第三章
指数函数与对数函数总复习
教学目标:
1、 知识与技能 (1) 理解有理数指数幂的含义,掌握幂的运算性质 (2) 理解指数函数的概念和性质,能画出指数函数的图像 (3) 通过实例,了解指数函数模型背景 (4) 理解对数的概念及运算性质,会灵活运用换底公式 (5) 理解对数函数的概念和性质,能画出对数函数的图像 (6) 通过实例,了解对数函数模型背景 (7) 知道指数函数与对数函数互为反函数,理解互为反函数的两个函数的定义域与值域的关系, 以及会求一个函数的反函数。 (8) 体会三种函数的增长率。
2、 过程与方法
让学生结合实际问题,感受运用函数概念建立模型的过程与方法。 3、 情感、态度与价值 (1) 通过本章的学习,充分认识到数学的应用价值 (2) 培养学生的观察问题、分析问题的能力 (3) 体会函数与方程、数形结合、分类讨论等数学思想方法。
教学重点:1.指数函数与对数函数的概念
2.指数函数与对数函数的图像、性质和运算性质
3.函数增长快慢的比较
教学难点:指数函数与对数函数的图像及性质的应用
(0,,)()(0,,)()(0,0,)(01)1lo m n a n a r s r s a a a a r s Q r s rs a a a r s Q r r s ab a b a b r Q x y a a a x =+=>∈=>∈=>>∈=>≠=????????
??
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为根指数,为被开方数分数指数幂指数的运算指数函数性质定义:一般地把函数且叫做指数函数。指数函数性质:见表对数:基本初等函数对数的运算对数函数g ,log ()log log ;log log log ;.log log ;(0,1,0,0)log log (01)1log (,0,1,0)log c a c N a N a M N M N a a a M M N a a a N n M n M a a M N a a y x a a a b b a c a c b a ?=+=-=>≠>>=>≠??????????
????
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???
=>≠>????????
为底数,为真数性质换底公式:定义:一般地把函数且叫做对数函数对数函数性质:见表且y x x α
α???????
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????
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???????????
??
????????=??
???
幂函数定义:一般地,函数叫做幂函数,是自变量,是常数。性质:见表2
题型一:指数式、对数式的运算(换底公式) 1、计算
(1)2
1
0319)4
1()2(4)21(----+-?-
(2
)2
93
2
-
(3)
()2
81lg500lg lg6450lg 2lg552
+-++ (4)100011
3
43460022++-++-lg .lg lg lg lg . 2、化简
(1)2115113
3
6
6
2
2
(2)(6)(3)a b a b a b -÷- (2
)
2
(3);8
lg 3
2
36.0lg 23
lg 38lg 2+++ (4))10(2log 3.0log 2
1
1000
log 8log 27log ≠+-+a a a a a a 3、求值
(1)已知12x =3,12y =2,求y
x x +--1218
的值
(2)若1,0a b >
<,且b b a a -+=则b b a a --的值等于
(3)已知),0(56>-=a a x
求x
x x
x a a a a ----33的值。
题型二:定义域、值域及最值(反函数) 1.函数121
8
x y -=的定义域是______;值域是______.
2.函数2281
1(31)3x x y x --+??
=- ?
??
≤≤的值域是 。
3.求函数11
()()142
x x y =-+在[]3,2x ∈-上的值域。
4.已知,3234+?-=x x y 当其值域为[1,7]时,求x 的取值范围。
5.求函数2()log x f x -=
6.已知函数()log ()x a f x a a =-(1)a >,求()f x 的定义域和值域;
7.若函数y=log 2(kx 2+4kx +3)的定义域为R ,则实数k 的取值范围是_____。 8.若函数y=lg (ax 2+2x+1)的值域为R ,则实数a 的取值范围为_ _。 9.设函数24log (1)(3)y x x =+-≥,则其反函数的定义域为_ 。 10.函数()3(02)x f x x =<≤的反函数的定义域为 。 题型三:比较大小
1.比较同真数不同底数的对数大小(图像法,换底公式推论1,中间值)
2.比较同底数不同真数的对数大小(对数函数单调性,作差法)
3.比较真数底数都不同的对数大小(中间值)
4.比较同底数不同指数的幂大小(指数函数单调性,作商法)
5.比较同指数不同底数的幂大小(幂函数单调性,作商法)
6.比较指数底数都不同的幂大小(中间值,作商法,对数法)
7.幂与对数比较大小(中间值)
方法:作差法、作商法、利用函数单调性、中间值、函数图像、对数法 1.比较下列各组数的大小
(1)5
.27.1与1
.37.1 (2)61)43(与5
1)3
4(- (3)31a 与)10(21
≠>a a a 且 (4)
3.07.1与2.08.1- (5)21)35(-与21
)5
2( (6)5.02.0与3
.04.0 (7)32与2
3
(8)1618与1816
(9)3.2log 2.1与3.2log 1.1 (10)8
7
)32(-
与41log 9 (11)22ln 与33ln
题型四:图像及性质、单调性、奇偶性
1. 设a 为实数,f (x )=a -2
2x +1
(x ∈R).(1)证明f (x )在R 上为增函数;
(2)试确定a 的值,使f (x )为奇函数.
2.函数y=log a (-x 2-4x+12)(0<a <1))的单调递减区间是
3.函数y =log 2
1(x 2-ax +3a )在[2,+∞)上是减函数,则a 的取值范围是
4.若1
log 12
a
<,则实数a 的取值范围是 5.已知x y a log =在[2,4]上的最大值比最小值大1,求实数a 的值. 6.函数y=log 2(1-x)的图象是
7. 已知函数)(x f y =是奇函数,当0≥x 时,13)(-=x x f ,设)(x f 的反函数是)(x g y =,
则=-)8(g
8. 设10< 1()1()(log 22--=a x x a x f a (1)求)(x f ; (2)求证:)(x f 在R 上为增函数. 题型五:指数函数、对数函数与不等式 设1a >,则()()()()f x g x a a f x g x <; ()()()()log log 0a a f x g x f x g x <<. 设01a << ,则()()()()f x g x a a f x g x >;()()()()log log 0a a f x g x f x g x >>. 1.已知对一切21<<-x ,不等式0)2 1(22 >+-a x x 成立,求实数a 的取值范围。 2.解不等式1222 ++ 3.求不等式log (27)log (41)(0,1)a a x x a a +>->≠且中x 的取值范围 4.若x ∈(1,2)时,不等式(x-1)2 1.若方程021411 =+? ? ? ??+??? ??-a x x 有正数解,则实数a 的取值范围是 2.关于x 方程)1,0(22≠>++-=a a a x x a x 且 的解的个数是 3.设a 是实数,试讨论关于x 的方程lg (x-1)+lg (3-x )=lg (a-x )的实根的个数. 解 原方程可化为?? ? ??-=--?-?-x a x x x x )3)(1(0301 即???=-+-??a x x x 35312 作出y=-x 2+5x-3(1<x <3)及y=a 的图像如右. 当x=1时y=1,当x=3时y=3,当x=25时y max =4 13 由图像知 ①当a >4 13 或a ≤1时,两曲线无公共点,故原方程无实根。 ②当1<a ≤3或a=4 13 时,两曲线有一个公共点,故原方程有一个实根。 ③当3<a <4 13 时,两曲线有两个公共点,故原方程有两个实根。 第二章 函数 三 指数函数与对数函数 【考点阐述】指数概念的扩充.有理指数幂的运算性质.指数函数.对数.对数的运算性质.对数函数. 【考试要求】(4)理解分数指数幂的概念,掌握有理指数幂的运算性质,掌握指数函数的概念、图像和性质.(5)理解对数的概念,掌握对数的运算性质;掌握对数函数的概念、图像和性质.(6)能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 【考题分类】 (一)选择题(共15题) 1.(安徽卷文7)设 232555 322555a b c ===(),(),() ,则a ,b ,c 的大小关系是 (A )a >c >b (B )a >b >c (C )c >a >b (D )b >c >a 【答案】A 【解析】2 5 y x =在0x >时是增函数,所以a c >,2()5x y =在0x >时是减函数,所以c b >。 【方法总结】根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来. 2.(湖南卷文8)函数y=ax2+ bx 与y= ||log b a x (ab ≠0,| a |≠| b |)在同一直角坐标系 中的图像可能是 【答案】D 【解析】对于A 、B 两图,|b a |>1而ax2+ bx=0的两根之和为 -b a ,由图知0<-b a <1得-11矛盾,选D 。 3.(辽宁卷文10)设525b m ==,且112a b +=,则m = (A (B )10 (C )20 (D )100 【答案】 D 解析:选A.211 log 2log 5log 102,10, m m m m a b +=+==∴= 又0,m m >∴= 4.(全国Ⅰ卷理8文10)设a= 3 log 2,b=In2,c=1 2 5 - ,则 A. a>,所以a=>,所以c,从而错选A,这也 是命题者的用苦良心之处. 【解析】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去),或 1b a = ,所以a+2b=2 a a + 又0f(1)=1+2 1=3,即a+2b 的取值范围是(3,+∞). 6.(全国Ⅰ卷文7)已知函数()|lg |f x x =.若a b ≠且,()()f a f b =,则a b +的取值范围是 (A)(1,)+∞ (B)[1,)+∞ (C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞ 【答案】C 【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域,考生在做本小 题时极易忽视a 的取值范围,而利用均值不等式求得a+b=12a a + ≥,从而错选D,这也是命 题者的用苦良心之处. 指数函数和对数函数知识点总结及练习题 一.指数函数 (一)指数及指数幂的运算 n m n m a a = s r s r a a a +=? rs s r a a =)( r r r b a ab =)( (二)指数函数及其性质 1.指数函数的概念:一般地,形如x a y =(0>a 且1≠a )叫做指数函数。 2.指数函数的图象和性质 10<a 6 54321 -1 -4-2 2460 1 6 5 4 3 2 1 -1 -4-2 246 1 定义域 R 定义域 R 值域y >0 值域y >0 在R 上单调递减 在R 上单调递增 非奇非偶函数 非奇非偶函数 定点(0,1) 定点(0,1) 二.对数函数 (一)对数 1.对数的概念:一般地,如果N a x =(0>a 且1≠a ),那么x 叫做以a 为底N 的对数,记作N x a log =,其中a 叫做底数,N 叫做真数,N a log 叫做对数式。 2.指数式与对数式的互化 幂值 真数 x N N a a x =?=log 底数 指数 对数 3.两个重要对数 (1)常用对数:以10为底的对数N lg (2)自然对数:以无理数 71828.2=e 为底的对数N ln (二)对数的运算性质(0>a 且1≠a ,0,0>>N M ) ①MN N M a a a log log log =+ ②N M N M a a a log log log =- ③M n M a n a log log = ④换底公式:a b b c c a log log log =(0>c 且1≠c ) 关于换底公式的重要结论:①b m n b a n a m log log = ②1log log =?a b b a (三)对数函数 1.对数函数的概念:形如x y a log =(0>a 且1≠a )叫做对数函数,其中x 是自变量。 2对数函数的图象及性质 01 32.5 2 1.51 0.5-0.5 -1-1.5-2-2.5 -1 1 23456780 1 1 32.5 2 1.5 1 0.5 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 -1 1 2345678 1 1 定义域x >0 定义域x >0 值域为R 值域为R 在R 上递减 在R 上递增 定点(1,0) 定点(1,0) 指数函数与对数函数专项练习 例1.设a >0, f (x)=x x e a a e -是R 上的奇函数. (1) 求a 的值; (2) 试判断f (x ) 的反函数f -1 (x)的奇偶性与单调性. 解:(1) 因为)x (f 在R 上是奇函数, 所以)0a (1a 0a a 1 0)0(f >=?=-?=, (2) =-?∈++=--)x (f )R x (2 4x x ln )x (f 121 -=++-24x x ln 2=++2 4x x ln 2)x (f 1--, ∴)x (f 1-为奇函数. 用定义法可证)x (f 1 -为单调增函数. 例2. 是否存在实数a, 使函数f (x )=)x ax (log 2a -在区间]4 ,2[上是增函数? 如果存在, 说明a 可以取哪些值; 如果不存在, 请说明理由. 解:设x ax )x (u 2-=, 对称轴a 21 x =. (1) 当1a >时, 1a 0)2(u 2 a 21>??????>≤; (2) 当1a 0<<时, 81a 00)4(u 4 a 21 ≤?? ???>≥. 综上所述: 1a > 1.(安徽卷文7)设 232 555 322555a b c ===(),(),() ,则a ,b ,c 的大小关系是 (A )a >c >b (B )a >b >c (C )c >a >b (D )b >c >a 【答案】A 【解析】2 5 y x =在0x >时是增函数,所以a c >, 2 ()5x y =在0x >时是减函数,所以c b >。 2.(湖南卷文8)函数y=ax2+ bx 与y= ||log b a x (ab ≠0,| a |≠| b |)在同一 直角坐标系中的图像可能是【答案】D 指数函数和对数函数 知能目标 1. 理解分数指数幂的概念, 掌握有理指数幂的运算性质. 掌握指数函数的概念、图象和性质. 2. 理解对数的概念, 掌握对数的运算性质. 掌握对数函数的概念、图象和性质. 3. 能够运用指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 综合脉络 1. 以指数函数、对数函数为中心的综合网络 2. 指数式与对数式有如下关系(指数式化为对数式或对数式化为指数式的重要依据): 0a (N log b N a a b >=?=且)1a ≠ 指数函数与对数函数互为反函数, 它们的图象关于直线x y =对称, 指数函数与对数函数 的性质见下表: 3. 指数函数,对数函数是高考重点之一 指数函数,对数函数是两类重要的基本初等函数, 高考中既考查双基, 又考查对蕴含其中的函 数思想、等价转化、分类讨论等思想方法的理解与运用. 因此应做到能熟练掌握它们的图象与性 质并能进行一定的综合运用. (一) 典型例题讲解: 例1.设a >0, f (x)= x x e a a e -是R 上的奇函数. (1) 求a 的值; (2) 试判断f (x )的反函数f - 1 (x)的奇偶性与单调性. 例2. 是否存在实数a, 使函数f (x )=)x ax (log 2 a -在区间]4 ,2[上是增函数? 如果存在, 说明a 可以取哪些值; 如果不存在, 请说明理由. 例3. 已知x 满足≤+6x 2a a 4x 2x a a +++)1a ,0a ( ≠>, 函数y =)ax (log x a 1 log 2 a 12 a ? 的值域为]0 ,8 1[-, 求a 的值. (二) 专题测试与练习: 指数函数与对数函数知识点总结 (一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念:一般地,如果a x n =,那么x 叫做a 的n 次 方根,其中n >1,且n ∈N * . 当n 是奇数时, a a n n =,当n 是偶数时, ?? ?<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定: ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 3.实数指数幂的运算性质 (1)r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>; (2)rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>; (3)s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>. (二)指数函数及其性质 1、指数函数的概念:一般地,函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为R . 二、对数函数 (一)对数 1.对数的概念:一般地,如果N a x =)1,0(≠>a a ,那么数x 叫做以.a 为底..N 的对数, 记作:N x a log =(a — 底数,N — 真数,N a log — 对数式) 两个重要对数: ○ 1 常用对数:以10为底的对数N lg ; ○ 2 自然对数:以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln . 指数式与对数式的互化 幂值 真数 (二)对数的运算性质 如果0>a ,且1≠a ,0>M ,0>N ,那么: ○ 1 M a (log ·=)N M a log +N a log ; ○ 2 =N M a log M a log -N a log ; ○ 3 n a M log n =M a log )(R n ∈. 注意:换底公式 a b b c c a log log log = (0>a ,且1≠a ;0>c ,且1≠c ; 0>b ). 利用换底公式推导下面的结论 (1)b m n b a n a m log log =; (2)a b b a log 1log =. (二)对数函数 经典例题透析 类型一、求函数的反函数 例1.已知f(x)=225x - (0≤x ≤4), 求f(x)的反函数. 思路点拨:这里要先求f(x)的范围(值域). 解:∵0≤x ≤4,∴0≤x 2≤16, 9≤25-x 2≤25,∴ 3≤y ≤5, ∵ y=225x -, y 2=25-x 2,∴ x 2=25-y 2.∵ 0≤x ≤4,∴x=225y - (3≤y ≤5) 将x , y 互换,∴ f(x)的反函数f -1(x)=225x - (3≤x ≤5). 例2.已知f(x)=21(0)1(0) x x x x +≥??-,求f -1(x). 思路点拨:求分段函数的反函数问题,应逐段求其反函数,再合并. 解:当x ≥0时,y=x+1≥1,∴y ∈[1,+∞),∴ f -1(x)=x-1 (x ≥1); 当x<0时,y=1-x 2<1,∴ y ∈(-∞,1),反解 x 2=1-y , ,∴ f -1 ; ∴ 综上f -1 (x)=1(1)(1)x x x -≥????. 类型二、利用反函数概念解题 例3.已知f(x)=1 12-+x x (x ≥3), 求f -1(5). 思路点拨:这里应充分理解和运用反函数的自变量就是原函数的函数值,所求的反函数的函数值就是原函数的自变量这一事实,转化成方程问题. 解:设f -1 (5)=x 0, 则 f(x 0)=5,即 20011x x +-=5 (x 0≥3)∴ x 02+1=5x 0-5, x 02-5x 0+6=0. 解得x 0=3或x 0=2(舍),∴ f -1 (5)=3. 举一反三: 【变式1】记函数y=1+3-x 的反函数为()y g x =,则g(10)=( ) A .2 B .-2 C .3 D .-1 (法一)依题意,函数13x y -=+的反函数y=-log 3(x-1),因此g(10)=-2. (法二)依题意,由互为反函数的两个函数的关系,得方程1+3-x =10,解得x=-2,即g(10)=-2.答案B. 例4.设点(4,1)既在f(x)=ax 2+b (a<0,x>0)的图象上,又在它的反函数图象上,求f(x)解析式. 思路点拨:由前面总结的性质我们知道,点(4,1)在反函数的图象上,则点(1,4)必在原函数的图象上.这样就有了两个用来确定a ,b 的点,也就有了两个求解a ,b 的方程. 解: ? ?+?=+?=)2......(14)1......(4122b a b a 解得.a=-51, b=521,∴ f(x)=-51x+521. 另:这个题告诉我们,函数的图象若与其反函数的图象相交,交点不一定都在直线y=x 上. 例5.已知f(x)= ax b x c ++的反函数为f -1(x)=253 x x +-,求a ,b ,c 的值. 思路点拨:注意二者互为反函数,也就是说已知函数f -1(x)=253 x x +-的反函数就是函数f(x). 解:求f -1(x)=253 x x +-的反函数,令f -1(x)=y 有yx-3y=2x+5. ∴(y-2)x=3y+5 ∴ x=352y y +-(y ≠2),f -1(x)的反函数为 y=352x x +-.即ax b x c ++=352x x +-,∴ a=3, b=5, c=-2. 一、幂函数 1、幂的有关概念 正整数指数幂: ...() n n a a a a n N =∈ g123 零指数幂: 01(0) a a =≠ 负整数指数幂: 1 (0,) p p a a p N a -=≠∈ 分数指数幂:正分数指数幂的意义是: (0,,,1) m n m n a a a m n N n =>∈> 且 负分数指数幂的意义是: 1 (0,,,1) m n m n m n a a m n N n a a - ==>∈> 且 2、幂函数的定义 一般地,函数 a y x =叫做幂函数,其中x是自变量,a是常数(我们只讨论a是有理数的情况). 3、幂函数的图象 幂函数a y x = 当 11 ,,1,2,3 32 a= 时的图象见左图;当 1 2,1, 2 a=--- 时的图象见上图: 由图象可知,对于幂函数而言,它们都具有下列性质: a y x =有下列性质: (1)0a >时: ①图象都通过点(0,0),(1,1); ②在第一象限内,函数值随x 的增大而增大,即在(0,)+∞上是增函数. (2)0a <时: ①图象都通过点(1,1); ②在第一象限内,函数值随x 的增大而减小,即在(0,)+∞上是减函数; ③在第一象限内,图象向上与y 轴无限地接近,向右与x 轴无限地接近. (3)任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点; (4)任何幂函数图象都不经过第四象限; (5)任何两个幂函数的图象最多有三个交点. 二、指数函数 ①定义:函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数, 1)函数的定义域为R ; 2)函数的值域为),0(+∞; 3)当10<a 时函数为增函数. 4)有两个特殊点:零点(0,1),不变点(1,)a . 5)抽象性质: ()()(),()()/()f x y f x f y f x y f x f y +=?-= 三、对数函数 如果b a N =(0a >,1a ≠),那么b 叫做以a 为底N 的对数,记作log a N b = log b a a N N b =?=(0a >,1a ≠,0N >). 1.对数的性质 ()log log log a a a MN M N =+. log log log a a a M M N N =-. 例1.设a >0, f (x)=x x e a a e -是R 上的奇函数. (1) 求a 的值; (2) 试判断f (x )的反函数f - 1 (x)的奇偶性与单调性. 解:(1) 因为)x (f 在R 上是奇函数, 所以)0a (1a 0a a 1 0) 0(f >=?=-? =, (2) =-?∈++=--)x (f )R x (2 4 x x ln )x (f 121 -=++-24x x ln 2=++2 4x x ln 2)x (f 1--, ∴)x (f 1-为奇函数. 用定义法可证)x (f 1 -为单调增函数. 例2. 是否存在实数a, 使函数f (x )=)x ax (log 2 a -在区间]4 ,2[上是增函数? 如果存在, 说明a 可以取哪些值; 如果不存在, 请说明理由. 解:设x ax ) x (u 2-=, 对称轴a 21x = . (1) 当1a >时, 1a 0 )2(u 2 a 21>??????>≤; (2) 当1a 0<<时, 81a 00)4(u 4 a 21 ≤?? ???>≥. 综上所述: 1a > 1.(安徽卷文7)设 232 555 322555a b c ===(),(),() ,则a ,b ,c 的大小关系是 (A )a >c >b (B )a >b >c (C )c >a >b (D )b >c >a 【答案】A 【解析】2 5 y x =在0x >时是增函数,所以a c >,2 ()5x y =在0x >时是减函数,所以c b >。 2.(湖南卷文8)函数y=ax2+ bx 与y= ||log b a x (ab ≠0,| a |≠| b |)在同一直角坐标系中的图像可 能是【答案】D 【解析】对于A 、B 两图,|b a |>1而ax2+ bx=0的两根之和为 -b a ,由图知0<-b a <1得-1 指数函数和对数函数 重点、难点: 重点:指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点:指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用,以及逻辑划分思想讨论函数y a y x x a ==,l o g 在a >1及01<≠01且叫指数函数。 定义域为R ,底数是常数,指数是自变量。 为什么要求函数y a x =中的a 必须a a >≠01 且。 因为若a <0时,()y x =-4,当x = 1 4 时,函数值不存在。 a =0 ,y x =0,当x ≤0,函数值不存在。 a =1 时,y x =1对一切x 虽有意义,函数值恒为1,但y x =1的反函数不存在, 因为要求函数y a x =中的 a a >≠01且。 1、对三个指数函数y y y x x x ==?? ???=212 10,, 的图象的认识。 图象特征与函数性质: 图象特征 函数性质 (1)图象都位于x 轴上方; (1)x 取任何实数值时,都有a x >0; (2)图象都经过点(0,1); (2)无论a 取任何正数,x =0时,y =1; (3)y y x x ==210,在第一象限内的纵坐标都大于1,在第二象限内的纵坐标都小于1,y x =?? ? ? ?12的图象正好相反; (3)当a >1时,x a x a x x >><????0101, 则,则 当01<<<>?????0101, 则, 则 (4)y y x x ==210,的图象自左到右逐渐(4)当a >1时,y a x =是增函数, 对数函数与指数函数的运算 1.化简下列各式(其中各字母均为正数): (1) ;)(65312121132 b a b a b a ????-- (2).)4()3(6521 332121231----?÷-??b a b a b a 2.化简(1) 313 2)3(---a y x (2) )111)((2211b ab a b a +-+-- 3.化简下列各式 (1) 6113175.0231729)95()27174(256)61(027 .0------+-+-- (2) (a 3+a -3)(a 3-a -3)÷[(a 4+a -4+1)(a-a -1)] 4.求值(1)lg14-2lg 37+lg7-lg18 (2)9lg 243lg (3) 2.1lg 10lg 38lg 27lg -+ (4)(lg2)3+(lg5)3+3lg2?lg5 (5)化简22)4(lg 16lg 25lg )25(lg ++ 答案: 1.(1)原式= .100653121612131656131212131=?=?=?-+-+--b a b a b a b a b a (2)原式=- )(45)4(25233136121332361------÷-=?÷b a b a b a b a .45145452 32321ab ab ab b a -=?-=?-=-- 2. (1) 639 27x a y ; (2) 3311b a +; 3.(1) 5132;(2) a a 1 ; 4. (1) 0;(2) 25;(3) 23;(4) 1;(5) 2 ; 指数函数和对数函数 重点、难点: 重点:指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点:指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用,以及逻辑划分思想讨论函数 y a x ,y log a x 在 a 1及 0 a 1两种不同情况。 1、指数函数: y x 且a 叫指数函数。 定义:函数 aa 0 1 定义域为 R ,底数是常数,指数是自变量。 为什么要求函数 y a x 中的 a 必须 a 0且a 1 。 因为若 a 0时, y 4 x ,当 x 1 时,函数值不存在。 4 a 0 , y 0x ,当 x 0 ,函数值不存在。 a 时, y 1 x x 虽有意义,函数值恒为 1,但 1 对一切 y 1x 的反函数不存在, 因 为 要 求 函 数 y a x 中 的 a 0且 a 1 。 x 1、对三个指数函数 y 2 x , y 1 ,y 10x 的图象的 2 认识。 图象特征与函数性质: 图象特征 函数性质 ( 1)图象都位于 x 轴上方; ( 1) x 取任何实数值时,都有 a x 0 ; 2 0 1 ); ( 2)无论 a 取任何正数, x 0 时, y 1 ; ( )图象都经过点( , ( 3) y 2x , y 10 x 在第一象限内的纵坐 ( 3)当 a x 0,则 a x 1 1 时, 0,则 a x 1 标都大于 1,在第二象限内的纵坐标都小于 1, x 1 y 2 x x 0,则 a x 1 当 0 的图象正好相反; a 1时, 0,则 a x 1 x ( 4) y 2x , y 10 x 的图象自左到右逐渐 ( 4)当 a 1 时, y a x 是增函数, 指数函数和对数函数的重点知识 重点、难点: 重点:指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点:指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用,以及逻辑划分思想讨论函数 y a y x x a ==,log 在a >1及01<≠01且叫指数函数。 定义域为R ,底数是常数,指数是自变量。 为什么要求函数y a x =中的a 必须a a >≠01且。 因为若a <0时,()y x =-4,当x = 1 4 时,函数值不存在。 a =0,y x =0,当x ≤0,函数值不存在。 a =1时,y x =1对一切x 虽有意义,函数值恒为 1,但y x =1的反函数不存在, 因为要求函数y a x =中的a a >≠01且。 1、对三个指数函数y y y x x x ==?? ?? ?=21210 ,,的图象的认识。 图象特征 函数性质 (1)图象都位于x 轴上方; (1)x 取任何实数值时,都有a x >0; (2)图象都经过点(0,1); (2)无论a 取任何正数,x =0时,y =1; (3)y y x x ==210,在第一象限内的纵坐 标都大于1,在第二象限内的纵坐标都小于1,y x =?? ???12的图象正好相反; (3)当a >1时,x a x a x x >><????01 01 ,则,则 当01<<<>?????0101 ,则,则 (4)y y x x ==210,的图象自左到右逐渐上升,y x =?? ? ? ?12的图象逐渐下降。 (4)当a >1时,y a x =是增函数, 当01< 指数函数和对数函数 知识点总结 (一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念:一般地,如果a x n =,那么x 叫做a 的n 次方根,其中n >1,且n ∈N * . 负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作00=n 。 当n 是奇数时,a a n n =,当n 是偶数时,?? ?<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2.正数的分数指数幂,规定: 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 3.实数指数幂的运算性质),,0(R s r a ∈> (1)r a ·s r r a a += ;(2)rs s r a a =)( ;(3) s r r a a ab =)( (二)指数函数及其性质 1、指数函数的概念:一般地,函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数,其中x 是自 变量,函数的定义域为R . 1.对数的概念:一般地,如果N a x =)1,0(≠>a a ,那么数x 做以.a 为底..N 的对数,记作:N x a log =(a — 底数,N — 真数,N a log — 对数式) 说明: ○1 注意底数的限制0>a ,且a x N a =?log ;③注意对数的书 写格式. N a log 两个重要对数: ○ 1 常用对数:以10为底的对数N lg ; ○ 2 自然对数:以无理数Λ71828.2=e 为底的对数的对数N ln . 2、对数的运算性质:如果0>a ,且1≠a ,0>M ,0>N ,那么: ○1 M a (log ·=)N M a log +N a log ; ○ 2 =N M a log M a log -N a log ;③n a M log n =M a log )(R n ∈. 注意:换底公式a b b c c a log log log =(0>a ,且1≠a ;0>c ,且 1≠c ;0>b ) . 利用换底公式推导下面的结论 (1)b m n b a n a m log log = ; (2)a b b a log 1log =. 3、对数函数的概念:函数0(log >=a x y a ,且)1≠a 叫做对数函数,其中x 是自变量, 关于指数函数与对数函数的问题 一、指数函数 底数对指数函数的影响: ①在同一坐标系内分别作函数的图象,易看出:当a>l时,底数越大,函数图象在第一象限越靠近y轴;同样地,当00,且a≠l时,函数与函数y=的图象关于y轴对称。 利用指数函数的性质比较大小: 若底数相同而指数不同,用指数函数的单调性比较: 若底数不同而指数相同,用作商法比较; 若底数、指数均不同,借助中间量,同时要注意结合图象及特殊值 二、对数函数 底数对函数值大小的影响: 1.在同一坐标系中分别作出函数的图象,如图所示,可以看出:当a>l时,底数越大,图象越靠近x轴,同理,当O 对数函数的图象与性质: 三、对数函数与指数函数的对比: (1)对数函数与指数函数互为反函数,它们的定义域、值域互换,图象关于直线y=x对称. (2)它们都是单调函数,都不具有奇偶性.当a>l时,它们是增函数;当O 四、关于同底指数函数与对数函数的交点问题 一、1a >时方程 x log a a x =的解 先求如图3所示曲线x log y a y a x ==与相切时a 的值。设曲线x log y a y a x ==与相切 于点M (00x ,x ),由于曲线x a y =在点M 处的切线斜率为1, 所以?????==?????===1a ln a , x a 1|)'a (,x a 0000x 0x x x x 0x 即 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较, 指数函数和对数函数综合 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 【要点链接】 1.指数函数、幂函数、对数函数增长的比较: 对数函数增长比较缓慢,指数函数增长的速度最快. 2.要能熟练掌握指数函数、幂函数、对数函数的图像,并能利用它们的图像的增减情况解决 一些问题. 【随堂练习】 一、选择题 1.下列函数中随x 的增大而增大速度最快的是( ) A .1100 x y e = B .100ln y x = C .100y x = D .1002x y =? 2.若112 2 a a -<,则a 的取值范围是( ) A .1a ≥ B .0a > C .01a << D .01a ≤≤ 3.x x f 2)(=,x x g 3)(=,x x h )2 1()(=,当x ∈(-)0,∞时,它们的函数值的大小关系 是( ) A .)()()(x f x g x h << B .)()()(x h x f x g << C .)()()(x f x h x g << D .)()()(x h x g x f << 4.若b x <<1,2 )(log x a b =,x c a log =,则a 、b 、c 的关系是( ) A .c b a << B .b c a << C .a b c << D .b a c << 二、填空题 5.函数x e y x x y x y x y ====,ln ,,3 2 在区间(1,)+∞增长较快的一个是__________. 6.若a >0,b >0,ab >1,a 2 1log =ln2,则log a b 与a 2 1log 的关系是_________________. 7.函数2 x y =与x y 2=的图象的交点的个数为____________. 三、解答题 8.比较下列各数的大小: 5 2)2(-、21 )23(-、3)3 1(-、54 )32(-. 9.设方程2 22x x =-在(0,1)内的实数根为m ,求证当x m >时,2 22x x >-. 答案 1.A 指数增长最快. 2.C 在同一坐标系内画出幂函数2 1 x y =及2 1- =x y 的图象,注意定义域,可知10< 3.2.3 指数函数与对数函数的关系 知识点一:反函数 1.已知函数y =f(x)有反函数,则方程f(x)=0的根的情况是 A .有且仅有一个实根 B .至少有一个实根 C .至多有一个实根 D .0个,1个或1个以上根 2.若函数y =f(x)的反函数是y =g(x),f(a)=b ,ab≠0,则g(b)等于 A .a B .a -1 C .b D .b -1 3.若函数f(x)的图象上有一点(0,1),则其反函数f -1 (x)上一定存在点 A .(0,1) B .(1,0) C .(0,0) D .不能确定 4.已知函数y =2x -a 的反函数是y =bx +3,则a =__________,b =__________. 5.函数y =3x (0 第 讲 指数函数与对数函数 时间: 年 月 日 刘老师 学生签名: 一、 兴趣导入 二、 学前测试 log 1. log . 2. (1).; (); (). (2).log log log ; log log ;(0,0). 3. ; log ; a b a x y x y x y xy x x x a a a n a a N x a a N b N a a a a a ab a b MN M N M n M M N a N a x +=?=?===?=+=>>==指数式、对数式:指数、对数的运算性质: 常用关系式: log log ;log log ; log log . log 4. ; 5. 6. ,(, 111. 2a aM m N n b a a a b M N N n N M M M m y x R x x αααα== ==∈指数函数的定义、图象、性质对数函数的定义、图象、性质,指、对函数间的关系。幂函数 定义:是常数)叫幂函数。定义域是使的意义的的值的集合,与的取值有关。性质:()图象都过点(,)(0.+00 3 7. 8.ααα><)在(∞)上,当时,是增函数,时,是减函数。 ()若为有理数,且定义域关于原点对称,则是奇或偶函数。指数方程、对数方程: 均属超越方程,解法是化成同底数幂(同底的对数),从而幂指数(真数)相等。或用换元法、或两边取对数。 指数不等式、对数不等式:解法与指数方程、对数方程类似。 三、方法培养 ☆专题1:指数运算与对数运算 [例1] 已知,27log 12a =试用a 表示.16log 6 变式练习:1已知,ln .log log 3,12x x x x a +==/求证:.) 2(2log 3 e e e = 2若a >1,b >1且lg(a +b )=lg a +lg b ,则lg(a -1)+lg(b -1)的值 (A) 等于lg2 (B)等于1 (C)等于0 (D)不是与a ,b 无关的常数 ☆专题2:指数函数与对数函数 [例2] 求下列函数的定义域: 《指数函数与对数函数》测试题与答案(word版可编辑修改) 编辑整理: 尊敬的读者朋友们: 这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(《指数函数与对数函数》测试题与答案(word版可编辑修改))的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈,这将是我们进步的源泉,前进的动力。 本文可编辑可修改,如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅,最后祝您生活愉快业绩进步,以下为《指数函数与对数函数》测试题与答案(word版可编辑修改)的全部内容。 指数函数与对数函数检测题 一、选择题: 1、已知,则( ) (10)x f x =(5)f =A 、 B 、 C 、 D 、510105lg10lg 52、对于,下列说法中,正确的是( ) 0,1a a >≠①若则; ②若则;M N =log log a a M N =log log a a M N =M N =③若则; ④若则。22log log a a M N =M N =M N =22log log a a M N =A 、①②③④ B 、①③ C 、②④ D 、② 3、设集合,则是 ( )2{|3,},{|1,}x S y y x R T y y x x R ==∈==-∈S T A 、 B 、 C 、 D 、有限集?T S 4、函数的值域为( ) 22log (1)y x x =+≥A 、 B 、 C 、 D 、()2,+∞(),2-∞[)2,+∞[)3,+∞5、设,则( ) 1.5 0.90.4812314,8,2y y y -?? === ? ?? A 、 B 、 C 、 D 、312y y y >>213y y y >>132y y y >>123y y y >>6、在中,实数的取值范围是( ) (2)log (5)a b a -=-a A 、 B 、 C 、 D 、52a a ><或2335a a <<<<或25a <<34a <<7、计算等于( ) ()()2 2 lg 2lg 52lg 2lg 5++?A 、0 B 、1 C 、2 D 、38、已知,那么用表示是( ) 3log 2a =33log 82log 6-a A 、 B 、 C 、 D 、52a -2a -23(1)a a -+231a a --9、若,则等于( ) 21025x =10x -A 、 B 、 C 、 D 、 1515-150162510、若函数是指数函数,则有( ) 2(55)x y a a a =-+?A 、或 B 、 C 、 D 、,且1a =4a =1a =4a =0a >1 a ≠ 一. 选择题 1. 设0x >且) (0,b a, ,1b a x x ∞+∈<<, 则a 、b 的大小关系是 ( ) A. 1a b << B. 1b a << C. a b 1<< D. b a 1<< 2. 如果1a 0<<, 那么下列不等式中正确的是 ( ) A. 2 131)a 1()a 1(->- B. 23)a 1()a 1(+>- c. 1)a 1()a 1(>-+ 343的结果为() A 、5 B 、5 C 、-5 D 、-5 4、函数y=5x +1的反函数是 A 、y=log 5(x+1) B 、y=log x 5+1 C 、y=log 5(x -1) D 、y=log (x+1)5 5、函数f x x ()=-21,使f x ()≤0成立的x 的值的集合是 A 、{}x x <0 B 、{}x x <1 C 、{}x x =0 D 、{}x x =1 6、设 5.1344.029.01)21(,8,4-===y y y ,则 A 、y 3>y 1>y 2 B 、y 2>y 1>y 3 C 、y 1>y 2>y 3 D 、y 1>y 3>y 2 7、25532lg 2lg lg 16981-+等于 A 、lg2 B 、lg3 C 、lg4 D 、lg5 8. 当1a >时, 在同一坐标系中, 函数x a y -=与=y x log a 的图象是图中的 ( ) 二、填空题: 1、已知21366log log x =-,则x 的值是 。 2、计算:21 0319)41()2(4)21(----+-?- = . 3、函数y=lg(ax+1)的定义域为(-∞,1),则a= 。 4、当x ∈[-2,2)时,y =3-x -1的值域是 _ . 5. 若函数=y 2x l o g 2+的反函数定义域为),3(∞+ , 则此函数的定义域为 . 三、解答题: 1、(8分)已知函数f (x )=a x +b 的图象过点(1,3),且它的反函数f -1(x )的图象过(2,0) 点,试确定f (x )的解析式. 2、(8分)设A ={x ∈R |2≤ x ≤π},定义在集合A 上的函数y =log a x (a >0,a ≠1)的最大值比最小值大1,求a 的值 3. 已知函数12x )x (f -=的反函数为)x (f 1-, )1x 3(log )x (g 4+=. (1) 若≤-)x (f 1)x (g ,求x 的取值范围D; (2) 设函数)x (f 2 1)x (g )x (H 1-- =,当∈x D 时, 求函数)x (H 的值域.指数函数与对数函数高考题
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