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高考数学专题-椭圆、双曲线、抛物线

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

高考数学专题-椭圆、双曲线、抛物线

高考定位 1.圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点，多以选择题、填空题或解答题的一问的形式命题；2直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点，尤其是有关弦长计算及存在性问题，运算量大，能力要求高，突出方程思想、转化化归与分类讨论思想方法的考查.

真题感悟

1.(·全国Ⅱ卷)双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( ) A.y ＝±2x B.y ＝±3x C.y ＝±22x

D.y ＝±3

解析法一由题意知，e ＝c

a ＝3，所以c ＝3a ，所以

b ＝

c 2－a 2＝2a ，即b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±2x . 法二由e ＝c a ＝1＋? ??

b a 2

＝3，得b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b

a x ＝±2x . 答案 A

2.(·全国Ⅰ卷)设抛物线

C ：y 2＝4x

的焦点为F ，过点(－2，0)且斜率为2

3的直线与

C 交于M ，N 两点，则FM →·FN →＝( )

A.5

B.6

C.7

D.8

解析过点(－2，0)且斜率为23的直线的方程为y ＝2

3(x ＋2)，由?????y ＝2

（x ＋2），y 2＝4x ，得x 2－5x ＋4＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1>0，y 2>0，根据根与系数的关

系，得x 1＋x 2＝5，x 1x 2＝4.易知F (1，0)，所以FM →＝(x 1－1，y 1)，FN →

＝(x 2－1，y 2)，所以FM →·FN →＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋4x 1x 2＝4－5＋1＋8

＝8. 答案 D

3.(·全国Ⅱ卷)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为3

6的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( ) A.23

B.12

C.13

D.14

解析由题意可知椭圆的焦点在x 轴上，如图所示，设|F 1F 2|＝2c ，∵△PF 1F 2为等腰三角形，且∠F 1F 2P ＝120°， ∴|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c .

∵|OF 2|＝c ，过P 作PE 垂直x 轴，则∠PF 2E ＝60°，所以

F 2E ＝c ，PE ＝3c ，即点P (2c ，3c ).∵点P 在过点A ，且斜率为3

6的直线上，∴3c 2c ＋a ＝36，解得c a ＝14，∴e ＝14. 答案 D

4.(·全国Ⅰ卷)设椭圆C ：x 22＋y 2

＝1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为(2，0).

(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； (2)设O 为坐标原点，证明：∠OMA ＝∠OMB . (1)解由已知得F (1，0)，l 的方程为x ＝1.

把x ＝1代入椭圆方程x 22＋y 2＝1，可得点A 的坐标为?

????1，22或? ????1，－22.

又M (2，0)，所以AM 的方程为y ＝－22x ＋2或y ＝2

2x － 2. (2)证明当l 与x 轴重合时，∠OMA ＝∠OMB ＝0°.

当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以∠OMA ＝∠OMB .

当l 与x 轴不重合也不垂直时，

设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，

则x 1<2，x 2<2，直线MA ，MB 的斜率之和为k MA ＋k MB ＝y 1x 1－2＋y 2

x 2－2.

由y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)得 k MA ＋k MB ＝2kx 1x 2－3k （x 1＋x 2）＋4k

（x 1－2）（x 2－2）.

将y ＝k (x －1)代入x 22＋y 2

＝1得 (2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0. 所以，x 1＋x 2＝4k 2

2k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1

则2kx 1x 2－3k (x 1＋x 2)＋4k ＝4k 3－4k －12k 3＋8k 3＋4k

2k 2＋1＝0.

从而k MA ＋k MB ＝0，故MA ，MB 的倾斜角互补. 所以∠OMA ＝∠OMB .综上，∠OMA ＝∠OMB .

考点整合

1.圆锥曲线的定义

(1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a ＞|F 1F 2|)； (2)双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a ＜|F 1F 2|)； (3)抛物线：|MF |＝d (d 为M 点到准线的距离).

温馨提醒应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误. 2.圆锥曲线的标准方程

(1)椭圆：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2＋x 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)(焦点在y 轴上)；

(2)双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2－x 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)(焦点在y 轴上)；

(3)抛物线：y 2＝2px ，y 2＝－2px ，x 2＝2py ，x 2＝－2py (p ＞0). 3.圆锥曲线的重要性质

(1)椭圆、双曲线中a ，b ，c 之间的关系

①在椭圆中：a 2

＝b 2

＋c 2

；离心率为e ＝c a ＝1－b 2

a 2.

②在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2

；离心率为e ＝c a ＝1＋b 2a 2.

(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标

①双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±

a x ；焦点坐标F 1(－c ，0)，F 2(c ，0).

②双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±

b x ，焦点坐标F 1(0，－

c )，F 2(0，c ).

(3)抛物线的焦点坐标与准线方程

①抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ? ??

p 2，0，准线方程x ＝－p 2.

②抛物线x 2

＝2py (p >0)的焦点F ? ????0，p 2，准线方程y ＝－p 2. 4.弦长问题

(1)直线与圆锥曲线相交的弦长

设而不求，利用根与系数的关系，进行整体代入.即当斜率为k ，直线与圆锥曲线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)时，|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2.

(2)过抛物线焦点的弦长

抛物线y 2

＝2px (p >0)过焦点F 的弦AB ，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 2

4，

y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .

热点一圆锥曲线的定义及标准方程

【例1】 (1)(·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点.设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 2

12＝1 B.x 212－y 2

4＝1 C.x 23－y 2

9＝1

D.x 29－y 2

3＝1

(2)(2018·烟台二模)已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，M 是抛物线C 上一点，若FM 的延长线交x 轴的正半轴于点N ，交抛物线C 的准线l 于点T ，且FM →＝MN

→，则|NT |＝________. 解析 (1)由d 1＋d 2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b ＝3.因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，所以c

a ＝2，所以a 2＋

b 2a 2＝4，所以a 2＋9a 2＝4，解得a 2

＝3，所以双曲线的方程为x 23－y 29＝1. (2)由x 2＝4y ，知F (0，1)，准线l ：y ＝－1. 设点M (x 0，y 0)，且x 0>0，y 0>0.

由FM →＝MN →

，知点M 是线段FN 的中点，N 是FT 中

点，利用抛物线定义，|MF |＝|MM ′|＝y 0＋1，且|FF ′|＝2|NN ′|＝2.又2(y 0＋1)＝|FF ′|＋|NN ′|＝3，知y 0＝12.∴|MF |＝12＋1＝3

2，从而|NT |＝|FN |＝2|MF |＝3. 答案 (1)C (2)3

探究提高 1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离，一般运用定义转化为到准线的距离处理.如本例(2)中充分运用抛物线定义实施转化，使解答简捷、明快.

2.求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后计算”.所谓“定型”，就是指确定类型，所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值，最后代入写出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程.

【训练1】 (1)(·全国Ⅲ卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方

程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 2

3＝1有公共焦点，则C 的方程为( ) A.x 28－y 210＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1

(2)(·衡水中学调研)P 为椭圆C ：x 22＋y 2

＝1上一动点，F 1，F 2分别为左、右焦点，延长F 1P 至点Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，记动点Q 的轨迹为Ω，设点B 为椭圆C 短轴上一顶点，直线BF 2与Ω交于M ，N 两点，则|MN |＝________. 解析 (1)由题设知b a ＝5

2，①

又由椭圆x 212＋y 2

3＝1与双曲线有公共焦点，易知a 2＋b 2＝c 2＝9，②

由①②解得a ＝2，b ＝5，则双曲线C 的方程为x 24－y 2

5＝1. (2)∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝22，且|PQ |＝|PF 2|， ∴|F 1Q |＝|F 1P |＋|PF 2|＝2 2.

∴Ω为以F 1(－1，0)为圆心，22为半径的圆. ∵|BF 1|＝|BF 2|＝2，|F 1F 2|＝2，∴BF 1⊥BF 2，

故|MN |＝2|F 1M |2－|BF 1|2＝2（22）2－（2）2＝2 6. 答案 (1)B (2)2 6

热点二圆锥曲线的几何性质

【例2】 (1)(·全国Ⅲ卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则点(4，0)到C 的渐近线的距离为( )

A. 2 B .2

C.322

D .2 2

(2)(·北京卷改编)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线N ：x 2m 2－y 2

n 2＝1.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________.

解析 (1)法一由离心率e ＝c

a ＝2，得c ＝2a ，又

b 2＝

c 2－a 2，得b ＝a ，所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x .由点到直线的距离公式，得点(4，0)到C 的渐近线的距离为

1＋1

＝2 2. 法二离心率e ＝2的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y ＝±x ，∴点(4，0)到C 的渐近线的距离为

1＋1

＝2 2. (2)设椭圆的右焦点为F (c ，0)，双曲线N 的渐近线与椭圆M 在第一象限内的交点为A ，

由题意可知A ? ????

c 2

，

3c 2，由点A 在椭圆M 上得，c 24a 2＋3c 2

4b 2＝1，∴b 2c 2＋3a 2c 2＝4a 2b 2，∵b 2＝a 2－c 2，∴(a 2－c 2)c 2＋3a 2c 2＝4a 2(a 2－

c 2)，则4a 4－8a 2c 2＋c 4＝0，e 4－8e 2＋4＝0，∴e 2＝4＋23(舍)，e 2＝4－2 3.由0

探究提高 1.分析圆锥曲线中a ，b ，c ，e 各量之间的关系是求解圆锥曲线性质问题的关键.

2.确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程(组)或不等式(组)，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式.建立关于a ，b ，c 的方程(组)或不等式(组)，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.

3.求双曲线渐近线方程关键在于求b a 或a

b 的值，也可将双曲线等号右边的“1”变为“0”，然后因式分解得到.

【训练2】 (1)(·成都质检)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点E (0，t )(0

B.22

C.12

D.33

(2)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p ＞0)交于A ，B 两点，若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________.

解析 (1)由椭圆的定义及对称性，△PEF 2的周长的最小值为2a .∴2a ＝4b ，a ＝2b ，则c ＝a 2－b 2＝3b ，则椭圆C 的离心率e ＝c a ＝3

2. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，

联立方程：?????x 2

a 2－y 2

b 2＝1，

x 2＝2py ，消去x 得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0，

由根与系数的关系得y 1＋y 2＝2b 2

a 2p ，又∵|AF |＋|BF |＝4|OF |，

∴y 1＋p 2＋y 2＋p 2＝4×

p 2，即y 1＋y 2＝p ，

∴2b 2a 2p ＝p ，即b 2a 2＝12b a ＝22.

∴双曲线渐近线方程为y ＝±2

2x .

答案 (1)A (2)y ＝±2

2x 热点三直线与圆锥曲线

考法1 直线与圆锥曲线的位置关系

【例3－1】 (·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H . (1)求|OH ||ON |；

(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由. 解 (1)如图，由已知得M (0，t )，P ? ????

t 2

2p ，t ，

又N 为M 关于点P 的对称点，故N ? ??

t 2p ，t ，

故直线ON 的方程为y ＝p

t x ，

将其代入y 2＝2px 整理得px 2－2t 2x ＝0，

解得x 1＝0，x 2＝2t 2p ，因此H ? ????

2t 2

p ，2t .

所以N 为OH 的中点，即|OH |

|ON |＝2.

(2)直线MH 与C 除H 以外没有其它公共点，理由如下：直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2t

p (y －t ). 代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，

即直线MH 与C 只有一个公共点，

所以除H 以外，直线MH 与C 没有其它公共点.

探究提高 1.本题第(1)问求解的关键是求点N ，H 的坐标.而第(2)问的关键是将直线MH 的方程与曲线C 联立，根据方程组的解的个数进行判断.

2.判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.并且解题时注意应用根与系数的关系及设而不求、整体代换的技巧.

【训练3】 (·潍坊三模)已知M 为圆O ：x 2＋y 2＝1上一动点，过点M 作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为A ，B ，连接BA 延长至点P ，使得|PA |＝2，记点P 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程；

(2)直线l ：y ＝kx ＋m 与圆O 相切，且与曲线C 交于D ，E 两点，直线l 1平行于l 且与曲线C 相切于点Q (O ，Q 位于l 两侧)，

S △ODE S △QDE ＝2

，求k 的值. 解 (1)设P (x ，y )，A (x 0，0)，B (0，y 0)，则M (x 0，y 0)且x 20＋y 2

0＝1，

由题意知OAMB 为矩形，∴|AB |＝|OM |＝1， ∴AP →＝2BA →，即(x －x 0，y )＝2(x 0，－y 0)， ∴x 0＝x 3，y 0＝－y 2，则x 29＋y 2

4＝1，

故曲线C 的方程为x 29＋y 2

4＝1.

(2)设l 1：y ＝kx ＋n ，∵l 与圆O 相切， ∴圆心O 到l 的距离d 1＝

|m |

k 2

＋1

＝1，得m 2＝k 2＋1，① ∵l 1与l 距离d 2＝|m －n |k 2＋1

，②

∵S △ODE S △QDE ＝1

2|DE |·d 1

12|DE |·d 2

＝d 1d 2

＝|m ||m －n |＝23， ∴m ＝－2n 或m ＝2

n ，

又O ，Q 位于l 两侧，∴m ＝2

5n ，③ 联立?????x 29＋y 24＝1，y ＝kx ＋n ，消去y 整理得

(9k 2＋4)x 2＋18knx ＋9n 2－36＝0，

由Δ＝0，得n 2＝9k 2＋4，④ 由①③④得k ＝±311

11.

考法2 有关弦的中点、弦长问题

【例3－2】 (·全国Ⅲ卷)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24＋y 2

3＝1交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M (1，m )(m >0). (1)证明：k <－12；

(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP →＋FA →＋FB →＝0.证明：|FA →|，|FP →|，

|FB

→|成等差数列，并求该数列的公差. (1)证明设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，

则x 214＋y 213＝1，x 224＋y 2

3＝1.

两式相减，并由y 1－y 2x 1－x 2＝k 得x 1＋x 24＋y 1＋y 2

3·k ＝0.

由题设知x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝m ，于是k ＝－3

4m .① 由于点M (1，m )(m >0)在椭圆x 24＋y 2

3＝1内， ∴14＋m 23<1，解得0

则(x 3－1，y 3)＋(x 1－1，y 1)＋(x 2－1，y 2)＝(0，0). 由(1)及题设得

x 3＝3－(x 1＋x 2)＝1，y 3＝－(y 1＋y 2)＝－2m <0. 又点P 在C 上，所以m ＝3

4，从而P ? ?

???1，－32，|FP →|＝32.

于是|FA →|＝（x 1－1）2＋y 21

＝（x 1－1）2

＋3?

????1－x 2

14＝2－x 12.

同理|FB →

|＝2－x 22.

所以|FA

→|＋|FB →|＝4－12(x 1＋x 2)＝3. 故2|FP

→|＝|FA →|＋|FB →|，即|FA

→|，|FP →|，|FB →|成等差数列. 设该数列的公差为d ，则 2|d |＝||FB

→|－|FA →||＝12|x 1－x 2

| ＝1

2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2.②

将m ＝3

4代入①得k ＝－1.

所以l 的方程为y ＝－x ＋74，代入C 的方程，并整理得7x 2－14x ＋1

4＝0.

故x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝128，代入②解得|d |＝321

28.

所以该数列的公差为32128或－321

28.

探究提高 1.在涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系与弦长公式|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|，设而不求计算弦长；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解，以简化运算.

2.对于弦的中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ>0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交.

【训练4】 (·天津卷)设椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B ，已知

椭圆的离心率为5

3，点A 的坐标为(b ，0)，且|FB |·|AB |＝6 2. (1)求椭圆的方程；

(2)设直线l ：y ＝kx (k >0)与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q .若|AQ ||PQ |＝52

4sin ∠AOQ (O 为原点)，求k 的值.

解 (1)设椭圆的焦距为2c ，由已知有c 2a 2＝5

9，

又由a 2＝b 2＋c 2，可得2a ＝3b . 由已知可得，|FB |＝a ，|AB |＝2b ，由|FB |·|AB |＝62，

可得ab ＝6，从而a ＝3，b ＝2. 所以，椭圆的方程为x 29＋y 2

4＝1.

(2)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，点Q 的坐标为(x 2，y 2). 由已知有y 1>y 2>0，故|PQ |sin ∠AOQ ＝y 1－y 2. 又因为|AQ |＝

y 2sin ∠OAB

，而∠OAB ＝π

4，

故|AQ |＝2y 2.

由|AQ ||PQ |＝52

4sin ∠AOQ ，可得5y 1＝9y 2.

由方程组?????y ＝kx ，x 29＋y 24＝1，消去x ，可得y 1＝6k

9k 2

＋4. 易知直线AB 的方程为x ＋y －2＝0，

由方程组???y ＝kx ，x ＋y －2＝0，消去x ，可得y 2＝2k

k ＋1.

代入5y 1＝9y 2，可得5(k ＋1)＝39k 2＋4，将等式两边平方，整理得56k 2－50k ＋11＝0，解得k ＝12或k ＝11

28. 所以，k 的值为12或11

28.

1.椭圆、双曲线的方程形式上可统一为Ax 2＋By 2＝1，其中A ，B 是不等的常数，A ＞B ＞0时，表示焦点在y 轴上的椭圆；B ＞A ＞0时，表示焦点在x 轴上的椭圆；AB ＜0时表示双曲线.

2.对涉及圆锥曲线上点到焦点距离或焦点弦问题，恰当选用定义解题，会效果明显，定义中的定值是标准方程的基础.

3.求双曲线、椭圆的离心率的方法：法一：直接求出a ，c ，计算e ＝c

a ；法二：根据已知条件确定a ，

b ，

c 的等量关系，然后把b 用a ，c 代换，求c

a . 4.弦长公式对于直线与椭圆的相交、直线与双曲线的相交、直线与抛物线的相交都是通用的，此公式可以记忆，也可以在解题的过程中，利用两点间的距离公式推导.

5.求中点弦的直线方程的常用方法

(1)点差法，设弦的两端点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，分别代入圆锥曲线方程，两式作差，式中含有x 1＋x 2，y 1＋y 2，y 1－y 2

x 1－x 2三个量，则建立了圆锥曲线的

弦的中点坐标与弦所在直线的斜率之间的关系，借助弦的中点坐标即可求得斜率；(2)根与系数的关系，联立直线与圆锥曲线的方程，化为一元二次方程，用根与系数的关系求解.

一、选择题

1.(·合肥调研)已知双曲线C ：y 2a 2－x 2

b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与直线2x －y ＋1＝0垂直，则双曲线C 的离心率为( ) A .2

B.2

C. 3

D. 5

解析依题意，2·? ????－a b ＝－1，∴b ＝2a .则e 2＝1＋? ????

b a 2

＝5，∴e ＝ 5. 答案 D

2.(·南昌质检)已知抛物线C ：x 2＝4y ，过抛物线C 上两点A ，B 分别作抛物线的两条切线PA ，PB ，P 为两切线的交点，O 为坐标原点，若PA →·PB →＝0，则直线

OA 与OB 的斜率之积为( ) A .－14

B .－3

C .－18

D .－4

解析设A ? ????x A ，x 2A 4，B ? ?

??x B ，x 2B 4，由x 2＝4y ，得y ′＝x 2.所以k AP ＝x A 2，k BP ＝x B 2，由

PA →·PB →

＝0，得PA ⊥PB .∴x A 2·x B 2＝－1，则x A ·x B ＝－4，又k OA ·k OB ＝x 2A 4x A ·x 2

B 4x B ＝x A x B 16

＝－14. 答案 A

3.(·全国Ⅰ卷)已知F 是双曲线C ：x 2－y

23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF

与x 轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则△APF 的面积为( ) A.13

B.12

C.23

D.32

解析由c 2＝a 2＋b 2＝4得c ＝2，所以F (2，0)，将x ＝2代入x 2

－y 2

3＝1，得y ＝±3，所以|PF |＝3.

又A 的坐标是(1，3)，

故△APF 的面积为12×3×(2－1)＝32. 答案 D

4.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，

A 为椭圆上一点，∠F 1AF 2＝π

2，连接AF 2交y 轴于M 点，若3|OM |＝|OF 2|，则该椭圆的离心率为( ) A.13

B.33

C.58

D.104

解析设|AF 1|＝m ，|AF 2|＝n .

如图所示，由题意可得 ∵Rt △F 1AF 2∽Rt △MOF 2.

∴|AF 1||AF 2|＝|OM ||OF 2|＝1

3，则n ＝3m .又|AF 1|＋|AF 2|＝m ＋n ＝2a ，

∴m ＝a 2，n ＝32a .

在Rt △F 1AF 2中，m 2＋n 2＝4c 2，即10

4a 2＝4c 2，

∴e 2

＝c 2a 2＝1016，故e ＝104. 答案 D

5.(·石家庄调研)已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 为双曲线上一点，PF 2与x 轴垂直，∠PF 1F 2＝30°，且虚轴长为22，则双曲线的标准方程为( ) A.x 24－y 2

2＝1 B.x 23－y 2

2＝1

C.x 24－y 2

8＝1

D .x 2

－y 22＝1

解析如图，不妨设点P (x 0，y 0)在第一象限，则PF 2⊥x 轴，

在Rt △PF 1F 2中，∠PF 1F 2＝30°，|F 1F 2|＝2c ，则|PF 2|＝23c 3，|PF 1|＝43c 3，

又因为|PF 1|－|PF 2|＝23c

3＝2a ，即c ＝3a . 又2b ＝22，知b ＝2，

且c 2－a 2＝2，从而得a 2＝1，c 2＝3. 故双曲线的标准方程为x 2

－y 2

2＝1.

答案 D 二、填空题

6.(·北京卷)已知直线l 过点(1，0)且垂直于x 轴.若l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________.

解析由题意知，a>0，对于y2＝4ax，当x＝1时，y＝±2a，由于l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，所以4a＝4，所以a＝1，所以抛物线的焦点坐标为(1，0).

答案(1，0)

7.(·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2

a2－

b2＝1(a>0，b>0)的右焦点

F(c，0)到一条渐近线的距离为

2c，则其离心率的值是________.

解析不妨设双曲线的一条渐近线方程为y＝b

a x，

所以

|bc|

a2＋b2

＝b＝

2c，所以b

2＝c2－a2＝

2，得c＝2a，

所以双曲线的离心率e＝c

a＝2.

答案 2

8.设抛物线x2＝4y的焦点为F，A为抛物线上第一象限内一点，满足|AF|＝2；已知P为抛物线准线上任一点，当|PA|＋|PF|取得最小值时，△PAF的外接圆半径为________.

解析由x2＝4y，知p＝2，∴焦点F(0，1)，准线y＝－1.

依题意，设A(x0，y0)(x0>0)，

由定义，得|AF|＝y0＋p

2，则y0＝2－1＝1，∴AF⊥y轴.

易知当P(1，－1)时，|PA|＋|PF|最小，∴|PF|＝12＋（－1－1）2＝ 5.

由正弦定理，2R＝|PF|

sin A＝

＝

2，

因此△PAF的外接圆半径R＝5 4.

答案5 4

三、解答题

9.(·全国Ⅱ卷)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8. (1)求l 的方程；

(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程. 解 (1)由题意得F (1，0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k >0). 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).

由???y ＝k （x －1），y 2＝4x

得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. Δ＝16k 2＋16>0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4

k 2.

所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4

k 2.

由题设知4k 2＋4

k 2＝8，解得k ＝－1(舍去)，k ＝1. 因此l 的方程为y ＝x －1.

(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3，2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5.

设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则

???y 0＝－x 0＋5，

（x 0＋1）2＝（y 0－x 0＋1）22

＋16. 解得???x 0＝3，y 0＝2或???x 0＝11，y 0

＝－6.

因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144. 10.(·北京卷)已知椭圆C 的两个顶点分别为A (－2，0)，B (2，0)，焦点在x 轴上，离心率为32. (1)求椭圆C 的方程；

(2)点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5. (1)解设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0).

由题意得???a ＝2，

c a ＝32，

解得c ＝

3.所以b 2＝a 2－c 2＝1.

所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2

＝1.

(2)证明设M (m ，n )，则D (m ，0)，N (m ，－n ). 由题设知m ≠±2，且n ≠0.

直线AM 的斜率k AM ＝n

m ＋2

，故直线DE 的斜率k DE ＝－m ＋2

n .

所以直线DE 的方程为y ＝－m ＋2

n (x －m ).

直线BN 的方程为y ＝n

2－m (x －2).

联立?????y ＝－m ＋2

n （x －m ），y ＝n

2－m （x －2），

解得点E 的纵坐标y E ＝－n （4－m 2）4－m 2＋n 2.

由点M 在椭圆C 上，得4－m 2＝4n 2，所以y E ＝－4

5n .

又S △BDE ＝12|BD |·|y E |＝2

5|BD |·|n |，

S △BDN ＝1

2|BD |·|n |.

所以△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.

高考数学椭圆与双曲线的经典性质50条技巧归纳总结

高考数学双曲线

第51讲双曲线 1．双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的__距离的差的绝对值__等于常数(小于||F 1F 2)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做__双曲线的焦点__，两焦点间的距离叫做__双曲线的焦距__．集合P ＝{}M ||| ||MF 1－||MF 2＝2a ，||F 1F 2＝2c ，其中a ，c 为常数，且a >0，c >0. (1)当__a ＜c __时，点P 的轨迹是双曲线； (2)当__a ＝c __时，点P 的轨迹是两条射线； (3)当__a ＞c __时，点P 不存在． 2．双曲线的标准方程和几何性质 x ≥a 或x ≤－a ，y ∈R y ≤－a 或y ≥a ，x ∈R

3．常用结论(1)双曲线的焦点到渐近线x a 2－y b 2＝0(a ＞0，b ＞0)的距离为b .如右图△OFH 是分别以边a ，b ，c 为边长的直角三角形． (2)如下图： x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0) 则有：P 1，P 2两点坐标都为????c ，b 2 a ，即||FP 1＝||FP 2＝b 2 a . 1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)． (1)平面内到点F 1 (0,4)，F 2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．( × ) (2)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( × ) (3)方程x 2m －y 2 n ＝ 1(mn ＞0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( × ) (4)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m ＞0，n ＞0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±y n ＝ 0.( √ ) 解析 (1)错误．由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部． (2)错误．因为||||MF 1－||MF 2＝8＝||F 1F 2，表示的轨迹为两条射线． (3)错误．当m ＞0，n ＞0时表示焦点在x 轴上的双曲线，而m ＜0，n ＜0时则表示焦点在y 轴上的双曲线．

高中数学有关圆-椭圆-双曲线-抛物线的详细知识点

<一>圆的方程 (x-a)^2+(y-b)^2=r^2，圆心O（a，b），半径r。（1）圆的一般式方程：x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 此方程可用于解决两圆的位置关系：配方化为标准方程：（x+D/2）^2.+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4 其圆心坐标：（-D/2,-E/2）半径为r=√[（D^2+E^2-4F）]/2 此方程满足为圆的方程的条件是: D^2+E^2-4F>0 若不满足,则不可表示为圆的方程（2）点与圆的位置关系点P（X1,Y1) 与圆(x－a)^2+(y－b) ^2=r^2的位置关系： ⑴当(x1－a)^2+(y1－b) ^2>r^2时，则点P在圆外。 ⑵当(x1－a)^2+(y1－b) ^2=r^2时，则点P在圆上。 ⑶当(x1－a)^2+(y1－b) ^20，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。如果b^2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。

2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴（或垂直于x 轴），将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为 (x－a)^2+(y－b) ^2=r^2。令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1x2时，直线与圆相离；当x1 (x+D/2)^2+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4 => 圆心坐标为(-D/2,-E/2) 其实只要保证X方Y方前系数都是1 就可以直接判断出圆心坐标为(-D/2,-E/2) 这可以作为一个结论运用的且r=根号（圆心坐标的平方和-F） <二>椭圆的标准方程椭圆的标准方程分两种情况：当焦点在x轴时,椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)；当焦点在y轴时,椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)；其中a>0，b>0。a、b中较大者为椭圆长半轴长，较短者为短半轴长（椭圆有两条对称轴，对称轴被椭圆所截，有两条线段，它们的一半分别叫椭圆的长半轴和短半轴或半长轴和半短轴）当a>b时，焦点在x轴上，焦距为2*(a^2-b^2）^0.5，焦距与长、短半轴的关系：b^2=a^2-c^2，准线方程是x=a^2/c和x=-a^2/c ，c为椭圆的半焦距。又及：如果中心在原点，但焦点的位置不明确在X轴或Y轴时，方程可设为mx^2+ny^2=1(m>0，n>0，m≠n）。即

中职拓展模块椭圆、双曲线-抛物线试题

中职拓展模块椭圆、双曲线、抛物线测试题（时间：60分钟总分：100分）得分：_________ 一、单选题(本大题共10小题,每小题4分,共40分) 1、若方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆, 那么实数k 的取值范围是 ( ) A (0, +∞) B (0, 2) C (1, +∞) D （0,1) 2、抛物线2 8y x =的准线方程是（） A ：x=2 B ：x=-4 C ：y=-2 D ： y=-4 3、焦点为1(5,0)F -、2(5,0)F ，实轴长是6的双曲线的方程是（） A 、 221169x y -= B 、221916x y -= C 、221169y x -= D 、22 196 x y -= 4、若抛物线2 2y px =的焦点与椭圆 2 2 162 x y +=的右焦点重合，则p 的值为（） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4 5、双曲线的渐近线方程是（） A ： 2y x =± B ： 0.5y x =± C ： 2y x =- D ： 0.5y x = 6、一动圆圆心在抛物线y x 82 -=上，且动圆恒与直线y =2相切，则动圆必过定点（） A 、（4，0） B 、（0，–4） C 、（2，0） D 、（0，–2） 7、过抛物线焦点任作一弦，以这弦为直径作圆，这圆与抛物线的准线的位置关系是（） A 、相交 B 、相切 C 、相离 D 、不确定 8、等轴双曲线的离心率是（） A 、1 B 、2 C 、1/2 D 、不确定 9、椭圆19 252 2=+y x 上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（） A.5 B.6 C.4 D.10 10、曲线221(6)106x y m m m +=<--与曲线22 1(59)59x y m m m +=<<--的( ) A.焦距相等 B.离心率相等 C.焦点相同 D.不能确定二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分) 11. 双曲线22 1259 x y -=的实虚轴长分别是，顶点坐标是，焦点坐标是，渐近线方程是，离心率是。 12、抛物线210y x =的焦点坐标是，准线方程是。 13、双曲线 22 22 1124x y m m -=+-的焦距是。 14、椭圆5k -522=y x 的一个焦点是（0,2），则k ＝_________ 三、解答题(本大题4小题，共44分) 15、（10分）已知椭圆的两个焦点分别为12(0,22),(0,22)F F -,离心率22 e = 求椭圆的方程。班级____________ 姓名_____________ 座位号__________ 2244 x y -=

高考数学椭圆与双曲线的经典性质50条经典法则

椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）高三数学备课组椭圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122 tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则2 2OM AB b k k a ?=-，即0 202y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+. 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支） 5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b -=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）外，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2 的直线方程是00221x x y y a b -=. 7. 双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122 t 2 F PF S b co γ ?=. 8. 双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c 当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-. 当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =-- 9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和 A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.

椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质

一、知识要点: 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质

第一种定义:平面内与两个定点F 1、F 2的距离之和等于常数(大于｜F 1F 2｜)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距. 第二种定义:平面内一个动点到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是小于1的正常数,这个动点的轨迹叫椭圆,定点是椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线. 2.椭圆的标准方程: (1))0(122 22>>=+b a b y a x ,焦点:F 1(-c,0),F 2(c,0),其中 c=2 2b a -. (2))0(122 22>>=+b a a y b x ,焦点 :F 1(0,-c),F 2(0,c), 其中 c= 2 2b a -. 3.椭圆的参数方程:? ??==θθ sin cos b y a x ,(参数θ是椭圆上任意一点的离心率). 4.椭圆的几何性质:以标准方程)0(12222>>=+b a b y a x 为例: ①范围:|x|≤a,|y|≤b; ②对称性:对称轴x=0,y=0,对称中心为O(0,0); ③顶点A(a,0),A ′(-a,0),B(0,b),B ′(0,-b);长轴|AA ′|=2a,短轴|BB ′|=2b; ④离心率:e=a c ,0

⑤准线x=±c a 2 ;⑥焦半径:|PF 1|=a+ex,|PF 2|=a-ex,其中P(x,y)是椭圆上任意一点. 二、基本训练 1．设一动点 P 到直线3x =的距离与它到点A （1，0）的距离之比为 3，则动点P 的轨迹方程是（） () A 22 132 x y += ()B 22 132 x y -= ()C 2 2 (1)132 x y ++= ()D 22 123 x y += 2．曲线 192522=+y x 与曲线)9(19252 2<=-+-k k y k x 之间具有的等量关系（） ()A ()C 3且过点(3,0)A 4．底面直径为12cm 30的平面所截，，短轴长，离心率5．已知椭圆22 221(x y a b +=的离心率为5，若将这个椭圆绕着它的右

高考数学双曲线

2021年新高考数学总复习第九章《平面解析几何》双曲线 1．双曲线定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. (1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线； (2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线； (3)当2a>|F1F2|时，P点不存在． 2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程 x2 a2－ y2 b2＝1 (a>0，b>0) y2 a2－ x2 b2＝1 (a>0，b>0) 图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线y＝± b a x y＝± a b x 离心率e＝ c a，e∈(1，＋∞)，其中c＝a 2＋b2 实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a，线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a，b，c 的关系 c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0) 概念方法微思考

1．平面内与两定点F 1，F 2的距离之差的绝对值等于常数2a 的动点的轨迹一定为双曲线吗？为什么？提示不一定．当2a ＝|F 1F 2|时，动点的轨迹是两条射线；当2a >|F 1F 2|时，动点的轨迹不存在；当2a ＝0时，动点的轨迹是线段F 1F 2的中垂线． 2．方程Ax 2＋By 2＝1表示双曲线的充要条件是什么？提示若A >0，B <0，表示焦点在x 轴上的双曲线；若A <0，B >0，表示焦点在y 轴上的双曲线．所以Ax 2＋By 2＝1表示双曲线的充要条件是AB <0. 3．与椭圆标准方程相比较，双曲线标准方程中，a ，b 只限制a >0，b >0，二者没有大小要求，若a >b >0，a ＝b >0,0b >0时，10时， e ＝2(亦称等轴双曲线)，当0 2. 题组一思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( × ) (2)方程x 2m －y 2n ＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( × ) (3)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±y n ＝0.( √ ) (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( √ ) (5)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 22 ＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线)．( √ ) 题组二教材改编 2．若双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( ) A. 5 B ．5 C. 2 D ．2 答案 A 解析由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为x a ±y b ＝0，即bx ±ay ＝0，