第一章量子力学基础
第八组：
070601337刘婷婷 070601339黄丽英 070601340李丽芳
070601341林丽云 070601350陈辉辉 070601351唐枋北
【1．1】经典物理学在研究黑体辐射、光电效应与氢光谱时遇到了哪些困难？什么叫旧量子论？如何评价旧量子论？
[解]：困难：（1）黑体辐射问题。黑体就是理论上不反射任何电磁波的物体，黑体辐射是指这类物体的电磁波辐射，由于这类物体不反射,所以由它释放出来的电磁波都来自辐射，实验中在不同的能量区间对黑体辐射规律给出了不同的函数，然而这两个函数无法兼容，是完全不同的，而事实上黑体辐射本该遵循某个唯一的规律。况且经典理论还无法说明这两个函数中的任意一个.这个问题研究的是辐射与周围物体处于平衡状态时的能量按波长（或频率）的分布。实验得出的结论是：热平衡时辐射能量密度按波长分布的曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度有关，而与空腔的形状及组成的物质无关。这一结果用经典理论无法解释。（2）光电效应。光照射到金属上时，有电子从金属中逸出。实验得出的光电效应的有关规律同样用经典理论无法解释。（3）按照经典电动力学，由于核外电子作加速运动，原子必然坍缩。经典物理学不能解释原子的稳定性问题。原子光谱是线状结构的，而按照经典电动力学，作加速运动的电子所辐射的电磁波的频率是连续分布的，这与原子光谱的线状分布不符。
定义：从1900年普朗克提出振子能量量子化开始，人们力图以某些物理量必须量子化的假定来修正经典力学，用于解释某些宏观现象，并且给出其微观机制。这种在量子力学建立以前形成的量子理论称为旧量子论。
评价：旧量子论冲破了经典物理学能量连续变化的框框。对于黑体辐射、光电效应与氢光谱等现象的解释取得了成功。但是，旧量子论是一个以连续为特征的经典力学加上以分立为特征的量子化条件的自相矛盾的体系，本质上还是属于经典
力学的范畴。由于把微观粒子当作经典粒子，并把经典力学的运动规律应用于微观粒子，因而必然遭到严重的困难。旧量子论必然会被新的量子论————量子力学所替代。
【1.2】 电子衍射实验如何证明电子的运动具有波动性？
[解]：在贝尔实验室工作的戴维逊与革末在一个偶然的机会发现，当一束54eV 的电子束垂直地射向镍单晶表面时，在与入射束成φ=50°角的方向上检测到反射的电子数最多。这类似于X 射线在晶体表面上反射时产生的衍射图像。考虑第一级衍射，被两相邻晶体所反射的光束的光程差正好等于入射电子的波长，λ=2dsin θ；式中θ=（180°-φ）/2=65°，为半衍射角，d 为镍单晶的发生衍射的晶面间距，由X 射线衍射已测得d=91pm ，故算得λ=165pm 。又因为电子的动能为54eV ，故由meT h 2/=λ可计算得λ=167pm ，两者符合很好。由此证明了电子的运动具有波动性。
【1.3】 “任何微观粒子的运动都是量子化的，任何宏观现象都不表现量子化的特征”这样的说法确切吗？
[解]：这样的说法不确切。（1）微观粒子在狭隘的空间里即在受束缚的条件下表现为量子化的特征。而物质质量的量子性是宏观物质量子化的充分条件。（2）在经典力学中，宏观质点在外力作用下有一个确定的可以预测的轨迹。根据坐标可以确定任一时刻质点的位置与速度，由速度可确定此刻质点的动量。因此，质点的运动状态可用坐标和动量来描述。实物微观粒子的运动具有波动性，没有确定的运动轨迹。微观粒子的运动范围又非常小，要精确其坐标x ，要求Δx 更小，这就需要采用波长更短的光或其他粒子束显微镜。然而，光或其他粒子的波长越
短，动量λ
h
p =就越大，在测量过程中因为碰撞导致的干扰会使粒子的动量偏差
Δp x 增大，因此，微观粒子不可能同时具有确定的坐标与动量。
【1.4】 对一个运动速度 的自由电子，有人作了如下推导：
结果是1=1/2，错在何处，请说明理由。
c <<υmv
v E v h h
p mv 2
1
543
2
1
=====νλ
[解]：微观粒子具有波性和粒性，两者的对立统一和相互制约可由下列关系式表达：hv
p=。式中，等号左边的物理量体现了粒性，等号右边的物理=
Eλ/h
量体现了波性，而联系波性和粒性的纽带是Planck常数。根据上述两式及力学
λ。公式：mv
p=，知，1，2和4三步都是正确的。微粒波的波长服从下式：v
=
u/
λ，式中，u是微粒的传播速度，它不等于微粒的运动速度，但3式中用了V
=
v/
显然是错的。在4式中，hv
E=无疑是正确的，这里的E是微粒的总能量，但5式中2/2
E=仅仅是微粒的动能部分，两个能量是不等的，因此5式中也是错mv
的（若将E视为动能，则5式对，4式错）。
【1.5】你是怎样理解波函数代表微观体系的状态的？
[解]：由于微观粒子具有波粒二象性，其波是一种统计波——几率波，它表示在某一时刻，由波在某点（x,y,z）附近的强度，能够确定粒子出现在该点附近的几率大小，而不能确定粒子在什么时间到达什么地方，即不能用坐标和动量的确定值描写粒子的运动状态。因此，粒子的运动状态只能按几率波的特点来描写，不同时刻，不同地点粒子出现的几率是不一样的。因此微观粒子的状态用波函数φ（q,t）来描写，其中q为粒子坐标q(x,y,z).
【1.6】用量子力学处理微观体系的一般步骤是什么？什么是量子效应？[解]：1.量子力学处理微观体系的一般步骤如下：
(1)写出体现体系特征的势能函数，并且写出能量算符H?的具体形式与定态薛定谔方程。
ψ(2)求解体系的薛定谔方程，根据边界条件与归一化条件确定体现波动性函数
与对应的体现粒子性的能量E。
ψ与│ψ│2等图形，讨论它们的分布特点。
(3) 绘制能级图、
ψ可求得该状态各种力学量的本征值和平均值，预测与解释体系的(4) 由波函数
性质。
(5) 联系实际问题，对所得的结果加以应用
2.量子效应是在超低温等某些特殊条件下，由大量粒子组成的宏观系统呈现出的
整体量子现象。根据量子理论的波粒二象性学说，微观实物粒子具有波动性，能够形成物质波（或称德布罗意波）。但日常所见的宏观物体，虽然是由服从这种量子力学规律的微观粒子组成，但由于其空间尺度远远大于这些微观粒子的德布罗意波长，微观粒子量子特性被掩盖。因此，在通常的条件下，宏观物体整体上并不出现量子效应。然而，在低温降低或粒子密度变大等特殊条件下，宏观物体的个体组分会相干地结合起来，通过长程关联或重组进入能量较低的量子态，形成一个有机的整体，使得整个系统表现出奇特的量子性质。
【1.7】探究原子中电子的运动与足球的运动、气体分子运动的差异。
[解]：根据经典力学中，宏观质点在外力作用下有一个确定的可以预测的轨迹。根据坐标可以确定任一时刻质点的位置与速度，由速度可确定此刻质点的动量。因此，质点的运动状态可用坐标和动量来描述。实物微粒的运动具有波动性，没有确定的运动轨迹。微观粒子的运动范围又非常小，要精确测量其坐标x，要求?x更小，这就需要采用波长更短的光或其他粒子束显微镜。然而，光或其他粒子的波长愈短，动量p=h/λ就愈大，在测量过长中因为碰撞导致的干扰会使粒子的动量偏差?p x增大，因此，微观粒子不可能同时具有确定的坐标与动量。1927，海森堡发现：
?x·?p x≥h/4π
?y·?p y≥h/4π
?z·?p z≥h/4π
式中，?x、?y、?z为坐标的不确定量，?p x、?p y、?p z为动量的不确定量。式表示坐标的不确定量与同方向动量分量的不确定量的乘积不可能比h/4π小。这便是海森堡的不确定关系或测不准关系。如果粒子的位置完全确定时?x趋近于0，则其动量完全不确定，?p x趋近于∞；反之，?p x趋近于0，必有?x趋近于∞。还有一个不确定关系是：
ΔE·Δt≥h/4π
其中，ΔE是粒子所处的能量状态的不确定量，Δt是粒子在此能量状态停留的时间，也就是平均寿命。只有粒子在某能量状态的寿命为无限长时，它的能量才是完全确定的。
表1-1 不确定关系对于某些粒子运动的影响 原子中电子的运动 气体分子运动 足球的运动
质量 ～10-30kg ～10-26kg ～10-1kg 速度
～106m/s ～103m/s 设10m/s x ～10-10m ～10-10m ～10m ?v x
～106m/s
～103m/s
～10-24 不确定关系的影响
不可忽略
不可忽略
完全可以忽
略
表中数据告诉我们，原子和分子中的电子局限在限度为10-10m 的空间内运动，速度的不确定值高达106m/s ，与其速度同一级数。因此，不确定关系的影响不可忽略。但是，对于宏观粒子，如空气中的尘埃，即使其位置的不确定量?x 与其运动范围x 相比很小很小，由不确定关系确定的速度的不确定量?v x ，与v x 相比依然很小很小。说明对于宏观物体，普朗克常数h 可近似作零处理，x 与v x 可以同时精确确定。
【1.8】钠在火焰上燃烧,放出黄光,波长为589.593nm 与588.996nm(双线),试计算谱线的频率,波长及以kJ/mol 为单位的能量.
[解]：1149
81110088.510
593.589100.3--?=??==s c
f λ 1
149
82210093.510
996.588100.3--?=??==s c
f λ 1
49
1
~
110696.110
593.58911
--?=?=
=
cm v λ 149
2
~210698.110
996.5881
1
--?=?=
=
cm v λ mol KJ NA hc E /1060.51002.610593.5891010310626.64623
93
83411----?=???????==λ
mol KJ NA hc E /1061.510023.610996.5881010310626.646
23
9383422----?=???????==λ
【1.9】金属钾的临阈频率为 5.464×1014
s-1,用它作光电池的负极,当用波长为300nm 的紫外光照射该电池时,发射的光电子的最大速度是多少?其动量和德布罗依波长为多大?
[解]：J h w 191434010620.310464.510626.6--?=???==ν
0221w hc mv -=λ
199
83423110620.31030010310626.610109.921--=-?-????=??v 即得速度s m v /1012.85?=
255311040.71012.810109.9--?=???==mv p
m p h 1025
341095.81040.710626.6---?=??==λ
【1.10】计算下述粒子的德布罗意波的波长： （1）质量为10-10Ｋg 运动速度为0.01 m .s -1的尘埃； （2）动能为100eV 的中子；
（3）电子显微镜中，电子在200kv 电压下加速运动。
[解]：（1）m s
m kg s J mv h 22
1103410626.601.01010626.6----?=????==λ （2）mE
h p h 2==
λ ()m ev J Kg S
J 121
19273410860.210626.110010675.1210626.6-=---?=???????=
（3）mE
h p h 2==
λ m S
J 125
19313410742.210210602.110109.9210626.6----?=????????=
【1.11】子弹（质量0.01Kg,速度1000 m .s -1），作布朗运动的花粉（质量10-13Kg ，速度1 m .s -1），氢原子中的电子（速度10-6m .s -1）等，速度的不确定量均为速度的
10%。判断在确定这些质点位置时，不确定关系是否具有实际意义？ [解]：按不确定关系，诸粒子坐标的不确定度分别为：
子弹：m s m Kg s J v m h x 34
1
341063.6%10100001.010626.6---?=?????=?=
? 花粉：m s m Kg s J v m h x 201
13341063.6%1011010626.6----?=?????=?=? 电子：m s
m Kg s J v m h x 9
1
631341027.7%101010109.910626.6----?=??????=?=? 由计算结果可见，前二者的坐标不确定度与它们各自的大小相比可以忽略，换言之，由不确定度关系所决定的坐标不确定度远远小于实际测量的精确度（宏观物体准确到10-8m 就再好不过了）。即使质量最小，运动最慢的花粉，由不确定关系所决定的x ?也是微不足道的。即意味着，子弹、花粉运动中的波性可完全忽略，其坐标和动量能同时确定，不确定度关系所讨论的问题实际不起作用。
而原子中的电子的情况截然不同。由于不确定度远远大于原子本身的大小（原子大小数量级一般为几十到几百pm ）,显然不能忽略的，即电子在运动中的波动效应不能忽略，其运动规律服从量子力学，不确定度关系对讨论的问题有实际意义。
【1.12】试证：如果粒子运动的不确定量等于这个粒子的德布罗依波长，则此粒子速度的不确定量等于此粒子的速度。 [解]：根据海森堡的测不准关系，知： h p x =?? 依题意可知: λ=?x 所以 h p =?λ 即 h v m =?λ
v m
p
m h v ===
?λ 所以此粒子速度的不确定量等于此粒子的速度。
【1.13】电视机显像管中运动的电子，假定加速电压为1000V ，电子运动速度的不确定度△ 为速度的10%，判断电子的波性对荧光屏上成像有无影响？
[解]：在给定加速电压下，由测不准关系所决定的电子坐标的不确定度为：
这坐标不确定度对于电视机（即使目前世界上尺寸最小的袖珍电视机）荧光屏的大小来说，完全可以忽略。人的眼睛分辨不出电子运动中的波性。因此，电子的波性对电视机荧光屏上成像无影响。
【1.14】下列函数,哪个是算符d 2/dx 2的本真函数?若是,求出相应的本真值.
e imx , sinx, x 2+y 2, (a-x)e -x
[解]：e imx ,sinx 都是算符d 2/dx 2的本真函数
imx imx
imx e m dx
imde dx e d 22-== 其本真值为
2
m -
x dx
x
d dx x d sin cos sin 22-== ,其本真值为-1
【1.15】ax
xe
-=?是算符???
? ??-22224x a dx d 的本征函数，求本征值。
[解]：应用量子力学基本假设Ⅱ（算符）、Ⅲ（本征函数，本征值和本征方程），得：
m
V
C kg s J meV h
m eV m h
m h x 1031931341088.31010602.110109.9210
10626.6%
102%
10/2----?=????????=
?=
??=??=?ν()
ψ
ψa axe e x a e x a axe axe e x a e ax e dx
d x
e x a xe dx
d x
e x a dx d x a dx d ax ax ax ax ax ax
ax ax ax ax ax 66444242)(4)4()4(2
2
222222
2223232322222222222
222-=-=-+--=--=-=-=------------
因此，本征值为-6a
【1.16】出本征值。
的本征函数？若是，求是否为算符和dx
d
m e im i sin φφ [解]：
的本征函数。
不是算符所以而。
的本征函数，本征值为是算符所以φφφφφφφ
φ
φ
φφφφ
d d
m m c m im m m i m d d d d
e me im ie e d d im im im im i sin sin cos )(cos sin i m i i
≠=?=--=?=
【1.17】试求在长度l=200pm 的一维势箱中运动的电子， （1）n=2跃迁到n=1时发射光子的能量、波长λ和波数~
v ； （2）n=3时，电子的＜x 2＞、＜x ＞、＜p x ＞与p 2的 值。 [解]：（1）
J
104.5E J 105.4)10200(1011.98)1063.6(383848E -E E 18-182
123123422222221?=?-=??????-=-=-==----ΔΔml h ml h ml h m 104.4210
4.5103106.63E /8-8
-8
-34?=????==Δλhc 178~
1026.210
42.411---?=?==m λν
（2
）20222122222
1031.1)3
231(3)10200()231(3x
--?=?-??=-?=ππn l m l x 1012
100.12
102002--?=?==
0=x p
2
2472
122342222
/1047.2)
10200(4)1063.6(34m J l h n p ---?=????==
【1.18】三维势箱中运动的电子，其薛定谔方程的解为：
c z n b y n a x n abc z y x z
y x n n n
z
y x πππψsin sin sin 8
),,(,,???=
（1）试证明波函数已归一化；
（2）在a=b=c=100pm 条件下，试求坐标为x=20pm ，y=30pm ，z=50pm 处边长为
=?=?=?z y x 0.1pm 微体积元中发现电子分别处于1,1,2===z y x n n n 和2
,1,1===z y x n n n 时的概率；
（3）在立方势箱中试求能量最低的前5个能量值，计算每个能级的简并度。
[解]：（1）dz c z n dy b y n dx a x n abc d c z b c y a x ?????=02202sin sin sin 8*πππτψψ
c z z b y y a x x c
z n n c
z b y n n b y a x n n a x abc 000]2sin 421[]2sin 421[]2sin 421[8ππππππ-?-?-=
12228=???=
c
b a abc
故该波函数是归一化的。
（2）dxdydz c z n b y n a x n abc P z y x ?????=πππ2221sin sin sin 8 dz z dy y dx x ???
=
05.5095.49205.3095.29205
.2095
.192
3
1002sin 100sin 1002sin )100(8
πππ
05
.2095.1905.3095.2905.2095.196
]1002sin 2100212[]1002sin 2100212[]1004sin 4100212[108z z y y x x ππππππ-?-?-=
)]0031.00031.0(410021.0)][9520.09501.0(410021.0)][5929.05827.0(81002
1.0[1086
-------=
πππ)0493.005.0)(0151.005.0)(0406.005.0(108
6+++=
9
461068.41086.5108--?=??=
同理可得112ψ态的概率：P 2=6×10-15。211ψ与112ψ是简并态，为什么概率P 2
z y x P ???=21ψ
z y x c z
b y a x ab
c ?????=
πππ222sin sin 2sin 8 3
2226
1010050sin 10030sin 100202sin 108-????=
πππ
91068.4-?=
z y x c z b y a x abc P ?????=
πππ2sin sin sin 82222 3
2226
10100502sin 10030sin 10020sin 108-????=
πππ
0=
P 1与积分法结果相同，但P 2结果不等，这是因为用z y x ???2
ψ计算概率，
要求在z y x ???小体积中各点的概率密度均为同一个2ψ或近似于同一个2ψ，对
于211ψ态满足要求，但112ψ态却不满足，因为后者在x=20pm ，y=30pm ，z=50pm
处恰好是节点，仍用z y x ???2ψ计算概率，意味着在小体积中各处的概率密度均
为零，这与题意不符。
（3）粒子在立方势箱中运动，其能级公式为
)(822
22
222c
n b n a n m h E z y x
nz
ny nx ++=?? 式中n x ，n y ，n z 皆为能量量子数，均可分别取1，2，3……等自然数。
根据上述公式，能级最低的前5个能量依次为
J ma h c b a m h 172
12312
3422222211110807.1)10100(10109.98)10626.6(383)111(8E ----?=??????==++= J ma h c b a m h E E 172
12312342222222211121112
10615.3)
10100(10109.98)10626.6(686)211(8E ----?=??????==++===J ma h c b a m h E E 172
12312
3422222222221212
12210422.5)
10100(10109.98)10626.6(989)221(8E ----?=??????==++===J ma h c b a m h E E 17
2
12312342222222311131113
10627.6)10100(10109.98)10626.6(11811)311(8E ----?=??????==++===J ma h c b a m h 17212312
3422222222222210230.7)
10100(10109.98)10626.6(12812)222(8E ----?=??????==++=
第一章量子力学作业习题 [1] 在宏观世界里，量子现象常常可以忽略．对下列诸情况，在数值上加以证明： ( l ）长l=lm ，质量M=1kg 的单摆的零点振荡的振幅； ( 2 ）质量M=5g ，以速度10cm/s 向一刚性障碍物（高5cm ，宽1cm ）运动的子弹的透射率； ( 3 ）质量M= 0.1kg ，以速度0.5m/s 运动的钢球被尺寸为1×1.5m2时的窗子所衍射． [2] 用h,e,c,m（电子质量）, M （质子质量）表示下列每个量，给出粗略的数值估计： ( 1 ）玻尔半径（cm ) ; ( 2 ）氢原子结合能（eV ) ; ( 3 ）玻尔磁子；( 4 ）电子的康普顿波长（cm ) ; ( 5 ） 经典电子半径（cm ) ; ( 6 ）电子静止能量（MeV ) ; ( 7 ）质子静止能量( MeV ) ; ( 8 ）精细结构常数；( 9 ）典型的氢原子精细结构分裂 [3]导出、估计、猜测或背出下列数值，精确到一个数量级范围内， ( 1 ）电子的汤姆逊截面；( 2 ）氢原子的电离能；( 3 ）氢原子中基态能级的超精细分裂能量；( 4 ）37Li ( z=3 ）核的磁偶极矩；( 5 ）质子和中子质量差；( 6 )4He 核的束缚能；( 7 ）最大稳定核的半径；( 8 ）Π0 介子的寿命；( 9 ）Π-介子的寿命；( 10 ）自由中子的寿命． [4]指出下列实验中，哪些实验表明了辐射场的粒子性？哪些实验主要证明能量交换的量子性？哪些实验主要表明物质粒子的波动性？简述理由． ( 1 ）光电效应；( 2 ）黑体辐射谱；( 3 ) Franck – Hertz实验；( 4 ) Davisson -Ger - mer 实验；散射． [5]考虑如下实验：一束电子射向刻有A 、B 两缝的平板，板外是一装有检测器阵列的屏幕，利用检测器 能定出电子撞击屏幕的位置．在下列各种情形下，画出入射电子强度随屏幕位置变化的草图，给出简单解释． ( 1 ) A 缝开启，B缝关闭； ( 2 ) B 缝开启，A 缝关闭； ( 3 ）两缝均开启． [6]验算三个系数数值：（1 2 ；（3）hc
1、以下说法是否正确： （1）量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系； （2）量子力学适用于η不能忽略的体系，而经典力学适用于η可以忽略的体系。 解答：（1）量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系，它可以包容整个经典力学体系。 （2）对于宏观体系或η可以忽略的体系，并非量子力学不能适用，而是量子力学实际上已 经过渡到经典力学，二者相吻合了。 2、微观粒子的状态用波函数完全描述，这里“完全”的含义是什么？ 解答：按着波函数的统计解释，波函数统计性的描述了体系的量子态。如已知单粒子（不考虑自旋）波函数)(r ? ψ，则不仅可以确定粒子的位置概率分布，而且如粒子的动量、能量等其他力学量的概率分布也均可通过)(r ? ψ而完全确定。由于量子理论和经典理论不同，它一般只能预言测量的统计结果，而只要已知体系的波函数，便可由它获得该体系的一切可能物理信息。从这个意义上说，有关体系的全部信息显然已包含在波函数中，所以说微观粒子的状态用波函数完全描述，并把波函数称为态函数。 3、以微观粒子的双缝干涉实验为例，说明态的叠加原理。 解答：设1ψ和2ψ是分别打开左边和右边狭缝时的波函数，当两个缝同时打开时，实验说明到达屏上粒子的波函数由1ψ和2ψ的线性叠加2211ψψψc c +=来表示，可见态的叠加不是概率相加，而是波函数的叠加，屏上粒子位置的概率分布由222112 ψψψ c c +=确定，2 ψ中 出现有1ψ和2ψ的干涉项]Re[2* 21* 21ψψc c ，1c 和2c 的模对相对相位对概率分布具有重要作用。 4、量子态的叠加原理常被表述为：“如果1ψ和2ψ是体系的可能态，则它们的线性叠加 2211ψψψc c +=也是体系的一个可能态”。 （1）是否可能出现)()()()(),(2211x t c x t c t x ψψψ+=； （2）对其中的1c 与2c 是任意与r ? 无关的复数，但可能是时间t 的函数。这种理解正确吗？ 解答：（1）可能，这时)(1t c 与)(2t c 按薛定谔方程的要求随时间变化。
量子力学习题第一部分 一基本概念: Plank量子论，Bohr量子论，德布罗意关系，Bohr量子化条件，波函数的统计诠释，量子力学基本假设，坐标波函数和动量波函数的关系，不确定关系，定态，守恒量，全同性原理。 二基本实验现象及规律: 黑体辐射，光电效应，Davisson和Germer实验，正常Zeeman效应，反常Zeeman效应，光谱精细结构，Stark效应，自旋存在的实验证据，Stern-Gerlach实验，自旋单态，自旋三重态。 三简单证明： 1. 若坐标波函数是归一化的，则动量波函数也是归一化的。 2. 由薛定谔方程证明几率守恒。 3. 证明定态的叠加不是定态。 4. 证明在定态下，任意力学量的平均值不随时间改变。 5. 证明在定态下，任意力学量的测值几率分布不随时间变化。 6. 证明对一维运动，若一函数是薛定谔方程的解，则其复共轭也是解，且对应于同一能级。 7. 证明对一维束缚态总可以取实函数描述。 8. 证明对于一维定态问题，若粒子处于有限阶梯形方势阱中运动，则波函数及其一阶导数连续。 9. 证明对于一维运动，若势函数具有反射不变性，则体系有确定的宇称。 10. 证明坐标和动量的对易关系。 11. 证明角动量间的对易关系。 12. 证明坐标和角动量的对易关系。 13. 证明动量和角动量的对易关系。 14. 证明厄米算符的本征值是实数。 15. 证明在任何态下平均值为实数的算符必为厄米算符 16. 证明厄米算符的本征值必为实数。 17. 证明若体系有两个彼此不对易的力学量，则体系的能级一般是简并的。 18. 证明书中求和规则（两题）。 19. 证明（）() =+ i() 20. 证明a和a+ 分别为下降和上升算符，并求它们在占有数表象下的表示。 四计算： 1. 设一维运动粒子具有确定动量，验证不确定关系。 2. 设一维运动粒子具有确定位置，验证测不准关系。 3. 设一维运动粒子用gauss波包描述，验证测不准关系。 4．一维自由运动粒子，求波函数。 5. 粒子处于一维无限深势阱中，求能级和波函数。 6. 二维无限深势阱中运动的粒子，求能级和波函数，并讨论简并度。 7. 求平面转子的能级和波函数。 8. 求角动量z分量的本征值和本征态。 9. 粒子处于一维无限深势阱中，求坐标和动量的平均值，并对结果给予解释。 10. 求带电谐振子处于外电场中时的能级和波函数。 11. 确定三维中心力场中运动粒子体系的力学量的完全集。
1. 你认为Bohr 的量子理论有哪些成功之处？有哪些不成功的地方？试举一例说明。 (简述波尔的原子理论，为什么说玻尔的原子理论是半经典半量子的？) 答：Bohr 理论中核心的思想有两条：一是原子具有能量不连续的定态的概念；二是两个定态之间的量子跃迁的概念及频率条件。首先，Bohr 的量子理论虽然能成功的说明氢原子光谱的规律性，但对于复杂原子光谱，甚至对于氦原子光谱，Bohr 理论就遇到了极大的困难（这里有些困难是人们尚未认识到电子的自旋问题），对于光谱学中的谱线的相对强度这个问题，在Bohr 理论中虽然借助于对应原理得到了一些有价值的结果，但不能提供系统解决它的办法；其次，Bohr 理论只能处理简单的周期运动，而不能处理非束缚态问题，例如：散射；再其次，从理论体系上来看，Bohr 理论提出的原子能量不连续概念和角动量量子化条件等，与经典力学不相容的，多少带有人为的性质，并未从根本上解决不连续性的本质。 2. 什么是光电效应？光电效应有什么规律？爱因斯坦是如何解释光电效应的？ 答：当一定频率的光照射到金属上时，有大量电子从金属表面逸出的现象称为光电效应；光电效应的规律：a.对于一定的金属材料做成的电极，有一个确定的临界频率0υ，当照射光频率0υυ<时，无论光的强度有多大，不会观测到光电子从电极上逸出；b.每个光电子的能量只与照射光的频率有关，而与光强无关；c.当入射光频率0υυ>时，不管光多微弱，只要光一照，几乎立刻910s -≈观测到光电子。爱因斯坦认为：(1)电磁波能量被集中在光子身上，而不是象波那样散布在空间中，所以电子可以集中地、一次性地吸收光子能量，所以对应弛豫时间应很短，是瞬间完 成的。(2)所有同频率光子具有相同能量，光强则对应于光子的数目，光强越大，光子数目越多，所以遏止电压与光强无关，饱和电流与光强成正比。(3)光子能量与其频率成正比，频率越高，对应光子能量越大，所以光电效应也容易发生，光子能量小于逸出功时，则无法激发光电子。 3．简述量子力学中的态叠加原理，它反映了什么？ 答：对于一般情况，如果1ψ和2ψ是体系的可能状态，那么它们的线性叠加：1122c c ψψψ=+（12c c ，是复数）也是这个体系的一个可能状态。这就是量子力学中的态叠加原理。态叠加原理的含义表示当粒子处于态1ψ和2ψ的线性叠加态ψ时，粒子是既处于态1ψ，又处于态2ψ。它反映了微观粒子的波粒二象性矛盾的统一。量子力学中这种态的叠加导致在叠加态下观测结果的不确定性。 4. 什么是定态？定态有什么性质？ 答：体系处于某个波函数()()[]exp r t r iEt ψψ=-，所描写的状态时，能量具有确定值。这种状态称为定态。定态的性质：（1）粒子在空间中的概率密度及概率流密度不随时间变化；（2）任何力学量（不显含时间）的平均值不随时间变化；（3）任何力学量（不显含时间）取各种可能测量值的概率分布也不随时间变化。 5. 简述力学量与力学量算符的关系？ 答：算符是指作用在一个波函数上得出另一个函数的运算符号。量子力学中采用算符来表示微观粒子的力学量。如果量子力学中的力学量F 在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符?F 由经典表示式F （r,p ）中将p 换为算符?p 而得出的，即：
量子力学课后习题详解 第一章 量子理论基础 1、1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律:能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比,即 m λ T=b(常量); 并近似计算b 的数值,准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 183 3 -?=πρ, (1) 以及 λνc =, (2) ||λνρρλd d v =, (3) 有 (),1 18)(| )(|| 5 2-?=?===kT hc v v e hc c d c d d dv λνλλ πλλρλ λλρλ ρρ 这里的λρ的物理意义就是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的就是λ取何值时,λρ取得极大值,因此,就得要求λρ 对λ的一阶导数为零,由此可求得相应的λ的值,记作m λ。但要注意的就是,还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值就是否小于零,如果小于零,那么前面求得的m λ就就是要求的,具体如下: 01151186=??? ? ? ?? -?+--?=-kT hc kT hc e kT hc e hc d d λλλλλ πλρ
? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ,则上述方程为 x e x =--)1(5 这就是一个超越方程。首先,易知此方程有解:x=0,但经过验证,此解就是平庸的;另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得:x=4、97,经过验证,此解正就是所要求的,这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??≈-3109.2λ 这便就是维恩位移定律。据此,我们知识物体温度升高的话,辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动,这样便会根据热物体(如遥远星体)的发光颜色来判定温度的高低。
量子力学习题集及解答
目录 第一章量子理论基础 (1) 第二章波函数和薛定谔方程 (5) 第三章力学量的算符表示 (28) 第四章表象理论 (48) 第五章近似方法 (60) 第六章碰撞理论 (94) 第七章自旋和角动量 (102) 第八章多体问题 (116) 第九章相对论波动方程 (128)
第一章 量子理论基础 1．设一电子为电势差V 所加速，最后打在靶上，若电子的动能转化为一个光子，求当这光子相应的光波波长分别为5000 A （可见光），1 A （x 射线）以及0.001 A （γ射线）时，加速电子所需的电势差是多少？ [解] 电子在电势差V 加速下，得到的能量是eV m =22 1 υ这个能量全部转化为一个光子的能量，即 λ νυhc h eV m ===221 ) (1024.1106.11031063.64 19834 A e hc V λλλ?=?????==∴--（伏） 当 A 50001=λ时， 48.21=V （伏） A 12=λ时 421024.1?=V （伏） A 001.03=λ时 731024.1?=V （伏） 2．利用普朗克的能量分布函数证明辐射的总能量和绝对温度的四次方成正比，并求比例系数。 [解] 普朗克公式为 1 8/33-?=kT hv v e dv c hv d πνρ 单位体积辐射的总能量为 ? ?∞∞-==0 0/331 3T hv v e dv v c h dv U κπρ 令kT hv y = ，则 4 40333418T T e dy y c h k U y σπ=? ??? ??-=?∞ （★） 其中 ?∞-=033341 8y e dy y c h k πσ （★★） （★）式表明，辐射的总能量U 和绝对温度T 的四次方成正比。这个公式就是斯忒蕃——玻耳兹曼公式。其中σ是比例常数，可求出如下： 因为 )1()1(1 121 +++=-=-------y y y y y y e e e e e e
量子力学习题及解答 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)()(5-?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλλ λρλρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ
? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=h v ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ
第七章：粒子在电磁场中的运动 P367——7.1，7.2 证明在磁场B 中，带电粒子的速度算符的各分量，满足下述的对易关系： [] z y x c q i v v B ?,2μ = （1） [] x z y c q i v v B ?,2μ = （2） []y x z c q i v v B ? ,2 μ = （3） [证明]根据正则方程组： x x p H x v ??== ? ，Φ+?? ? ??-=q A c q p H 2 21? μ ? ? ? ?? -=x x x A c q p v ??1?μ 同理 ? ? ? ? ?-=y y y A c q p v ??1?μ ()z y x p p p p ?,?,?? 是正则动量，不等于机械动量，将所得结果代入（1）的等号左方： [] ? ? ????--=y y x x y x A c q p A c q p v v ??,??1,2μ ] [] y x A A c q ?,?2 2 μ+ （4） [] 0?,?=y x p p 又A ? [] z x y y x B c y x i c v v 22 ,μμ = ??? ??-?? = （因A B ??=??） 其余二式依轮换对称写出。 P368证明在规范变换下 ψψρ* = （1） [ ]ψψμψψψψμ * * *- -=A c q p p j ??21 （2）
??? ? ?-=A c q p v ?μ （机械动量的平均值）都不变 （3） （证明）如课本证明，要规范变换下，若将体系的波函数作以下变换（P368 20式） ψψc iqf e → （4） 则薛定谔方程形式不变，将（4）代入（1）式等号右方，设变换后几率密度： ρ ρψ ψψψψψ ρ='=?=??? ? ? ???? ? ? ?='* * -* c iqf c iqf c iqf c iqf e e e e 又设变换后几率流密度是j '，将（4）代入（2）式右方，同时又代入 ()t r f A A , ?+→ ψψψψμc iqf c iqf c iqf c iqf e P e e p e j * - * -????? ?-='21 （5） 注意到算符的对易关系 推广到三维：() )(F )(F ,?r i r p ??=? 6） 令c iqf e r =)(F 则有： c iqf e p -=e p c iqf （7） =-e p c iqf (8) 将（7）（5）式成为： ()() j A c q p p f A c q f c q p e e f c q p e e j c iqf c iqf c iqf c iqf =--=?+-????????? ???--??? ???+=* ***-*-ψψμψψψψμψψμψψψψμ2121 （9） 在证明第3式时，设变换后的v 是v ' 。写出右方平均值的显式，用（4）的波数变换，和)4('的矢势的变换式：
第一章 ⒈玻尔的量子化条件，索末菲的量子化条件。 ⒉黑体：能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。 ⒎普朗克量子假说： 表述1：对于一定频率ν的辐射，物体只能以hν为能量单位吸收或发射电磁辐射。 表述2：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以量子的方式进行，每个量子的能量为：ε=h ν。 表述3：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以能量ε的整数倍来实现，即ε，2ε，3ε，…。 ⒏光电效应：光照射到金属上，有电子从金属上逸出的现象。这种电子称之为光电子。 ⒐光电效应有两个突出的特点： ①存在临界频率ν0：只有当光的频率大于一定值v0 时，才有光电子发射出来。若光频率小于该值时，则不论光强度多大，照射时间多长，都没有光电子产生。 ②光电子的能量只与光的频率有关，与光的强度无关。光的强度只决定光电子数目的多少。⒑爱因斯坦光量子假说： 光(电磁辐射)不仅在发射和吸收时以能量E= hν的微粒形式出现，而且以这种形式在空间以光速C 传播，这种粒子叫做光量子，或光子。爱因斯坦方程 ⒒光电效应机理： 当光射到金属表面上时，能量为E= hν的光子立刻被电子所吸收，电子把这能量的一部分用来克服金属表面对它的吸引，另一部分就是电子离开金属表面后的动能。 ⒓解释光电效应的两个典型特点： ①存在临界频率v0：由上式明显看出，当hν- W0≤0时，即ν≤ν0 = W0 / h时，电子不能脱出金属表面，从而没有光电子产生。 ②光电子动能只决定于光子的频率：上式表明光电子的能量只与光的频率ν有关，而与光的强度无关。 ⒔康普顿效应：高频率的X射线被轻元素如白蜡、石墨中的电子散射后出现的效应。 ⒕康普顿效应的实验规律： ①散射光中，除了原来X光的波长λ外，增加了一个新的波长为λ'的X光，且λ' >λ； ②波长增量Δλ=λ-λ随散射角增大而增大。 ⒖量子现象凡是普朗克常数h在其中起重要作用的现象 ⒗光具有微粒和波动的双重性质，这种性质称为光的波粒二象性
量子力学习题 （三年级用） 山东师范大学物理与电子科学学院 二O O七年
第一部分 量子力学的诞生 1、计算下列情况的Broglie d e -波长，指出那种情况要用量子力学处理： （1）能量为eV .0250的慢中子 () 克2410671-?=μ .n ；被铀吸收； （2）能量为a MeV 的5粒子穿过原子克2410646-?=μ.a ； （3）飞行速度为100米/秒，质量为40克的子弹。 2、两个光子在一定条件下可以转化为正、负电子对，如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？ 3、利用Broglie d e -关系，及园形轨道为各波长的整数倍，给出氢原子能 量可能值。
第二部分 波函数与Schr?dinger 方程 1、设()() 为常数a Ae x x a 222 1 -= ? （1）求归一化常数 （2）.?p ?,x x == 2、求ikr ikr e r e r -=?=?1121和的几率流密度。 3、若() ,Be e A kx kx -+=? 求其几率流密度，你从结果中能得到什么样的 结论？（其中k 为实数） 4、一维运动的粒子处于 ()? ? ?<>=?λ-0 00x x Axe x x 的状态，其中,0>λ求归一化系数A 和粒子动量的几率分布函数。 5、证明：从单粒子的薛定谔方程得出的粒子的速度场是非旋的，即求证 0=υ?? 其中ρ= υ/j 6、一维自由运动粒子，在0=t 时，波函数为 ()()x ,x δ=?0 求： ?)t ,x (=?2
第三部分 一维定态问题 1、粒子处于位场 ()00 0000 ??? ?≥?=V x V x V 中，求：E ＞0V 时的透射系数和反射系数（粒子由右向左运动） 2、一粒子在一维势场 ?? ???>∞≤≤<∞=0 000x a x x V ) x ( 中运动。 （1）求粒子的能级和对应的波函数； （2）若粒子处于)x (n ?态，证明：,/a x 2= () .n a x x ?? ? ??π-=-2222 6112 3、若在x 轴的有限区域，有一位势，在区域外的波函数为 如 D S A S B D S A S C 22211211+=+=
7.1.证明：i z y x =σσσ ??? 证：由对易关系 z x y y x i σσσσσ ?2????=- 及 反对易关系 0????=+x y y x σσσσ ， 得 z y x i σσσ ???= 上式两边乘z σ ?，得 2????z z y x i σσσσ= ∵ 1?2=z σ ∴ i z y x =σσσ ??? 7.2 求在自旋态)(2 1z S χ中，x S ?和y S ?的测不准关系： ?)()(22=y x S S ?? 解：在z S ?表象中)(2 1z S χ、x S ?、y S ?的矩阵表示分别为 ???? ??=01)(21z S χ ???? ??=01102? x S ???? ??-=002?i i S y ∴ 在)(2 1z S χ态中 00101102)0 1(2121=??? ? ?????? ??==+ χχx x S S 4010110201102)0 1(?2 22 2 121 =???? ?????? ?????? ??==+ χχx x S S 4 )(22 22 =-=?x x x S S S 001002)0 1(?212 1=??? ? ?????? ??-==+i i S S y y χχ 401002002)0 1(?222 2 121 =??? ? ?????? ??-???? ??-==+ i i i i S S y y χχ 4 )(22 22 =-=?y y y S S S
16 )()(4 2 2 =??y x S S ① 讨论：由x S ?、y S ?的对易关系 [x S ?，y S ?]z S i ? = 要求 4 )()(2 2 2 2z y x S S S ≥?? 在)(2 1z S χ态中，2 = z S ∴ 16 )()(4 2 2 ≥y x S S ?? 可见①式符合上式的要求。 7.3.求??? ? ??--=???? ??=002?01102?i i S S y x 及的本征值和所属的本征函数。 解：x S ?的本征方程为01102a a b b λ??????= ??? ? ?????? 移项得: 20 2 a b λ λ? ? - ???= ? ? ???- ??? x S ?的久期方程为 02 2=--λ λ 可得 20)2(22 ±=?=-λλ ∴ x S ?的本征值为2 ±。 设对应于本征值2 的本征函数为 ???? ??=112/1b a χ 由本征方程 2 /12/12 ?χχ =x S ，得
第一章 绪论 1.1．由黑体辐射公式导出维恩位移定律：C m b b T m 0 3109.2 ,??==-λ。 证明：由普朗克黑体辐射公式： ννπνρννd e c h d kT h 1 1 83 3 -= ， 及λ νc = 、λλ νd c d 2 - =得 1 185 -= kT hc e hc λλλπρ， 令kT hc x λ= ，再由0=λρλd d ，得λ.所满足的超越方程为 1 5-=x x e xe 用图解法求得97.4=x ，即得 97.4=kT hc m λ，将数据代入求得C m 109.2 ,03??==-b b T m λ 1.2．在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV,求de Broglie 波长. 解：010 A 7.09m 1009.72=?≈= =-mE h p h λ # 1.3. 氦原子的动能为kT E 2 3 = ，求K T 1=时氦原子的de Broglie 波长。 解：010 A 63.12m 1063.1232=?≈== =-mkT h mE h p h λ 其中kg 1066.1003.427-??=m ，1 23K J 1038.1--??=k # 1.4利用玻尔—索末菲量子化条件，求： （1）一维谐振子的能量。 （2）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。 已知外磁场T 10=B ，玻尔磁子123 T J 10 923.0--??=B μ，求动能的量子化间隔E ?，并与K 4=T 及 K 100=T 的热运动能量相比较。 解：（1）方法1：谐振子的能量2222 1 2q p E μωμ+= 可以化为 ( ) 1222 222 2=??? ? ??+ μωμE q E p 的平面运动，轨道为椭圆，两半轴分别为2 2,2μω μE b E a = =，相空间面积为 ,2,1,0,2=== = =?n nh E E ab pdq ν ω ππ 所以，能量 ,2,1,0,==n nh E ν 方法2：一维谐振子的运动方程为02 =+''q q ω，其解为 ()?ω+=t A q sin 速度为 ( )?ωω+='t A q c o s ，动量为()?ωμωμ+='=t A q p cos ，则相积分为
浅谈多媒体课件制作与中学物理教学 计算机技术的普及和发展，冲击着教育观念的改变和教学手段的提高。也成为新贯彻新课改的有力工具。为教育的现代化改革开拓了一个广阔的前景与空间，给优化课堂教学，构建新型的教学模式，提供了丰富的土壤。多媒体集文字、图形、图象、声音、动画、影视等各种信息传输手段为一体,具有很强的真实感和表现力，可以激发学生学习兴趣，可以动态地、对比地演示一些物理现象，极大地提高教与学的效率，达到最佳的教学效果。 随着计算机技术的迅猛发展及计算机的大量普及，很多中学配备了微机室、专用多媒体教室，建立电教中心，为计算机辅助教学（CAI）打下了硬件基础。CAI在现代教学中有着重要的地位，如何充分发挥CAI在中学教学中的作用，是摆在广大中学教育工作者面前的一个重要课题。笔者就CAI在中学物理教学中的应用以及对中学物理教学中的影响谈几点拙见。 一个优秀的CAI课件应充分地发挥计算机多媒体的特点，在制作过程中应注重视听教学的特征，突出启发教学，还应注重教学过程的科学性和合理性，应做到构图合理、美观，画面清晰、稳定，色彩分明、色调悦目，动画流畅，真实感强，解说清晰动听，功能丰富，演播运行安全可靠。 一．在制作多媒体CAI课件时应具备以下几点： ⒈加强课前研究，建立素材资源库 课前研究是教学的准备，只有课前进行充分的研究，才能取得理想的教学效果。在备课过程中，走素材资源库和制作平台相结合的思路。物理教师应根据教学实际，充分利用现有条件下的网络信息资源素材库和教学软件，以及相关的CD、VCD资源，选取适合教学需要的内容来制作自己的课件，从而适应不同教学情境的需要。同时，教师可在Internet上建立自己的网站，把以网页浏览形式制作的CAI课件、教案、论文等放在该网站中，并把在教学过程中制作的每一个课件链接起来，从而逐步建立一个完整的教学课件体系。 2.选择合适的制作工具 为了创作出一个成功的多媒体CAI课件，工具选择得好可以大大地加快开发进程，节省开发人力和资金，有利于将主要精力投入到脚本和软件的设计中去。选择多媒体制作工具，主要应从以下几个方面综合考虑：编程环境、超级链接能力、媒体集成能力、动画创作能力、易学习性、易使用性、文档是否丰富等 3.应充分发挥交互作用
量子力学习题及解答 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量） ； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)() (5-?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλλλρλρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ
? 0115=-?+ --kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， λh P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ
第七章习题 1． 有一平凹氦氖激光器，腔长m 5.0，凹镜曲率半径为m 2，现欲用小孔光阑选出 00TEM 模，试求光阑放于紧靠平面镜和紧靠凹面镜处两种情况下小孔直径各为多少？（对于氦氖激光器，当小孔光阑的直径约等于基模半径的3.3倍时，可选出基横模。） 解：由R L g -=1，可计算出75.01=g ，0.12=g ，满足1021
第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 183 3 -?=πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)() (5 -?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλ λλρλ ρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ
? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ
量子力学思考题 1、以下说法是否正确： （1）量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系； （2）量子力学适用于η不能忽略的体系，而经典力学适用于η可以忽略的体系。 解答：（1）量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系，它可以包容整个经典力学体系。 （2）对于宏观体系或η可以忽略的体系，并非量子力学不能适用，而是量子力学实际上已经过渡到经典力学， 二者相吻合了。 2、微观粒子的状态用波函数完全描述，这里“完全”的含义是什么？ 解答：按着波函数的统计解释，波函数统计性的描述了体系的量子态。如已知单粒子（不考虑自旋）波函数 )(r ?ψ，则不仅可以确定粒子的位置概率分布，而且如粒子的动量、能量等其他力学量的概率分布也均可通过)(r ? ψ而完全确定。由于量子理论和经典理论不同，它一般只能预言测量的统计结果，而只要已知体系的波函 数，便可由它获得该体系的一切可能物理信息。从这个意义上说，有关体系的全部信息显然已包含在波函数中，所以说微观粒子的状态用波函数完全描述，并把波函数称为态函数。 3、以微观粒子的双缝干涉实验为例，说明态的叠加原理。 解答：设1ψ和2ψ是分别打开左边和右边狭缝时的波函数，当两个缝同时打开时，实验说明到达屏上粒子的波函数由1ψ和2ψ的线性叠加2211ψψψc c +=来表示，可见态的叠加不是概率相加，而是波函数的叠加，屏上粒子位置的概率分布由222112 ψψψ c c +=确定，2 ψ中出现有1ψ和2ψ的干涉项]Re[2* 21*2 1ψψc c ，1c 和2c 的模对相对相位对概率分布具有重要作用。 4、量子态的叠加原理常被表述为：“如果1ψ和2ψ是体系的可能态，则它们的线性叠加2211ψψψc c +=也是体系的一个可能态”。 （1）是否可能出现)()()()(),(2211x t c x t c t x ψψψ+=； （2）对其中的1c 与2c 是任意与r ? 无关的复数，但可能是时间t 的函数。这种理解正确吗？ 解答：（1）可能，这时)(1t c 与)(2t c 按薛定谔方程的要求随时间变化。
量子力学课后习题详解 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 183 3 -?=πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)() (5 -?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλ λλρλ ρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 '=???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλπρ
? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m = λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2 c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 6 1051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ
量子力学习题（三年级用） 北京大学物理学院 二O O三年
第一章 绪论 1、计算下列情况的Broglie d e -波长，指出那种情况要用量子力学处理： （1）能量为eV .0250的慢中子 () 克2410671-?=μ .n ；被铀吸收； （2）能量为a MeV 的5粒子穿过原子克2410646-?=μ.a ； （3）飞行速度为100米/秒，质量为40克的子弹。 2、两个光子在一定条件下可以转化为正、负电子对，如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？ 3、利用Broglie d e -关系，及园形轨道为各波长的整数倍，给出氢原子能量 可能值。
第二章 波函数与波动力学 1、设()() 为常数a Ae x x a 222 1 -= ? （1）求归一化常数 （2）.?p ?,x x == 2、求ikr ikr e r e r -=?=?1121和的几率流密度。 3、若() ,Be e A kx kx -+=? 求其几率流密度，你从结果中能得到什么样的结 论？（其中k 为实数） 4、一维运动的粒子处于 ()? ? ?<>=?λ-0 00x x Axe x x 的状态，其中,0>λ求归一化系数A 和粒子动量的几率分布函数。 5、证明：从单粒子的薛定谔方程得出的粒子的速度场是非旋的，即求证 0=υ?? 其中ρ= υ/j 6、一维自由运动粒子，在0=t 时，波函数为 ()()x ,x δ=?0 求： ?)t ,x (=?2
第三章 一维定态问题 1、粒子处于位场 ()00 0000 ??? ?≥?=V x V x V 中，求：E ＞0V 时的透射系数和反射系数（粒子由右向左运动） 2、一粒子在一维势场 ?? ???>∞≤≤<∞=0 000x a x x V ) x ( 中运动。 （1）求粒子的能级和对应的波函数； （2）若粒子处于)x (n ?态，证明：,/a x 2= () .n a x x ?? ? ??π-=-2222 6112 3、若在x 轴的有限区域，有一位势，在区域外的波函数为 如 D S A S B D S A S C 22211211+=+= 这即“出射”波和“入射”波之间的关系，