2013学年高三海珠区调研测试（一）
数学(文科) 2013.8
本试卷共6页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。 参考公式：锥体体积公式Sh V 3
1
=,其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高.
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的.
1．复数z 满足()()21i 2z --=（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z 为
A.1i -
B.1+ i
C.3i -
D.3+ i
２．已知集合,A B 均为全集{}12U =，，3,4的子集，且()C U A B ?={}4,{}1B =，2,则C U A B ?=
A .{}3 B.{}4 C. {}34， D.?
3．已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项和10S =
A.85
B.135
C.95
D.23
4．设0.220.20.2log 2,log 3,2,0.2a b c d ====，则这四个数的大小关系是
A.a b c d <<<
B.d c a b <<<
C.b a c d <<<
D.b a d c <<< 5．对于平面α、β、γ和直线a 、b 、m 、n ,下列命题中真命题是
A.若,,,,a m a n m n αα⊥⊥??,则a α⊥
B.若//,,,a b αβαγβγ==则//a b
C.若//,a b b α?,则//a α
D.若,,//,//a b a b ββαα??,则//βα
6．已知向量()2,1=→
a ，()1,0=→
b ，()2,-=→
k c ，若（2+→
a →
b ）⊥→
c ，则k =
A.2
B. 2-
C.8
D.8-
7．给出下列四个结论： ①
若
命
题
20
:,10p x x x ?
∈+
+<
R ，则2
:,10
p x x
x
??∈++≥
R ； ② “()()340x x --=”是“30x -=”的充分而不必要条件； ③命题“若0m >，则方程2
0x x m +-=有实数根”的逆否命题为：“若方程2
0x x m +-=没有实数根，则m ≤0”； ④若0,0,4a b a b >>+=，则
b
a 1
1+的最小 值为1．其中正确结论的个数为
A.1
B.2
C. 3
D.4
8．将函数()sin(2)6
f x x π
=+
的图像向右平移
6
π
个单位，那么所得的图像所对应的函数解 析式是
A.sin 2y x =
B.cos 2y x =
C.2sin(2)3y x π=+
D.s i n (2)
6
y x π
=- 9．某程序框图如图1所示，若该程序运行后输 出的值是
95
,则 A.4a = B.5a = C.6a = D.7a =
10．已知函数)(x f 是定义在(,)-∞+∞上的奇函数，若对于任意的实数0≥x ，都有)()2(x f x f =+，且
当[)2,0∈x 时，)1(log )(2+=x x f ，则)2012()2011(f f +-的值为 A.1- B. 2- C. 2 D.1
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）
11．在区间[]-33，上随机取一个数x ，使得函数(
)1f x =有意义的概率为 .
12．设变量,x y 满足约束条件20
240240x y x y x y +-≥??
-+≥??--≤?
，则目标函数2z x y =+的最大值
为 .
13．已知双曲线()222210,0x y a b a b
-=>>的两条渐近线与抛物线()2
20y px p =>的准线分别交于,A B 两
点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2,AOB ?
则p = .
（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）
已知极坐标的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，且长度单位相同．圆C 的
参数方程为13cos (13sin x y ααα
=+??
=-+?为参数）
，点Q
4π
）． 若点P 是圆C 上的任意一点，,P Q 两点间距离的最小值为 . 15．（几何证明选讲选做题）如图2，AB 是⊙O 的直径，P 是AB 延长线上的
一点，过点P 作⊙O 的切线,切点为C ，32=PC ，若?=∠30CAP ，则⊙O 的直径=AB __________ ．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．(本小题满分12分)
在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 向量()()()B A B A m --=→
sin ,cos ，
()B B n sin ,cos -=→
,且5
3
-=?→
→n m .
（１）求sin A 的值；
（２）若a =5b =,求角B 的大小及向量BA ??→在BC ??→
方向上的投影．
17．（本小题满分12分）
某中学作为蓝色海洋教育特色学校，随机抽取100名学生，进行一次海洋知识测试，按测试成绩分组如下：第一组[65，70），第二组 [70，75），第三组[75，80），第四组 [80，85），第五组 [85，90）（假设考试成绩均在[65，90）内），得到频率分布直方图如图3：
（１）求测试成绩在[80，85）内的频率； （２）从第三、四、五组同学中用分层抽样的方法抽取6名同学组成海洋知识宣讲小组，定期在校内进行义务宣讲，并在这6名同学中随机选取2名参加市组织的蓝色海洋教育义务宣讲队，求第四组至少有一名同学被抽中的的概率．
18．（本小题满分14分）
如图4，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD
为菱形，其中2PA PD AD ===，60BAD ?
∠=，Q 为AD 的中点．
(1) 求证：AD PQB ⊥平面；
(2) 若平面PAD ⊥平面ABCD ,且M 为PC
的中点，求四棱锥M ABCD -的体积．
19．（本小题满分1４分）
若数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意正整数n 都有612n n S a =-，记12
log .n n b a =
（1）求1a ,2a 的值；
（2）求数列{}n b 的通项公式；
（3）若11,0,n n n c c b c +-==求证：对任意*
23
11
132,4
n n
n N c c c ≥∈+++
<都有
．
20．(本小题满分14分)
已知椭圆R ：()222210x y a b a b +=>>的长轴长为4，且过点12???，．
（１）求椭圆R 的方程；
（２）设A 、B 、M 是椭圆上的三点，若34
55
OM OA OB ??→
??→
??→
=+，点N 为线段AB 的中点，C 、D 两点
的坐标分别为?
? ? ???、?????
，求证：NC ND +=
21．（本小题满分1４分） 设函数()1ln 1a
f x x ax x
-=-+
-． （1）当1a =时，求曲线()f x 在1x =处的切线方程； （2）当1
3
a =
时，求函数()f x 的单调区间； （3）在（2）的条件下，设函数()2
5
212
g x x bx =--，若对于1x ?∈[1，2]，2x ?∈[0，1]，使()()12f x g x ≥成立，求实数b 的取值范围．
201３学年高三调研测试(一)
文科数学参考答案与评分标准
说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．
2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本大题考查共10小题，每小题5分，满分50分．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．
11. 2
3
12. 1213.214.115. 4
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16.(本小题满分12分)
（本小题主要考查向量数量积、投影，三角特殊值的运算,三角函数的基本关系,解三角形等知识，考查化归、转化、方程的数学思想方法，以及运算求解能力）
解:(１)由
3
5
m n?=-,得()()3 cos cos sin sin
5
A B B A B B
---=-
,………………1分
∴()3
cos
5
A B B
-+=-,
…………2分
∴
3
cos
5
A=-.
0Aπ
<<, sin
A
∴=
………………３分
4
5
==．………………４分
(２)由正弦定理，有
sin sin
a b
A B
=, ………………５分
sin
sin
b A
B
a
∴==
4
5
2
?
………………６分
a b >，A B ∴>, …………７分
4
B π
∴=
． ………………8分
由余弦定理，有(2
2
2
3=5+255c
c ??
-??- ???
， ………………9分
1c ∴=或7c =-（舍去）． ………………10分
故向量BA 在BC 方向上的投影为cos cos BA B c B = ………………11分
1==
………………12分 17.( 本小题满分12分)
（本小题主要考查考查分层抽样、互斥事件、古典概型等知识，考查或然与必然,样本估计总体的统计思想方法，以及数据观察能力、抽象思维能力和应用意识）
解：（１）测试成绩在[80，85）内的频率为：()10.010.070.060.025-+++? ……2分
0.2= ………3分
（２）第三组的人数等于0.065100=30??,第四组的人数等于0.2100=20?，
第五组的人数等于0.025100=10??， …………5分 分组抽样各组的人数为第三组３人，第四组２人，第五组１人. …………6分
设第三组抽到的３人为123,,A A A ，第四组抽到的２人为12B B ，,第五组抽到的１人为
C . …………7分
这6名同学中随机选取2名的可能情况有１５种，如下：
()()()()()()()()121311121232122,A A A A A B A B A C A A A B A B ，，，，，，，，，，，，，，，
()()()()()()()2313231212,,,A C A A B A C B B B C B C ，，B ，，，，，，，，. …………10分
设“第四组２名同学至少有一名同学被抽中”为事件M ,事件M 包含的事件个数有９种，即：
()11A B ，，()12A B ，，()21A B ，,()22A B ，,()31A B ，,()()3212A B B B ，，，，()1B C ，, ()2B C ，. …………11分
所以, 事件M
的概率即第四组至少有一名同学被抽中的概率为
()93
=155
P M =
． …………12分 18.（本小题满分14分）
（本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力） .解：（1）
PA PD =，Q 为中点，
AD PQ ∴⊥ …………１分
连DB ，在ADB ?中，AD AB =，60BAD ?
∠=，
ABD ∴?为等边三角形，Q 为AD 的中点，
H A
B
C
D P
M
Q
AD BQ ∴⊥, …………2分 PQ BQ Q ?=,PQ ?平面PQB ,BQ ?平面PQB ,
(三个条件少写一个不得该步骤分) …………3分
∴AD ⊥平面PQB . …………4分
（2）连接QC ,作MH QC ⊥于H . …………5分
PQ AD ⊥,PQ ?平面PAD ,
平面PAD ?平面ABCD AD =,
平面PAD ⊥平面ABCD ， …………6分
PQ ABCD ∴⊥平面 , …………7分
QC ?ABCD 平面 ,
PQ QC ∴⊥ …………8分
//PQ MH ∴. …………9分
∴MH ABCD ⊥平面, …………10分
又12PM PC =
,1
1
222MH PQ ∴===. …………11分 在菱形ABCD 中，2BD =, 方法一:01sin 602ABD S AB AD Λ=
??
?1=222??, …………12分
∴2ABD ABCD S S ?==菱形 …………13分
M ABCD V -13ABCD S MH ?=?
?13=?1=． …………14分 方法二
:AC
= …………12分
∴11
222
ABCD S AC BD =??=?=菱形…………13分
M ABCD V -
1
3
ABCD S MH =??菱形
1132
=?= …………14分
19.(本小题14分)
（本小题主要考查数列通项、递推列项、裂项求和与不等式等知识，考查化归、转化、方程的数学思想方法，以及运算求解能力）
解：(1)由11612S a =-，得11612a a =-，解得11
8a =
． …………1分 22612S a =-，得()122612a a a +=-，解得21
32
a =． …………3分 （2）由612n n S a =- ……①，
当2n ≥时，有11612n n S a --=- ……②， …………4分 ①－②得：
11
4
n n a a -=， …………５分 ∴数列{}n a 是首项118
a =，公比1
4q =的等比数列 …………６分
1
21
11111842n n n n a a q -+-??
??∴==?= ?
???
??
， …………７分
21
11221log log 212n n n b a n +??
∴===+ ?
??
． …………８分
（3）
1=21n n n c c b n +-=+，
∴()11=211n n n c c b n ---=-+， (1)
()122=221n n n c c b n ----=-+， (2)
…………，
322=221c c b -=?+，
211=211c c b -=?+， …………(1n -) …………９分
(1)+(2)+ ……+(1n -)得()211=21+2+3+
+11=1n n c c b n n n --=-+--，…………10分
∴()()=11n c n n -+， …………11分
∴
()()1111111211n c n n n n ??==- ?-+-+??， …………12分 ∴
23
1111111111111=1232435
211n c c c n n n n ??+++
-+-+-++
-+- ?--+??
11113111=1+221421n n n n ????--=-+ ? ?++????， …………13分 111021n n ??
+> ?+??
， ∴
23
1113
4
n c c c +++
<对任意*2,n n N ≥∈均成立． …………14分 20. (本小题满分14分)
（本小题主要考查椭圆的定义、方程，向量的运算等知识，考查化归转化、方程、待定系数法等的思想方
法，考查数学探究能力以及运算求解能力）
解:(1)由已知22
241341a a b =?????+=??, ……………２分 解得2,1a b ==. ……………４分
∴椭圆的方程为2
214
x y +=． ……………５分
（２）设()()()1122,,,,M M A x y B x y M x y ，，则22
1114x y +=，222214
x y +=．………6分 由3455
OM OA OB ??→
??
→??→=+, 得12123434,5555M M x x x y y y =
+=+,即12123
434,5555M x x y y ??++ ???．……………７分 M 是椭圆R 上一点，所以
∴2
21
21
2343455145
5x x y y ??+ ?????++= ???， ……………８分
即2222
22121212123434()214545554x x x x
y y y y ????????????+++++= ? ? ? ?????????
???????? 得2
2
121234342155554x x
y y ??????????+++= ? ? ???????????????
，故121204x x y y +=．……………９分
又线段AB 的中点N 的坐标为1212,2
2x x y y ++??
???， ……………10分
∴2
122222212
12121212112212224244x x y y x x x x y y y y +??
?????+????+=+++++= ? ? ?
??????
，…11分 ∴线段AB 的中点N 1212,2
2x x y y ++?? ???在椭圆22
212x y +=上． ……………12分
椭圆2
2212
x y +=的两焦点恰为
C ??
? ???，
D ?
????
……………13分
∴NC ND += ……………14分
21.(本小题满分14分)
（本小题主要考查导数、不等式、函数的单调性、最值等知识，考查化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及数学探究能力、综合运用能力和运算求解能力）
解:函数()f x 的定义域为()0+∞，， ……………1分
()'211a
f x a x x
-=
-- ……………2分
（1）当1a =时，()ln 1f x x x =--，()12f ∴=-， ……………3分
()'1
1f x x
=
-， ()'10f ∴=， ……………4分 ()f x ∴在1x =处的切线方程为2y =-. ……………5分
(2)()()()2'
22
123233x x x x f x x x ---+=-
=-. ∴当01x <<,或2x >时, ()'0f x <; ……………6分
当12x <<时, ()'0f x >. ……………7分
∴当1
3
a =时，函数()f x 的单调增区间为()1,2;单调减区间为()()0,12+∞，，.………8分 (如果把单调减区间写为()()0,12+?∞，,该步骤不得分)
（3）当3
1
=
a 时，由（2）可知函数)(x f 在)21，（上为增函数， ∴函数)(x f 在[1，2]上的最小值为=)1(f 3
2
- ……………9分
若对于∈?1x [1，2]，]1,0[2∈?x 使 )(1x f ≥)(2x g 成立?)(x g 在]1,0[上的最小值不大于)(x f 在[1，2]
上的最小值（*） ……………10分
又12
5
)(1252)(222---=-
-=b b x bx x x g ，]1,0[∈x ① 当0
3
2
125)0()]([min ->-==g x g 与（*）矛盾 ……………11分
② 当10≤≤b 时，125)()]([2
min --==b b g x g ，由3
21252-≤--b 及10≤≤b 得，121
≤≤b
……………12分
③当1>b 时，)(x g 在]1,0[上为减函数，()()min 72
12123
g x g b ==
-≤-???? 及1b >得1b >. ……………13分 综上，b 的取值范围是），∞+2
1
[ ……………14分