不可少的,因为没有ESR 的LC 滤波器相位滞后大。
6.4.12. Ⅲ型误差放大器电路、传递函数和零点、极点位置
具有图6.41(b)的幅频特性电路如图6.42所示。可以用第6.4.6节Ⅱ 型误差放大器的方法推导它的传递函数。反馈和输入臂阻抗用复变量s 表示，并且传递函数简化为)(/)()(12s Z s Z s G =。传递函数经代数处理得到 )]
/((1)[1)((])(1)[1()()()(212123321133112C C C C sR C sR C C sR C R R s C sR s U s U s G in o +++++++== （6-69） 可以看到，此传递函数具有 （a ） 一个原极点，频率为 )
(212110C C R f p +=π （6-70） 在此频率R 1的阻抗与电容(C 1+C 2)的阻抗相等且与其并联。 （b ） 第一个零点，在频率 1
2121C R f z π= （6-71） 在此频率，R 2的阻抗与电容C 1的阻抗相等。 （c ） 第二个零点，在频率 31331221)(21C R C R R f z ππ≈+=
（6-72） 在此频率，R 1+R 3的阻抗与电容C 3的阻抗相等。
（d ） 第一个极点，在频率 2
221212121)]/([21C R C C C C R f p ππ≈+= （6-73） 在此频率，R 2的阻抗与电容C 2和C 1串联的阻抗相等。 （e ） 第二个极点，在频率 33221C R f p π= （6-74） 在此频率R 3的阻抗与电容C 3阻抗相等。 为画出图6.41(b)的幅频特性，以f z 1=f z 2，f p 1=f p 2选择RC 乘积。双零点和双极点频率的位置由k 来决定。根据k 获得希望的相位裕度。图6.41(b)中误差放大器在希望的f c 0处以斜率＋20dB/dec 处的增益（图6.41(a)）令其等于LC 滤波器的衰减量，但符号相反。
从表6.3和传递函数式（6-69），可以设置希望的零点和极点频率，设计例子如下。
6.13. 设计举例－具有3型反馈环路的正激变换器稳定性
设计一个正激变换器反馈环路，正激变换器具有如下的参数：
U 0=5.0V; I o =10A; I o min =1.0A; 开关频率f s =50kHz; 输出纹波（p-p ）<20mV 。并假定输出电容按广告说的没有ESR 。
首先，计算输出LC 滤波器和它的转折频率。在6.4.9节中得到 66
103010
1020533--?=???==o o o I T V L H 假定输出电容的ESR 为零，所以由于ESR 的纹波也为零，但有小的电容纹波分量。通常很小，因此所用的电容比2型误差放大器例子中应用的2600μF 要小得多。但保守些本设计电容仍采用2600μF ，且其ESR 为零，于是 570102600103021216
6=???==--ππo o c C L f Hz C 2
o 图6.42 具有式(22)的Ⅲ型误差放大器
假设和Ⅱ型误差放大器一样，调制器和采用电路的增益是－1.5dB 。LC 滤波器加上调制器、采样电路的幅频特性如图6.43中曲线ABC 。－1.5dB 的水平增益一直上升到频率570Hz 的点。然后它突然改变转向-40dB/dec 斜率,并因为ESR 为零一直保持这一斜率。
选择f c 0等于1/4或1/5开关频率，即50/5＝10kHz 。图6.43曲线ABC 上在10kHz 的衰减量为－50dB 。因此使f c 0=10Hz ，在10kHz 误差放大器的增益设置为＋50dB （图6.43中F 点）。但是误差放大器在f c 0必须＋20dB/dec 斜率，加到=40dB/dec 斜率的LC 滤波器上，以产生-20dB/dec 的斜率。因此，在F 点画一个+20dB/dec 斜率直线，在低频方向延伸到f z －双零点频率；在高频方向延伸f p －双极点频率。然后由k （表6.3）根据需要产生的相位裕度决定f z 和f p 。
假定相位裕度45°,于是误差放大器加上LC 滤波器的总相位滞后是180－45＝135°.但LC 滤波器因没有ESR 零点滞后180°,这留给误差放大器允许的滞后(超前)角为135-180=-45°. 由表6.3得到k =5时相位滞后（超前）-44°,这已经十分接近。在f c0＝10kHz 时，k =5，f z =2kHz 以及f p =50kHz 。因此图 6.43中斜率+20dB/dec 直线扩展到2kHz 的E 点，由这一点转折向上（由于原点极点向高频为斜率-20dB/dec ）。再由F 以斜率+20dB/dec 向高频扩展到双极点频率50kHz ，在此因两个极点转为斜率-20dB/dec 。 曲线IJKLMN 是总的环路幅频特性，也是曲线ABC 和DEFGH 之和。可以看到在10kHz （交越频率f c 0）为0dB,并以斜率-20dB/dec 穿越。k ＝5产生需要的45°相位裕度。现在来决定符合图
43误差放大器幅频特性DEFGH 的元件参数。
6.4.14 为产生希望的3型误差放大器幅频特性的元件选择
运用四个极点和零点频率公式（式(6-71)～(6-74)）来选择6个元件（R 1, R 2 ,R 3, C 1, C 2,C 3）参数. 任意选择R 1=1k Ω。第一个零点（在2kHz ）出现时，R 2=X 2,因此在此频率反馈臂阻抗主要是R 2本身，增益为R 2/R 1.从图6.43可见，在2kHz 误差放大器增益是＋37dB ，即70.8倍，如R 1=1k Ω，则R 2=70.8k Ω，因此由式（6-71）得到 011.02000)70800(212121===
ππz f R C μF 由式（6-73）得到 4550000)70800(212122===
ππp f R C p F 由式（6-72）得到 08.02000
)1000(212113===ππz f R C μF 最后由式（6-74）得到 4050000
)1008.0(2121633=?==-ππp f C R Ω 6.4.15 反馈环路的条件稳定
当加载和运行的正常工作条件下反馈环路可能是稳定，但在接通或输入电网瞬态变化时，可能受到冲击而进入连续振荡。这种奇特情况称为条件稳定，可由图6.44(a)和图6.44(b)来说明。
图6.44（a ）和图6.44(b)分别画出了总的环路相频特性和总的幅频特性。如果有两个频率（A 点和C 点）开环总附加相移达到180°(图6.44(a))就发生条件稳定。
回顾一下振荡判据是在某一个频率开环增益为0dB 时，总环路附加相移是180°.如果总环路附加相移在给定频率是180°，但在那个频率总环路增益大于0dB 环路仍然是稳定的。这可能难以理解，
图6.43 幅频特性－3型误差放大器
因为如果某个频率通过环路返回的信号与初始信号精确同相，但幅度加大，每次围绕环路幅度加大一些，就会出现以上情况。当达到一定电平时，幅度衰减限制了更高的幅值，并保持振荡。但数学上可以证明，不会出现此情况，这里的目的只不过是要接受如果总环路增益在总环路相移180°的频率是1时不会出现振荡。
在图6.44a 中，环路在B 点无条件稳定，因为这里总开环增益虽然是1，但总开环相移比180°少大约40°－即在B 有一个相位裕度。环路在C 是稳定的，因为总环路相移是180°,但增益小于1,即在C 点有增益裕度。但在A 点环路是条件稳定。虽然总环路相移是180°,增益大于1（大约16dB ），如前所述环路是条件稳定的。 但是，如果在某种情况下，比如说在初始启动时，电路还没有进入均衡状态，并且在A 点频率环路增益瞬时降低到16dB －存在振荡条件，增益为1和相移180°,电路进入振荡并保持振荡。在C 点不可能停留在条件振荡，原因是增益不可能瞬时增加。 如果存在条件振荡（绝大部分在初始启动），可能出现在轻载条件下输出LC 滤波器转折频率处。由图6.7A 和图6.7b 可见，轻载LC 滤波器在转折频率处有很大的谐振增益提升和相移变化。在转折频率处大的相移可能导致180°.如果总环路增益（这在启动时是无法预计的）可能是1或者瞬时是1－环路可能进入振荡。计算这种情况是否出现是相当困难的。避免这种情况的最安全的方法是在LC 转折频率处一个相位提升，即引入一个零点，消除环路的某些相位滞后。只要在采样网络的上分压电阻并联一个电容就可以做到（图6.39）。 6.4.16. 断续模式反激变换器的稳定 1 由误差放大器的输出到输出电压端的直流增益 环路的主要元件如图 6.45(a)所示。设计反馈环路的第一步是计算由误差放大器的输出到输出电压端的直流或低频增益。假定效率为80%，反激变换器的输出功率 o o p R U T I L P o 22)2/(8.0==
（6-75） I p =U dc T on /L p ;因此 o o p on dc p R U T
L T U L P o 222)/(8.0== （6-76） 又图6-48(b)可以看到，误差放大器的输出与0~3V 三角波比较形成PWM 波，产生的矩形脉冲宽度（T on －图6.48(c)）等于三角波开始时间到直流电平U ea 与其相交时间。此T on 将是功率晶体管Q 1导通时间。从图6-48(b)可以看到U ea /3=T on /T 则T on =U ea T /3。将它代入式（6-76）得到
+60 开环增益（dB ）
+40
+20 0
100 1000 100kHz -20
-40 （b ）
图6.44 如果存在两个频率环路相移
位180°,环路可能是条件稳定。可能在启
动时增益瞬时降低到0dB ，出现条件振荡，即180°相移，增益0dB 。一旦振荡破坏，就继续下去。电路就在B 点条件稳定，因为增益绝不可能瞬时增加。
T
(a) (c)
图 6.45 断续模式反激变换器反馈环路
o o ea p dc p R U T T U L U L P o 2222)3/()/(8.0==
即 p
o ea
dc o L T R U U U 4.03= （6-77） 而从误差放大器输出到输出端的直流或低频增益为 p o dc o L T R U U U ea 4.03
=?? （6-78） 2. 断续模式反激变换器传递函数，即从误差放大器输出到输出端的交流电压增益
假定一个频率f n 小正弦信号插入串联到误差放大器的输出端,这将引起T1初级电流脉冲（电流峰值为I p ）三角波的幅值正弦调制，因此，在次级也引起三角波电流脉冲的正弦幅值调制（瞬时幅值为I p N p /N s ）。次级三角波电流的平均值同样以正弦频率f n 调制，因此有一个频率f n 正弦波电流流入并联R o ,C o 的顶端。但对戴维南等效来说，R o 与C 0是串联的。可以看到，C o 上的输出交流电压幅值从频率f p =(2πR o C o )-1开始以-20dB/Dec ，即以斜率-20dB/dec 衰减。简而言之，在误差放大器输出到输出端的传递函数中在频率 o
o p C R f π21= （6-79） 有一个极点，并且在此频率以下的直流增益由式（6-78）决定。
这与LC 滤波器相反。在这样的拓扑中，插入到误差放大器输出的正弦波电压给LC 滤波器地输入一个正弦波电压，此电压通过LC 滤波器以-40dB/Dec ，也就是说LC 滤波器在输出端有两个极点。
当然，反激拓扑输出电路端单极点衰减即斜率-20dB/dec 改变需要稳定反馈的误差放大器的传递函数。在大多数情况下，反激变换器的输出电容具有R esr (ESR)，在频率 o
esr z C R f π21= （6-80） 转折。
完整分析反激变换器的稳定问题应当考虑最大和最小输入直流电压，以及最大和最小负载电阻。式（6-78）指出直流增益正比于U dc 和R o 的平方根，因此输出电路的极点反比于R o 。
在下一节图解分析时U dc 和R o 所有四种组合输出电路传递函数随之变化情况。
对于一个输出电路的传递函数（一个电网电压和负载条件）将误差放大器的传递函数设计确立希望的频率f c 0，并f c 0总环路幅频特性以斜率-20dB/dec 穿越。应当注意，另一个输出传递函数（不同电网电压和不同负载条件）总增益曲线在f c0以斜率-40dB/dec 穿越，并可能引起振荡。
例如，考虑U dc 的变化小到可以忽略。用式（6-78）计算直流增益，并用式（6-73）计算输出电路的极点频率，假定R o max =10R o min 。在图 6.43中，曲线ABCD 是输出电路R o max 时的传递函数；式（6-78）给出A 到B 的直流增益。在B 点，因为式（6-79）给出的输出极点以斜率-20dB/dec 衰减。在C 点，因为输出电容的ESR 零点斜率转向水平。C 点 的频率由式（6-80）计算，电容定额在很大耐压和电容量范围内， R esr ×C o =65×10-6ΩF 。
再回到图 6.46,曲线EFGH 是输出电路
R o min =R o max /10时的传递函数。因为f p 反比于R o ，它的极点频率10倍于R o 。在F 点的直流增益为
图6.46 稳定反激变换器反馈环路的幅频特性
10dB ，低于R o max ，因为增益正比于R o 的平方根（dB 1010=）。R o min 输出电路的传递函数画法如下：在10倍于B 点频率的F 点，低于B 点10dB ，向低频方向画一水平的直流或低频增益直线（EF ）。在F 点，画一斜率－20dB/dec 的直线,并继续画到R esr 零点频率G ，再由G 点一直向高频区画一水平线。
从图6.46的输出电路的传递函数ABCD 和EFGH 画出误差放大器的误差放大器的幅频特性，即传递函数如下节。
6.4.17 断续模式反激变换器的误差放大器（EA ）的传递函数
在图6.46中，令f c 0在R o min 曲线EFGH 上的1/5开关频率（p1）。通常f c 0出现在输出传递函数的水平线上。为使f c 0落在希望的位置，将误差放大器在f c 0（p2）的增益设计成与输出电路p1的衰减量相等，且符号相反。因为EFGH 在f c 0的斜率是水平线，误差放大器幅频特性在高频方向（p2）的斜率必须为-20dB/dec 。
从p2点向低频方向画一斜率-20dB/dec 的直线，扩展到稍低于C 点频率（p3点）。R o max 时的传递函数是ABCD 曲线。因为总幅频特性在新的f c 0必须以斜率-20dB/dec 通过，此新的f c 0将出现在衰减量与误差放大器直流增益相等，且符号相反（p4）。P3点的精确频率是不严格的，但必须低于C 点频率，以保证绝对最大的R o 时C 点可能达到的最大损耗要与误差放大器的增益在-20dB/dec 斜率段相等，且符号相反相匹配。于是有一个极点相应于频率f p 位于p3点。采用Ⅱ型误差放大器。任意选择一个足够大的输入电阻R 1(图6.46(a)),不至于使采样网络作为负载。
由图上读得幅频特性水平部分的增益（p3~p5），并令其等于R 2/R 1(图6.45(a))，确定R 2。从极点频率f p 和R 2确定C 2（=1/2πf p R 2）值（图6.46(a)）。
沿水平线p3-p5扩展，在p5引入一个零点，以增加低频增益和提供一个相位提升。在p5的零点频率f z 是不严格的，应当低于f p 大约10倍。为了确定f z 的位置，选取C 1=1/2πf z R 2。用以下的例子说明上述的选择。
6.4.18 设计举例－稳定一个断续模式反激变换器
用下面的例子设计反激变换器反馈稳定。假定输出电容有ESR ，采用Ⅱ型误差放大器。电路如图
6.45(a)，其参数如下：
U o =5V ； I o nom =10A ；I o min =1A ； U dc max =60V; U dc min =38V ；U dc aU =49V ； 开关频率f s =50kHz ；纹波电压U rip =0.05V ； 初级电感L p =56.6μH （假设效率为80%，T on +T r =0.8T ,晶体管和二极管压降为1V ）。输出纹波决定输出电容值C o =I o max T of /U rip =2000μF ，R esr =0.03Ω。
在断开瞬时，峰值次级电流可达66A ，将引起很窄的尖刺66×0.03=2V 加在电容端。应当说明的是利用小的LC 滤波或增加一个C o 可以降低ESR 窄脉冲。这里将C o 增加到5000μF,ESR 降低到0.012Ω.Q 1关断时的尖刺为66×0.012＝0.79V ，再用一个放到反馈环外边小LC 滤波就可降低到允许的水平。
现在可以画出输出电路的幅频特性－首先是R 0=5/10=0.5Ω。由式（6-78）得到直流增益为 3.4106.5610205.04.03494.036
6
=????==--p o dc
L T R V G 即12.8dB 。
由式（6-79）得到极点频率为 7.631050005.021216
=???==-ππo o p C R f Hz 由式（6-86）得到ESR 零点频率为 2500106521216=??==
-ππo esr esr C R f kHz 在R o =0.5Ω时的输出电路的幅频特性如图6.46中EFGH 。水平部分为12.8dB 一直到f p =63.5Hz 。这里由于ESR 在2.5kHz 的零点斜率转向-1。现在可以画误差放大器的幅频特性。
选择开关频率的1/5即50/5＝10kHz 为f c0。在EFGH 上当频率为10kHz 时损耗是－19dB 。因此误差放大器在10kHz 增益取19dB 。在10kHz 取19dB （p2），并画一条斜率-1（-20dB/dec ）的直线，然后延伸此直线到稍低于f esr －即到1kHz 的p3点，39dB 。在p3点，向低频方向画一水平线到p5点，频率300Hz （零点位置）。零点位置是不严格的，在6.4.17节，p5低于p3点频率应当是一个十倍频。有
些设计者实际上忽略了p5的零点。但这里加入零点是为了提升一些相位。因此从这一点在低频方向增益转向斜率-20dB/dec 。
现在来证实R o max =5Ω总幅频特性（输出电路加上误差放大器的传递函数）以斜率-20dB/dec 在f c 0交越。由式（6-84）得到R o max =5Ω时直流增益为13.8即23dB 。由式(6-79)得到极点频率为6.4Hz 。ESR 频率保持在2.5kHz 。因此R o =5Ω时输出电路的传递函数是ABCD 。因此，新的f c 0在误差放大器的幅频特性p6-p5-p3-p7等于ABCD 上的衰减的频率。可以看到，在p4点（3.2kHz ）,输出滤波器的衰减为－29dB ，而误差放大器的增益是＋29dB 。可以看到，误差放大器增益与ABCD 之和（等于总幅频特性）以斜率-20dB/dec 通过f c 0。但是，必须注意到如果R o 加大些，曲线ABCD 还要降低到较低数值，因此先前决定的误差放大器的幅频特性增益相等，符号相反于输出滤波器衰减特性的点应当出现在每根曲线的斜率-20dB/dec 穿越处。
因此总的幅频特性在斜率-40dB/dec 处交越新的f c 0并出现振荡。这样，按照一般规律，断续模式反激变换器在最小负载电流时应当仔细测试稳定性（最大R o ）。
下面作p6-p5-p3-p7误差放大器幅频特性。在图6.45(a)中，任意选择R 1=1000Ω。由图6.46可以看到P3点 的增益是38dB,即额定增益为79倍。因此R 2/R 1=79,即R 2=79k Ω。P3极点为1kHz ，C 2=(2πf p R 2),即C 2=2nF 。误差放大器在300Hz 的零点，C 1==(2πf z R 2)-1=6.7nF 。
因为输出电路的单极点特性，其绝对最大相移是90°.但存在ESR 零点，在断续模式反激变换器中，极少出现相位裕度问题。考虑到R o =0.5Ω情况，在f c 0(10kHz)由于64Hz 的极点和ESR 在2.5kHz 的零点，滞后角为 6.13766.89)25000
10000(tan )6410000(tan )tan )(tan 11101=-=-=-=----z p p c f f f f ?° 而误差放大器由于300Hz 零点和1000Hz 极点在10kHz 的滞后角（参看图6.47中曲线p6-p5-p3-p7）为 90-868488901000
10000tan 30010000tan 1=+-=+-° 因此，在10kHz 的总相位滞后为13.6+86=100°。在f c0的相位裕度为180-100=80°.
6.4.19 误差放大器的跨导
通常应用的许多芯片（1524,1525,1526系列）含有跨导运算放大器。跨导g m 等于单位输入电压变化引起的输出电流的变化，即 in
o m dU dI g = 于是在输出端与地之间并联的阻抗Z o 有
o m o o o Z g Z dI dU ==
则电压增益G 为 o m in
o Z g dU dU G == 空载时，1524,1525,1526系列放大器通常直流增益为80dB ，在300Hz 有一个极点，然后以斜率-20dB/dec 衰减。如图6.50a 曲线ABCD 所示。
并联在输出端和地之间的纯阻性R o 的幅频特性是一个常数，并等于g m R o ，一直到与图6.47(a)中ABDC 曲线相交的频率。1524,1525,和1526 系列的g m 一般为2mA/V 。如电阻R o =500k,50k 和30k 时，增益分别为1000,100和60,如图6.50a 中p1-p2,p3-p4和p5-p6。
在大多数情况下，需要应用2型误差放大器幅频特性。这很容易用图6.47(b)中输出与地之间并联网络实现。在低频时，X c 1远远大于R 1,因此C 1有效，与C 2并联，再与内部引起300Hz 开环极点的内部100p 并联。这将300Hz 极点移到较低频率，而且这那个较低频率以后增益以斜率-20dB/dec 衰减。在频率f z (=1/2πR 1C 1)时，X c 1=R 1,有一个零点，且增益斜率转向水平，增益为g m R 1。频率提高，在频率f p =1/2πR 1C 2，X c 2=R 1极点使斜率转向-1.图6.47(b)电路的幅频特性如图6.47(c)所示。
更加普遍的情况，1524,1535,1526系列PWM 芯片的误差放大器的幅频特性用上面提到的图6.50b 输出到地网络，而不是采用一般运算放大器方式整形。用并联到地的图 6.47(b)的网络，而不是像普通运放反馈到反相输入端，R 1在数值上有限制。在上面提到的芯片内部误差放大器不能够灌进或拉出大于100μA 电流。对于0~3V 的PWM 调制器，误差放大器输出由于电网或负载突然变化，可能由三角
波底部移到顶部3V电压。因此R1要是小于30kΩ，3V快速偏摆要求大于100μA，这样相应快速负载和电网变化速度延缓了。因为100μA限制了输出电流，许多设计者不应用PWM芯片内部误差放大器。因为芯片内部输出引出一个输出脚，有些应用一个更好的外部误差放大器，且连接到芯片误差放大器的输出端口的相应脚上。
A
p5 p6 f z f p
B
2 3 4 5 6
f/Hz
（a） (c)
图6.47 1524,1525系列PWM芯片误差放大器开环空载幅频特性
但是，采用芯片内部误差放大器从成本来说是重要的。输出滤波的计算指出在f c0滤波器衰减与误差放大器匹配上如此之低。R1必定小于30kΩ。如果发生这种情况，为了匹配人为的增加输出滤波在f c0损耗，R1可以增加到30k。可以很容易通过增加输出滤波电感或电容，将它的极点频率向低频移动，来增加f c0处输出滤波器的衰减。
专题复习之--函数零点问题 （一）零点所在区间问题（存在性，根的分布） 1.函数()lg 3f x x x =+-的零点所在区间为（ ） A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，3) D ．(3，+∞) 变式：函数b x a x f x -+=)(的零点))(1,(0Z n n n x ∈+∈，其中常数b a ,满足 23,32==b a ， 则=n （ ） A. 0 B.1 C.2- D.1- 2.已知a 是实数，函数2 ()223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在区间[]11-，上有零点，则a 的取值范围是____________． （二）零点个数问题（重点，常用数形结合） 3.函数()44f x x x = ++-的零点有 个. 4.讨论函数2()1f x x a =--的零点个数. 5.若存在区间[,]a b ,使函数[]()2(,)f x k x x a b =+ +∈的值域是[,]a b ,则实数k 的范围 是__________. 6. 已知偶函数)(x f 满足)()2(x f x f =-,且当10<≤x 时，x x f =)(,则x x f lg )(=的零点个数是________. 7.（选作思考）函数f （x ）=234 20122013123420122013x x x x x x ??+-+-+-+ ?? ? cos2x 在区间[-3，3]上的零点的个数为_________.
（三）复合函数与分段函数零点问题（由里及外，画图分析） 8.已知函数???<≥=) 0()-(log )0(3)(3x x x x f x ，函数)()()()(2R t t x f x f x g ∈++=.关于)(x g 的 零点，下列判断不正确．．． 的是（ ） A.若)(,41x g t =有一个零点 B.若)(,4 12-x g t <<有两个零点 C.若)(,2-x g t =有三个零点 D.若)(,2-x g t <有四个零点 变式一：设定义域为R 的函数1251,0()44,0 x x f x x x x -?-≥?=?++0)()-2(0) x x f x x x x ?=?-≤? 则关于x 的函数1)(3-)(2y 2+=x f x f 的零点的个数为______. 变式三：已知函数(0)()lg()(0) x e x f x x x ?≥=?-0 B. b >-2且c <0 C. b <-2且c =0 D. b 2c=0≥-且
导函数零点问题 一．方法综述 导数是研究函数性质的有力工具，其核心又是由导数值的正、负确定函数的单调性．应用导数研究函数的性质或研究不等式问题时，绕不开研究()f x 的单调性，往往需要解方程()0f x '＝.若该方程不易求解时，如何继续解题呢？在前面专题中介绍的“分离参数法”、“构造函数法”等常见方法的基础上，本专题举例说明“三招”妙解导函数零点问题. 二．解题策略 类型一 察“言”观“色”，“猜”出零点 【例1】【2020·福建南平期末】已知函数()() 2 1e x f x x ax =++. （1）讨论()f x 的单调性； （2）若函数()() 2 1e 1x g x x mx =+--在[)1,-+∞有两个零点，求m 的取值范围. 【分析】（1）首先求出函数的导函数因式分解为()()()11e x f x a x x =++'+，再对参数a 分类讨论可得； （2）依题意可得()()2 1e x g x m x =+'-，当0m …函数在定义域上单调递增，不满足条件； 当0m >时，由（1）得()g x '在[)1,-+∞为增函数，因为()01g m '=-，()00g =.再对1m =，1m >， 01m <<三种情况讨论可得. 【解析】（1）因为()() 2 1x f x x ax e =++，所以()()221e x f x x a x a ??=+++??'+， 即()()()11e x f x a x x =++'+. 由()0f x '=，得()11x a =-+，21x =-. ①当0a =时，()()2 1e 0x f x x =+'…，当且仅当1x =-时，等号成立. 故()f x 在(),-∞+∞为增函数. ②当0a >时，()11a -+<-， 由()0f x >′得()1x a <-+或1x >-，由()0f x <′得()11a x -+<<-； 所以()f x 在()() ,1a -∞-+，()1,-+∞为增函数，在()() 1,1a -+-为减函数.
高中数学专题练习-函数零点问题 [题型分析·高考展望] 函数零点问题是高考常考题型，一般以选择题、填空题的形式考查，难度为中档.其考查点有两个方面：一是函数零点所在区间、零点个数；二是由函数零点的个数或取值范围求解参数的取值范围. 常考题型精析 题型一 零点个数与零点区间问题 例1 (1)(·湖北)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( ) A.{1,3} B.{－3，－1,1,3} C.{2－7，1,3} D.{－2－7，1,3} (2)(2015·北京)设函数f (x )＝??? 2x －a ，x ＜1，4(x －a )(x －2a )，x ≥1. ①若a ＝1，则f (x )的最小值为________； ②若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________. 点评 确定函数零点的常用方法： (1)若方程易求解时，用解方程判定法； (2)数形结合法，在研究函数零点、方程的根及图象交点的问题时，当从正面求解难以入手时，可以转化为某一易入手的等价问题求解，如求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角函数式等较复杂的函数零点问题，常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解. 变式训练1 (·东营模拟)[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5.已知f (x )＝x －[x ](x ∈R )，g (x )＝log 4(x －1)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 题型二 由函数零点求参数范围问题 例2 (·天津)已知函数f (x )＝??? |x 2＋5x ＋4|，x ≤0，2|x －2|，x >0. 若函数y ＝f (x )－a |x |恰有4个零点，则实数 a 的取值范围为________. 点评 利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法：
复合函数零点问题专题训练 1．定义域和值域均为[-a,a](常数a>0)的函数y=f(x)和y=g(x)的图像如图所示，给出下列四个命题中： (1)方程f[g(x)]=0有且仅有三个解；(2)方程g[f(x)]=0有且仅有三个解；(3)方程f[f(x)]=0有且仅有九个解；(4)方程g[g(x)]=0有且仅有一个解。 那么，其中正确命题的个数是 () A ．1 B.2 C.3 D.4(第1 题图) 解：选B.（1）方程f[g （x ）]=0有且仅有三个解；g （x ）有三个不同值，由于y=g （x ）是减函数，所以有三个解，正确； （2）方程g[f （x ）]=0有且仅有三个解；从图中可知，f （x ）∈（0，a ）可能有1，2，3个解，不正确； （3）方程f[f （x ）]=0有且仅有九个解；类似（2）不正确； （4）方程g[g （x ）]=0有且仅有一个解．结合图象，y=g （x ）是减函数，故正确．2.已知函数1)(+=x xe x f ， 若函数2)()(2 ++=x bf x f y 恰有四个不同的零点，则实数b 的取值范围是 （ ） A.) 22,(--∞ B.) 2,3(-- C.) 3,(--∞ D.(] 2 2,3--解：用求导方法得，f(x)在x =－1取得最大值1，在x=0取得最小值0，故0
函数零点的求法及零点的个数 题型1：求函数的零点。 [例1] 求函数 222 3+--=x x x y 的零点. [解题思路]求函数 222 3+--=x x x y 的零点就是求方程 0222 3=+--x x x 的根 [解析]令 32 220x x x --+=，∴ 2(2) (2) x x x --- = ∴(2)(1)(1)0x x x --+=，∴112x x x =-==或或 即函数222 3 +--=x x x y 的零点为-1，1，2。 [反思归纳] 函数的零点不是点，而是函数函数 ()y f x =的图像与x 轴交点的横坐标，即零点是 一个实数。 题型2：确定函数零点的个数。 [例2] 求函数f(x)=lnx ＋2x －6的零点个数. [解题思路]求函数f(x)=lnx ＋2x －6的零点个数就是求方程lnx ＋2x －6=0的解的个数 [解析]方法一：易证f(x)= lnx ＋2x －6在定义域(0,)+∞上连续单调递增， 又有(1)(4)0f f ?<，所以函数f(x)= lnx ＋2x －6只有一个零点。 方法二：求函数f(x)=lnx ＋2x －6的零点个数即是求方程lnx ＋2x －6=0的解的个数 即求ln 62y x y x =?? =-?的交点的个数。画图可知只有一个。 [反思归纳]求函数)(x f y =的零点是高考的热点，有两种常用方法： ①（代数法）求方程0)(=x f 的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点。 题型3：由函数的零点特征确定参数的取值范围 [例3] (2007·广东)已知a 是实数,函数 ()a x ax x f --+=3222,如果函数()x f y =在区 间[]1,1-上有零点，求a 的取值范围。 [解题思路]要求参数a 的取值范围，就要从函数()x f y =在区间[]1,1-上有零点寻找关于参数 a 的不等式（组），但由于涉及到a 作为2 x 的系 数，故要对a 进行讨论 [解析] 若0a = , ()23f x x =- ,显然在 []1,1-上没有零点, 所以 0a ≠. 令 ()248382440 a a a a ?=++=++=, 解得 37 2a -±= ①当 37 2a --= 时, ()y f x =恰有一个零 点在[ ] 1,1-上; ②当()()()()05111<--=?-a a f f ，即15a <<时， () y f x =在[ ] 1,1-上也恰有一个零点。 ③当()y f x =在[ ] 1,1-上有两个零点时, 则 ()()20824401 1121010a a a a f f >? ??=++>??-<-??-<-
专题2.函数的零点 高考解读 求方程的根、函数的零点的个数问题以及由零点存在性定理判断零点是否存在，利用函数模型解决实际问题是高考的热点；备考时应理解函数的零点，方程的根和函数的图象与x 轴的交点的横坐标的等价性；掌握零点存在性定理．增强根据实际问题建立数学模型的意识，提高综合分析、解决问题的能力． 知识梳理 1．函数的零点与方程的根 (1)函数的零点 对于函数f (x )，我们把使f (x )＝0的实数x 叫做函数f (x )的零点． (2)函数的零点与方程根的关系 函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的根，即函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝g (x )的图象交点的横坐标． (3)零点存在性定理 如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )使得f (c )＝0, 这个c 也就是方程f (x )＝0的根．注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点． (4)二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解． 2．在求方程解的个数或者根据解的个数求方程中的字母参数的范围的问题时，数形结合是基本的解题方法，即把方程分拆为一个等式，使两端都转化为我们所熟悉的函数的解析式，然后构造两个函数f (x )，g (x )，即把方程写成f (x )＝g (x )的形式，这时方程根的个数就是两个函数图象交点的个数，可以根据图象的变化趋势找到方程中字母参数所满足的各种关系. 高频考点突破 考点一 函数的零点判断 例1、【2017课标3，理11】已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a = A ．1 2 - B ．13 C ．12 D ．1 【变式探究】(1)函数f (x )＝e x ＋1 2 x －2的零点所在的区间是( ) A. )2 1 ,0( B.)1,2 1( C ．(1,2) D ．(2,3) (2)已知偶函数y ＝f (x )，x ∈R 满足：f (x )＝x 2－3x (x ≥0)，若函数g (x )＝????? log 2x ，x >0，－1x ，x <0，则y ＝f (x )－g (x )的零点个数为( ) A ．1 B ．3 C ．2 D ．4 【方法技巧】函数零点的求法 (1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且
高中数学-函数零点问题及例题解析 一、函数与方程基本知识点 1、函数零点：（变号零点与不变号零点） （1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫函数)(x f y =的零点。 （2）方程0)(=x f 有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。 若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是连续的曲线，则0)()(f ，所以由根的存在性定理可知，函数x x x f 2 )1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（1，2），选B （二）求解有关函数零点的个数（或方程根的个数）问题。 函数零点的存在性定理，它仅能判断零点的存在性，不能求出零点的个数。对函数零点的个数问题，我们可以通过适当构造函数，利用函数的图象和性质进行求解。如：
2019届高三数学专题练习之函数零点 1．零点的判断与证明 例1：已知定义在()1,+∞上的函数()ln 2f x x x =--， 求证：()f x 存在唯一的零点，且零点属于()3,4． 2．零点的个数问题 例2：已知函数()f x 满足()()3f x f x =，当[)1,3x ∈，()ln f x x =，若在区间[)1,9内， 函数()()g x f x ax =-有三个不同零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．ln 31,3e ?? ??? B ．ln 31,93e ?? ??? C ．ln 31,92e ?? ??? D ．ln 3ln 3,93?? ??? 3．零点的性质 例3：已知定义在R 上的函数()f x 满足：()[)[) 22 2 0,121,0x x f x x x ?+∈?=?-∈-??，且()()2f x f x +=， ()25 2 x g x x += +，则方程()()f x g x =在区间[]5,1-上的所有实根之和为（ ） A ．5- B ．6- C ．7- D ．8- 4．复合函数的零点 例4：已知函数()243f x x x =-+，若方程()()2 0f x bf x c ++=????恰有七个不相同的实根， 则实数b 的取值范围是（ ） A ．()2,0- B ．()2,1-- C ．()0,1 D ．()0,2 一、选择题 1．设()ln 2f x x x +-=，则函数()f x 的零点所在的区间为（ ） A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()2,3 D ．()3,4
2．已知a 是函数()12 log 2x x f x =-的零点，若00x a <<，则()0f x 的值满足（ ） A ．()00f x = B ．()00f x > C ．()00f x < D ．()0f x 的符号不确定 3．函数2 ()2f x x a x =--的一个零点在区间()1,2内，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,3 B ．()1,2 C ．()0,3 D ．()0,2 4．若a b c <<，则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a -----+-=+的两个零点分别位于区间（ ） A ．(),a b 和(),b c 内 B ．(,)a -∞和(),a b 内 C ．(),b c 和(),c +∞内 D ．(,)a -∞和(),c +∞内 5．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()e 3x f x x =+-，则()f x 的零点个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6．函数()22 01ln 0 x x x x x f x ?+-≤=? -+>?的零点个数为（ ） A ．3 B ．2 C ．7 D ．0 7．已知函数()101 x x x f x ≤?? =?>??，则使方程()x f x m +=有解的实数m 的取值范围是（ ） A ．()1,2 B ．(],2-∞- C ．()(),12,-∞+∞ D ．(][),12,-∞+∞ 8．若函数()312f x ax a +-=在区间()1,1-内存在一个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．1,5?? +∞ ??? B ．() 1,1,5?? -∞-+∞ ???
函数零点问题的求解 【教学目标】 知识与技能： 1.理解函数零点的定义以及函数的零点与方程的根之间的联系，掌握用连续函数 零点定理及函数图像判断函数零点所在的区间与方程的根所在的区间. 2.结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和所在区间法. 3.能根据函数零点的情况求参数的取值范围. 过程与方法： 1.函数零点反映了函数和方程的联系，函数零点与方程的根能相互转化，能把方程问题合理 转化为函数问题进行解决. 2.函数的零点问题的解决涉及到分类讨论,数形结合,化归转化等数学思想方法,有效提升了 学生的数学思想方法的应用. 情感、态度与价值观: 1.培养学生认真、耐心、严谨的数学品质； 2.让学生在自我解决问题的过程中，体验成功的喜悦. 【教学重点】 理解函数的零点与方程根的关系，形成用函数观点处理问题的意识. 【教学难点】 根据函数零点所在的区间求参数的取值范围 【教学方法】 发现、合作、讲解、演练相结合. 【教学过程】 一、引例 （1）．函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是（ ）． A.()2,1-- B.()1,0- C.()0,1 D.()1,2 解法一:代数解法 解：(1)．因为()0 0e 0210f =+-=-<，()1 1e 12e 10f =+-=->， 所以函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是()0,1．故选C. 二、 基础知识回顾 1．函数零点概念 对于函数()y f x =，把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点． 2. 零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[]a,b 上的图象是连续不断一条曲线，并且有
1 利用导数解决函数零点问题(第二轮大题) 这是一类利用导数解决函数零点的问题,解决这类问题的一般步骤是:转化为所构造函数的零点问题(1)求导分解定义域(2)导数为零列表去,(先在草稿纸进行)(3)含参可能要分类 (4)一对草图定大局(零点判定定理水上水下，找端点与极值点函数值符号) 目标:确保1分,争取2分,突破3分. (一)课前测试 1.(2015年全国Ⅰ卷,21)设函数x a e x f x ln )(2-=. (1)讨论)(x f 的导函数)(x f '零点的个数; (二)典型例题 2.(2017年全国Ⅰ卷,21)已知函数 e a ae x f x x -+=)2()(2(2)若0>a 且)(x f 有两个零点,求a 的取值范围. 注： ①求导分解定义域，这1分必拿， )0)(2(1 )(2>-= 'x a xe x x f x ②草稿纸上令0)(='x f ，构造函数)0(2)(>-=x a xe x g x ，重复上 面步骤， 042)(22>+='x x xe e x g ， )(x g 在),0(+∞递增 ③草图 a g -=)0(， +∞→+∞→)(x g x 时。 一定要用零点判定定理确定零点个数 )(x f ' )(x f
2 (三)强化巩固 3.(2017年全国Ⅱ卷,21)(2)证明:x x x x x f ln )(2--=存在唯一 的极大值点0x ,且2022)(--< 第11练 函数零点的性质 一、基础知识： 1、函数零点，方程，图像交点的相互转化：有关零点个数及性质的问题会用到这三者的转化，且这三者各具特点： （1）函数的零点：有“零点存在性定理”作为理论基础，可通过区间端点值的符号和函数的单调性确定是否存在零点 （2）方程：方程的特点在于能够进行灵活的变形，从而可将等号两边的表达式分别构造为两个可分析的函数，为作图做好铺垫 （3）图像的交点：通过作图可直观的观察到交点的个数，并能初步判断交点所在区间。 三者转化：函数()f x 的零点?方程()0f x =的根???? →方程变形 方程()()g x h x =的根?函数()g x 与()h x 的交点 2、此类问题的处理步骤： （1）作图：可将零点问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题，并作出函数图像 （2）确定变量范围：通过图像与交点位置确定参数和零点的取值范围 （3）观察交点的特点（比如对称性等）并选择合适的方法处理表达式的值， 3、常见处理方法： （1）代换法：将相等的函数值设为t ，从而用t 可表示出12,,x x ，将关于12,, x x 的表达 式转化为关于t 的一元表达式，进而可求出范围或最值 （2）利用对称性解决对称点求和：如果12,x x 关于x a =轴对称，则122x x a +=；同理，若12,x x 关于(),0a 中心对称，则也有122x x a +=。将对称的点归为一组，在求和时可与对称轴（或对称中心）找到联系 二、典型例题： 例1：已知函数()lg f x x =，若0a b <<，且()()f a f b =，则2a b +的取值范围是（ ） A. () +∞ B. ) ?+∞? C. ()3,+∞ D. [)3,+∞ 专题五挖掘“隐零点”，破解导数压轴题 函数方程思想是一种重要的数学思想方法，函数问题可以利用方程求解，方程解的情况可借助于函数的图象和性质求解.高考命题常常以基本初等函数为载体，主要考查以下三个方面：（1）零点所在区间——零点存在性定理；（2）二次方程根的分布问题；（3）判断零点的个数问题；（4）根据零点的情况确定参数的值或范围；（5）根据零点的情况讨论函数的性质或证明不等式等.本专题围绕利用函数的“隐零点”，破解导数压轴问题，例题说法，高效训练. 【典型例题】 类型一挖掘“隐零点”，求参数的最值或取值范围 例1.【浙江省杭州第十四中学2019届高三12月月考】设函数,曲线y=f(x)在x=1处的切线与直线y=3x平行. (1)判断函数f(x)在区间和上的单调性，并说明理由; (2)当时,恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）区间单调递增；（2） 【解析】 （1）.∵f'(1)=1+b=3,∴b=2,则f'(x)=ln x+4x-1. 因为在单调递增，所以当时 即函数f(x)在区间单调递减；当时 即函数f(x)在区间单调递增； （2）因为，而在（0，1）上递增 存在使得 ，当 时单调递减； 当时 单调递增 所以 又因为时则 所以则 类型二 挖掘“隐零点”，证明不等式 例2. 设函数2()ln x f x e a x =-，设()2 0,2a e ∈求证：当(]0,1x ∈时，2()2ln f x a a a ≥+ 【答案】见解析 【解析】()f x 的定义域为(]0,1，222'()2x x a xe a f x e x x -=-= 设2()2x x xe a ?=-，()22()242x x x xe x e ?'==+， 当(]0,1x ∈，()0x ?'>，即()x ?在区间(]0,1为增函数， (2(),2x a e a ??∈--? 又因为( )2 0,2a e ∈，所以2 (0)0,(1)20a e a ??=-<=-> 由零点存在定理可知'()f x 在(]0,1的唯一零点为0x 当0(0,)x x ∈时，'()0f x <，当(]0,1x x ∈，'()0f x > 故()f x 在0(0,)x 单调递减，在(]0,1x 单调递增， 所以当0x x =时，()f x 取得最小值，最小值为0200()ln x f x e a x =-， 由0 2020x x e a -=，即0 202x a e x = ，两边去对数得00ln ln 22 a x x =- 由于，所以00000222()2ln 22ln 2ln 22a a f x ax a ax a a a x a x a a = ++≥?=+ 函数的零点及判断零点个数提高题 1．已知函数()22,52,x x a f x x x x a +>?=?++≤?，函数()()2g x f x x =-恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)1,1- B ．[]0,2 C ．[)2,2- D ．[)1,2- 【答案】D ． 【解析】 22()()232x x a g x f x x x x x a -+>?=-=?++≤?，而方程20x -+=的解为2，方程 2320x x ++=的解为1-或2-，所以?? ???≤-≤-->，当1x ≤-?1x -≥，又f （x ）为奇函数， ∴0x <时， ()(] 12log (1),1,0()()13,,1x x f x f x x x ?--+∈-?=--=??-+--∈-∞-?，（也可以不求解析式，依 据奇函数的图象关于原点对称，画出y 轴左侧的图象），画出y =f （x ），y =a （01a <<）的图象，如图 共有5个交点，设其横坐标从左到右分别为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，则45123,322 x x x x ++=-= 函数零点问题 【教学目标】 知识与技能： 1. 理解函数零点的定义以及函数的零点与方程的根之间的联系，掌 握用连续函数零点定理及函数图像判断函数零点所在的区间与方程的根所在的区间. 2. 结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和 所在区间法. 3.能根据函数零点的情况求参数的取值范围. 【教学重点】 理解函数的零点与方程根的关系，形成用函数观点处理 问题的意识. 【教学难点】 根据函数零点所在区间求参数的取值范围 【教学方法】 发现、合作、讲解、演练相结合. 一、引例 （1）．函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是（ ）． A.()2,1-- B.()1,0- C.()0,1 D.()1,2 解法一:代数解法 解：(1)．因为()00e 0210f =+-=-<，()1 1e 12e 10f =+-=->， 所以函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是()0,1．故选C. 二、 基础知识回顾 1．函数零点概念 对函数()y f x =，把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点． 2.零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[]a,b 上的图象是连续不断一条曲线，并且有()()0f a f b ?<，那么，函数()y f x =在区间()a,b 内有零点.即存在()c a,b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根. 问题2:函数2 ()68f x x x =-+在区间[][][]1,3, 0,1, 1,5有零点吗 引例除了用零点基本定理,还有其他方法可以确定函数零点所在的区间吗 解法二:几何解法 (1). ()e 2 x f x x =+- 可化为2x e x =-+． 含参函数的零点问题 含参函数的零点问题常以超越方程、分段函数等为载体，达到考察函数性质、函数零点的个数、参数的范围和通过函数性质求解不等式问题等目的．要注意函数的零点、方程的根、不等式的解集三者之间的关系，进行彼此之间的转化是解决该类题的关键，等价转化是这类问题的难点．解决该类问题的途径往往是根据函数的性质作出示意图，利用数形结合研究分界位置，结合函数、方程、不等式刻画边界位置，其间要注意导数的应用． 例1已知函数f (x )＝x 2＋ax (a ∈R)，g (x )＝????? f (x )， x ≥0，f ′(x )， x <0.若方程g (f (x ))＝0有4 个不等的实根，则a 的取值范围是________． 例2(1) 若关于x 的方程|x 4－x 3 |＝ax 在R 上存在4个不同的实根，则实数a 的取值范围为________． (2) 已知函数f (x )＝x 2＋|x －a |，g (x )＝(2a －1)x ＋a ln x ，若函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )的图象恰好有2个不同的交点，则实数a 的取值范围为________． 思维变式题组训练 1. 已知函数f (x )＝??? 2x －1， x ≥2，2， 1≤x < 2. 若方程f (x )＝ax ＋1恰有一个解时，则实数 a 的取值范围为________． 2. 设函数f (x )＝????? x －1e x ， x ≥a ，－x －1， x 0，若关于x 的方程f (x )＝kx ＋2有且只 有4个不同解，则实数k 的取值构成的取值集合为________． 强化训练 1. 若方程ln x ＋x －4＝0在区间(a ，b )(a ，b ∈Z ，且b －a ＝1)上有一根，则a 的值为________． 函数零点问题专题 集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988） 专题复习之--函数零点问题 （一）零点所在区间问题（存在性，根的分布） 1.函数()lg 3f x x x =+-的零点所在区间为（ ） A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，3) D ．(3，+∞) 2.已知a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在区间 []11-，上有零点，则a 的取值范围是____________． （二）零点个数问题（重点，常用数形结合） 3.函数()4f x x =+-的零点有 个. 4.讨论函数2()1f x x a =--的零点个数. 5. 若存在区间[,]a b ,使函数[]()(,)f x k x a b =∈的值域是[,]a b ,则实数k 的范围是__________. 6. 已知偶函数)(x f 满足)()2(x f x f =-,且当10<≤x 时，x x f =)(,则x x f lg )(=的零点个数是________. （三）复合函数与分段函数零点问题（由里及外，画图分析） 7：设定义域为R 的函数2lg (>0)()-2(0) x x f x x x x ?=?-≤? 则关于x 的函数1)(3-)(2y 2+=x f x f 的零点的个数为______. 8：已知函数(0)()lg()(0)x e x f x x x ?≥=?- 函数零点问题 【教学目标】 知识与技能： 1. 理解函数零点的定义以及函数的零点与方程的根之间的 联系，掌握用连续函数零点定理及函数图像判断函数零点所在的区间与方程的根所在的区间. 2. 结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点 个数和所在区间法. 3.能根据函数零点的情况求参数的取值范围. 【教学重点】 理解函数的零点与方程根的关系，形成用 函数观点处理问题的意识. 【教学难点】 根据函数零点所在区间求参数的取值范围 【教学方法】 发现、合作、讲解、演练相结合. 一、引例 （1）．函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是（ ）． A.()2,1-- B.()1,0- C.()0,1 D.()1,2 解法一:代数解法 解：(1)．因为()00e 0210f =+-=-<，()11e 12e 10f =+-=->， 所以函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是()0,1．故选C. 二、 基础知识回顾 1．函数零点概念 对函数()y f x =，把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点． 2.零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[]a,b 上的图象是连续不断一条曲线，并且有()()0f a f b ?<，那么，函数()y f x =在区间()a,b 内有零点.即存在()c a,b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根. 有零点吗? 引例除了用零点基本定理,还有其他方法可以确定函数零点所在的区间吗? 解法二:几何解法 (1). ()e 2x f x x =+- 可化为2x e x =-+． 画出函数x y e =和 2y x =-+的图象，可观察得出C 正确. ) )0=有实数根 图像有交点. 高中数学2017-2018高三专题复习 -函数（3）函数零点问题及例题解析 一、函数与方程基本知识点 1、函数零点：（变号零点与不变号零点） （1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫函数)(x f y =的零点。 （2）方程0)(=x f 有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。 若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是连续的曲线，则0)()(f ，所以由根的存在性定理可知，函数x x x f 2 )1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（1，2），选B （二）求解有关函数零点的个数（或方程根的个数）问题。 高中数学常见题型解法归纳 函数的零点个数问题的求解方法 【知识要点】 一、方程的根与函数的零点 （1）定义：对于函数()y f x =（x D ∈），把使f(x)=0成立的实数x 叫做函数()y f x =（x D ∈）的零点.函数的零点不是一个点的坐标，而是一个数，类似的有截距和极值点等. （2）函数零点的意义：函数()y f x =的零点就是方程f(x)=0的实数根，亦即函数()y f x =的图像与x 轴的交点的横坐标，即：方程f(x)=0有实数根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点. （3）零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有 0)()(
第11讲 函数零点的性质问题
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