换面法
一、换面法概述
当直线或平面相对于投影面处于特殊位置（平行、垂直）时，它们的投影反映线段的实长、平面的实形及其与头面的倾角。
当直线或平面和投影面处于一般位置时，则它们的投影不具备上述特性。
换面法的目的，就在于将直线或平面从一般位置变换为和投影面平行或垂直的位置，以便于解决它们的度量和定位问题。
1．换面法的基本概念
换面法就是保持空间几何元素不动，用一个新的投影面替换其中一个原来的投影面，使新投影面对于空间几何元素处于有利于解题的位置。然后找出其在新投影面上的投影。
2．新投影面的选择原则
（1）新投影面必须和空间的几何元素处于有利于解题的位置；
（2）新投影面必须垂直于一个原有的投影面；
（3）在新建立的投影体系中仍然采用正投影法。
二、点的换面
点是一切几何元素的基本元素。因此在研究换面时，首先从点的投影变换来研究换面法的投影规律。
1．点的一次换面
（1）换V 面
图2-25（a ）表示点A 在原投影体系V/H 中，其投影为a 和a '现令H 面不动，用新投影面V 1来代替V 面，V 1面必须垂直于不动的H 面，这样便形成新的投影体系V 1/H ，O 1X 1是新投影轴。
过点A 向V 1面作垂线，得到V 1面上的新投影1
a '，点1a '是新投影，点a '是旧投影，点a 是新、旧投影体系中的共有的不变投影。a 和1
a '是新的投影体系中的两个投影，将V 1面绕O 1X 1轴旋转到与H 面重合的位置时，就得到图2-25（
b ）所示的投影图。由于在
（a）（b）（c）
图2-25点的一次变换（换V面）
新投影体系中，仍采用正投影方法，又在V/H投影体系和V1/H体系中，具有公共的H面，所以点a到H面的距离（Z坐标）在两个题词体系中是相等的。所以有如下关系：
1
a'a⊥O1X1轴；
1
a'
1x
a=a'
x
a=A a，即：换V面时Z坐标不变。
由此得出点的投影变换规律是：
①点的新投影和不便投影的连线，必垂直于新投影轴；
②点的新投影到新投影轴（O1X1）的距离等于被替换的点的旧投影到旧投影轴（OX）的距离，也即换V面时高度坐标不变。
换V面的作图方法和步骤如图2-25（c）所示：
①在被保留的H投影a附近（适当的位置）作O1X1轴；
②由H投影a向新投影轴O1X1作垂线，在此垂线上量取
1
a'
1x
a=a'
x
a，点
1
a'即为所求。
（2）换H面
换H面时，新就投影之间的关系与换V面类似，也存在如下关系：
a'a⊥O1X1轴；
1
a
1x
a=a
x
a=A a'，换H面是Y坐标不变。
其作图方法和步骤与换V面类似2-25（c），可依此类推，此略。
2．点的二次换面
由于应用换面法解决实际问题时，有时一次换面还不便于解题，有时还需要二次或多次变换投影面。如图3-27表示点的二次换面，其求点的新投影的作图方法和原理与一次换面相同。
但要注意：在更换投影面时，不能一次更换两个投影面，为在换面过程中二投影面保持垂直，必须在更换一个之后，在新的投影体系中交替地再更换另一个。如2-26（a）所示，先由H1代替H面，构成新的投影体系V/H1，O1X1为新坐标轴；再以这个新投影体系为基础，以V2面代替V面，又构成新的投影体系V2/H1，O2X2为新坐标轴。
二次换面的作图步骤如图2-26（b）所示：
（1）先换H面，以H1面替换H面，建立V/H1新投影体系，得新投影
1
a，而
1
a
1x
a=
a
x
a=A a'，作图方法与点的一次换面完全相同；
（2）再换V面，以V2面替换V面，建立V2/H1新投影体系，得新投影
2
a'，而
2
a'
2x
a
=a '1x a =A 1a ，作图方法与点的一次换面类似。
（1）（2）
图2-26点的二次换面
注：根据实际需要也可以先换V 面，后换H 面，但两次或多次换面应该是V 面和H 面交替更换，如：H V →H
V 1→21H V →23H V ……。 三、几个基本作图问题
1．将一般位置直线变换为投影面的平行线
如图2-27（a ）为把一般位置直线AB 变换为投影面平行线的情况。用V 1面代替V 面，使V 1面∥AB 并垂直于H 面。此时，AB 在新投影体系V 1/H 中为正平线。图2-27（b ）为投影图。作图时，先在适当位置画出与不变投影ab 平行的新投影轴O 1X 1（O 1X 1∥ab ），然
后根据点的投影变换规律和作图方法，求出A 、B 两点在新投影面V 1上的新投影1
a '、1
b '，再连接直线1
a '1
b '。则1a '1b '反应线段AB 的实长，即1a '1b '=AB ，并且新投影11b a ''和新投影轴（O 1X 1轴）的夹角即为直线AB 对H 面的倾角α，如图2-27（b ）。
如图2-27（c ）所示若求线段AB 的实长和与V 面的倾角β，应将直线AB 变换成水平线（AB ∥H 1面）也即应该换H 面，建立V/H 1新投影体系，，基本原理和作图方法同上。
（a ）（b ）（c ）
图2-27将一般位置直线变换为投影面平行线
2．将投影面的平行线变换为投影面垂直线
将投影面平行线变换为投影面的垂直线，是为了使直线积聚成一个点，从而解决与直线有关部门的度量问题（如求两直线间的距离）和空间文质彬彬问题（如求线段面交点）。应该选择哪一个投影面进行变换，要根据给出的直线的位置而定。即选择一个与已知平行线垂直的新投影面进行变换，使该直线在新投影体系中成为垂直线。
如图2-28（a ）表示将水平线AB 变换为新投影面的垂直线的情况。图2-28（b ）表示投影图的作法：因所选的新投影面垂直于AB ，而AB 为水平线，所以新投影面一定垂直于H 面，故应换V 面，用新投影体系V 1/H 更换旧投影体系V/H ，其中O 1X 1⊥ab 。
（a ）（b ）
图2-28将投影面的平行线变换为投影面垂直线
3．将一般位置直线变换为投影面垂直线（需要二次换面）
如果要将一般位置直线变换为投影面垂直线，必须变换两次投影面。先将一般位置直线变换为投影面的平行线，然后再将该投影面平行线变换为投影面垂直线。
如图2-29所示，先换V 面，使直线AB 在新投影体系V 1/H 中成为正平线，然后再换H 面，使直线AB 在新投影体系V 1/H 2中成为铅垂线。其作图方法详见图2-29（b ），其中O 1X 1
∥ab ，O 2X 2⊥11
b a ''。
（a ）（b ）
图2-29直线的二次换面
4．将一般位置平面变换为投影面垂直面（求倾角问题）
将一般位置平面变换为投影面垂直面，只需使平面内的任一条直线垂直于新的投影面。我们知道要将一般位置直线变换为投影面的垂直线，必须经过两次变换，而将投影面平行线变换为投影面垂直线只需要一次变换。因此，在平面内不取一般位置直线，而是取一条投影面的平行线为辅助线，再取与辅助线垂直的平面为新投影面，则平面也就和新投影面垂直了。
如图2-30表示将一般位置平面△ABC 变换为新投影体系中的正平线段的情况。由于新投影面V 1既要垂直于△ABC 平面，又要垂直于原有投影面H 面，因此，它必须垂直于△ABC 平面内的水平线。
作图步骤（如图2-30（b ））：
（1）在△ABC 平面内作一条水平线AD 线作为辅助线及其投影ad 、d a ''；
（2）作O 1X 1⊥ad ；
（3）求出△ABC 在新投影面V 1面上的投影1
a '、1
b '、1
c '，1a '、1b '、1c '三点连线必积聚为一条直线，即为所求。而该直线与新投影轴的夹角即为该一般位置平面△ABC 与H 面的倾角α。
同理，也可以将△ABC 平面变换为新投影体系V/H 1中的铅垂面，并同时求出一般位置平面△ABC 与V 面的倾角β。
（a ）（b ）
（c ）
图2-30平面的一次换面（求倾角）
5．将投影面的垂直面变换为投影面平行面（求实形问题）
如图表示将铅垂面△ABC 变为投影面平行面（求实形）的情况。由于新投影面平行于△ABC ，因此它必定垂直于投影面H ，并与H 面组成V 1/H 新投影体系。△ABC 在新投影体系中是正平面。图2-30（b ）为它的投影图。
作图步骤（如图2-31（b ））：
（1）在适当位置作O 1X 1∥1
a '1
b '1
c '； （2）求出△ABC 在H 1面的投影1a 、1b 、1c ，连接此三点，得△1a 1b 1c 即为△ABC 的实形。
（a ）（b ）
图2-31将投影面的垂直面变换为投影面平行面
6．将一般位置平面变换为投影面平行面（二次换面）
要将一般位置平面变换为投影面平行面，必须经过两次换面。因为如果取新投影面平行于一般位置平面，则这个投影面也一定是一般位置平面，它和原体系V/H 中的哪个投影面都不垂直而无法构成新投影体系。因此，一般位置平面变换为投影面平行面，必须经过两次换面。
如图2-32（a ）所示，先换V 面，其变换顺序为X H V →X 1H
V 1→X 221H V ，在H 2面上得到△222c b a =△ABC ，即△222c b a 是△ABC 的实形；
如图2-32（b ）所示，先换H 面，其变换顺序为X H V →X 11
H V →X 212H V ，在V 2面上得到△222
c b a '''=△ABC ，即△222c b a '''是△ABC 的实形。
（a ）（b ）
图2-32平面的二次换面
四、应用举例
1. 点到平面的距离
确定点到平面的距离，只要把已知的平面变换成垂直面，点到平面的实际距离就可反映在投影图上了。
图2-33，用变换V 面的方法，确定点D 到△ABC 的距离，作图步骤如下：
（1）由于△ABC 中的AC 为水平线，故直接取新轴O 1X 1⊥ac ；
（2）再作出D 面和△ABC 的新投影1d '和1a '1b '1c '（为一直线）；
（3）过点1
d '向直线1a '1b '1c '作垂线，得垂足的新投影1k '，投影1d '1k '之长即为所求的距离。
图2-33点到平面的距离
第四章力法 一、是非题（“是”打√，“非”打） 1、图（a）所示超静定结构，力法求解时，所有副系数全为零的基本结构如图（b）所示（除BC杆EI=∞外，其余各杆EI=C）。（） 2、图（a）所示超静定结构，AC杆端剪力可由图（b）所示脱离体 用静力平衡条件直接求出。（） 3、图（a）所示超静定梁M图与图（b）所示静定梁M图相同。（） 4、图（a）所示超静定梁在均布荷载作用下的M图与图（b）所示静定梁M图图乘的结果不等于其与图（c）所示静定梁的M图的图乘结果。（）
5、图示结构中，去掉其中任意两根支座链杆后余下部分都可作为力法计算的基本体系。（） 6、图示结构中，去掉其中任意两根支座链杆后余下部分都可作为力法计算的基本体系。（） 7、图示两结构，对应点内力相同。 8、图示两结构，对应点内力相同。 9、图示两结构，对应点内力相同。（）
10、图示结构，其力法典型方程的自由项,。（） 11、图（a）所示结构，用力法求解时，可取图（b）做基本系。（） 12、图（a）所示结构，用力法求解时可取图（b）做基本系。（） 13、超静定结构在支座移动作用下一定会有内力产生。（） 14、图示结构在支座C垂直向下移动时结构的内力全为零。（）
15、对于超静定桁架，如果在结构外荷载及结构材料不变的情况下增加某些杆件的截面积，则指定处所的位移一定会减小（）。 16、某超静定梁，截面的高度为h，线膨胀系数为α，EA=常数，EI=常数。图（a）中梁上、下面的温度均升高50℃，图（b）中梁上面的温升为30℃，梁下面的温升为70℃。两种情况下梁的内力一样（）。 17、图（a）与图（b）所示结构在支座C处的反力关系为不超过。 ( ) 18、图（a）所示结构（不计杆长变化）用力法求解时可采用图（b）所示结构进行计算。（） 19、图示对称结构受对称荷载（不计杆长变化），则B支座的约束反力 0。( )
力法的基本概念 一、超静定结构和超静定次数 1．超静定结构的概念 ①几何构造方面：有多余约束的几何不变体系。 ②力学解答方面：方程的个数少于未知力的个数。 2．超静定次数的确定 去掉多余约束使超静定结构成为静定结构，所去掉的多余约束数目，就是超静定次数。 一般地， *切断链杆（或支杆）是去掉了一个约束，相应一个约束力； *拆开一个铰（或固定铰支座）是去掉了两个约束，相应两个约束力；*切端刚结点（或固定支座）是去掉了三个约束，相应三个约束力；*刚结点变为铰结点，是去掉了一个约束，相应一个约束力； ① ②③
二、力法的基本结构和多余未知力 1．超静定结构经过去掉多余约束后，变为静定结构，这个静定结构称为力法的基本结构。去掉的多余约束所对应的约束力，称为力法的多余约束力。基本结构、荷载与多余未知力合称基本体系。 2．基本结构的形式不唯一。 一般地，基本结构和多余未知力同时产生。选取时，应使计算简单为前提。 前例题与练习中，给出了每个结构的部分基本结构和相应的多余未知力。 三、力法原理 1．基本假设：弹性小变形 2．确定超静定次数，选取恰当的基本体系 3．位移协调条件的确定（即，补充方程的建立） 4．计算柔度系数（单位未知力产生的位移），建立力法方程 5．结构内力的叠加公式 6．作内力图
示例1 P P L X L 基本体系 解：1）一次超静定结构，取基本体系如图所示。 2）基本思路 超静定结构用平面三个平衡方程是不够的。注意到原结构在荷载作用下的内力和变形是唯一确定的，特别地，支座反力也是确定的。因此，如果设X是支座反力，则原结构的内力与变形就与基本体系（其结构是静定的）在荷载P和支座反力X共同作用下的内力与变形等价。这样，原超静定结构的计算就转化为静定结构的计算。 问题是，X是未知的。需要考虑位移协调条件，即，补充方程。显然，基本体系中，B端是自由端；而原超静定结构中却是有支座的。要保证是等价关系，就必须保证基本体系在P和X共同作用下，在B 端的竖向位移是零。其办法是： 在基本结构中，按叠加法把P和X的共同作用分别作用在基本结构上， ①荷载P作用下，在B端产生的竖向位移的计算 P P L P=1 PL M P图L M 图
CG 算法的预处理技术：、 为什么要对A 进行预处理：其收敛速度依赖于对称正定阵A 的特征值分布 特征值如影响收敛性：特征值分布在较小的围，从而加速CG 的收敛性 特征值和特征向量的定义是什么？（见笔记本以及收藏的网页） 求解特征值和特征向量的法：Davidson 法：Davidson 法是用矩阵( D - θI)- 1( A - θI) 产生子空间，这里 D 是 A 的对角元所组成的对角矩阵。θ是由 Rayleigh-Ritz 过程所得到的A 的近似特征值。 什么是子空间法： Krylov 子空间叠代法是用来求解形如Ax=b 的程，A 是一个n*n 的矩阵，当n 充分大时，直接计算变得非常困难，而Krylov 法则巧妙地将其变为Kxi+1=Kxi+b-Axi 的迭代形式来求解。这里的K(来源于作者俄国人Nikolai Krylov 姓氏的首字母)是一个构造出来的接近于A 的矩阵，而迭代形式的算法的妙处在于，它将复杂问题化简为阶段性的易于计算的子步骤。 如取正定矩阵Mk 为： Span 是什么？:设 ,称它们的线性组合 为向量 的生成子空间，也称为由成的子空间。记为，也可以记为 什么是Jacobi 迭代法： 什么是G_S 迭代法：请见PPT 《迭代法求解线性程组》 什么是SOR 迭代法： 什么是收敛速度：称收敛速度。度，简 为迭代法的渐近收敛速)(ln )(:5定义B B R ρ-= 什么是可约矩阵与不可约矩阵？：不可约矩阵（irreducible matrix ）和可约矩阵（reducible matrix ）两个相对的概念。 定义1：对于 n 阶阵 A 而言，如果存在一个排列阵 P 使得 P'AP 为一个分块上三角阵，我们就称矩阵 A 是可约的；否则称矩阵 A 是不可约的。 定义2：对于 n 阶阵 A=(aij) 而言，如果指标集 {1，2，...，n} 能够被划分成两个不相交的非空指标集 J 和 K ，使得对任意的 j ∈J 和任意的 k ∈K 都有 ajk=0, 则称矩阵 A 是可约的；否则称矩阵 A 是不可约的。 n 阶矩阵A 是不可约的当且仅当与矩阵A 对应的有向图是强连通的。 什么是正交？：在三维向量空间中， 两个向量的积如果是零， 那么就说这两个向量是正交的。换句话说， 两个向量正交意味着它们是相互垂直的。若向量α与β正交，则记为α⊥β。 什么是正交矩阵？：如果：AA'=E （E 为单位矩阵，A'表示“矩阵A 的转置矩阵”。）或A ′A=E ，则n 阶实矩阵A 称为正交矩阵， 若A 为单位正交阵，则满足以下条件: 1) AT 是正交矩阵 2)（E 为单位矩阵） 3) A 的各行是单位向量且两两正交 4) A 的各列是单位向量且两两正交 5) (Ax,Ay)=(x,y) x,y ∈R 6) |A| = 1或-1 倒着写的A 和E 都是什么意思啊？：反着的E:谓词逻辑 存在量词 ? x: P(x) 意味着有至
第7章位移法 一. 教学目的 掌握位移法的基本概念； 正确的判断位移法基本未知量的个数； 熟悉等截面杆件的转角位移方程； 熟练掌握用位移法计算荷载作用下的刚架的方法 了解位移法基本体系与典型方程的物理概念和解法。 二. 主要章节 §7-1 位移法的基本概念 §7-2 杆件单元的形常数和载常数—位移法的前期工作 §7-3 位移法解无侧移刚架 §7-4 位移法解有侧移刚架 §7-5 位移法的基本体系 §7-6 对称结构的计算 ＊§7-7支座位移和温度改变时的位移法分析（选学内容） §7-8小结 §7-9思考与讨论 三. 学习指导 位移法解超静定结构的基础是确定结构的基本未知量以及各个杆件的转角位移方程，它不仅可以解超静定结构，同时还可以求解静定结构，另外，要注意杆端弯矩的正负号有新规定。 四. 参考资料 《结构力学(Ⅰ)-基本教程第3版》P224～P257 第六章我们学习了力法，力法和位移法是计算超静定结构的两个基本方法，力法发展较早，位移法稍晚一些。力法把结构的多余力作为基本未知量，将超静定结构转变为将定结构，按照位移条件建立力法方程求解的；而我们今天开始学的这一章位移法则是以结构的某些位
移作为未知量，先设法求出他们，在据以求出结构的内力和其他位移。由位移法的基本原理可以衍生出其他几种在工程实际中应用十分普遍的计算方法，例如力矩分配法和迭代法等。因此学习本章内容，不仅为了掌握位移法的基本原理，还未以后学习其他的计算方法打下良好的基础。此外，应用微机计算所用的直接刚度法也是由位移法而来的，所以本章的内容也是学习电算应用的一个基础。 本章讨论位移法的原理和应用位移法计算刚架，取刚架的结点位移做为基本未知量，由结点的平衡条件建立位移法方程。位移法方程有两种表现形式：①直接写平衡返程的形式（便于了解和计算）②基本体系典型方程的形式（利于与力法及后面的计算机计算为基础的矩阵位移法相对比，加深理解） §7-1位移法的基本概念 1.关于位移法的简例 为了具体的了解位移法的基本思路，我们先看一个简单的桁架的例子：课本P225。图7-1和图7-2所示。 (a)(a) (b) (b)
换面法 一、换面法概述 当直线或平面相对于投影面处于特殊位置（平行、垂直）时，它们的投影反映线段的实长、平面的实形及其与头面的倾角。 当直线或平面和投影面处于一般位置时，则它们的投影不具备上述特性。 换面法的目的，就在于将直线或平面从一般位置变换为和投影面平行或垂直的位置，以便于解决它们的度量和定位问题。 1．换面法的基本概念 换面法就是保持空间几何元素不动，用一个新的投影面替换其中一个原来的投影面，使新投影面对于空间几何元素处于有利于解题的位置。然后找出其在新投影面上的投影。 2．新投影面的选择原则 （1）新投影面必须和空间的几何元素处于有利于解题的位置； （2）新投影面必须垂直于一个原有的投影面； （3）在新建立的投影体系中仍然采用正投影法。 二、点的换面 点是一切几何元素的基本元素。因此在研究换面时，首先从点的投影变换来研究换面法的投影规律。 1．点的一次换面 （1）换V 面 图2-25（a ）表示点A 在原投影体系V/H 中，其投影为a 和a '现令H 面不动，用新投影面V 1来代替V 面，V 1面必须垂直于不动的H 面，这样便形成新的投影体系V 1/H ，O 1X 1是新投影轴。 过点A 向V 1面作垂线，得到V 1面上的新投影1 a '，点1a '是新投影，点a '是旧投影，点a 是新、旧投影体系中的共有的不变投影。a 和1 a '是新的投影体系中的两个投影，将V 1面绕O 1X 1轴旋转到与H 面重合的位置时，就得到图2-25（ b ）所示的投影图。由于在
（a）（b）（c） 图2-25点的一次变换（换V面） 新投影体系中，仍采用正投影方法，又在V/H投影体系和V1/H体系中，具有公共的H面，所以点a到H面的距离（Z坐标）在两个题词体系中是相等的。所以有如下关系： 1 a'a⊥O1X1轴； 1 a' 1x a=a' x a=A a，即：换V面时Z坐标不变。 由此得出点的投影变换规律是： ①点的新投影和不便投影的连线，必垂直于新投影轴； ②点的新投影到新投影轴（O1X1）的距离等于被替换的点的旧投影到旧投影轴（OX）的距离，也即换V面时高度坐标不变。 换V面的作图方法和步骤如图2-25（c）所示： ①在被保留的H投影a附近（适当的位置）作O1X1轴； ②由H投影a向新投影轴O1X1作垂线，在此垂线上量取1a'1x a=a'x a，点1a'即为所求。 （2）换H面 换H面时，新就投影之间的关系与换V面类似，也存在如下关系： a'a⊥O1X1轴； 1 a 1x a=a x a=A a'，换H面是Y坐标不变。 其作图方法和步骤与换V面类似2-25（c），可依此类推，此略。 2．点的二次换面 由于应用换面法解决实际问题时，有时一次换面还不便于解题，有时还需要二次或多次变换投影面。如图3-27表示点的二次换面，其求点的新投影的作图方法和原理与一次换面相同。 但要注意：在更换投影面时，不能一次更换两个投影面，为在换面过程中二投影面保持垂直，必须在更换一个之后，在新的投影体系中交替地再更换另一个。如2-26（a）所示，先由H1代替H面，构成新的投影体系V/H1，O1X1为新坐标轴；再以这个新投影体系为基础，以V2面代替V面，又构成新的投影体系V2/H1，O2X2为新坐标轴。 二次换面的作图步骤如图2-26（b）所示： （1）先换H面，以H1面替换H面，建立V/H1新投影体系，得新投影 1 a，而 1 a 1x a= a x a=A a'，作图方法与点的一次换面完全相同； （2）再换V面，以V2面替换V面，建立V2/H1新投影体系，得新投影 2 a'，而 2 a' 2x a
《工程图学A》教学大纲 课程编码：08297003-04 课程名称：工程图学(A) 英文名称：Mechanical Drawing（A） 开课学期：1-2 学时/学分：110/ 6.5 课程类型：学科基础课 开课专业：机械类专业本科生 选用教材：侯洪生主编《机械工程图学》科学2001年9月第一版 林玉祥主编《机械工程图学习题集》科学2001年9月第一版 主要参考书： 1、焦永和主编《机械制图》，理工大学2000年版 2、焦永和主编《机械制图习题集》，理工大学2000年版 3、孙兰凤主编《工程制图》，高等教育2004年版 4、曾维川主编《工程制图习题集》，高等教育2004年版 执笔人：侯洪生 一、课程性质、目的与任务 工程图学课程是研究绘制和阅读工程图样的一门技术基础课，它既有系统的理论又有较强的实践性和技术性。 在现代工业生产中，设计制造机器和进行工程建设都离不开工程图样。在使用机器设备时，也要通过阅读图样了解机器的结构和性能。因此，工程图样是人类用来表达和交流设计思想的重要工具，是工程技术部门的一项重要技术文件，是工程界的共同语言。每个工程技术人员必须掌握这种语言，否则就无法从事技术工作。 本课程为培养学生的绘图、读图和空间想象能力打下必要的基础。同时，它又是学生学习后续课程和完成课程设计和毕业不可缺少的基础知识。 二、教学基本要求 1．学习投影法（主要是正投影法）的基本理论及其应用； 2．学习、贯彻制图国家标准和有关的基本规定，培养查阅有关设计资料和标准的能力； 3．培养绘制（徒手绘图、尺规绘图和计算机绘图）和阅读机械图样的技能； 4．培养空间想象能力和图解空间几何问题的初步能力； 5．培养零、部件构型表达能力； 6．培养学生认真负责的工作态度和严谨细致的工作作风，使学生的动手能力、工程意识、创新能力、设计概念等得以全面提高。此外，还必须重视自学能力、分析问题和解决问题的能力以及审美能力的培养。 三、各章节内容及学时分配 绪论（0.5学时） 教学目的与要求 通过本部分的学习，要求学生了解图学发展史和图样在生产实践中的作用。
第三章 线性代数方程组数值解法（迭代法） 迭代法是解线性方程组的另一类方法，特别是适用于解大型稀疏线性方程组，如由某些偏微分方程数值解法中转化来的高阶线性代数方程组。事实上，迭代法是求解多种数值问题的基本方法。 迭代法作为一种求解数值问题的通用方法，其基本思想是针对求解问题预先设计好某种迭代格式，从而产生求解问题的近似解的迭代序列，在迭代序列收敛于精确解的情况下，按精度要求取某个迭代值作为问题解的近似值，这就是求解数值问题的迭代法。在这一章，我们的求解问题是线性方程组，下一章是非线性方程和非线性方程组，在不少其他问题中还会用到。 迭代法的内容包括下述两个主要方面： ① 针对具体问题构造具体的迭代格式。 ② 研究迭代格式(序列)的收敛性并作误差分析。 3.1 解线性方程组迭代法的基本概念和基本迭代公式 解线性代数方程组 b Ax = （3.1.1） (n n R A ?∈非奇异,0),,,(21≠=T n b b b b , T n x x x x ),,,(21 =为解向量 )的迭代法的具体做法是： 把方程组(3.1.1)变形为等价形式 )(x F x = 我们这里只研究如上式的线性的形式 f Bx x +=(其中n n R B ?∈，n R f ∈ ) 例 如 把 A 分 解为 n n R M N M A ?∈-=,则 （ b M Nx M x b x N M 11 )(--+=→=- ） 如果令 N M B 1-=， b M f 1-= 这就是前面的迭代格式 f Bx x +=。 （对应的迭代公式是： ),,2,1,0()() 1(n k f Bx x k k =+=+ 其中每一步迭代值 仅依赖于前一步的迭代值。称为单步迭代。） 如果{) (k x }当 ∞→k 时有极限*x 存在， *) (lim x x k k =∞ →则称迭代公式是收敛 的； 3.2 Jacobi 迭代法/Gauss —Seidel 迭代法 这是解线性方程组的两种基本的方法。 1. Jacobi 迭代公式 设方程组b Ax =中 n n ij R a A ?∈=)(，n i R b b ∈=且 ),,2,1(0n i a ii =≠。 从
love的含义：“L”代表Listen(倾听)“O”代表Obligate(感恩)“V”代表 Valued(尊重)“E”代表Excuse(宽恕)，我们都想要一份长久的爱，所以要 永远学会－倾听对方，感谢对方，尊重对方，宽恕对方。 2012-5-29 《结构力学》第23次课第7章位移法7-1 位移法基本概念 （续上次课内容）7-1 位移法基本概念 1.2位移法的基本未知量和基本结构 （1）位移法的基本未知量 位移法的基本未知量是结点位移独立结点角位移 独立结点线位移 基本未知量＝独立结点角位移数+独立结点线位移数（不包括静定部分） 独立结点角位移数＝结构刚结点数 独立结点线位移数的确定：简单结构用观察法； 复杂结构作铰结图。 作铰结体系图： ①将原结构所有刚结点（包括固定端）和固定支座均改为铰结，即作铰结体系图。注意：原结构的链杆支座、铰支座、及两平行链杆与杆轴平行的滑动支座不予改变，而两平行链杆与杆轴垂直（或斜交）的滑动支座，只保留一根链杆。 ②进行几何组成分析，若体系几何不变，无结点线位移；若几何可变或瞬变，看最少添加几根支座链杆才能保证几何不变，所添加的最少链杆数就是原结构的独立结点线位移数。 一般的如何确定位移法的基本未知量，主要有： 一个刚结点有一个角位移； 一层有一个独立结点线位移-----独立结点线位移的数目等于刚架的层数 3个基本未知量--2个角位移、1个独立结点线位移6个基本未知量---4个角位移、2个独立结点线位 移 （2）位移法的基本结构 位移法的基本结构是单跨超静定梁的组合体 假想地： 1）、在刚结点上加“附加刚臂”阻止结点转动 2）、在刚结点（或铰结点）沿线位移方向加“附加链杆”阻止结点移动。
力矩分配法的基本概念 力矩分配法是计算连续梁和无侧移刚架的一种实用计算方法，它不需要建立和求解基本方程，可直接得到杆端弯矩。运算简单，计算方法有一定规律，便于掌握，适合手算。 理论基础：位移法； 计算结果：杆端弯矩； 适用范围：连续梁和无侧移刚架。 一、正负号规定 在力矩分配法中，杆端转角、杆端弯矩、固端弯矩的正负号规定与位移法相同，即都假定对杆端顺时针转动为正。 作用在结点上的外力偶荷载，约束力矩，也假定顺时针转动为正，而杆端弯矩在结点上表示时逆时针转动为正。 二、转动刚度S 转动刚度表示杆端对转动的抵抗能力。在数值上等于使杆端发生单位转动时需在杆端施加的力矩。AB 杆A 端的转动刚度S AB与AB杆的线刚度i（材料的性质、横截面的形状和尺寸、杆长）及远端支承有关，而与近端支承无关。当远端是不同支承时，等截面杆的转动刚度如下： 三、传递系数C 杆端转动时产生的远端弯矩与近端弯矩的比值。即： 远端弯矩可表达为：M BA=C AB M AB
等截面直杆的传递系数与远端的支撑情况有关： 远端固定： C=1/2 远端铰支： C=0 远端滑动： C=-1 四、多结点无侧移结构的计算 注意： ①多结点结构的力矩分配法得到的是渐近解。 ②首先从结点不平衡力矩较大的结点开始，以加速收敛。 ③不能同时放松相邻的结点（因为两相邻结点同时放松时，它们之间的杆的转动刚度和传递系数定不出来）；但是，可以同时放松所有不相邻的结点，这样可以加速收敛。 ④每次要将结点不平衡力矩变号分配。 ⑤结点i的不平衡力矩M i等于附加刚臂上的约束力矩，可由结点平衡求得。 例题；用力矩分配法画连续梁的M图，EI为常数。
《机械制图》（第六版） 习题集答案
第3页图线、比例、制图工具的用法、尺寸注法、斜度和锥度●要掌握和理解比例、斜度、锥度的定义；各种图线的画法要规范。
第4页椭圆画法、曲线板用法、平面图形的尺寸注法、圆弧连接 1、已知正六边形和正五边形的外接圆，试用几何作图方法作出正六边形，用试分法作出正五边形，它们的底边都是水平线。 ●注意多边形的底边都是水平线；要规范画对称轴线。 ●正五边形的画法： ①求作水平半径ON的中点M； ②以M为圆心，MA为半径作弧，交水平中心线于H。 ③AH为五边形的边长，等分圆周得顶点B、C、D、E ④连接五个顶点即为所求正五边形。 2、用四心圆法画椭圆（已知椭圆长、短轴分别为70mm、45mm）。 ●参教P23四心圆法画椭圆的方法做题。注意椭圆的对称轴线要规范画。 3~4、在平面图形上按1：1度量后，标注尺寸（取整数）。
5、参照左下方所示图形的尺寸，按1：1在指定位置处画全图形。 第6页点的投影 1、按立体图作诸点的两面投影。 ●根据点的两面投影的投影规律做题。 2、已知点A在V面之前36，点B在H面之上， 点D在H面上，点E在投影轴上，补全诸的两面 投影。 ●根据点的两面投影的投影规律、空间点的直角 坐标与其三个投影的关系及两点的相对位置做
3、按立体图作诸点的两面投影。 ●根据点的三面投影的投影规律做题。 4、作出诸点的三面投影：点A（25，15，20）；点B距离投影面W、V、H分别为20、10、15；点C在A之左，A之前15，A之上12；点D在A之下8，与投影面V、H等距离，与投影面W的距离是与H面距离的3.5倍。 ●根据点的投影规律、空间点的直角坐标与其三个投影的关系及两点的相对位置做题。各点坐标为： A（25，15，20） B（20，10，15） C（35，30，32） D（42，12，12） 5、按照立体图作诸点的三面投影，并表明可见性。 ●根据点的三面投影的投影规律做题，利用坐标差进行可见性的判断。（由不为0的坐标差决定，坐标值大者为可见；小者为不可见。）
《机械制图》 （第六版） 习题集答案 第3页图线、比例、制图工具的用法、尺寸注法、斜度和锥度●要掌握和理解比例、斜度、锥度的定义；各种图线的画法要规范。
第4页椭圆画法、曲线板用法、平面图形的尺寸注法、圆弧连接 1、已知正六边形和正五边形的外接圆，试用几何作图方法作出正六边
形，用试分法作出正五边形，它们的底边都是水平线。 ●注意多边形的底边都是水平线；要规范画对称轴线。 ●正五边形的画法： ①求作水平半径的中点M； ②以M为圆心，为半径作弧，交水平中心线于H。 ③为五边形的边长，等分圆周得顶点B、C、D、E ④连接五个顶点即为所求正五边形。 2、用四心圆法画椭圆（已知椭圆长、短轴分别为70、45）。 ●参教P23四心圆法画椭圆的方法做题。注意椭圆的对称轴线要规范画。 3~4、在平面图形上按1：1度量后，标注尺寸（取整数）。
5、参照左下方所示图形的尺寸，按1：1在指定位置处画全图形。 第6页点的投影 1、按立体图作诸点的两面投影。 ●根据点的两面投影的投影规律做题。
2、已知点A在V面之前36，点B在H 面之上，点D在H面上，点E在投影轴 上，补全诸的两面投影。 ●根据点的两面投影的投影规律、空间 点的直角坐标与其三个投影的关系及 两点的相对位置做题。 3、按立体图作诸点的两面投影。 ●根据点的三面投影的投影规律做题。 4、作出诸点的三面投影：点A（25，15，20）；点B距离投影面W、V、H分别为20、10、15；点C在A之左，A之前15，A之上12；点D在A之下8，与投影面V、H等距离，与投影面W的距离是与H面距离的 3.5倍。 ●根据点的投影规律、空间点的直角坐标与其三个投影的关系及两点的相对位置做题。各点坐标为：A（25，15，20） B（20，10，15） C（35，30，32） D（42，12，12） 5、按照立体图作诸点的三面投影，并表明可见性。 ●根据点的三面投影的投影规律做题，利用坐标差进行可见性的判断。
第十六章位移法 16.1 位移法的基本概念 位移法是以节点位移作为基本未知量求解超静定结构的方法。 16.1.1 位移法基本变形假设： 1. 各杆端之间的轴向长度在变形后保持不变； 2. 刚性节点所连各杆端的截面转角是相同的 16.1.2 位移法的基本未知量 力法的基本未知量是未知力，位移法的基本未知量是节点位移。(节点是指计算节点)。节点位移分为节点角位移和节点线位移两种。每一个独立刚节点有一个转角位移(基本未知量)，是整个结构的独立刚节点总数。 角位移数为6 角位移数为1 对于结点线位移，由于忽略杆件的轴向变形。这两个节点线位移中只有一个是独立的，称为独立节点线位移。 独立节点线位移为位移法一种基本未知量。独立节点线位移的数目可采用铰接法确定(即将所有刚性结点改为铰结点后，添加辅助链杆使其成为几何不变体的方法) 。“限制所有节点线位移所需添加的链杆数就是独立节点线位移数”。 独立节点线位移数为1 独立节点线位移数为2 16.1.3 位移法的杆端内力 位移法中杆端弯矩、固端剪力正负号规定：杆端弯矩使杆端顺时针转向为正。固端剪力使杆端顺时针转向为正。位移法中节点弯矩正负号规定：节点弯矩使节点逆时针转为正。固端弯矩是荷载引起的固端弯矩,固端剪力是荷载引起的固端剪力。固端弯矩、固端剪力可通过查表16.1获得。 i称为线刚度： EI i l 其中：EI是杆件的抗弯刚度；l 是杆长。 16.2 位移法的原理 将刚架拆为两个单杆。AB杆B端为固定支座，A端为刚节点，视为固定支座。AC杆C
端为固定铰支座，A 端为刚节点，视为固定支座。 写出各杆的杆端弯矩表达式（注意到AC 杆既有荷载，又有节点角位移，故应叠加： 以上各杆端弯矩表达式中均含有未知量θA ，所以又称为转角位移方程。 把上面的表达式代入： 再把i θA 代回各杆端弯矩式得到： 16.3 位移法的应用 位移法求解超静定结构的一般步骤如下： 1、确定基本未知量； 2、将结构拆成超静定(或个别静定)的单杆； 3、查表16 .1，列出各杆端转角位移方程。 16 3 342=-===CA A AC A AB A BA M Fl i M i M i M θθθ0 A M =∑0AB AC M M +=343016A A i i Fl θθ+-=3 112 A i Fl θ=3566566560 BA AB AC AC M Fl M Fl M Fl M ===-=
2 迭代法 2.1 迭代法的一般概念 迭代法是数值计算中一类典型方法，不仅用于方程求根，而且用于方程组求解，矩阵求特征值等方面。迭代法的基本思想是一种逐次逼近的方法。首先取一个精糙的近似值，然后用同一个递推公式，反复校正这个初值，直到满足预先给定的精度要求为止。 对于迭代法，一般需要讨论的基本问题是：迭代法的构造、迭代序列的收敛性天收敛速度以及误差估计。这里，主要看看解方程迭代式的构造。 对方程(1.1)，在区间],[b a 内，可改写成为： )(x x ?= (2.1) 取],[0b a x ∈，用递推公式： ) (1k k x x ?=+, Λ,2,1,0=k (2.2) 可得到序列： ∞ ==0210}{,,,,k k k x x x x x ΛΛ (2.3) 当∞→k 时，序列∞=0}{k k x 有极限x ~， 且)(x ?在x ~附近连续，则在式(2.2)两边极限，得， )~(~x x ?= 即，x ~为方程(2.1)的根。由于方式(1.1)和方程(2.1)等价，所以， x x ~ *= 即， *lim x x k k =∞ → 式(2.2)称为迭代式，也称为迭代公式；)(x ?可称为迭代函数。称求得的序列∞ =0 }{k k x
为迭代序列。 2.2 程序和实例 下面是基于MATLAB 的迭代法程序，用迭代格式)(1n n x g p =+，求解方程)(x g x =，其中初始值为0p 。 ************************************************************************** function[p,k,err,P]=fixpt(f1021,p0,tol,max1) % f1021是给定的迭代函数。 % p0是给定的初始值。 % tol 是给定的误差界。 % max1是所允许的最大迭代次数。 % k 是所进行的迭代次数加1。 % p 是不动点的近似值。 % err 是误差。 % P = {p1,p2,…,pn} P(1) = p0; for k = 2:max1 P(k) = feval('f1021', P(k-1)); k, err = abs(P(k) - P(k-1)) p = P(k); if(err 第八章力法 学习目的和要求 力法是超静定结构计算的基本方法之一，也是学习其它方法的基础，非常重要。本章的基本要求： 1.熟练掌握力法基本结构的确定、力法方程的建立及其物力意义、力法方程中的系数和自由项的物理意义及其计算。 2.熟练掌握力法解刚架、排架和桁架，了解用力法计算其它结构计算特点。 3.会利用对称性，掌握半结构的取法。 4.掌握超静定结构的位移计算及力法计算结果的校核。 重点是荷载作用下的超静定结构计算，领会其它因素下的超静定结构计算。 学习内容 超静定结构的性质，超静定次数的确定，超静定结构的计算思想与基本方法；力法基本概念，荷载作用下用力法计算超静定梁、刚架、排架、桁架和组合结构；支座移动、温度改变用力法计算超静定梁和刚架；对称结构的特性及对称性的利用；超静定结构的位移计算及力法校核。 内容提要 超静定结构计算的第一步是确定超静定的次数，也就是判断多余约束。超静定结构去掉多余约束后是无多余约束的几何不变体系，也就是静定结构。因此，超静定结构可形象地表示为： 超静定结构=静定结构+多余约束 一般来说，切开一根链杆，则去掉了一个约束。切开一个单铰，则去掉了两个约束。切开一根受弯曲的杆件，则去掉了三个约束。 1.超静定结构的求解思路： 求解超静定结构，先选取一个便于计算结构作为基本体系，然后让基本体系与原结构受力一致，变形一致即完全等价，通过这个等价条件去建立求解基本未知量的基本方程。（基本未知量是超静定结构计算中必须首先求解的关键未知量）。由于求解过程中所选的基本未知量和基本体系不同，超静定结构的计算有两大基本方法——力法和位移法。 2、力法基本概念： 在力法中，以去掉多余约束得到的静定结构作为力法基本体系，以多余未知力作为力法的基本未知量，通过基本体系中沿多余未知力方向的位移应等于原结构相应的位移来建立力法基本方程，解方程求出多余未知力；多余未知力求出以后，其它反力和内力的计算问题就转化为静定结构的计算问题，可按叠加法或平衡条件计算。 力法的基本方程 1. 力法基本原理 力法是计算超静定结构最基本的方法。 遵循材料力学中同时考虑“变形、本构、平衡”分析超静定问题 的思想，可有不同的出发点：以力作为基本未知量，在自动满足平衡 条件的基础上进行分析，这时主要应解决变形协调问题，这种分析方 法称为力法。 2. 力法典型方程 力法典型方程：力法典型方程是根据原结构的位移条件建立起来的。典型方程的数目等于结构的超静定次数。n次超静定结构的基本体系有n个多余未知力，相应的有n个位移协调条件。利用叠加原理将这些位移条件表述成如下的力法典型方程： 图5.13 如图5.14所示， ?表示基本结构上多余未知力X1的作用点沿其作用方向， 1P 由于荷载单独作用时所产生的位移； ?表示基本结构上多余未知力X2的作用点 2P 沿其作用方向，由于荷载单独作用时所产生的位移；ij δ表示基本结构上X i 的作用点沿其作用方向，由于j X =1单独作用时所产生的位移。根据迭加原理，式(5-2)可写成以下形式 11111231 2 111223100X X X X P P δδδδ?=++?=?? ?=++?=? (5-3) 2、解题步骤 （1）选取力法基本结构——不唯一；确定超静定次数， （2）列力法基本方程； 2、几点注意： ①力法方程的物理含义是：基本体系在外部因素和多余未知力共同作用下产生的多余未知力方向上的位移，应等于原结构相应的位移。实质上是位移协调条件。 ②主系数δii 表示基本体系仅由X i =1作用所产生的Xi 方向的位移。 ； 付系数δij 表示基本体系仅由X j =1作用所产生的X i 方向的位移。 主 系数恒大于零，负系数可为正、负或零。力法方程的系数只与结构本身和基本未知力的选择有关，是基本体系的固有特性，与结构上的外因无关。 【例5-2】试作如图5.17(a)所示梁的弯矩图。设B 端弹簧支座的刚度为k ，EI 为常数。 换面法 课题：1、换面法的概念 2、点的投影变换 3、直线的投影变换 4、平面的投影变换 5、换面法投影变换应用举例 课堂类型：讲授 教学目的：1、讲解换面法的投影变换规律 2、讲解换面法的四个基本作图方法 教学要求：1、理解并熟练掌握一次换面、二次换面中点的投影的作图规律 2、掌握换面法的四个基本作图方法，并能够应用于解题实践 教学重点：换面法的四个基本作图方法 教学难点：新投影面、新投影轴的选择和投影的返回（换面法的反向作图） 教具：挂图：“将一般位置直线变换成投影面平行线”； “将一般位置直线变换成投影面垂直线”； “将一般位置平面变换成投影面垂直面”； “将一般位置平面变换成投影面平行面”。 教学方法：理论讲解和实际演示作图相结合。 教学过程： 一、复习旧课 结合作业中的问题，说明在平面上取点、取直线、取投影面平行线的作图方法。 二、引入新课题 在解决工程实际问题时，经常遇到求解度量问题，如实长、实形、距离、夹角等，或者求解定位问题，如交点、交线等。通过对直线或平面的投影分析可知，当直线或平面对投影面处于一般位置时，在投影图上不能直接反映它们的实长、实形、距离、夹角等；当直线或平面对投影面处于特殊位置时，在投影图上就可以直接得到它们的实长、实形、距离、夹角等。换面法就是研究如何改变空间几何元素对投影面的相对位置，以达到简化解题的目的。 三、教学内容 （一）换面法的概念 1、概念 空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面代替原来的 投影面，使几何元素在新投影面上的投影对于解题最为简便， 这种方法称为变换投影面法，简称换面法。 2、举例 如图2－49所示为一处于铅垂位置的三角形平面在V／H体 系中不反映实形，现作一个与H面垂直的新投影面V1平行于 三角形平面，组成新的投影面体系V1／H，再将三角形平面向 V1面进行投影，这时三角形平面在V1面上的投影就反映该平 面的实形。图2－49 换面法的原理 （二）点的投影变换 点是最基本的几何元素，因此必须首先研究在变化投影面时，点的投影变换规律。 1、新投影面的选择 在进行投影变换时，新投影面是不能任意选择的，首先要使空间几何元素在新投影面上的投影能够帮助我们更方便地解决问题。并且新投影面必须要和不变的投影面构成一个直角两面体系，这样才能应用正投影原理作出新的投影图来。因而新投影面的选择必须符合以下两个基本条件：（1）新投影面必须垂直于原投影面体系中的一个不变的投影面。 （2）新投影面必须使空间几何元素处于有利于解题的位置。 2、点的一次换面 根据选择新投影面的条件可知，每次只能变换一个投影面。变换一个投影面即能达到解题要求的称为一次换面。 （1）变换V面，即V／H→V1／H 如图2－50中a、a′为点A在V／H 体系中的投影，在适当的位置设一个新投影面V1代替V，必须使V1⊥H，从而组成了新的投影体系V1／H。 V1与H的交线X1为新的投影轴。由A 向V1作垂线得到新投影面上的投影a1′，而水平投影仍为a。 迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，跟迭代法相对应的是直接法(或者称为一次解法)，即一次性解决问题。迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法，它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令(或一定步骤)进行重复执行，在每次执行这组指令(或这些步骤)时，都从变量的原值推出它的一个新值，迭代法又分为精确迭代和近似迭代。比较典型的迭代法如“二分法”和"牛顿迭代法”属于近似迭代法。 方法介绍 迭代法是一类利用递推公式或循环算法通过构造序列来求问题 近似解的方法。例如，对非线性方程，利用递推关系式 ，从开始依次计算，来逼 近方程的根的方法，若仅与有关，即，则 称此迭代法为单步迭代法，一般称为多步迭代法；对于线性方程组 ，由关系 从开始依次计算来过近方程的解的方法。若对某一正整数，当时，与k 无关，称该迭代法为定常迭代法，否则称之为非定常迭代法。称所构 造的序列为迭代序列。 迭代法应用 迭代法的主要研究课题是对所论问题构造收敛的迭代格式，分析它们的收敛速度及收敛范围。迭代法的收敛性定理可分成下列三类： ①局部收敛性定理：假设问题解存在，断定当初始近似与解充分接近时迭代法收敛； ②半局部收敛性定理：在不假定解存在的情况下，根据迭代法在初始近似处满足的条件，断定迭代法收敛于问题的解； ③大范围收敛性定理：在不假定初始近似与解充分接近的条件下，断定迭代法收敛于问题的解。 迭代法在线性和非线性方程组求解，最优化计算及特征值计算等问题中被广泛应用。 迭代法算法 迭代是数值分析中通过从一个初始估计出发寻找一系列近似解来解决问题（一般是解方程或者方程组）的过程，为实现这一过程所使用的方法统称为迭代法（Iterative Method）。 一般可以做如下定义：对于给定的线性方程组 （这里的x、B、f同为矩阵，任意线性方程组都可以变换成此形式），用公式 （代表迭代k次得到的x，初始时k=0)逐步带入求近似解的方法称为迭代法（或称一阶定常迭代法）。如果存在，记为 2.5.4 平面的换面法 教学内容：2.5.4 平面的换面法 教学目的：掌握平面换面的投影特征 教学重点：平面换面的投影特征 教学难点：有关点、直线、平面的定位和度量问题 复习：平面的投影 新课： 一、换面法的基本概念 一般位置的平面或直线，在任何投影面上都不反映平面或直线的实形、实长。而与投影面平行时，却能真实地反映它们原来的形状和长度。由此得到启示，只要设法将空间几何元素相对于投影面处于特殊位置，就可方便地求解一般位置几何元素度量或定位问题。这时我们假设空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面代替原来的投影面，使几何元素在新投影面上的投影对于解题最为简便，这种方法称为变换投影面法，简称换面法。 新投影面的设置必须遵循下例两条原则： 1、新投影面必须垂直于原投影面体系中的一个不变的投影面。 2、新投影面必须使空间几何元素处于有利于解题的位置。 二、换面法的投影规律 点的换面法是其它几何元素换面法的基础。所以我们先对点进行换面。 根据选择新投影面的条件可知，每次只能变换一个投影面。变换一个投影面即能达到解题要求的称为一次换面。 例：变换V 面，即V ／H →V 1／H 如图，a 、a ′ 为点A 在V ／H 体系中的投影，在适当的位置设一个新投影面V 1代替V ，必须使V 1⊥H ，从而组成了新的投影体系V 1／H 。 V 1与H 的 交线 X 1为新的投影轴。由A 向V 1作垂线得到新投影面上的投影a 1′ ，而水平投影仍为a 学生练习：变换H 面，即V ／H →V ／H 1 小结；点的换面投影规律如下： 1、新投影与不变投影连线垂直于新轴（如aa 1ˊ⊥X 1轴）。 2、新投影到新投影轴的距离等于被替代的旧投影到旧投影轴的距离。 （如a 1ˊa x 1= a ˊa x ） 新投影还可根据需要进行第二次换面，每一次换面后的新投影面、新投影轴、新投影的符号加注脚1，第二次换面后相应的符号加注脚2。 三、直线在换面法中的基本类型 1、一般位置直线变换为投影面平行线 如图，AB 为一般位置线，如要变换为正平线，则必须变换V 面，使新投影 V 1X H H V X a a′ a X a X1 a ′ 1 第七章力法 §7-1 超静定结构概述 1. 超静定结构基本特性 (1) 几何构造特性：几何不变有多余约束体系 (2) 静力解答的不唯一性：满足静力平衡条件的解答有无穷多组 (3) 产生内力的原因：除荷载外，还有温度变化、支座移动、材料收缩、制造误差等，均可产生内力。 2. 超静定结构类型 图7.1 3. 求解原理 (1) 平衡条件：解答一定是满足平衡条件的，平衡条件是必要条件但不是充分条件。 (2) 几何条件：或变形协调条件或约束条件等，指解答必须满足结构的约束条件与位移连续性条件等。 (3) 物理条件：求解过程中还需要用到荷载与位移之间的物理关系。 4. 基本方法 力法：以多余约束力作为求解的基本未知量 位移法：以未知结点位移作为求解的基本未知量 §7-2 超静定次数的确定 超静定次数：多余约束的个数，也就是力法中基本未知量的个数。 确定方法：超静定结构 去掉多余约约束静定结构，即可确定超静定次数即力法基本未知量的个数。 强调，（1）去掉的一定是多余约束，不能去掉必要约束（2）结果一定是得到一个静定结构，也称力法基本结构。 图7.2 图7.3 图7.4 图7.5 图7.6 §7-3 力法基本概念 下面用力法对一单跨超静定梁进行求解，以说明力法基本概念，对力法有一个初步了解。 图7.7 (1) 一次超静定，去掉支座B ，得到力法基本未知量与基本结构； (2) 要使基本结构与原结构等价，则要求，荷载与X 1共同作用下，?1=0 (3) 由叠加原理，有，011111111=+=+=P P X ?δ???，力法典型方程，即多余约束处的位移约束条件。 (4) 柔度系数δ11与自由项?1P 均为力法基本结构上(静定结构)的位移，由图乘法，得 EI l l l l EI 332211311=????=δ, EI ql l ql l EI P 843213114 21-=???-=?, ql X P 831111=-=δ? (5) X 1已知，可作出原结构M 图，如图示。 §7-4 力法典型方程 由上节知，力法典型方程就是多余约束处的位移方程。下面讨论一般情况下力法方程的形式。力法
力法的基本方程讲义
换面法的概念与投影交换教案
迭代法
机械制图之换面法
结构力学力法讲解
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