全面认识中学数学中的“数形结合”
发表时间：2011-06-21T09:04:56.393Z 来源：《学园》2011年4月第8期供稿作者：许志军[导读] 数形结合思想方法有助于概念的相互转化，从而利用数形的辩证统一和各自的优势寻觅出解决问题的途径许志军福建省南靖县城关中学
【摘要】数形结合思想是把代数上的“数”与几何上的“形”结合起来考虑问题，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，对题目中的条件和结论，既分析其代数含义，又挖掘其几何背景，在代数和几何的结合上寻找解题思路。【关键词】数形结合方程方法图形
【中图分类号】G632 【文献标识码】A 【文章编号】1674－4810（2011）08－0170－01 数形结合，不仅是一种重要的解题方法，而且是一种重要的思维方法，它在中学数学中占有重要的地位，在中考数学试题中是重点考查、运用的数学思想方法之一。
一中学数学中的“数形结合”
数学是研究数量关系和空间形式的一门科学，其本质就是研究数与形两个问题：这两个问题是数学教学的基础，所有的数学问题都是围绕着这两个问题而展开的。每个几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，而数量关系常常又可以通过图形的直观性作出形象的描述。因此，在解题中依据题目中所提供的信息及数量关系的结构特征，通过作图（函数图象、几何图形、示意图）来表述、反映问题中数量间个元素的关联，同时对图形实施某些操作，往往能使问题轻松得到解决。而形的问题借助数去思考，把代数、几何知识相互转化，相互利用。解题过程使“数”与“形”各展其长，相辅相成，使逻辑思维与形象思维完美地统一起来，这就是数形结合的思想方法。数形结合思想是把代数上的“数”（代数式或变量之间的数量关系）与几何上的“形”（曲线或区域）结合起来考虑问题，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，也就是对题目中的条件和结论，既分析其代数含义，又挖掘其几何背景，在代数和几何的结合上寻找解题思路。数形结合中的“数”，既是一般意义上的数，如实数、复数等，也可以是表示数的式，如代数式或超越式，甚至它还可以是变数即函数；“形”当然是各种形式的数的几何图形表示。
在解决与几何图形有关的问题时，将图形信息转换成代数的信息，利用数量特征，将其转化为代数问题，这就是数形结合中的又一个重要方面——以数解形；在解决与数量有关的问题时，根据数量的结构特征，构造出相应的几何图形，即转化为几何问题，给数学问题以直观图像的描述，揭示出问题的几何特征，变抽象为形象，这就是数形结合中的另一个重要方面——以形助数。
二 “数形结合”具体解题指导
1．运用数形结合的主要途径
第一是通过坐标系。几何形式具有直观形象的优势，代数形式也具有便于计算的长处，因而也有具有操作程序化的优势。具体在解决问题时最好将二者结合起来。
第二是转化。通过分析数式的结构，把问题转化到另一个角度考虑，比如：数学中有很多概念，如距离、角度、斜率、点集、实数的绝对值都有明显的几何背景，它们都是容易转化成“形”的，因此题目中设计到这些问题时，可以用数形结合法来解决。
第三是构造。通过构造几何模型，构造函数式，构造图标等等。比如：函数的图像为数形结合带来了便利条件，从图像上寻找突破口常常是解决问题的关键。如果方程自身或方程两边（或通过变形）的表达式有明显的几何意义，可以把抽象的数量关系转化成图形来解决。由于方程的解是函数图像的横坐标，因此，对一些解起来很困难的方程，用数形结合的方法求解是很重要的方法，特别是判断方程解的个数，而不是求方程的具体值时，这样解题更方便，也使问题解得简单、直观、明了，省略了繁杂的运算过程。 2．运用数形结合的基本思路
第一，根据数式的结构特征，通过上述三个途径，作出与之相适应的几何图形（“数”上构形），并利用图形的特征和规律，解决数式问题，就是利用图形分心问题，由题目本身提供信息，在作图过程中，实施一系列实验性操作，边画图、边分析、边思考、边解决。
第二，将图形的信息部分或全部转换成代数信息，消弱或清除形的部分（形中觅数），使要解决的形的问题转化成数量关系的讨论。使问题得到解决。
3．需要注意的问题
数形结合虽然有利用解决思路，探究结论，优化解题过程，但应该注意的是：（1）它是解答选择题和填空题的有效方法，在解答题中应慎重使用，若应用时，解答过程应尽可能表达清晰、详尽，某些运算或推理过程不得随便省略。（2）有些数式虽然有一定的图形背景，但求解不一定简单，可见它有一定的局限性，不应过分依赖及片面追求，只需将常见的数形转化类型的题目掌握好，运用好就可以。（3）在分析问题和解决问题时，要注意解析语言的意义及其运用，要掌握图形语言、符号语言及文字语言的互化，自觉地“由形到数”与“由形变数”地运用数形结合的思维方法。
通过原形来注释许多代数问题都可以通过画出图形或图象找到直观的解释，从而受到启发找到解题捷径，简化解题过程，但需要注意的是：（1）图象解题的严密性；（2）图形与原来题意的等价性；（3）图形的准确性；（4）图象的简单性；（5）图形的完整性。
总之，数形结合思想方法有助于概念的相互转化，从而利用数形的辩证统一和各自的优势寻觅出解决问题的途径，使初看很难或者很繁琐的数学问题变得简单和容易。数形结合是一种典型的数学信息转换，它具有直观性、灵活性、深刻性和综合性的特点。因此，数形结合是一把“双刃剑”，特别对解答选择题和填空题则是一条重要的捷径。
数形结合思想在小学数 学中的应用 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
德宏师范高等专科学校 毕 业 论 文 系部：数学系 姓名：李宏 班级：2013级初等教育理科1班 目录
数形结合思想在小学数学教学中的应用 【摘要】数形结合思想是一种重要的数学思想，数形结合在数学中应用广泛，新教材也在结合数形结合思想来编写。本文主要研究了四个方面的问题：一是数学结合思想的简要概述；二是数形结合在小学数学中的意义和价值；三是数形结合在小学数学中的应用；四是在运用数形结合教学中，应注意的问题。 【关键词】数形结合；小学数学；教学应用 引言：小学数学教学的根本任务是全面提高学生素质，其中最重要的是思维素质，而数学思想方法是增强学生数学观念、形成良好思维素质的关键。随着小学数学教学改革的不断深入，小学数学的教学模式更加多样化，传统的教学模式已经逐渐被取代。在多媒体教学的加入下，小学数学中的抽象概念变得形象，生动学生的数学逻辑思维能力以及创新能力也是显着提升。数形结合思想在数学中得到了充分的重视。运用数形结合的方法，可以直现感知抽象的理论及概念，避免机械记忆，使枯燥的名词真正地活起来，看得见，更有助于学生掌握知识。新课程标准修改后,将“双基”改为了“四基”，即基础知识、基本技能、基本思想方法、基本活动经验[1]，说明人们已经意识到数学思想方法的重要性。这一转变并不是偶然，而是纵观小学数学学习内容和小学生的认知特点而决定的。常用的数学思想方法：对应思想、假设思想、比较思想、符号化思想、类比思想、转化思想、分类思想、集合思想及数形结合思想等。本文就数形结合思想进行讨论。1数学结合思想的简要概述 我国数学家张广厚曾说过：“抽象思维如果脱离直观，一般是很有限度的。同样，在抽象中如果看不出直观，一般说明还没有把握住问题的实质。”这句话深刻阐明了“数形结合”的思想[2]。依据《数学课程标准》中“变注重知识获得的结果为知识获得的过程”的教育理念，我以学生发展为立足点，以自主探索为主线，以求异创新为宗旨，采用多媒体辅助教学，运用设疑激趣直观演示，实际操作等教学方法，引导学生动手操作、观察辨析、自主探究，让学生全面、全程地参与到每个教学环节中，充分调动学生学习的积极性，培养学生的自主学习、合作交流、解决实际问题的能力。 数形结合思想的涵义 数、形是一个数学事物两个方面的基本属性。数形结合思想的实质是数字与
浅谈初中数学中的“数形结合”思想 新街初中丁耀华 教材在发展过程中，不断地改进，不断地整合，不断地优化。还记得十几年前的几何与代数是分开上的，甚至两者所属的教师都不同，实践证明这是行不通的，是对代数的“数”与几何的“形”的误解。数形结合的思想方法能扬数之长、取形之优，使得“数量关系”与“空间形式”珠联璧合，相映生辉。在十五年的教学中，我深刻的感受到数与形不可分割的特点，她们就像孪生兄妹一样“形影不离”，在教学体系中“无处不在”。 下面，我们就从几个方面来感受一下“数形结合”的魅力。 一、数形结合在有理数有关内容的体现 初中阶段最早感受数形结合思想的就是通过数轴来理解相反数、绝对值的概念，特别是在出现了负数之后，解决如何进行有理数加法运算时，借助数轴这种最简单的图形，利用点在数字轴上的移动，可生动、形象、直观地使学生更深地理解有理数的运算。相反数、绝对值的概念则是通过相应的数轴上的点与原点的位置关系来刻画的。尽管学的是（有理）数，但要时刻牢记它的形（数轴上的点），通过数形结合的思想方法，帮助初一学生正确理解有理数的性质及其运算法则。 二、数形结合思想在函数方面的体现。 对于初中生来说，学习函数是个难点，通过教学中绘制图像，加上计算所显示的数量关系，变换图像，观察数值变化，使学生能够得到具体、生动、直观的感性认识，更好的理解函数的开口、形状、对称顶点与函数解析式中系数的关系。函数反映一种运动变化的过程，它有三种表示方式———解析式法、图像法、表格法，但通常情况下是前两种方式结合在一起解决问题。 例如：甲、乙两车从A地出发，沿同一条高速公路行驶至距A地400 千米的B 地，l1，l2分别表示甲、乙两车行驶路程y（千米）与时间x（时）之间的关系（如图2 所示），根据图一像提供的信息，可以解答下列问题：（1）l1，l2的函数表达式；（2）甲、乙两车是否同时出发，哪辆车晚走，比前一辆车晚走多长时间？（3）甲、乙两车哪一辆先到达B 地，该车比另一辆车早多长时间到达B 地？（4）晚出发的车经过多长时间追赶上了前面的车？ 图一图二 三、数形结合思想在方程、函数与不等式三者间关系方面的体现。 数形结合思想将这三种看似独立的知识有机紧密地联系在了一起，体现了数与形之间的和谐与统一。例如，一次函数y=32x- 3 的图像如图二所示，根据方程、函数与不等式三者之的关系可知，一元一次方程32x- 3=0 的解应该是该函数图像与x 轴交点坐标的横坐标，也就是说可从图中直观地得出方程的解为x=2，一元一次不等式32x- 3＞0 的解集也可从图中直观地得出为x＞2。 四、数形结合思想在验证平方差公式、完全平方公式方面的体现。
数形结合总结 数形结合之规律 【典型例题】 例1 观察下列算式： , 65613,21873,7293,2433, 813,273,93,338 7 6 5 4321======== …… 用你所发现的规律写出20043的末位数字是__________。 例2 观察下列式子： 326241?==+?；4312252?==+?；5420263?==+?；6530274?==+?…… 请你将猜想得到的式子用含正整数n 的式子表示来__________。 例4 图3—4①是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点，得到图3—4②；再分别连结图3—4②中间的小三角形三边的中点，得到图3—4③，按此方法继续下去，请你根据每个图中三角形个数的规律，完成下列问题。 …… (1)将下表填写完整 （2）在第n 个图形中有____________________个三角形（用含n 的式子表示）。 例6．如图，把一个面积为1的正方形分等分成两个面积为21的矩形，接着把面积为21的矩形等分成两个面积为4 1 的正方形，再把面积为 41的矩形等分成两个面积为8 1 的矩形，如此进行下去，试利用图形提示的规律计算： =+++++++256 11281641321161814121 例7．把棱长为a 的正方体摆成如图的形状，从上向下数，第一层1个，第二层3个……按这种规律摆放，第五层的正 方体的个数是 例8.观察下列图形并填表。 ① ② ③ 1 1
例9．把1到200的数像下表那样排列，用正方形框子围住横的3个数，竖的3个数，这9个数的和是162。如果在表的另外的地方，也用正方形围住另外的9个数。 （1） 当正方形左上角的数是100时，这9个数的和是多少？ （2） 当正方形中9个数的和是1557时，最大的数是多少？ 200 199198197196 19528272625 242322212019181716151413121110987654321 例10．将1至1001个数如下图的格式排列。用一个长方形框入12个数，要使这12个数的和等于（1）1986；（2）2529；（3）1989是否办得到？如果办不到，简单说明理由：如果办得到，写出长方形框里的最大的数和最小的数。 1001 10009999989979969952827262524232221 2019181716151413121110987 654321 例11.把2012个正整数1，2，3，4，…，2012按如图方式排列成一个表． （1）用如图方式框住表中任意4个数，记左上角的一个数为x ，则另三个数用含x 的式子表示出来，从小到大依次是______，______，______． （2）由（1）中能否框住这样的4个数，它们的和会等于244吗？若能，则求出x 的值；若不能，则说明理由．
浅谈初中数学中的数形结合思想 在解决初中数学问题过程中，运用数形结合的思想，根据问题的具体情形，把图形性质问题转化成数量关系来研究。或者把数量关系问题转化成图形性质来研究，以便以“数”助“形”或以“形”助“数”，使问题简单化、具体化，促进“数”与“形”的相互渗透，这种转换不但能提高教学质量，同时也能有效地培养学生思维素质，所以“数形结合”是初中数学的重要思想，也是学好初中数学的关键所在。 数形结合在数学教学中对学生能力的培养是非常重要的，而对一个学生数学能力的培养主要包括使学生形成运算能力和利用数学思想方法解题的能力。数学思想是对数学知识的更高层次的概括和提炼，是培养学生数学能力的最重要的环节。数形结合的思想是初中数学学习中一个重要的数学思想，它贯穿了数学教学的始终。本文就数形结合的思想谈一点自己的认识。 数形结合的思想就是根据数（量）与形（图）的对应关系，把数与形结合起来进行分析研究把抽象的数学语言与直观的图形结合起来；使复杂的问题简单化抽象的问题具体化；通过图形的描述代数的论证来研究和解决数学问题的一种思想方法。数形结合的思想在初中数学中的应用主要体现在一下两个方面。 一、有数思形数形结合，用形来解决数的问题和解决一些运算公式；把代数关系（数量关系）与几何图形的直观形象有机的结合起来，使抽象的问题形象化复杂的问题简单化。 如1.利用数轴来讲解绝对值的概念、相反数的概念、有理数的加、减、乘、除运算等。 2.用几何图形来推导平方差、平方和、完全平方公式以及多边形外角和定理。 3.用函数的图像解决函数的最值问题、值域问题。 4.用图形比较不等式的大小问题。解这种类型题的关键是根据数（量）结构特征构造出相应的几何图形，将概念形象化，复杂计算的问题简单化。 二、由形思数数形结合。解决这类问题的关键是运用数的精确性来阐明形的某些属性；将图形信息转化为代数信息，利用数（量）特征将图形问题转化为代数问题来解决。这类问题在初中数学中运用的也比较多，如： 1.用数（量）表示角的大小和线段的大小，用数（量）的大小比较角的大小
1 数形结合思想 “数（代数）”与“形（几何）”是中学数学的两个主要研究对象，而这两个方面是紧密联系的．体现在数学解题中， 包括“以数助形”和“以形助数”两个方面．“数”与“形”好比数学的“左右腿”．全面理解数与形的关系，就要从“以数助形”和“以形助数”这两个方面来体会．此外还应该注意体会“数”与“形”各自的优势与局限性，相互补充．“数缺形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事非．”华罗庚的这四句诗很好地总结了“数形结合、优势互补”的精要，“数形结合”是一种非常重要的数学方法，也是一种重要的数学思想，在以后的数学学习中有重要的地位． 一、以数助形 要在解题中有效地实现“数形结合”，最好能够明确“数”与“形”常见的结合点，，从“以数助形”角度来看，主要有以下两个结合点：（1）利用数轴、坐标系把几何问题代数化（在高中我们还将学到用“向量”把几何问题代数化）；（2）利用面积、距离、角度等几何量来解决几何问题，例如：利用勾股定理证明直角、利用三角函数研究角的大小、利用线段比例证明相似等． 例1、如图，在正△ABC 的三边AB 、BC 、CA 上分别有点D 、E 、F.若DE ⊥BC ，EF ⊥AC ，FD ⊥AB 同时成立，求点D 在AB 上的位置. 例2、如图，△ABC 三边的长分别是BC=17，CA=18，AB=19. 过△ABC 内的点P 向△ABC 的三边分别作垂线PD 、PE 、PF （D 、E 、F 为垂足）. 若27.BD CE AF ++=求：BD BF +的长. 例3、已知ABC ?的三边长分别为22n m -、mn 2及22n m +（m 、n 为正 整数，且 n m >）。求ABC ?的面积（用含m 、n 的代数式表示）。 【海伦公式：如果一个三角形的三边长分别是a ，b ，c ，设2c b a p ++=，则))()((c p b p a p p S ---=。】 例4、将如图的五个边长为1的正方形组成的十字形剪拼成一个正方形． 例5、如图，ABC ?是一块锐角三角形余料，边80=AD 毫米，120=BC 毫 米， 要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC 上，其余两个定点分 别在AC AB ,上，设该矩形的长y QM =毫米，宽x MN =毫米．当x 与y 分别取什么值时，矩形PQMN 的面积最大？最大面积是多少？ 例6、如图,点P 是矩形ABCD 内一点，3=PA ，PB=4，PC=5，求PD 的长． A D E F C B A P F E D C B
“数形结合”在小学数学教学中的应用 数学课程标准提出了“通过数学学习，掌握数学的基础知识、基本技能和思想方法。”其实在上海二期课改时关于数学基础知识的内容的界定上，也指出数学基础知识不仅指有关的数学概念、性质、公式等，还包括其中隐含的数学思想方法，以及学习数学和运用数学知识解决问题等。所以在教材编写上注重把数学思想方法贯穿在知识领域中，使每部分的数学知识不再孤立、零碎，组成一个有机的整体。 数学思想方法有许多，我们小学一般用到的如符号化、化归、数形结合、极限、模型、推理、几何变化、方程和函数、分类讨论、统计概率等思想。在小学数学教学过程中，有意识地对学生进行数学思想方法的渗透，可以让学生不再感觉数学是一门枯燥的学科，而初步了解数学的价值，从而感受数学思考的条理性、数学结论的明确性以及数学的美。下面就“数形结合”思想在小学数学教学中的应用谈些粗浅的想法。 一、数形结合思想的概念 数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，我们中小学数学研究的对象就分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：1、借助于数的精确性来阐明形的某些属性，即“以数解形”；2、借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即“以形助数”。 所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想。数形结合思想是一种可使复杂问题简单化、抽象问题具体化的常用的数学思想方法，具体地说就是将抽象的数学语言与直观图形对应起来，使抽象思维与形象思维结合起来，通过“数”与“形”之间的对应和转换来解决数学问题。 二、数形结合的三种应用方式 一般来说，数形结合的应用方式主要有三种类型：以数化形、以形变数和数形结合。 （1）以数化形 由于“数”和“形”是一种对应的关系，“数”比较抽象，而“形”具有形象，直观的优点，能表达较多具体的思维。在低年级教学中，我们常常会把数的认识与计算通过形（学具）的演示，让学生初步建立起数的概念，认识数、学习
初中数学中的数形结合 思想 标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N]
浅谈初中数学中的数形结合思想 在解决初中数学问题过程中，运用数形结合的思想，根据问题的具体情形，把图形性质问题转化成数量关系来研究。或者把数量关系问题转化成图形性质来研究，以便以“数”助“形”或以“形”助“数”，使问题简单化、具体化，促进“数”与“形”的相互渗透，这种转换不但能提高教学质量，同时也能有效地培养学生思维素质，所以“数形结合”是初中数学的重要思想，也是学好初中数学的关键所在。 数形结合在数学教学中对学生能力的培养是非常重要的，而对一个学生数学能力的培养主要包括使学生形成运算能力和利用数学思想方法解题的能力。数学思想是对数学知识的更高层次的概括和提炼，是培养学生数学能力的最重要的环节。数形结合的思想是初中数学学习中一个重要的数学思想，它贯穿了数学教学的始终。本文就数形结合的思想谈一点自己的认识。 数形结合的思想就是根据数（量）与形（图）的对应关系，把数与形结合起来进行分析研究把抽象的数学语言与直观的图形结合起来；使复杂的问题简单化抽象的问题具体化；通过图形的描述代数的论证来研究和解决数学问题的一种思想方法。数形结合的思想在初中数学中的应用主要体现在一下两个方面。 一、有数思形数形结合，用形来解决数的问题和解决一些运算公式；把代数关系（数量关系）与几何图形的直观形象有机的结合起来，使抽象的问题形象化复杂的问题简单化。 如1.利用数轴来讲解绝对值的概念、相反数的概念、有理数的加、减、乘、除运算等。 2.用几何图形来推导平方差、平方和、完全平方公式以及多边形外角和定理。 3.用函数的图像解决函数的最值问题、值域问题。 4.用图形比较不等式的大小问题。解这种类型题的关键是根据数（量）结构特征构造出相应的几何图形，将概念形象化，复杂计算的问题简单化。
数形结合思想的含义数与形是数学中两个最古老、最基本的元素，是数学大厦深处的两块基石，所有的数学问题都是围绕数和形的提炼、演变、发展而展开的：每一个几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，而数量关系又常常可以通过图形的直观性作出形象的描述。因此，在解决数学问题时，常常根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，将数的问题利用形来观察，提示其几何意义；而形的问题也常借助数去思考，分析其代数含义，如此将数量关系和空间形式巧妙地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决的方法。 正恩格斯曾经说过:"数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的一门科学。"在数学领域中包含着两大研究对象,即"数"与"形",这两大研究对象既是对立的又是统一的,它们是数学发展的内在因素。纵观数学知识的发展长河中,数形结合始终是发展的一条主线,并且数与形相结合能够让学生在实际应用中对知识的运用更加广泛和深入。在初中数学教学中教师要特别重视将数形结合的思想渗透到教学环节中,以此来让学生感受到数形结合的伟大力量,促进学生生成数形结合的思想,让学生在以后的数学学习中受益 1.数形结合思想的涵义 “数”早期是古代的计数，现在表示数量的概念；“形”早期是古代的形状，现在表示空 间的概念。家欧几里得用自己毕生精力完成《几何原本》这一千古流芳的巨著，这是体现数形转化的文字资料。柏拉图说过，只有数学存在的实体才具备永恒的可理解性，任何科学都只有建立在几何学带来的概念和模式上，才可以解释现象表面背后的结构和关系。教育家波利亚也曾说：“画一个图，并用符号表示”。 数形结合是把数或数量关系与图形对应起来，借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究图形的性质，是一种重要的数学思想方法。它可以使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化。数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质等等。 2.数形结合思想的发展
《数形结合思想在小学数学教学中的运用》 课题结题报告
《<数形结合思想在小学数学教学中的运用>课题结题报告》 数学以是现实世界的空间形式和数量关系作为自己特定的研究对象，也可以说数学是研究“数”与“形”及其相互关系的一门科学，而在数学教学中把数量关系和空间形式结合起来去分析问题、解决问题，就是数形结合思想。可以说，数形结合是小学数学范围里最基本、最重要的思想。源于在数学教学世界越来越重视数学思想的渗透与应用，我们决定以数形结合思想为研究方向，让其成为我们学校提升教师素质和教学行为以及培养学生的数学素养的重要媒介。 一、课题研究背景 “数形结合”可以看成是数学的本质牲特征。“数形结合”是借助简单的图形、符号和文字所作的示意图，可促进学生形象思维和抽象思维的协调发展，沟通数学知识之间的联系，从复杂的数量关系中凸显最本质的特征。它是小学数学教材编排的重要原则，也是小学数学教材的一个重要特点，更是解决问题时常用的方法。华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，从这句话中可体现出数形结合对数学教学起着很主要的作用，把数形结合思想贯穿在学习数学过程的始终，是学好数学的关键。在我们的教学实践当中，教师对数形结合不够重视，关于数形结合教学理论缺乏，大部分学生了解数形结合，但未能充分、广泛运用数形结合去解决问题，这是值得我们去研究的问题。 二、课题研究目标 1、促进教师教学意识及行为的转变，使教师们对数形结合思想方法有系统的认识，明确地位、作用。 2、根据不同学段学生的认知规律，形成适合不同学段进行的以数形结合思想方法指导教学的教学策略。 3、帮助学生树立数形结合的观点，善于运用数形结合思想方法观察、分析、解决问题，提高学生分析问题、解决问题的能力。 4、培养学生的数学精神、思想与方法，发展抽象思维和形象思维能力及辨证思维能力，提高对数学的整体认识。 三、课题研究内容 1、全面认识数形结合思想方法，挖掘教材中蕴含数形结合思想方法的内容，分析数形结合思想方法在数学教学中的价值和功能。 2、针对不同的教学问题，探索渗透数形结合思想方法的教学策略。 3、探索让学生更好地理解、掌握数学知识，提高数学能力的同时，也学会运用数形结合分析、解决问题的教学途径。 四、课题研究方法
《小学数学教学中数形结合思想方法的实践研究》 课题结题报告 课题类别：晋江市教育科学‘十二五’规划（第一批）立项课题课题编号：JG1251-067 课题负责人：黄阳斌 课题负责单位：深沪镇狮峰中心小学 结题时间：2013年6月
《<小学数学教学中数形结合思想方法的实践研究>课题结题报告》数学以是现实世界的空间形式和数量关系作为自己特定的研究对象，也可以说数学是研究“数”与“形”及其相互关系的一门科学，而在数学教学中把数量关系和空间形式结合起来去分析问题、解决问题，就是数形结合思想。可以说，数形结合是小学数学范围里最基本、最重要的思想。源于在数学教学世界越来越重视数学思想的渗透与应用，我们决定以数形结合思想为研究方向，让其成为我们学校提升教师素质和教学行为以及培养学生的数学素养的重要媒介。于是，课题《小学数学教学中数形结合思想方法的实践研究》油然而生。 课题《小学数学教学中数形结合思想方法的实践研究》为晋江市教育科学‘十二五’规划（第一批）立项课题，研究时间为2011年5月至2013年6月，历时2年。 回顾课题研究以来，课题组成员在研究过程中求真务实，尽职尽责，认真学习相关资料，积极参加课题研究各项活动且能及时将研究收获撰写成文。研究近两年，有多篇论文在省、市等各级各类中获奖或汇编，指导学生参加各级各类数学比赛成绩优异。随着研究的进行，教师的数学课堂有着本质性的变化，更加注重于数学思想的渗透与应用，善于挖掘教材中蕴含数形结合思想方法的内容，探索渗透数形结合思想方法的教学途径，课堂中有了更浓厚的数学味。同时对于学生而言，也能逐步地去应用数形结合去观察、分析和解决问题。 一、课题研究背景 “数形结合”可以看成是数学的本质牲特征。“数形结合”是借助简单的图形、符号和文字所作的示意图，可促进学生形象思维和抽象思维的协调发展，沟通数学知识之间的联系，从复杂的数量关系中凸显最本质的特征。它是小学数学教材编排的重要原则，也是小学数学教材的一个重要特点，更是解决问题时常用的方法。华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，从这句话中可体现出数形结合对数学教学起着很主要的作用，把数形结合思想贯穿在学习数学过程的始终，是学好数学的关键。在我们的教学实践当中，教师对数形结合不够重视，关于数形结合教学理论缺乏，大部分学生了解数形结合，但未能充分、广泛运用数形结合去解决问题，这是值得我们去研究的问题。 二、课题研究目标 1、促进教师教学意识及行为的转变，使教师们对数形结合思想方法有系统的认识，明确地位、作用。 2、根据不同学段学生的认知规律，形成适合不同学段进行的以数形结合思想方法指导教学的教学策略。 3、帮助学生树立数形结合的观点，善于运用数形结合思想方法观察、分析、解决问题，
初中数学中的数形结合思想 “数缺形欠直观，形缺数难入微”，数形结合是解决数学问题最重要的数学思想方法之一.数形结合思想通过“以数助形，以形解数”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，它是数学的规律性和灵活性的有机结合. 一、以数助形 例1如图1，在平面直角坐标系中，A（1，1），B（5，1），C（1，4）是三角形ABC的三个顶点，求BC的长. 这一题经过转化后实质上就是求平面上两点之间的距离.而在本题中△ABC是直角三角形，所以利用勾股定理可BC=AB2+AC2=5. 这个问题实质上是利用数形结合的思想来推导在具体点的坐标下的两点之间的距离公式.利用同样的思想可以推导出平面上两点之间的距离公式：平面上点P1（x1，y1），P2（x2，y2），则P1P2=（x1-x2）2+（y1-y2）2. 例2在直角坐标系中，已知直线l经过点（4，0），与两坐标轴围成的直角三角形的面积等于8，若一个二次函数的图象经过直线l与两坐标轴的交点，以x=3为对称轴，且开口向下，求这个二次函数的解析式，并求最大值. 分析如果不画出图象，本题很难理解.由三角形的面积来
确定点B的坐标时，就需要把几何问题化为代数问题，确定OB的长度后，由绝对值的双值性来决定点B的纵坐标. 设直线l与x轴交点A（4，0），与y轴交点坐标B（0，m）， 则OA=4，OB=|m|. 如由图，S△AOB=12OA?OB=12×4|m|=8， 所以|m|=4.因此，B（0，4）或B′（0，-4）. 由二次函数图象的对称轴为x=3，可知点A的对称点A′（2，0），则图象经过A、A′、B，或A、A′、B′. 设抛物线的解析式为y=a（x-2）（x-4）. 把点B或B′坐标代入，得a=12或a=-12. 因为开口向下，所以，a=12不符合题意. 故y=-12（x-2）（x-4），即y=-12（x-3）2+12， 所以当x=3时，y最大=12. 二、以形助数 例3已知a、b均为正数，且a+b=2，求W=a2+4+b2+1的最小值. 在本题中由求解式子的特点可以联想到构造直角三角 形利用勾股定理进行处理.如图作线段ED，在ED上截取EP，DP，过点E作AC⊥ED，且使得AE=2，过点D作DB⊥ED，且使得DB=1.这种构图后可以得到两个直角三角形，所以可以使用勾股定理得到AP=a2+4，BP=（2-a）2+1，所以本题中
龙源期刊网 https://www.doczj.com/doc/e27623429.html, 小学数学与数形结合思想 作者：郭莉莉 来源：《教育·综合视线》2020年第01期 在小学数学学习过程中，有些学生对教材中的许多数学概念往往缺乏直观的理解，无法对抽象的概念建立具体化、形象化模型，从而造成难以正确掌握和理解教材知识内容，对数学知识运用不系统、不灵活的现象。针对这种情况，教师可以采用数形结合的教学方式，把教材中的数学概念以图形的形式表现出来，让学生能够直观地理解数学概念的含义，在思维中能够建立数学概念的关联对象。这样，不仅能够提高课堂教学效率，还能培养学生的数学思维能力。 有助于理解抽象概念 小学阶段数学知识的学习是为高年级数学学习打基础的，这个阶段的学习重点是数学知识概念的正确理解和掌握。如果这些概念的本质没有弄清楚，只知其一不知其二，知其然不知其所以然，那么后面数学知识的拓展和应用就会受到限制。实际上，小学数学教材中有很多数学概念是比较抽象的，学生在学习过程中对这些概念的理解上往往有一定的困难。因此，教师首先需要把教材中的知识点分类整理，找出那些比较抽象的概念，了解哪些概念是学生不容易理解和掌握的。然后，在讲解这些概念时，采用数形结合的方式，把复杂的问题简单化，让学生能够真正理解概念的本质意义，增加对学习数学知识的兴趣。 以苏教版小学数学三年级教材中“分数的认识”为例，对于分数的概念，小学生从字面意思上理解是有一定难度的。对此，教师可以采用数形结合的方式来讲解这个知识点：将一个圆形平均分成10份，在每一份上标记数字分别编号为1到10，那么这个圆就是由10份标有数字的部分组成;其中，10份图形整体就叫作分母，每一份或者几份标数字的图形叫作分子;从这个演示图形中可以看出，分数的本质就是分子数量占分母数量的比例。通过数形结合，引导学生通过观察图形之间的关系，关联教材知识点内容，建立图形化思维，主动思考概念的本质，能够加深对相关知识点的理解。 有助于培养数学思维 小学数学学习不仅需要掌握数字计算技能，还需要具备数学思维能力。数学思维能力是指能够运用学到的数学知识，把实际问题转变为数学问题的能力。也就是说，根据已知问题信息，建立对应的数学知识模型，运用相关数学知识和方法解决问题。教师在授课过程中要着重培养学生的数学思维能力，多与学生互动，多提出问题让学生主动思考，拓展学生的数学思维。 以植树节班级组织学生去植树的应用题为例：某个班参加种植树木的人数占班里总人数的3/4，还有5名学生负责给栽好的树木浇水，班级一共有多少名学生？这道题贴近现实生活，
数形结合在小学数学解决问题中的运用 许巷中心小学傅玲玲 [摘要]数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学，数与形是数学的基本研究对象，数是形的抽象概括，形是数的直观表现。数形结合是小学数学教材编排的重要原则，也是小学数学教材的一个重要特点，更是解决问题时常用的方法。它包含“以形助教”、“以数解形”和“数形互译”三个方面。本文将结合小学数学中的教学实例，阐述数形结合思想在解决问题这个方面教学中的运用。 [关键词]数形结合；解决问题；小学数学 数学是以现实世界的空间形式和数量关系作为自己特定的研究对象，也就是说，数学是研究“数”与“形”及其相互关系的一门科学。数形结合的思想是数学的重要思想之一。［1］ 数形结合就是通过数(数量关系)与形(空间形式)的相互转化、互相作用来解决数学问题的一种思想方法。其实质是将抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，使得抽象的数学概念或复杂的数量关系直观化、形象化、简单化。[2] 数形结合是指在数学问题解决过程中，结合问题中各要素间的本质联系，根据实际需要，将数量关系与几何图形相结合，依据数与形的对应关系，通过数与形相互转化的方式使问题得到巧妙解决的一种思想方法。在解决问题中，其策略具体表现为把有关数量关系的问题转化成图形性质的问题进行分析，或者将有关图形性质的问题转化成数量关系的问题加以讨论，最终解决问题。这种思想方法不仅分析问题的代数含义，而且还要揭示其几何意义，把抽象的数学运算和直观的几何图形紧密地联系起来。这种思想方法具备了数的精确性和形的直观性的双重优势，以数精确地分析形，或以形直观地表示数，正如数学家华罗庚所说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”。 故而，数形结合是小学数学教材编排的重要原则，也是小学数学教材的一个重要特点，更是解决问题时常用的方法。它包含“以形助教”、“以数解形”和“数形互译”三个方面。
(浅谈数形结合在小学数学中的应用)
目录 论文摘要 一、数形结合的定义、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、1 二、数形结合的优点、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、1 1、有助于记忆、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、1 2、有助于理解思考、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、2 三、培养小学生形成数形结合思想的策略、、、、、、、、、、、、、、2 1、培养小学生数形结合思想、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、3 2、把数形结合贯穿到多个知识领域中、、、、、、、、、、、、、、、、、3 3、数的认识、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、3 4、数的计算、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、3 5、应用题的解决、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、3 6、几何题中的运用、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、4 四、数形结合的方法、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、4 1、直接运用或联想实物、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、4 2、画图、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、4 3、用“数尺”、“数线”或数轴，感知“数与形”的结合、、4 五、参考文献、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、5
数形结合在小学数学中的应用
数形结合在小学数学中的应用 【内容提要】数形结合思想是一个重要的思想方法，在小学和中学，无论是在教师的课堂教学，对数学概念的理解，还是学生思维和解题能力的培养等方面，数形结合都为其奠定了坚实的基础。本课题主要通过分析自己亲身体会的中小学数学问题，发现数形结合思想在初等数学中的应用，加深对数形结合的理解。 【关键词】数形结合思想，数学应用 【正文】数与形一直以来都是数学的主题,即使如今的数学有着庞大的分支，仍不可磨灭它的影响力。华罗庚先生的打油诗：“数无形，少直观；形无数，少入微”向我们展现了数与形密不可分的关系。简单的说，数与形就是抽象与形象的表现，数形结合更加有利于学生对知识的理解，单纯的数使知识缺乏直观性，同样的如果只有形就少了几分严密性。然而，数形结合思想就是将本是相互独立的两方面结合起来，做到我中有你，你中有我。数形结合思想在小学和中学数学中有着许多巧妙的应用，比如在最初学习计数时，为了加深小朋友们对数字的记忆，教师常常会用形象的图形或者实物与数字对应；计数是学习数学的基础，教师往往会利用生活中的物品，例如铅笔、糖果、苹果等辅助数数、运算；每个班级都会对学生进行标号，也就是学号，久而久之，当某人说一个数时，你会联想到这个人；复杂的数学题考验你强大的逻辑思维，代数和几何是中学的两大基础，代数中加入具体形象的图像，帮助理清题意，拓展思路，几何中渗透代数，发散思维，解决问题等等。 数形结合思想在小学数学的应用，我们学习数形结合并不单单为了解题，更应该将它上升为一种思想，学习数学的转向灯。数形结合思想已经贯穿数学学习的全部，小学是数学萌芽的阶段，在这个阶段，小学生的大脑并没有完全发育，他们对数的理解往往要依靠生活中他自己比较熟悉的事物，也就是“形”。如今“怎样开发小学生的数学思维能力”已经是近几年小学数学教育者一直思考的问题。我们可以发现近几年在小学数学课本中的每一个概念教学，教师都通过各种实物、事例或者图形逐步引导学生观察、分析、比较从中揭示其本质，
(x - x )2 + ( y - y )2 1 2 1 2 (x - 0)2 + (2x +10 - 0)2 5 5 p ( p - a )( p - b )( p - c ) 一、以数助形 “数形结合”在初中数学中的运用 “数（代数）”与“形（几何）”是中学数学的两个主要研究对象，而这两个方面是紧密联系 的．体现在数学解题中， 包括“以数助形”和“以形助数”两个方面．“数”与“形”好比数学的“左 右腿”．全面理解数与形的关系，就要从“以数助形”和“以形助数”这两个方面来体会．此外还应 该注意体会“数”与“形”各自的优势与局限性，相互补充．“数缺形时少直觉，形少数时难入微； 数形结合百般好，隔离分家万事非．”华罗庚的这四句诗很好地总结了“数形结合、优势互补”的精要， “数形结合”是一种非常重要的数学方法，也是一种重要的数学思想，在以后的数学学习中有重要的 地位． 要在解题中有效地实现“数形结合”，最好能够明确“数”与“形”常见的结合点，，从“以数助形”角度来看，主要有以下两个结合点：（1）利用数轴、坐标系把几何问题代数化（在高中我们还将学到用“向量”把几何问题代数化）；（2）利用面积、距离、角度等几何量来解决几何问题，例如：利用勾股定理证明直角、利用三角函数研究角的大小、利用线段比例证明相似等． 例 1． 已知平面直角坐标系中任意两点 A (x 1小 y 1 ) 和 B (x 2小 y 2 ) 之间的距离可以用公式 AB = 计算．利用这个公式计算原点到直线 y = 2x +10 的距离． 解：设 P (x 小 2x +10) 是直线 y = 2x +10 上的任意一点，它到原点的距离是 OP = = 当 x = -4 时， OP 小 小 = 2 ． 所以原点到直线 y = 2x +10 的距离为2 ． 【说明】建立坐标系，利用坐标及相关公式处理一些几何问题，有时可以避免添加辅助线（这是平面几何的一大难点）．在高中“解析几何”里，我们将专门学习利用坐标将几何问题代数化． 例 2．已知?ABC 的三边长分别为 m 2 - n 2 、 2mn 和 m 2 + n 2 （m 、n 为正整数，且 m > n ）．求 ?ABC 的面积（用含 m 、n 的代数式表示）． 【分析】已知三角形三边求面积一般称为“三斜求积”问题，可用“海伦公式”计算，但运用“海伦公式”一般计算比较繁，能避免最好不用．本题能不能避免用“海伦公式”，这要看所给的三角形有 没 有 特 殊 之 处 ． 代 数 运 算 比 较 过 硬 的 人 可 能 利 用 平 方 差 公 式 就 可 以 心 算 出 来 ： (m 2 + n 2 )2 - (m 2 - n 2 )2 = (2m 2 )(2n 2 ) = (2mn )2 ， 也就是说， ?ABC 的三边满足勾股定理， 即 ?ABC 是一个直角三角形． “海伦公式”：三角形三边长为 a 、b 、c ，p 为周长的一半，则三角形的面积 S 为： S = ． 解：由三边的关系： (m 2 - n 2 )2 + (2mn )2 = (m 2 + n 2 )2 ． 所以?ABC 是直角三角形． 所以?ABC 的面积= 1 ? (m 2 - n 2 )(2mn ) = mn (m 2 - n 2 ) ． 2 【说明】利用勾股定理证明垂直关系是比较常用的“以数助形”的手法．另外，熟练的代数运算 5(x + 4)2 + 20
浅谈数形结合思想在小学数学教学中的渗透(同名45811)
浅谈数形结合思想在小学数学教学中的渗透 摘要：“数”与“形”之间密不可分，它们相互转化，相辅相成。在教学中渗透数形结合的思想，可把抽象的数学概念直观化，帮助学生形成概念；可使计算中的算式形象化，帮助学生在理解算理的基础上把握算法；可将复杂问题简朴化，在解决问题的过程中，提高学生的思维能力和数学素养。适时的渗透数形结合的思想，可达到事半功倍的效果。 关键词：数形结合；小学数学；数学思想 美国教育心理家布鲁纳也指出：掌握基本的数学思想方法，能使数学更易于理解和更利于记忆，领会基本数学思想和方法是通向迁移大道的“光明之路”。数学思想方法是解决数学问题所采用的方法。它是数学概念的建立、数学规律的归纳、数学知识的掌握和数学问题解决的基础。在人的数学研究中，最有用的不仅仅是数学知识，更重要的是数学思想方法。小学数学中常用的数学思想方法中“数形结合”思想尤为重要。那么在小学数学教学中如何去挖掘并适时地加以渗透呢？以下根据自身的数学教学实践谈谈自己的粗浅见解。 数、形是数学中两大基本概念之一，可以说全部数学大体上都是围绕这两个基本概念的提炼、演变、发展而展开的。“数”和“形”是紧密联系的。我们在研究“数”的时候，往往要借助于“形”，在探讨“形”的性质时，又往往离不开“数”。“数形结合“的思维方法，便是理论与实际的有机联系，是思维的起点，是儿童建构数学模型的基本方法。 本文先解读“数形结合”思想，浅谈其历史性及重要意义，后结合实践重点探讨“数形结合”在小学数学教学中的实际应用和实施途径。 一.了解小学数学教材中蕴涵的主要数学思想方法 数学思想：符号思想，集合思想，对应思想，化归思想。 数学方法： （1）思维方法：分析、综合、抽象、概括、归纳、演绎 （2）一般方法：观察、实验、比较、分类、联想、类比、化归、猜想（3）数学特点较强的方法：函数法、数学模型法、数形结合法、统计法、变换法、分析法、综合法 （4）数学技能：换元法、代入法、系数比较法、合并同类项法、因式分解法、判别式法、配方法、加减消元法、代入消元法、待定系数法、恒等变形法、公式法、构造法、通分母、去括号 在小学数学教学中渗透的数学思想和方法，是以数学方法为主，一般称为数学思想方法，包括思维方法与数学技能。、 二、“数形结合”，由来已久 早在数学被抽象、分离为一门学科之前，人们在生活中度量长度、面积和体积时，就已经把数和形结合起来了。在宋元时期，我国古代数学家系统地引
数形结合在小学数学中的应用 【内容提要】数形结合思想是一个重要的思想方法，在小学和中学，无论是在教师的课堂教学，对数学概念的理解，还是学生思维和解题能力的培养等方面，数形结合都为其奠定了坚实的基础。本课题主要通过分析自己亲身体会的中小学数学问题，发现数形结合思想在初等数学中的应用，加深对数形结合的理解。 【关键词】数形结合思想，数学应用 【正文】数与形一直以来都是数学的主题,即使如今的数学有着庞大的分支，仍不可磨灭它的影响力。华罗庚先生的打油诗：“数无形，少直观；形无数，少入微”向我们展现了数与形密不可分的关系。简单的说，数与形就是抽象与形象的表现，数形结合更加有利于学生对知识的理解，单纯的数使知识缺乏直观性，同样的如果只有形就少了几分严密性。然而，数形结合思想就是将本是相互独立的两方面结合起来，做到我中有你，你中有我。数形结合思想在小学和中学数学中有着许多巧妙的应用，比如在最初学习计数时，为了加深小朋友们对数字的记忆，教师常常会用形象的图形或者实物与数字对应；计数是学习数学的基础，教师往往会利用生活中的物品，例如铅笔、糖果、苹果等辅助数数、运算；每个班级都会对学生进行标号，也就是学号，久而久之，当某人说一个数时，你会联想到这个人；复杂的数学题考验你强大的逻辑思维，代数和几何是中学的两大基础，代数中加入具体形象的图像，帮助理清题意，拓展思路，几何中渗透代数，发散思维，解决问题等等。 数形结合思想在小学数学的应用，我们学习数形结合并不单单为了解题，更应该将它上升为一种思想，学习数学的转向灯。数形结合思想已经贯穿数学学习的全部，小学是数学萌芽的阶段，在这个阶段，小学生的大脑并没有完全发育，他们对数的理解往往要依靠生活中他自己比较熟悉的事物，也就是“形”。如今“怎样开发小学生的数学思维能力”已经是近几年小学数学教育者一直思考的问题。我们可以发现近几年在小学数学课本中的每一个概念教学，教师都通过各种实物、事例或者图形逐步引导学生观察、分析、比较从中揭示其本质，而不单单依靠概念来解题。数学是一门考验学生逻辑思维能力、空间想象能力、判断推理能力的一门学科。如今是注重数学思维的年代，数形结合思想为方便小学生理解数学知识提供了渠道。