2010年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）
数学Ⅰ试题
命题单位：常州市教育教研室 2010．3
参考公式：
样本数据12x x ,，…，n x 的方差2
2
11()n i i s x x n ==-∑，其中x =1
1n i i x n =∑．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 函数()2sin(3π1)f x x =-(x ∈R)的最小正周期为 ▲ ．2． 若2(1i)1+i a b +=-（a b ∈R ,，i 是虚数单位），则i a b += ▲ ．
3． 某地区在连续7天中，新增某种流感的数据分别为4，2，1，0，0，0，0，则这组数据的方
差2s = ▲ ．
4． 已知两个单位向量1e ,2e 的夹角为120
，若向量122=+a e e ，14=b e ，则?a b = ▲ ． 5． 已知集合π,0,1,2,3,4,5,62n A x x n ??
===????
，若从A 中任取一个元素x ，则恰有cos 0x =的概
率为 ▲ ．
6． 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：2
221x y a
-=（0a >）的一条渐近线与直线l ：
210x y -+=垂直，则实数=a ▲ ．
7． 设,a b 为不重合的两条直线，,αβ为不重合的两个平面，给出下列命题： （1）若a ∥α且b ∥α，则a ∥b ；（2）若a α⊥且b α⊥，则a ∥b ； （3
）若a ∥α且a ∥β，则α∥β；（4）若a α⊥且a β⊥，则α∥β． 上面命题中，所有真命题．．．
的序号是 ▲ ．
8
． 若等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项的和为n S ，则数列{}n S n 为等差数列，公差为2
d
．类似
地，若各项均为正数的等比数列{}n b 的公比为q ，前n 项的积为n T ，则数列为等比数列，公比为 ▲ ．
9． 已知集合{}
20A x x x x =-∈,R ≤，设函数2x f x a -=+()（x A ∈）的值域为B ，若B A ?，
则实数a 的取值范围是 ▲ ． 10．已
知
{}
n a 是等差
数
列
，
设
12||||||n n T a a a =+++ ()n *∈N ．某学生设计了一
个求n T 的部分算法流程图（如图），图中空白处理框中是用n 的表达式对n T 赋值，则空白处理框中应填入：n T ← ▲ ．
11．已知函数2()log f x x =，正实数m ，n 满足m n <，且
()()f m f n =，若()f x 在区间2[,]m n 上的最大值为2，
则n m += ▲ ． 12．若不等式
22
10843
≥k x y xy
+对于任意正实数x ，y 总成立的必要不充分条件是[),k m ∈+∞，则正整数m 只能取 ▲ ．
13．在平面直角坐标系xOy 中，设直线l ：10kx y -+=
与圆C ：224x y +=相交于A 、B 两点，
以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAMB ，若点M 在圆C 上，则实数k = ▲ ． 14．若函数()=f x x t *∈N ）的最大值是正整数M ，则M = ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．
内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)
在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4
cos 5
A =，5b c =． （1）求sin C 的值； （2）求sin(2)A C +的值；
（3）若△ABC 的面积3
sin sin 2S B C =，求a 的值．
（第10题图）
16．(本小题满分14分)
如图，在四棱锥P ABCD -中，AB ∥DC ，2DC AB =，
AP AD =，PB ⊥AC ，BD ⊥AC ，E 为PD 的中点．
求证：（1）AE ∥平面PBC ；
（2）PD ⊥平面ACE ．
17．（本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221
x y a b
+=（0a b >>）的左焦点为F ，右顶点为A ，动点M 为右准线上一点（异于右准线与x 轴的交点），设线段FM 交椭圆C 于点P ，已知椭圆C 的离心率为2
3
，点M 的横坐标为
92
． （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）设直线P A 的斜率为1k ，直线MA 的斜率为2k ，求12k k ?的取值范围．
18．(本小题满分16分)
如图，ABCD 是正方形空地，边长为30m ，电源在点P 处，点P 到边AD ，AB 距离分别为9m ，
3m ．某广告公司计划在此空地上竖一块长方形液晶广告屏幕MNEF ，:16:9MN NE =．线
段MN 必须过点P ，端点M ，N 分别在边AD ，AB 上，设AN =x （m ），液晶广告屏幕MNEF 的面积为S (m 2)．
(1) 用x 的代数式表示AM ；
（2
）求S 关于x 的函数关系式及该函数的定义域； （3）当x 取何值时，液晶广告屏幕MNEF 的面积S 最小？
（第17题图）
D
C
B
A E P （第16题图）
N
B
A
（第18题图）
19．(本小题满分16分)
已知等比数列{}n a 的公比为q ，首项为1a ，其前n 项的和为n S ．数列2
{}n a 的前n 项的
和为n A ， 数列1{(1)}n n a +-的前n 项的和为n B ． （1）若25A =，21B =-，求{}n a 的通项公式； （2）①当n 为奇数时，比较n n B S 与n A 的大小；
②当n 为偶数时，若1q ≠，问是否存在常数λ（与n 无关），使得等式()0
n n n B S A λ-+=恒成立，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．
20．(本小题满分16分)
已知函数2()ln f x x mx n x =++（0x >，实数m ，n 为常数）．
（1）若230n m +=（0m >），且函数()f x 在[1,)x ∈+∞上的最小值为0，求m 的值； （2）若对于任意的实数[1,2]a ∈，1b a -=，函数()f x 在区间(,)a b 上总是减函数，对每个给
定的n ，求m 的最大值h (n )．
2010年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）
数学Ⅱ（附加题）
命题单位：常州市教育教研室 2010．3
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷只有解答题，供理工方向考生使用．本试卷第21题有4个小题供选做，每位考生在4
个选做题中选答2题，3题或4题均答的按选做题中的前2题计分．第22、23题为必答题．每小题10分，共40分．考试用时30分钟．
2．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5
毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．本卷考试结束后，上交答题卡． 4．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
5．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．
21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题．．卡指定区域．．．．．
内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲
如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E ，F 分别在边AB ，CD 上，设ED 与AF 相交于点G ，若B ，C ，F ，E 四点共
圆，求证：AG GF DG GE ?=?．
B ．选修4—2：矩阵与变换 已知矩阵A =3101??
??
-??
，求A 的特征值1λ，2λ及对应的特征向量12,αα．
G
F
E
D
C
B A （第21—A 题图）
C ．选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线C 的方程22332y x x =-，设y tx =，t 为参数，求曲线C 的参数方程．
D ．选修4—5：不等式选讲
设实数,,x y z 满足26x y z ++=，求222x y z ++的最小值，并求此时,,x y z 的值．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．
内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22． (本小题满分10分)
如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90o
BAC ∠=，AB =AC =a ，
1AA b =，点E ，F 分别在棱1BB ，1CC 上，且11
3BE BB =，
1113C F CC =．设b a
λ=．
（1）当λ=3时，求异面直线AE 与1A F 所成角的大小； （2）当平面AEF ⊥平面1A EF 时，求λ的值．
23．(本小题满分10分)
一个袋中装有黑球，白球和红球共n (*n ∈N )个，这些球除颜色外完全相同．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是
2
5
．现从袋中任意摸出2个球． （1）若n =15，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是4
7
，设ξ表示摸出的2个球中红
球的个数,求随机变量ξ的概率分布及数学期望ξE ；
（2）当n 取何值时，摸出的2个球中至少有1个黑球的概率最大，最大概率为多少?
F
E
C 1
B 1
A 1
C
B
A
（第22题图）
2010年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）
数学Ⅰ试题参考答案
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1．2
3 2
3. 2
4. 0 5．37 6．2 7．（2）（4） 8 9．[102
-,]
10． 2
940n n -+ 11．52
12. 1或2 13. 0 14. 7
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15
．解：（1） ∵2222cos a b c bc A =+-=224
26105
c c -?=218c ，
∴a =． …………………………………2分
∵4cos 5
A =，0
πA <<， ∴3
sin 5A =．
∵
sin sin a c
A C
=
， ∴sin sin c A C a =
3
c ?
． ……………………………5分 （2）∵c a <，∴C 为锐角， ∴cos C = ∵3424
sin 22sin cos 25525A A A ==??=，
2167
cos22cos 1212525
A A =
-=?
-=
， ………………………
8分 ∴sin(2)A C +=sin
2cos cos 2sin A C A C +
=
2472525=． ………………………10分 （3）∵5b c =， ∴
sin 5sin B b
C c
==，sin 5sin B C =． ∴23153
sin sin sin 2220
B C C ==． ……………12分
又∵S =2
21
3sin 2212
a bc A c ==，
∴23
1220
a =， ∴a =． ……………………14分
16．证明：（1）取PC 中点F ，连结EF ，BF ，
∵E 为PD 中点，
∴EF ∥DC 且EF =1
2DC ．………2分
∵AB ∥DC 且1
2
AB DC =
， ∴EF ∥AB 且EF =AB ．……………4分 ∴四边形ABFE 为平行四边形． ∴AE ∥BF ． …………………6分 ∵AE ?平面PBC ，BF ?平面PBC ， ∴AE ∥平面PBC . ………………8分 （2）∵PB ⊥AC ，BD ⊥AC ，PB BD B = ，
∴AC ⊥平面PBD ． ∵PD ?平面PBD ，
∴AC ⊥PD ． …………………………………………10分 ∵AP AD =，E 为PD 的中点，
∴PD AE ⊥． …………………………………………12分 ∵AE AC A = ，
∴PD ⊥平面ACE . …………………………………………14分
17．解：（1）由已知，得
22
,3
9,2
c a a c ?=????=?? ……………………………………2分
解得3,2.a c =??=? ∴ 229,5.a b ?=??=??
………………………………4分
∴椭圆C 的标准方程为22
195
x y +=．………………………………6分
（2）设点11(,)P x y （123x -<<），点M 29
(,)2
y ，
∵点F 、P 、M 三点共线，12x ≠-， ∴
12113
22
y y
x =+，121132(2)y y x =+，
∴点M 1
1139(,
)22(2)
y x +． ……………………………………………8分 F
P E A B
C
D
（第16题图）
∵1113y k x =
-，1
21133(2)
y k x =+， ∴12k k ?=11111333(2)y y x x ?-+=2
111133(2)(3)y x x +-． ……………………10分 ∵点P 在椭圆C 上， ∴2211195x y +=， ∴22115(9)9
y x =--． ∴12k k ?=21115
13()(9)
93(2)(3)
x x x ?--+-=11365272x x +-?+=1651(1)272x -?++．……………12分 ∵123x -<<， ∴1226
9
k k ?<-
． ∴12k k ?的取值范围是26
(,)9
-∞-． ……………………………………14分 18．解：（1）39
x
AM x =
-(1030)x ≤≤． …………………………………2分 （2）22222
2
9(9)x MN AN AM x x =+=+-． …………………………4分
∵:16:9MN NE =， ∴9
16
NE MN =
． ∴22
22
999[]1616(9)x S MN NE MN x x =?==+
-． …………………6分 定义域为[10,30]． ……………………………8分 （3）224918(9)9(218)[2]16(9)x x x x S x x -
--'=+-=33
9[(9)81]
8(9)x
x x --?-，………11分
令0S '=，得0x =（舍）
，9x =+. …………………13分 当109x
<+≤0,S '
30x +<≤时，0,S '>S 关于x 为增函数；
∴当9x =+S 取得最小值． …………………15分 答：当AN 长为9+时，液晶广告屏幕MNEF 的面积S 最小．…16分
19．解: (1) ∵25,A =21B =-,
∴22211115,1,a a q a a q ?+=?-=-? ∴12,1,2
a q =-??
?=??或11,2.a q =??
=? ………………2分
∴21
()2
n n a -=-，或12n n a -=. ……………………………………4分
(2) ∵222
112()n n n n a a q a a ++===常数， 2111
(1)(1)(1)n n n n n n
a a q a a ++++-=-?=--=常数， ∴数列2
{}n a ，1{(1)}n n a +-均为等比数列，首项分别为21a ，1a ，公比分别为2q ，
q -． ………………………………6分
①当n 为奇数时，
当1q =时, 1n S na =，21n A na =，1n B a =, ∴21n n n B S na A ==.
当1q =-时, 1n S a =，21n A na =，1n B na =,
∴21n n n B S na A ==. ……………………………………8分 当1q ≠±时, 设21()n k k *=-∈N ，
21121
(1)1k k a q S q ---=-，222122*********[1()](1)(1)
11k k k k a q a q q A q q ------+==--，
21211121
[1()](1)11k k k a q a q B q q
-----+==++,
∴212121k k k B S A ---=．
综上所述，当n 为奇数时，n n n B S A =. ……………………10分 ②当n 为偶数时， 存在常数1
21a q
λ=+，使得等式()0n n n B S A λ-+=恒成立． ……11分 ∵1q ≠，
∴1(1)1n n a q S q -=-，2212(1)1n n a q A q -=-，1(1)
1n n a q B q -=+．
∴()n n n B S A λ-+=221112(1)(1)(1)
[]111n n n a q a q a q q q q λ----++--
222211122
(1)(1)(1)
111n n n a q a q a q q q q λ---=-+---
21122(1)(1)11n n a q a q q q
λ--=---
=
11
(1)2()11n a q a q q λ---+ ． ………………………………14分 由题设，
11(1)2()011n a q a q q λ--=-+对所有的偶数n 恒成立，又1(1)
01n a q q
-≠-， ∴1
21a q
λ=
+． ………………………………16分 ∴存在常数1
21a q
λ=
+，使得等式()0n n n B S A λ-+=恒成立． 20．解：（1）当230n m +=时，22()3ln f x x mx m x =+-．
则222323(23)()
()2m x mx m x m x m f x x m x x x +-+-'=+-==
． 令()0f x '=，得32
m
x =-（舍），x m =．…………………3分
①当m >1时，
∴当x m =时, 2223ln ()min m x m f m -=．
令2
2
23ln 0m m m -=，得23
m =e ． ……………………………5分 ②当01m <≤时，()f x '≥0在[1,)x ∈+∞上恒成立，
()f x 在[1,)x ∈+∞上为增函数，当1x =时, min ()1f x m =+．
令10m +=，得1m =-（舍）．
综上所述，所求m 为2
3
e m =． ……………………………7分 (2) ∵对于任意的实数[1,2]a ∈，1b a -=，()
f x 在区间(,)a b 上总是减函数，
则对于x ∈(1,3)，22()2n x mx n
f x x m x x
++'=++=＜0，
∴()0≤f x '在区间[1,3]上恒成立． ……………………9分 设g (x )=22x mx n ++，
∵0x >，∴g (x )≤0在区间[1,3]上恒成立． 由g (x )二次项系数为正，得
(1)(3)g g ???≤0,≤0, 即2318m n m n ++??++?≤0,≤0, 亦即23n m n
m -??
???
≤-,
≤-.-6 ………12分 ∵ (2)n --(6)3n ---=224(6)33n n -=--，
∴ 当n ＜6时，m ≤3
n
-
-6， 当n ≥6时，m ≤2n --， ……………………………14分
∴ 当n ＜6时，h (n )= 63
n
--，
当n ≥6时，h (n )= 2n --，
即 6.
6,
6,()3
2,
n n h n n n ?--
2010年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）
数学Ⅱ（附加题） 参考答案
21、【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题．．卡指定区域．．．．．
内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲 证明：连结EF ．
∵B C F E ,,,四点共圆,
∴ABC EFD ∠=∠． ………………………………2分 ∵AD ∥BC ，
∴BAD ABC ∠+∠=180°．
∴BAD EFD ∠+∠=180°． ………………………………6分 ∴A D F E ,,,四点共圆． ………………………………8分 ∵ED 交AF 于点G ，
∴AG GF DG GE ?=?． ………………………………10分 B ．选修4—2：矩阵与变换 解：矩阵A 的特征多项式为
()f λ=
3
1
01
λλ--+=(3)(1)λλ-+ ， ……………………………2分 令()f λ=0，得到矩阵A 的特征值为λ1=3，λ2=1-． ………………4分 当λ1=3时，由3101??
??
-??
x y ??????=3x y ??
????，得333x y x y y
+=??-=?,，∴0y =，取1x =，得到属于特征值3的一个特征向量1α=10??
????
； ……………………………7分
当λ2=1-时，由3101????-??x y ??????=-x y ??
??
??，得3x y x y y
+=-??-=-?,，取1x =，则4y =-，得到属于特征值1-的一个特征向量2α=14??
??-??
． ……………………………10分
C ．选修4—4：坐标系与参数方程 解：将y tx =代入22332y x x =-，
得222332t x x x =-，即32223x t x =-()． ………………………………4分 当 x =0时，y =0；
当0x ≠时， 2
32t x -=． ………………………………………6分
从而3
32
t t y -=． ………………………………………8分
∵原点(0,0)也满足233232
t x t t y ?-=???-?=??,， ∴曲线C 的参数方程为2
33232
t x t t y ?-=???-?=??,（t 为参数）． ……………………………10分 D ．选修4—5：不等式选讲
解:∵2222222()(112)2)36x y z x y z ++++++=≥(, ………………………5分 ∴2226()x y z ++≥，当且仅当2
z
x y ==
时取等号, ………………………8分 ∵26x y z ++=，∴1,1,2x y z ===．
∴222x y z ++的最小值为6,此时1,1,2x y z ===．………………………10分
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．
内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．解：建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -．
（1）设a =1，则AB =AC =1，1AA =3，各点的坐标为(0,0,0)
A ,(1,0,1)E ，1(0,0,3)A ，(0,1,2)F ．
(1,0,1)AE = ，1(0,1,1)A F =-
．…………2分 ∵1AE
A F ==
11AE A F ?=- ，
∴111,1
cos 2AE A F AE A F AE A F
?==-
． ∴向量AE 和1A F
所成的角为120o ，
∴异面直线AE 与1A F 所成角为0
60．…4分
（2）∵(,0,)3
b E a ，2(0,,)3b
F a ，
∴2(,0,),(0,,)33
b b
AE a AF a == ．
设平面AEF 的法向量为1(,,)x y z n ，
则10AE ?= n ，且10AF ?=
n ． 即03bz ax +
=，且203
bz ay +=． 令1z =，则2,33b b
x y a a
=-=-． ∴12(,,1)33b b a a =-
-n =2(,,1)33
λλ
--是平面AEF 的一个法向量． ………6分 同理，22(
,,1)33b b a a =n =2(,,1)33
λλ
是平面1A EF 的一个法向量． ………8分 ∵平面AEF ⊥平面1A EF ，
∴120?=n n ．∴22
221099
λλ--+=．
解得，3
2
λ=．
∴当平面AEF ⊥平面1A EF 时，3
2
λ=． ………………………10分
z A A （第22题图）
23．解：（1）设袋中黑球的个数为x (个)，记“从袋中任意摸出一个球，得到黑球”为事件A ，
则2
()155
x P A =
=． ∴6x =． …………………………………………………1分
设袋中白球的个数为y (个)，记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件B ，则215215
4()17
y C P B C -=-
=
， ∴2291200y y -+=， ∴5y =或24y =(舍)．
∴红球的个数为15654--=(个)． …………………………………3分 ∴随机变量ξ的取值为0，1，2，分布列是
ξ的数学期望1144256
0122110535105
E ξ=
?+?+?=
． …………6分 （2）设袋中有黑球z 个，则2
(5,10,15,5
z n n ==…）．
设“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个黑球”为事件C ，
则23
521661()125251
n n
C P C C
n =-
=
+?-， …………………………………8分 当5n =时，()P C 最大，最大值为
7
10
．…………………………………10分