历年中国参加国际数学奥林匹克竞赛选手详细去向第26届IMO（1985年，芬兰赫尔辛基）
吴思皓（男）上海向明中学确规定铜牌上海交通大学
王锋（男）北京大学（根据yongcheng先生提供的信息修订）目前作企业软件
第27届IMO（1986年，波兰华沙）
李平立（男）天津南开中学金牌北京大学
方为民（男）河南实验中学金牌北京大学
张浩（男）上海大同中学金牌复旦大学
荆秦（女）陕西西安八十五中银牌北京大学，现在美国哈佛大学任教
林强（男）湖北黄冈中学铜牌中国科技大学
第28届IMO（1987年，古巴哈瓦那）
刘雄（男）湖南湘阴中学金牌南开大学
滕峻（女）北京大学附中金牌北京大学
林强（男）湖北黄冈中学银牌中国科技大学
潘于刚（男）上海向明中学银牌北京大学
何建勋（男）广东华南师范大学附中铜牌中国科技大学
高峡（男）北京大学附中铜牌北京大学，现在北大任教
第29届IMO（1988年，澳大利亚堪培拉）团体总分第二
陈晞（男）上海复旦大学附中金牌复旦大学，美国密苏里大学，美国哈佛大学，现在加拿大Alberta大学数学系任教授
韦国恒（男）湖北武汉武钢三中银牌北京大学
查宇涵（男）南京十中银牌北京大学，在中科院数学所任副研究员
邹钢（男）江苏镇江中学银牌北京大学
王健梅（女）天津南开中学银牌北京大学
何宏宇（男）以满分成绩获第29届国际数学奥林匹金牌，1993年破格列入美国数学家协会会员，1994年获博士学位，现任亚特兰大乔治大学教授、博士生导师，从事现代数学研究前沿的《李群》《微分几何》等方向的研究，在《李群》的研究上已有重大突破。
第30届IMO（1989年，原德意志联邦共和国布伦瑞克）团体总分第一
罗华章（男）重庆水川中学金牌北京大学
俞扬（男）吉林东北师范大学附中金牌吉林大学
霍晓明（男）江西景德镇景光中学金牌中国科技大学
唐若曦（男）四川成都九中银牌中国科技大学
颜华菲（女）北京中国人民大学附中银牌北京大学本科，1997年获美国麻省理工博士，现任Texax A&M Uneversity 数学系教授，美国数学会常务理事会成员，Mathematical Reviews评论员。2001年获得Sloan fellowshep。颜华菲教授的主要研究领域为代数组合，组合计数和概率方法。主要在以下几个方面开展研究工作：(1) Lattice theory for commuting Boolean subalgebras (2)Enumeration of parking functions and Goncarov polynomials (3) Combinatorial properties of Apollonian circle packings (4) Linear lattices and Grassmann-Cayleyalgebras (5) Ranom geometric grahs and the Ulam’s pathological liar game
将步星（男）新疆石河子五中金牌清华大学
第31届IMO（1990年，中国北京）团体总分第一
周彤（男）湖北武汉武钢三中金牌北京大学
汪建华（男）陕西汉中西乡一中金牌南开大学，美国麻省理工数学博士，现在美国陈省身数学研究所工作。
王菘（男）湖北黄冈中学金牌北京大学
余嘉联（男）安徽铜陵一中金牌清华大学
张朝晖（男）北京四中金牌北京大学
库超（男）湖北黄冈中学银牌北京大学
第32届IMO（1991年，瑞典斯德哥尔摩）团体总分第二
罗炜（男）黑龙江哈尔滨师范大学附中金牌北京大学，在浙江大学数学科学中心任博士后
张里钊（男）北京大学附中金牌北京大学
王绍昱（男）湖北黄冈中学金牌北京大学，在耶鲁大学任Gibbs Assistant Professor (non tenure-track)
郭早阳（男）湖南师范大学附中银牌清华大学
刘彤威（男）北京大学附中银牌北京大学
第33届IMO（1992年，前苏联莫斯科）团体总分第一
沈凯（男）江苏南京师范大学附中金牌上海交通大学
杨保中（男）河南郑州一中金牌北京大学
罗炜（男）黑龙江哈尔滨师范大学附中金牌北京大学，在浙江大学数学科学中
心任博士后
何斯迈（男）安徽安庆一中金牌中国科技大学
周宏（男）北京大学附中金牌北京大学
章寅（男）四川成都七中金牌北京大学，首届华林赛四川省二等奖全国初中数学联赛四川省第三名，1989年高二全国高中联赛三等奖。北京大学计算机系，后到美国康乃大学第34届IMO（1993年，土耳其伊斯坦布尔）
周宏北京大学附中金牌北京大学
杨克湖北武汉武钢三中金牌清华大学
袁汉辉广东华南师范大学附中金牌清华大学，Cal-Thec的硕，麻省理工（MIT）的博，现在在华南师大数学科学学院工作，2005年的女子数学奥林匹克他也供题一道
刘炀湖南师范大学附中金牌上海交通大学
张镭山东青岛二中金牌北京大学
冯炯上海向明中学金牌上海交通大学
第35届IMO（1994年，中国香港），团体总分第二
张健（男）上海市建平中学金牌北京大学
姚健钢（男）北京中国人民大学附中金牌北京大学（目前担任巨人学校奥数讲义编写组顾问）
彭建波（男）湖南师范大学附中金牌北京大学
奚晨海（男）北京大学附中银牌北京大学
王海栋（男）上海华东师范大学二附中银牌复旦大学
李挺（男）四川内江安岳中学银牌北京大学
第36届IMO（1995年，加拿大多伦多）
常成哈尔滨师范大学附中金牌北京大学
柳耸山东实验中学金牌北京大学
朱辰畅湖北武汉武钢三中金牌北京大学
王海栋上海华东师范大学二附中金牌复旦大学
林逸舟山东实验中学银牌清华大学
姚一隽上海复旦大学附中银牌复旦大学
第37届IMO（1996年，印度孟买）团体总分第六
陈华一（男）福建省福安一中金牌北京大学
闫理（男）北京二十二中金牌北京大学
何旭华（男）重庆十八中金牌北京大学
王列（男）辽宁沈阳育才学校银牌北京大学
蔡凯华（男）江苏启东中学银牌中国科技大学
刘拂（女）上海复旦大学附中铜牌北京大学第38届IMO（1997年，阿根廷马德普拉塔）团体总分第一
邹瑾（男）湖北武汉武钢三中金牌北京大学（目前在巨人学校担任奥数教练）孙晓明（男）山东青岛二中金牌北京大学
郑常津（男）福建福安一中金牌北京大学
倪忆（男）湖北黄冈中学金牌北京大学
韩嘉睿（男）广东深圳中学金牌北京大学
安金鹏（男）天津一中金牌北京大学
第39届IMO（1998年，中国台北）因故未参赛（以下六人为当年欲参赛名单）
邹瑾湖北武钢三中
许钧天湖北武钢三中
刘若川沈阳东北育才学校（高二）
艾颖华湖南师大附中
王佳湖北武钢三中
李鑫华南师大附中（高一）
第40届IMO（1999年，罗马尼亚布加勒斯特）
瞿振华（男）上海市延安中学学生金牌北京大学
李鑫（男）华南师范大学附中学生金牌北京大学
刘若川（男）东北育才学校学生金牌北京大学
程晓龙（男）湖北武汉武钢三中学生金牌北京大学
孔文彬（男）湖南师范大学附中学生银牌北京大学
朱琪慧（男）华南师范大学附中学生银牌清华大学
第41届IMO（2000年，韩国大田）
恽之玮（男）江苏常州高级中学学生金牌北京大学
李鑫（男）广州华南师范大学附中学生金牌北京大学
袁新意（男）湖北黄冈中学学生金牌北京大学
朱琪慧（男）广州华南师范大学附中学生金牌清华大学
吴忠涛（男）上海中学学生金牌北京大学
刘志鹏（男）长沙一中学生金牌北京大学第42届IMO（2001年，美国华盛顿）肖梁北京人大附中金牌北京大学
张志强长沙市一中金牌北京大学
余君湖南师大附中金牌北京大学
郑晖湖北武汉武钢三中金牌北京大学
陈建鑫江苏启东中学金牌清华大学
瞿枫东北育才学校金牌北京大学
第43届IMO（2002年，英国格拉斯哥）
王博潼东北育才学校金牌北京大学
付云皓清华大学附中金牌北京大学
王彬西安铁路第一中学金牌北京大学（目前在巨人学校担任奥数教练）
曾宪乙湖北武汉武钢三中金牌北京大学
肖维湖南师大附中金牌清华大学
符文杰上海华东师大二附中金牌清华大学
第44届IMO（2003年，日本东京）
付云皓清华大学附中金牌北京大学
向振长沙市一中金牌清华大学
王伟湖南师大附中金牌北京大学
方家聪华南师大附中金牌北京大学
万昕四川彭州中学金牌北京大学
周游湖北武汉武钢三中银牌北京大学
第45届IMO（2004年，希腊雅典）
黄志毅华南师大附中金牌清华大学计算机系
朱庆三华南师大附中金牌北京大学
杨诗武黄冈中学金牌北京大学
李先颖湖南师大附中金牌清华大学
彭闽昱鹰潭市一中金牌北京大学
林运成上海中学金牌北京大学
其他：
邵亦波，国内最大的拍卖网站——易趣网的CEO，曾因10多次获得过全国数学竞赛一等奖、（1986首届华杯赛金牌得主）邵亦波从华东师大二附中高二跳级进入哈佛大学攻读物理电子工程双学士并获全额奖学金而被称为“神童”。他也因此而成为建国以来以全额奖学金进入哈佛本科深造第一人。毕业时，成为哈佛应届生中12位最高荣誉学生之一。本科毕业后，同时收到麦肯锡和波士顿两家咨询公司的聘书；在波士顿公司工作两年后，被公认为公司“最优秀雇员”之一的邵亦波，获得进哈佛攻读MBA的机会。获得哈佛MBA学位后，他回国建立了易趣网，并当选为上海浦东区政协常委、全国青联委员，还被公众评为“2000年度IT 十大魅力男士”。
章寅，1986年首届华杯赛四川省二等奖，成都七中，全国初中数学联赛四川省第三名，1989年高二全国高中数学联赛四川省二等奖，后到国家理科实验班学习，第10届美国数学邀请赛，1992年第33届莫斯科国际数学奥林匹克金牌，北京大学计算机系，美康乃尔大学。
於海涛，1989年第二届“华杯赛”银牌获得者。1995年获第26届国际物理奥林匹克（IPHO）金牌奖个人第一名，后考入北京大学物理系。美国哥伦比亚大学物理系博士。
秦伯涛，1997年第六届“华杯赛”金牌奖中学组第二名。1997年参加汉城国际数学邀请赛获得金牌。2002年被保送到北京大学数学系学习。法国巴黎高等师范学校。
陆昱，1986年第一届“华杯赛”金牌奖第一名。后进入北京大学就读，1996年大学毕业后赴美国斯坦福大学统计系深造，2002年取得博士学位。
徐开闻（江苏－南京）1991年第3届华杯赛金牌。国际物理奥林匹克（IPHO）金牌，1996年进北大物理系，现于麻省理工物理系读博士
陈大卫（山东－青岛）1993年第4届华杯赛银牌。就读于北京大学数学系。现在哈佛数学系读博士
王颖在深圳中学的时候，获得了1997年全国华杯赛（中学组）金牌，2005年9月19日，中山大学本科毕业、20岁的王颖赴美国斯坦福大学攻读计算机博士，并得到了一年不少于4.14万美金的全额奖学金，世界排名数一数二的大学愿意“倒贴钱”让他读书
2020年中国数学奥林匹克试题和详细解答word 版 一、给定锐角三角形PBC ，PC PB ≠．设A ，D 分不是边PB ，PC 上的点，连接AC ，BD ，相交于点O. 过点O 分不作OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分不为E ，F ，线段BC ，AD 的中点分不为M ，N ． 〔1〕假设A ，B ，C ，D 四点共圆，求证：EM FN EN FM ?=?； 〔2〕假设 EM FN EN FM ?=?，是否一定有A ，B ，C ，D 四点共圆？证明你的结论． 解〔1〕设Q ，R 分不是OB ，OC 的中点，连接 EQ ，MQ ，FR ，MR ，那么 11 ,22EQ OB RM MQ OC RF ====， 又OQMR 是平行四边形，因此 OQM ORM ∠=∠， 由题设A ，B ，C ，D 四点共圆，因此 ABD ACD ∠=∠， 因此 图1 22EQO ABD ACD FRO ∠=∠=∠=∠， 因此 EQM EQO OQM FRO ORM FRM ∠=∠+∠=∠+∠=∠， 故 EQM MRF ???， 因此 EM ＝FM ， 同理可得 EN ＝FN ， 因此 EM FN EN FM ?=?． 〔2〕答案是否定的． 当AD ∥BC 时，由于B C ∠≠∠，因此A ，B ，C ，D 四点不共圆，但现在仍旧有 EM FN EN FM ?=?，证明如下： 如图2所示，设S ，Q 分不是OA ，OB 的中点，连接ES ，EQ ，MQ ，NS ，那么 11 ,22 NS OD EQ OB ==， C B
因此 NS OD EQ OB =．①又 11 , 22 ES OA MQ OC ==，因此 ES OA MQ OC =．② 而AD∥BC，因此 OA OD OC OB =，③ 由①，②，③得NS ES EQ MQ =． 因为2 NSE NSA ASE AOD AOE ∠=∠+∠=∠+∠， ()(1802) EQM MQO OQE AOE EOB EOB ∠=∠+∠=∠+∠+?-∠ (180)2 AOE EOB AOD AOE =∠+?-∠=∠+∠， 即NSE EQM ∠=∠， 因此NSE ?～EQM ?， 故 EN SE OA EM QM OC ==〔由②〕．同理可得， FN OA FM OC =， 因此EN FN EM FM =， 从而EM FN EN FM ?=?． C B
初中数学奥林匹克竞赛题及答案 奥数题一 一、选择题（每题1分，共10分） 1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么 ( ) A．a，b都是0 B．a，b之一是0 C．a，b互为相反数 D．a，b互为倒数 答案：C 解析：令a=2，b=－2，满足2+(－2)=0，由此a、b互为相反数。 2．下面的说法中正确的是 ( ) A．单项式与单项式的和是单项式 B．单项式与单项式的和是多项式 C．多项式与多项式的和是多项式 D．整式与整式的和是整式 答案：D 解析：x2，x3都是单项式．两个单项式x3，x2之和为x3+x2是多项式，排除A。两个单项式x2，2x2之和为3x2是单项式，排除B。两个多项式x3+x2与x3－x2之和为2x3是个单项式，排除C，因此选D。 3．下面说法中不正确的是 ( ) A. 有最小的自然数 B．没有最小的正有理数 C．没有最大的负整数 D．没有最大的非负数 答案：C 解析：最大的负整数是-1，故C错误。 4．如果a，b代表有理数，并且a＋b的值大于a－b的值，那么 ( ) A．a，b同号 B．a，b异号 C．a＞0 D．b＞0 答案：D 5．大于－π并且不是自然数的整数有 ( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 答案：C 解析：在数轴上容易看出：在－π右边0的左边（包括0在内）的整数只有－3，－2，
－1，0共4个．选C。 6．有四种说法： 甲．正数的平方不一定大于它本身； 乙．正数的立方不一定大于它本身； 丙．负数的平方不一定大于它本身； 丁．负数的立方不一定大于它本身。 这四种说法中，不正确的说法的个数是 ( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 答案：B 解析：负数的平方是正数，所以一定大于它本身，故C错误。 7．a代表有理数，那么，a和－a的大小关系是 ( ) A．a大于－a B．a小于－a C．a大于－a或a小于－a D．a不一定大于－a 答案：D 解析：令a=0，马上可以排除A、B、C，应选D。 8．在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边( ) A．乘以同一个数 B．乘以同一个整式 C．加上同一个代数式 D．都加上1 答案：D 解析：对方程同解变形，要求方程两边同乘不等于0的数，所以排除A。我们考察方程x－2=0，易知其根为x=2．若该方程两边同乘以一个整式x－1，得(x－1)(x－2)=0，其根为x=1及x=2，不与原方程同解，排除B。同理应排除C．事实上方程两边同时加上一 个常数，新方程与原方程同解，对D，这里所加常数为1，因此选D． 9．杯子中有大半杯水，第二天较第一天减少了10%，第三天又较第二天增加了10%，那么，第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是( ) A．一样多 B．多了 C．少了 D．多少都可能 答案：C 解析：设杯中原有水量为a，依题意可得， 第二天杯中水量为a×(1－10%)=0.9a； 第三天杯中水量为(0.9a)×(1+10%)=0.9×1.1×a； 第三天杯中水量与第一天杯中水量之比为0.99∶1， 所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了，选C。
第36届国际数学奥林匹克试题 1．（保加利亚） 设A 、B 、C 、D 是一条直线上依次排列的四个不同的点，分别以AC 、BD 为直径的圆相交于X 和Y ，直线XY 交BC 于Z 。若P 为XY 上异于Z 的一点，直线CP 与以AC 为直径的圆相交于C 和M ，直线BP 与以BD 为直径的圆相交于B 和N 。试证：AM 、DN 和XY 三线共点。 证法一：*设AM 交直线XY 于点Q ，而DN 交直线XY 于点Q ′（如图95-1，注意：这里只画出了点P 在线段XY 上的情形，其他情况可类似证明）。须证：Q 与Q ′重合。 由于XY 为两圆的根轴，故XY ⊥AD ，而AC 为直径，所以 ∠QMC=∠PZC=90° 进而，Q ，M ，Z ，B 四点共圆。 同理Q ′，N ，Z ，B 四点共圆。 这样，利用圆幂定理，可知 QP ·PZ=MP ·PC=XP ·PY ， Q ′P ·PZ=NP ·PB=XP ·PY 。 所以，QP= Q ′P 。而Q 与Q ′都在直线XY 上且在直线AD 同侧，从而，Q 与Q ′重合。命题获证。 分析二* 如图95-2，以XY 为弦的任意圆O ， 只需证明当P 确定时，S 也确定。 证法二：设X （0，m ）,P （0，y 0）， ∠PCA=α， m 、y 0是定值。有2 0.yx x x ctg y x C A c =?-=但α， 则.0 2 αtg y m x A -= 因此，AM 的方程为 ).(0 2 ααtg y m x ctg y ?+=
令0 2,0y m y x s ==得，即点S 的位置取决于点P 的位置，与⊙O 无关，所以AM 、DN 和ZY 三条直线共点。 2．（俄罗斯）设a 、b 、c 为正实数且满足abc=1。试证： .2 3)(1)(1)(1333≥+++++b a c a c b c b a 证法一：**设γβα++=++=++=---------1111111112,2,2b a c a c b c b a ， 有.0=++γβα于是， ) (4)(4)(4333b a c a c b c b a +++++ )(4)(4)(4333b a c a b c a c b a b c c b a a b c +++++= 112 111121111211)()()(------------+++++++++++=b a b a c c b c b c b γαβα 21112 1112111111)()()()(2)(2γβαγβα------------+++++++++++=b a a c c b c b a .6132)111(23=?≥++≥abc c b a ∴原不等式成立。 背景资料：陕西省永寿县中学安振平老师在《证明不等式的若干代换技巧》一文中运用“增量代换”给出证法一，还用增量代换法给出第 6届IMO 试题的证明。什么是增量代换法？—— 由α≤+=≥0,,其中令a b a b a 称为增量。运用这种方法来论证问题，我们称为增量代换法。 题1 设c b a ,,是某一三角形三边长。求证： .3)()()(222abc c b a c b a c b a c b a ≤-++-++-+ （第6届IMO 试题） 证明 不失一般性，设.,0,0,0,,,y x z y x z y x c y x b x a >≥≥>++=+==且 abc c b a c b a c b a c b a 3)()()(222--++-++-+则 + ++++-+++++-++++=x z y x y x x z y x y x x z y x y x x [)()]()[()(])()[(222
第32届中国数学奥林匹克获奖名单 一等奖（116人，按省市自治区排列） 编号姓名地区学校 M16001 吴蔚琰安徽合肥一六八 M16002 考图南安徽安师大附中 M16003 徐名宇安徽合肥一中 M16004 吴作凡安徽安师大附中 M16005 周行健北京人大附中 M16006 王阳昇北京北京四中 M16007 陈远洲北京北师大附属实验中学M16008 杨向谦北京人大附中 M16009 夏晨曦北京北师大二附 M16010 谢卓凡北京清华附中 M16011 薛彦钊北京人大附中 M16012 胡宇征北京北京四中 M16013 徐天杨北京北京101中学 M16014 董昕妍北京人大附中 M16015 冯韫禛北京人大附中 M16016 林挺福建福建师范大学附属中学M16017 任秋宇广东华南师大附中 M16018 何天成广东华南师大附中 M16019 戴悦浩广东华南师大附中 M16020 谭健翔广东华南师大附中 M16021 王迩东广东华南师大附中 M16022 程佳文广东深圳中学 M16023 李振广东深圳外国语学校 M16024 张坤隆广东深圳中学 M16025 齐文轩广东深圳中学 M16026 卜辰璟贵州贵阳一中 M16027 顾树锴河北衡水第一中学 M16028 袁铭泽河北衡水第一中学 M16029 卢梓潼河北石家庄二中 M16030 赵振华河南郑州外国语学校 M16031 陈泰杰河南郑州外国语学校
M16032 迟舒乘黑龙江哈尔滨市第三中学 M16033 黄桢黑龙江哈尔滨市第三中学 M16034 姚睿湖北华中师范大学第一附属中学M16035 魏昕湖北武汉二中 M16036 黄楚昊湖北武钢三中 M16037 刘鹏飞湖北武汉二中 M16038 赵子源湖北华中师范大学第一附属中学M16039 徐行知湖北武钢三中 M16040 吴金泽湖北武汉二中 M16041 李弘梓湖北武汉二中 M16042 施奕成湖北华中师范大学第一附属中学M16043 袁睦苏湖北武汉二中 M16044 王子迎湖北武汉二中 M16045 袁昕湖北华中师范大学第一附属中学M16046 陈子瞻湖北湖北省黄冈中学 M16047 詹立宸湖北华中师范大学第一附属中学M16048 严子恒湖北武钢三中 M16049 陈贵显湖北华中师范大学第一附属中学M16050 张騄湖南长沙市长郡中学 M16051 刘哲成湖南长沙市雅礼中学 M16052 仝方舟湖南长沙市长郡中学 M16053 谢添乐湖南长沙市雅礼中学 M16054 尹龙晖湖南长沙市雅礼中学 M16055 黄磊湖南长沙市雅礼中学 M16056 肖煜湖南长沙市长郡中学 M16057 吴雨澄湖南湖南师范大学附属中学M16058 方浩湖南长沙市第一中学 M16059 郭鹏吉林东北师大附中 M16060 丁力煌江苏南京外国语学校 M16061 朱心一江苏南京外国语学校 M16062 高轶寒江苏南京外国语学校 M16063 彭展翔江西高安二中 M16064 刘鸿骏江西江西省吉安市第一中学M16065 孔繁淏辽宁大连二十四中 M16066 孔繁浩辽宁东北育才学校 M16067 孟响辽宁大连24中 M16068 毕梦达辽宁辽宁省实验中学
41st IMO2000 Problem1.AB is tangent to the circles CAMN and NMBD.M lies between C and D on the line CD,and CD is parallel to AB.The chords NA and CM meet at P;the chords NB and MD meet at Q.The rays CA and DB meet at E.Prove that P E=QE. Problem2.A,B,C are positive reals with product1.Prove that(A?1+ 1 B )(B?1+1 C )(C?1+1 A )≤1. Problem3.k is a positive real.N is an integer greater than1.N points are placed on a line,not all coincident.A move is carried out as follows. Pick any two points A and B which are not coincident.Suppose that A lies to the right of B.Replace B by another point B to the right of A such that AB =kBA.For what values of k can we move the points arbitrarily far to the right by repeated moves? Problem4.100cards are numbered1to100(each card di?erent)and placed in3boxes(at least one card in each box).How many ways can this be done so that if two boxes are selected and a card is taken from each,then the knowledge of their sum alone is always su?cient to identify the third box? Problem5.Can we?nd N divisible by just2000di?erent primes,so that N divides2N+1?[N may be divisible by a prime power.] Problem6.A1A2A3is an acute-angled triangle.The foot of the altitude from A i is K i and the incircle touches the side opposite A i at L i.The line K1K2is re?ected in the line L1L2.Similarly,the line K2K3is re?ected in L2L3and K3K1is re?ected in L3L1.Show that the three new lines form a triangle with vertices on the incircle. 1
全国小学生数学奥林匹克竞赛真题及答案收集 目录 2006年小学数学奥林匹克预赛试卷及答案 (1) 2006年小学数学奥林匹克决赛试题 (4) 2007年全国小学数学奥林匹克预赛试卷 (7) 2008年小学数学奥林匹克决赛试题 (8) 2008年小学数学奥林匹克预赛试卷 (10) 2006年小学数学奥林匹克预赛试卷及答案 1、计算4567－3456＋1456－1567＝__________。 2、计算5×4＋3÷4＝__________。 3、计算12345×12346－12344×12343＝__________。 4、三个连续奇数的乘积为1287，则这三个数之和为__________。 5、定义新运算a※b=a b＋a＋b (例如3※4=3×4＋3＋4=19)。 计算(4※5)※(5※6)=__________。 6、在下图中，第一格内放着一个正方体木块，木块六个面上分别写着A、B、C、D、E、 F六个字母，其中A与D，B与E，C与F相对。将木块沿着图中的方格滚动，当木块滚动到第2006个格时，木块向上的面写的那个字母是__________。 7、如图：在三角形ABC中，BD=BC，AE=ED，图中阴影部分的面积为250.75平方 厘米，则三角形ABC面积为__________平方厘米。
8、一个正整数，它与13的和为5的倍数，与13的差为3的倍数。那么这个正整数最小是 __________。 9、若一个自然数中的某个数字等于其它所有数字之和，则称这样的数为“S数”，(例： 561，6=5＋1)，则最大的三位数“S数”与最小的三位数“S数”之差为__________。 10、某校原有男女同学325人，新学年男生增加25人，女生减少5％，总人数增加16人， 那么该校现有男同学__________人。 11、小李、小王两人骑车同时从甲地出发，向同一方向行进。小李的速度比小王的速 度每小时快4千米，小李比小王早20分钟通过途中乙地。当小王到达乙地时，小李又前进了8千米，那么甲乙两地相距__________千米。 12、下列算式中，不同的汉字代表不同的数字，则：白＋衣的可能值的平均数为 __________。 答案： 1、1000 2、22.3 3、49378 4、33 5、1259 6、E 7、2006 8、 7 9、889 10、170 11、40 12、12.25 1.【解】原式＝（4567－1567）－（3456－1456）＝3000－2000＝1000 2.【解】原式＝＝21.5＋0.8＝22.3 3.【解】原式＝12345×（12345＋1）－（12343＋1）×12343 ＝＋12345－－12343 ＝(12345＋12343)×（12345－12343）＋2
初中数学奥林匹克竞赛教程
初中数学竞赛大纲（修订稿） 数学竞赛对于开发学生智力，开拓视野，促进教学改革，提高教学水平，发现和培养数学人才都有着积极的作用。目前我国中学生数学竞赛日趋规范化和正规化，为了使全国数学竞赛活动健康、持久地开展，应广大中学师生和各级数学奥林匹克教练员的要求，特制定《初中数学竞赛大纲（修订稿）》以适应当前形势的需要。 本大纲是在国家教委制定的九年义务教育制“初中数学教学大纲”精神的基础上制定的。《教学大纲》在教学目的一栏中指出：“要培养学生对数学的兴趣，激励学生为实现四个现代化学好数学的积极性。”具体作法是：“对学有余力的学生，要通过课外活动或开设选修课等多种方式，充分发展他们的数学才能”，“要重视能力的培养……，着重培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力，要使学生逐步学会分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等重要的思想方法。同时，要重视培养学生的独立思考和自学的能力”。 《教学大纲》中所列出的内容，是教学的要求，也是竞赛的要求。除教学大纲所列内容外，本大纲补充列出以下内容。这些课外讲授的内容必须充分考虑学生的实际情况，分阶段、分层次让学生逐步地去掌握，并且要贯彻“少而精”的原则，处理好普及与提高的关系，这样才能加强基础，不断提高。 1、实数 十进制整数及表示方法。整除性，被2、3、4、5、8、9、11等数整除的判定。 素数和合数，最大公约数与最小公倍数。 奇数和偶数，奇偶性分析。 带余除法和利用余数分类。 完全平方数。 因数分解的表示法，约数个数的计算。 有理数的表示法，有理数四则运算的封闭性。 2、代数式 综合除法、余式定理。 拆项、添项、配方、待定系数法。 部分分式。 对称式和轮换对称式。 3、恒等式与恒等变形 恒等式，恒等变形。 整式、分式、根式的恒等变形。 恒等式的证明。 4、方程和不等式 含字母系数的一元一次、二次方程的解法。一元二次方程根的分布。 含绝对值的一元一次、二次方程的解法。 含字母系数的一元一次不等式的解法，一元一次不等式的解法。 含绝对值的一元一次不等式。
2003中国数学奥林匹克竞赛获奖名单 一等奖（19名） 姓名学校姓名学校 方家聪华南师大附属中学高峰南通启东中学 沈欣华南师大附属中学王伟湖南师大附中 陈晨湖北黄冈中学何忆捷上海延安中学 黄皓华南师大附属中学邢硕博北京清华附中 向振长沙市第一中学王国桢甘肃兰州一中 万昕成都彭州中学贾敬非东北师大附中 刘一峰华东师大第二附中祁涵华中师大一附中 林嵩华南师大附属中学孙洪宾耀华中学 姜龙石家庄二中周清人大附中 梁宏宇北师大实验中学 二等奖：（43名） 姓名学校姓名学校 张凌人上海中学戴午阳东北育才中学 周游武钢三中孙婷妮华东师大二附中 李杜湖南师大附中张志强华中师大一附中 朱庆三华南师大附中齐治雅礼中学 刘熠华南师大附中吴昊哈尔滨三中 李大州石家庄二中陈苏南洋模范中学 沈旭凯杭州二中袁放上海中学 陈超河南师大附中洪晓波东北育才中学 李先颖湖南师大附中李晓东东北育才中学 吴天同淮阴中学马力华东师大二附中 张宇北大附中赵亮山东省实验中学 王磊武钢三中孙嘉睿深圳高级中学 周思慎长沙市一中邹鹏北京汇文中学 王晨兰州一中金哲晖延边市一中 李春雷东北师大附中石磊河南师大附中 范翔江西师大附中苟江涛陕西西北工大附中 韩斐华罗庚中学唐培重庆市育才中学 金坚诸暨中学王加白镇海中学 杜杰北大附中蔡雄伟仙游一中 杨龙长沙市一中余学斌圣公会白约翰会督中学林运成上海中学萧子衡顺德联谊总会梁銶琚中学罗海丰华南师大附中
三等奖：（69名） 姓名学校姓名学校 王蓉蓉实验中学张翼飞河南师大附中 张伟安庆一中梁举潼南中学 张晓光高安中学蔡煊挺诸暨中学 郭城威南通启东中学吴博舟山中学 曹志敏华罗庚中学陈淞黄冈中学 资坤长沙市一中马俊达福州三中 刘奇航哈尔滨三中杨启声喇沙书院 吴乐秦中山市一中邓昭辉香港道教联合会邓显纪念 中学 欧觉钧中山市一中张荣华滁州中学 黄宇浩桂林中学周云临川一中 张鹏程西安交大附中龚伟松盐城中学 王崇理镇海中学皇甫秉超河南师大附中 袁景瑞唐山一中惠鑫西安交大附中 巴蜀中学李君太原外国语学校 王晶晶诸暨中学王奇凡南昌十中 冯捷成都七中周泽吉武汉二中 孔令凯南菁高级中学潘无穷大庆一中 郭珩洛阳第一高中李欣鹏实验中学 郝征西北工大附中王小靖重庆一中 刘伟顺荃湾公立何传耀纪念中学钟达智伊利沙伯中学 戚善翔上海复旦大学附中路亨山西大学附中 杜金宝鞍山一中祝江威北海中学 崔庸非东北育才中学康振宁攀枝花三中 杨丹大连育明中学张乐西北师大附中 曹晖东北师大附中黄海珍海南中学 魏崟泷蚌埠二中王海屹大庆一中 张帆河南师大附中苏李丹泉州五中 李冬来西南附属中学吴天淋教业中学 白雪宁乌鲁木齐一中杜昭南宁三中 郭子超元朗商会中学陈虹宇秦皇岛一中 刘喆南开中学张尧实验中学 贺淳天津一中魏均侨濠江中学 程稷人大附中高堃南开中学 黄铂东北师大附中齐轶福建师大附中 彭闽昱鹰潭市一中
第41届国际数学奥林匹克解答 问题 1.圆Γ1和圆Γ2 相交于点M和N.设L是圆Γ 1 和圆Γ2的两条公切线中距离 M较近的那条公切线.L与圆 Γ1相切于点A，与圆Γ2相切 于点 B.设经过点M且与L平 行的直线与圆Γ1还相交于点 C，与圆Γ2还相交于点 D.直 线C A和D B相交于点E；直线 A N和C D相交于点P；直线 B N 和C D相交于点Q. 证明：E P=E Q. 解答:令K为M N和A B的交点.根据圆幂定理,,换言之K是A B的中点.因为P Q∥A B,所以M是P Q的中点.故只需证明E M⊥P Q.因为C D∥A B,所以点A是Γ1的弧C M的中点,点B是Γ2的弧D M的中点.于是三角形A C M与B D M都是等腰三角形.从而有 , . 这意味着E M⊥A B.再由P Q∥A B即证E M⊥P Q. 问题 2.设a,b,c是正实数，且满足a b c=1.证明： . 解答:令,,,其中x,y,z为正实数,则原不等式变为(x-y+z)(y-z+x)(z-x+y)≤x y z.记u=x-y+z,v=y-z+x,w=z-x+y.因为这三个数中的任意两个之和都是正数,所以它们中间最多只有一个是负数.如果恰有一个是负数,则u v w≤0 CMO 中国数学奥林匹克竞赛试题 1987第二届年中国数学奥林匹克 1.设n为自然数，求方程z n+1-z n-1=0有模为1的复根的充份必要条件是n+2可被6整 除。 2.把边长为1的正三角形ABC的各边都n等分，过各分点平行于其它两边的直线，将 这三角形分成小三角形，和小三角形的顶点都称为结点，在第一结点上放置了一个实数。已知 i.A、B、C三点上放置的数分别为a、b、c。 ii.在每个由有公共边的两个最负三角形组成的菱形之中，两组相对顶点上放置的数之和相等。 试求 3.放置最大数的点积放置最小数的点之间的最短距离。 4.所有结点上数的总和S。 3.某次体育比赛，每两名选手都进行一场比赛，每场比赛一定决出胜负，通过比赛确 定优秀选手，选手A被确定为优秀选手的条件是：对任何其它选手B，或者A胜B，或者存在选手C，C胜B，A胜C。 结果按上述规则确定的优秀选手只有一名，求证这名选手胜所有其它选手。 4.在一个面积为1的正三角形内部，任意放五个点，试证：在此正三角形内，一定可 以作三个正三角形盖住这五个点，这三个正三角形的各边分别平行于原三角形的边，并且它们的面积之和不超过0.64。 5.设A1A2A3A4是一个四面体，S1, S2, S3, S4分别是以A1, A2, A3, A4为球心的球，它们 两两相切。如果存在一点O，以这点为球心可作一个半径为r的球与S1, S2, S3, S4都相切，还可以作一个半径为R的球积四面体的各棱都相切，求证这个四面体是正四面体。 6.m个互不相同的正偶数与n个互不相同的正奇数的总和为1987，对于所有这样的m 与n，问3m+4的最大值是多少？请证明你的结论。 2009年第50届IMO 解答 2009年7月15日 1、是一个正整数，是n 12,,...,(2)k a a a k ≥{}1,2,...,n 中的不同整数，并且1(1i i n a a +?)?)对于所有都成立，证明：1,2,...,1i k =1(1k a a ?不能被n 整除。 证明1：由于12(1n a a ?)，令1(,)n a p =，n q p = 也是整数，则n pq =，并且1p a ，21q a ?。因此，由于2(,)1q a =23(1n pq a a )=?，故31q a ?；同理可得41q a ?，。。。， 因此对于任意都有2i ≥1i q a ?，特别的有1k q a ?，由于1p a ，故1(1k n pq a a )=?(*)。 若结论不成立，则1(1k n pq a a =)?，与(*)相减可得1(k n a a ?)，矛盾。 综上所述，结论成立。 此题平均得分：4.804分 2、外接圆的圆心为O ，分别在线段上，ABC ?,P Q ,CA AB ,,K L M 分别是,,BP CQ PQ 的中点，圆过Γ,,K L M 并且与相切。证明：OP PQ OQ =。 证明：由已知MLK KMQ AQP ∠=∠=∠，MKL PML APQ ∠=∠=∠，因此 APQ MKL ??～。所以 AP MK BQ AQ ML CP == ，故AP CP AQ BQ ?=?(*)。 设圆O 的半径为R ，则由(*)有2 2 2 2 R OP R OQ ?=?，因此OP OQ =。 不难发现OP 也是圆Γ与相切的充分条件。 OQ =PQ 此题平均得分：3.710分 全国小学数学奥林匹克竞赛简介 奥数就是奥林匹克数学的简称，即国际数学竞赛，取名仿自于奥林匹克运动会。 1934年和1935年，前苏联开始在列宁格勒和莫斯科举办中学数学竞赛，并冠以数学奥林匹克的名称。1959年罗马尼亚数学物理学会邀请东欧国家中学生参加在布加勒斯特举办的第一届国际数学奥林匹克竞赛。从此每年一次，至今已举办了50届。 奥数的出题范围超出了所有国家的义务教育水平，有些题目的难度大大超过了大学入学考试，有些题目甚至数学家也感到棘手。通过这样高水平的比赛，可以及早发现数学人才，然后进行培养，使其脱颖而出。 近年，国内外很多名牌大学和重点中学比较注重奥数人才，通常通过奥数选拔优秀生源。北京大学、清华大学、复旦大学等高校对奥数优秀的学生偏爱有佳，每年有很多全国高中数学竞赛成绩优异的学生直接免试进入北大数学系。 由于，高校和重点中学对奥数人才的重视，近年来，又出现了小学奥数一词。小学奥数全称叫"小学奥林匹克数学"，或叫"小学数学奥林匹克"，称呼起源于"数学是思维的体操"它体现了数学与奥林匹克体育运动精神的共通性：更快、更高、更强。其实它更准确应称为"小学竞赛数学"。 从1986年起，中国中学生在国际数学奥林匹克连续几年取得优异成绩；1990年7月，在我国北京成功地举办了第31届国际数学奥林匹克，我国代表队再次取得总分第一。中国学生在学习数学上的潜力被发现了，大大激发了全国中、小学生学习数学的兴趣，数学课外活动蓬勃地开展，中、小学数学竞赛活动受到广大师生和家长的欢迎，也得到了社会各界人士的更多关心和支持。1990年11月，在湖南宁乡召开的中国数学会普及工作委员会第六次全国工作会议上，与会同仁一致认识到，为了顺应群众积极高涨的形势，更要坚持"在普及的基础上不断提高"的方针，要引导数学竞赛这一群众性的课外活动健康地发展，为了统筹安排高中、初中、小学的数学课外活动，处理好相互的衔接关系。会议决定，从1991年起，每年春季举行一次"小学数学奥林匹克"，会议还特别强调，中国数学会举办的高中联赛、初中联赛、小学数学奥林匹克都是普及型、大众化的数学竞赛。为了使"小学数学奥林匹克"的试题能适合多数学生的实际水平，在举办1991年"小学数学奥林匹克"时，主试委员会向全国发出一份试题样卷，广泛征求意见，另外，把初赛试卷，分成A，B，C三种不同水平的试卷，供合地选择采用，同时还宣布了两条命题原则："一、试题涉及的知识范围不超出现行的小学数学教学大纲；二、每一道题一定有一种简单的算术解法。"并且声明，抽屉原则、容斥原理、运筹学等离课堂教学内容较远的内容，一定不在试题中出现。我们就是希望，不要过多的课外辅导，尽可能减轻学生的学习负担。经过若干年的实践，全国反映较好，普遍认为试题有利于启迪思维和智力开发，也有利于课堂教学水平的提高。参加者十分踊跃，人数逐年增加。事实上，试题难度逐年在降低，一年比一年容易些，获得高分的人数大幅度增加。以1993年来说，参加决赛的16万学生中，全国有500多人获满分(十二道试题都做对)，有10%的人做对九道题以上，有40%以上学生能做对六道以上，可以说试题的难易程度是比较适当的。这项赛事分为初赛和决赛，分别在每年的三月份和四份，从1993年开始我们又举办了这项赛事的后继活动---"小学数学奥林匹克总决赛"，后来称为"我爱数学少年夏令营"。 "全国小学数学奥林匹克"(创办于1991年)每年3、4月中国数学会普及工作委员会为有关省份提供了一份"小学数学奥林匹克"初赛和决赛试卷，目的在于引导学有余力的小学生的数学课外活动的方向。目前包括"三段式"--小学数学奥林匹克初赛、决赛、我爱数学夏令营。初赛(每年3月份)、决赛(每年4月份)和夏令营(每年暑期)。组织这项活动的原则：一是要把它办成一个"大众化、普及型"的活动；二是要使所出的题目"不超前、不超纲"；三是要尽可能给每个题目一个小学生看得懂的算术解法；四是要充分认识到地区发展不平衡的特点。 “我爱数学少年夏令营”简介 权威性：★★★★★ 举办方：中国数学会普及工作委员会 一、 实数12,,,n a a a L 满足120n a a a +++=L ，求证： () 1 2 2 111 max ()3 n k i i k n i n a a a -+≤≤=≤-∑． 证明 只需对任意1k n ≤≤，证明不等式成立即可． 记1,1,2,,1k k k d a a k n +=-=-L ，则 k k a a =， 1k k k a a d +=-，2111,,k k k k n k k k n a a d d a a d d d +++-=--=----L L ， 112121121,,,k k k k k k k k k k a a d a a d d a a d d d -------=+=++=++++L L ， 把上面这n 个等式相加，并利用120n a a a +++=L 可得 11121()(1)(1)(2)0k k k n k k na n k d n k d d k d k d d +----------+-+-++=L L ． 由Cauchy 不等式可得 ()2 211121()()(1)(1)(2)k k k n k k na n k d n k d d k d k d d +---=-+--++------L L 11222111k n k n i i i i i i d ---===???? ≤+ ??????? ∑∑∑ 111222111(1)(21)6n n n i i i i i n n n i d d ---===--?????? ≤= ??? ???????∑∑∑ 31213n i i n d -=??≤ ??? ∑， 所以 ()1 2 211 3 n k i i i n a a a -+=≤-∑． 二、正整数122006,,,a a a L （可以有相同的）使得20051223 2006 ,,,a a a a a a L 两 1 2003年全国高中数学联合竞赛试题 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1、删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列.这个新数列的第2003项是（ ） A ．2046 B ．2047 C ．2048 D ．2049 2、设a ，b ∈R ，ab ≠0，那么，直线ax －y ＋b =0和曲线bx 2＋ay 2=ab 的图形是（ ） 3、过抛物线y 2=8（x ＋2）的焦点F 作倾斜角为60°的直线.若此直线与抛物线交于A 、B 两点，弦AB 的中垂线与x 轴交于P 点,则线段PF 的长等于( ) A ． 163 B ．8 3 C D ． 4、若5[,]123 x ππ ∈--，则2tan()tan()cos()366y x x x πππ=+-+++的最大值是（ ）. A B C D 5、已知x 、y 都在区间（－2，2）内，且xy =－1，则函数2 2 4949u x y = + --的最小值是（ ） A ． 85 B ．2411 C ．127 D ．125 6、在四面体ABCD 中，设AB =1，CD AB 与CD 的距离为2，夹角为3 π ，则四 面体ABCD 的体积等于（ ） A B ．12 C ．1 3 D 二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 7、不等式|x |3－2x 2－4|x |＋3<0的解集是__________. 8、设F 1，F 2是椭圆22 194 x y +=的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|：|PF 2|=2：1，则△PF 1F 2的面积等于__________. 9、已知A ={x |x 2－4x ＋3<0，x ∈R }，B ={ x |21－ x ＋a ≤0，x 2－2（a ＋7）x ＋5≤0，x ∈R }.若A B ?，则实数a 的取值范围是__________. 10、已知a ，b ，c ，d 均为正整数，且35 log ,log 24 a c b d ==，若a － c =9，b － d =__________. 11、将八个半径都为1的球分两层放置在一个圆柱内，并使得每个球和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于__________. 12、设M n ={（十进制）n 位纯小数0.12 |n i a a a a 只取0或1（i =1，2，…，n －1） ，a n =1}， 岳志鹏（河北）整理 2014年第55届国际数学奥林匹克届国际数学奥林匹克(IMO)(IMO)(IMO)试题 试题第一天 2014年7月8日，星期二 第1题设01a a <<×××为一个无穷正整数列，证明：存在唯一的整数使得：n ≥1使得： n a ≤01n a a a n ++×××+≤1n a +．第2题设n ≥2为一个正整数，考虑由2n 个单位正方格构成的n n ′的正方形棋盘，一种放置n 个棋子“车”的方案被称为和平的，如果每一行每一列上正好有一个“车”．求最大的正整数k 使得对于任何一种和平放置n 个棋子“车”的方案，都存在一个k k ′的棋盘使得它的2k 个单位正方格中都没有“车”． 第3题在凸四边形ABCD 中90ABC CDA D=D=°，点H 是A 向BD 引的垂线的垂足，点S 和点T 分别在边AB 和AD 上，使得H 在△SCT 内部，且90CHS CSB D-D=°，90THC DTC D-D=°．证明：直线BD 和△TSH 外接圆相切． 岳志鹏（河北）整理 2014年第55届国际数学奥林匹克届国际数学奥林匹克(IMO)(IMO)(IMO)试题 试题第二天 2014年7月9日，星期三 第4题锐角△ABC 中，点P 和点Q 是在边BC 上满足 PAB BCA D=D和CAQ ABC D=D的两点。点M 和点N 分 别在直线,AP AQ 上满足：P 是AM 中点，Q 是AN 中点． 证明：,BM CN 的交点在△ABC 的外接圆上． 第5题对于任意正整数n ，开普敦银行提供面值为1n 的硬币，对于给定有限枚硬币他们面值的和不超过1992 +．证明：可以把这些硬币分成100组使得每组面值和至多为1．（空集也可以视为一组硬币） 第6题一个平面上的直线集被称为一般的，如果不存在两两平行或者三线共点．一组一般的直线集把平面切割成若干区域．若一个区域的面积是有限的则称为有限区间．证明：对所有 充分大的正整数n ，任意的有n 条直线构成的一般的直线集可以把至少条直线染为蓝色使得没有一个有限区间被蓝线包围． 说明：如果把题中的可以获得更多分值． 岁马尼亚克卢日蜻沐卡 第一天 ?1. itΓ 全国小学数学奥林匹克竞赛试卷 考生注意：本试卷共12道题，每题10分，满分120分，前10道题为填空题，只写答案；最后两道题为解答题，必须写出解题过程，只写答案不得分。 1．计算： 151051284963642321251552012415931062531??+??+??+??+????+??+??+??+??＝( ) 2．有一个分数约成最简分数是115，约分前分子分母的和等于48，约分前的分数是（ ） 3．762001＋252001 的末两位数字是（ ） 4．甲、乙、丙、丁四人去买电视，甲带的钱是另外三人所带钱总数的一半，乙带的钱是另外三人所带钱总数的31，丙带的钱是另外三人所带钱总数的41，丁带了910元，四人所带的总钱数是（ ）元。 5．若2836，4582，6522四个自然数都被同一个自然数相除，所得余数相同且为两位数，那么除数与余数的和为（ ） 6．两人从甲地到乙地，同时出发，一人用匀速3小时走完全程，另一个用匀速4小时走完全程，经过（ ）小时，其中一人所剩路程的长是另一人所剩路程的长的2倍。 7．设A ＝6229，B ＝626160 293031 ，比较大小：A （ ）B 。 8．今有桃95个，分给甲、乙两班学生吃，甲班分到的桃有 92 是坏的，其它是好的；乙班分到的桃有16 3是坏的，其它是好的，甲、乙两班分到的好桃共有（ ）个。 9．如下图示：ABCD 是平行四边形，AD ＝8cm ，AB ＝10cm ，∠DAB ＝300，高CH ＝4cm1，弧BE 、DF 分别以AB 、CD 为 半径，弧DM 、BN 分别以AD 、CB 为半径，那么阴影部分的面积为（ ）平方厘米（取π＝3）。 10．假设某星球的一天只有6小时，每小时36分钟，那么3点18分时，时针和分针所形成的锐角是（ ）度。 11．已知AB 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、I 、K 代表十个互不相同的大于零的自然数，要使下列等式成立，A 最小是（ ）。 12．从A 市到B 市有一条笔直的公路，从A 到B 共有三 段，第一段的长是第三段的长的2倍，甲汽车在第一段公路上以每小时40千米的速度行进，在第二段公路上速度提高了 125%，乙汽车在第三段公路上以每小时50千米的速度前进时，在第二段上把速度提高了80%，甲、乙两汽车分别从A 、B 两市同时出发，相向而行，1小时20分钟后，甲汽车在走了第二段公路的处与从B 市而来 B C A D I F G E K ＋ ＝ ＋ E ＋ H H ＋ I H ＋ I · 3 6 5 4 2 1
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