三角函数和平面向量
（2011广东文）16．（本小题满分12分）已知函数1
()2sin()3
6
f x x π
=-
，x ∈R ．
（1）求(0)f 的值； （2）设,0,
2παβ??
∈????
，10(3)213f πα+=，6(32)5f βπ+=，求sin()αβ+的值． （2011北京文）15．（本小题共13分）已知函数()4cos sin()16
f x x x π
=+
-.
（Ⅰ）求()f x 的最小正周期： （Ⅱ）求()f x 在区间,64ππ??
-
????
上的最大值和最小值. （2011四川文）18．（本小题共l2分）
已知函数73()sin()cos()44
f x x x ππ
=++-，x ∈R ．
（Ⅰ）求()f x 的最小正周期和最小值；
（Ⅱ）已知4cos()5βα-=，4cos()5βα+=-，02
π
αβ<<≤．求证：2[()]20f β-=．
（2011福建文）21．（本小题满分12分）
设函数f （θ）cos θθ+，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点P （x,y ），且0θπ≤≤。
（1）若点P 的坐标为1(2，求f ()θ的值； （II ）若0.2
π
θ≤≤
，求函数()f θ的最小值和最大值。
（2010上海文数19）.（本题满分12分）
已知02
x π
<<，化简：2
lg(cos tan 12sin
))]lg(1sin 2)22
x x x x x π
?+-+--+.
（2010浙江文数18） (本题满分l4分)在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a,b,c ，已知
1
cos 24
C =- (I)求sinC 的值；(Ⅱ)当a=2， 2sinA=sinC 时，求b 及c 的长．
（2010北京文数15）（本小题共13分）
在△ABC 中，已知B=45°,D 是BC 边上的一点，AD=10,AC=14,DC=6，求AB 的长. （2010重庆文数18） (本小题满分13分), (Ⅰ)小问5分，(Ⅱ)小问8分.)
设ABC ?的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c,且32b +32
c -32a bc .
(Ⅰ) 求sinA 的值； (Ⅱ)求
2sin()sin()
441cos 2A B C A
ππ
+++-的值.
（2010浙江文数18）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c,设S 为△ABC 的面积，
满足2
22)S a b c =
+-。 （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求sin sin A B +的最大值。
（2010重庆理数16）（）（本小题满分13分，（I ）小问7分，（II ）小问6分） 设函数()22cos 2cos ,32
x
f x x x R π?
?=+
+∈ ???。 （Ⅰ）求()f x 的值域； （Ⅱ）记ABC ?的内角A 、B 、C 的对边长分别为a ，b ，c ，若()f B =1，
求a 的值。
（2010山东文数17）（本小题满分12分）
已知函数2()sin()cos cos f x x x x πωωω=-+（0ω>）的最小正周期为π， （Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）将函数()y f x =的图像上各点的横坐标缩短到原来的
1
2
，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图像，求函数()y g x =在区间0,16π??
????
上的最小值.
（2010北京理数15）（本小题共13分） 已知函数(x)f 2
2cos 2sin 4cos x x x =+-。 （Ⅰ）求()3
f π
=的值；（Ⅱ）求(x)f 的最大值和最小值。
（2010
天津理数
17）（本小题满分
12
分）已知函
数
2()cos 2cos 1()f x x x x x R =+-∈
（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及在区间0,
2π??
????
上的最大值和最小值； （Ⅱ）若006(),,542f x x ππ??
=∈????
，求0cos 2x 的值。
（2010广东理数16）、（本小题满分14分）
已知函数()sin(3)(0,(,),0f x A x A x ??π=+>∈-∞+∞<<在12x π
=
时取得最大值4．
(1) 求()f x 的最小正周期； (2) 求()f x 的解析式； (3) 若f (23α +12π)=12
5
,求
sin α． （2010
湖北文数）16.（本小题满分
12
分）已经函数
22cos sin 11
(),()sin 2.224
x x f x g x x -==-
(Ⅰ)函数()f x 的图象可由函数()g x 的图象经过怎样变化得出？
（Ⅱ）求函数()()()h x f x g x =-的最小值，并求使用()h x 取得最小值的x 的集合。
（2010湖北理数） 16．（本小题满分12分） 已知函数f(x)=11
cos(
)cos(),()sin 23324
x x g x x π
π+-=- （Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期；
（Ⅱ）求函数()()()h x f x g x =-的最大值，并求使()h x 取得最大值的x 的集合。
（2010湖南理数）16．（本小题满分12分）已知函数2
()22sin f x x x =-．
（Ⅰ）求函数()f x 的最大值；（II ）求函数()f x 的零点的集合。
（2010安徽理数）16、（本小题满分12分） 设ABC ?是锐角三角形，,,a b c 分别是内角
,,A B C 所对边长，并且22sin sin() sin() sin 33
A B B B ππ
=+-+。
(Ⅰ)求角A 的值；(Ⅱ)若12,AB AC a ==,b c （其中b c <）。 （2011全国大纲文）（18）（本小题满分12分）
△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．己知
sin csin sin sin ,a A C C b B +-=
（Ⅰ）求B ； （Ⅱ）若0
75,2,A b a c ==求与 （2011湖北文）16．（本小题满分12分）
设ABC ?的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知1
1,2,c o s 4
a b C =
== （I ） 求ABC ?的周长； （II ）求c o s ()A C -的值。
（2011山东文）17.（本小题满分12分）
在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知cos A-2cosC 2c-a
=
cos B b
. （1）求
sin sin C A 的值； （2）若cosB=1
4
，5b ABC 的周长为，求的长. （2011天津文）16．（本小题满分13分）
在△ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知,2.B C b ==
（Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）cos(2)4
A π
+的值．
（2011湖南文）17．（本小题满分12分）
在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 且满足sin cos .c A a C = （Ⅰ）求角C 的大小；
（II cos()4
A B π
-+
的最大值，并求取得最大值时角,A B 的大小．
（2011安徽文）（16）（本小题满分13分）
在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，12cos()0B C ++=，求边BC 上的高.
（2011陕西文）18.（本小题满分12分）叙述并证明余弦定理。 .（08江苏）()cos 6f x x πω?
?
=-
??
?的最小正周期为5
π
，其中0ω>，则ω= 3.（04全国）函数|2
sin |x y =的最小正周期是（ ）.
4.（1）（04北京）函数x x x f cos sin )(=的最小正周期是 .
（2）（04江苏）函数)(1cos 22R x x y ∈+=的最小正周期为（ ）. 5.(09年广东文)函数1)4
(cos 22
--
=π
x y 是 ( )
A ．最小正周期为π的奇函数 B. 最小正周期为π的偶函数 C. 最小正周期为
2
π的奇函数 D. 最小正周期为2π
的偶函数
6.（浙江卷2）函数2
(sin cos )1y x x =++的最小正周期是 . 已知函数y =s inx +x 2cos 1+，求函数的最大值与最小值。 1.（09福建）函数()sin cos f x x x =最小值是= 。 2.（09上海）函数2
2cos sin 2y x x =+的最小值是 .
3．将函数x x y cos 3sin -=的图像向右平移了n 个单位，所得图像关于y 轴对称，则n
的最小正值是 A ．
6π7 B ．3π C ．6π D ．2
π 4.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则
MN 的最大值为（ ）
A ．1 B
C
D ．2
5.函数2
()s i 3s i n c o s f x x x =+在区间,42ππ??
????
上的最大值是 ( )
A.1
B.
12
+ C.
3
2
4．换元法的使用。 例4 求x
x x
x y cos sin 1cos sin ++=
的值域。
1.(09山东)将函数sin 2y x =的图象向左平移4
π
个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是
2.（1）（07山东）要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π??
=- ?3?
?
的图象向 平移 个单位
（2）（全国一8）为得到函数πcos 23y x ?
?
=+ ??
?
的图像，只需将函数sin 2y x =的图像 向 平移 个单位 （3）为了得到函数)6
2sin(π
-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象向 平移
个单位长度
3.将函数 y = 3 cos x －sin x 的图象向左平移 m （m > 0）个单位，所得到的图象关于 y 轴对称，则 m 的最小正值是 （D ）
A. π6
B. π
3 C. 2π3 D. 5π6
已知sin (α-β)=135，sin (α+β)=- 135，且α-β∈??? ??ππ,2，α+β∈??
?
??ππ2,23，求sin 2α,cos 2β的值。
1.（2003上海春，15）把曲线y cos x +2y －1=0先沿x 轴向右平移2
π个单位，再沿y 轴向
下平移1个单位，得到的曲线方程是（ ）
A.（1－y ）sin x +2y －3=0
B.（y －1）sin x +2y －3=0
C.（y +1）sin x +2y +1=0
D.－(y +1)sin x +2y +1=0 1.答案：C
解析：将原方程整理为：y =
x cos 21+，因为要将原曲线向右、向下分别移动2
π
个单位
和1个单位，因此可得y =
)
2
cos(21π
-+x －1为所求方程.整理得（y +1）sin x +2y +1=0.
评述：本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式.如果对平移有深刻理解，可直接化为：（y +1）cos （x －
2
π
）+2（y +1）－1=0，即得C 选项.
2.（2002春北京、安徽，5）若角α满足条件sin2α＜0，cos α－sin α＜0，则α在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.答案：B
解析：sin2α＝2sin αcos α＜0 ∴sin αcos α＜0 即sin α与cos α异号，∴α在二、四象限， 又cos α－sin α＜0 ∴cos α＜sin α
由图4—5，满足题意的角α应在第二象限
3.（2002上海春，14）在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sinC ，则△ABC 的形状一定是（ ） A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 3.答案：C
解析：2sin A cos B ＝sin （A ＋B ）＋sin （A －B ）又∵2sin A cos B ＝sin C ， ∴sin （A －B ）＝0，∴A ＝B
4.（2002京皖春文，9）函数y =2sin x 的单调增区间是（ ） A.［2k π－
2
π，2k π＋
2
π］（k ∈Z ）
B.［2k π＋
2
π
，2k π＋
2
3π］（k ∈Z ） C.［2k π－π，2k π］（k ∈Z ） D.［2k π，2k π＋π］（k ∈Z ） 4.答案：
A
解析：函数y =2x 为增函数，因此求函数y =2sin x 的单调增区间即求函数y =sin x 的单调增区间.
5.（2002全国文5，理4）在（0，2π）内，使sin x ＞cos x 成立的x 取值范围为（ ）
A.（
4π
，
2
π）∪（π，
4
5π）
B.（
4
π，π）
C.（
4π，
4
5π
）
D.（
4
π，π）∪（
45π，2
3π） 5.答案：C
解法一：作出在（0，2π）区间上正弦和余弦函数的图象，解出两交点的横坐标4
π
和
4
5π，由图4—6可得C 答案
.
图4—6 图4—7
解法二：在单位圆上作出一、三象限的对角线，由正弦线、余弦线知应选C.（如图4—7）
6.（2002北京，11）已知f （x ）是定义在（0，3）上的函数，f （x ）的图象如图4—1所示，那么不等式f （x ）cos x ＜0的解集是（ ）
A.（0，1）∪（2，3）
B.（1，
2
π
）∪（
2
π，3）
C.（0，1）∪（
2
π，3） D.（0，1）∪（1，3） 6.答案：
C
解析：解不等式f （x ）cos x ＜0???
??<<>?300cos 0)(300cos 0)(x x x f x x x f 或
∴??
?<<<
??<<<<10102
3
1x x x x 或ππ ∴0＜x ＜1或2π＜x ＜3 7.（2002北京理，3）下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间（2
π
，π）上为
减函数的是（ ）
A.y =cos 2x
B.y ＝2|sin x |
C.y ＝(
3
1)cos x
D.y =－cot x
7.答案：B
解析：A 项：y =cos 2x =22cos 1x +，x =π，但在区间（2
π
，π）上为增函数.
B 项：作其图象4—8，由图象可得T =π且在区间（2
π
，π）上
为减函数.
C 项：函数y =cos x 在(
2
π，π)区间上为减函数,数y =（
31）x 为减函数.因此y =（3
1）cos x 在（
2
π
，π）区间上为增函数.
D 项：函数y ＝－cot x 在区间（2
π，π）上为增函数.
8.（2002上海，15）函数y =x +sin|x |，x ∈［－π，π］的大致图象是（ ）
8.答案：C
解析：由奇偶性定义可知函数y =x +sin|x |，x ∈［－π，π］为非奇非偶函数
.
选项A 、D 为奇函数，B 为偶函数，C 为非奇非偶函数.
9.（2001春季北京、安徽，8）若A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P （cos B －sin A ，sin B －cos A ）在（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限 9.答案：B
解析：∵A 、B 是锐角三角形的两个内角，∴A ＋B ＞90°， ∴B ＞90°－A ，∴cos B ＜sin A ，sin B ＞cos A ，故选B.
10.（2001全国文，1）tan300°+cot405°的值是（ ） A.1＋
3
B.1－
3
C.－1－
3
D.－1＋
3
10.答案：B
解析：tan300°＋cot405°＝tan(360°－60°)＋cot(360°＋45°)＝－tan60°＋cot45°＝1－
3.
11.（2000全国，4）已知sin α＞sin β，那么下列命题成立的是（ ） A.若α、β是第一象限角，则cos α＞cos β B.若α、β是第二象限角，则tan α＞tan β C.若α、β是第三象限角，则cos α＞cos β D.若α、β是第四象限角，则tan α＞tan β 11.答案：D
解析：因为在第一、三象限内正弦函数与余弦函数的增减性相反，所以可排除A 、C ，在第二象限内正弦函数与正切函数的增减性也相反，所以排除B.只有在第四象限内，正弦函数与正切函数的增减性相同.
12.（2000全国，5）函数y ＝－x cos x 的部分图象是（ ）
12.答案：D
解析：因为函数y ＝－x cos x 是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除A 、C ，当 x ∈（0，2
π）时，y ＝－x cos x ＜0.
13.（1999全国，4）函数f （x ）=M sin （ωx ＋?）（ω＞0），在区间［a ，b ］上是增函数，且f （a ）=－M ，f （b ）=M ，则函数g （x ）=M cos （ωx ＋?）在［a ，b ］上（ ）
A.是增函数
B.是减函数
C.可以取得最大值－
D.可以取得最小值－m
13.答案：C
解法一：由已知得M ＞0，－
2
π
＋2k π≤ωx ＋?≤
2
π
＋2k π（k ∈Z ），故有g （x ）在
［a ，b ］上不是增函数，也不是减函数，且当ωx ＋?＝2k π时g （x ）可取到最大值M ，答
案为C.
解法二：由题意知，可令ω＝1，?＝0，区间［a ，b ］为［－
2
π
，
2
π］，M ＝1，则
g （x ）为cos x ，由基本余弦函数的性质得答案为C.
评述：本题主要考查函数y =A sin （ωx ＋?）的性质，兼考分析思维能力.要求对基本函数的性质能熟练运用（正用逆用）；解法二取特殊值可降低难度，简化命题.
14.（1999全国，11）若sin α＞tan α＞cot α（－
2
π
＜α＜
2
π
)，则α∈（ ）
A.（－
2
π，－
4
π）
B.（－
4
π，0）
C.（0，
4
π）
D.（
4
π，
2
π）
14.答案：B 解法一：取α＝±
3
π，±
6
π代入求出sin α、tan α、cot α之值，易知α＝－
6
π适合，
又只有－
6
π∈（－
4
π，0），故答案为B.
解法二：先由sin α＞tan α得：α
∈（－
2
π
，0），再由tan α＞cot α得:α
∈（－
4
π
，0）
评述：本题主要考查基本的三角函数的性质及相互关系，1995年、1997年曾出现此类
题型，运用特殊值法求解较好.
15.（1999全国文、理，5）若f （x ）sin x 是周期为π的奇函数，则f （x ）可以是（ ） A.sin x B.cos x C.sin2x D.cos2x 15.答案：B
解析：取f （x ）=cos x ，则f （x ）·sin x =
2
1
sin2x 为奇函数，且T =π. 评述：本题主要考查三角函数的奇偶与倍角公式.
16.（1998全国，6）已知点P （sin α－cos α，tan α）在第一象限，则在［0，2π］内α的取值范围是（ ）
A.（
2π，
43π）∪（π，4
5π） B.（
4
π，
2
π）∪（π，
4
5π） C.（
2π，
43π）∪（45π，2
3π） D.（
4
π，
2
π）∪（
4
3π
，π） 16.答案：B
解法一：P （sin α－cos α，tan α）在第一象限，有tan α＞0， A 、C 、D 中都存在使tan α＜0的α，故答案为B.
解法二：取α
＝3π
∈（2,4ππ），验证知P 在第一象限，排除A 、C ，取α
＝65π
∈（4
3π，
π），则P 点不在第一象限，排除D,选B.
解法三：画出单位圆如图4—10使sin α－cos α＞0是图中阴影部分，又tan α＞0可得
2
4
π
απ
<
<或π＜α＜
4
5π
，故选B. 评述：本题主要考查三角函数基础知识的灵活运用，突出考查了转化思想和转化方法的选择，采用排除法不失为一个好办法.
17.（1997全国，3）函数y =tan （
3
1
21-x π）在一个周期内的图象是（ ）
17.答案：A 解析：y ＝tan （
3121-x π）＝tan 2
1
（x －32π），显然函数周期为T ＝2π，且x ＝32π时，y =0，故选A.
评述：本题主要考查正切函数性质及图象变换，抓住周期和特值点是快速解题的关键.
18.（1996全国）若sin 2x >cos 2x ，则x 的取值范围是（ ）
A.{x |2k π－
43π π ，k ∈Z } B.{x |2k π+ 4π 4 5 π，k ∈Z } C.{x |k π－4 π 4 π，k ∈Z } D.{x |k π+ 4 π 4 3 π，k ∈Z } 18.答案：D 解析一：由已知可得cos2x =cos 2x －sin 2x <0，所以2k π+ 2 π<2x <2k π+ 2 3 π，k ∈Z .解得k π+ 4 π 4 3 π，k ∈Z （注：此题也可用降幂公式转化为cos2x <0）. 解析二：由sin 2x >cos 2x 得sin 2x >1－sin 2x ，sin 2x > 2 1 .因此有sin x >22或sin x <－22.由正 弦函数的图象（或单位圆）得2k π+ 4 π 43π或2k π+45π 7 π（k ∈Z ），2k π+ 45π 3π ，2k 为偶数，2k +1为奇数，不等式的解可以写作n π+ 4 π 4 3π ，n ∈Z . 评述：本题考查三角函数的图象和基本性质，应注意三角公式的逆向使用. 19.（1995全国文，7）使sin x ≤cos x 成立的x 的一个变化区间是（ ） A.［－ 43π，4 π ］ B.［－ 2 π ， 2 π］ C.［－ 4 π， 4 3π ］ D.［0，π］ 19.答案：Ass 解法一：由已知得： 2 sin （x － 4 π）≤0，所以2k π＋π≤x － 4 π≤2k π＋2π，2k π＋4 5π ≤x ≤2k π＋49π，令k =－1得－43π≤x ≤4π，选A. 解法二：取x ＝ 32π，有sin 2 1 32cos ,2332-==ππ，排除C 、D ，取x ＝3π，有sin 3π＝ 2 1 3cos ,23=π，排除B ，故选A. 解法三：设y ＝sin x ，y ＝cos x .在同一坐标系中作出两函数图象如图4—11，观察知答案为A. 解法四：画出单位圆，如图4—12，若sin x ≤cos x ，显然应是图中阴影部分，故应选A. 评述：本题主要考查正弦函数、余弦函数的性质和图象，属基本求范围题，入手容易，方法较灵活，排除、数形结合皆可运用. 20.（1995全国，3）函数y ＝4sin （3x ＋ 4 π）＋3cos （3x ＋ 4 π）的最小正周期是（ ） A.6π B.2π C. 3 2π D. 3 π 20.答案：C 解析：y ＝4sin （3x ＋ 4 π）＋3cos （3x ＋ 4 π）＝5［ 54sin （3x ＋4π）＋53cos （3x ＋4 π）］＝5sin （3x ＋ 4 π ＋?）（其中tan ?＝ 4 3 ） 所以函数y ＝sin （3x ＋4 π）＋3cos （3x ＋ 4 π）的最小正周期是T ＝ 3 2π. 故应选C. 评述：本题考查了a sin α＋b cos α＝ 22b a +sin （α＋?），其中sin ?＝ 2 2 b a b +， cos ?＝ 2 2 b a a +，及正弦函数的周期性. 21.（1995全国，9）已知θ是第三象限角，若sin 4θ＋cos 4θ＝ 9 5 ，那么sin2θ等于（ ） A. 3 2 2 B.－ 3 2 2 C. 32 D.－ 3 2 21.答案： A 解法一：将原式配方得（sin 2θ＋cos 2θ）2－2sin 2θcos 2θ＝ 9 5 于是1－ 21sin 22θ＝95，sin 22θ＝9 8 ，由已知，θ在第三象限， 故2k π＋π＜θ＜2k π＋ 2 3π 从而4k π＋2π＜2θ＜4k π＋3π 故2θ在第一、二象限，所以sin2θ＝ 3 2 2，故应选A. 解法二：由2k π＋π＜θ＜2k π＋ 2 3π ，有4k π＋2π＜4k π＋3π（k ∈Z ），知sin2θ＞0，应排除B 、D ，验证A 、C ，由sin2θ＝ 3 2 2，得2sin 2θcos 2θ＝94，并与sin 4θ＋cos 4 θ＝ 9 5 相加得（sin 2θ＋cos 2θ）2＝1成立，故选A. 评述：本题考查了学生应用正余弦的平方关系配方的能力及正弦函数值在各象限的符号的判别. 22.（1994全国文，14）如果函数y =sin2x +a cos2x 的图象关于直线x =－8 π对称，那么a 等于（ ） A. 2 B.－ 2 C.1 D.－1 22.答案：D 解析：函数y =sin2x +a cos2x 的图象关于直线x =－ 8 π对称，表明：当x =－ 8 π时，函数取 得最大值 12+a ，或取得最小值－12+a ,所以有［sin （－ 4 π）+a ·cos （－ 4 π ）］2=a 2+1， 解得a =－1. 评述：本题主要考查函数y =a sin x +b cos x 的图象的对称性及其最值公式. 23.（1994全国，4）设θ是第二象限角，则必有（ ） A.tan 2θ>cot 2 θ B.tan 2θ θ C.sin 2θ>cos 2 θ D.sin 2θ－cos 2θ 23.答案：A 解法一：因为θ为第二象限角，则2k π＋ 2 π＜θ＜2k π＋π（k ∈Z ），即 2 θ 为第一象限角或第三象限角，从单位圆看是靠近轴的部分如图4—13，所以tan 2θ＞cot 2 θ. 解法二：由已知得：2k π＋ 2 π ＜θ＜2k π＋π，k π＋ 4 π＜ 2 θ＜ k π＋ 2 π，k 为奇数时，2n π＋ 45π＜2 θ ＜2n π＋23π（n ∈Z ）； k 为偶数时，2n π＋ 4 π ＜ 2θ ＜2n π＋ 2π（n ∈Z ），都有tan 2 θ ＞cot 2 θ ，选A. 评述：本题主要考查象限角的概念和三角函数概念，高于课本. 24.（2002上海春，9）若f （x ）=2sin ωx （0＜ω＜1)在区间［0， 3 π ］上的最大值是 2， 则ω＝ . 24.答案： 4 3 解析：∵0＜ω＜1 ∴T ＝ ω π 2＞2π ∴f （x ）在［0， 3 π］区间上为单调递增函数 ∴f （x ）max ＝f （ 3 π）即2sin 23 =ωπ 又∵0＜ω＜1 ∴解得ω＝4 3 25.（2002北京文，13）sin 52π，cos 56π，tan 5 7 π从小到大的顺序是 . 25.答案：cos 56 π＜sin 52π＜tan 5 7π 解析：cos 56π＜0，tan 57π＝tan 5 2π ∵0＜x ＜2π时，tan x ＞x ＞sin x ＞ ∴tan 52π＞sin 52π＞0 ∴tan 57π＞sin 5 2π ＞cos 56π 26.（1997全国，18） ? ?-?? ?+?8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin 的值为_____. 26.答案：2－3 解析： ? ?? ?=??-?-???+?-?=??-???+?8cos 15cos 8cos 15sin 8sin 15sin )815cos(8sin 15cos )815sin(8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin 3230sin 30cos 115tan -=? ? -= ?=. 评述：本题重点考查两角差的三角公式、积化和差公式、半角公式等多个知识点. 27.（1996全国，18）tan20°+tan40°+3tan20°·tan40°的值是_____. 27.答案： 3 解析：tan60°= ??-? +?40tan 20tan 140tan 20tan ，∴tan20°+tan40°=3－3tan20°tan40°， ∴tan20°+tan40°+ 3tan20°tan40°=3. 28.（1995全国理，18）函数y ＝sin （x － 6 π ）cos x 的最小值是 . 28.答案：－ 4 3 解析：y ＝sin （x － 6 π ）cos x ＝21［sin （2x －6π）－sin 6π］＝21［sin （2x －6π）－2 1 ］ 当sin （2x － 6 π ）＝－1时，函数有最小值，y 最小＝ 21（－1－21）＝－4 3 . 评述：本题考查了积化和差公式和正弦函数有界性（或值域）. 29.（1995上海，17）函数y ＝sin 2x ＋cos 2 x 在（－2π，2π）内的递增区间是 . 29.答案：［2 ,23π π- ］ 解析：y ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin （42π+x ），当2k π－2π≤2x ＋4π≤2k π＋2 π （k ∈Z ）时，函数递增，此时4k π－23π≤x ≤4k π＋2π （k ∈Z ），只有k ＝0时，［－23π，2 π］（－2π，2π）. 30.（1994全国，18）已知sin θ＋cos θ＝ 5 1 ，θ∈（0，π），则cot θ的值是 . 30.答案：－ 4 3 解法一：设法求出sin θ和cos θ，cot θ便可求了，为此先求出sin θ－cos θ的值. 将已知等式两边平方得1＋2sin θcos θ＝ 25 1 变形得1－2sin θcos θ＝2－25 1 ， 即（sin θ－cos θ）2＝ 25 49 又sin θ＋cos θ＝ 5 1 ，θ∈（0，π） 则 2 π＜θ＜ 4 3π ，如图4—14 所以sin θ－cos θ＝ 5 7 ，于是 sin θ＝ 54，cos θ＝－53，cot θ＝－4 3 . 解法二：将已知等式平方变形得sin θ·cos θ＝－ 25 12 ，又θ∈（0，π），有cos θ＜0＜sin θ，且cos θ、sin θ是二次方程x 2－ 51x －2512＝0的两个根，故有cos θ＝－5 3， sin θ＝ 54，得cot θ＝－4 3. 评述：本题通过考查三角函数的求值考查思维能力和运算能力，方法较灵活. 31.（2000全国理，17）已知函数y ＝ 2 1cos 2 x ＋23sin x cos x ＋1，x ∈R . （1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合； （2）该函数的图象可由y ＝sin x （x ∈R ）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到? 31.解：（1）y ＝ 2 1cos 2 x ＋23sin x cos x ＋1 ＝ 41（2cos 2x －1）＋41 ＋43（2sin x cos x ）＋1 ＝ 41 cos2x ＋4 3sin2x ＋45 ＝ 21（cos2x ·sin 6π＋sin2x ·cos 6π）＋45 ＝ 21sin （2x ＋6π）＋4 5 y 取得最大值必须且只需2x ＋ 6 π ＝ 2 π＋2k π，k ∈Z ， 即x ＝ 6 π＋k π，k ∈Z . 所以当函数y 取得最大值时，自变量x 的集合为｛x |x ＝6 π＋k π，k ∈Z ｝. （2）将函数y ＝sin x 依次进行如下变换： ①把函数y ＝sin x 的图象向左平移 6 π，得到函数y ＝sin （x ＋ 6 π）的图象； ②把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的 2 1 倍（纵坐标不变），得到函数 y ＝sin （2x ＋ 6 π）的图象； ③把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的 2 1 倍（横坐标不变），得到函数 y ＝ 2 1 sin （2x ＋6π）的图象； ④把得到的图象向上平移 45个单位长度，得到函数y ＝21sin （2x ＋6π）＋4 5 的图象； 综上得到函数y ＝ 2 1cos 2 x ＋23sin x cos x ＋1的图象. 评述：本题主要考查三角函数的图象和性质，考查利用三角公式进行恒等变形的技能以 及运算能力. 32.（2000全国文，17）已知函数y ＝ 3sin x ＋cos x ，x ∈R . （1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合； （2）该函数的图象可由y ＝sin x （x ∈R ）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到? 32.解：（1）y ＝ 3sin x ＋cos x ＝2（sin x cos 6 π ＋cos x sin 6 π）＝2sin （x ＋ 6 π），x ∈R y 取得最大值必须且只需x ＋ 6 π ＝ 2 π＋2k π，k ∈Z ， 即x ＝ 3 π＋2k π，k ∈Z . 所以，当函数y 取得最大值时，自变量x 的集合为｛x |x ＝ 3 π ＋2k π，k ∈Z ｝ （2）变换的步骤是： ①把函数y ＝sin x 的图象向左平移 6 π，得到函数y ＝sin （x ＋ 6 π）的图象； ②令所得到的图象上各点横坐标不变，把纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数 y ＝2sin （x ＋ 6 π）的图象； 经过这样的变换就得到函数y ＝ 3sin x ＋cos x 的图象. 评述：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力. 33.（1995全国理，22）求sin 220°＋cos 250°＋sin20°cos50°的值. 33.解：原式＝ 21（1－cos40°）＋21（1＋cos100°）＋2 1 （sin70°－sin30°） ＝1＋ 21（cos100°－cos40°）＋2 1 sin70°－41 ＝ 43－sin70°sin30°＋21 sin70° ＝ 43－21sin70°＋2 1 sin70°＝43. 评述：本题考查三角恒等式和运算能力. 34.（1994上海，21）已知sin α＝53，α∈（2π，π），tan （π－β）＝2 1 ， 求tan （α－2β）的值. 34.解：由题设sin α＝ 53 ，α∈（2 π，π）， 可知cos α＝－ 54 ，tan α＝－4 3 又因tan （π－β）＝ 21，tan β＝－2 1 ，所以tan2β＝34tan 1tan 22 -=-ββ tan （α－2β）＝24 7 1134 432tan tan 12tan tan =++ -=+-βαβα 35.（1994全国理，22）已知函数f （x ）=tan x ，x ∈（0， 2 π ），若x 1、x 2∈（0， 2 π ），且x 1 ≠x 2，证明 2 1 ［f （x 1）＋f （x 2）］＞f （221x x +）. 35.证明：tan x 1＋tan x 2＝2 12 1212211cos cos sin cos cos sin cos sin cos sin x x x x x x x x x x += + 2121cos cos )sin(x x x x += ) cos()cos() sin(2212121x x x x x x -+++= 求三角函数的值域(或最值)的方法 三角函数y＝sinx及y＝cosx是有界函数，即当自变量x在R内取一定的值时，因变量y有最大值y max＝1和最小值y min＝－1，这是三角函数y＝sinx及y＝cosx的基本性质之一，利用三角函数的这一基本性质，我们可以使一些比较复杂的三角函数求最值的问题得以简化．虽然这部分内容在教材中出现不多，但是，在我们的日常练习和历年高考试题中却频频出现，学生也往往对这样的问题颇感棘手．笔者根据日常的教学积累，对三角函数求值域或最值的方法，加以归纳总结如下． 1 配方分析法 如果所给的函数是同名不同次或可化为同名不同次及其他能够进行配方的形式，可采用此方法． 例1求函数y＝2cos2x＋5sinx－4的值域． 解原函数可化为 当sinx＝1时，y max＝1； 当sinx＝－1时，y min＝－9， ∴原函数的值域是y∈[－9，1]． 注：此种方法在求三角函数的值域或最值问题中较为常见．但在最后讨论值域时，往往容易忽略自变量(例1中以sinx为自变量)的取值范围而出现错误应该引起注意． “cosx”，再求已知函数的最值 例2求下列函数的最值，并求出相应的x值． y＝asinx＋bcosx或可转化为此种形式的函数，其最大值和最小值分别为y max＝ 3 求反函数法 如果函数的表达式中仅含有某一个三角函数名，我们可考虑此种方法，用因变量y表示出该函数，再利用该函数的值域求对应的原函数的值域． ∴原函数的值域是 4 应用函数的有界性 上面的求反函数法实际上就是在应用函数的有界性求最值，在此只不过是为了更加突出一下． 解由原式可得 (3y－1)sinx＋(2y－2)cosx＝3－y， 则上式即为 利用函数的有界性有 ∴原函数的值域是 高考三角函数专题(含 答案) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 高考专题复习 三角函数专题 模块一 ——选择题 一、选择题：(将正确答案的代号填在题后的括号．) 1．(2010·天津)下图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R)在区间??? ?－π6，5π6上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y ＝sin x (x ∈R)的图象上所有的点( ) A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1 2，纵坐标不变 B ．向左平移π 3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1 2，纵坐标不变 D ．向左平移π 6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 解析：观察图象可知，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)中A ＝1，2πω＝π，故ω＝2，ω×????－π6＋φ＝0，得φ＝π3， 所以函数y ＝sin ????2x ＋π3，故只要把y ＝sin x 的图象向左平移π3个单位，再把各点的横坐标缩短到原来的12即可． 答案：A 2．(2010·全国Ⅱ)为了得到函数y ＝sin ????2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin ??? ?2x ＋π 6的图象( ) A ．向左平移π4个长度单位 B ．向右平移π 4个长度单位 C ．向左平移π2个长度单位 D ．向右平移π 2 个长度单位 解析：由y ＝sin ????2x ＋π6――→x →x ＋φy ＝sin ????2(x ＋φ)＋π6＝sin ????2x －π3，即2x ＋2φ＋π6＝2x －π 3，解得φ＝－ π4，即向右平移π 4 个长度单位．故选B. 答案：B 3．(2010·)已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)??? ?ω>0，|φ|<π 2的部分图象如图所示，则( ) A ．ω＝1，φ＝π 6 B ．ω＝1，φ＝－π6 C ．ω＝2，φ＝π6 D ．ω＝2，φ＝－π 6 解析：依题意得T ＝2πω＝4? ?? ?? 7π12－π3＝π，ω＝2，sin ????2×π3＋φ＝1.又|φ|<π2，所以2π3＋φ＝π2，φ＝－π6，选D. 答案：D 4．已知函数y ＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0)在区间[0,2π]上的图象如图所示，那么ω＝( ) A ．1 B ．2 C.12 D.13 解析：由函数的图象可知该函数的期为π，所以2π ω＝π，解得ω＝2. 答案：B 5．已知函数y ＝sin ????x －π12cos ??? ?x －π 12，则下列判断正确的是( ) 三角函数最值问题类型归纳 三角函数的最值问题是三角函数基础知识的综合应用，近几年的高考题中经常出现。其出现的形式，或者是在小题中单纯地考察三角函数的值域问题；或者是隐含在解答题中，作为解决解答题所用的知识点之一；或者在解决某一问题时，应用三角函数有界性会使问题更易于解决（比如参数方程）。题目给出的三角关系式往往比较复杂，进行化简后，再进行归纳，主要有以下几种类型。掌握这几种类型后，几乎所有的三角函数最值问题都可以解决。 1．y=asinx+bcosx型的函数 特点是含有正余弦函数，并且是一次式。解决此类问题的指导思想是把正、余弦函数转化为 只有一种三角函数。应用课本中现成的公式即可：y=sin(x+φ)，其中tanφ=。 例1．当-≤x≤时，函数f(x)=sinx+cosx的（ D ） A、最大值是1，最小值是-1 B、最大值是1，最小值是- C、最大值是2，最小值是-2 D、最大值是2，最小值是-1 分析：解析式可化为f(x)=2sin(x+)，再根据x的范围来解即可。 2．y=asin2x+bsinxcosx+cos2x型的函数 特点是含有sinx, cosx的二次式，处理方式是降幂，再化为型1的形式来解。 例2．求y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值，并求出y取最小值时的x的集合。 解：y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x =(sin2x+cos2x)+sin2x+2cos2x =1+sin2x+1+cos2x =2+sin(2x+) 当sin(2x+)=-1时，y取最小值2-，此时x的集合{x|x=kπ-π, k∈Z}。 3．y=asin2x+bcosx+c型的函数 特点是含有sinx, cosx，并且其中一个是二次，处理方式是应用sin2x+cos2x=1,使函数式只含有一种三角函数，再应用换元法，转化成二次函数来求解。 例3．求函数y=cos2x-2asinx-a（a为常数）的最大值M。 三角函数高考题及练习题(含答案) ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 三角函数高考题及练习题（含答案） 1. 掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质；会用“五点法”作出正弦函数及余弦函数的图象；掌握函数y ＝Asin (ωx ＋φ)的图象及性质． 2. 高考试题中，三角函数题相对比较传统，位置靠前，通常是以简单题形式出现，因此在本讲复习中要注重三角知识的基础性，特别是要熟练掌握三角函数的定义、三角函数图象的识别及其简单的性质(周期、单调性、奇偶、最值、对称、图象平移及变换等)． 3. 三角函数是每年高考的必考内容，多数为基础题，难度属中档偏易．这几年的高考加强了对三角函数定义、图象和性质的考查．在这一讲复习中要重视解三角函数题的一些特殊方法，如函数法、待定系数法、数形结合法等． 1. 函数y ＝2sin 2? ???x －π 4－1是最小正周期为________的________(填“奇”或“偶”) 函数． 答案：π 奇 解析：y ＝－cos ? ???2x －π 2＝－sin2x. 2. 函数f(x)＝lgx －sinx 的零点个数为________． 答案：3 解析：在(0，＋∞)内作出函数y ＝lgx 、y ＝sinx 的图象，即可得到答案． 3. 函数y ＝2sin(3x ＋φ)，? ???|φ|<π 2的一条对称轴为x ＝π12，则φ＝________． 答案：π4 解析：由已知可得3×π12＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π＋π4，k ∈Z .因为|φ|<π 2 ，所 以φ＝π4 . 4. 若f(x)＝2sin ωx (0<ω<1)在区间? ???0，π 3上的最大值是2，则ω＝________． 答案：34 解析：由0≤x ≤π3，得0≤ωx ≤ωπ3<π3，则f(x)在? ???0，π 3上单调递增，且在这个区间 上的最大值是2，所以2sin ωπ3＝2，且0<ωπ3<π3，所以ωπ3＝π4，解得ω＝3 4 . 题型二 三角函数定义及应用问题 例1 设函数f(θ)＝3sin θ＋cos θ，其中角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点P(x ，y)，且0≤θ≤π. (1) 若点P 的坐标是??? ?12，3 2，求f(θ)的值； (2) 若点P(x ，y)为平面区域???? ?x ＋y ≥1， x ≤1， y ≤1 上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求 函数f(θ)的最小值和最大值． 解：(1) 根据三角函数定义得sin θ＝ 32，cos θ＝1 2 ，∴ f (θ)＝2.(本题也可以根据定义及角的范围得角θ＝π 3 ，从而求出 f(θ)＝2)． (2) 在直角坐标系中画出可行域知0≤θ≤π2，又f(θ)＝3sin θ＋cos θ＝2sin ? ???θ＋π 6， ∴ 当θ＝0，f (θ)min ＝1；当θ＝π 3 ，f (θ)max ＝2. (注： 注意条件，使用三角函数的定义， 一般情况下，研究三角函数的周期、最值、 第二章 第7节 三角函数的最值及应用 主备人： 审核人： . 班级 姓名 . 【教学目标】 1掌握求三角函数最值的常用方法：①配方法（主要利用二次函数理论及三角函数的有界性）；②化为一个角的三角函数（主要利用和差角公式及三角函数的有界性）；③数形结合法（常用到直线的斜率关系）；④换元法（将三角问题转化为代数问题）；⑤基本不等式法等 2三角函数的最值都是在给定区间上取得的，因而特别要注意题设中所给出的区间 （1）求三角函数最值时，一般要进行一些代数变换和三角变换，要注意函数有意义的条件及弦函数的有界性 （2）含参数函数的最值问题，要注意参数的作用和影响 【重点难点】 1.重点：三角函数最值的常用方法 2.难点：选择求三角函数最值的方法 【教学过程】 一.知识梳理 三角函数的最值问题 (1) 用三角方法求三角函数的最值常见的函数形式 ① y ＝asinx ＋bcosx ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝b a 2＋b 2 . ② y ＝asin 2x ＋bsinxcosx ＋ccos 2x 可先降次，整理转化为上一种形式． ③ y ＝asinx ＋b csinx ＋d ? ?? ??或y ＝acosx ＋b ccosx ＋d 可转化为只有分母含sinx 或cosx 的函数式或sinx ＝f(y) (cosx ＝f(y))的形式，由正、余弦函数的有界性求解． (2) 用代数方法求三角函数的最值常见的函数形式 ① y ＝asin 2x ＋bcosx ＋c 可转化为cosx 的二次函数式． ② y ＝asinx ＋c bsinx (a 、b 、c>0)，令sinx ＝t ，则转化为求y ＝at ＋c bt (－1≤t ≤1)的最值，一般可用基本不等式或单调性求解． 二.基础自测： 1．函数y =a cos x +b （a 、b 为常数），若－7≤y ≤1，求b sin x +a cos x 的最大值 2．已知函数)(1cos sin 2 3cos 212R x x x x y ∈++= (1)求函数y 的最大值，并求此时x 的值 (2)该函数的图象可由)(sin R x x y ∈=的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？ 三.典型例题 三角函数及解三角形 一、选择题：1．设 是锐角 ,223) 4 tan( ,则cos （） A. 22 B. 32 C. 33 D. 63 2．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看 见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西 75°，则这艘船的速度是每小时 (A ) A ．5海里 B ．53海里 C ．10海里 D ．103海里 3．若函数 )0(sin )(x x f 在区间3 , 0上单调递增，在区间 2 , 3上单调递减，则() A ．3 B ．2 C.32 D. 23 4．已知函数)(),0(cos sin 3) (x f y x x x f 的图象与直线2y 的两个相邻交点的距离等于,则 )(x f 的单调递增区间是 （ ） A. Z k k k ,12 5,12 B. Z k k k ,1211,12 5 C. Z k k k ,6 ,3 D.［Z k k k ,3 2,6 5．圆的半径为 c b a ,,,4为该圆的内接三角形的三边，若 ,216abc 则三角形的面积为（ ） A.2 2 B.8 2 C. 2 D. 22 6．已知5 4cos 且 ,,2 则4 tan 等于(C ) A ．－ 1 7B ．－7 C ． 17 D ．7 7．锐角三角形 ABC 中c b a ,,,分别是三内角C B A ,,的对边设,2A B 则 a b 的取值范围是（ D ） A ．（﹣2，2） B ．（0，2） C ．（ ，2）D ．（，） 8．已知函数y ＝Asin(ωｘ＋φ)＋m(A>0，ω>0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π 3是其图象的一条对称轴，则符合条件的函数解析式是(D ) A ．y ＝4sin 4x ＋ π 6 B ．y ＝2sin 2x ＋π 3 ＋2 C ．y ＝2sin 4x ＋π 3 ＋2 D ．y ＝2sin 4x ＋π 6 ＋2 高一（三角函数）测试题 （本试卷共20道题，总分150 时间120分钟） 一、选择题（本题有10个小题，每小题5分，共50分） 1．下列转化结果错误的是 （ ） A ． 0367'ο 化成弧度是π83rad B. π3 10 -化成度是-600度 C ．ο150-化成弧度是π6 7 rad D. 12π化成度是15度 2．已知α是第二象限角，那么 2 α 是 （ ） A ．第一象限角 B. 第二象限角 C. 第二或第四象限角 D ．第一或第三象限角 3．已知0tan ,0sin ><θθ，则θ2sin 1-化简的结果为 （ ） A ．θcos B. θcos - C ．θcos ± D. 以上都不对 4．函数)2 2cos(π +=x y 的图象的一条对称轴方程是 （ ） A ．2 π - =x B. 4 π - =x C. 8 π= x D. π=x 5．已知)0,2(π - ∈x ，5 3 sin -=x ,则tan2x= ( ) A ．247 B. 247- C. 724 D. 7 24- 6．已知31)4tan(,21)tan(-=-=+παβα，则)4 tan(π β+的值为 （ ） A ．2 B. 1 C. 2 2 D. 2 7．函数x x x x x f sin cos sin cos )(-+= 的最小正周期为 （ ） A ．1 B. 2π C. π2 D. π 8．函数)3 2cos(π --=x y 的单调递增区间是 （ ） A ．)(322,342Z k k k ∈??????+- ππππ B. )(324,344Z k k k ∈?????? +-ππππ C ．)(382,322Z k k k ∈????? ? ++ ππππ D. )(384,324Z k k k ∈????? ? ++ππππ 《三角函数》大题总结 1.【2015高考新课标2，理17】ABC ?中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠， ABD ?面积是ADC ?面积的 2倍． (Ⅰ) 求 sin sin B C ∠∠； (Ⅱ)若1AD =，DC = BD 和AC 的长． 2.【2015江苏高考，15】在ABC ?中，已知 60,3,2===A AC AB . （1）求BC 的长； （2）求C 2sin 的值. 3.【2015高考福建，理19】已知函数f()x 的图像是由函数()cos g x x =的图像经如下变换得到：先将()g x 图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移2 p 个单位长度. (Ⅰ)求函数f()x 的解析式，并求其图像的对称轴方程； (Ⅱ)已知关于x 的方程f()g()x x m +=在[0,2)p 内有两个不同的解,a b ． （1)求实数m 的取值范围； （2)证明：2 2cos ) 1.5 m a b -=-( 4.【2015高考浙江，理16】在ABC ?中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知4 A π =，22b a -=12 2c . （1）求tan C 的值； （2）若ABC ?的面积为7，求b 的值. 5.【2015高考山东，理16】设()2sin cos cos 4f x x x x π??=-+ ?? ? . （Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）在锐角ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12 A f a ?? == ??? ,求ABC ?面积的最大值. 6.【2015高考天津，理15】已知函数()22sin sin 6f x x x π??=-- ?? ? ，R x ∈ (I)求()f x 最小正周期； (II)求()f x 在区间[,]34 p p -上的最大值和最小值. 7.【2015高考安徽，理16】在ABC ?中，3,6,4 A A B A C π ===点D 在BC 边上，AD BD =，求AD 的长. 高一数学必修4第一章三角函数单元测试 班级 姓名 座号 评分 一、选择题：共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（48 分） 1、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ） A ．B=A ∩C B ．B ∪C= C C ．A C D ．A=B=C 2、将分针拨慢5分钟，则分钟转过的弧度数是 （ ） A ．3 π B ．－3π C ．6π D ．－6π 3、已知 sin 2cos 5,tan 3sin 5cos αα ααα-=-+那么的值为 （ ） A ．－2 B ．2 C ．2316 D ．－2316 4、已知角α的余弦线是单位长度的有向线段;那么角α的终边 （ ） A ．在x 轴上 B ．在直线y x =上 C ．在y 轴上 D ．在直线y x =或y x =-上 5、若(cos )cos2f x x =,则(sin15)f ?等于 ( ) A ．3 2- B ．3 2 C ．1 2 D ． 12- 6、要得到)42sin(3π+ =x y 的图象只需将y=3sin2x 的图象 （ ）A ．向左平移 4π个单位 B ．向右平移4π个单位C ．向左平移8π个单位D ．向右平移8 π个单位 7、如图，曲线对应的函数是 （ ） A ．y=|sin x | B ．y=sin|x | C ．y=－sin|x | D ．y=－|sin x | 8、化简1160-?2sin 的结果是 ( ) A ．cos160? B ．cos160-? C ．cos160±? D ．cos160±? 9、A 为三角形ABC 的一个内角,若12sin cos 25 A A +=,则这个三角形的形状为 （ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形 10、函数)32sin(2π +=x y 的图象 （ ） 求三角函数值域及最值的常用方法 （一）一次函数型 或利用：=+ =x b x a y cos sin )sin(22?+?+x b a 化为一个角的同名三角函数形式，利用三角函数的有界性或单调性求解； （2）2sin(3)512 y x π =-- +，x x y cos sin = （3）函数x x y cos 3sin +=在区间[0,]2 π 上的最小值为 1 ． （4）函数tan( )2 y x π =- (4 4 x π π - ≤≤ 且0)x ≠的值域是 (,1][1,)-∞-?+∞ （二）二次函数型 利用二倍角公式，化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法、 换元及图像法求解。 （2）函数)(2cos 2 1 cos )(R x x x x f ∈- =的最大值等于43． （3）.当2 0π < （三）借助直线的斜率的关系，用数形结合求解 型如d x c b x a x f ++= cos sin )(型。此类型最值问题可考虑如下几种解法： ①转化为c x b x a =+cos sin 再利用辅助角公式求其最值； ②利用万能公式求解； ③采用数形结合法（转化为斜率问题）求最值。 例1：求函数sin cos 2 x y x = -的值域。 解法1：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx , sinx )与定点Q(2, 0)所确定的直线的斜率的范围。作出如图得图象，当过Q 点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数sin cos 2 x y x = -得最值，由几何知识，易求得过Q 的两切线得斜率分别为3 3 -、 33。结合图形可知，此函数的值域是33 [,]33 - 。 解法2：将函数sin cos 2x y x =-变形为cos sin 2y x x y -=，∴22s i n ()1y x y φ+= +由2 |2||sin()|11y x y φ+= ≤+22(2)1y y ?≤+，解得：3333 y - ≤≤，故值域是33 [,]33- 解法3：利用万能公式求解：由万能公式2 12sin t t x +=，221cos 1t x t -=+，代入sin cos 2x y x =-得到2 213t y t =--则有2 320yt t y ++=知：当0t =，则0y =，满足条件；当0t ≠，由2 4120y =-≥△，3333 y ?-≤≤，故所求函数的值域是33[,]33-。 解法4：利用重要不等式求解：由万能公式2 12sin t t x +=，221cos 1t x t -=+，代入sin cos 2x y x = -得到2 213t y t =--当0t =时，则0y =，满足条件；当0t ≠时， 22 113(3) y t t t t = =---+，如果t > 0，则2223113233(3)y t t t t ==-≥-=---+， x Q P y O 3 22.设/XABC的内角A B, C所对的边长分别为q, b, c , ^acosB-bcosA =-c . 5 (I )求tan A cot B 的值； (U)求tan(A-B)的最大值. 3解析：(1)在左ABC中，由正弦定理及acosB-bcosA = -c 5 3 3 3 3 可得sin 人cos B-sinB cos A = -siiiC = - sin(A + B) = $ sin 人cos B + - cos A sin B 即siii A cos B = 4 cos A siii B ,则tail A cot 8 = 4： (II)由taiiAcotB = 4得tanA = 4tanB>0 一_ x tan A - tan B 3 tan B 3 “ 3 tan( A 一B) = -------------- = ---------- -- = ----------------- W - 1+tail A tail B l + 4taii_B cot B + 4 tan B 4 当且仅当4tanB = cotB,tmiB = i,taiiA = 2时，等号成立， 2 1 3 故当tail A = 2, tan ^ =—时，tan( A - B)的最大值为—. 5 4 23. ----------------------------------在△ABC 中，cosB = ， cos C =—. 13 5 (I )求sin A的值； 33 (U)设ZVIBC的面积S AABC = —,求BC的长. 解： 512 (I )由cosB = 一一，得sinB = —, 13 13 4 3 由cos C =-,得sin C =-. 55 一33 所以sin A = sin(B + C) = sin B cos C + cos B sill C = —. (5) ................................................................................................................................... 分 33 1 33 (U)由S.ARC = 一得一xABxACxsinA = —, 2 2 2 33 由(I)知sinA =—, 65 故ABxAC = 65, (8) ................................................................................................................................... 分 又AC =竺主=史仙, sinC 13 20 13 故—AB2 =65, AB = — . 13 2 所以此=性叫11 siiiC (I)求刃的值;10分 24.己知函数/(x) = sin2a)x+j3 sin cox sin 尔+习2)(刃＞0)的最小正周期为兀. 《三角函数》单元测试题 一、 选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的，把正确答案的代号填在括号内.） 1、 600sin 的值是（ ） )(A ;21 )(B ;23 )(C ; 23- )(D ;21- 2、下列说法中正确的是( ) A ．第一象限角都是锐角 B ．三角形的内角必是第一、二象限的角 C ．不相等的角终边一定不相同 D ．},90180|{},90360|{Z k k Z k k ∈?+??==∈?±??=ββαα 3、已知cos θ＝cos30°，则θ等于（ ） A. 30° B. k ·360°＋30°(k ∈Z) C. k ·360°±30°(k ∈Z) D. k ·180°＋30°(k ∈Z) 4、若θθθ则角且,02sin ,0cos <>的终边所在象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限（ ） 5、已知21 tan -=α，则α ααα2 2cos sin cos sin 2-的值是( ) A ．3 4- B ．3 C ．34 D ．3- 6．若函数x y 2sin =的图象向左平移4π 个单位得到)(x f y =的图象，则( ) A ．x x f 2cos )(= B ．x x f 2sin )(= C ．x x f 2cos )(-= D ．x x f 2sin )(-= 7、9．若?++?90cos()180sin(αa -=+)α，则)360sin(2)270cos(αα-?+-?的值是( ) A ．32a - B ．23a - C ．32a D ．2 3a 8、圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角弧度数为 （ ） A . 3 π B. 3 2π C. 3 D. 2 9、若x x f 2cos 3)(sin -=，则)(cos x f 等于( ) A ．x 2cos 3- B ．x 2sin 3- C ．x 2cos 3+ D ．x 2sin 3+ 三角函数最值问题—解题9法 三角函数是重要的数学运算工具，三角函数最值问题是三角函数中的基本内容，也是高中数学中经常 涉及的问题。这部分内容是一个难点，它对三角函数的恒等变形能力及综合应用要求较高。解决这一类问 题的基本途径，同求解其他函数最值一样，一方面应充分利用三角函数自身的特殊性（如有界性等），另 一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为求一些我们所熟知的函数（二次函数等）最值问题。下面 就介绍几种常见的求三角函数最值的方法： 一配方法 若函数表达式中只含有正弦函数或余弦函数，切它们次数是2时，一般就需要通过配方或换元将给定 的函数化归为二次函数的最值问题来处理。 例1函数的最小值为（）. A． 2 B . 0 C . D . 6 [分析]本题可通过公式将函数表达式化为，因含有cosx 的二次式，可换元，令cosx=t，则配方，得, 当t=1时,即cosx=1时，,选B. 例2 求函数y=5sinx+cos2x的最值 [分析]：观察三角函数名和角，其中一个为正弦，一个为余弦，角分别是单角和倍角，所以先化简，使三角函数的名和角达到统一。 二引入辅助角法 例3已知函数当函数y取得最大值时，求自变量x的集合。 [分析] 此类问题为的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为型求解。 解： 三利用三角函数的有界性 在三角函数中，正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征——有界性，利用正弦函数与余弦函数的有界性是求解三角函数最值的最基本方法。 例4求函数的值域 [分析] 此为型的三角函数求最值问题，分子、分母的三角函数同名、同角，这类三角函数一般先化为部分分式，再利用三角函数的有界性去解。或者也可先用反解法，再用三角函数的有界性去解。 解法一：原函数变形为，可直接得到：或 解法一：原函数变形为或 例5已知函数，求函数f(x)的最小正周期和最大值。 [分析] 在本题的函数表达式中，既含有正弦函数，又有余弦函数，并且含有它们的二次式，故需设法通过降次化二次为一次式，再化为只含有正弦函数或余弦函数的表达式。 解： f(x)的最小正周期为，最大值为。 四引入参数法（换元法） 对于表达式中同时含有sinx+cosx，与sinxcosx的函数，运用关系式 一般都可采用换元法转化为t的二次函数去求最值，但必须要注意换元后新变量的取值范围。 例6 求函数y=sinx+cosx+sinxcosx的最大值。 [分析]解：令sinx+cosx=t，则 ，其中 三角函数历年高考题汇编 一.选择题1、（2009）函数 22cos 14y x π? ?=-- ?? ?是 A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为 2π的奇函数 D ．最小正周期为2 π 的偶函数 2、（2008）已知函数 2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（ ） A 、最小正周期为π的奇函数 B 、最小正周期为2π 的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2 π 的偶函数 3.（2009浙江文）已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．． 是（ ） 4.(2009山东卷文)将函数 sin 2y x =的图象向左平移 4 π 个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是 A. 22cos y x = B. 2 2sin y x = C.)4 2sin(1π++=x y D. cos 2y x = 5.（2009江西卷文）函数()(13)cos f x x x =的最小正周期为 A ．2π B ． 32π C ．π D ． 2 π 6.（2009全国卷Ⅰ文）如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4( ,0)3 π 中心对称，那么φ的最小值为 A. 6π B.4π C. 3π D. 2π 7.（2008海南、宁夏文科卷）函数 ()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（ ） A. －3，1 B. －2，2 C. －3， 3 2 D. －2， 32 8.（2007海南、宁夏）函数 πsin 23y x ??=- ???在区间ππ2?? -???? ，的简图是（ ） 高三第一轮复习数学---三角函数的最值 一、 教学目标：掌握三角函数最值的常见求法，能运用三角函数最值解决一些实际问题. 二、 教学重点：求三角函数的最值 三、 教学过程： (一) 主要知识： 求三角函数的最值，主要利用正、余弦函数的有界性，一般通过三角变换化为下列基本类型 sinx 化为一次函数y at b 在闭区间t [ 1,1]上的最值求之； a b c ，弓丨入辅助角 (ccs ,sin —— )，化为 .a b . a b )c 求解方法同类型①； 2 c ,设t si nx ，化为二次函数 y at bt c 在t [ 1,1]上的 ④ y a si nxcosx b(si nx cosx) c ，设 t sinx cosx 化为二 次函数 y 岂卫 bt c 在闭区间t [ 、、2,、、2]上的最值求之; 2 at 2 b ⑤y atanx bcotx ，设t tanx 化为y 用 法求值；当ab 0时，还可用平 t 均值定理求最值; -根据正弦函数的有界性，即可分析法求最值，还可“不等式”法或“数形 d 结合” ? (二) 主要方法： (1) 认真观察函数式，分析其结构特征，确定类型。 (2) 根据类型，适当地进行三角恒等变形或转化，这是关键的步骤。 (3) 在有关几何图形的最值中，应侧重于将其化为三角函数问题来解决。 2.特别说明 注意变换前后函数的等价性，正弦、余弦的有界性及函数定义域对最值确定的影响， 含参数 函数的最值，解题要注意参数的作用和影响。 (三) 例题分析： 1、化为一个角的三角函数，再利用有界性求最值。 例1：求函数y sin 2x . 3si nxcosx 1的最值，并求取得最值时的 x 值。 处理: ①y a sin x b ，设t ②y a sin x b cosx y .a 2 b 2 sin (x ③y ?2 a sin x bsin x 解：y f (1 cos2x ) 3 sin2x 1 2 虫i 2 in 2x 2 lcos2x 1 2 2 sin (2x —) 6 ???当 2x 2k ,即 x k 6 2 —(k Z)时，y 取得最大值, 3 1 y max 2 a sin x csin x 最值求之; 【关键字】单位 1.（上海，15）把曲线y cos x +2y －1=0先沿x 轴向右平移 2 个单位，再沿y 轴向下平移1个 单位，得到的曲线方程是（ ） A.（1－y ）sinx+2y －3=0 B.（y －1）sinx+2y －3=0 C.（y+1）sinx+2y+1=0 D.－(y+1)sinx+2y+1=0 2.（北京，3）下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间（，π）上为减函数的是（ ） A.y=cos2x B.y ＝2|sinx| C.y ＝()cosx D.y=－cotx 3.（全国，5）若f （x ）sinx 是周期为π的奇函数，则f （x ）可以是（ ） A.sinx B.cosx C.sin2x D.cos2x 4.（全国，6）已知点P （sinα－cosα，tanα）在第一象限，则在［0，2π］内α的取值范围是（ ） A.（，）∪（π，） B.（，）∪（π，） C.（，）∪（，） D.（，）∪（，π） 5.（全国）若sin2x>cos2x ，则x 的取值范围是（ ） A.{x|2kπ－π 三角函数的最值（专题） 一、 知识要点 1、 配方法求最值 主要是利用三角函数理论及三角函数的有界性，转化为二次函数在闭区间上的最 值问题，如求函数2 s i n s i n 1y x x =++的最值，可转化为求函数[]21,1,1y t t t =++∈-上的最值问题。 2、化为一个角的三角函数（利用辅助角公式），再利用有界性求最值： sin )a x bcox x ?+=+，其中tan ?=a b . 3、sin sin a x b y c x d +=+（或cos cos a x b y c x d +=+）型，解出sin x （或cos x ）利用|sin |1x ≤（或|cos |1x ≤）去解；或用分离常数的方法去解决. 4、 数形结合 形如：sin cos a x b y c x d += +（或cos sin a x b y c x d +=+）型，可化归为sin()()x g y ?+=去处理；或用万能公式换元后用判别式法去处理；当a c =时，还可以利用数形结合的方法去处理. 常用到直线斜率的几何意义，例如求函数sin 2x y cox =+的最大值和最小值。函数sin 2x y cox =+的几何意义为两点(2,0),(cos ,sin )P Q x x -连线的斜率k ， 5、 换元法求最值 对于表达式中同时含有sinx+cosx ，与sinxcosx 的函数，运用关系式(),cos sin 21cos sin 2 x x x x ±=± 一般都可采用换元法转化为t 的二次函数去求最值，但必须要注意换元后新变量的取值范围。 *特别说明 注意变换前后函数的等价性，正弦、余弦的有界性及函数定义域对最值确定的影响，含参数函数的最值，解题要注意参数的作用和影响。 二、题型剖析 1、化为一个角的三角函数，再利用有界性求最值。 例1：求函数2sin cos 1y x x x =+-的最值，并求取得最值时的x 值。 练习：1、已知函数2()cos 2cos 1()f x x x x x R =+-∈。 三角函数单元测试题 一、选择题：（12ⅹ5分=60分） 1.若点P 在角α的终边的反向延长线上，且1=OP ，则点P 的坐标为（ ） A )sin ,cos (αα- B )sin ,(cos αα C )sin ,(cos αα- D );sin ,cos (αα-- 2.已知角α的终边经过点P （-3，-4），则)2 cos(απ +的值为（ ） A.54- B.53 C.54 D.5 3 - 3.已知α、β是第二象限的角，且βαcos cos >，则 （ ） A.βα<; B.βαsin sin >； C.βαtan tan >； D.以上都不对 4.函数)6 2sin(5π +=x y 图象的一条对称轴方程是（ ） )(A ;12 π - =x )(B ;0=x )(C ;6π = x )(D ; 3π = x 5.已知函数sin()y A x B ω?=++的一部分图象如右图所示， 如果0,0,||2 A π ω?>>< ，则（ ） A.4=A B.1ω= C.6 π ?= D.4=B 6.已知函数()2sin()f x x ω?=+对任意x 都有( )(),66 f x f x ππ+=-则()6f π 等于（ ） A. 2或0 B. 2-或2 C. 0 D. 2-或0 7.设()f x 是定义域为R ，最小正周期为32π的函数，若cos ,(0) (),2 sin ,(0) x x f x x x ππ? -≤ 三角函数部分高考题 1.为得到函数πcos 23y x ? ? =+ ??? 的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ A ） A ．向左平移5π12个长度单位 B ．向右平移 5π12个长度单位 C ．向左平移 5π6 个长度单位 D ．向右平移 5π6 个长度单位 2.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则M N 的最大值为（ B ） A ．1 B C D ．2 3.()2 tan cot cos x x x +=( D ) （Ａ）tan x （Ｂ）sin x （Ｃ）cos x （Ｄ）cot x 4.若02,sin απαα≤≤> ，则α的取值范围是：( C ) （Ａ）,32ππ?? ??? （Ｂ）,3ππ?? ??? （Ｃ）4,33ππ?? ??? （Ｄ）3,32ππ?? ??? 5.把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3 π 个单位长度，再把所得图象 上所有点的横坐标缩短到原来的 12 倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是C （A ）sin(2)3 y x π =-，x R ∈ （B ）sin( )26 x y π =+ ，x R ∈ （C ）sin(2)3 y x π =+，x R ∈ （D ）sin(2)3 2y x π=+，x R ∈ 6.设5sin 7a π =，2cos 7b π =，2tan 7 c π =，则D （A ）c b a << （B ）a c b << （C ）a c b << （D ）b a c << 7.将函数sin(2)3 y x π =+ 的图象按向量α平移后所得的图象关于点(,0)12 π - 中心对称，则 向量α的坐标可能为（ C ） A ．(,0)12π- B ．(,0)6 π- C ．( ,0)12 π D ．( ,0)6 π 8.已知cos （α-6 π）+sin α= 的值是则)6 7sin(,35 4πα- （A ）-5 32 （B ） 5 32 (C)-5 4 (D) 5 4求三角函数的值域(或最值)的方法
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