湖南省长郡中学2021届高三数学入学摸底考试试题
本试题卷共8页，22小题。全卷满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ＝{x ∈N|12
<2x ＋1<16}，B ＝{x|x 2－4x ＋m ＝0}，若1∈A ∩B ，则A ∪B ＝ A.{1，2，3} B.{1，2，3，4} C.{0，1，2} D.{0，1，2，3}
2.已知复数z 满足z(1＋2i)＝|4－3i|(其中i 为虚数单位)，则复数z 的虚部为
A.－2
B.－2i
C.1
D.i
3.f(x)＝1cosx
x 的部分图象大致是
4.饕餮(t āo ti è)纹，青铜器上常见的花纹之一，盛行于商代至西周早期。有人将饕餮纹的一部分画到了方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为1，有一点P 从A 点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能性的，那么它经过3次跳动后，恰好是沿着餮纹的路线到达点B 的概率为
A.1
2
B.
1
4
C.
1
16
D.
1
8
5.已知椭圆C：
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>的右焦点F，点P在椭圆C上，点Q在圆E：(x＋3)2
＋(y－4)2＝4上，且圆E上的所有点均在椭圆C外，若|PQ|－|PF|的最小值为56，且椭圆C的长轴长恰与圆E的直径长相等，则椭圆C的标准方程为
A.
2
21
2
x
y
+= B.
2
21
4
x
y
+= C.
22
1
43
x y
+= D.
22
1
42
x y
+=
6.命题p：f(x)＝x＋alnx(a∈R)在区间[1，2]上单调递增；命题q：存在x∈[2，e]，使得
1 ln x
x -
－e＋4＋2a≥0成立(e为自然对数的底数)，若p且q为假，p或q为真，则实数a的取值范围是
A.(－2，－3
2
) B.(－2，－
3
2
)∪[－1，＋∞) C.[－
3
2
，－1) D.(2，－
3
2
)∪[1，＋
∞)
7.已知A(2，1)B(2
3
，0)，C，D四点均在函数f(x)＝log2
ax
x b
+
的图象上，若四边形ABCD为
平行四边形，则四边形ABCD的面积是
A.26
5
B.
26
3
C.
52
5
D.
52
3
8.设数列{a n}的前n项和为S n，当n∈N*时，a n，n＋1
2
，a n＋1成等差数列，若S n＝2020，且a2<3，
则n的最大值为
A.63
B.64
C.65
D.66
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。
9.2020年两会“部长通道”工信部部长表示，中国每周大概增加1万多个5G基站，4月份增加5G用户700多万人，5G通信将成为社会发展的关键动力，右图是某机构对我国未来十年
5G 用户规模的发展预测图。则
A.2022年我国5G 用户规模年增长率最高
B.2022年我国5G 用户规模年增长户数最多
C.从2020年到2026年，我国的5G 用户规模增长两年后，其年增长率逐年下降
D.这十年我国的5G 用户数规模，后5年的平均数与方差都分别大于前5年的平均数与方差
10.如图已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(其中A>0，ω>0，|φ|≤2
π)的图象与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，BC 2BD =，∠OCB ＝
3
π，|OA|＝2，|AD|＝221。则下列说法正确的有
A.f(x)的最小正周期为12
B.φ＝－
6π C.f(x)的最大值为163
D.f(x)在区间(14，17)上单调递增 11.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，过AB 作一垂直于直线B 1C 的平面交平面ADD 1A 1于直线l ，动点M 在直线l 上，则
A.B 1C//l
B.B 1C ⊥l
C.点M 到平面BCC 1B 1的距离等于线段AB 的长度
D.直线BM 与直线CD 所成角的余弦值的最大值是3
12.若存在实常数k 和b ，使得函数F(x)和G(x)对其公共定义域上的任意实数x 都满足：F(x)≥kx ＋b 和G(x)≤kx ＋b 恒成立，则称此直线y ＝kx ＋b 为F(x)和G(x)的“隔离直线”，已知函数f(x)＝x 2(x ∈R)，g(x)＝1x
(x<0)，h(x)＝2elnx(e 为自然对数的底数)，则 A.m(x)＝f(x)－g(x)在x ∈(
0)内单调递增 B.f(x)和g(x)之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为－4
C.f(x)和g(x)间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是[－4，1]
D.f(x)和g(x)之间存在唯一的“隔离直线”y ＝x －e
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.三封信随机放入两个不同的信箱中，共有n 种方法，则(2x ＋
1x
)n 展开式的常数项为 。(用数字作答)
14.设a ，b ，c 为单位向量，向量a 与b 的夹角为120°，则(a －c)·(b －c)的取值范围是 。
15.已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，|AB|＝2，以M 为圆心的圆过A ，B 两点，且与直线y ＝1相切。若存在定点P ，使得当A 运动时，|MA|－|MP|为定值，则点P 的坐标为 。
16.在三棱锥P －ABC 中，PA ＝PB ＝PC ＝2，二面角A －PB －C 为直二面角，∠APB ＝2∠BPC(∠BPC<
4
)，M ，N 分别为侧棱PA ，PC 上的动点，设直线MN 与平面PAB 所成的角为α。当tan α的最大值为2532时，则三棱锥P －ABC 的体积为 。 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分10分)
在①数列{a n }为等差数列，且a 3＋a 7＝18；②数列{a n }为等比数列，且a 2a 6＝64，a 2a 3<0；③S n －1＝a n －1(n ≥2)这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并加以解答。
已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1， 。
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)是否存在正整数k ∈{8，9，10}，使S k >512，若存在，求出相应的正整数k 的值；若不存
在，请说明理由。
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。
18.(本小题满分12分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D在BC边上，且BD＝2DC，若sin2A＋sin2C
－sin2B＝2
3
sinAsinC，c＝2。
(I)求sinB的值；
(II)设∠BAD＝α，∠DAC＝β，若△ADC的面积为22
3
，求
sin
sin
α
β
的值。
19.(本小题满分12分)
据相关部门统计，随着电商网购的快速普及，快递包装业近年来实现了超过50%的高速年均增长，针对这种大好形式，某化工厂引进了一条年产量为1000万个包装胶带的生产线。已知该包装胶带的质量以某项指标值k为衡量标准。为估算其经济效益，该化工厂先进行了试生产，并从中随机抽取了1000个包装胶带，统计了每个包装胶带的质量指标值k，并分成以下5组，其统计结果及产品等级划分如下表所示：
试利用该样本的频率分布估计总体的概率分布，并解决下列问题(注：每组数据取区间的中点值)：
(1)由频数分布表可认为，该包装胶带的质量指标值k近似地服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x，σ近似为样本的标准差s，并已求得s≈10.03。记X表示某天从生产线上随机抽取的30个包装胶带中质量指标值k在区间(50.54，80.63]之外的包装胶带个数，求P(X＝1)及X的数学期望(精确到0.001)；
(2)已知每个包装胶带的质量指标值k与利润y(单位：元)的关系如下表所示：(t∈(1，4))
假定该化工厂所生产的包装胶带都能销售出去，且这一年的总投资为5000万元(含引进生产线、兴建厂房等等一切费用在内)，问：该化工厂能否在一年之内通过生产包装胶带收回投资?
试说明理由。
参考数据：若随机变量Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ 20.(本小题满分12分) 已知底面为正三角形的斜三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F分别是棱A1B1，AB的中点，点A1在底面投影为AC边的中点O，A1C∩AC1＝P，A1F∩AE＝G。 (1)证明：PG//平面A1B1C1； (2)若AB＝6，AA1＝5，点M为棱A1B1上的动点，当直线AM与平面A1FC 2117时，求点M的位置。 21.(本小题满分12分) 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线交抛物线C于D，E两点，且|DE|＝4。 (1)求抛物线C的方程； (2)设直线l过点A(2，0)且与抛物线C交于P，Q两点，点R在抛物线C上，点N在x轴上，NP NQ NR0 ++=，直线PR交x轴于点B，且点B在点A的右侧，记△APN的面积为S1，△ RNB的面积为S2，求1 2 S S 的最小值。 22.(本小题满分12分) 已知函数f(x)＝e x＋e－x，其中e是自然对数的底数。 (1)若关于x的不等式mf(x)≤e－x＋m－1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围； (2)已知正数a满足：存在x∈[1，＋∞)，使得f(x0)
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