三次函数——导数应用中永恒的经典 【考点定位 】 考试说明： 了解导数概念及其几何意义；会用常见基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则求简 单函 数和简单复合函数的导数；了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数 的单调区间，会用导数求函数的极值和闭区间上函数的最值 . 问题概述： 三次函数 y ax 3 bx 2 cx d(a 0) 一直是中学阶段一个重要的函数，在高考和一些重大考试中 频繁出现有关它的单独命题 .2014 年高考，在全国卷、浙江卷、天津卷、安徽卷、北京卷、辽宁卷、陕西 卷、江西卷、广东卷中都出现了这个函数的单独命题，特别是浙江卷(理) 、北京卷(文) 、广东卷(文) 以压轴题的形式出现，更应该引起我们的重视 .单调性和对称性最能反映这个函数的特性 .通常以它为素材 来研究函数的单调性、极值、最值等性质，还可沟通函数、方程、不等式、等知识之间的有机联系 .本文以 2014 年高考为例，例谈高考中的三次函数问题 . 【考量基础】 三次函数的单调区间及闭区间上的最值 例 1【 2014高考安徽卷第 18题】设函数 f (x) 1 (1 a)x x 2 x 3,其中 a 0. (1) 讨论 f (x) 在其定义域上的单调性； (2) 当 x ［0,1］时，求 f ( x)取得最大值和最小值时的 x 的值. 解析： 2' (x) 1 a 2x 3x 2 .令 f '(x) 0 ，得 x 1 x 1 x x 2时， f '(x) 0.故 f (x)在( ,x 1)和 (x 2, ) 内递减，在 (x 1,x 2)内递增 . 2)因为 a 0，所以 x 1 0,x 2 0.当a 4时， x 2 1 ，由( 1)知， f (x)在［0,1］ 上递增，所以 f(x) 在 x 0和 x 1处分别取得最小值和最大值 .当0 a 4时， x 2 1，由(1)知， f (x)在［0,x 2］上递增， 1 4 3a 在［ x 2 ,1］递减，所以 f(x)在 x x 2 处取得最大值 .又 f (0) 1, f (1) a ，所以当 0 a 1 3 时， f (x)在 x 1处取得最小值；当 a 1时， f(x)在 x 0和 x 1处同事取得最小值；当 1 a 4时， 1 4 3a 1) f (x) 的定义域为 ( , ) ， x 2 1 4 3a 3 x 1 x 2，所以 f (x) 3(x x 1)(x x 2).当 x x 1或 x x 2时， (x) 0 ；当
零点问题的求解策略（讲课版） 2018.7.9 函数零点问题的定性判定： 1、二次函数零点：由二次函数的判别式来决定零点的个数；若是区间上的问题，还应考虑区间上的最值问题； 2、超越函数的零点问题：由于零点不能直接通过方程求出，从而采用一种“试根法”；即为《零点存在性定理》。 定理内容：（请填空） 已知函数()f x 在闭区间[],a b 上__________________，并且()f a 与()f b 中_____________，则在该区间内__________________个零点。 函数零点问题的定量问题： 1、二分法（此处不做介绍） 2、导数引入：超越函数较难解决方程的直接求解，那么不得不引入导函数这一个工具，，导数可以研究函数的_________________，_____________________。并且零点与上述两个因素密不可分。 3、优先考虑的方法：分离参数法，研究不带参数的函数，通过参数变化以及图像直接求解，但是计算较为繁杂； 4、分类讨论，讨论含有参数的函数。 【答案】单调性，最值与极值，/3、、判断零点个数，零点存在性定理与单调性的结合就体现了出来哦！下面一起来探究几个问题吧！ （1）()f x 是R 上的连续函数，且在[] ,a b 上单调，那么函数的零点个数为几个？ （2）若上述函数不单调，存在一个极值点，那么函数的零点个数如何判定？ （3）若函数存在两个极值点（三次函数为例，后期将专题讲解）则零点个数又该如何判定呢？ 通过上述的三个思考，如何深入这类问题？ 1、零点问题与函数的极值，最值，单调性有着密不可分的关系； 2、零点存在性定理与单调性结合形成既定性又定量的关系； 3、单调函数不一定有零点，取决于它的极限值。 4、（难点）超越函数的试根方法，涉及取点，隐零点，极限问题。那么如何取点，也是一个问题；隐零点又如何确定？（答：设而不求，过渡） 涉及的命题点： 1、函数的最值又是一个以参数为主元的函数，决定零点的个数，对含参数函数的研究； 2、求导数以后导函数是一个超越函数，不便于求零点，那么构造这个函数研究其零点问题； 3、涉及函数的极限问题，单调函数是否只有一个零点？它有没有渐近线？预测结果，可以
2016届高考复习·三次函数高考题及模拟题 1.[2014·陕西卷] 如图1-2，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为 图1-2 A ．y ＝1125x 3－35x B ．y ＝2125x 3－45x C ．y ＝3125x 3－x D ．y ＝－3125x 3＋15 x 答案：A 2. [2014·江西卷] 在同一直角坐标系中，函数y ＝ax 2－x ＋a 2 与y ＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a (a ∈R )的图像不可能是( ) 答案：B 3. [2014·陕西卷文科] 如图1-2所示，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为( ) 图1-2 A ．y ＝12x 3－12x 2－x B ．y ＝12x 3＋12x 2－3x C ．y ＝14x 3－x D ．y ＝14x 3＋12 x 2－2x 答案：A 4. 设a 为实数，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －2)x 的导函数是f ′(x )，且f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为( ) A ．y ＝－2x B ．y ＝3x C ．y ＝－3x D ．y ＝4x 【解析】由已知得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a －2，因为f ′(x )是偶函数，所以a ＝0，即f ′(x )＝3x 2－2，从而f ′(0)＝－2，所以曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为y ＝－2x .【答案】A 5. [2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，－2) D ．(－∞，－1) 答案：C [解析] 当a ＝0时，f (x )＝－3x 2＋1，存在两个零点，不符合题意，故a ≠0.
二次函数七大综合专题 二次函数与三角形的综合题
函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径 ① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边．和角．的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。 ②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。 ③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。 如图，已知抛物线与交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与轴交于点B(0，3)。 （1） 求抛物线的解析式； （2） 设抛物线顶点为D ，求四边形AEDB 的面积； （3） △AOB 与△DBE 是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。 （2016?益阳第21题） 如图，顶点为A 的抛物线经过坐标原点O ，与x 轴交于点B ． （1）求抛物线对应的二次函数的表达式； （2）过B 作OA 的平行线交y 轴于点C ，交抛物线于点D ，求证：△OCD ≌△OAB ； （3）在x 轴上找一点P ，使得△PCD 的周长最小，求出P 点的坐标． x y
考点：考查二次函数，三角形的全等、三角形的相似。 解析：（1 ）∵抛物线顶点为A ， 设抛物线对应的二次函数的表达式为2(1y a x =+， 将原点坐标（0，0）代入表达式，得1 3a =-． ∴抛物线对应的二次函数的表达式为：213y x =-+ ． （2）将0y = 代入213y x =-+ 中，得B 点坐标为：， 设直线OA 对应的一次函数的表达式为y kx =， 将A 代入表达式y kx = 中，得k = ， ∴直线OA 对应的一次函数的表达式为y x =． ∵BD ∥AO ，设直线BD 对应的一次函数的表达式为y b =+， 将 B 代入y b = +中，得2b =- ， ∴直线BD 对应的一次函数的表达式为2y x =-． 由2213y x y x ?= -????=-?? 得交点D 的坐标为(3)-， 将0x = 代入2y =-中，得C 点的坐标为(0,2)-， 由勾股定理，得：OA =2=OC ，AB =2=CD , OB OD ==． 在△OAB 与△OCD 中，OA OC AB CD OB OD =?? =??=? ， ∴△OAB ≌△OCD ． （3）点C 关于x 轴的对称点C '的坐标为(0,2)，则C D '与x 轴的交点即为点P ，它使得△PCD 的周长最小． 过点D 作DQ ⊥y ，垂足为Q ，则PO ∥DQ ．∴C PO '?∽C DQ '?． ∴ PO C O DQ C Q '=', 25 = ，∴PO =， ∴ 点P 的坐标为(． 二次函数与平行四边形的综合题 7
三次函数专题一全解全析 一、定义： 定义1、形如y = a^^bx2^cx^d（a^0）的函数，称为“三次函数”（从函数解析式的结构上命名） 定义2、三次函数的导数/ = 3a? + 2Z＞x+c（a^0）,把△ = 42?-12ac叫做三次函数导函数 的判別式 由于三次函数的导函数是二次函数，而二次函数是高中数学中的重要内容，所以三次函数的问题，已经成为高考命题的一个新的热点和亮点。 二、三次函数图象与性质的探究： 1、单调性 般地，当沪-纭SO时,三次函数y = ax3 ^bx2 ^cx^d（a^0）在R上是单调函数；当沪一如＞0时，三次函数尹=ax3 +cx + N（a工0）在R上有三个单调区间 （根据。＞ 0，。＜ 0两种不同情况进行分类讨论） 2、对称中心 三次函数/（x） = ax3# 0）是关于点对称，且对称屮心为点（-$,?/（-纟■））， 3a 3a 此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。 证明：设函数/（X）= +0戏+cx + d（aM0）的对称中心为（ni, n）。 按向量了?（-加，-刃）将函数的图象平移，则所得函数是奇函数，所以 /（x+w） +/（-x +w）- 2n = 0化简得：+ +cm十d -n = 0 _ b 上式对x € A ffi成立，故3wa + b = 0,得w=,
3a
am+cM+d = /（一一）。 3a 所以，函数y = ax3 +Z＞x2 +cx+rf（a^O）的对称中心是（一￡，，（-冷）。 可见，y=f（x）图象的对称中心在导函数y =广（力的对称轴上，且又是两个极值点的中点, 同时也是二阶导为零的点。 3、三次方程根的问题 （1）当厶=4b2-12ac＜0时，由于不等式/^）＞0恒成立，函数是单调递增的，所以原方程仅有一个实根。 （2）当厶=4沪-12ac ＞0时，由于方程/W=0有两个不同的实根心,乃，不妨设心＜乃，可知，（兀/（心））为函数的极大值点，（乃,/（乃））为极小值点，且函数y = /（z）在（一8/J和（X2，-KO）上单调递增，在［x p X2］上单调递减。 此时： %1若/（心）?/（乃）＞0,即函数y = f⑴极大值点和极小值点在兀轴同侧，图象均与x轴只有一个交点，所以原方程有且只有一个实根。 %1若/（心）?/（兀2）＜0,即函数y = /（x）极大值点与极小值点在x轴异侧，图象与％轴必有三个交点，所以原方程有三个不等实根。 %1若/（心）?/仗2）= 0,即/（心）与/（X2）中有且只有一个值为0,所以，原方程有三个实根，其中两个相等。 4、极值点问题 若函数f（x）在点X。的附近恒有f （xo）^f（x）（或f（x°）Wf（x））,则称函数f（x）在 点 Xo处取得极大值（或极小值），称点Xo为极大值点（或极小值点）。
三次函数专题讲义 一、定义： 定义1、形如3 2 (0)y ax bx cx d a =+++≠的函数，称为“三次函数”（从函数解析式的结构上命名）。 定义2、三次函数的导数2 32(0)y ax bx c a '=++≠，把2412b ac ?=-叫做三次函数导函数的判别式。 由于三次函数的导函数是二次函数，而二次函数是高中数学中的重要内容，所以三次函数的问题，已经 成为高考命题的一个新的热点和亮点。 二、三次函数图象与性质的探究： 1、单调性。 一般地，当032 ≤-ac b 时，三次函数)0(2 3 ≠+++=a d cx bx ax y 在R 上是单调函数；当 032>-ac b 时，三次函数)0(23≠+++=a d cx bx ax y 在R 上有三个单调区间。 （根据0,0<>a a 两种不同情况进行分类讨论） 2、对称中心。 三次函数)0()(2 3 ≠+++=a d cx bx ax x f 是关于点对称，且对称中心为点))3(,3(a b f a b --，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。 证明：设函数的对称中心为（m ，n ）。 按向量 将函数的图象平移，则所得函数 是奇函数，所以 化简得： 上式对 恒成立，故 ，得， 。 所以，函数 的对称中心是（ ）。 可见，y ＝f(x)图象的对称中心在导函数y ＝的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也 是二阶导为零的点。 3、三次方程根的问题。 （1）当△=01242 ≤-ac b 时，由于不等式0)(≥'x f 恒成立，函数是单调递增的，所以原方程仅有一个实根。 （2）当△=01242 >-ac b 时，由于方程0)(='x f 有两个不同的实根21,x x ，不妨设21x x <，可知， ))(,(11x f x 为函数的极大值点，))(,(22x f x 为极小值点，且函数)(x f y =在),(1x -∞和),(2+∞x 上单 调递增，在[]21,x x 上单调递减。 此时： ①若0)()(21>?x f x f ，即函数)(x f y =极大值点和极小值点在x 轴同侧，图象均与x 轴只有一个交点，所以原方程有且只有一个实根。 若0)()(21时，三次函数()y f x =在(),-∞+∞上的极值点要么有两个。 当0?≤时，三次函数()y f x =在(),-∞+∞上不存在极值点。 5、最值问题。 函数 若 ，且，则： ()()()(){}max 0,,f x f m f x f n =； 。 三、例题讲解： 例1、（函数的单调区间、极值及函数与方程的）已知函数f （x ）=x 3 -3ax 2 +3x+1。 （Ⅰ）设a=2，求f （x ）的单调期间； （Ⅱ）设f （x ）在区间（2,3）中至少有一个极值点，求a 的取值范围。 解：
三次函数切线专题
过点P 一定有直线与)(x f y =图象相切。 （1）若,30a b x - =则过点P 恰有一条切线； （2） 若 ,30a b x -≠且)3()(0a b g x g -0>，则过点P 恰有一条切线； （3） 若,30a b x -≠且)3()(0a b g x g -=0，则过点P 有两条不同的切线； （4）若,30a b x - ≠且)3()(0a b g x g -0<，则过点P 有三条不同的切线。 其中).)(()()(0/0x x x f x f y x g -+-= 证明 设过点P 作直线与)(x f y =图象相切于点),,(11y x Q 则切线方程为 ),)(23(11211x x c bx ax y y -++=- 把点),(00y x P 代入得： 02)3(2001021031=--+--+cx d y x bx x ax b ax ， 设.2)3(2)(000203cx d y x bx x ax b ax x g --+--+= ,2)3(26)(002/bx x ax b ax x g --+= ,)3(448)3(420020b ax abx ax b +=+-=? 令,0)(/=x g 则.3,0a b x x x -== 因为0)(=x g 恰有一个实根的充要条件是曲线)(x g y =与X 轴只相交一次，即)(x g y =在R 上为单调函数或两极值同号，所以 ,30a b x -=或,30a b x -≠且)3()(0a b g x g -0>时，过点P 恰有一条切线。 0)(=x g 有两个不同实根的充要条件是曲线)(x g y =与X 轴有 两个公共点且其中之一为切点，所以 ,30a b x -≠且)3()(0a b g x g -=0时，过点P 有两条不同的切线。 )(=x g 有三个不同实根的充要条件是曲线)(x g y =与X 轴有
三次函数零点存在性探讨 利用导数解决函数的单调性，最值，极值等问题是高考的一个难点同时也是热点，尤其是对于含参的未知函数的性质讨论更是每年各省高考必然涉及的问题。而三次函数的考查能够将导数的相关知识和二次函数的考点巧妙结合在一起，具有较强的综合性，在高考中颇受青睐，所以研究三次函数的图象和一些简单性质，让它们服务于高考解题势在必行。 本文从三次函数的图象入手，讨论三次函数的零点存在性条件，在此基础上节选近两年高考中涉及的三次函数的零点问题进行分析，并渗透等价转化与化归、数形结合等思想方法，旨在帮助学生站在一个高度审视三次函数的一些性质。 一.知识准备 三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 的导函数c bx ax x f ++='23)(2，记ac b 1242-=?，设0)(='x f 的两根为21,x x ，则可以得出下面结论： 结合三次函数的图象，我们可以得出以下结论： 性质 若三次曲线与x 轴有三个交点，则0>?且0)()(21?且0)()(21=?x f x f ； 若三次曲线与x 轴有一个交点，则0>?且0)()(21>?x f x f 或0≤?。 二．链接高考 题一（2014年高考课标1理科卷第11题）
已知函数32()31,f x ax x =-+若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是（ ） .(2,)A +∞ .(1,)B +∞ .(,2)C -∞ .(,1) D -∞- 分析 该题的核心条件是“在唯一的零点0x ，且00x >”，作以下分析： 第一步 0=a 时显然不符合题意； 第二步 0≠a 时，求导x ax x f 63)(2-='，令0)(='x f ，解得a x x 2,021==。由性质我们可以得出该三次函数有一个零点，即为0>?且0)()(21>?x f x f ，即 0)2()0(>?a f f 。结合该三次函数图象以及特殊点（0,1）分析可得0?<0)2()0(0a f f a 可得2-时， ()f x 在2,3a ??-∞- ???，()0,+∞上单调递增，在2,03a ??- ??? 上单调
专题4 三次函数的图像和性质 第一讲 三次函数的基本性质 设三次函数为()32f x ax bx cx d =+++（a 、b 、c 、d R ∈且0a ≠），其基本性质有： 性质一：定义域为R ． 性质二：值域为R ，函数在整个定义域上没有最大值、最小值． 性质三：单调性和图象． a > a < 图像 0?> 0?≤ 0?> 0?≤ 当0a >时，先看二次函数()32f x ax bx c =++，4124(3)b ac b ac ?=-=- ①当224124(3)0b ac b ac ?=-=->，即230b ac ->时，()f x '与x 轴有两个交点1x ，2x ，)(x f 形成三个单点区间和两个极值点1x ，2x ，图像如图1，2． ②当224124(3)0b ac b ac ?=-=-=，即230b ac -=时，)(x f '与x 轴有两个等根1x ，2x ，)(x f 没有极值点图像如图3，4． ③当224124(3)0b ac b ac ?=-=-<，即230b ac -<时，()f x '与x 轴没有交点，)(x f 没有极值点，图像如图5，6． 图1 图2 图3 图4 图5 图6 当0-=-=?ac b ac b ，即032>-ac b 时，)(x f '与x 轴有两个交点1x ，2x ，)(x f 形成三个单点区间和两个极值点1x ，2x . ②当224124(3)0b ac b ac ?=-=-=，即230b ac -=时，)(x f '与x 轴有两个等根1x ，2x ，)(x f 没有极值点. ③当224124(3)0b ac b ac ?=-=-<，即230b ac -<时，)(x f '与x 轴没有交点，)(x f 没有极值点. 性质四：三次方程()0f x =的实根个数 对于三次函数()32 f x ax bx cx d =+++（a 、b 、c 、d R ∈且0a ≠），其导数为c bx ax x f ++='23)(2 当032 >-ac b ，其导数0)(='x f 有两个解1x ，2x ，原方程有两个极值2123b b ac x x -±-、
函数零点问题 处理函数零点问题时，我们不但要掌握零点存在性定理，还要充分运用等价转化、函数与方程、数形结合等思想方法，才能有效地找到解题的突破口． 近几年的数学高考中频频出现零点问题，其形式逐渐多样化，但却与函数、导数知识密不可分．用导数解决函数的零点问题是近几年高考命题的热点题型，此类题一般属于压轴题，难度较大． [典例] (理)(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝x 3＋ax ＋14 ，g (x )＝－ln x . (1)当a 为何值时，x 轴为曲线y ＝f (x )的切线； (2)用min{m ，n }表示m ，n 中的最小值，设函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}(x >0)，讨论h (x )零点的个数． [思路演示] 解：(1)设曲线y ＝f (x )与x 轴相切于点(x 0,0)，则f (x 0)＝0，f ′(x 0)＝0， 即????? x 30＋ax 0＋14＝0， 3x 20＋a ＝0， 解得??? x 0＝12 ， a ＝－3 4. 因此，当a ＝－3 4 时，x 轴为曲线y ＝f (x )的切线． (2)当x ∈(1，＋∞)时，g (x )＝－ln x <0，从而h (x )＝min{f (x )，g (x )}≤g (x )<0，故h (x )在(1，＋∞)上无零点． 当x ＝1时，若a ≥－54，则f (1)＝a ＋5 4≥0，h (1)＝min{f (1)，g (1)}＝g (1)＝0，故x ＝1是h (x )的零 点；若a <－5 4 ，则f (1)<0，h (1)＝min{f (1)，g (1)}＝f (1)<0，故x ＝1不是h (x )的零点． 当x ∈(0,1)时，g (x )＝－ln x >0，所以只需考虑f (x )在(0,1)上的零点个数． ①若a ≤－3或a ≥0，则f ′(x )＝3x 2＋a 在(0,1)上无零点，故f (x )在(0,1)上单调．而f (0)＝1 4，f (1) ＝a ＋5 4 ，所以当a ≤－3时，f (x )在(0,1)上有一个零点；当a ≥0时，f (x )在(0,1)上没有零点． ②若－3 三次函数专题 一、定义： 定义1、形如3 2 (0)y ax bx cx d a =+++≠的函数，称为“三次函数”（从函数解析式的结构上命名）。 定义2、三次函数的导数2 32(0)y ax bx c a '=++≠，把2 412b ac ?=-叫做三次函数 导函数的判别式。 由于三次函数的导函数是二次函数，而二次函数是高中数学中的重要内容，所以三次函数的问题，已经成为高考命题的一个新的热点和亮点。 二、三次函数图象与性质的探究： 1、单调性。 一般地，当032 ≤-ac b 时，三次函数)0(2 3 ≠+++=a d cx bx ax y 在R 上是单调函数；当032 >-ac b 时，三次函数)0(2 3 ≠+++=a d cx bx ax y 在R 上有三个单调区间。 （根据0,0<>a a 两种不同情况进行分类讨论） 2、对称中心。 三次函数)0()(2 3 ≠+++=a d cx bx ax x f 是关于点对称，且对称中心为点 ))3(,3(a b f a b -- ，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。 证明：设函数的对称中心为（m ，n ）。 按向量将函数的图象平移，则所得函数是奇函数，所以 化简得： 上式对恒成立，故，得， 。 所以，函数的对称中心是（）。 可见，y ＝f(x)图象的对称中心在导函数y ＝的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点。 3、三次方程根的问题。 （1）当△=01242 ≤-ac b 时，由于不等式0)(≥'x f 恒成立，函数是单调递增的，所以原 方程仅有一个实根。 （2）当△=01242 >-ac b 时，由于方程0)(='x f 有两个不同的实根21,x x ，不妨设 21x x <，可知，))(,(11x f x 为函数的极大值点，))(,(22x f x 为极小值点，且函数) (x f y =在),(1x -∞和),(2+∞x 上单调递增，在[]21,x x 上单调递减。 此时： ①若0)()(21>?x f x f ，即函数)(x f y =极大值点和极小值点在x 轴同侧，图象均与x 轴只有一个交点，所以原方程有且只有一个实根。 若0)()(21时，三次函数()y f x =在(),-∞+∞上的极值点要么有两个。 当0?≤时，三次函数()y f x =在(),-∞+∞上不存在极值点。 5、最值问题。 函数若，且，则：()()()(){}max 0,,f x f m f x f n =； 。 三、例题讲解： 例1、（函数的单调区间、极值及函数与方程的）已知函数f （x ）=x-3ax+3x+1。 （Ⅰ）设a=2，求f （x ）的单调期间； （Ⅱ）设f （x ）在区间（2,3）中至少有一个极值点，求a 的取值范围。 解： ①式无解，②式的解为， 因此的取值范围是. 例2、已知函数)(x f 满足C x x f x x f +-?? ? ??+=2332')(（其中C 为常数）． （1）求函数)(x f 的单调区间； （2）若方程0)(=x f 有且只有两个不等的实数根，求常数C ； 三次函数的零点问题 1、(2006全国卷Ⅱ)设a 为实数,函数.)(2 3a x x x x f +--= (Ⅰ)求)(x f 的极值. (Ⅱ)当a 在什么范围内取值时,曲线x x f y 与)(=轴仅有一个交点. 解：(I)'()f x =32x －2x －1 若'()f x =0，则x ==－ 13 ，x =1 当x 变化时，'()f x ，()f x 变化情况如下表： ∴()f x 的极大值是()327 f a -=+，极小值是(1)1f a =- (II)函数322()(1)(1)1f x x x x a x x a =--+=-++- 由此可知，取足够大的正数时，有()f x >0，取足够小的负数时有()f x <0，所以曲线y =()f x 与x 轴至少有一个交点 结合()f x 的单调性可知： 当()f x 的极大值527a +<0，即5(,)27 a ∈-∞-时，它的极小值也小于0，因此曲线y =()f x 与x 轴仅有一个交点，它在(1，+∞)上。 当()f x 的极小值a －1>0即a ∈(1，+∞)时，它的极大值也大于0，因此曲线y =() f x 与x 轴仅有一个交点，它在(－∞，－13 )上。 ∴当5(,)27 a ∈-∞-∪(1，+∞)时，曲线y =()f x 与x 轴仅有一个交点 2、（2009江西卷文）（本小题满分12分） 设函数329()62 f x x x x a =-+-． （1）对于任意实数x ，()f x m '≥恒成立，求m 的最大值； （2）若方程()0f x =有且仅有一个实根，求a 的取值范围． 解：(1) '2()3963(1)(2)f x x x x x =-+=--, 因为(,)x ∈-∞+∞,'()f x m ≥, 即 239(6)0x x m -+-≥恒成立, 所以 8112(6)0m ?=--≤, 得34m ≤-，即m 的最大值为34 - 实用文档 文案大全高中数学三次函数的所有题型及解答总计 由于三次函数在高考中出现频率最高，且四次函数、分式函数等都可转化为三次函数来解决，故以三次函数为例来研究根的情况，设三次函数)0()(23?????adcxbxaxxf 其导函数为二次函数:)0(23)(2/????acbxaxxf， 判别式为：△=)3(412422acbacb???，设0)(/?xf的两根为1x、2x，结合函数草图易得： (1) 若032??acb，则0)(?xf恰有一个实根； (2) 若032??acb,且0)()(21??xfxf，则0)(?xf恰有一个实根； (3) 若032??acb,且0)()(21??xfxf，则0)(?xf有两个不相等的实根； (4) 若032??acb,且0)()(21??xfxf，则0)(?xf有三个不相等的实根. 说明:(1)(2)0)(?xf含有一个实根的充要条件是曲线)(xfy?与x轴只相交一次，即)(xf在R上为单调函数（或两极值同号），所以032??acb（或032??acb，且0)()(21??xfxf）; (3)0)(?xf有两个相异实根的充要条件是曲线)(xfy?与x轴有两个公共点且其中之一为切点，所以032??acb，且0)()(21??xfxf; (4)0)(?xf有三个不相等的实根的充要条件是曲线)(xfy?与x轴有三个公共点，即)(xf有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以032??acb且 0)()(21??xfxf. 【例题1】：设函数13-31)(23++=xxxxf，求函数)(xf 的单调区间。 解析：)(xf的定义域为R，3-2)(2xxxf+03-2)(2>+=′xxxf?），或（∞1,-3)∞-(+∈x,此时为)(xf的单调递增区03-2)(2<+=′ xxxf?-3,1)(∈x，此时为)(xf的单调递减区间。 函数零点问题及例题解析 一、函数与方程基本知识点 1、函数零点：（变号零点与不变号零点） （1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫函数)(x f y =的零点。 （2）方程0)(=x f 有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。 若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是连续的曲线，则0)()(f ，所以由根的存在性定理可知，函数x x x f 2 )1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（1，2），选B （二）求解有关函数零点的个数（或方程根的个数）问题。 函数零点的存在性定理，它仅能判断零点的存在性，不能求出零点的个数。对函数零点的个数问题，我们可以通过适当构造函数，利用函数的图象和性质进行求解。如： 5.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)及复合函数的零点 注意：在解决有关零点问题时，一定要充分利用这三者的关系，观察、分析函数的图象，找函数的零点，判断各区间上函数值的符号，使问题得以解决． 1.（2015?上海二模）设定义域为R 的函数，若关于x 的函数???≤-->=0 ,20|, lg |)(2x x x x x x f ，若关于x 的函数 1)(2)(22++=x bf x f y 有8个不同的零点，则实数b 的取值范围是 ____________ ． 解：令t ＝f （x ），则原函数等价为y ＝2t 2 +2bt +1．做出函数f （x ）的图象如图， 图象可知当由0＜t ＜1时，函数t ＝f （x ）有四个交点． 要使关于x 的函数1)(2)(22 ++=x bf x f y 有8个不同的零点，则函数y ＝2t 2 +2bt +1有两个根t 1，t 2， 且0＜t 1＜1，0＜t 2＜1． 令g （t ）＝2t 2 +2bt +1，则由根的分布可得 ， 解得，即，故实数b 的取值范围是﹣＜b ． 故答案为：﹣＜b 2.（2018秋?大观区校级期中）设定义域为R 的函数?????<++≥-=-0 ,440 ,15)(2|1|x x x x x f x ，若关于x 的方程 0)()12()(22=++-m x f m x f 有7个不同的实数解，则m ＝（ ） A ．m ＝6 B ．m ＝2 C ．m ＝6或2 D ．m ＝﹣6 解：当m ＝2时，由f 2 （x ）﹣5f （x ）+4＝0得f （x ）＝1或f （x ）＝4， 当x ≥0时，f （x ）＝5|x ﹣1| ﹣1， 由5 |x ﹣1| ﹣1＝1得x ＝1±log 52均符合， 由5 |x ﹣1| ﹣1＝4得x ＝0，x ＝2均符合，当x ＜0时，f （x ）＝x 2 +4x +4， 由x 2 +4x +4＝1得x ＝﹣1，x ＝﹣3均符合，由x 2 +4x +4＝4得x ＝0（舍），x ＝﹣4符合， 故m ＝2时，关于x 的方程f 2 （x ）﹣（2m +1）f （x ）+m 2 ＝0有7个不同的实数解，所以排除A 和D ； 当m ＝6时，由f 2 （x ）﹣13f （x ）+9＝0得f （x ）＝4或f （x ）＝9， 当f （x ）＝4时，已经解出x ＝0，x ＝2，x ＝﹣4均符合； 当f （x ）＝9时，由 ，解得x ＝1+log 510，由 得x ＝﹣5， 故m ＝6时，原方程只有5个不同实根，不符合题意，故排除C ．故选：B ． 专题17 三次函数的图像与性质 一、例题选讲 题型一 运用三次函数的图像研究零点问题 遇到函数零点个数问题，通常转化为两个函数图象交点问题，进而借助数形结合思想解决问题；也可转化为方程解的个数问题，通过具体的解方程达到解决问题的目的.前者由于是通过图形解决问题，故对绘制的函数图象准确度和细节处要求较高，后者对问题转化的等价性和逻辑推理的严谨性要求较高.下面的解法是从解方程的角度考虑的. 例1、(2017南通、扬州、泰州、淮安三调）已知函数3()3 .x x a f x x x x a ?=?-，求()y g x =的单调增区间． 例4、(2018无锡期末） 若函数f(x)＝(x ＋1)2|x －a|在区间[－1，2]上单调递增，则实数a 的取值范围是________． 二次函数零点问题 【探究拓展】 探究1：设21,x x 分别是实系数一元二次方程02 =++c bx ax 和02 =++-c bx ax 的一个根，且 ,0,2121≠≠x x x x 求证：方程02 2=++c bx x a 有且仅有一根介于21,x x 之间. 变式1：已知函数f (x )＝ax 2＋4x ＋b (a <0，a 、b ∈R)，设关于x 的方程f (x )＝0的两实根为 x 1、x 2，方程f (x )＝x 的两实根为α、β. （1）若|α－β|＝1，求a 、b 的关系式； （2）若a 、b 均为负整数，且|α－β|＝1，求f (x )的解析式； （3）若α<1<β<2，求证：(x 1＋1)(x 2＋1)<7. 变式2：二次函数2()f x ax bx c =++满足0,0,0,a c a b c ><++=且方程()f x a =-有实根. （1）求证：函数()f x 在(0,)+∞上是增函数. （2）设函数()()g x f x bx =+的零点为1x 和2x ，求证：12||2x x -≥. 变式3：设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，且f (1)＝－a 2，3a >2c >2b ，求证： （1）a >0且－3且(1)2 a f =- . （1）求证：函数()f x 有两个零点； （2）设12,x x 是函数()f x 的两个零点，求12x x -的取值范围； （3）求证：函数()f x 的零点12,x x 至少有一个在区间()0,2内. 三次函数 百科名片 三次函数 基本概念与性质形如y=ax^3+bx^2+cx+d(a≠0,b,c,d为常数)的函数叫做三次函数(cubics function)。三次函数的图像是一条曲线----回归式抛物线（不同于普通抛物线），具有比较特殊性。 目录 1二.零点求法1.盛金公式 12.盛金判别法 13.盛金定理 14.传统解法 三.三次函数性态的五个要点 1四.三次函数对称中心1.三次函数有对称中心 12.推广 五.其他性质 展开 编辑本段二.零点求法 求函数的零点可用盛金公式、盛金判别法、或传统解法盛金公式与盛金判别法及盛金定理的运用从这里向您介绍三次方程应用广泛。用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式，并建立了新判别法。 1.盛金公式 一元三次方程aX^3+bX^2+cX+d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。重根判别式：A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd，总判别式： Δ=B^2－4AC。当A=B=0时，盛金公式①：X1=X2=X3=－b/(3a)=－c/b=－3d/c。当Δ=B^2－4AC>0时，盛金公式②：X1=(－b－(Y1)^(1/3)－(Y2)^(1/3))/(3a)；X2，3=(－2b+(Y1)^(1/3)+(Y2)^(1/3))/(6a)±i3^(1/2)((Y1)^(1/3)－(Y2)^(1/3))/(6a)，其中Y1，2=Ab+3a(－B±(B^2－4AC)^(1/2))/2，i^2=－1。当Δ=B^2－4AC=0时，盛金公式③：X1=－b/a+K；X2=X3=－K/2，其中K=B/A，(A≠0)。当Δ=B^2－4AC<0时，盛金公式④：X1= (－b－2A^(1/2)cos(θ/3))/(3a)；X2，3= (－b+A^(1/2)(cos(θ/3)±3^(1/2)sin(θ/3)))/(3a)，其中θ=arccosT，T= (2Ab－3aB)/(2A^(3/2))，(A>0，－1
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