当前形势
函数概念与指数函数、对数函数、幂函数在近五年北京卷(理)中考查5～15分 高考 要求
内容
要求层次 具体要求
A B C 有理数指数幂的含义 √ 理解有理指数幂的含义
实数指数幂的含义
√ 通过具体实例了解实数指数幂的意义 幂的运算
√
掌握幂的运算
指数函数的概念及其性质 √
通过具体实例（如，细胞的分裂，考古中所用的14C 的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景;
理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点;
在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型
北京 高考 解读
2008年 2009年 2010年（新课标） 2011年（新课标） 2012年（新课标） 第2题 5分 第13题 5分
第3题5分 第13题5分
第6题 5分 第14题 5分
第6题 5分 第8题 5分 第13题 5分
第14题 5分
指数引入
在初中的时候我们学习了一些特殊的函数，如一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数，而且根据前几节课的学习，我们能够把这些函数的性质更完整的表述出来.那在高中我们又会学习哪些特殊的函数呢？这些函数具有什么样的性质呢？就是今天包括后边几天我们要学习的内容.今天我们先学习一个指数函数，其实这个函数我们在初中就接触过，比如22，32等，只不过当时我们没有给它规定具体的名字，那在高中阶段我们将给它取个具体的名字，就跟每个人都要有自己的名字一样.那在讲指数之前我们先来看一个有趣的故事：
在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求．西萨说：请给我棋盘的64个方格上，第一格放1粒小麦，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的两倍，直至第64格．国王觉得这事挺好办，欣然同意．
新课标剖析
指数 与指数函数
计数麦粒的工作开始了，第一格内放1粒，第二格内放2粒，第三格内放4粒，，还没有到第二十格，一袋麦子已经空了，一袋又一袋的麦子被扛到国王面前来，但是，麦粒数一倍接一倍飞快增长着，国王很快就看出，即便拿出全国的粮食，也兑换不了他对西萨的诺言.
这到底有多少粒小麦呢，我们可以估算一下：方格中有的小麦数依次为：631248162，，，，，，， 最后一格中有632粒小麦，1032102410=≈，6018210≈，也就是百亿亿，那6360282=?就是八百亿亿．这还不包括前面63个格子的．其中，我们归纳一下求个和，知道小麦数一共是6421-，大约是一千六百亿亿．这大概是全世界两千年所产的小麦的总和．
再直观一点，给这么多小麦建一个宽四米，高四米的粮仓，这个粮仓可以绕地球赤道7500圈．如果把这些小麦堆放在一间教室（16平）里，堆到太阳上，也才堆了一半！这个故事一定会让你吃惊，开始微不足道的数字，两倍两倍的增长，会变得这么巨大！事实的确如此，因为国王碰到了“指数爆炸”.一种事物如果成倍成倍地增大（如222???），则它是以指数形式增大，这种增大的速度就像“大爆炸”一样，非常惊人.
那么到底什么是指数函数呢？指数函数具有哪些的性质？我们先来看一下指数幂.
1．整数指数
在初中我们就学过正整数指数幂，如2
a ，3
a 等，并且我们也知道2
3
5
a a a ?=，3
2a a a
=，那么在这
些整指数幂中a 叫做什么？23，又叫做什么呢？它的运算法则又是什么呢？下面我们就来具体回忆一下正整数指数幂.
⑴ 正整数指数幂：n n a a a a =???个
，是n 个a 连乘的缩写（N n +∈），n a 叫做a 的n 次幂，a 叫做幂的底数，n 叫做幂的指数，这样的幂叫做正整数指数幂． ⑵ 正整数指数幂的运算法则：
① m n m n
a a a +?=；②()m n mn a a =；③(,0)m m n n a a m n a a
-=>≠；④()m m m ab a b =
【整数指数幂引入】刚刚我们说的正整数指数幂要求指数必须是正整数，但是我们的数系不仅仅是
正整数，我们现在学到的最大数系是实数，等到我们上高二的时候我们还会把实数扩大到复数，所以万一某一天我们遇到的指数幂的指数不是正整数，而是负整数、分数那我们应该怎么办呢？所以我们先来取消法则③中m n >的限制，
则正整数指数幂就推广到整数幂.例如，当0a ≠时，有3
3303a a a a
-==，
3352
5a a a a --==，这些结果不能用正整数幂的定义来解释.但我们知道，331a a =，3521a a a =.这就启示我们，如果规定02
211a a a -==
，，则上述运算就合理了.于是，我们得出如下的整数指数幂：
⑶ 整数指数幂：01(0)a a =≠，1
(0,)n n
a a n a -+=
≠∈N ．
【教师备案】①如此规定的零指数幂和负整数指数幂，就把正整数指数幂推广到整数指数幂，并且
正整数指数幂的运算法则对整数指数幂运算仍然成立.
5.1指数与指数幂的运算
知识点睛
②对于整数指数幂的要求是“底数不等于0”.为什么底数不等于0，因为分母不等 于0 ③老师可以给学生举一些小例子，例如，081=；()0
81-=；()()0
1a b a b -=≠；
3
311010-=；6
611164121642-??-=== ?????
- ???
；()()333
312208x x x x ---==≠； 2
364246x x r r r x ---??== ???
；40.000110-=；2221
2a a b c b c --=
我们已经把正整数指数幂成功的引申到整数指数幂了，那由整数指数幂到分数指数幂又有什么样的变化呢？分数指数幂具有什么样的运算性质呢？我们来看一下分数指数幂：
2．分数指数
在讲分数指数幂之前我们先来看一下初中就学过的一个东西——根式： ⑴根式
① n 次方根：如果存在实数x ，使得n x a =(,1,)a n n +∈>∈R N ，那么x 叫做a 的n 次方根． ② 求a 的n 次方根，叫做a 开n 次方，称做开方运算．
ⅰ）当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数．这时，a 的n
ⅱ）当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数．正数a 的正、负n 次方根分
0)a >．
③ 正数a 的正n 次方根叫做a 的n 次算术根．负数没有偶次方根．
0的任何次方根都是0
0．
④
n 叫做根指数，a 叫做被开方数．
【根式性质引入】根式具有什么样的性质呢？比如
n
么？下面我们来举几个例子说明一下：
1.
n
是实数a 的n 次方根的n 次幂，
其中实数a 的取值范围由n 的奇偶性来决定：
①当n 为大于1的奇数时，a ∈R .
例如，
3
27=
，
5
32=-
，
7
0=；
②当n 为大于1的偶数时，0a ≥.
例如，4
27=
，2
3=
，6
0=；
若0a <
，式子n
无意义，例如，2
，4
均无意义，也就不能
说它们的值了.
因此只要
n
有意义，其值恒等于a
，即n
a =
n a 的n 次方根，是一个恒有意义的式子，不受n 的奇偶性限制，a ∈R .但是这个式子的值受n 的奇偶性限制： ①当n 为大于1的奇数时，其值为a
a =
2
=-，
6.1=；
②当n 为大于1
的偶数时，其值为a
a .3
，
33-=.
由此当n
a；当n
||
a a
a
a a
?
==?
-<
?
，≥
，
所以，我们得到根式具有如下的性质：⑤根式具有的性质：
()
1
n a n n
+
=>∈N
，且；
当n
n
||
a a
a
a a
?
=?
-<
，≥
，
．
【分数指数幂引入】下面我们再来看一下分数指数幂.例如，
3
11
3
33
a a a
?
?
?
==
?
??
，()2
2
3
32
3
3
a a a
?
==.显然，这些运算都不能用整数指数幂的定义来解释.但是如果规定
1
3
a，
2
3
a=
.
为避免讨论，如不特别说明，我们约定底数0
a>，于是分数指数幂定义为：
⑵分数指数幂
①正分数指数幂：
)
1
n
a a
=>；0,,,)
m
m
n
m
a a n m
+
=>∈N且为既约分数．
②负分数指数幂：
1
(0,,,)
m
n
m
n
m
a a n m
n
a
-
+
=>∈N且为既约分数
⑶整数指数幂推广到有理指数幂，有理指数幂的运算法则：
①(0)
r s r s
a a a a r s
+
=>∈Q
，，；
②(0)
s rs r
a a a a r s
==>∈Q
，，；
③()(00)
ab a b a b r
=>>∈Q
，，
【教师备案】①整数指数幂的运算性质，比如()k n kn
a a
=，对分数指数幂仍然适用.注意讲解时，由学生熟悉的整数指数幂的概念性质逐渐推广到有理数指数幂，让学生知道新的概念与法
则与已有的概念与法则是相容的．
②分数指数幂是学生新接触的一个概念，所以在讲完分数指数幂后一定要给学生举几
个例子，例如，
2
21
2
33
8824
??
===
?
??
；
5
51
5
11
232
22
--
??
????
===
?
? ?
?
????
??
；
3
3
23
2
2
933125
255527
-
--
??
??????
===
??
? ?
?
???
???
??
?
?
；
3232
1
555
88888
+
?===；
11111
1
1
2
36236
2
3333339
+++
???===；
333
22
113
2
33
444
a b a b a b
??????
==
? ? ?
??
????
；
22
111111
222222
a b a b a b a b
????????
+-=-=-
??? ? ?
????????
；
2
1111
2222
2
a b a b a b
??
+=++
?
??
.
【无理指数幂引入】通过上面分数指数幂的学习，我们将指数的取值范围由整数推广到了有理数，那
么当指数是无理数时，我们又应当如何理解它？比如25．在这里还不能给出无理指数幂严格的定义，只有一个感性的认识和相关结论．通过下面的分析让学生体会“用有理数逼近无理数”的思想，感受“逼近”的过程．观察（课件中“无理指数幂引入”中有下图）：
由上表不难发现：
当2的过剩近似值从大于2的方向逼近2时，25的近似值从大于25的方向 逼近25；
当2的不足近似值从小于2的方向逼近2时，25的近似值从小于25的方向 逼近25；
所以我们得到如下的无理指数幂：
3．无理数指数幂
⑴ 无理指数幂(0,a a αα>是无理数）是一个确定的实数． ⑵ 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
⑶ 一般地，当0a >，α为任意实数值时，实数指数幂a α都有意义． 对实数指数幂，上述有理指数幂的运算法则仍然成立
【教师备案】建议老师把指数幂按照由正整数指数幂到无理指数幂按顺序讲完，讲完以后就可以让学
生做例1和例2，例1主要是进行简单的根式与幂运算.学生会很快做完，但是学生很容易出现计算上的错误，所以老师一定要强调让学生细心算.例2是对指数幂进行化简与求值，难度高于例1，其主要目的还是要锻炼学生熟练掌握指数幂运算法则.
考点1：利用分数指数幂进行根式与幂运算 【例1】 ⑴细心算一算
① 33
(5)-=_______；② 2(3)-=________； ③
3
35=_______；
④
2()a b -=_________（其中a b <）；⑤
4334
(3π)(3π)---=__________；
⑥ 23
8=_______；⑦ 12
25-=________；⑧ 34
1681-
??
= ?
??
______________．
⑵计算下列各式
①322
a a ?； ②
93
3
3
37
132
(0)a
a a a a --÷
> ③111
34
4
21
3
2
43(,0)6a a b a b a b ---???- ?
??>-. 经典精讲
【解析】⑴①5
-；②3；③5；④b a
-；⑤2π6
-．⑥4；⑦1
5
；⑧
27
8
.
⑵①
8
3
a；②
1；③
1
3
2ab．
考点2：化简与求值问题
【例2】⑴若1002
x=，105
y=，则2x y
+的值为（）
A．3 B.2 C.1 D.0
⑵已知
11
223
a a-
+=，求1
a a-
+，22
a a-
+，33
a a-
+的值.
⑶化简：()
1111
2222
1112
3333
00
a a
b a b
a b
a a
b b
????
+-
???
????>>
??
++
?
??
，
【解析】⑴C
⑵17
a a-
+=；2247
a a-
+=；33322
a a-
+=
⑶
11
33
a a b
??
-
?
??
【备选】已知()()
32
32461
x x x y
---=+-，则
1
y
x的值为．
【解析】
8
27
623
44112
a a a
-+=-a的取值范围是（）
A．a∈R B．
1
2
a=C．
1
2
a>D．
1
2
a≤
【解析】D
()2
623
6
4412121
a a a a
-+-=-，所以老师在讲
()2
621
a-321
a-2a不一定等于a一样.
指数幂我们已经非常清楚了，那到底什么是指数函数呢？所以下边我们来看一下指数函数以及它具有的性质：
我们先来看一下指数函数的定义： 考点3：指数函数的定义
我们规定如下的函数为基本初等函数：
⑴ 常值函数（也称常数函数）y c =（其中c 为常数） ⑵ 指数函数 x y a =(0,1)a a >≠且 ⑶ 对数函数 log a y x =(0,1)a a >≠且
⑷ 幂函数 y x α=（α∈R ）
⑸ 三角函数：（其中包括六种三角函数：正弦，余弦，正切，余切，正割，余割）
⑹ 反三角函数：（其中包括四种反三角函数：反正弦，反余弦，反正切，反余切；关于反正割，反余
割一般不用．注意：反三角函数目前高考中不考．）
所谓初等函数就是由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合而成的函数．
既然我们说指数函数就是基本初等函数，所以我们就来看一下指数函数：
指数函数：一般地，函数x y a =(0a >且1a ≠，)x ∈R 叫做指数函数.
在指数函数中我们要注意以下3点：
【注意】1.在这个函数中，自变量x 出现在指数的位置上. 2.底数a 是一个大于0且不等于1的常量.
3.指数函数的形式必须是纯粹的.
【教师备案】1.指数函数中为什么规定底数0a >且1a ≠？
①若0a <，则对于x 的某些数值，可使x a 无意义.如()2x
-，当1124
x =，，等等，
在实数范围内函数无意义
②若0a =，则当0x >时，0x a =；当0x ≤时，x a 无意义
③若1a =，则对于任何x ∈R ，x a 是一个常量1，没有研究的必要性
为了避免上述各种情况，所以规定0a >且1a ≠，这样对于任何x ∈R ，x a 都有意义 2.为什么函数的形式必须是纯粹的，不能为x q y ba c +=+（其中q b c ，，是常数，0a >且 1a ≠）？
紧扣指数函数的定义来分析.指数函数的定义：一般地，函数x y a =(0a >且1a ≠，
)x ∈R 叫做指数函数.则指数函数的解析式x y a =中x a 的系数是1且指数位置仅有自
变量x ，而函数x q y ba c +=+的解析式不符合指数函数解析式的这些特征，故不是指数函数.例如，1
212
32x
x x ++?，，都不是指数函数，但2x -是指数函数，因为12
2x
x
-??
= ???
【教师备案】老师在讲完指数函数并给学生强调指数函数应该注意的问题后就可以让学生做例3了.例
3主要就是判断是否为指数函数和如果是指数函数求参数的值.
知识点睛
5.2指数函数及其性质
【例3】 ⑴指出下列函数中哪些是指数函数
①6x y =；②4y x =；③4x y =-；④()4x
y =-；⑤28x y =?；⑥2
4x y =； ⑦()21x
y a =-（1
2
a >且1a ≠，a 为常数） ⑵
①函数3x y m =?（m 是常数）是指数函数，则m = ．
②函数12x y a +=（a 是常数）是指数函数，则a = ．
③函数()243x
y a a =-（a 是常数）是指数函数，则a 的取值范围为 ．
【解析】 ⑴①⑦
⑵①1m =；②12a =
；③()113011444??????
-∞--+∞ ? ? ???????
，∪，∪，∪，
现在我们已经知道了什么是指数函数，那指数函数的图象又怎么画呢？所以接下来我们来看一下指数函数的图象：
考点4：指数函数的图象与性质
图象
定义域
R 值域 (0)+∞，
性质
⑴ 过定点()01，
，即0x =时，1y = ⑵ 在R 上是减函数 ⑵ 在R 上是增函数
【教师备案】上图是一个总的图，老师可以按照下边的方法一个一个拆分讲解，并且为了建立更直观的感觉，可以让学生自己动手画函数的图象，如：
①先画()2x
f x =，
从这个图象上让学生体会指数函数的增长速度特别快.老师可以举个例子，如在讲义开始的那个象棋问题，刚开始第1个格子放1粒麦子，到第64格就放了632粒麦子，总共所有的格一共放了641921 1.610-≈?粒麦子，可见增长的速度相当快；如果学生认为642这个数不大，老师可以再举个汉诺塔的例子，一位法国数学家曾编写过一个印度的古老传
x
3- 2- 1- 0
1 2 3 ()f x
18 14 12
1
2
4
8
知识点睛
经典精讲
f x ()=2x
O
y
x
y =a x
(0 (0,1) O y x y=a x (a >1) (0,1) O x y 说：在世界中心贝拿勒斯（在印度北部）的圣庙里，一块黄铜板上插着三根宝石针.印度教的主神梵天在创造世界的时候，在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的64片金片，这就是所谓的汉诺塔.不论白天黑夜，总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片：一次只移动一片，不管在哪根针上，小片必须在大片上面.僧侣们预言，当所有的金片都从梵天穿好的那根针上移到另外一根针上时，世界就将在一声霹雳中消灭，而梵塔、庙宇和众生也都将同归于尽.不管这个传说的可信度有多大，如果考虑一下把64片金片，由一根针上移到另一根针上，并且始终保持上小下大的顺序.这需要多少次移动呢?这里需要递推的方法.假设有n 片，移动次数是()f n .显然()11f =，()23f =，()37f =， .此后不难证明()21n f n =-.64n =时， ()64642118446744073709551615f =-= ，假如每秒钟移动一次，共需多长时间呢？ 一个平年365天有31536000秒，闰年366天有31622400秒，平均每年31556952秒，计算一下，18446744073709551615584554049253.855=年.这表明移完这些金片需要5845亿年以上，而地球存在至今不过45亿年，太阳系的预期寿命据说也就是数百亿年.真的过了5845亿年，不说太阳系和银河系，至少地球上的一切生命，连同梵塔、庙宇等，都早已经灰飞烟灭.所以说642是个很庞大的数，所以我们会发现这条曲线后面的增长会越来越快.并且从图象上看出函数的定义域为R ，值域为 ()0+∞，，且过定点()01， . ②让学生再画一个()3x g x = 比较这两个图象.可以发现，当1a >时，a 越大，第一象限图象离x 轴越远． ③由②的结论老师可以提问，若01a <<，则图象应该则么样？那我们可以先取个函数 ()12x h x ?? = ??? 试试 观察发现，2x 与12x ?? ???的图象关于y 轴对称，所以13x ?? ??? 与3x 的 图象也关于y 轴对称，如图，所以当01a <<时，a 越大，第一象限图象离x 轴越远. 老师按照上面的方式讲完指数函数的图象之后，就可以让学生做下面的练习： 1C ，2C ，3C ，4C 是指数函数3x ，πx ，25x ?? ??? ，0.7x 的 图象，则1C ，2C ，3C ，4C 分别代表哪个指数函数？ x h x (1x 【解析】 由图象可以直接看出1:3x C ，2:πx C ，3:0.7x C ，42:5x C ?? ??? 或者也可以作直线1x =，则与四条 曲线的交点就是指数函数的底数. 【教师备案】做完上边的练习之后，就可以进一步得出： ①所有的指数函数分为两类：1a >和01a << ②指数函数的单调性：1a >时，是增函数；01a <<时，是减函数，而且a 越大，第一象限的图象离x 轴越远 ③指数函数的奇偶性：非奇非偶 【教师备案】老师在讲完指数函数的图象并让学生做了上边的练习之后，就可以让学会做下边的例4， 例4主要考察指数函数的图象.例4①与前边的练习一样，例4②主要考察讨论底数范围，例4③虽然乍看一眼有点难，但是读完题之后就比较简单了，尤其画完图象之后就更简单了. 【例4】 ⑴曲线1C ，2C ，3C ，4C 分别是指数函数1x y a =，2x y b =，3x y c =，4x y d = 的图象，判断a ，b ，c ，d ，1 的大小关系是 ． ⑵函数()x f x a =与()g x ax a =-的图象大致是（ ） -1A O y x 1 1B x y O -11C x y O 1 1D O y x 1 1 ⑶ 用{}min a b c ，，表示a ，b ，c 三个数中的最小值，设{ } ()min 2210x f x x x =+-，， (0)x ≥，则()f x 的最大值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 【解析】 ⑴1b a d c <<<<． ⑵ C ⑶ C 我们在上边的讲解中都一直在强调指数函数的图象，所以我们要在直观上认清图象，比如：根据图象要会求指数函数在不同区间上的值域问题，即例5，根据图象要能够判断两个幂的大小，即例6.下面我们先来看一下区间上的值域问题，即例5： 考点5：区间上的值域问题 【例5】 ⑴已知函数()2x f x =，①当()0x ∈+∞，时，函数值域为____________； ②当(]2x ∈-∞，时，函数值域为____________； ③当(]13x ∈-， 时，函数值域为____________. 经典精讲 1C 4 C 3C 2 C 1 O y x ⑵已知函数1()3x g x ??= ??? ，①当(]1x ∈-∞，时，函数值域为_____________； ②当()2x ∈+∞，时，函数值域为______________； ③当[)21x ∈-， 时，函数值域为______________； 【解析】 ⑴ ①()1+∞，；②(]04，；③182?? ???，. ⑵ ①13??+∞????，；②109?? ???，；③193?? ??? ，. 下面我们再来看一下幂的比较大小： 考点6：幂的比较大小 如果给咱们两个幂，比如13与23，这时你肯定知道谁大谁小，但是你并不是根据指数函数得出的，那 对于一个一般的幂我们应该如何比较大小呢？老师就可以把下边的铺垫给学生讲解一下，并由铺垫得出对于底相同指不同应该如何比较大小，对于底不同指相同应该如何比较大小，对于底、指都不相同又应该如何比较大小.讲完铺垫以后，就可以让学生自己做一下例6了. 【铺垫】比较下列各题中两个值的大小 ①0.53-，0.63-；②0.53-，0.5π-；③π0.5，0.5π 【解析】 ①0.50.633-->； ②0.50.53π--> ③π0.50.5π< 【方法总结】幂的大小比较的方法 比较大小常用方法有：⑴比差（商）法：⑵函数单调性法；⑶中间值法：要比较A 与B 的大小，先找一个中间值C ，再比较A 与C 、B 与C 的大小，由不等式的传递性得到A 与B 之间的大小. 在比较两个幂的大小时，除了上述一般方法之外，还应注意： ⑴ 对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断． ⑵ 对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可利用指数函数图象的变化规律来判断或第8讲中幂函数的单调性来判断． ⑶ 对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，则应通过中间值来比较． ⑷ 对于三个（或三个以上）数的大小比较，则应根据值的大小（特别是与0、1的大小）进行分组，再比较各组数的大小即可． 【例6】 ⑴比较下列各题中两个值的大小： ① 2.51.7，31.7；② 0.10.8-，0.20.8-； ③ 0.31.7， 3.10.9，④0.31.7-， 3.10.9-． ⑵设2 3 2 555 322555a b c ??????=== ? ? ??????? ，，，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a c b >> B ．a b c >> C ．c a b >> D ．b c a >> 【解析】 ⑴ ① 2.51.7<31.7；②0.10.8-<0.20.8-；③0.31.7> 3.10.9，④0.31.7-< 3.10.9-． ⑵ A 在前边我们已经讲了复合函数，那与指数相关的复合函数是什么样子的呢?这样的复合函数的性质又是什么样子的？所以本讲只讲外层是指数函数的复合函数，对于内层是指数函数的复合函数我们将在同步的时候再具体讲解. 考点7：与指数函数相关的复合函数的定义域、值域及单调性问题 老师可以用下边的铺垫给学生讲一下外层是指数函数的复合函数的性质，讲完性质后就可以让学生做例7了. 【铺垫】求下列函数的定义域、值域和单调区间． ⑴2 3x y += ；⑵1 12x y -?? = ??? ；⑶2453x x y -+=；⑷2122x x y +-= 【解析】 ⑴ 定义域为R ；值域为()0+∞，；单调增区间为R ⑵ 定义域为[)1+∞，；值域为(]01， ；单调减区间为[)1+∞， ⑶ 定义域为R ；值域为[)3+∞，；单调增区间为[)2+∞，，单调减区间为(]2-∞， ⑷定义域为R ；值域为(]04，；单调增区间为(]1-∞， ，单调减区间为[)1+∞， 【例7】 求下列函数的定义域、值域和单调区间． ⑴ 11 2 x y -= ； ⑵ 3x y -=； ⑶223 12x x y --+??= ? ?? ； ⑷268 12x x y --+?? = ? ?? 【解析】 ⑴ 定义域为{},1x x x ∈≠R 且；值域为{}0,1y y y >≠且；单调减区间为(1)-∞，和(1+)∞， ⑵ 定义域为R ；值域为(]0,1；单调增区间为(]0-∞，，单调减区间为[)0+∞， ⑶ 定义域为[]31-， ；值域为114?? ???? ，；单调增区间为[]11-，，单调减区间为[]31--， ⑷ 定义域为(][)24-∞+∞，∪，；值域为[)1+∞，；单调增区间为[)4+∞，， 单调减区间为(]2-∞， 经典精讲 5.3 指数函数性质的应用 实战演练 【演练1】 等于（ ） A .23x - B .32x - C .()23x ±- D .2323 2233x x x x ? -??? ?-< ?? ，≥， 【解析】 D 【演练2】下列函数：①2 3x y =；②6x y =；③23x y +=；④62x y =?；⑤81x y =+；⑥6x y =-.其中一 定为指数函数的有（ ） A ．0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【解析】 B 【演练3】设0.914y =，0.48 28y =， 1.5312y -??= ??? ，则（ ） A .312y y y >> B .213y y y >> C .123y y y >> D .132y y y >> 【解析】 D 【演练4】如图若曲线1C ，2C ，3C ，4C 是指数函数5x ，4.7x ，45x ?? ??? ，0.9x 的 图象，则1C ，2C ，3C ，4C 分别代表哪个指数函数？ 【解析】 1:4.7x C ，2:5x C ，3:0.9x C ， 44:5x C ?? ??? 【演练5】函数2 281 13x x y --+?? = ? ?? 的单调增区间是________． 【解析】 [)2-+∞，． ⑴0(0)a a ≠=___ ；⑵(0,)n a a n -+≠∈=N ____；⑶()()1n n a n n +>∈=N ， 且_____； ⑷n n a =______________；⑸()1 0n a a >=_______；⑹(0,,)m n a a n m +>∈=N _____________； ⑺(0,,)=m n a a n m -+>∈N ___________；⑻(0Q)r s a a a r s >∈=，，______________； ⑼()(0Q)r s a a r s >∈=，，______________；⑽()(00Q)r ab a b r >>∈=， ，______________． ⑾ x y a = 1a > 01a << 图象 定义域 值域 性质 ⑴过定点： ⑵单调性： ⑴1；⑵ 1n a ；⑶a ；⑷当n 为奇数时，n n a a =；当n 为偶数时，0||0n n a a a a a a ?==?- ，≥，． ⑸n a ；⑹n m a ；⑺n m a ；⑻r s a +；⑼rs a ；⑽r r a b ⑾ x y a = 1a > 01a << 图象 定义域 R 值域 (0)+∞， 性质 ⑴ 过定点：()01， ， ⑵单调性： 当1a >时，在R 上是增函数； 当01a <<时，在R 上是减函数 概念要点回顾 y =a x (0 (0,1) O y x y=a x (a >1) (0,1)O x y 2.1.1指数与指数幂的运算 （1）根式的概念 ①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次 当n 是偶数时，正数a 的正的n 负的n 次方根用符号表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根． n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数 时，0a ≥． n a =；当n a =；当n (0)|| (0) a a a a a ≥?==?-∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．② 正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0 的负分数指 数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质 ① (0,,) r s r s a a a a r s R +?=>∈ ② ()(0,,) r s rs a a a r s R =>∈ ③ ()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 2.1.2指数函数及其性质 指数函数练习 1．下列各式中成立的一项 （ ） A ．71 7 7)(m n m n = B ．31243)3(-=- C ．4 343 3)(y x y x +=+ D ． 33 39= 2．化简)3 1 ()3)((65 61 3 12 12 13 2b a b a b a ÷-的结果 （ ） A ．a 6 B ．a - C ．a 9- D ．2 9a 3．设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ，则下列等式中不正确的是 （ ） A ．f (x +y )=f(x )·f (y ) B ．) () (y f x f y x f =-） （ C ．)()] ([)(Q n x f nx f n ∈= D ．)()]([· )]([)(+∈=N n y f x f xy f n n n 4．函数2 10 ) 2()5(--+-=x x y （ ） A ．}2,5|{≠≠x x x B ．}2|{>x x C ．}5|{>x x D ．}552|{>< 题型一 指数数与式的运算 【例1】 求下列各式的值： ⑴ 33(5)-；⑵ 2(3)-； ⑶ 335； ⑷ 2()()a b a b -<； ⑸ 4334(3)(3)ππ---．⑹2 3 8；⑺12 25- ；⑻5 12-?? ???；⑼34 1681- ?? ??? ． 【例2】 求下列各式的值： ⑴ 44100；⑵ 55 (0.1)-；⑶ 2(4)π-；⑷ 66 ()()x y x y ->． 【例3】 用分数指数幂表示下列各式： （1）3 2x （2）43)(b a +（a ＋b ＞0） （3）32 )(n m - （4）4 )(n m -（m ＞n ） （5） 5 6 q p ?（p ＞0） （6）m m 3 典例分析 板块一.指数基本运算 【例4】 用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数) （1）43a a ? （2）a a a （3）3 22b a ab + （4）4233)(b a + 【例5】 用分数指数幂的形式表示下列各式（其中0)a >：3a ；2a ． 【例6】 用根式的形式表示下列各式(a ＞0) 15 a ，34 a ，35 a -，23 a - 【例7】 用分数指数幂的形式表示下列各式： 2 a a ，3 3 2a a ,a a (式中a ＞0) 【例8】 求值：23 8，12 100 -,314-?? ???,3 41681- ?? ??? . 【例9】 求下列各式的值： (1)12 2 （2）1 2 6449- ?? ??? （3）34 10000- （4）23 12527- ?? ??? 指数函数与对数函数（讲义） ? 知识点睛 1. 指数函数及对数函数的图象和性质： 2. 利用指数函数、对数函数比大小 （1）同底指数函数，利用单调性比较大小； （2）异底指数函数比大小，可采用化同底、商比法、取中间值、图解法； （3）同底数对数函数比大小，直接利用单调性求解；若底数为字母，需分类讨论； （4）异底数对数函数比大小，可化同底（换底公式）、寻找中间量（-1，0，1），或借助图象高低数形结合． 3. 换底公式及常用变形： log log log c a c b b a =（a >0，且a ≠1；c >0，且c ≠1；b >0） 1 log log a b b a = （a >0，且a ≠1；b >0，且b ≠1） log log m n a a n b b m = （a >0，且a ≠1；b >0，且b ≠1） log a b a b =（a >0，且a ≠1；b >0） ? 精讲精练 1. 若a ，b ，c ∈R +，则3a =4b =6c ，则（ ） A ．b a c 111+= B ． b a c 122+= C ．b a c 221+= D ．b a c 212+= 2. 计算： （1）若集合{lg()}{0||}x xy xy x y =，，，，，则228log ()x y +=_________； （2）设0()ln 0x e x g x x x ?=?>?≤（）， （）则1 (())2g g =_____________； （3）若2(3)6()log 6f x x f x x x + 高一数学 指数函数平移问题 ⑴y =12+x 与y =22+x . ⑵y =12-x 与y =22-x . f (x )的图象 向左平移a 个单位得到f (x ＋a )的图象;向右平移a 个单位得到f (x －a )的图象; 向上平移a 个单位得到f (x )＋a 的图象;向下平移a 个单位得到f (x )－a 的图象. 指数函数·经典例题解析 (重在解题方法) 【例1】求下列函数的定义域与值域： (1)y 3 (2)y (3)y 12x ＝＝＝-+---213321x x 解 (1)定义域为x ∈R 且x ≠2．值域y ＞0且y ≠1． (2)由2x+2－1≥0，得定义域{x|x ≥－2}，值域为y ≥0． (3)由3－3x-1≥0，得定义域是{x|x ≤2}，∵0≤3－3x －1＜3，∴值域是≤＜．0y 3 及时演练求下列函数的定义域与值域 （1）4 12 -=x y ； （2）|| 2()3 x y =； （3）12 41 ++=+x x y ； 【例2】指数函数y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝c x ，y ＝d x 的图像如图2．6－2所示，则a 、b 、c 、d 、1之间的大小关系是 [ ] A ．a ＜b ＜1＜c ＜d B ．a ＜b ＜1＜d ＜c C ． b ＜a ＜1＜d ＜c D ．c ＜d ＜1＜a ＜b 解 选(c)，在x 轴上任取一点(x ，0)，则得b ＜a ＜1＜d ＜c ． 及时演练 指数函数① ② 满足不等式 ,则它们的图象是 ( ). 【例3】比较大小： (1)2(2)0.6 、、、、的大小关系是：． 2481632 358945 12--() 第四节、指数函数 一、初中根式的概念； 如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根； （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念 一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *． 当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数．此时，a 的n 次方根用符号n a 表示。 ． 式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数。 当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号－n a 表示．正的n 次方根与负的n 次方根可以合并成±n a （a >0）。 由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。 思考：n n a =a 一定成立吗？ 结论：当n 是奇数时，a a n n = 当n 是偶数时，???<≥-==) 0()0(||a a a a a a n n 例1、（1）=-+125.08 33-4 1633 （2）7722)(2y x y xy x -+ +-= 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义 规定： )1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(11 *>∈>==-n N n m a a a a n m n m n m 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂． 3．有理指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(Q s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(Q s r a ∈>； （3）s r r a a ab =)( ),0,0(Q r b a ∈>>． 无理指数幂：一般地，无理数指数幂),0(是无理数αα>a a 是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 对于根式的运算，简单的问题可以根据根式的意义直接计算，一般要将根式化为分数指数幂，利用分数指数幂的运算性质来进行计算。 例2、化简（1）=÷?----32 11321 32)(a b b a b a b a （2）=?÷?363342b ab a 高一数学复习讲义09年版 函数部分(1) 重点：1把握函数基本知识（定义域、值域） x（a>0、<0) 主要是指数函数y=a x（a>0、<0),对数函数y=log a 2二次函数（重点）基本概念（思维方式）对称轴、 开口方向、判别式 考点1：单调函数的考查 2：函数的最值 3：函数恒成立问题一般函数恒成立问题(重点讲) 4：个数问题（结合函数图象） 3反函数（原函数与对应反函数的关系）特殊值的取舍 4单调函数的证明(注意一般解法） 简易逻辑(较容易) 1. 2. 3. 4. 启示：对此部分重点把握第3题、第4题的解法（与集合的关系） 问题1：恒成立问题解法及题型总结(必考) 一般有5类：1、一次函数型：形如：给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m, n]内恒有f(x)>0(<0) 练习：对于满足0 指数与指数函数 一、指数 （一）n 次方根： 1的3次方根是( ) A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．以上都不对 2、若4 a －2＋(a －4)0有意义，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≥2 B ．a ≥2且a ≠4 C ．a ≠2 D ．a ≠4 （二）、 n 为奇数，a a n n = n 为偶数,?? ?<-≥==0 ,0 ,a a a a a a n n 1．下列各式正确的是( ) ＝－3 ＝a ＝2 D ．a 0＝1 2、.(a －b )2＋5 (a －b )5的值是( ) A ．0 B ．2(a －b ) C ．0或2(a －b ) D ．a －b 3、若xy ≠0，那么等式 4x 2y 2＝－2xy y 成立的条件是( ) A ．x >0，y >0 B ．x >0，y <0 C ．x <0，y >0 D ．x <0，y <0 4、求下列式子 (1)．33 4433)32()23()8(---+- (2)223223--+ （三）、分数指数幂 1、求值 4 3 52 13 2811621258- --?? ? ????? ??；；； 243 的结果为 A 、5 B 、5 C 、－5 D 、－5 3、把下列根式写成分数指数幂的形式： （1）32ab （2）()42 a - （3） 3432x x x （四）、实数指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3） s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>． 1．对于a >0，b ≠0，m 、n ∈N *，以下运算中正确的是( ) 指数运算和指数函数 要求层次重点难点幂的运算 C ①根式的概念 ②有理指数幂 ③实数指数幂 ④幂的运算 ①分数指数幂的概 念和运算性质 ②无理指数幂的理 解 ③实数指数幂的意 义 指数函数的概念 B 在理解实数指数幂 的意义的前提下理 解指数函数 在理解实数指数幂 的意义的前提下理 解指数函数 指数函数的图象和 性质 C ①对于底数1 a>与 01 a <<时指数函 数的不同性质 ②掌握指数函数的 图象和运算性质 ①对于底数1 a>与 01 a <<时指数函 数的不同性质 ②掌握指数函数的 图象和运算性质 ③掌握指数函数作 为初等函数与二次 函数、对数函数结 合的综合应用问题 板块一：指数,指数幂的运算 （一）知识内容 1．整数指数 ⑴正整数指数幂：n a a a a =???，是n个a连乘的缩写（N n + ∈），n a叫做a的n次幂，a叫做幂的底数，n叫做幂的指数，这样的幂叫做正整数指数幂． ⑵整数指数幂：规定：01(0) a a =≠， 1 (0,) n n a a n a - + =≠∈N． 高考要求 第4讲 指数运算与指数函数 知识精讲 2．分数指数 ⑴ n 次方根：如果存在实数x ，使得n x a =(R,1,N )a n n +∈>∈，那么x 叫做a 的n 次方根． ⑵ 求a 的n 次方根，叫做a 开n 次方，称做开方运算． ① 当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数．这时， a 的n 表示． ② 当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数．正数a 的正、负n 0)a >． ⑶正数a 的正n 次方根叫做a 的n 次算术根． 负数没有偶次方根．0的任何次方根都是0 0． n 叫做根指数，a 3．根式恒等式： n a =；当n a =；当n ||a a a ?=?-? 0a a <≥． 4．分数指数幂的运算法则 ⑴正分数指数幂可定义为：1(0)n a a > 0,,,)m m n m a a n m n +==>∈N 且 为既约分数 ⑵负分数指数幂可定义为：1(0,,,)m n m n m a a n m n a - += >∈N 且 为既约分数 5．整数指数幂推广到有理指数幂的运算性质： ⑴(0,,Q)r s r s a a a a r s +=>∈ ⑵()(0,,Q)r s rs a a a r s =>∈ ⑶()(0,0,Q)r r r ab a b a b r =>>∈ 6．n 次方根的定义及性质：n 为奇数时 a =，n 为偶数时 a =． 7． m n a = m n a - =（0a >，,*m n N ∈，且1n >） 零的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂没有意义． 8．指数的运算性质：r s r s a a a +=，()r r r ab a b =（其中,0a b >，,r s ∈R ） 9．无理数指数幂 ⑴ 无理指数幂(0,a a αα>是无理数）是一个确定的实数． ⑵ 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 10．一般地，当0a >，α为任意实数值时，实数指数幂a α都有意义． 对任意实数α，β，上述有理指数幂的运算法则仍然成立． 高中数学指数与指数函数练习题及答案 2019级数学单元同步试题 （指数与指数函数） 姓名＿＿＿＿学号＿＿＿＿ 一、选择题（12*5分） 1．（）4（）4等于（） （A）a16 （B）a8 （C）a4 （D）a2 2．函数f（x）=(a2-1)x在R上是减函数，则a的取值范围是（） （A）（B）（C）a （D）1 3.下列函数式中，满足f(x+1)= f(x)的是( ) (A) (x+1) (B)x+ (C)2x (D)2-x 4．已知ab,ab 下列不等式（1）a2b2,(2)2a2b,(3) ,(4)a b ,(5)( )a( )b 中恒成立的有（） （A）1个（B）2个（C）3个（D）4个 5．函数y= 的值域是（） （A）（- ）（B）（- 0）（0，+ ） （C）（-1，+ ）（D）（- ，-1）（0，+ ） 6．下列函数中，值域为R+的是（） （A）y=5 （B）y=( )1-x （C）y= （D）y= 7．下列关系中正确的是（） （A）（）（）（）（B）（）（）（） （C）（）（）（）（D）（）（）（） 8．若函数y=32x-1的反函数的图像经过P点，则P点坐标是（） （A）（2，5）（B）（1，3）（C）（5，2）（D）（3，1）9．函数f(x)=3x+5,则f-1(x)的定义域是（） （A）（０，＋）（B）（５，＋） （C）（６，＋）（D）（－，＋） 10．已知函数f(x)=ax+k,它的图像经过点（1，7），又知其反函数的图像经过点（4，0），则函数f(x)的表达式是（）(A)f(x)=2x+5 (B)f(x)=5x+3 (C)f(x)=3x+4 (D)f(x)=4x+3 11．已知01,b-1,则函数y=ax+b的图像必定不经过（）(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 12．一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，则n年后这批设备的价值为（） （A）na(1-b%) （B）a(1-nb%) （C）a[(1-(b%))n （D）a(1-b%)n 答题卡 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 二、填空题（4*4分） 第四节、指数函数 、初中根式的概念; 如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根； (一)指数与指数幕的运算 1.根式的概念 一般地，如果x" a，那么x叫做a的n次方根，其中n >1,且n € N . 当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.此时，a的n次方根用符号n a表示。 .式子R'a叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数。 当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.此时，正数a 的正的n次方根用符号n a表示，负的n次方根用符号一：a表示?正的n次方根与负的n 次方根可以合并成土：a ( a>0)。 由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0,记作n0 0 思考：x a n=a 一定成立吗? 结当n是奇数时，n a n a 当n是偶数时，n a n| a | a (a 0) a (a 0) (2) . x2 2xy .(x y)7= 2 ?分数指数幕 正数的分数指数幕的意义 规定： m a n Va m （a 0, m, n N *, n 1） -1 1 * a n r 尸帛 （a °， m,n N ,n 1） a 7 va 0的正分数指数幕等于0, 0的负分数指数幕没有意义 指出：规定了分数指数幕的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理 数指数，那么整数指数幕的运算性质也同样可以推广到有理数指数幕. 3 ?有理指数幕的运算性质 (1) r r a ?a s a (a 0,r,s Q) ； (2) r s (a ) rs a (a 0,r,s Q) ； (3) r (ab) r s a a (a 0,b 0,r 无理指数幕：-般地，无理数指数幕a （a 0,是无理数）是一个确定的 实数?有理数指数幕的运算性质同样适用于无理数指数幕. 对于根式的运算，简单的问题可以根据根式的意义直接计算， 一般要将根式化为 分数指数幕，利用分数指数幕的运算性质来进行计算。 2 例2、化简（1）丰匚（旦 a 2?V b 2 (2) 2?3a a ?2 , x 0 x (, a R ), 若 f[ f ( 1)] 1,则 a=( 2 x ,x 0 例 3 、已知函数 f （ x ） 课题： 指数函数及其性质（一） 课 型：新授课 教学目标： 使学生了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系；理解指数函数的的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，掌握指数函数的性质. 教学重点：掌握指数函数的的性质． 教学难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质． 教学过程： 一、复习准备： 1. 提问：零指数、负指数、分数指数幂是怎样定义的？ 2. 提问：有理指数幂的运算法则可归纳为几条？ 二、讲授新课： 1.教学指数函数模型思想及指数函数概念： ① 探究两个实例： A ．细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，如此下去，如果第x 次分裂得到y 个细胞，那么细胞个数y 与次数x 的函数关系式是什么？ B ．一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84％，那么以时间x 年为自变量，残留量y 的函数关系式是什么？ ② 讨论：上面的两个函数有什么共同特征？底数是什么？指数是什么？ ③ 定义：一般地，函数(0,1)x y a a a =>≠且叫做指数函数（exponential function ），其中x 是自变量，函数的定义域为R . ④讨论：为什么规定a ＞0且a ≠1呢？否则会出现什么情况呢？→ 举例：生活中其它指数模型？ 2. 教学指数函数的图象和性质： ① 讨论：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？ ② 回顾：研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质． 研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性． ③ 作图：在同一坐标系中画出下列函数图象： 1 ()2 x y =， 2x y = （师生共作→小结作法） ④ 探讨：函数2x y =与1()2x y =的图象有什么关系？如何由2x y =的图象画出1 ()2 x y =的图 象？根据两个函数的图象的特征，归纳出这两个指数函数的性质. → 变底数为3或1/3等后？ ⑤ 根据图象归纳：指数函数的性质 (书P 56) 3、例题讲解 例1：（P 56 例6）已知指数函数()x f x a =（a ＞0且a ≠1）的图象过点（3，π），求(0),(1),(3)f f f -的值. 例2：（P 56例7）比较下列各题中的个值的大小 （1）1.72.5 与 1.73 指 数函数 2.1.1指数与指数幂的运算 （1）根式的概念 ①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次 当n 是偶数时，正数a 的正的n 负的n 次方根用符号表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根． n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数 时，0a ≥． n a =；当n a =；当n (0) || (0) a a a a a ≥?==? -∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．② 正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0 的负分数指 数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质 ① (0,,) r s r s a a a a r s R +?=>∈ ② ()(0,,) r s rs a a a r s R =>∈ ③ ()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 2.1.2指数函数及其性质 2.1指数函数练习 1．下列各式中成立的一项 （ ） A ．71 7 7)(m n m n = B ．31243)3(-=- C ．4 3433)(y x y x +=+ D ． 33 39= 2．化简)3 1 ()3)((65 61 3 12 12 13 2b a b a b a ÷-的结果 （ ） A ．a 6 B ．a - C ．a 9- D ．2 9a 3．设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ，则下列等式中不正确的是 （ ） A ．f (x +y )=f(x )·f (y ) B ．) () (y f x f y x f =-） （ C ．)()] ([)(Q n x f nx f n ∈= D ．)()]([· )]([)(+∈=N n y f x f xy f n n n 4．函数2 10 ) 2()5(--+-=x x y （ ） A ．}2,5|{≠≠x x x B ．}2|{>x x C ．}5|{>x x D ．}552|{>< 指数函数 (一)指数函数的概念： 函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数.其中x 是自变量.函数的定义域为R . 在以前我们学过的函数中，一次函数用形如)0(≠+=k b kx y 的形式表示，反比例函数用形如)0(≠= k x k y 的形式表示，二次函数用)0(2≠++=a c bx ax y 的形式表示．这些函数对其一般形式上的系数都有相应的限制．给定一个函数要注意它的实际意义与研究价值. 思考：为什么指数函数对底数有这样的要求呢？ 将a 如数轴所示分为：a <0,a =0,01五部分进行讨论： (1)如果a <0, 比如y =(-4)x ，这时对于等，在实数范围内函数值不存在； (2)如果a =0， 、 (3)如果a =1，y =1x =1，是个常值函数，没有研究的必要； （4)如果01即a >0且a ≠1，x 可以是任意实数。 很好，所以有规定10≠>a a 且（对指数函数有一初步的认识）. （二）指数函数的图象与性质： 研究内容：定义域、值域、图象、单调性、奇偶性. 指数函数)10(≠>=a a a y x 且的图象与性质： (四)指数函数性质的简单应用 例1. 比较下列各题中两个值的大小 : (l)1.72.5,1.73; (2)0.8-01,0.8-02; (3)(0.3)-0.3,(0.2)-0.3 (4)1.70.3,0.93.1 分析：对于这样两个数比大小，观察两个数的形式特征（底数相同，指数不同），联想指数函数，提出构造函数法，即把这两个数看作某个函数的函数值，利用函数的单调性比较大小． 说明：1. 当底数相同且明确底数a 与1的大小关系时：直接用函数的单调性来解． 2．当底数相同但不明确底数a 与1的大小关系时： 要分情况讨论． 3．当底数不同不能直接比较时：可借助中间数，间接比较上述两个数的大小． 解 : (1) 考察指数函数 y =1.7x , 由于底数 1.7>1, 所以指数函数 y =1.7x 在R 上是增函数 因为 2.5< 3, 所以 1.72.5<1.73 1a > 01a << 图 象 性 质 （1）定义域：(,)-∞+∞ （2）值域： (0,)+∞ （3）过定点(0,1)，即当0=x 时，1=y （4）在(,)-∞+∞上是增函数 （4）在(,)-∞+∞上是减函数 指数与指数函数 【考纲要求】 1.理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质 2.掌握无理指数幂的概念，将指数的取值范围推广到实数集； 3.掌握指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性，明确指数函数的定义域； 4.掌握指数函数图象： 5.通过对指数函数的概念、图象、性质的学习，培养观察、分析归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法； 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、整数指数幂的概念及运算性质 (1)整数指数幂的概念 () ()),0(1010*Z*n a a a a a Z n a a a a n n a n n ∈≠=≠=∈???=- 个 (2)运算法则 ①n m n m a a a +=?； ②()mn n m a a =； ③()0≠>=-a n m a a a n m n m ，； ④()m m m b a ab =. 指数与指数函数 图象与性质 指数运算 性 质 指数函数的 图 像 与 指 数 的 概 念 考点二、根式的概念和运算法则 (1)n 次方根的定义： 若x n =y(n ∈N *，n>1，y ∈R)，则x 称为y 的n 次方根. 要点诠释： n 为奇数时，正数y 的奇次方根有一个，是正数，记为n y ；负数y 的奇次方根有一个，是负数，记为n y ；零的奇次方根为零，记为00=n ； n 为偶数时，正数y 的偶次方根有两个，记为 0=. (2)根式的意义与运算法则 y y n n =)( ???=) (||)(,为偶数为奇数n a n a a n n 考点三、分数指数幂的概念和运算法则 为避免讨论，我们约定a>0，n ，m ∈N *，且m n 为既约分数，分数指数幂可如下定义： 1 n a = m m n a ==-1m n m n a a = 考点四、有理数指数幂的运算性质 ()Q b a ∈>>βα,00，， (1);a a a αβαβ+?= (2)();a a αβαβ= (3)();ab a b ααα= 当a>0，p 为无理数时，a p 是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用. 要点诠释： (1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算； (2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如2442)4()4(-≠-； (3)幂指数不能随便约分.如2142)4()4(-≠-. 考点五、指数函数 (1)定义： 高中数学-指数函数及其性质教案 教学目标：（1）使学生了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科 的联系； （2）理解指数函数的的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性和特殊点； （3）在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程、数形结合的方法等． 教学重点：指数函数的的概念和性质． 教学难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质． 教学过程： 一、 引入课题 课本52页问题1中函数 的解析式与问题2中函数 的解析式有什么共同特征 如果用a 来代替 和1.073，那么以上两个函数的解析式都可以表示为 的形式，其中自变量x 是指数，底数a 是一个大于0且不等于1的常量. 二、 新课教学 （一）指数函数的概念 一般地，函数)1a ,0a (a y x ≠>=且叫做指数函数（exponential function ），其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 注意：○ 1 指数函数的定义是一个形式定义，要引导学生辨析； ○ 2 注意指数函数的底数的取值范围，引导学生分析底数为什么不能是负数、零和1． 巩固练习：利用指数函数的定义解决（教材P 68例2、3） （二）指数函数的图象和性质 问题：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？ 研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质． 研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性． 探索研究： 1．在同一坐标系中画出下列函数的图象： ()1.073 N ,20x y x x *=∈≤()5730102t P t ??=> ???1573012?? ???x y a = 指数函数讲义经典整理(含答案) 指数函数讲义经典整理（含答案） 一、同步知识梳理 知识点1：指数函数 函数(01) x y a a a 且叫做指数函数，其中x是自变量，函=>≠ 数的定义域是R 知识点2：指数函数的图像和性质 知识点3：指数函数的底数与图像的关系 指数函数在同一直角坐标系中的图 像的相对位置与底数大小的关系如图所示，则01 <<<<<， c d a b 在y轴右侧，图像从下到上相应的底数也由小变大，在y轴左侧，图像从上到下相应的底数也由小变大 即无论在y轴左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大在第一象限内，“底大图高” 知识点4：指数式、指数函数的理解 ① 分数指数幂与根式或以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算 ② 根式的运算、变形、求值、化简及等式证明在数学中占有重要的地位，是研究方程、不等式和函数的基础，应引起重视 ③ 在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中，要注意运用方程的观点处理问题，通过解方程或方程组来求值 ④ 在理解指数函数的概念时，应抓住定义的“形式”， 像1223,,21x x y y x y y =?===- 等函数均不符合形式()01x y a a a =>≠且，因此，它们都不是指数函数 ⑤ 画指数函数 x y a =的图像，应抓住三个关键点： ()()11,,0,1,1,a a ??- ??? 二、同步题型分析 题型1：指数函数的定义、解析式、定义域和值域 例1：已知函数，且． （1）求m的值； （2）判定f（x）的奇偶性； （3）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并给予证明． 考点： 指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数单调性的判断与证明． 专题： 计算题． 分析： （1）欲求m的值，只须根据f（4）=的值，当x=4时代入f（x）解一个指数方程即可； （2）求出函数的定义域x|x≠0}，利用奇偶性的定义判 指数函数讲义经典整理（含答案） 一、同步知识梳理 知识点1：指数函数 函数 (01)x y a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R 知识点2：指数函数的图像和性质 知识点3：指数函数的底数与图像的关系 指数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系 如 图所示，则01c d a b <<<<<， 在y 轴右侧，图像从下到上相应的底数也由小变大， 在y 轴左侧，图像从上到下相应的底数也由小变大 即无论在y 轴左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大 在第一象限内，“底大图高” 知识点4：指数式、指数函数的理解 ① 分数指数幂与根式或以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算 ② 根式的运算、变形、求值、化简及等式证明在数学中占有重要的地位，是研究方程、不等式和函数的基础，应引起重视 ③ 在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中，要注意运用方程的观点处理问题，通过解方程或方程组来求值 ④ 在理解指数函数的概念时，应抓住定义的“形式”，像 1 2 23,,21x x y y x y y =?===- 等 函数均不符合形式 () 01x y a a a =>≠且，因此，它们都不是指数函数 ⑤ 画指数函数x y a =的图像，应抓住三个关键点： ()()11,,0,1,1, a a ?? - ?? ? 二、同步题型分析 题型1：指数函数的定义、解析式、定义域和值域 例1：已知函数，且． （1）求m 的值； （2）判定f （x ）的奇偶性； （3）判断f （x ）在（0，+∞）上的单调性，并给予证明． 考点： 指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数单调性的判断与证明． 专题： 计算题． 分析： （1）欲求m 的值，只须根据f （4）=的值，当x=4时代入f （x ）解一个指数方程即可； （2）求出函数的定义域x|x≠0}，利用奇偶性的定义判断f （x ）与f （﹣x ）的关系，即可得到答案； （3）利用单调性的定义证明即可．任取0＜x1＜x2，只要证明f （x1）＞f （x2），即可． 解答： 解：（1）因为 ，所以 ，所以m=1． （2）因为f （x ）的定义域为{x|x≠0}，又， 所以f （x ）是奇函数． （3）任 取x1＞x2＞0，则 ， 因为x1＞x2＞0，所以 ，所以f （x1）＞f （x2）， 高中数学指数函数教案 数学指数函数教案【教学目标】 1.使学生掌握的概念,图象和性质. (1)能根据定义判断形如什么样的函数是,了解对底数的限制条件的合理性,明确的定义域. (2)能在基本性质的指导下,用列表描点法画出的图象,能从数形两方面认识的性质. (3)能利用的性质比较某些幂形数的大小,会利用的图象画出形如的图象. 2.通过对的概念图象性质的学习,培养学生观察,分析归纳的能力,进一步体会数形结合的思想方法. 3.通过对的研究,让学生认识到数学的应用价值,激发学生学习数学的兴趣.使学生善于从现实生活中数学的发现问题,解决问题. 数学指数函数教案【教学建议】 教材分析 (1)是在学生系统学习了函数概念,基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的,它是重要的基本初等函数之一,作为常见函数,它既是函数概念及性质的第一次应用,也是今后学习对数函数的基础,同时 在生活及生产实际中有着广泛的应用,所以应重点研究. (2)本节的教学重点是在理解定义的基础上掌握的图象和性质.难点是对底数在和时,函数值变化情况的区分. (3)是学生完全陌生的一类函数,对于这样的函数应怎样进行较为系统的理论研究是学生面临的重要问题,所以从的研究过程中得到相应的结论固然重要,但更为重要的是要了解系统研究一类函数的方法, 所以在教学中要特别让学生去体会研究的方法,以便能将其迁移到其他函数的研究. 教法建议 (1)关于的定义按照课本上说法它是一种形式定义即解析式的特征必须是的样子,不能有一点差异,诸如,等都不是. (2)对底数的限制条件的理解与认识也是认识的重要内容.如果有可能尽量让学生自己去研究对底数,指数都有什么限制要求,教师再 给予补充或用具体例子加以说明,因为对这个条件的认识不仅关系到对的认识及性质的分类讨论,还关系到后面学习对数函数中底数的认识,所以一定要真正了解它的由来. 关于图象的绘制,虽然是用列表描点法,但在具体教学中应避免描点前的盲目列表计算,也应避免盲目的连点成线,要把表列在关键之处,要把点连在恰当之处,所以应在列表描点前先把函数的性质作一 些简单的讨论,取得对要画图象的存在范围,大致特征,变化趋势的大概认识后,以此为指导再列表计算,描点得图象. 数学指数函数教案【教学设计示例】 一.引入新课 我们前面学习了指数运算,在此基础上,今天我们要来研究一类新的常见函数-------. 1.6.(板书) 这类函数之所以重点介绍的原因就是它是实际生活中的一种需要.比如我们看下面的问题: 问题1:某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……一个这样的细胞分裂次后,得到的细胞分裂的个数与之间,构成一个函数关系,能写出与之间的函数关系式吗? 由学生回答:与之间的关系式,可以表示为.高一数学指数函数知识点及练习题
高中数学完整讲义指数与指数函数1指数基本运算
指数函数与对数函数(讲义)
高一数学指数函数经典例题
人教高一数学指数函数讲义
高一数学讲义完整版
指数以及指数函数的整理讲义经典-(含答案)
高一数学讲义-指数运算与指数函数
高中数学指数与指数函数练习题及答案
完整word版,人教高一数学指数函数讲义
高中数学指数函数及其性质(一)
高一数学指数函数知识点及练习题含答案
高一数学指数函数知识点与练习
高中数学指数与指数函数知识梳理
高中数学-指数函数及其性质教案
指数函数讲义经典整理(含答案)
指数函数讲义经典整理(含答案)
高中数学指数函数教案
相关主题
文本预览