共6分) 计算
?-+-L
x
x dy y e dx y y e )1cos ()sin (,其中L 为由点)0,(a A 到点)0,0(O 的上半圆周ax y x =+22
解:添加有向辅助线段OA ,则有向辅助线段OA 和有向弧段OA 围成闭区域记为D ,根据格林 公式
?-+-L
x
x dy y e dx y y e )1cos ()sin ( ???-+--=D
OA
x x dy y e dx y y e dxdy )1cos ()sin (
0)2
(212-=a
π 38
1a π= 六、(共6分)
求幂级数∑∞
=-13
)3(n n
n n x 的收敛域 解:对绝对值级数,用比值判敛法
33
1
3131lim 333)1(3lim lim 1
1
1-=-?+=-+-=∞
→++∞
→+∞→x x n n n x n x u u n n n
n n n n n n 当
133
1
<-x 时,即60< 1 >-x 时,即60> 当0=x 时,根据莱布尼兹判别法,级数∑ ∞ =-1)1(n n n 收敛 当6=x 时,级数∑∞ =11 n n 发散,故收敛域为)6,0[ 七、(共5分) 计算dxdy z ??∑ 2 ,其中∑为球面1222=++z y x 在第一卦限的外侧 解:∑在xoy 面的投影xy D :0,0,122 ≥≥≤+y x y x dxdy z ??∑ 2 dxdy y x xy D )1(2 2 --+=??rdr r d )1(2 1 02 ??-=π θ41 2? = π8 π = 八、(共7分) 设0)1(=f ,求)(x f 使dy x f ydx x f x x )()](1[ln ++为某二元函数),(y x u 的全微分,并求),(y x u 解:由x Q y P ??= ??,得)()(1ln x f x f x x '=+,即x x f x x f ln )(1)(=-' 所以 )ln 2 1 ()1ln ()ln ()(21 1 C x x C dx x x x C e x e x f dx x dx x +=+?=+=???? --- 带入初始条件,解得0=C ,所以x x x f 2 ln 2 1)(= ?++=),()0,0(22ln 2 1 )ln 21(ln ),(y x xdy x ydx x x y x u ??+=x y xdy x 002ln 210x xy 2 ln 2 1= 07高数B 一、(共60分 每题3分) 1. 设向量}4 ,2 ,6{-=a ρ,}2 ,1 ,{-=λb ρ,已知a ρ与b ρ 平行,则=λ3-. 2. yoz 坐标面上的曲线12222=-c z a y 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122 2 22=-+b z a y x . 3. 设3 ),(,1,2π===∧b a b a ρρρρ,则a b -=r r 3. 4. 设一平面经过点)1,1,1(,且与直线???=+=--0 30 42z y y x 垂直,则此平面方程为032=-+z y x . 5. 二元函数12ln 2+-=x y z 的定义域为{}012|),(2>+-x y y x . 6. 设xy e z =,则=z d )d d (y x x y e xy +. 7. 函数)ln(),,(222z y x z y x f ++=,则=)1,0,1(grad f )1,0,1(. 8. 设(,)y u xf x x =,f 具有连续导数,则 u x ?=?12 y f xf f x ''+-. 9. 曲面1222=++z y x 在点)2,0,1(-处的法向量=n ρ {}4,0,2-. 10. 交换积分顺序: ??=100d ),(d x y y x f x ??101 d ),(d y x y x f y . 11. 闭区域Ω由曲面22y x z +=及平面1=z 所围成,将三重积 ???Ω v z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分为 ??? 1 1 20 2d ),sin ,cos (d d r z z r r f r r θθθπ . 12. 设∑是闭区域Ω的整个边界曲面的外侧,V 是Ω的体积,则 ??∑ ++y x z x z y x y x d d d d d d =V 3. 13. 设L 为上半圆周21x y -=,则 =+? L s y x d )(22π. 14. 设周期函数在一个周期内的表达式为???≤<≤<-=, 0,0 ,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛 于 2 π . 15. 若lim 0n n u →∞ ≠,则级数 ∑∞ =1 n n u 的敛散性是 发散 . 16. 级数∑∞ =1! 5n n n n n 的敛散性是 收敛 . 17. 级数 ∑∞ =12 sin n n n 的敛散性是 收敛 . 18. 微分方程06)(542=+'+''y y y x 是 2 阶微分方程. 19. 微分方程02=+'-''y y y 的通解为) (21x C C e x +. 20. 微分方程x xe y y y 2365-=+'+''的特解的形式x e bx ax y 22*)(-+=. 三、(共5分) 函数), (y x z z =由方程04222=-++z z y x 所确定,求 x z ??. 解:令=),,(z y x F z z y x 42 2 2 -++, (1分) 则 ,2x F x = ,42-=z F z (2分) z x F F x z z x -= -=??2 (2分) 五、(共6分) 计算曲线积分 ? +--L y y x x y x d )sin (d )2(22,其中L 为由点)0,2(A 到点)0,0(O 的上半圆周 x y x 222=+. 解:添加有向辅助线段,它与上半圆周围成的闭区域记为D ,根据格林公式 ?+--L y y x x y x d )sin (d )2(22 ???+---+-=OA D y y x x y x y x d )sin (d )2(d d )21(22 (3分) ??=D y x d d ? -2 2 d x x 3 823212132 -=-??=ππ (3分) 七、(共6设0)1(=f ,确定)(x f 使y x f x x y x f x d )(d )]([sin +-为某二元函数(,)u x y 的全微分. 解: 由 x Q y P ??= ?? 得 )()(sin x f x x f x '=-, 即 x x x f x x f sin )(1)(=+ ' (2分) 所以 )d sin ()(d x 1 d 1C x e x x e x f x x x +?=???- )d sin (ln ln C x e x x e x x +?=?- (2分) )cos (1 C x x +-= , (1分) 代入初始条件,解得1cos =C ,所以)cos 1(cos 1 )(x x x f -= . (1分) 八、(共6分) 计算 ?? ∑ y x z d d 2,其中∑是球面1222=++z y x 外侧在,0≥x 0≥y 的部分. 解: ??∑ y x z d d ??∑=1 d d y x z ??∑ +2 d d y x (2分) ??--= xy D y x y x d d )1(22?? ----xy D y x y x d )d 1()1(22 (2分) ??--=xy D y x y x d )d 1(222 r r r d )1(d 21 220 ?-=??π θ 4 π = (2分) 08高数A 一、选择题(共24分 每小题3分) 1.设{}1111,,p n m s =,{}2221,,p n m s =分别为直线1L ,2L 的方向向量,则1L 与2L 垂直的充要条件是 (A ) (A )0212121=++p p n n m m (B ) 212121p p n n m m ==(C )1212121=++p p n n m m (D )12 12121=++p p n n m m 2.Yoz 平面上曲线12+=y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为 ( C ) (A )12+=y z (B )22x y z +=(C )122++=x y z (D )x y z +=2 3.二元函数12ln 2+-=x y z 的定义域为 (B ) (A ){}02|),(2>-x y y x (B ){}012|),(2>+-x y y x (C ){}012|),(2≤+-x y y x (D ){}0,0|),(≥>y x y x 4.交换积分顺序: 100 d (,)d y y f x y x =?? ( A ) (A )dy y x f dx x ??1 1 0),((B )dx y x f dy y ??1 1 0),((C )dx y x f dy y ??1 1 0),((D )dy y x f dx x ??1 10 ),( 5.空间闭区域Ω由曲面1=r 所围成,则三重积分???Ω v d 2= ( C ) (A )2 (B )2π (C ) 38π (D )3 4π 6.函数),(y x z z =由方程04222=-++z z y x 所确定,则 x z ??= ( D ) (A ) z y -2 (B ) y x -2 (C )z z -2 (D ) z x -2 7.幂级数∑∞ =13 n n n n x 的收敛域是 ( C ) (A ) ][3,3- (B )](3,0(C ) [)3,3- (D )()3,3- 8.已知微分方程x e y y y =-'+''2的一个特解为x xe y =*,则它的通解是( B ) (A )x xe x C x C ++221(B )x x x xe e C e C ++-221(C )x e x C x C ++221(D )x x x xe e C e C ++-21 二、填空题(共15分 每小题3分) 1.曲面z y x =+22在点)1,0,1(处的切平面的方程是012=--z x . 2.若lim 0n n u →∞ ≠,则级数 ∑∞ =1 n n u 的敛散性是 发散 . 3.级数∑ ∞ =1 2 cos n n n 的敛散性是 绝对收敛 . 4.二元函数2221 sin )(),(x y x y x f +=,当()()0,0,→y x 时的极限等于 0 。 5.全微分方程0d d =+y x x y 的通解为_____c xy =____________. 三、解答题(共54分 每小题6分) 1.用对称式方程及参数方程表示直线 ???=++-=+++04320z y x i z y x ?? ?=++-=+++0 4320 1z y x z y x 解:因所求直线与两平面的法向量都垂直,于是该直线的方向向量为 {}3,1,43 12111--=-=k j i s ρρρ (4分) 在直线上找出一点,例如,取10=x 代入题设方程组得直线上一点 ()2,0,1- (5分) 故题设直线的对称式方程为 3 2 1041-+= --=-z y x (6分) 参数方程为 ?? ? ??--=-=+=t z t y t x 3241 (7分) 4.计算三重积分???Ω +v y x d 22,其中Ω是平面2=z 及曲面22y x z +=所围成的区域(提示:利用柱面坐标计算). 解:πθ20 ,20 ,2 :≤≤≤≤≤≤Ωr z r (3分) ??? Ω +v y x d 2 2???=2 20 20 d d d r z r r r πθ (6分) 3 8π = (7分) 5.计算曲线积分?+-L y x x y d 2d ,其中L 是在圆周22x x y -=上由)0,2(A 到点)0,0(O 的有向弧 段. 解法1:添加有向辅助线段OA ,有向辅助线段OA 与有向弧段AO 围成的闭区域记为D ,根据格林公式 (2分) ???? +--=+-OA D L y x x y y x y x x y d 2d d d 3d 2d (4分) 2 02 3π π = -?= (6分) 解法2:直接求曲线积分 6.求表面积为2a 而体积为最大的长方体的体积。 解法1:设长方体的长、宽、高分别为z y x ,,,则题设问题归结为约束条件 0222),,(2=-++=a xz yz xy z y x ? 下,求函数xyz V =(z y x ,,均大于0)的最大值。 (2分) 作拉格朗日函数 )222(),,,(2a xz yz xy xyz z y x L -+++=λλ (4分) 由方程组 ? ?? ??=++==++==++=0 )(20)(20)(2x y xy L z x xz L z y yz L z y X λλλ (5分) 进而解得唯一可能的极值点 6 6a z y x = == 由问题的本身意义知,该点就是所求的最大值点。故该问题的最大体积为 3 36 6a V = (6分) 解法2:从条件中解出z 代入目标函数中,再用无条件极值的办法求解。 7.计算()ds z y x ??∑ ++,其中∑ 为平面4=+z y 被柱面1622=+y x 所截的部分。 解:积分曲面∑ 的方程为y z -=4,它在xoy 面上的投影为闭区域 (){} 16,22≤+=y x y x D xy (2分) 又 212 2=++y x z z 所以 ()ds z y x ??∑ ++=() dxdy y y x xy D 24??-++ (4分) =()dxdy x xy D ??+42=()rdr r d ??+π θθ20 4 cos 42 (5分) π264= (6分) 8.将函数() )1,1(,11 )(2 -∈-=x x x f 展开成x 的幂级数。 解法1: 因为 { } ()2 ' 1111 x x -= - (2分) 而又 (111) 32++++++=-n x x x x x )1,1(-∈x (4分) 逐项求导,得 () (32111) 122 +++++=--n nx x x x )1,1(-∈x (6分) 解法2:直接求展开式的系数,然后根据余项是否趋近于零确定收敛域。 9.求微分方程 ()2 '' '1y y +=的通解。 解:令u y =' 则原方程变为 2'1u u += (2分) 分离变量后积分得 1arctan c x u += (4分) 则, ()1'tan c x y += (5分) 故原方程的通解为 ()21cos ln c c x y ++-= (6分) 四、证明题(7分) 证 明:若函数),(y x f 在[]2211,b y a b x a R ≤≤≤≤上连续,()R ∈?βα,,令 []βααβ≤≤≤≤y a x a R 21,,则 ),(),(2 βαβ ααβ f dxdy y x f R =????? 证:已知),(y x f 在R 连续,()R ∈?βα,,设 ????==β α αβ βα2 1 ),(),(),(a a R dy y x f dx dxdy y x f F (3分) 因为?=β ?2 ),()(a dy y x f x 在[]α,1a 连续,所以,有 ?=??βαα 2 ),(a dy y f F (5分) 又因为),(y f α在[]22,b a 上连续,所以有 ),(2βαβ αf F =??? 即 ),(),(2 βαβ ααβ f dxdy y x f R =????? (7分) 08高数B 一、选择题(共24分 每小题3分) 1.设两平面的法向量分别是{}1111,,c b a n =,{}2221,,c b a n =,则这两平面垂直的充要条件是 (C ) (A )1212121=++c c b b a a (B ) 2 1 2121c c b b a a == (C )0212121=++c c b b a a (D ) 12 1 2121=++c c b b a a 2.Yoz 平面上曲线2y z =绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为 ( B ) (A )12+=y z (B )22x y z += (C )122++=x y z (D )x y z +=2 3.二元函数x y z -= 的定义域为 (A ) (A ){}0 ,|),(≥≥x x y y x (B ){}01|),(>+x y x (C ){}x y y x ≥2|),( (D ){}0,0|),(≥>y x y x 4.交换积分顺序: dy y x f dx x ? ?1 10 ),( = (B ) (A )dx y x f dy y ??1 1 0),( (B )dx y x f dy y ??01 0),( (C )dx y x f dy y ??1 1 0),( (D )dy y x f dx x ??1 10),( 5.空间闭区域Ω由曲面1=r 所围成,则三重积分???Ω v d 3= ( D ) (A )3 (B )2π (C )3 4π (D )4π 6.函数),(y x z z =由方程04222=-++z z y x 所确定,则 y z ??= (A ) (A )z y -2 (B )y x -2 (C ) z z -2 (D ) z x -2 7.幂级数∑∞ =15 n n n n x 的收敛域是 (D ) (A ) ][5,5- (B )](5,0 (C ) ()5,5- (D )[)5,5- 8.已知微分方程x e y y y =-'+''2的一个特解为x xe y =*,则它的通解是( A ) (A )x x x xe e C e C ++-221(B )x xe x C x C ++221(C )x e x C x C ++221(D )x x x xe e C e C ++-21 二、填空题(共15分 每小题3分) 1.曲面z y x =+22在点)1,1,0(处的切平面的方程是012=--z Y . 2.若级数 ∑∞ =1 n n u 的敛散性,则数列{}n u 当∞→n 时的极限是 0 . 模拟试卷一 一、单项选择题(每题3分,共24分) 1、已知平面π:042=-+-z y x 与直线1 1 1231: -+=+=-z y x L 的位置关系是( ) (A )垂直 (B )平行但直线不在平面上 (C )不平行也不垂直 (D )直线在平面上 2、=-+→→1 123lim 0xy xy y x ( ) (A )不存在 (B )3 (C )6 (D )∞ 3、函数),(y x f z =的两个二阶混合偏导数y x z ???2及x y z ???2在区域D 内连续是这两个二阶混合 偏导数在D 内相等的( )条件. (A )必要条件 (B )充分条件 (C )充分必要条件 (D )非充分且非必要条件 4、设 ??≤+=a y x d 224πσ,这里0 a ,则a =( ) (A )4 (B )2 (C )1 (D )0 5、已知 ()()2 y x ydy dx ay x +++为某函数的全微分,则=a ( ) (A )-1 (B )0 (C )2 (D )1 6、曲线积分=++?L z y x ds 2 22( ),其中.1 10:222???==++z z y x L (A ) 5 π (B )52π (C )53π (D )54π 7、数项级数 ∑∞ =1 n n a 发散,则级数 ∑∞ =1 n n ka (k 为常数)( ) (A )发散 (B )可能收敛也可能发散 (C )收敛 (D )无界 8、微分方程y y x '=''的通解是( ) (A )21C x C y += (B )C x y +=2 (C )22 1C x C y += (D )C x y += 2 2 1 二、填空题(每空4分,共20分) 1、设xy e z sin =,则=dz 。 北京邮电大学2009-2010学年第二学期《高等数学》(下)期末试题(A2) 1.极限2 221lim 1x x y x y x +→∞→??+= ? ? ?2e . 2.设()2y z x y x ?=++,其中?具有连续二阶偏导数, 则2z x y ???=2x ()''21()ln 1y x y x y x ?-+++. 3.曲面arctan()z xy =在点(1,1,)4 P π处的法线方程为 4112 2 1 1 1 z x y π ---= = -. 4.函数z (,,)21f x y z z e xy =-++在点(2,1,0 )处的方向导数的最大值为 5.设2x u v z y u vz ?=-++?=+? 确定u=u(x,y,z),v=(x,y,z),则u x ?=?12z zu -+. 6.幂函数21 (1)9n n n x ∞ =-∑的收敛区域是 (2,4)- . 7.设2 ,10 ()1,01x x f x x x --<≤?=?-<≤?,是周期为2的周期函数,则其傅里叶级数 在点x=4处收敛于 12 . 8.设2222y z R ++=∑:x 外侧,则2223/2 ()xdydz ydzdx zdxdy x y z ++=++∑ ??4π. 9.已知22A=y +2z +xy ,=x +y +z ,i j k B i j k ,则div (A )B ? =3224x y z x z ---. 10.设L 为取正向的圆周x 2+y 2=9,则曲线积分 2 (22)(4)L xy y dx x x dy -+-?= 18π- .(用格林公式易) 二(8分).将函数f(x)= 2 12565x x x ---在点x 0=2处展开成泰勒级数,并指出其收敛域. 解:若用泰勒级数 2() 0000 000''()()()()()()'()()2! ! n n f x x x f x x x f x f x f x x x n --=+-++++ 大学2013~2014学年第一学期课程考试试卷(A 卷) 课 程 考试时间 ………………注:请将答案全部答在答题纸上,直接答在试卷上无效。……………… 一、填空题(每小题2分,共10分) (1) =-∞→x x x )11(lim e 1 . (2) 设)tan(2x x y +=,则=dy dx x x x )(sec )21(22++ . (3) 曲线36223+++=x x x y 的拐点是 )6,1(- . (4) =-? 10211dx x 2π . (5) =?∞ +121dx x 1 . 二、选择题(每小题2分,共10分) (1) =∞→x x x 2sin lim (A) (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 21. (2) 设x x x f tan )(=,则0=x 是函数)(x f 的(A) (A) 可去间断点. (B) 跳跃间断点. (C) 第二类间断点. (D) 连续点. (3) 当0→x 时,下列变量中与x 是等价无穷小的是(B) (A) x 3sin . (B) 1-x e . (C) x cos . (D) x +1. (4) 函数)(x f 在0x 点可导是它在该点连续的(C) (A) 充分必要条件. (B) 必要条件. (C) 充分条件. (D) 以上都不对. (5) 设)(x f 在),(∞+-∞内有连续的导数,则下列等式正确的是(D) (A) ?=')()(x f dx x f . (B) C x f dx x f dx d +=?)()(. (C) )0()())((0f x f dt t f x -='?. (D) )())((0x f dt t f x ='?. 三、计算下列极限、导数(每小题6分,共18分) (1) 213lim 21-++--→x x x x x .解: )13)(2()13)(13(lim 213lim 2121x x x x x x x x x x x x x x ++--+++-+--=-++--→→ 6 2)13)(2(1lim 2)13)(2)(1(22lim 11-=++-+-=++-+--=→→x x x x x x x x x x 《 高等数学》 一.选择题 1.当0→x 时,)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的() A)、x y =B)、x y sin =C)、x y cos 1-=D)、1-=x e y 2.函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的() A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3.下列各组函数中,)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有(). A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、 (( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4.下列各式正确的是() A )、2ln 2x x x dx C =+? B )、sin cos tdt t C =-+? C )、 2arctan 1dx dx x x =+?D )、2 11 ()dx C x x -=-+? 5.下列等式不正确的是(). A )、 ()()x f dx x f dx d b a =???????B )、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=???? ??? C )、()()x f dx x f dx d x a =???????D )、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6.0 ln(1)lim x x t dt x →+=?() A )、0 B )、1 C )、2 D )、4 7.设bx x f sin )(=,则=''?dx x f x )(() 大一高数试题及解答 大一高数试题及答案 一、填空题(每小题1分,共10分) ________ 1 1.函数y=arcsin√1-x2+ ────── 的定义域为 _________ √1-x2 _______________。 2.函数y=x+ex上点(0,1)处 的切线方程是______________。 f(Xo+2h)-f(Xo-3h) 3.设f(X)在Xo可导且f'(Xo)=A, 则lim─────────────── h→o h = _____________。 4.设曲线过(0,1),且其上任意点(X,Y)的切线斜率为2X,则该曲线的方程是 ____________。 x 5.∫─────dx=_____________。 1-x4 1 6.limXsin───=___________。 x→∞ X 7.设f(x,y)=sin(xy),则fx(x,y)=____________。 _______ R √R2-x2 8.累次积分∫ dx∫ f(X2+Y2)dy化为极坐标下的累次积分为 ____________。 0 0 d3y3d2y9.微分方程─── +──(─── )2的阶数为____________。 dx3xdx2 ∞ ∞ 10.设级数∑ a n 发散,则级数∑ a n _______________。 n=1 n=1000 二、单项选择题(在每小题的四个备选答案中,选出一个正确的答案,将其码写在题干的()内, 1~10每小题1分,11~20每小题2分,共30分) (一)每小题1分,共10分 1 1.设函数f(x)=── ,g(x)=1-x,则f[g(x)]=() x 大一高数期末考试试题 一.填空题(共5小题,每小题4分,共计20分) 1. 2 1 lim()x x x e x →-= .2 .()()120051 1x x x x e e dx --+-= ? .3.设函数()y y x =由方程2 1 x y t e dt x +-=? 确定,则 x dy dx == .4. 设()x f 可导, 且1 ()() x tf t dt f x =? ,1)0(=f ,则 ()=x f .5.微分方程044=+'+''y y y 的通解 为 . 二.选择题(共4小题,每小题4分, 共计16分) 1.设常数0>k ,则函数k e x x x f +- =ln )(在),0(∞+内零点的个数为( ). (A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个. 2. 微分方程43cos2y y x ''+=的特解形式为( ). (A )cos2y A x * =; (B )cos 2y Ax x * =; (C )cos2sin 2y Ax x Bx x * =+; (D )x A y 2sin * =.3.下列结论不一定成立的是( ). (A )若[][]b a d c ,,?,则必有()()??≤b a d c dx x f dx x f ;(B ) 若 )(≥x f 在[]b a ,上可积,则()0b a f x dx ≥?;(C )若()x f 是 周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有 ()()?? +=T T a a dx x f dx x f 0 ;(D )若可积函数()x f 为奇函数,则 《高等数学》 一.选择题 1. 当0→x 时,)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 ( ) A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的( ) A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中,)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有( ). A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是( ) A )、2ln 2x x x dx C =+? B )、sin cos tdt t C =-+? C )、 2arctan 1dx dx x x =+? D )、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是( ). A )、()()x f dx x f dx d b a =??????? B )、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C )、()()x f dx x f dx d x a =??????? D )、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. ln(1)lim x x t dt x →+=?( ) A )、0 B )、1 C )、2 D )、4 7. 设bx x f sin )(=,则=''?dx x f x )(( ) A )、 C bx bx b x +-sin cos B ) 、C bx bx b x +-cos cos C )、C bx bx bx +-sin cos D )、C bx b bx bx +-cos sin 《高数》试卷1(上) 一.选择题(将答案代号填入括号内,每题3分,共30分). 1.下列各组函数中,是相同的函数的是( ). (A )()()2ln 2ln f x x g x x == 和 (B )()||f x x = 和 ()2g x x = (C )()f x x = 和 ()()2 g x x = (D )()|| x f x x = 和 ()g x =1 2.函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续,则a =( ). (A )0 (B )1 4 (C )1 (D )2 3.曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为( ). (A )1y x =- (B )(1)y x =-+ (C )()()ln 11y x x =-- (D )y x = 4.设函数()||f x x =,则函数在点0x =处( ). (A )连续且可导 (B )连续且可微 (C )连续不可导 (D )不连续不可微 5.点0x =是函数4 y x =的( ). (A )驻点但非极值点 (B )拐点 (C )驻点且是拐点 (D )驻点且是极值点 6.曲线1 || y x = 的渐近线情况是( ). (A )只有水平渐近线 (B )只有垂直渐近线 (C )既有水平渐近线又有垂直渐近线 (D )既无水平渐近线又无垂直渐近线 7. 211 f dx x x ??' ???? 的结果是( ). (A )1f C x ?? -+ ??? (B )1f C x ?? --+ ??? (C )1f C x ?? + ??? (D )1f C x ?? -+ ??? 8. x x dx e e -+?的结果是( ). (A )arctan x e C + (B )arctan x e C -+ (C )x x e e C --+ ( D )ln()x x e e C -++ 9.下列定积分为零的是( ). 北京理工大学珠海学院 2010 ~ 2011学年第二学期《高等数学(A)2》期末试卷A (答案) 适用年级专业:2010级信息、计算机、机械与车、化工与材料学院各专业 一.选择填空题(每小题3分,共18分) 1.设向量 a =(2,0,-2),b = (3,-4,0),则a ?b = 分析:a ?b = 2 234 i j k -- = -6j – 8k – 8i = (-8,-6,-8) 2.设 u = 2 2 3 x xy y ++.则 2u x y ??? = 分析:u x ?? = 22x y +, 则2u x y ??? = 2' (2)x y += 2y 3.椭球面 2222315x y z ++= 在点(1,-1,,2)处的切平面方程为 分析:由方程可得,2 2 2 (,,)2315F x y z x y z =++- ,则可知法向量n =( Fx, Fy, Fz ); 则有 Fx = 2x , Fy = 4y , Fz = 6z ,则过点(1,-1,,2)处的法向量为 n =(2,-4,,12) 因此,其切平面方程为:2(1)4(1)12(2)0x y z --++-= ,即 26150x y z -+-= 4.设D :y = x, y = - x, x = 2直线所围平面区域.则 (2)D y d σ+=??___________ 分析:画出平面区域D (图自画),观图可得, 2 (2)(2)8x x D y d dx y dy σ-+=+=???? 5.设L :点(0 , 0 )到点(1 , 1)的直线段.则 2L x ds =? _________ 分析:依题意可知:L 是直线y = x 上点(0 , 0 )与点(1 , 1)的一段弧,则有 1 1 2 L x ds x x === ? ?? 6.D 提示:级数 1 n n u ∞ =∑发散,则称级数 1 n n u ∞ =∑条件收敛 二.解答下列各题(每小题6分,共36分) 【最新整理,下载后即可编辑】 第一学期期末高等数学试卷 一、解答下列各题 (本大题共16小题,总计80分) 1、(本小题5分) 求极限 lim x x x x x x →-+-+-233 21216 29124 2、(本小题5分) .d )1(2 2x x x ? +求 3、(本小题5分) 求极限limarctan arcsin x x x →∞ ?1 4、(本小题5分) ? -.d 1x x x 求 5、(本小题5分) . 求dt t dx d x ? +2 21 6、(本小题5分) ??.d csc cot 46x x x 求 7、(本小题5分) .求? ππ 212 1cos 1dx x x 8、(本小题5分) 设确定了函数求.x e t y e t y y x dy dx t t ==?????=cos sin (),2 2 9、(本小题5分) . 求dx x x ?+3 01 10、(本小题5分) 求函数 的单调区间y x x =+-422 11、(本小题5分) .求? π+20 2 sin 8sin dx x x 12、(本小题5分) .,求设 dx t t e t x kt )sin 4cos 3()(ωω+=- 13、(本小题5分) 设函数由方程所确定求 .y y x y y x dy dx =+=()ln ,226 14、(本小题5分) 求函数的极值y e e x x =+-2 15、(本小题5分) 求极限lim ()()()()()() x x x x x x x →∞++++++++--121311011011112222 16、(本小题5分) .d cos sin 12cos x x x x ? +求 二、解答下列各题 (本大题共2小题,总计14分) 1、(本小题7分) ,,512沿一边可用原来的石条围平方米的矩形的晒谷场某农场需建一个面积为.,,才能使材料最省多少时问晒谷场的长和宽各为另三边需砌新石条围沿 2、(本小题7分) . 8 23 2体积轴旋转所得的旋转体的所围成的平面图形绕和求由曲线ox x y x y == 三、解答下列各题 ( 本 大 题6分 ) 设证明有且仅有三个实根f x x x x x f x ()()()(),().=---'=1230 一学期期末高数考试(答案) 一、解答下列各题 (本大题共16小题,总计77分) 1、(本小题3分) 解原式:lim =--+→x x x x 222 312 61812 =-→lim x x x 261218 =2 2、(本小题3分) ? +x x x d )1(2 2 大一高数试题及答案 一、填空题(每小题1分,共10分) 1.函数 2 2 111arcsin x x y -+ -=的定义域为______________________。 2.函数 2e x y += 上点( 0,1 )处的切线方程是______________。 3.设f(X )在0x 可导,且A (x)f'=,则h h x f h x f h ) 3()2(l i m 000--+→ = _____________。 4.设曲线过(0,1),且其上任意点(x ,y )的切线斜率为2x ,则该曲线的方程是 ____________。 5.=-?dx x x 4 1_____________。 6.=∞→x x x 1 sin lim __________。 7.设f(x,y)=sin(xy),则fx(x,y)=____________。 9.微分方程 22 233)(3dx y d x dx y d +的阶数为____________。 ∞ ∞ 10.设级数 ∑ an 发散,则级数 ∑ an _______________。 n=1 n=1000 二、单项选择题。(1~10每小题1分,11~20每小题2分,共30分) 1.设函数 x x g x x f -== 1)(,1 )(则f[g(x)]= ( ) ①x 1 1- ②x 1 1- ③ x -11 ④x 2.11 sin +x x 是 ( ) ①无穷大量 ②无穷小量 ③有界变量 ④无界变量 3.下列说法正确的是 ( ) ①若f( X )在 X =Xo 连续, 则f( X )在X =Xo 可导 ②若f( X )在 X =Xo 不可导,则f( X )在X =Xo 不连续 ③若f( X )在 X =Xo 不可微,则f( X )在X =Xo 极限不存在 ④若f( X )在 X =Xo 不连续,则f( X )在X =Xo 不可导 4.若在区间(a,b)内恒有 0)(",0)('> ( 大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . (A )(0)2f '= (B )(0)1f '=(C )(0)0f '= (D )()f x 不可导. 2. ) 时( ,则当,设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. (A )()()x x αβ与是同阶无穷小,但不是等价无穷小; (B )()()x x αβ与是 等价无穷小; (C )()x α是比()x β高阶的无穷小; (D )()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. … 4. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?,其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ,则( ). (A )函数()F x 必在0x =处取得极大值; (B )函数()F x 必在0x =处取得极小值; (C )函数()F x 在0x =处没有极值,但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点; (D )函数()F x 在0x =处没有极值,点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 5. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数,且设 (A )22x (B )2 2 2x +(C )1x - (D )2x +. 二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 6. , 7. = +→x x x sin 20 ) 31(lim . 8. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 9. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 10. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin - dx x x x . 三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分) 11. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定,求'()y x 以及'(0)y . 四川理工学院试卷(2007至2008学年第一学期) 课程名称: 高等数学(上)(A 卷) 命题教师: 杨 勇 适用班级: 理工科本科 考试(考查): 考试 2008年 1 月 10日 共 6 页 注意事项: 1、 满分100分。要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。 2、 考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方,否 则视为废卷。 3、 考生必须在签到单上签到,若出现遗漏,后果自负。 4、 如有答题纸,答案请全部写在答题纸上,否则不给分;考完请将试卷和答题卷 分别一同交回,否则不给分。 试 题 一、单选题(请将正确的答案填在对应括号内,每题3分,共15分) 1. =--→1 ) 1sin(lim 21x x x ( C ) (A) 1; (B) 0; (C) 2; (D) 2 1 2.若)(x f 的一个原函数为)(x F ,则dx e f e x x )(? --为( B ) (A) c e F x +)(; (B) c e F x +--)(; (C) c e F x +-)(; (D ) c x e F x +-) ( 3.下列广义积分中 ( D )是收敛的. (A) ? +∞ ∞ -xdx sin ; (B)dx x ? -111 ; (C) dx x x ?+∞ ∞-+2 1; (D)?∞-0dx e x 。 4. )(x f 为定义在[]b a ,上的函数,则下列结论错误的是( B ) (A) )(x f 可导,则)(x f 一定连续; (B) )(x f 可微,则)(x f 不一定可导; (C) )(x f 可积(常义),则)(x f 一定有界; (D) 函数)(x f 连续,则? x a dt t f )(在[]b a ,上一定可导。 5. 设函数=)(x f n n x x 211lim ++∞→ ,则下列结论正确的为( D ) (A) 不存在间断点; (B) 存在间断点1=x ; (C) 存在间断点0=x ; (D) 存在间断点1-=x 二、填空题(请将正确的结果填在横线上.每题3分,共18分) 1. 极限=-+→x x x 1 1lim 20 _0____. 2. 曲线? ??=+=3 2 1t y t x 在2=t 处的切线方程为______. 3. 已知方程x xe y y y 265=+'-''的一个特解为x e x x 22 )2(2 1+- ,则该方程的通解为 . 4. 设)(x f 在2=x 处连续,且22 ) (lim 2=-→x x f x ,则_____)2(='f 5.由实验知道,弹簧在拉伸过程中需要的力F (牛顿)与伸长量s 成正比,即ks F =(k 为比例系数),当把弹簧由原长拉伸6cm 时,所作的功为_________焦耳。 6.曲线23 3 2 x y =上相应于x 从3到8的一段弧长为 . 三、设0→x 时,)(22 c bx ax e x ++-是比2 x 高阶的无穷小,求常数c b a ,,的值(6分) 《高等数学(二)》期末复习题 一、选择题 1、若向量与向量)2,1,2(-=a 平行,且满足18-=?,则=( ) (A ) )4,2,4(-- (B )(24,4)--, (C ) (4,2,4)- (D )(4,4,2)--. 2、在空间直角坐标系中,方程组2201x y z z ?+-=?=? 代表的图形为 ( ) (A )直线 (B) 抛物线 (C ) 圆 (D)圆柱面 3、设2 2()D I x y dxdy =+??,其中区域D 由222x y a +=所围成,则I =( ) (A) 22 4 a d a rdr a π θπ=? ? (B) 2240 2a d a adr a π θπ=?? (C) 2230 023a d r dr a π θπ=? ? (D) 224001 2 a d r rdr a πθπ=?? 4、 设的弧段为:2 30,1≤≤=y x L ,则=? L ds 6 ( ) (A )9 (B) 6 (C )3 (D) 2 3 5、级数 ∑∞ =-1 1 )1(n n n 的敛散性为 ( ) (A ) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性不确定 6、二重积分定义式∑??=→?=n i i i i D f d y x f 1 0),(lim ),(σηξσλ中的λ代表的是( ) (A )小区间的长度 (B)小区域的面积 (C)小区域的半径 (D)以上结果都不对 7、设),(y x f 为连续函数,则二次积分??-1010 d ),(d x y y x f x 等于 ( ) (A )??-1010 d ),(d x x y x f y (B) ??-1 010 d ),(d y x y x f y (C) ??-x x y x f y 10 1 0d ),(d (D) ?? 10 1 d ),(d x y x f y 8、方程2 2 2z x y =+表示的二次曲面是 ( ) (A )抛物面 (B )柱面 (C )圆锥面 (D ) 椭球面 05级高数(2-3)下学期期末试题 (A 卷) 专业 ____________ 姓名 ______________ 学号 ________________ 《中山大学授予学士学位工作细则》第六条:“考试作弊不授予学士学位” 一,填空题 (每题4分,共32分) 1. 213______4 x y kx y z k π +-=-==若平面与平面成 角,则 1/4 2. 曲线20 cos ,sin cos ,1t u t x e udu y t t z e = =+=+? 在t = 0处的切线方程为________________ 3. 方程z e xyz =确定隐函数z = f (x,y )则z x ??为____________ 4. ( ),dy f x y dx ?1 交换的积分次序为_________________________ 5.()2221,L x y x y ds +=-=?L 已知是圆周则 _________π- 6. 收敛 7. 设幂级数0 n n n a x ∞ =∑的收敛半径是2,则幂级数 21 n n n a x ∞ +=∑的收敛半径是 8. ()211x y ''+=微分方程的通解是 ()2121 arctan ln 12 y x x c x c =-+++_______________________ 二.计算题 (每题7分,共63分) 1.讨论函数 f ( x, y ) = 221 ,x y + 220x y +≠, f ( 0 , 0 ) = 0 在点( 0 , 0 )处的连续性,可导性及可微性。 P 。330 2.求函数2 222z y x u ++=在点)1,1,1(0P 处沿P 0方向的方向导数,其中O 为坐 标原点。 3.2 1 2.1n n n n n ∞ =?? ?+?? ∑判别级数的敛散性 P .544 4.设u=),(z y xy f +,),(t s f 可微,求du dz f dy f x f dx y f '+??? ??'+'+?'2211. 012 112x y z ---==z z yz x e xy ?=?-211sin ____________1 n n n ∞ =++∑级数的敛散性为 高等数学(下)模拟试卷一 一、填空题(每空3分,共15分) (1)函数 11z x y x y =+ +-的定义域为 (2)已知函数 arctan y z x =,则z x ?= ? (3)交换积分次序, 2 220 (,)y y dy f x y dx ? ? = (4)已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段,则 ()L x y ds +=? (5)已知微分方程230y y y '''+-=,则其通解为 二、选择题(每空3分,共15分) (1)设直线L 为321021030x y z x y z +++=?? --+=?,平面π为4220x y z -+-=,则() A.L 平行于πB.L 在π上C.L 垂直于πD.L 与π斜交 (2)设是由方程 222 2xyz x y z +++=确定,则在点(1,0,1)-处的dz =() dx dy +2dx dy +22dx dy +2dx dy -(3)已知Ω是由曲面222425()z x y =+及平面5 z =所围成的闭区域,将 2 2()x y dv Ω +???在柱面坐标系下化成三次积分为() 22 5 3 d r dr dz πθ? ??. 24 5 3 d r dr dz πθ? ?? 22 5 3 50 2r d r dr dz πθ? ??. 22 5 20 d r dr dz π θ? ?? (4)已知幂级数,则其收敛半径() 2112 2(5)微分方程3232x y y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y * =() ()x ax b xe +()x ax b ce ++()x ax b cxe ++ 三、计算题(每题8分,共48分) 1、 求过直线1L :1231 01x y z ---==-且平行于直线2L :21211x y z +-==的平面方程 2、 已知 22 (,)z f xy x y =,求z x ??,z y ?? 3、 设 22{(,)4}D x y x y =+≤,利用极坐标求 2 D x dxdy ?? 4、 求函数 22 (,)(2)x f x y e x y y =++的极值 得分 阅卷人 课程名称 高等数学I (A )解答 一 选择题(4小题,每题4分,共16分) 1. 下列数列收敛的是( C )。 (A) n n x n n 1] 1)1[(++-= (B) n n n x )1(-= (C) n x n n 1)1(-= (D) n n x n 1-= 2.已知函数231)(22+--=x x x x f 下列说法正确的是( B )。 (A) )(x f 有2个无穷间断点 (B) )(x f 有1个可去间断点,1个无穷间断点 (C) )(x f 有2个第一类间断点 (D) )(x f 有1个无穷间断点,1个跳跃间断点 3.设 ?????>≤=1,1,3 2)(23x x x x x f ,则)(x f 在x =1处的( B )。 (A) 左右导数都存在 (B) 左导数存在,右导数不存在 (C) 左导数不存在,右导数存在 (D) 左、右导数都不存在 4.函数 2)4(121++ =x x y 的图形( B ) (A) 只有水平渐近线 (B) 有一条水平渐近线和一条铅直渐近线 (C) 只有铅直渐近线 (D) 无渐近线 二 填空题(4小题,每题4分,共16分) 1.x x x 23sin lim 0→=__3/2_________ 2. x x e y x sin ln 2-+=则='y _2e x +1/x -cos x _ 3. 已知隐函数方程:024=-+y xe x 则='y -(4+e y ) / (x e y ) 4. 曲线332x x y +=在 x = 1 处对应的切线方程为: y =11x -6 . 三 解答题(5小题,每题6分,共30分) 1 高等数学(A2)试卷(二) 答案及评分标准 一、选择题(本大题共8小题,每题4分,共32分) 1. B, 2. D, 3. B, 4. C, 5. D, 6. B, 7. D, 8. B. 二、计算题(本大题共4小题,没题7分,共28分) 1. 设),(y x z z =是由方程333a xyz z =-确定的隐函数, 求dz . 解: 方程两边对x 求导,得 03332='--'x x z xy yz z z (1分) 解得 xy z yz z x -= '2 (3分) 方程两边对x 求导,得 xy z xz z y -= '2 (5分) 所以, )(2 xdy ydx xy z z dz +-= (7分) 2. 求?? -= D dxdy y x I 22, D 由1,==x x y 及x 轴围成. 解: x y x D ≤≤≤≤0,10:, 故有 ? ? -= 10 22x dy y x dx I (2分) 令t x y cos =, 则有 ? ?=10 20 22 sin π tdt dx x I (6分) 12 π = (7分) 3. 求函数)1ln()(432x x x x x f ++++=的麦克劳林展开式及收敛区间. 解: x x x f --=11ln )(5 (2分) 由∑ ∞=-≤<--= +11 )11() 1()1ln(i n n t n t t , 可得 (4分) ∑∞ =<≤--=-155 )11()1ln(i n x n x x (5分) ∑∞ =<≤--=-1)11()1ln(i n x n x x (6分) 所以, ∑∑∞=∞ =<≤--=151)11()(i n i n x n x n x x f (7分) 4. 求微分方程1 cos 1222-=-+'x x y x x y 满足1)0(=y 的特解. 解: 方程两边同乘1)(2122-=?=-- x e x dx x x μ得 (2分) x y x dx d cos ])1[(2=-, c x y x +=-sin )1(2 (4分) 通解为, 1 sin 2 -+=x c x y (5分) 由1)0(=y 得1-=c , 所求特解为1 1 sin 2 --=x x y (7分) 三、计算题(本题8分) 用高斯公式计算?? ∑ ++= dxdy z dzdx y dydz x I 222, 其中∑为立体 c z b y a x ≤≤≤≤≤≤Ω0,0,0:的表面外侧. 解: 由高斯公式可得 第一学期期末高等数学试卷 一、解答下列各题 (本大题共16小题,总计80分) 1、(本小题5分) 求极限 lim x x x x x x →-+-+-2332121629124 2、(本小题5分) .d )1(22x x x ?+求 3、(本小题5分) 求极限lim arctan arcsin x x x →∞?1 4、(本小题5分) ? -.d 1x x x 求 5、(本小题5分) .求dt t dx d x ?+2 021 6、(本小题5分) ??.d csc cot 46x x x 求 7、(本小题5分) .求?ππ 2 1 21cos 1dx x x 8、(本小题5分) 设确定了函数求.x e t y e t y y x dy dx t t ==?????=cos sin (),22 9、(本小题5分) . 求dx x x ?+3 01 10、(本小题5分) 求函数 的单调区间y x x =+-422 11、(本小题5分) .求? π +2 02sin 8sin dx x x 12、(本小题5分) .,求设 dx t t e t x kt )sin 4cos 3()(ωω+=- 13、(本小题5分) 设函数由方程所确定求.y y x y y x dy dx =+=()ln ,226 14、(本小题5分) 求函数的极值y e e x x =+-2 15、(本小题5分) 求极限lim ()()()()()()x x x x x x x →∞++++++++--121311011011112222 16、(本小题5分) .d cos sin 12cos x x x x ? +求 二、解答下列各题 (本大题共2小题,总计14分) 第二学期期末考试试卷 一、 填空题(每空 3 分,共 15 分) 1. 已知向量()1,1,4r a =-,()3,4,0r b =,则以r a ,r b 为边的平行四边形的面积等于. 2. 曲面sin cos z x y =在点1,,442ππ?? ??? 处 的切平面方程是. 3. 交换积分次序()22 0,x dx f x y dy = ??. 4. 对于级数11 n n a ∞ =∑(a >0),当a 满足条件 时收敛. 5. 函数1 2y x =-展开成x 的幂级数为 . 二、 单项选择题 (每小题3分,共15分) 1. 平面20x z -=的位置是 ( ) (A )通过y 轴 (B )通过x 轴 (C )垂直于y 轴 (D )平行于xoz 平面 2. 函数(),z f x y =在点()00,x y 处具有偏导数 ()00,x f x y ',()00,y f x y ',是函数在该点可微分的 ( ) (A )充要条件 (B )充分但非必要条件 (C )必要但非充分条件 (D )既非充分又非必要条件 3. 设()cos sin x z e y x y =+,则10 x y dz ===( ) (A )e (B )()e dx dy + (C )1()e dx dy -+ (D )()x e dx dy + 4. 若级数()11n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛, 则此级数在2x =处( ) (A )敛散性不确定 (B )发散 (C )条件收敛 (D )绝对收敛 5. 微分方程y xy x '-=的通解是( ) (A )212 1x y e =- (B )212 1x y e -=- (C )212 x y Ce -= (D )212 1x y Ce =- 三、(本题满分8分) 设平面通过点()3,1,2-,而且通过直线43521 x y z -+==, 求该平面方程. 四、(本题满分8分) 设(),z f xy x y =+,其中(),f u v 具有二阶连续偏导数, 试求z x ??和2z x y ???. 五、(本题满分8分) 计算三重积分y zdxdydz Ω =???, 其中 (){},,01,11,12x y z x y z ≤≤-≤≤≤≤. 六、(本题满分8分) 计算对弧长的曲线积分L ?,高数2试题及答案(1)
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