一、选择题（每小题只有一个正确答案，每题6分共36分） 1. 椭圆22 1259 x y +=的焦距为。 （ ） A ． 5 B. 3 C. 4 D 8 2．已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4,0），（4,0），则双曲线的方程为 （ ） A ． 221412x y -= B. 221124x y -= C. 221106x y -= D 22 1610x y -= 3．双曲线22 134 x y -=的两条准线间的距离等于 （ ） A C. 185 D 165 4.椭圆22 143 x y +=上一点P 到左焦点的距离为3，则P 到y 轴的距离为 （ ） A ． 1 B. 2 C. 3 D 4 5．双曲线的渐进线方程为230x y ±=，(0,5)F -为双曲线的一个焦点，则双曲线的方程为。 （ ） A ． 22149y x -= B. 22194x y -= C. 2213131100225y x -= D 2213131225100y x -= 6．设12,F F 是双曲线22221x y a b -=的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使1290F AF ? ∠=且 123AF AF =,则双曲线的离心率为 （ ） A ． 2 B. 2 C. 2 7.设斜率为2的直线l 过抛物线y 2 ＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( ) A ．y 2 ＝±4 B ．y 2 ＝±8x C ．y 2 ＝4x D ．y 2 ＝8x 8．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2 ＝4x 上一动点P 到直线 l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( ) A ．2 B ．3 9．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2 ＝4x 上一动点P 到直线
《抛物线的简单几何性质》教学反思 本节课的设计思路：通过类比与联想椭圆双、曲线的学习内容，来学习抛物线，既要突出二次曲线的共性特征，又要突出抛物线的个性特征，又要培养学生认识二次曲线的学习能力。 请同学们回忆一下我们学过的椭圆双曲线的哪些内容，同学们回答：定义，图形及几何性质，具体的几何性质有哪些？生：对称性，顶点，离心率准线方程，焦半径公式，椭圆有参数方程，双曲线有渐近线方程。类比到抛物线会有，定义：图形范围对称性、顶点、离心率、准线方程，然后，请同学们阅读课本并以填空题的形式完成上述内容，最后回顾一下抛物线的几何性质，可以归纳为六个“一”即：一条对称轴，一个顶点，一个焦点，一条准线，e=1，一个焦半径公式，补充：焦准距：p（p>0）,通径：2p（椭圆、双曲线的焦准距：b2/c,通径：2b2/a形式一样）。通过这样的比较与对比，同学们既能掌握抛物线的个性又能明了三种曲线的共性，进一步指出画出抛物线的简图需要的三个点，抛物线的大致形状就确定了，最后结合课本上的例题、练习题，紧扣抛物线的几何性质的六个“一”进行试题设计，学生反映积极，回答热烈，下课前请同学们谈了谈这节课的感受。课后，通过批改作业和与同学们交谈，同学们反映课上内容掌握熟练作业轻松完成，知识掌握牢固。 总之，通过这节课的教学设计，符合学生的认知规律，也能让学生充分的动脑思、动手做、动口说，充分的调动了学生的积极性，让学生主动参与课堂，教学设计在学生发展得最近区域设计，同学们只
要”跳一跳，就会摘到桃子”，体会到成功的喜悦，加上老师的适时点拨，师生、生生的默契配合，给师生双方播下了知识的种子，让我们感到数学不再那么神秘，而是如此生机勃勃，有着无穷的魅力，可攀而不可及。这节课，不仅使学生们获得了知识，同时也丰富了我们的精神世界，让我们深刻体会到了“教有法但无定法”的境界。 2020/7/1
目录 目录-------------------------------------------------------------------------------------------------1抛物线大题专练（一）--------------------------------------------------------------------------------2抛物线大题专练（二）--------------------------------------------------------------------------------5抛物线大题专练（三）--------------------------------------------------------------------------------8抛物线大题专练---------------------------------------------------------------------------------------11参考答案与试题解析---------------------------------------------------------------------------------11
抛物线大题专练（一） 1．已知抛物线C的方程为x2=2py，设点M（x0，1）（x0＞0）在抛物线C上，且它到抛物线C的准线距离为； （1）求抛物线C的方程； （2）过点M作倾斜角互补的两条直线分别交抛物线C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点（M、A、B三点互不相同）， 求当∠MAB为钝角时，点A的纵坐标y1的取值范围． 2．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣，过点M（0，﹣2）作抛物线的切 线MA，切点为A（异于点O）．直线l过点M与抛物线交于两点B，C，与直线OA交于点N． （1）求抛物线的方程； （2）试问：的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．
抛物线练习题 一、选择题 1．在直角坐标平面内，到点(1,1)和直线x ＋2y ＝3距离相等的点的轨迹是( ) A ．直线 B ．抛物线 C ．圆 D ．双曲线 2．抛物线y 2＝x 上一点P 到焦点的距离是2，则P 点坐标为( ) 3．抛物线y ＝ax 2 的准线方程是y ＝2，则a 的值为( ) B ．－18 C ．8 D ．－8 4．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．12 5．设过抛物线的焦点F 的弦为AB ，则以AB 为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．以上答案都有可能 6．过点F (0,3)且和直线y ＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为( ) A ．y 2＝12x B ．y 2＝－12x C ．x 2＝12y D ．x 2＝－12y 7．抛物线y 2＝8x 上一点P 到x 轴距离为12，则点P 到抛物线焦点F 的距离为( ) A ．20 B ．8 C ．22 D ．24 8．抛物线的顶点在坐标原点，焦点是椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离 为( ) A ．2 3 3 3 9．设抛物线的顶点在原点，其焦点F 在y 轴上，又抛物线上的点(k ，－2)与F 点的距离为4，则k 的值是( ) A ．4 B ．4或－4 C ．－2 D ．2或－2 10．抛物线y ＝1m x 2(m <0)的焦点坐标是( ) 11．抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点(－5,25)到焦点的距离是6，则抛物线的方程为( ) A ．y 2＝－2x B ．y 2＝－4x C ．y 2＝2x D ．y 2＝－4x 或y 2 ＝－36x 12．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( ) B ．1 C ．2 D ．4 二、填空题
九年级数学《二次函数》综合练习题 一、基础练习 1．把抛物线y=2x2向上平移1个单位，得到抛物线_______，把抛物线y=-2x2?向下平移3 个单位，得到抛物线________． 2．抛物线y=3x2-1的对称轴是_____，顶点坐标为________，它是由抛物线y=3x2?向_______平移______个单位得到的． 3．把抛物线2向左平移1个单位，得到抛物线_________，把抛物线2?向右平移3个单 位，得到抛物线________． 4．抛物线x-1）2的开口向________，对称轴为______，顶点坐标为_________，?它是由抛物线 2向______平移______个单位得到的． 5．把抛物线y=-1 3 （x+ 1 2 ）2向_____平移______个单位，就得到抛物线y=- 1 3 x2． 6．把抛物线y=4（x-2）2向______平移_______个单位，就得到函数y=4（x+2）2的图象． 7．函数y=-（x-1 3 ）2的最大值为________，函数y=-x2- 1 3 的最大值为________． 8．若抛物线y=a（x+m）2的对称轴为x=-3，且它与抛物线y=-2x2的形状相同，?开口方向相同，则点（a，m）关于原点的对称点为________． 9．已知抛物线y=a（x-3）2过点（2，-5），则该函数y=a（x-3）2当x=________?时，?有最____值______．10．若二次函数y=ax2+b，当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则x取x1+x2时，函数的值为________．11．一台机器原价50万元．如果每年的折旧率是x，两年后这台机器的价格为y?万元，则y与x的函数关系式为（） A．y=50（1-x）2 B．y=50（1-x）2 C．y=50-x2 D．y=50（1+x）2 12．下列命题中，错误的是（） A．抛物线x2-1不与x轴相交; B．抛物线x2-1与（x-1）2形状相同，位置不同; C．抛物线y=1 2 （x- 1 2 ）2的顶点坐标为（ 1 2 ，0）; D．抛物线y=1 2 （x+ 1 2 ）2的对称轴是直线x= 1 2 13．顶点为（-5，0）且开口方向、形状与函数y=-1 3 x2的图象相同的抛物线是（） A．y=-1 3 （x-5）2 B．y=- 1 3 x2-5 C．y=- 1 3 （x+5）2 D．y= 1 3 （x+5）2 14．已知a<-1，点（a-1，y1）、（a，y2）、（a+1，y3）都在函数y=1 2 x2-2的图象上，则（） A．y1 《抛物线》典型例题12例 典型例题一 例1 指出抛物线的焦点坐标、准线方程． （1）y x 42= （2）)0(2≠=a ay x 分析：（1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出p ，再写出焦点坐标和准线方程． （2）先把方程化为标准方程形式，再对a 进行讨论，确定是哪一种后，求p 及焦点坐标与准线方程． 解：（1）2=p Θ，∴焦点坐标是（0，1），准线方程是：1-=y （2）原抛物线方程为：x a y 12=，a p 1 2=∴ ①当0>a 时， a p 41 2=，抛物线开口向右， ∴焦点坐标是)0,41(a ，准线方程是：a x 41 -=． ②当0?，则1->k ． ∵AB 中点横坐标为：28 422 21=+=+∴ k k x x ， 解得：2=k 或1-=k （舍去）． 故所求直线方程为：22-=x y ． 解法二：设),(11y x A 、),(22y x B ，则有22 212 188x y x y ==． 两式作差解：)(8))((212121x x y y y y -=+-，即 2 121218 y y x x y y +=--． 421=+x x Θ444)(22212121-=-+=-+-=+∴k x x k kx kx y y ， 4 48 -= ∴k k 故2=k 或1-=k （舍去）． 则所求直线方程为：22-=x y ． 典型例题三 例3 求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆心与抛物线的准线相切． 分析：可设抛物线方程为)0(22>=p px y ．如图所示，只须证明12 MM AB =， 则以AB 为直径的圆，必与抛物线准线相切． 证明：作l AA ⊥1于l BB A ⊥11,于1B ．M 为AB 中点，作 l MM ⊥1于1M ，则由抛物线的定义可知： BF BB AF AA ==11, 在直角梯形A A BB 11中： AB BF AF BB AA MM 21 )(21)(21111=+=+= AB MM 21 1=∴，故以AB 为直径的圆，必与抛物线的准线相切． 说明：类似有：以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离，以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交． 典型例题四 例4（1）设抛物线x y 42=被直线k x y +=2截得的弦长为53，求k 值． （2）以（1）中的弦为底边，以x 轴上的点P 为顶点作三角形，当三角形的面 抛物线经典结论和例题 方程 1. 直线与抛物线的位置关系 直线 ，抛物线 ， ，消y 得： （1）当k=0时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点； （2）当k ≠0时， Δ＞0，直线l 与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0， 直线l 与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。 （3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定） 2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l ：b kx y += 抛物线 ，)0(φp ① 联立方程法： ???=+=px y b kx y 22 ?0)(2222=+-+b x p kb x k 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ，则有0φ?,以及2121,x x x x +，还可进一步求出 b x x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+， 2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++= 在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 a. 相交弦AB 的弦长 2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=a k ?+=2 1 或 2122122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+ =a k ?+=2 1 b. 中点),(00y x M , 2210x x x += ， 2 2 10y y y += ② 点差法： 设交点坐标为),(11y x A ，),(22y x B ，代入抛物线方程，得 1212px y = 22 22px y = 将两式相减，可得 )(2))((212121x x p y y y y -=+-所以 2 121212y y p x x y y += -- a. 在涉及斜率问题时，2 12y y p k AB += b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点为),(00y x M ， 021*******y p y p y y p x x y y ==+=--，即0y p k AB =， 同理，对于抛物线)0(22≠=p py x ，若直线l 与抛物线相交于B A 、两点，点 ),(00y x M 是弦AB 的中点，则有p x p x p x x k AB 0 021222==+= （注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零） 一、抛物线的定义及其应用 抛物线 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．如果抛物线y 2=ax 的准线是直线x =-1，那么它的焦点坐标为 （ ） A ．（1, 0） B ．（2, 0） C ．（3, 0） D ．（－1, 0） 2．圆心在抛物线y 2=2x 上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是 （ ） A ．x 2 + y 2 -x -2 y -4 1=0 B ．x 2+ y 2 +x -2 y +1=0 C ．x 2 + y 2-x -2 y +1=0 D ．x 2 + y 2 -x -2 y + 4 1=0 3．抛物线2x y =上一点到直线042=--y x 的距离最短的点的坐标是 （ ） A ．（1，1） B ．（ 4 1 ,21） C ．)49,23( D ． （2，4） 4．一抛物线形拱桥，当水面离桥顶2m 时，水面宽4m ，若水面下降1m ，则水面宽为（ ） A ． 6m B ． 26m C ．4.5m D ．9m 5．平面内过点A （-2，0），且与直线x =2相切的动圆圆心的轨迹方程是 （ ） A ． y 2=－2x B ． y 2=－4x C ．y 2=－8x D ．y 2=－16x 6．抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上点（-5，m ）到焦点距离是6，则抛物线的方程是 （ ） A ． y 2=-2x B ． y 2=-4x C ． y 2=2x D ． y 2=-4x 或y 2=-36x 7．过抛物线y 2 =4x 的焦点作直线，交抛物线于A(x 1, y 1) ，B(x 2, y 2)两点，如果x 1+ x 2=6，那么|AB|= （ ） A ．8 B ．10 C ．6 D ．4 8．把与抛物线y 2 =4x 关于原点对称的曲线按向量a )3,2(-=平移，所得的曲线的方程是（ ） A ．)2(4)3(2 --=-x y B ．)2(4)3(2 +-=-x y C ．)2(4)3(2--=+x y D ． )2(4)3(2 +-=+x y 9．过点M （2，4）作与抛物线y 2 =8x 只有一个公共点的直线l 有 （ ） A ．0条 B ．1条 C ．2条 D ．3条 10．过抛物线y =ax 2(a >0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则 q p 11+等于 （ ） A ．2a B ． a 21 C ．4a D ． a 4 二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 11．抛物线y 2=4x 的弦AB 垂直于x 轴，若AB 的长为43，则焦点到AB 的距离为 ． 12．抛物线y =2x 2的一组斜率为k 的平行弦的中点的轨迹方程是 ． 13．P 是抛物线y 2=4x 上一动点，以P 为圆心，作与抛物线准线相切的圆，则这个圆一定经 抛物线及其性质 【考纲说明】 1、掌握抛物线的简单几何性质，能运用性质解决与抛物线有关问题。 2、通过类比，找出抛物线与椭圆，双曲线的性质之间的区别与联系。 【知识梳理】 1．抛物线定义：平面内到一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线． 2．抛物线四种标准方程的几何性质： 图形 参数p 几何意义 参数p 表示焦点到准线的距离，p 越大，开口越阔. 开口方向 右 左 上 下 标 准方 程 22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p => 22(0)x py p =-> 焦 点位 置 X 正 X 负 Y 正 Y 负 焦 点坐 标 (,0)2 p (,0)2p - (0,)2p (0,)2p - 准 线方 程 2p x =- 2p x = 2p y =- 2p y = 范 围 0,x y R ≥∈ 0,x y R ≤∈ 0,y x R ≥∈ 0,y x R ≤∈ 对 称轴 X 轴 X 轴 Y 轴 Y 轴 顶 点坐 标 （0,0） 离心率 1e = 通 径 2p 焦半径11(,)A x y 12 p AF x =+ 12 p AF x =-+ 12 p AF y =+ 12 p AF y =-+ 焦点弦长AB 12()x x p ++ 12()x x p -++ 12()y y p ++ 12()y y p -++ 焦点弦长AB 以AB 为直径的圆必与准线l 相切 3．抛物线)0(22>=p px y 的几何性质： (1)范围 因为p>0，由方程可知x ≥0，所以抛物线在y 轴的右侧， 当x 的值增大时，|y |也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． (2)对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向． (3)顶点（0，0），离心率：1=e ，焦点( ,0)2p F ，准线2 p x -=，焦准距p ． (4) 焦点弦：抛物线)0(22 >=p px y 的焦点弦AB ，),(11y x A ,),(22y x B ,则p x x AB ++=21||． 弦长|AB|=x 1+x 2+p,当x 1=x 2时，通径最短为2p 。 4．焦点弦的相关性质：焦点弦AB ，),(11y x A ,),(22y x B ，焦点( ,0)2 p F (1) 若AB 是抛物线2 2(0)y px p =>的焦点弦（过焦点的弦），且11(,)A x y ，22(,)B x y ，则：21 24 p x x =，2 12y y p =-。 (2) 若AB 是抛物线2 2(0)y px p =>的焦点弦，且直线AB 的倾斜角为α，则22sin P AB α =（α≠0）。 (3) 已知直线AB 是过抛物线2 2(0)y px p =>焦点F , 112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p ++===?? (4) 焦点弦中通径最短长为2p 。通径：过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径． (5) 两个相切：○1以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切.○2过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。 5．弦长公式：),(11y x A ,),(22y x B 是抛物线上两点，则 AB =||1 1||1212212y y k x x k -+ =-+= 【经典例题】 （1）抛物线——二次曲线的和谐线 椭圆与双曲线都有两种定义方法，可抛物线只有一种：到一个定点和一条定直线的距离相等的所有点的集合.其离心率e=1，这使它既与椭圆、双曲线相依相伴，又鼎立在圆锥曲线之中.由于这个美好的1，既使它享尽和谐之美，又生出多少华丽的篇章. 1抛物线的定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线． 2抛物线的图形和性质： ①顶点是焦点向准线所作垂线段中点。 ②焦准距：FK p = ③通径：过焦点垂直于轴的弦长为2p 。 ④顶点平分焦点到准线的垂线段：2 p OF OK == 。 ⑤焦半径为半径的圆：以P 为圆心、FP 为半径的圆必与准线相切。所有这样的圆过定点F 、准线是公切线。 ⑥焦半径为直径的圆：以焦半径 FP 为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切。所有这样的圆过定点F 、过顶点垂直于轴的直线是公切线。 ⑦焦点弦为直径的圆：以焦点弦PQ 为直径的圆必与准线相切。所有这样的圆的公切线是准线。 3抛物线标准方程的四种形式： ，，px y px y 2222-==。，py x py x 2222-== 4抛物线px y 22 =的图像和性质： ①焦点坐标是：?? ? ??02，p ， ②准线方程是：2 p x - =。 ③焦半径公式：若点),(00y x P 是抛物线px y 22 =上一点，则该点到抛物线的焦点的距离（称为焦半径）是：02 p PF x =+ ， ④焦点弦长公式：过焦点弦长121222 p p PQ x x x x p =+ ++=++ ⑤抛物线px y 22 =上的动点可设为P ),2(2 y p y 或2(2,2)P pt pt 或P px y y x 2),(2 =其中 5一般情况归纳： 方程 图象 焦点 准线 定义特征 y 2=kx k>0时开口向右 (k/4,0) x= ─k/4 到焦点(k/4,0)的距离等于到准线x= ─k/4的距离 k<0时开口向左 x 2=ky k>0时开口向上 (0,k/4) y= ─k/4 到焦点(0,k/4)的距离等于到准线y= ─k/4的距离 k<0时开口向下 抛物线的定义： 例1：点M 与点F (－4，0)的距离比它到直线l ：x －6=0的距离4.2，求点M 的轨迹方程． C N M 1 Q M 2 K F P o M 1 Q M 2 K F P o y x 第十讲 抛物线 一般地说来，我们称函数c bx ax y ++=2 (a 、b 、c 为常数，0≠a )为x 的二次函数，其图象为一条抛物线，与抛物线相关的知识有： 1．a 、b 、c 的符号决定抛物线的大致位置； 2．抛物线关于a b x 2-=对称，抛物线开口方向、开口大小仅与a 相关，抛物线在顶点(a b 2-，a b a c 442-)处取得最值； 3．抛物线的解析式有下列三种形式： ①一般式：c bx ax y ++=2； ②顶点式：k h x a y +-=2)(； ③交点式：))((21x x x x a y --=，这里1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个实根． 确定抛物线的解析式一般要两个或三个独立条件，灵活地选用不同方法求出抛物线的解析式是解与抛物线相关问题的关键． 注：对称是一种数学美，它展示出整体的和谐与平衡之美，抛物线是轴对称图形，解题中应积极捕捉、创造对称关系，以便从整体上把握问题，由抛物线捕捉对称信息的方式有： (1)从抛物线上两点的纵坐标相等获得对称信息； (2)从抛物线的对称轴方程与抛物线被x 轴所截得的弦长获得对称信息． 【例题求解】 【例1】 二次函数c bx x y ++=2的图象如图所示，则函数值0 22.3抛物线与几何图形的综合(专题) 姓名学号评价 一．解答题（共4小题） 1．（2016?枣庄）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B． （1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标； （3）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标． 2．（2016?临沂模拟）已知：如图，抛物线y=ax2+3ax+c（a＞0）与y 轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧．点B的坐标为（1，0），OC=3BO． （1）求抛物线的解析式； （2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值； （3）若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A、C、E、P 为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2016?广州一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线 y=x2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点B的坐标为（3，0），直线y=﹣x+3恰好经过B，C两点 （1）写出点C的坐标； （2）求出抛物线y=x2+bx+c的解析式，并写出抛物线的对称轴和点A的坐标； （3）点P在抛物线的对称轴上，抛物线顶点为D且∠APD=∠ACB，求点P的坐标． 4．（2016?沈丘县二模）如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、 B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）． （1）求抛物线的表达式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标． 典型例题一 例1 指出抛物线的焦点坐标、准线方程． （1）y x 42 = （2）)0(2 ≠=a ay x 分析：（1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出p ，再写出焦点坐标和准线方程． （2）先把方程化为标准方程形式，再对a 进行讨论，确定是哪一种后，求p 及焦点坐标与准线方程． 解：（1）2=p ，∴焦点坐标是（0，1），准线方程是：1-=y （2）原抛物线方程为：x a y 1 2 = ，a p 12=∴ ①当0>a 时， a p 41 2= ，抛物线开口向右， ∴焦点坐标是)0,41(a ，准线方程是：a x 41 - =． ②当0?，则1->k ． ∵AB 中点横坐标为：28 422 21=+=+∴ k k x x ， 解得：2=k 或1-=k （舍去）． 故所求直线方程为：22-=x y ． 解法二：设),(11y x A 、),(22y x B ，则有22 21 2 188x y x y ==． 辅导材料:抛物线与几何图形 说明: 抛物线与几何图形相结合的题目是考试的常考题型,同时也是考试的重点和难点.常见的题型有抛物线与平行四边形的结合、抛物线与等腰三角形的结合、抛物线与直角三角形的结合、抛物线与相似三角形的结合等等,其涉及到的知识点较多，知识点之间的综合性较强,故考生在平时应多给与关注,进行适量的练习,以期掌握这类题型的一般解决方法. 抛物线与直角三角形的结合 首先补充两个重要的知识点: （1）直角三角形的性质: 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. （2）对于两条直线: 2 221 11::b x k y l b x k y l +=+= 若21l l ⊥,则121-=k k . 注意 此结论通常用来求一次函数的解析式. 例如:直线1l 的解析式为2+-=x y ,直线2l 与1l 垂直,且直线2l 经过点)2,1(-,求直线2l 的解析式. 解:由题意可设直线2l 为: b x y += ∵其图象经过点)2,1(- ∴3,21-=-=+b b ∴直线2l 的解析式为3-=x y . ▲例 1.（2015.省实验中学）如图所示,抛物线c bx x y+ + =2与直线1 - =x y交于A、B两点,点A的纵坐标为4 -,点B在y轴上,直线AB与x轴交于点F,点P 是线段AB下方的抛物线上一动点,横坐标为m,过点P作PC x ⊥轴于C,交直线AB于D. （1）求抛物线的解析式; （2）当m取何值时,线段PD的长度取得最大值,其最大值是多少? （3）是否存在点P,使△PAD是直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由. y x D C A B O F P y x 备用图 D C A B O F P 提示: 要求会在平面直角坐标系中求一条线段的长度. _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ 1. 一个动圆经过点F （-1,0），又与直线L:x=1相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ） A.x y 42= B.x y 22-= C.x y 42-= D.x y 82-= 2.顶点在原点，且过点P （-4,4）的抛物线标准方程是（ ） A.x y 42-= B.y x 42= C.x y 42-=或y x 42= D.x y 42=或y x 4-2= 3.设抛物线的顶点在原点，且其准线方程为：x=2，则抛物线的方程为（ ） A.x y 42= B.y x 82-= C.x y 82= D.x y 82-= 4.抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，倾斜角为 60的直线L 过点F 且与抛物线的一个交点为A ，3=AF ，则抛物线的方程为（ ） A.x y 32= B.x y 292= C.x y 232=或x y 2 92= D.x y 32=或x y 92= 5.过点（-1,0）且与抛物线x y =2有且仅有一个公共点的直线有（ ） A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 6.已知动圆圆心在抛物线x y 42=上，且动圆与直线x=-1相切，则动圆必过定点（ ） A.（2,0） B.（1,0） C.（0,1） D.（0,2） 7.已知过抛物线x y 42=焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且两点的横坐标之和为4，则线段AB 的长度为（ ） A.4 B.5 C.6 D.8 8.已知过抛物线x y 42=焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点（其中A 点在第一象限），3=，则直线L 的斜率为（ ） A.2 B.21 C.2 3 D.3 9. 抛物线C:x y 42=的准线L 与x 轴的交点为A ，焦点为F ，若P 点为抛物线上的任意一点，设PF PA t =， 则t 的最大值为（ ） A.1 B.2 C.2 D.4 10.已知点P 为抛物线x y 42=上的一个动点，设点P 到y 轴的距离为d ，对于定点A （3,4），d PA +的最小值为（ ） A.52 B.152- C.152+ D.252- 说明： 1.试题左侧二维码为该题目对应解析； 2.请同学们在独立解答无法完成题目后再扫描二维码查看解析，杜绝抄袭； 3.查看解析还是无法掌握题目的，可按下方“向老师求助”按钮； 4.组卷老师可在试卷下载页面查看学生扫描二维码查看解析情况统计，了解班级整体学习情况，确 定讲解重点； 5.公测期间二维码查看解析免扣优点，对试卷的使用方面的意见和建议，欢迎通过“意见反馈”告 之。 20XX年03月03日光辉职业的初中数学组卷一．解答题（共30小题） 1．（2015?崇明县一模）如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过直线y=﹣+1与坐标轴的两个交点A、B，点 C为抛物线上的一点，且∠ABC=90°． （1）求抛物线的解析式； （2）求点C坐标； （3）直线y=﹣x+1上是否存在点P，使得△BCP与△OAB相似？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2015?三亚三模）如图，直线y=﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过 点B、C和点A（﹣1，0）． （1）求B、C两点坐标； （2）求该二次函数的关系式； （3）若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，则在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD 为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由； （4）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标． 3．（2015?金山区一模）如图，已知直线y=2x+6与x轴、y轴分别交于A、D两点，抛物线y=ax2+bx+2（a≠0）经过点A和点B（1，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）在线段AD上取一点F（点F不与点A重合）．过点F作x轴的垂线交抛物线于点G、交x轴于点H．当FG=GH时，求点H的坐标； （3）设抛物线的对称轴与直线AD交于点E，抛物线与y轴的交点为C，点M在线段AB上，当△AEM 与△BCM相似时，求点M的坐标． 抛物线基础练习 一. 选择题： 1．抛物线x y 122=的准线方程是（ ） （A ）3x = （B ）3x =- （C ）3y = （D ）3y =- 2． 若直线10ax y -+=经过抛物线24y x =的焦点，则实数a = （ ） （A ）1 （B ）2 （C ）1- （D ）2- 3．抛物线22y x =-和22y x =-的焦点坐标分别是（ ） （A ）1,08??- ??? 和10,2??- ??? （B ）10,8??- ??? 和1,02??- ??? （C ）1,02??- ???和10,8??- ??? （D ）10,2??- ?? ?和1,08??- ??? 4．若抛物线2 2y px =的焦点与椭圆22 162x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） （A ）2- （B ）2 （C ）4- （D ）4 5．若双曲线22 21613x y p -=的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p 的值为（ ） （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）6．设椭圆22 221(00)x y m n m n +=>>，的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同，离心率为12 ，则此椭圆的方程为（ ） （A ）22 11216 x y += （B ）2211612x y += （C ）22 14864 x y += （D ）2216448x y += 7．若点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ） （A ）2 （B ）3 （C （D ）92 8．已知22y px =的焦点为F ，点111222()()P x y P x y ，，，，33 3()P x y ，在抛物线上，且2132x x x =+，则（ ） （A ）123FP FP FP += （B ） 222 123FP FP FP += （C ）2132FP FP FP =+ （D ）2213FP FP FP =? 9．连结抛物线24x y =的焦点F 与点(1,0)M 所得线段与抛物线交于点A ，设点O 为坐标原点，则三角形OAM 的面积为（ ） （A ）1- （B ）32- （C ）1 （D ）32+ 10． 抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值为（ ） （A ）43 （B ）75 （C ）85 （D ）3 二. 填空题 11．若抛物线顶点是坐标原点,焦点坐标是()2,0F -,则抛物线方程是 12．若抛物线顶点是坐标原点,准线方程是()0y m m =≠,则抛物线方程是 13．若点P 到直线1x =-的距离比它到点(20)， 的距离小1，则点P 的轨迹方程为 14．抛物线2y ax =的准线方程是2y =,则a = 15．在抛物线22y px =上,横坐标为4的点到焦点的距离为5,则p = 抛物线专题复习 直线 ，抛物线 ， ，消y 得： （1）当k=0时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点； （2）当k ≠0时， Δ＞0，直线l 与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0， 直线l 与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。 （3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定） 二．关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l ：b kx y += 抛物线，)0( p 联立方程法： ???=+=px y b kx y 22 ?0)(2222=+-+b x p kb x k 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ，则有0 ?,以及2121,x x x x +，还可进一步求出 b x x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+，2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++= 在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 相交弦AB 的弦长 2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=a k ?+=2 1 或 2 122122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+ =a k ?+=2 1 抛物线练习 1、已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值 时，点P 的坐标为 2、已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为 3、直线3y x =-与抛物线24y x =交于,A B 两点，过,A B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为,P Q ，则梯形APQB 的面积为 4、设O 是坐标原点，F 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正向的夹角为 60，则OA 为 5、抛物线2 4y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F x 轴上方的部分相交于点A ， AK l ⊥，垂足为K ，则AKF △的面积是 6、已知抛物线2 :8C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且AK =，则AFK ?的面积为 7、已知双曲线22 145 x y -=，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为 8、在平面直角坐标系xoy 中，有一定点(2,1)A ,若线段OA 的垂直平分线过抛物线2 2(0)y px p =>则该抛物线的方程是 。 9、在平面直角坐标系xoy 中，已知抛物线关于x 轴对称，顶点在原点O ，且过点P(2，4)，则该抛物线的方程是 10、抛物线2 y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是 11、已知抛物线y 2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，则y 12+y 22的最小值是 12、已知点11(,)A x y ,22(,)B x y 12(0)x x ≠是抛物线2 2(0)y px p =>上的两个动点,O 是坐标原点,向量(完整版)《抛物线》典型例题12例(含标准答案)
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