高考数学考前103个温馨提醒（知识、方法与易错题）
一、集合与逻辑
1、区分集合中元素的形式：
如：{}x y x lg |=—函数的定义域；{}x y y lg |=—函数的值域；{}x y y x lg |),(=—函数图象上的点集 （1）设集合{|3}M x y x ==+，集合N ＝{}2|1,y y x x M =+∈，则M N = ___；（答：
[1,)+∞）
（2）设集合{|(1,2)(3,4),}M a a R λλ==+∈ ，{|(2,3)(4,5)N a a λ==+
，}R λ∈，则=N M _
（答：)}2,2{(--） 2、条件为B
A ?
，在讨论的时候不要遗忘了A =?的情况
如：}012|{2=--=x ax x A ，如果φ=+R A ，求a 的取值。（答：a ≤0）
3、含n 个元素的集合的子集个数为2n ,真子集个数为21n -;非空真子集的个数为22n -； 如：满足{1,2}{1,2,3,4,5}M ??≠集合M 有______个.（答：7）
4、()()()()card A B card A card A card A B =+- ；
5、A∩B=A ?A ∪B=B ?A ?B ?C U B ?C U A ?A∩C U B=??
C U A ∪B=U ；
6、补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题.
如：已知函数12)2(24)(2
2
+----=p p x p x x f 在区间]1,1[-上至少存在一个实数
c ，使0)(>c f ，求实数p 的取值范围.（答：3
(3,)2
-）
7、原命题:p q ?;逆命题:q p ?;否命题:p q ???；逆否命题:q p ???；
互为逆否的两个命题是等价的.
注意：命题p q ?的否定与它的否命题的区别: 命题p q ?的否定是p q ??；否命题是p q ???
如：“若a 和b 都是偶数，则b a +是偶数”的
否命题是“若a 和b 不都是偶数，则b a +是奇数”； 否定是“若a 和b 都是偶数，则b a +是奇数”；
命题“p 或q ”的否定是“┐P 且┐Q ”，“p 且q”的否定是“┐P 或┐Q ” 熟悉逻辑推理,条件关系,集合关系的互相转化.
如：“βαsin sin ≠”是“βα≠”的 条件（答：充分非必要条件）
8、若p q ?且q p ≠ ;则p 是q 的充分非必要条件（或q 是p 的必要非充分条件）;
二、函数与导数
9、指数式、对数式：
m n
a
=
1m n
m n
a
a -=，0
1a =，
log (0,1,0)b
a a N N
b a a N =?=>≠>
log 10a =，log 1a a =，log a N
a
N =，lg 2lg 51+=
如：2
log
1
()
2
的值为________. (答：164
)
10、二次函数①解析式三种形式:一般式f (x )=ax 2+bx +c （a ≠0）(对称轴？顶点？当b=0时为偶函数)；顶点式f (x )=2()a x h k -+；零点式12()()()f x a x x x x =--(轴?)； ②区间最值:配方后一看开口方向,二讨论对称轴与区间的相对位置关系; 如：若函数
422
12
+-=
x x y 的定义域、值域都是闭区间]2,2[b ，则b ＝ （答：2）
③实根分布:先画图再研究△>0、轴与区间关系、区间端点函数值符号； 11、反比例函数:(0)c y c x
=≠平移?b
x c a y -+
=(中心为(b,a ))；
12、双勾函数x
a x y +
=是奇函数：
当上为增函数
，，在区间时)0(),0(,0∞+-∞ 当递减 ，在时)0,[],0(,0a a a -> ，()-∞-+∞在， 递增 13、单调性①定义法；②导数法； 如：已知函数3 ()f x x ax =-在区间[1,)+∞上是增函数，则a 的取值范围是___. (答：(,3]-∞))； 注意ⅰ：0)(>'x f 能推出)(x f 为增函数，但反之不一定.如函数3 )(x x f =在) ,(+∞-∞上单调递增，但0)(≥'x f ，∴0)(>'x f 是)(x f 为增函数的充分不必要条件. 注意ⅱ：函数单调性与奇偶性的逆用了吗?（①比较大小；②解不等式；③求参数范围）. 如：已知奇函数)(x f 是定义在)2,2(-上的减函数,若0)12()1(>-+-m f m f ，求实数m 的取值范围。 （答：1223 m -<< ） ③复合函数：由同增异减判定；④图像判定.⑤作用:比大小,解证不等式；⑥注意定义域； 如：函数()2 12 log 2y x x =-+的单调递增区间是________(答：（1,2）). 14、奇偶性：f (x )是偶函数?f (-x )=f (x )=f (|x |)；f (x )是奇函数?f (-x )=-f (x )；定义域含零的奇函数过原点(f (0)=0)；定义域关于原点对称是该函数为奇函数或偶函数的必要而不充分的条件. 15、周期性.（1）由周期函数的定义“函数()f x 满足()()x a f x f +=(0)a >，则()f x 是周期为a 的周期函数”. ①函数()f x 满足()()x a f x f +=-，则()f x 是周期为2a 的周期函数； ②函数()f x 满足1()(0)()f x a a f x +=≠，则2T a =； ③函数()f x 满足1()(0)() f x a a f x +=-≠，则2T a =. 如：(1)设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，)()2(x f x f -=+，当10≤≤x 时，x x f =)(，则)5.47(f 等于_____(答：5.0-)； (2)定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=，且在[3,2]--上是减函数，若,αβ是锐角三角形的两个内角，则(sin ),(cos )f f αβ的大小关系为__ (答：(sin )(cos )f f αβ>)； （2）类比“三角函数性质”得： ①若()y f x =图像有两条对称轴,()x a x b a b ==≠，则()y f x =必是周期函数，且一周期为2||T a b =-； ②若()y f x =图像有两个对称中心(,0),(,0)()A a B b a b ≠，则()y f x =是周期函数，且一周期为2||T a b =-； ③如果函数()y f x =的图像有一个对称中心(,0)A a 和一条对称轴()x b a b =≠，则函数 ()y f x =必是周期函数，且一周期为4||T a b =-； 如：已知定义在R 上的函数()f x 是以2为周期的奇函数，则方程()0f x =在[2,2]-上至少有__________个实数根.（答：5） 16、常见的图象变换 ①函数()a x f y +=的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴向左)0(>a 或向右)0( 如：要得到)3lg(x y -=的图像，只需作x y lg =关于_____轴对称的图像，再向____平移3个单位而得到。(答：y ；右)； ②函数()x f y =+a 的图象是把函数()x f y =助图象沿y 轴向上)0(>a 或向下)0( x b y ++= 的图象向右平移2个单位后又向下平移2个单位,所得图象如果 与原图象关于直线x y =对称,那么（ ）(答：C) 0,1)(≠-=b a A R b a B ∈-=,1)( 0,1)(≠=b a C R b a D ∈=,0)( ③函数()ax f y =)0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴伸（01a <<）缩（1a >）为原来的 a 1得到的. 如：（1）将函数()y f x =的图像上所有点的横坐标变为原来的13 （纵坐标不变），再将 此图像沿x 轴方向向左平移2个单位，所得图像对应的函数为_____(答：(36)f x +)；（2）如若函数(21)y f x =-是偶函数，则函数(2)y f x =的对称轴方程是__(答：12 x =- ) ④函数()x af y =)0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿y 轴伸（1a >）缩（01a <<）为原来的a 倍得到的. 17、函数的对称性. ①满足条件()()f x a f b x +=-的函数的图象关于直线2 a b x += 对称. 如：已知二次函数)0()(2 ≠+=a bx ax x f 满足条件)3()5(-=-x f x f 且方程 x x f =)(有等根，则)(x f ＝_____. (答：2 12 x x - +) ②点(,)x y 关于y 轴的对称点为(,)x y -； 函数()x f y =关于y 轴的对称曲线方程为()x f y -=； ③点(,)x y 关于x 轴的对称点为(,)x y -； 函数()x f y =关于x 轴的对称曲线方程为()x f y -=； ④点(,)x y 关于原点的对称点为(,)x y --； 函数()x f y =关于原点的对称曲线方程为()x f y --=； ⑤点(,)x y 关于直线y x a =±+的对称点为((),)y a x a ±-±+； 曲线(,)0f x y =关于直线y x a =±+的对称曲线的方程为((),)0f y a x a ±-±+=. 特别地，点(,)x y 关于直线y x =的对称点为(,)y x ； 曲线(,)0f x y =关于直线y x =的对称曲线的方程为(,)0f y x =； 点(,)x y 关于直线y x =-的对称点为(,)y x --； 曲线(,)0f x y =关于直线y x =-的对称曲线的方程为(,)0f y x --=. 如：己知函数33(),()23 2 x f x x x -= ≠ -,若)1(+=x f y 的图像是1C ,它关于直线y x =对称 图像是22,C C 关于原点对称的图像为33,C C 则对应的函数解析式是___.（答：221 x y x +=-+） 注：若f (a －x )＝f (b+x ),则()f x 图像关于直线x =2 b a +对称； 两函数y=f (a+x )与y=f (b -x )图像关于直线x = 2 a b -对称. 提醒：证明函数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上； 如：已知函数)(1)(R a x a a x x f ∈--+=.求证：函数)(x f 的图像关于点(,1)M a -成中心 对称图形. ⑥曲线(,)0f x y =关于点(,)a b 的对称曲线的方程为(2,2)0f a x b y --=. 如：若函数x x y +=2与)(x g y =的图象关于点（-2，3）对称，则)(x g ＝______. （答：276x x ---） ⑦形如(0,)ax b y c ad bc cx d +=≠≠+的图像是双曲线，对称中心是点(,)d a c c -. 如：已知函数图象C '与2:(1)1C y x a ax a ++=++关于直线y x =对称，且图象C '关于点（2，－3）对称，则a 的值为______（答：2） ⑧|()|f x 的图象先保留()f x 原来在x 轴上方的图象，作出x 轴下方的图象关于x 轴的对称图形，然后擦去x 轴下方的图象得到； (||)f x 的图象先保留()f x 在y 轴右方的图象，擦去y 轴左方的图象，然后作出y 轴右 方的图象关于y 轴的对称图形得到. 如：（1）作出函数2|log (1)|y x =+及2log |1|y x =+的图象； （2）若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，则函数)()()(x f x f x F +=的图象关于____对称.（答：y 轴） 18、求解抽象函数问题的常用方法是： （1）借鉴模型函数进行类比探究.几类常见的抽象函数： ①正比例函数型：()(0)f x kx k =≠ ----()()()f x y f x f y ±=±； ②幂函数型：2 ()f x x = --------------()()()f xy f x f y =，()()() x f x f y f y =； ③指数函数型：()x f x a = ----------()()()f x y f x f y +=，()()() f x f x y f y -= ； ④对数函数型：()log a f x x = ---()()()f xy f x f y =+，()()()x f f x f y y =-； ⑤三角函数型：()tan f x x = ----- ()()()1()() f x f y f x y f x f y ++=-. 如：已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为T ，则 =- )2 (T f __（答：0） （2）赋值法（令x ＝0或1，求出(0)f 或(1)f 、令y x =或y x =-等）、递推法、反证法等）进行逻辑探究. 如：（1）若x R ∈，()f x 满足()()f x y f x +=()f y +，则()f x 的奇偶性是______ （答：奇函数）； （2）若x R ∈，()f x 满足()()f xy f x =()f y +，则()f x 的奇偶性是_（答：偶函数）；19、反函数:①函数存在反函数的条件：一一映射；②奇函数若有反函数则反函数是奇函数；③周期函数、定义域为非单元素集的偶函数无反函数；④互为反函数的两函数具相同单调性；⑤f (x )定义域为A ,值域为B ,则1 (())f f x x -= (x ∈B), 1 (())f f x x -= (x ∈A ).⑥原函数定义域是反函数的值域,原函数值域是反函数的定义域. 如：已知函数()y f x =的图象过点(1,1),那么()4f x -的反函数的图象一定经过点___ （答：（1,3））； 20、题型方法总结 (Ⅰ)判定相同函数:定义域相同且对应法则相同. (Ⅱ)求函数解析式的常用方法： （1）待定系数法:已知所求函数的类型. 如：已知()f x 为二次函数，且 )2()2(--=-x f x f ，且f(0)=1,图象在x 轴上截得的线段长为22,求()f x 的解析式 .（答：2 1()212 f x x x = ++） （2）代换（配凑）法：已知形如(())f g x 的表达式，求()f x 的表达式. 如：（1）已知,sin )cos 1(2 x x f =-求()2 x f 的解析式。（答：2 42 ()2,[f x x x x =-+∈） （2）若2 2 1)1(x x x x f + =- ，则函数)1(-x f =_____（答：2 23x x -+）； （3）若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当),0(+∞∈x 时，)1()(3 x x x f +=，那 么当)0,(-∞∈x 时，)(x f =________（答：(1x - ）. 这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性，即()f x 的定义域应是()g x 的值域. （3）方程的思想：对已知等式进行赋值，从而得到关于()f x 及另外一个函数的方程组.如：（1）已知()2()32f x f x x +-=-，求()f x 的解析式.（答：2()33 f x x =--） （2）已知()f x 是奇函数，)(x g 是偶函数，且()f x +)(x g = 1 1-x ,则()f x = （答：2 1 x x -）. （Ⅲ）求定义域:使函数解析式有意义(如:分母?；偶次根式被开方数?；对数真数?底数?；零指数幂的底数?)；实际问题有意义；若f (x )定义域为[a ,b],复合函数f [g (x )]定义域由a ≤g(x )≤b 解出；若f [g(x )]定义域为[a ,b],则f (x )定义域相当于x ∈[a ,b]时g(x )的值域； 如：（1）若函数)(x f y =的定义域为? ?? ?? ?2,21 ，则)(log 2 x f 的定义域为 . （答：{} 42|≤≤x x ）； （2）若函数2(1)f x +的定义域为[2,1)-，则函数()f x 的定义域为_______.（答：[1,5]）． （Ⅳ）求值域 ①配方法：如：求函数225,[1,2]y x x x =-+∈-的值域。（答：[4,8]）； ②逆求法（反求法）：如：3 13 x x y = +通过反解，用y 来表示3x ，再由3x 的取值范围，通 过解不等式，得出y 的取值范围（答：（0,1））； ③换元法：如：（1）2 2sin 3cos 1y x x =--的值域为_____。（答：17[4,]8 -）； （2 ）21y x =++的值域为_____（答：[)3,+∞） t =，0t ≥.运用换元法时，要特别要注意新元t 的范围）； ④三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域； 如：2sin 11cos y θθ-=+的值域.（答：3 (,]2-∞）； ⑤不等式法 ：利用基本不等式,)a b a b R ++≥∈求函数的最值. 如：设12,,,x a a y 成等差数列，12,,,x b b y 成等比数列，则 2 12 21)(b b a a +的取值范围是_____. （答：(,0][4,)-∞+∞ ）. ⑥单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域. 如：求1(19)y x x x =-<<，2 2 9sin 1sin y x x =++，()3log 5y x =--的值域. （答：80(0, )9 、11[ ,9]2 、[)0,+∞） ； ⑦数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域. 如：（1）已知点(,)P x y 在圆221x y +=上，求 2 y x +及2y x -的取值范围. （答：[3 3 -、[） ； （2）求函数y =.（答：[10,)+∞） ； ⑧判别式法：如：（1）求2 1x y x = +的值域.（答：11,22? ? - ? ?? ? ） （2）求函数3 y x = +.（答：1 [0,]2 ） （3）求2 11 x x y x ++= +的值域.（答：(,3][1,)-∞-+∞ ） ⑨导数法：如：求函数32 ()2440f x x x x =+-，[3,3]x ∈-的最小值.（答:－48） ⑩分离参数法：用2种方法求下列函数的值域： ①32([1,1])32x y x x += ∈--；②)0,(,3 2 -∞∈+-= x x x x y ；③)0,(,1 32 -∞∈-+-= x x x x y ； （Ⅴ）解应用题:审题(理顺数量关系)、建模、求模、验证. （Ⅵ）恒成立问题:分离参数法;最值法;化为一次或二次方程根的分布问题. a ≥f (x )恒成立?a ≥[f (x )]max,;a ≤f (x )恒成立?a ≤[f (x )]min ; （Ⅶ）任意定义在R 上函数()f x 都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和. 即f （x ）＝()()g x h x ＋其中g （x ）＝ ()() 2 f x f x +-是偶函数，h （x ）＝ ()() 2 f x f x --是奇函数 如：（1）已知()f x 是定义在(3,3)-上的奇函数，当03x <<时，()f x 的图像如右图所示，那么不等式()cos 0f x x < 的解集是_______ （答：(,1)(0,1)( ,3)2 2 π π - - ） ； （2）设()f x 的定义域为R +，对任意,x y R + ∈ ，都有 ()() ()x f f x f y y =-，且1x >时，()0f x <，又1 ()12 f =，①求证()f x 为减函数； ②解不等式2 ()(5)f x f x ≥-+-. （答：(][)0,14,5 ）． 21、导数几何物理意义:k =f /(x 0)表示曲线y=f (x )在点P (x 0,f (x 0))处切线的斜率. V ＝s /(t)表示t 时刻即时速度,a =v′(t)表示t 时刻加速度. sin ,cos ,tan ,,log x a y x y x y x y a y x ===== 如：一物体的运动方程是21s t t =-+，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3 t =时的瞬时速度为_____（答：5米/秒） 22、导数应用:?过某点的切线（即使点在曲线上）不一定只有一条； 如：已知函数3 ()3f x x x =-过点(2,6)P -作曲线()y f x =的切线，求此切线的方程. （答：30x y +=或24540x y --=）. ?研究单调性步骤:分析y=()f x 定义域;求导数;解不等式f /(x )≥0得增区间;解不等式f /(x )≤0得减区间;注意f /(x )=0的点； 如：设0>a 函数ax x x f -=3 )(在),1[+∞上单调函数，则实数a 的取值范围______.（答： 03a <≤）； ?求极值、最值步骤:求导数;求0)(='x f 的根;检验) (x f '在根左右两侧符号,若左正右负,则 f(x)在该根处取极大值;若左负右正,则f (x )在该根处取极小值;把极值与区间端点函数值比 较,最大的为最大值,最小的是最小值. 如：（1）函数512322 3+--=x x x y 在[0，3]上的最大值、最小值分别是__（答：5；15-） ； （2）已知函数32()f x x bx cx d =+++在区间[－1,2 ]上是减函数，那么b ＋c 有最__值__.（答：大，152 - ） （3）方程0109623=-+-x x x 的实根的个数为__.（答：1） 特别提醒：（1）0x 是极值点的充要条件是0x 点两侧导数异号，而不仅是()0f x '＝0，()0f x '＝0是0x 为极值点的必要而不充分条件. （2）给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑0()0f x '=，又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！ 如：函数()3 2 2 1f x x ax bx a x =+++=在处有极小值10，则a +b 的值为____（答：－7） 三、数列 22、a n ={ ) ,2() 1(* 11N n n S S n S n n ∈≥-=-(注意验证a 1是否包含在a n 的公式中) 23、 )*,2(2)(111中项常数｝等差｛N n n a a a d a a a n n n n n n ∈≥+=?=-?-+- 2 ()(0); n n a an b S An Bn ?=+?=+一次常数项为的二次 {}2n n-1n 11n (n 2,n N)q();0n n n a a a a a a a +-?=?≥∈??=? ≠? 等比定 如：若{}n a 是等比数列，且3n n S r =+，则r ＝ （答：－1） 24、首项为正的递减(或首项为负的递增)等差数列前n 项和最大(或最小)问题,转化为解不等式)00 (0011 ? ??≥≤?? ?≤≥++n n n n a a a a 或,或用二次函数处理；(等比前n 项积?)，由此你能求一般数列中的 最大或最小项吗？求一般数列{a n }的最大、最小项的方法（函数思想）： ①a n+1-a n =?? ???<=>0 00 如：a n = -2n 2 +29n-3；②1111n n a a +>??==??0) 如：a n =n n n 10)1(9+； 1 n 1;m ? n n n a a q S m m q -?=??=-?= ③ a n =f (n ) 研究函数f (n )的增减性 如：a n = 156 2 +n n ； 如：（1）等差数列{}n a 中，125a =，917S S =，问此数列前多少项和最大？并求此最大值.（答：前13项和最大，最大值为169）； （2）若{}n a 是等差数列，首项10,a >200320040a a +>，200320040a a ?<，则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是 （答：4006） 25、等差数列中a n =a 1+(n -1)d ;S n =d n n na 2 )1(1-+ =d n n na n 2 )1(-- = 2 ) (1n a a n + 等比数列中a n = a 1 q n-1 ;当q=1,S n =n a 1 当q≠1,S n =q q a n --1)1(1= q q a a n --11 26、常用性质：等差数列中, a n =a m + (n －m )d, n m a a d n m --= ;当m+n=p+q,a m +a n =a p +a q ； 等比数列中，a n =a m q n-m ; 当m+n=p+q ，a m a n =a p a q ； 如：（1）在等比数列{}n a 中，3847124,512a a a a +==-，公比q 是整数，则10a = （答：512）； （2）各项均为正数的等比数列{}n a 中，若569a a ?=，则3132310log log log a a a +++= （答：10）； 27、常见数列：{a n }、{b n }等差则{ka n +tb n }等差；{a n }、{b n }等比则{ka n }(k≠0)、??????n b 1、 {a n b n }、? ?????n n b a 等比；{a n }等差,则{}n a c (c>0)成等比，{b n }(b n >0)等比,则{log c b n }(c>0且c ≠1)等差。 28、等差数列三数可设为a -d,a ,a +d ；四数可设为a -3d,a -d,a +d,a +3d ；等比三数可设a /q,a ,aq ； 如：有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数.（答：15，,9，3,1或0,4，8,16） 29、等差数列{a n }的任意连续m 项的和构成的数列S m 、S 2m -S m 、S 3m -S 2m 、S 4m - S 3m 、……仍为等差数列；等比数列{a n }的任意连续m 项的和且不为零时构成的数列S m 、S 2m -S m 、S 3m -S 2m 、S 4m - S 3m 、……仍为等比数列. 如：公比为-1时，4S 、8S -4S 、12S -8S 、…不成等比数列. 30、等差数列{a n },项数2n 时,S 偶-S 奇＝nd ，q S S =奇 偶； 项数2n -1时,S 奇-S 偶＝a n ;，1S a qS =+奇偶. 31、求和方法：公式法、分组、裂项相消、错位相减、倒序相加.关键找通项结构. 分组法：如：a n =2n+3n ；错位相减法求和：如：a n =(2n-1)2n ； 裂项法求和：如：求和：111 112 123 123n + + ++ =+++++++ （答： 21 n n +） 倒序相加法求和：如：①求证：01235(21)(1)2n n n n n n C C C n C n +++++=+ ； ②已知22 ()1x f x x = +，则111(1)(2)(3)(4)()()()2 3 4 f f f f f f f ++++++＝ 72 32、求通项方法： （1）已知数列的前n 项和n S ，求通项n a ，可利用公式：1n 1 (n 1)S (n 2)n n S a S -=?=?-≥?； 如：数列{}n a 满足122 111252 2 2 n n a a a n + ++ =+ ，求n a （答：{ 1 14,1 2,2 n n n a n +== ≥） （2）先猜后证； （3）递推式为n 1a ＋＝n a ＋()f n (采用累加法)；n 1a ＋＝n a ×()f n (采用累积法)； 如：已知数列{}n a 满足11a =，n n a a n n + += --111(2)n ≥，则n a =________； （答：1n a = ） （4）构造法：形如1n n a ka b -=+、1n n n a ka b -=+（,k b 为常数）的递推数列； 如：已知111,32n n a a a -==+，求n a （答：1 231n n a -=- ）； （5）倒数法：形如：11n n n a a ka b --= +的递推数列都可以用倒数法求通项 如：①已知1111,31 n n n a a a a --== +，求n a （答：132 n a n = -）； ②已知数列满足1a =1 =n a （答：2 1n a n = ）； （6）此外对数法,不动点法,特征方程法等. 33、常见和：1123(1)2n n n ++++=+ ，222 112(1)(21)6 n n n n +++=++ ， 3333 2 (1)123[ ]2 n n n +++++= 四、三角 34、与α终边相同的角的集合(β=2kπ+α)； 弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：2 11||22 S lR R α==，1弧度(1rad)57.3≈ ； 如：已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积.（答：22cm ） 35、函数y=++?)sin(?ωx A b （0 ,0>>A ω） ①五点法作图； ②振幅?相位?初相?周期T = ω π 2,频率?φ=kπ时奇函数;φ=kπ+2 π 时偶函数； ③对称轴处y 取最值,对称中心处值为0（余弦正切可类比） 如：（1）函数522y sin x π ?? =- ??? 的奇偶性是______（答：偶函数） ； （2）已知函数31f (x )ax b sin x (a ,b =++为常数），且57f ()=，则5f()-=（答：－5）； （3）函数)cos (sin cos 2x x x y +=的图象的对称中心和对称轴分别是______、______. （答：128 k ( ,)(k Z )ππ - ∈、2 8 k x (k Z )ππ = + ∈） （4）已知f (x )sin(x )x )θθ=+++为偶函数，求θ的值. （答：6 k (k Z )π θπ=+ ∈） ④变换:φ正左移负右移；b 正上移负下移; )sin()sin(sin 1 | |Φ+=???????→?Φ+=????→?=Φx y x y x y ωω 倍 横坐标伸缩到原来的 左或右平移 )sin(sin sin | | 1 Φ+=????→?=???????→?=Φ x y x y x y ωωω ω 左或右平移倍横坐标伸缩到原来的 b x A y x A y b A +Φ+=????→?Φ+=???????→?)sin()sin(| |ωω上或下平移倍纵坐标伸缩到原来的 36、正弦定理：2R= A a sin = B b sin = C c sin ； 余弦定理：a 2 =b 2 +c 2 -2bc A cos ,bc a c b A 2cos 2 2 2 -+=; 内切圆半径：r= c b a S ABC ++?2；面积公式：1 11 sin sin sin 222 S ab C bc A ca B = == 术语：坡度、仰角、俯角、方位角（以特定基准方向为起点（一般为北方），依顺时针方式旋转至指示方向所在位置，其间所夹的角度.方位角α的取值范围是：0°≤α＜360°,方向角等. 37、同角基本关系：如：（1）已知 11 tan tan -=-αα，则 α αααco s si n co s 3si n +-＝____；（答：3 5-） （2）2cos sin sin 2++ααα＝_________（答： 5 13） 38、诱导公式简记：奇变偶不变．．．．．,．符号看象限．．．．．．(注意：公式中始终视．．．α．为锐角．．．)． 39、重要公式： 22cos 1sin 2 α α-=；2 2cos 1cos 2α α += ； α αα α α ααsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12 tan -= += +-± =; 2 sin 2 cos )2sin 2 (cos sin 12 θ θ θ θ θ±=±= ±； 如：函数25f (x )sin x cos x x =-x R )+∈的单调递增区间为_______ （答：51212 [k ,k ](k Z )π πππ- + ∈） 巧变角：如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-， 2()()αβαβα=+--，22 αβαβ++=? ， ( )()2 2 2αβ β ααβ+=- - - 等. 如：（1）已知2tan()5 αβ+= ，1tan()4 4 π β- = ，那么tan()4π α+ 的值是_____.（答：3 22）；（2）已知,αβ为锐角，sin ,cos x y αβ==，3cos()5 αβ+=-，则y 与x 的函数关系 为______.（答：43( 1)5 5 y x x =- <<） 40、辅助角公式中辅助角的确定：()sin cos a x b x x θ+= +(其中tan b a θ= ) 如：（1）当函数23y cos x sin x =-取得最大值时，tan x 的值是______(答：32 -)； （2）如果()()sin 2cos()f x x x ??=+++是奇函数，则tan ?= (答：－2)； 五、平面向量 41、向量定义、向量模与夹角、零向量、单位向量、相反向量(长度相等方向相反的向量叫做相反向量.a 的相反向量是－a )、共线向量、相等向量. 注意：不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移） 42、加、减法的平行四边形与三角形法则：AC BC AB =+;CB AC AB =- 43+≤±≤-44、向量数量积的性质：设两个非零向量a ，b ，其夹角为θ，则： ①0a b a b ⊥??= ； ②当a ，b 同向时，a ?b ＝a b ，特别地，22,a a a a a =?== ； 当a 与b 反向时，a ?b ＝－a b ； 当θ为锐角时，a ?b ＞0，且 a b 、不同向，0a b ?> 是θ为锐角的必要非充分条件； 当θ为钝角时，a ?b ＜0，且 a b 、不反向，0a b ?< 是θ为钝角的必要非充分条件； ③||||||a b a b ?≤ ； 如：已知)2,(λλ=→ a ，)2,3(λ=→ b ，如果→a 与→ b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是______（答：43 λ<- 或0λ>且13 λ≠ ）； 45、向量b 在a 方向上的投影：︱b ︱cos θ ； 46、→ 1e 和→ 2e 是平面一组基底，则该平面任一向量→ → → +=2211e e a λλ(21,λλ唯一)； 特别：OP ＝12O A O B λλ+ ，则121λλ+=是三点P 、A 、B 共线的充要条件. 如：平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点)1,3(A ,)3,1(-B ,若点C 满足=?→ ?OC ?→ ??→ ?+OB OA 21λλ,其中R ∈21,λλ且121=+λλ,则点C 的轨迹是_______（答：直线AB ） 47、在A B C ?中，①1()3 PG PA PB PC =++ ?G 为A B C ?的重心， 特别地：0PA PB PC P ++=? 为A B C ?的重心； ②PA PB PB PC PC PA P ?=?=?? 为A B C ?的垂心； ③向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠ 所在直线过A B C ?的内心(是B A C ∠的角平分线所在直线)； ④||||||0AB PC BC PA C A PB P ++=? A B C ?的内心； ⑤S ⊿AOB ＝A B B A y x y x -2 1 ; 如：（1）若O 是A B C ?所在平面内一点，且满足2O B O C O B O C O A -=+- ，则A B C 的形状为____（答：直角三角形）； （2）若D 为A B C ?的边B C 的中点，A B C ?所在平面内有一点P ，满足 0PA BP CP ++= ，设|| || AP PD λ= ，则λ的值为___（答：2） ； （3）若点O 是ABC △的外心，且0OA OB CO ++= ，则ABC △的内角C 为__（答：120 ） ； 48、P 分21P P 的比为λ,则P P 1=λ2P P ；λ＞0内分；λ＜0且λ≠-1外分； 向量式：OP ＝λ λ++121OP OP ；若λ＝1，则OP ＝ 2 1(1OP +2OP )； 设P(x ,y)，P 1(x 1,y 1)，P 2(x 2,y 2) 则??? ????++=++=.1,12121λλλ λy y y x x x ;中点???????+=+=.2,22121y y y x x x 重心??????? ++=++=.3y y y y ,3x x x x 321321(注:对空间向量也适用) 49、点),(y x P 按),(k h a = 平移得) ,(y x P ''',则PP ' ＝a 或???+='+='k y y h x x 函数)(x f y =按),(k h a = 平移得函数方程为：)(h x f k y -=- 如：（1）按向量a 把(2,3)-平移到(1,2)-，则按向量a 把点(7,2)-平移到点 _. （答：（－８，３））； （2）函数x y 2sin =的图象按向量→ a 平移后，所得函数的解析式是12cos +=x y ，则→ a ＝________.（答：)1,4(π - ） 注：将向量(2,1)a = 按b 平移,a 会变化吗?为什么? 六、不等式 50、注意课本上的几个性质，另外需要特别注意： ①若a b>0，则 b a 11> .即不等式两边同号时，不等式两边取倒数，不等号方向要改变. ②如果对不等式两边同时乘以一个代数式，要注意它的正负号，如果正负号未定，要注意分类讨论. 如：已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______. （答：137x y ≤-≤）； 51、比较大小的常用方法： （1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； （2）作商（常用于分数指数幂的代数式）； （3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量与“0”比，与“1”比或放缩法；(8)图象法.其中比较法（作差、作商）是最基本的方法. 如：（1）设0,10>≠>t a a 且，比较2 1 log log 2 1+t t a a 和的大小. （答：当1a >时，11log log 2 2 a a t t +≤（1t =时取等号）； 当01a <<时， 11log log 2 2 a a t t +≥（1t =时取等号））； （2）设2a >，12 p a a =+-，2 42 2-+-=a a q ，试比较q p ,的大小。（答：p q >） 52、常用不等式： （1）若0,>b a 22 11a b a b +≥≥ ≥ +（当且仅当b a =时取等号）； （2）a 、b 、c ∈R ，222 a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）； （3）若0,0a b m >>>，则 b b m a a m +< +（糖水的浓度问题）. 如：如果正数a 、b 满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是_________（答：[)9,+∞） 基本变形： ≥+b a ；≥+2 ) 2 ( b a ； 注：①一正二定三取等；②积定和最小,和定积最大.常用的方法为：拆、凑、平方； 如：①函数)2 1(4294> -- =x x x y 的最小值 .（答：8） ②若若21x y +=，则24x y +的最小值是______ （答：）； ③正数,x y 满足21x y +=，则 y x 11+ 的最小值为______（答：3+）； 53、 b a b a b a +≤±≤-(何时取等？)；||||a a a -≤≤ 54、证法：①比较法:差比:作差--变形(分解或通分配方)--定号.；商比 ②综合法--由因导果;③分析法--执果索因;④反证法--正难则反.⑤放缩法方法有： ?添加或舍去一些项，如：a a >+12 ；n n n >+)1( ?将分子或分母放大（或缩小） ?利用基本不等式， 如：4lg 16lg 15lg ) 2 5 lg 3lg (5lg 3log 2 =<=+ ) 1()1(++< +n n n n ?利用常用结论： （Ⅰ）k k k k k 21111< ++= - +； （Ⅱ） k k k k k 11 1)1(112 --= -< ； 1 11) 1(112 +- = +> k k k k k （程度大） （Ⅲ） )1 11 1 ( 21 ) 1)(1(11 112 2 +--= +-=-< k k k k k k ； （程度小） ⑥换元法：常用的换元有三角换元和代数换元.如： 已知2 2 2 a y x =+，可设θθsin ,cos a y a x ==； 已知12 2≤+y x ，可设θθsin ,cos r y r x ==(10≤≤r )； 已知 12 22 2=+ b y a x ，可设θθsin ,cos b y a x ==； 已知12 22 2=-b y a x ，可设θθtan ,sec b y a x ==； ⑦最值法：如：a >f max (x ),则a >f (x )恒成立. 55、解绝对值不等式：①几何法(图像法)②定义法(零点分段法);③两边平方； ④公式法：|f(x)|>g(x)? ;|f(x)| 56、分式、高次不等式：通分因式分解后用根轴法（穿线法）；注意偶次式与奇次式符号：奇穿偶不穿. 如：（1）解不等式32(3)(1)(2)0x x x +-+≥.（答：{|13x x x ≥≤-或或2}x =-）； （2）解不等式 2 ()1 ax x a R ax >∈-（答：0a =时，{|x 0}x <；0a >时，1{|x x a > 或 0}x <；0a <时，1{|0}x x a <<或0}x <）. 七、立几 57、位置和符号①空间两直线:平行、相交、异面;判定异面直线用定义或反证法； ②直线与平面: a ∥α、a ∩α=A (a ?α) 、a ?α；③平面与平面:α∥β、α∩β=a 58、常用定理：①线面平行ααα////a a b b a ????????;αββα////a a ?? ???;α αββα//a a a ??? ? ?? ?⊥⊥ ②线线平行:b a b a a ////??????=??βαβα ;b a b a //????⊥⊥αα;b a b a ////??? ???=?=?γβγαβα;b c c a b a //////?? ?? ③面面平行:β αββαα////,//,??? ??? =???b a O b a b a ; βαβα//?? ?? ⊥⊥a a ; γ αβγβα//////?? ?? ④线线垂直:b a b a ⊥? ? ???⊥αα;所成角900 ；PA a AO a a PO ⊥??? ? ?? ⊥?⊥α α(三垂线);逆定理? ⑤线面垂直:ααα⊥??????⊥⊥=???l b l a l O b a b a ,,;βαβαβ α⊥??? ???⊥?=?⊥a l a a l ,;βαβα⊥?? ? ? ⊥a a //; αα⊥?? ?? ⊥b a b a // ⑥面面垂直：二面角900; βααβ⊥?? ?? ⊥?a a ; βααβ⊥?? ?? ⊥a a // 59、空间角： ①异面直线所成角θ：（1）范围：(0, ]2 π θ∈；（2）求法：平移以及补形法、向量法. 如：（1）正四棱锥ABCD P -的所有棱长相等，E 是PC 的中点，那么异面直线BE 与PA 所成的角的余弦值等于____（答： 3 3）； （2）在正方体AC 1中，M 是侧棱DD 1的中点，O 是底面ABCD 的中心，P 是棱A 1B 1上的一点，则OP 与AM 所成的角的大小为____（答：90°）； ②直线和平面所成的角：（1）范围[0,90] ；（2）最小角定理：斜线与平面中所有直线所 2010年高考数学考前提醒100条 1. 注意区分集合中元素的形式：① {}x x y x -=2 |，②{ }x x y y -=2|，③{}x x y y x -=2 |),(，④{}02 =-x x ⑤ {}0|2 =-x x x 如⑴{|3}M x y x ==+， N ＝{ }2 |1,y y x x M =+∈，则M N =___（答：[1,)+∞） ；⑵{|(1,2)(3,4)} M a a R λλ==+∈，{|(2,3)(4,5)N a a λ==+，}R λ∈，则=N M _____（答：)}2,2{(--） 2. 遇到B A ?或 ?=B A 不要遗忘了?=A 的情况，如：⑴}0158|{2=+-=x x x A ，，}01|{=-=ax x B 若 A B ?，求实数a 的值.(不要遗忘a =0的情况)⑵}012|{2=--=x ax x A ，如果φ=+R A ，求a 的取值。（答：a ≤ 0） ⒊ ⑴{x|x=2n-1，n ∈Z}={x|x=2n+1，n ∈Z}={x|x=4n ±1，n ∈Z}⑵{x|x=2n-1，n ∈N}≠{x|x=2n+1，n ∈N} 4. C U (A ∩B)=C U A ∪C U B; C U (A ∪B)=C U A ∩C U B 5. A ∩B=A ?A ∪B=B ?A ?B ?C U B ?C U A ?A ∩C U B=??C U A ∪B=U ⒍ 原命题: p q ?;逆命题: q p ?;否命题: p q ???；逆否命题: q p ???；互为逆否的两个命题是等价的. 如：“βα sin sin ≠”是“β α≠”的 条件。（答：充分非必要条件） ⒎ 注意命题 p q ?的否定与它的否命题的区别: 命题p q ?的否定是p q ??；否命题是p q ??? 命题“p 或q ”的否定是“┐p 且┐q ”，“p 且q ”的否定是“┐p 或┐q ” ⒏ 注意下面几个命题的真假：⑴“一定是”的否定是“一定不是”（真）；⑵若|x|≤3，则x ≤3；（真）⑶若x+y ≠ 3，则x ≠1或y ≠2；（真）⑷若p 为lgx ≤1，则┐p 为lgx>1；（假）⑸若A={x|x ≠1}∪{y|y ≠2},B=(-∞,1)∪(1,2)∪(2,+∞),则A=B.(假) ⒐ 在映射f ：A →B 中满足两允许，两不允许：允许B 中有剩余元素，不允许中有剩余元素A ；允许多对一，不允许一对多. 10. ⑴A={(x,y)|x=a},B={(x,y)|y=f(x)},则A ∩B 中至多有一个元素;⑵若f(x)存在反函数,则方程f(x)=a 至多有一个实根. 11. 函数的几个重要性质：①如果函数()x f y =对于一切R x ∈，都有()()x a f x a f -=+，那么函数()x f y =的图象关 于直线a x =对称?()y f x a =+是偶函数； ②若都有()()x b f x a f +=-，那么函数()x f y =的图象关于直线2 b a x +=对称；函数()x a f y -=与函数()x b f y +=的图象关于直线2 b a x -= 对称；③函数()x f y =与函数()x f y -=的图象关于直线0=x 对称；函数()x f y =与函数()x f y -=的图象关于直线0=y 对称；函数()x f y =与函数()x f y --=的 图象关于坐标原点对称；④若奇函数()x f y =在区间()+∞,0上是增函数，则()x f y =在区间()0,∞-上也是增函数；若偶函 数 ()x f y =在区间()+∞,0上是增函数，则()x f y =在区间()0,∞-上是减函数； 12. 求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，你标注了该函数的定义域了吗？ 13 函数与其反函数之间的一个有用的结论： ()().b f 1a b a f =?=-原函数与反函数图象的交点不全在y=x 上，如y=1+2x-x 2 （x ≥1）和其反函数图象的交点有3个：（1，2），（2，1），（ 2 51+， 2 5 1+）. 14 原函数 ()x f y =在区间[]a a ,-上单调递增，则一定存在反函数，且反函数()x f y 1-=也单调递增；但一个函数存在反函 数，此函数不一定单调． 15 判断一个函数的奇偶性时，你注意到函数的定义域是否关于原点对称这个必要非充分条件了吗？奇偶性：f(x)是偶函数 ?f(-x)=f(x)=f(|x|);f(x)是奇函数?f(-x)=-f(x); 高考考前数学120个提醒 一、集合与逻辑 1、（Ⅰ）区分集合中元素的形式：如：{}x y x lg |=—函数的定义域；{}x y y lg |=—函数的值域； {}x y y x lg |),(=—函数图象上的点集，如（1）设集合{|3}M x y x ==+，集合N ＝ {}2 |1,y y x x M =+∈，则M N =___（答：[1,)+∞） ；（2）设集合{|(1,2)(3,4),}M a a R λλ==+∈，{|(2,3)(4,5)N a a λ==+，}R λ∈，则=N M _____（答：)}2,2{(--）（Ⅱ）（1） M ={}R a x ax y a 的定义域为)lg(2+-=，求M ；（2）N ={} R a x ax y a 的值域为)lg(2+-=。 解：（1）02 >+-a x ax 在R x ∈恒成立，①当0=a 时，0>-x 在R x ∈不恒成立；②当0≠a 时， 则???<->04102a a ??? ???>-<>21210a a a 或?21>a ∴M =??? ??+∞,21；（2）a x ax +-2能取遍所有的正实数。①当0=a 时，x -R ∈；②当0≠a 时，则???≥->04102a a ??????≤≤->212 10a a ?210≤c f ，求实数p 的取值范围。 （答：3 (3,)2 -） 4、充要条件与命题：（1）充要条件：①充分条件：若p q ?，则p 是q 充分条件。②必要条件：若q p ?，则p 是q 必要条件。③充要条件：若p q ?，且q p ?，则p 是q 充要条件。注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然。（2）四种命题：①原命题：p q ?；②逆命题：q p ?；③否命 题：p q ???；④逆否命题：q p ???；互为逆否的两个命题是等价的。 如：“βαsin sin ≠”是“βα≠”的 条件。（答：充分非必要条件）（3）若p q ?且q p ≠；则p 是q 的充分非必要条件（或q 是p 的必要非充分条件）；（4）注意命题p q ?的否定与它的否命题的区别：① 命题p q ?的否定是p q ??；②否命题是p q ???；③命题“p 或q ”的否定是“┐P 且┐Q ”；④“p 且q ”的否定是“┐ P 或┐Q ”。（5）注意：如 “若a 和b 都是偶数，则b a +是偶数”的否命题是“若a 和b 不都是偶数，则b a +是奇数”；否定是“若a 和b 都是偶数，则b a +是奇数”。 2019年高考数学考前3小时提醒 1、相信自己，相信我们平时的复习都是很全面、很扎实的！遇到设问新颖的试题，千万不要着急， 2、开考前5分钟，全面浏览一下试卷，做到心中有数儿，然后看选择题前5道和填空题前3道，争取口算、默算出结果或者找到思路、方法，开考铃声一响就能将这8道题秒杀！！！ 3、对于第8题、第14题，读完题能够有思路就做，最多给5分钟时间，还做不出结果，一定要先放弃！赶快做前三个解答。 4、第一题无论考什么类型的题，都是第一题的难度！ 5、三角函数热点公式：2222cos2cos sin 2cos 112sin θθθθθ=-=-=-，其变形： 21cos2sin 2θθ-=，21cos2cos 2 θθ+=；注意44sin cos θθ-和44sin cos θθ+的化简， 6、三角函数图象变换：sin 2sin(2)3x x π→-如何变换：沿x 轴向右平移6π个单位， 注意：“要得到········，只需将······平移······”注意“是由谁变到谁？” 7、基本不等式链： 2 min{,}max{,}112a b a b a b a b +≤≤≤≤≤+，知道其中一个的值，就可以求其它式子的范围或最值。但凡用到均值不等式求最值，一定要写“当且仅当·····”，包括解答题中！ 想到平面向量中的两个不等式式：||||||||||-≤±≤+a b a b a b （注意等号成立的条件！） ||||||||-?≤?≤?a b a b a b （数量积小于等于模之积）注意等号成立条件！ 8、遇到函数问题，先考虑定义域； 求极值、最值、零点问题，先利用导数分析函数的单调性！ 遇到不等式恒成立问题时，要先变形不等式，再设新函数，如果参变分离时就得讨论参数范围，还不如不参变分离； 遇到证明不等式，一定要先分析后构造：“要证·····，只需证····，只需证·····” 直到能轻松构造函数为止。 9、设直线y kx m =+时，要注意斜率不存在的情况，根据问题决定“先一般后特殊”还是“先特殊后一般”； 遇到动直线过x 轴上一点(,0)m 时，可以考虑设直线：“x h y m =+”，但是要思考该直线与 x 重合时的情形，看题目中有没有“不与x 轴重合”等字样，然后再思考“先一般后特殊”还是“先特殊后一般”； 10、立体几何的折叠问题：一定要注意：折叠前后的“变”与“不变”都哪些位置关系和数量关系；注意求“直线与平面所成角的正弦时，要先设线面角为θ，然后有 s i n |c o s ,||||| A B n A B n A B n θ?=??=?” 对于应用题、数学文化题、创新题，一定要读题三遍！！！ 注意：做选择题的方法与技巧：排除法、特殊值特殊图形法、代入检验法！！！ 祝你成功！轻松突破130分！加油！优秀的经纶毕业生！！！高三数学高考考前提醒100条
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