苏锡常镇高三数学一模
试卷答案精选文档 TTMS system office room 【TTMS16H-TTMS2A-TTMS8Q8-
一、填空题
1、已知集合{}1,2,3,4,5,6,7U =,
{
}
2
650,Z M x x x x =-+∈≤,?M =U . 2、若复数z 满足2i
z i i
++=(i 为虚数单位),则z = .
3、函数1()ln(43)f x x =-的定义域为 .
4、下图是给出的一种算法,则该算法输出的结果是 .
5、某高级中学共有900名学生,现用分层抽样的方法从该校学生中抽取1个容量为45的样本,其中高一年级抽20人,高三年级抽10人.则该校高二年级学生人数为 .
6、已知正四棱锥的底面边长是2,则该正四棱锥的体积为 .
7、从集合{}1,2,3,4中任取两个不同的数,则这两个数的和为3的倍数的概率为 .
8、在平面直角坐标系xOy 中,已知抛物线28y x =的焦点恰好是双曲线
22
213
x y a -=的右 焦点,则双曲线的离心率为 .
9、设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若396,,S S S 成等差数列,且254a a +=,则8a 的
值为 .
10、在平面直角坐标系xOy 中,过点(1,0)M 的直线l 与圆225x y +=交于,A B 两点,其
中A 点在第一象限,且2BM MA =,则直线l 的方程为 . 11、在△ABC 中,已知1,2,60AB AC A ==∠=,若点P 满足
AP AB AC λ=+,且
1BP CP ?=,则实数λ的值为 .
12、已知sin 3sin()6παα=+,则tan()12
π
α+= .
13、若函数2
1
1,12()ln ,1
x
x f x x x x ?-?=????≥,则函数1()8y f x =-的零点个数为 .
14、若正数,x y 满足1522x y -=,则3322x y x y +--的最小值为 .
二、解答题
15、在△ABC 中,,,a b c 分别为角,,A B C 的对边.若cos 3,cos 1a B b A ==,且
6
A B π
-=
.
(1)求边c 的长;(2)求角B 的大小.
16、如图,在斜三棱柱111ABC A B C -中,侧面11AAC C 是菱形,1AC 与1A C 交于点O ,E
是棱AB 上一点,且OE ∥平面11BCC B . (1)求证:E 是AB 中点;
(2)若11AC A B ⊥,求证:1AC BC ⊥.
17、某单位将举办庆典活动,要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC (如图).设计要求彩门的面积为S (单位:2
m ),高为h (单位:m )(,S h 为常数).彩门的下底
BC 固定在广场底面上,上底和两腰由不锈钢支架构成,设腰和下底的夹角为α,不锈钢
支架的长度和记为l .
(1)请将l 表示成关于α的函数()l f α=; (2)问当α为何值l 最小,并求最小值.
18、在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>的焦距为2,离
心率为
2
2
,椭圆的右顶点为A.
(1)求该椭圆的方程;
(2)过点(2,2)
D-作直线PQ交椭圆于两个不同点,P Q,求证:直线,
AP AQ的斜
率之和为定值.
19、已知函数()(1)ln
f x x x ax a
=+-+(a为正实数,且为常数).(1)若函数()
f x在区间(0,)
+∞上单调递增,求实数a的取值范围;(2)若不等式(1)()0
x f x
-≥恒成立,求实数a的取值范围.
20、已知n 为正整数,数列{}n a 满足0n a >,2214(1)0n n n a na ++-=,设数列{}
n b 满足
2
n
n n a b t
=.
(1
)求证:数列为等比数列;
(2)若数列{}n b 是等差数列,求实数t 的值;
(3)若数列{}n b 是等差数列,前n 项和为n S ,对任意的N n *∈,均存在
N m *∈,使得
24211816n m a S a n b -=成立,求满足条件的所有整数1a 的值.
2016—2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研
(一)
数 学 Ⅱ 试 题
1、已知二阶矩阵M 有特征值8λ=及对应的一个特征向量111e ??
=????
,并且矩阵
M 对应的
变换将点(1,2)-变换成(2,4)-. (1)求矩阵M ;
(2)求矩阵M 的另一个特征值.
2、已知圆1O 和圆2O
的极坐标方程分别为22,cos()24π
ρρθ=--=.
(1)把圆1O 和圆2O 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.
3、如图,已知正四棱锥P ABCD -中, 2PA AB ==,点,M N 分别在,PA BD 上,且
1
3
PM BN PA BD ==. (1)求异面直线MN 与PC 所成角的大小; (2)求二面角N PC B --的余弦值. 4、设2
π
θ<,n 为正整数,数列{}n a 的通项公式sin
tan 2
n n n a π
θ=,其前n 项和为n S .
(1)求证:当n 为偶数时,0n a =;当n 为奇数时,12
(1)
tan n n n a θ-=-;
(2)求证:对任何正整数n ,1221
sin 2[1(1)tan ]2
n n n S θθ+=?+-.
2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)
数学参考答案一、填空题.
1.{}
6,7 2
3.()
3
,1 1.
4
??+∞
?
??
4.24
5.300 6.4
3 7.1
3
8.2
9.2 10.1
y x
=- 11.1或
1 4 -
12
.4 13.414.1
二、解答题:本大题共6小题,共计90分.15.解:(1)(法一)在△ABC中,由余弦定理,
cos3
a B=,则
222
3
2
a c b
a
ac
+-
=,得2226
a c
b c
+-=;
①……2分
cos1
b A=,则
222
1
2
b c a
b
bc
+-
=,得2222
b c a c
+-=,
②……4分
①+②得:2
28
c c
=,4
c=. ……7分
(法二)因为在△ABC 中,πA B C ++=,
则sin cos sin cos sin()sin(π)=sin A B B A A B C C +=+=-, ……2分 由sin sin sin a b c A B C ==
得:sin sin a C A c =,sin sin b C
B c
=,代入上式得: ……4分
cos cos 314c a B b A =+=+=. ……7分
(2)由正弦定理得
cos sin cos tan 3cos sin cos tan a B A B A
b A B A B
===, ……10分
又2tan tan 2tan tan()1tan tan 13tan A B B A B A B B --===
++ ……12分
解得tan B =π)(0,B ∈,π
6
B =. ……14分
16.(1)连接1BC ,因为OE ∥平面11BCC B ,
OE ?平面1ABC ,平面11
BCC B 平面11ABC BC =,所以OE ∥1BC . (4)
分
因为侧面11AA C C 是菱形,11
AC AC O =,所以O 是1AC 中点, ……5分 所以
1
1AE AO
EB OC ==,E 是AB 中点. ……7分
(2)因为侧面11AA C C 是菱形,所以1AC 1A C ⊥,
……9分
又11AC A B ⊥,111AC A B A =,11,AC A B ?面1A
BC ,所以1AC ⊥面1A BC ,…12分
因为BC ?平面1A BC ,所以1AC BC ⊥. ……14分
C
B
D
A
(第17题图)
H
1
(第16题
17.解:(1)过D 作DH BC ⊥于点H ,则DCB α∠=(π
02
α<<), DH h =, 设AD x =,
则sin h DC α=
,tan h CH α=,2tan h BC x α=+, ……3分 因为S=12()2
tan h x x h α++
?,则 tan S h
x h α
=-
; ……5分
则21
()2()sin tan S l f DC AD h h ααα==+=+- (π02
α<<); ……7分 (2)2222cos 112cos ()(
)sin sin sin f h h αα
αααα---'=?-=?
, ……8分 令2
12cos ()0
-'=?
=f h α
α,得π
=α. ……9分
所以, min π
()3
S
l f h
=+
. ……12分 答:(1)l 表示成关于α的函数为21()()
sin tan S l f
h h ααα==
+- (π02
α<<); (2)当π
3
α=时,l S h
+. ……14分
18.解:(1)由题1c =,2
c
e a
==
所以a ,1b =. ……2分 所以椭圆C 的方程为2
2 1.2x y +=
……4分
(2)当直线PQ 的斜率不存在时,不合题意; ……5分 当直线PQ 的斜率存在时,设直线PQ 的方程为
(y k x +=,……6分
……11分
代入2222x y +=,
得2222(12))4820k x k k x k k +-++++=,
……8分
设11(,)P x y ,22(,)Q x y ,则:
4(81)0k ?=-+>,1
8
k <-
,1,2x =
……9分
所以2122)
12k k x x k ++=+,2122
48212k k x x k ++?=+,
……11分
又AP AQ k k +=
=
+
422k k =-=-=1.
所以直线AP ,AQ 的斜率之和为定值1. ……16分
19.解:(1)()(1)ln f x x x ax a =+-+,1
()ln +
x f x x a x
+'=-. ……1分 因()f x 在(0,)+∞上单调递增,则()0f x '≥,1ln +1a x x
+恒成立. 令1()ln +1g x x
=+,则21
()x g x -'=
, ……2分 因此,min ()(1)2g x g ==,即02a <.
……6分
(2)当02a <时,由(1)知,当(0,)x ∈+∞时,()f x 单调递增. ……7分
又(1)0f =,当(0,1)x ∈,()0f x <;当(1,)x ∈+∞时,()0f x >. ……9分
故不等式(1)()0x f x -恒成立. ……10分
……4分
若2a >,ln (1)1
()x x a x f x x
+-+'=
,
设()ln (1)1p x x x a x =+-+,令()ln 20p x x a '=+-=,则2e 1a x -=>. …12分
当2(1,e )a x -∈时,()0p x '<,()p x 单调递减,则()(1)20p x p a <=-<,
则()
()0p x f x x
'=
<,所以当2(1,e )a x -∈时,()f x 单调递减, ……14分
则当2(1,e )a x -∈时,()(1)0f x f <=,此时(1)()0x f x -<,矛盾. ……
15分
因此,02a <.
……16分
20.解:(1)由题意得2214(1)n n n a na ++=,因为数列{}n a 各项均正,
得22
1
41n n a a n n +=+
2= ……2分
2=
,所以是以1a 为首项公比为2的等比数列.
……4分
(2)由(1
)得1
12n a -=?
,12
n n a a -=,2
2114n n n n n a a n b t t -==, ……5分 如果数列{}n b 是等差数列,则2132b b b =+,
……6分
得:2212023111123244423a a a t t t --??=+,即23
16148t t t =+
,则2
16480t t -+=, 解得 14t =,212t =.
……7分
当14t =时,214
n a n
b =,
222
1111(1)444
n n a n a n a b b ++-=-=
,数列{}n b 是等差数列,符合题意;
……8分
当2t =12时,2143n n
a n
b =?,
2222
111241244242211434343162a a a b b a +=+==???,2132133428
231b a a ==??,
2432b b b +≠,数列{}n b 不是等差数列,2t =12不符合题意; ……9分
综上,如果数列{}n b 是等差数列,4t =.
……10分
(3)由(2)得214n a n
b =,对任意的n ∈N *,均存在m ∈N *,使
24211816n m a S a n b -=,
则4242
111(1)816
424a n n a m a n +?-=,所以214
na m =. ……12分
当12a k =,k ∈N *,此时2244
k n m k n ==,对任意的n ∈N *,符合题意;
……14分
当121a k =-,k ∈N *,当1n =时,224411
44
k k m k k -+==++. 不合题
意. …15分
综上,当12,a k k =∈N *,对任意的n ∈N *,均存在m ∈N *,使
24211816n m a S a n b -=.
……16分
(第Ⅱ卷 理科附加卷)
21.【选做题】本题包括A ,B ,C ,D 四小题,每小题10分. A .(选修4-1 几何证明选讲).
解:连结OC ,由于l 是圆的切线,故OC l ⊥,
A
B
C D
O
(第21—A 题图)
E
因为AD l ⊥,所以AD ∥OC , ……2分 因为AB 是圆O 的直径,6AB =,3BC =, 所以60∠=∠=?ABC BCO , 则
DAC ∠=906030ACO ∠=?-?=?. ……4分
23cos30AC =??=
,sin30DC AC =?,9
cos302
DA AC =?=. ……7分
由切割线定理知,2DC DA DE =?, ……9分
所以3
2
DE =,则
3AE =. ……10分
B .(选修4—2:矩阵与变换)
解:设M =a b c d ??
????
,M 11811a b c d +??????==??????+??????,M 122242a b c d ---+??????==??????-+??????, ……3分
882224a b c d a b c d +=??+=??-+=-?
?-+=?,,,,
解得6244a b c d =??=?
?=??=?,,
,, 即M =6244??????. ……5分
(2)则令特征多项式6
2
()(6)(4)8044
f λλλλλ--=
=---=--, ……8分
解得1282λλ==,.矩阵M 的另一个特征值为2. ……10分
C .(选修4—4:坐标系与参数方程)
解:(1)圆1O 的直角坐标方程为224x y +=,①
……3分 由2π22cos()24
ρρθ--=,得22(cos sin )2-+=ρρθθ,
……4分
222()2x y x y +-+=,
故圆2O 的直角坐标方程为222220x y x y +---=,② ……6分 (2)②-①得经过两圆交点的直线为10x y +-=, ……8分
该直线的极坐标方程为cos sin 10ρθρθ+-=. ……10分
D .(选修4—5:不等式选讲) 解:因为:(
)
2
313131
(111)(313131)a b c a b c ++++++++++++, (7)
分
由于3a b c ++=,故3131316a b c +++++,
当且仅当1a b c ===时, 313131a b c +++++取到最大值6. ……10分
【必做题】第22,23题,每小题10分,计20分.
22.解:(1)设AC ,BD 交于点O ,在正四棱锥P ABCD -中,OP ⊥平面
ABCD . 又2PA AB ==,所以2OP =. 以O 为坐标原点,DA ,AB 方向分
别是x 轴、y 轴正方向,建立空间直角坐标系O xyz -,如图: ……1分
则(1,1,0)A -,(1,1,0)B ,(1,1,0)C -,(1,1,0)D --,(0,0,2).P 故21122(,,)3333OM OA AM OA AP =+=+=-,111
(,,0)333
ON OB ==, ……3分
N
C
y
z
所以2(0,,33
MN =-
,(1,1,PC =-, 3
cos ,2MN PC MN PC MN PC
?<>=
=
, 所以MN 与PC 所成角的大小为π
6
. ……5分
(2)(1,1,PC =-,(2,0,0)CB = ,42(,,0)33
NC =-.
设(,,)x y z =m 是平面
PCB 的一个法向量,则0PC ?=m ,0CB ?=m , 可得0,
0,
x y x ?-+-=?
=?
令0x =,y =,1z =,即=m , ……7分
设111(,,)x y z =n 是平面
PCN 的一个法向量,则0PC ?=n ,0CN ?=n , 可得111110,20,
x y x y ?-+-
=?-+=? 令1
2x =,14y =,1z =
=n , (9)
分
cos ,33?<>=
==m n
m n m n
, 则二面角N PC B --的余弦值为33
.……10分
23.证明:(1)因为πsin
tan 2
n
n n a θ=. 当n 为偶数时,设2n k =,2222πsin tan sin πtan 02
k
k n k k a a k θθ===?=,0n a =.…1分
当n 为奇数时,设21n k =-,21(21)ππ
sin
tan sin(π)tan 22
n n n k k a a k θθ--===-?. 当2k m =时,21ππsin(2π)tan sin()tan tan 2
2
n n n n k a a m θθθ-==-?=-?=-,
此时1212
n m -=- ,1
21221tan (1)
tan (1)tan n n m n
n n k a a θθθ---==-=-=-.……2分
当21k m =-时,213π3π
sin(2π)tan sin()tan tan 22
n n n n k a a m θθθ-==-
?=-?=, 此时1222
n m -=-, 1
22221tan (1)
tan (1)tan n n m n
n n k a a θθθ---===-=-. 综上,当n 为偶数时,0n a =;当n 为奇数时,12
(1)tan n n n a θ-=-. ……3分
(2)当1n =时,由(1)得:
212tan S a a θ=+=,
121sin21(1)tan 2n n θθ+??+-??=()2211sin 21tan sin cos tan 2cos θθθθθθ
+=??=. 故1n =时,命题成立
……5分
假设n k =时命题成立,即1221
sin21(1)tan 2k k k S θθ+??=?+-??. 当1n k =+时,由(1)得:
2(1)22122221k k k k k k S S a a S a ++++=++=+
=12211
sin21(1)tan (1)tan 2
k k k k θθθ++???+-+-?? ……6分
=122112sin 21(1)tan (1)tan 2
sin 2k k k
k θθθθ++??
?+-+-?
???
?
=222
2
1
12sin 21(1)tan ()2
tan sin 2tan k k θθθθθ++??
?+-?-+?
??
?
2222
221cos 1sin 21(1)tan ()2sin sin k k θθθθθ++??=?+-?-+???
? =()2221sin21(1)tan 2
k k θθ++?+-?
即当1n k =+时命题成立. ……9分 综上所述,对正整数n 命题成立. ……10分