第二章电路的分析方法
本章以电阻电路为例，依据电路的基本定律，主要讨论了支路电流法、弥尔曼定理等电路的分析方法以及线性电路的两个基本定理：叠加定理和戴维宁定理。
1．线性电路的基本分析方法
包括支路电流法和节点电压法等。
（1）支路电流法：以支路电流为未知量，根据基尔霍夫电流定律（KCL）和电压定律(KVL)列出所需的方程组，从中求解各支路电流，进而求解各元件的电压及功率。适用于支路较少的电路计算。
（2）节点电压法：在电路中任选一个结点作参考节点，其它节点与参考节点之间的电压称为节点电压。以节点电压作为未知量，列写节点电压的方程，求解节点电压，然后用欧姆定理求出支路电流。本章只讨论电路中仅有两个节点的情况，此时的节点电压法称为弥尔曼定理。
2 ．线性电路的基本定理
包括叠加定理、戴维宁定理与诺顿定理，是分析线性电路的重要定理，也适用于交流电路。
（1）叠加定理：在由多个电源共同作用的线性电路中，任一支路电压（或电流）等于各个电源分别单独作用时在该支路上产生的电压（或电流）的叠加（代数和）。
①“除源”方法
（a）电压源不作用：电压源短路即可。
（b）电流源不作用：电流源开路即可。
②叠加定理只适用于电压、电流的叠加，对功率不满足。
（2）等效电源定理
包括戴维宁定理和诺顿定理。它们将一个复杂的线性有源二端网络等效为一个电压源形式或电流源形式的简单电路。在分析复杂电路某一支路时有重要意义。
①戴维宁定理：任何一个线性含源的二端网络，对外电路来说，可以用一个理想电压源和一个电阻的串联组合来等效代替，其中理想电压源的电压等于含源二端网络的开路电压，电阻等于该二端网络中全部独立电源置零以后的等效电阻。
②诺顿定理：任何一个线性含源的二端网络，对外电路来说，可以用一个理想电流源和一个电阻的并联组合来等效代替。此理想电流源的电流等于含源二端网络的短路电流，电阻等于该二端网络中全部独立电源置零以后的等效电阻。
3 ．含受控源电路的分析
对含有受控源的电路，根据受控源的特点，选择相应的电路的分析方法进行分析。
4．非线性电阻电路分析
解析法和图解法是简单非线性电阻电路的分析方法。
[练习与思考]解答
2-1-1 列出如图所示电路的支路电流方程
2A
5?
6?
i
图2-4 练习与思考2-1-1图
2-1-2试分析支路电流分析法的优缺点。
解：在计算复杂电路的各种方法中，支路电流法是最基本的。但当支路数较多而只求一条支路的电流时，用支路电流法计算，极为复杂。
2-2-1.求如图所示电路中A、B两点之间的电压
AB
U。
4
A
B
图2-7 练习与思考2-2-1
解：V
U
AB
16
4
1
4
1
4
16
4
=
+
+
=
2-3-1电源单独作用时，其他的电压源和电流源如何处理？
解：电压源不作用：电压源短路即可；电流源不作用：电流源开路即可。
2-3-2利用叠加定理分析电路时，电压和电流的参考方向如何处理？
解：各电压、电流分量叠加时要注意参考方向，与总量参考方向一致的分量取正，与总量参考方向相反取负。
1
2
4
i
i
i+
=
5
2
3
i
i
i+
=
3
1
2i
i+
=
20
4
6
2
4
=
+
+i
i
4
3
5
2
3
1
=
-
-i
i
i
解：
2-4-1如何用实验方法确立一个含源二端网络的戴维宁等效电路？
解：用电压表测出含源二端网络的开路电压Uoc 和含源二端网络的短路电流Isc ，通过计算得到SC
OC
I U R =
0， 即可确立一含源二端网络的戴维宁等效电路。 2-4-2实验中有几种方法可以用来确定戴维宁等效电阻？ 解：见实验指导书
习题解答
2-1 在图2-24中，求各支路电流。
图2-24 习题2-1图 图2-25 习题2-2图
解：法1：由支路电流法得：?????=--+=+++=+033)22(033632321321I I I I I I I 解得??
?
?
?
?
???==-=A I A I A I 349798321
法2：利用弥尔曼定理：
V U ab 3
164
131613
33=
+++
=
所以 ???
?
?
?
???===-=-=-=A U I A U I A U I ab ab
ab 34497339
863
21
2-2 列出图2-25中的支路电流方程。
解：321i i i += 134268i i ++= 2233326i i i +=+
2-3 求图2-26中的电压N N U '。
图2-26 习题2-3图
图2-27 习题2-4图
2-4 求如图2-27电路中A 点的电位。
解：利用弥尔曼定理：
V V A 56
12131663128=+++-
=
2-5求如图2-28电路中各结点的电位。
解：V V A 2=
V V V U A B BA
4.04
1142133-=+-
-=
-= V V B 6.1=
或：213i i =+
243121=++?i i 得：A i 4.02=
V i V B 6.142==
图2-28 习题2-5图
图2-29 习题2-6图
2-6 求图2-29中A 和B 的电位。
解：利用电压源和电流源等效变换，等效电路为：
A I 16
105.25
.726=++-=
V V A 105.715.2=+?=
V V V A B 20110=+?=
2-7试分别用支路电流法和节点电压法求图2-27所示电路中的各支路电流，并计算2Ω电阻吸收的功率。
6Ω8A
6V 6Ω
3
图2-27
2-8 电路如图2-30所示，用叠加定理求电压U 。
解：电压源单独作用时，=
'U V 7
12
66666)66//(636=?++?++
电流源单独作用时，V U 7
24
64666//36//3''=??++=
应用叠加定理得： V U U U 7
36724712'''=+=+=
图2-30 习题2-8图
图2-31 习题2-9图
2-9 在图2-31中，（1）当将开关S 合在a 点时，求123I I I 、和；（2）当将开关合在b 点时，利用（1）的结果，用叠加定理求支路电流123I I I 、和
解：（1）当开关S 合在a 点时，由弥尔曼定理得
=U V 1004121212120
2130=+++ 得 A I 152100
1301=-=
A I 102100
1202=-=
A I 254
1003==
（2）当开关合在b 点时，原电路可以看作题解图2.02（a ）和2.02（b ）的叠加。
24Ω
'
'
2
4Ω'
'I '
'
(a) (b)
题解图2.02
由（1）的结果知，A I 15'1=, A I 10'2=, A I 25'
3= 由题解图2.02（b ）得A I 4''1=, A I 6''2=, A I 2''3=
由叠加原理得A I I I 19''1'11=+=
A I I I 16''2'22=+=
A I I I 27''3'33=+=
2-10 在图2-32中，已知当S U =16V 时，ab U =8V ,求S U =0 时的ab U 。
图2-32 习题2-10图 图2-33 习题2-11图
解：原电路图可以分解成题解图2.03（a ）和（b ）的叠加。
(a) (b) 题解图2.03
已知当S U =16V 时，ab U =8V ，由叠加定理得V U U U ab ab ab 8'''=+=，
其中'
ab U 即为S U =0 时的ab U
由题解图2.03（b ）得到 V U U S ab 44
1
'
'==
,即S U 单独作用时的ab U 综上得到V U ab 4'=
2-11 在图2-33所示电路中，已知0N 为一无源网络，当S U =2V 、S I =2A 时0U =5V;求S U =5V 、S I =5A 时的0U 。
解:电路中有两个电源作用，根据叠加原理可设 S S O I K U K U 21+=
当S U =2V 、S I =2A 时，得 22521?+?=K K 当S U =5V 、S I =5A 时，得 5521?+?=K K U O 所以 V U O 5.12=
2-12在图2-33所示电路中，已知0N 为一无源网络，当S U =2V 、S I =3A 时0U =10V; 当S U =3V 、S I =2A 时0U =10V ，求S U =10V 、S I =10A 时的0U 。
解：电路中有两个电源作用，根据叠加原理可设 S S O I K U K U 21+=
当S U =2V 、S I =3A 时，得 321021?+?=K K 当S U =3V 、S I =2A 时，得 231021?+?=K K 联立两式解得：21=K 22=K
当S U =10V 、S I =10A 时，101021?+?=K K U O 所以 V U O 40=
2-13求如图2-34所示各电路的戴维宁等效电路。
解:图（a ）的戴维宁等效电路为题解图2.04（a ），图（b ）的戴维宁等效电路为题解图2.04（b ），图（c ）的戴维宁等效电路为题解图2.04（c ）。
a
b
1Ω
-1V a
b Ω7
10V
7
24a
b
Ω
2316
(a) (b) (c) 题解图2.04
-4V +-
2Ω
2V
3V
+
-
1Ω
b
a
b
8
6Ω
6
4A
（a ） (b)
(c)
图2-34 习题2-13图
图2-35 习题2-14图
2-14在图2-35所示的电路中，分别用戴维宁定理和诺顿定理求电流L I 。 解：（1）用戴维宁定理 ab 间的开路电压为
V U oc 44212=?-=
ab 间的等效电阻为
Ω=4eq R
由戴维宁等效电路（题解图2.05（a ））得
A I L 7
1
2444=+=
4V 24Ω
L
1A
24Ω
L
(a) (b) 题解图2.05
（2）用诺顿定理 ab 间的短路电流为 A I SC 124
12
=-= ab 间的等效电阻为
Ω=4eq R
由诺顿等效电路（题解图2.05（b ））得
A I L 71
24441=+?
=
图2-36 习题2-15图
2-15求如图2-36所示电路中的电流i 。 解：由节点电压法得ab 间电压
V U ab 63
1313132431210-=+++-
-=
所以 A U I ab
23
-==
2-16如图2-37所示为确定含源二端线性电阻网络参数的实验电路，已知
U =15V ，I =4.5mA ,求此二端网络的戴维宁等效电路。
解：设图示二端网络可以等效为一个电压源U 和一个电阻R 串联的电路。那么图2-37的两个电路图可以转化为题解图2.06
10K Ω
25V U
10K Ω
25V U
(a)
(b)
题解图2.06
由题解图2.06(a)得 3101015
2515?-?+=R U
由题解图2.06(b)得 R
U +
?=
?-33101025105.4
解得 V U 10= Ω=K R 5
图2-37 习题2-16图
2-17 电路如图2-38所示，①若3R =Ω，求电流i ；②若使R 获得最大功率，则
R 应取多大？
解：①由题解图2.06求ab 间的开路电压
V Uab 169
15
61612206=?-+?
= ab 间的等效电阻为
Ω=+=53//66//6eq R 所以由戴维宁等效电路得到 I=2A
②若使R 获得最大功率，则Ω=5R ,此时R 获得的最大功率W P 8.125)10
16
(2=?=
图2-38 习题2-17图
题解图2.07
5Ω
16V
题解图2.08
2-18 求如图2-39所示电路中的电流1i 。 解：由KCL 和KVL 得：213i i =+
010226121=-++i i i
解得 A i 4.01=
图2-39 习题2-18图
2-1 试用网孔电流法求图题2-1所示电路中电流i 和电压ab u 。 图题2-1 解：设网孔电流为123,,i i i ，列网孔方程： 1231231 2332783923512i i i i i i i i i --=??-+-=??--+=?解得123211i i i =??=??=-?，故133i i i A =-=，233()93ab u i i V =--=-。 2-2 图题2-2所示电路中若123121,3,4,0,8,24s s S R R R i i A u V =Ω=Ω=Ω=== 试求各网孔电流。 解：由于10s i =，故网孔电流M20i =。可列出网孔电流方程： M1M1M3M13M3M1M331 247244A (34)4A 88M M M i u i i i i u i i i i i =-?+==-???+=?????=-+=???-=? 2-6电路图如图题2-4所示，用网孔分析求1u 。已知：124535,1,2,2S u V R R R R R μ=====Ω=Ω=。 解：列网孔方程如下： 123123212 342022245i i i i i i u i i i --=??-+-=-??--+=-?，
再加上2132()u i i =-。解得：11113.75, 3.75i A u R i V =-=-= 2-12 电路如图题2-10所示，试用节点分析求各支路电流。 解：标出节点编号，列出节点方程 121111()27212211120()422227a a b a b b u V u u u u u V ??=++-=?????????-++=-=???? ，用欧姆定律即可求得各节点电流。 2-17电路如图题2-14所示，试用节点分析求12,i i 。 解：把受控电流源暂作为独立电流源，列出节点方程 12121 (11)4(11)2u u u u i +-=??-++=-? 控制量与节点电压关系为：111u i =Ω ，代入上式，解得 111222 1.61.610.80.81u i A u V u V u i A ?==?=??Ω???=-??==-??Ω 2-19 试列出为求解图题2-16所示电路中0u 所需的节点方程。
第二章电路的基本分析方法 一、填空题： 1. 有两个电阻，当它们串联起来的总电阻为10Ω，当他们并联起来的总电阻为 2.4Ω。这两个电阻的阻值分别为_ _4Ω ___和__6Ω。 = 1 Ω。 2. 下图所示的电路，A、B之间的等效电阻R AB = 3 Ω。 3. 下图所示的电路，A、B之间的等效电阻R AB A 2Ω B 4. 下图所示电路，每个电阻的阻值均为30Ω，电路的等效电阻R = 60 Ω。 AB 5.下图所示电路中的A、B两点间的等效电阻为___12KΩ________.若图中所示的电流I=6mA，则流经6K电阻的电流为__2mA _____；图中所示方向的电压 U为____12V____.此6K电阻消耗的功率为__24mW_________。 A U 6. 下图所示电路中，ab两端的等效电阻为 12Ω，cd两端的等效电阻
为 4Ω。 7．下图所示电路a、b间的等效电阻Rab为 4 Ω。 8. 下图所示电路中，ab两点间的电压ab U为 10 V。 9. 下图所示电路中，已知 U S =3V， I S = 3 A 时，支路电流I才等于2A。 Ω 1 3 10. 某二端网络为理想电压源和理想电流源并联电路，则其等效电路为理想电压源。 11．已知一个有源二端网络的开路电压为20V，其短路电流为5A，则该有源二端网络外接 4 Ω电阻时，负载得到的功率最大，最大功率为 25W 。12．应用叠加定理分析线性电路时，对暂不起作用的电源的处理，电流 源应看作开路，电压源应看作短路。 13．用叠加定理分析下图电路时，当电流源单独作用时的I 1 = 1A ，当 电压源单独作用时的I 1= 1A ，当电压源、电流源共同时的I 1 =
《电路分析基础》作业参考解答 第一章（P26-31） 1-5 试求题1-5图中各电路中电压源、电流源及电阻的功率（须说明是吸收还是发出）。 （a ）解：标注电压如图（a ）所示。 由KVL 有 故电压源的功率为 W P 302151-=?-=（发出） 电流源的功率为 W U P 105222=?=?=（吸收） 电阻的功率为 W P 20452523=?=?=（吸收） （b ）解：标注电流如图（b ）所示。 由欧姆定律及KCL 有 A I 35 152==，A I I 123221=-=-= 故电压源的功率为 W I P 151151511-=?-=?-=（发出） 电流源的功率为 W P 302152-=?-=（发出） 电阻的功率为 W I P 459535522 23=?=?=?=（吸收） 1-8 试求题1-8图中各电路的电压U ，并分别讨论其功率平衡。 （b ）解：标注电流如图（b ）所示。 由KCL 有 故 由于电流源的功率为 电阻的功率为 外电路的功率为 且 所以电路的功率是平衡的，及电路发出的功率之和等于吸收功率之和。 1-10 电路如题1-10图所示，试求： （1）图（a ）中，1i 与ab u ； 解：如下图（a ）所示。 因为 所以 1-19 试求题1-19图所示电路中控制量1I 及电压0U 。 解：如图题1-19图所示。 由KVL 及KCL 有 整理得 解得mA A I 510531=?=-，V U 150=。
题1-19图 补充题： 1. 如图1所示电路，已知 ， ，求电阻R 。 图1 解：由题得 因为 所以 2. 如图2所示电路，求电路中的I 、R 和s U 。 图2 解：用KCL 标注各支路电流且标注回路绕行方向如图2所示。 由KVL 有 解得A I 5.0=，Ω=34R 。 故 第二章（P47-51） 2-4 求题2-4图所示各电路的等效电阻ab R ，其中Ω==121R R ，Ω==243R R ，Ω=45R ，S G G 121==， Ω=2R 。 解：如图（a ）所示。显然，4R 被短路，1R 、2R 和3R 形成并联，再与5R 串联。 如图（c ）所示。 将原电路改画成右边的电桥电路。由于Ω==23241R R R R ，所以该电路是一个平衡电桥，不管开关S 是否闭合，其所在支路均无电流流过，该支路既可开路也可短路。 故 或 如图（f ）所示。 将原电路中上边和中间的两个Y 形电路变换为?形电路，其结果如下图所示。 由此可得 2-8 求题2-8图所示各电路中对角线电压U 及总电压ab U 。 题2-8图 解：方法1。将原电路中左边的?形电路变换成Y 形电路，如下图所示： 由并联电路的分流公式可得 A I 14 12441=+?=，A I I 314412=-=-= 故 方法2。将原电路中右边的?形电路变换成Y 形电路，如下图所示： 由并联电路的分流公式可得 A I 2.16 14461=+?=，A I I 8.22.14412=-=-= 故 2-11 利用电源的等效变换，求题2-11图所示各电路的电流i 。 题2-11图 解：电源等效变换的结果如上图所示。 由此可得 V U AB 16=A I 3 2=
第2章作业参考答案 2-1为何要对同步发电机的基本电压方程组及磁链方程组进行派克变换？ 答：由于同步发电机的定子、转子之间存在相对运动，定转子各个绕组的磁 路会发生周期性的变化，故其电感系数（自感和互感）或为1倍或为2倍转子角θ的周期函 数（θ本身是时间的三角周期函数），故磁链电压方程是一组变系数的微分方程，求解非常困难。因此，通过对同步发电机基本的电压及磁链方程组进行派克变换，可把变系数微分方程变 换为常系数微分方程。 2-2无阻尼绕组同步发电机突然三相短路时，定子和转子电流中出现了哪些分 量？其中哪些部分是衰减的？各按什么时间常数衰减？试用磁链守恒原理说明 它们是如何产生的？ 答：无阻尼绕组同步发电机突然三相短路时，定子电流中出现的分量包含： a）基频交流分量(含强制分量和自由分量)，基频自由分量的衰减时间常数为T d’。 b）直流分量（自由分量），其衰减时间常数为Ta。 c）倍频交流分量（若d、q磁阻相等，无此量），其衰减时间常数为Ta。 转子电流中出现的分量包含： a）直流分量(含强制分量和自由分量)，自由分量的衰减时间常数为Td’。 b）基频分量（自由分量），其衰减时间常数为Ta。 产生原因简要说明： 1)三相短路瞬间，由于定子回路阻抗减小，定子电流突然增大，电枢反应使得转子f 绕组中磁链突然增大，f绕组为保持磁链守恒，将增加一个自由直流分量，并在定 子回路中感应基频交流，最后定子基频分量与转子直流分量达到相对平衡（其中的 自由分量要衰减为0）. 2)同样，定子绕组为保持磁链守恒，将产生一脉动直流分量（脉动是由于d、q不对称）， 该脉动直流可分解为恒定直流以及倍频交流，并在转子中感 应出基频交流分量。这些量均为自由分量，最后衰减为0。 2-3有阻尼绕组同步发电机突然三相短路时，定子和转子电流中出现了哪些分 量？其中哪些部分是衰减的？各按什么时间常数衰减？
第二章电路的分析方法 电路分析是指在已知电路构和元件参数的情况下，求出某些支路的电压、电流。分析和计算电路可以应用欧姆定律和基尔霍夫定律，但往往由于电路复杂，计算手续十分繁琐。为此，要根据电路的构特点去寻找分析和计算的简便方法。 2．1 支路电流法 支路电流法是分析复杂电路的的基本方法。它以各支路电流为待求的未知量，应用基尔霍夫定律（KCL 和KVL ）和欧姆定律对结点、回路分别列出电流、电压方程，然后解出各支路电流。下面通过具体实例说明支路电流法的求解规律。 例2-1】试用支路电流法求如图2-1 所示电路中各支路电流。已知U S1 130V ，U S2 117V ，R1 1 ，R2 0.6 ，R 24 。【解】该电路有3 条支路（b=3），2个结 点（n=2）,3 个回路（L=3 ）。先假定各支路电流的参 考方向和回路的绕行方向如图所示。因为有3 条支路则 有3 个未知电流，需列出3 个独立方程，才能解得3 个未知量。根据KCL 分别对点A、B 列出的方程实际上是 相同的，即结点A、B 中只有一个结点电流方程是独立 的，因此对具有两个结点的电路，只能列出一个独立的 KCL 方程。 再应用KVL 列回路电压方程，每一个方程中至少要包含一条未曾使用过的支路（即没有列过方程的支路）的电流或电压，因此只能列出两个独立的回路电压方程。根据以上分析，可列出3 个独立方程如下： 结点A I1 I2 I 0 回路ⅠI1R1 I2R2 U S1 U S2 回路ⅡI2 R2 IR U S2 I1 10A， I2 5A， I=5A 联立以上3 个方程求解，代入数据解得支路电流 通过以上实例可以总出支路电流法的解题步骤是： 1．假定各支路电流的参考方向，若有n个点，根据KCL 列出（n－１）个结点电流方程。 ２．若有b 条支路，根据KVL 列（b－n＋１）个回路电压方程。为了计算方便，通常选网孔作为回路。
2-1 K 解:) (6A = 闭合时: 总电阻Ω = + ? + =4 6 3 6 3 2 R ) (5.7 4 30 30 1 A R I= = = 此时电流表的读数为:) (5 5.7 3 2 6 3 6 1 A I I= ? = + = 2-2 题2-2图示电路，当电阻R2=∞时，电压表12V；当R2=10Ω时，解:当∞ = 2 R时可知电压表读数即是电源电压 S U. . 12V U S = ∴ 当Ω =10 2 R时,电压表读数:4 12 10 10 1 2 1 2= ? + = + = R U R R R u S (V) Ω = ∴20 1 R 2-3 题2-3图示电路。求开关K打开和闭合情况下的输入电阻R i。
解：K )(18.60//(10Ω+=∴i R K )(8//30//(10Ω==∴i R 2-4 求题2-3图示电路的等效电阻R ab 、R cd 。
解：电路图可变为： ) (1548 82.2148 82.2148//82.21)4040//10//(80//30) (08.1782.294082 .294082.29//40)80//3040//10//(40)(4020 800)(8010800) (4020 800 20201020202010123123Ω=+?==+=Ω=+?==+=Ω==Ω==Ω==?+?+?=cd ab R R R R R 2-5 求题2-5图示电路的等效电阻 R ab 。 题2-59Ω Ω Ω
解：(a)图等效为： 5k Ω 4k Ω 4k Ω 8k Ω a b 5k Ω 2k Ω 8k Ω a b )(73.315 56 8787)25//(8Ω==+?=+=∴ab R (b)图等效为： 5Ω 5Ω 15Ω a b 3Ω )(96325 150 310153)55//(153Ω=+=+=?+=++=∴ab R (c)图等效为： b a 9Ω 10Ω 5Ω 2Ω 4Ω 8Ω 注意到54210?=?，电桥平衡，故电路中9 电阻可断去 )(67.127 147 148)25//()410(8Ω=+?+=+++=∴ab R (d)图等效为： b a 54Ω 14Ω R 12 R 23 R 31 18 1818912+?= R
第2章 电路的分析方法 电路分析是指在已知电路结构和元件参数的条件下，讨论激励和响应之间的关系。电路分析虽然可以用欧姆定律和基尔霍夫定律，但由于电路形式各异，在某些电路应用时有些美中不足。本章主要介绍线性电路中的一些重要定理，如叠加定理、戴维南定理以及诺顿定理等。 2.1 叠加原理 叠加原理是线性电路的一个重要定理,它反映了线性电路的一个基本性质：叠加性。应用叠加原理可以使某些电路的分析计算大为简化。 所谓叠加原理就是当线性电路中有几个电源共同作用时，各某支路的电流或电压等于电路中各电源单独作用时，在该支路产生的电流或电压的代数和。叠加原理也称独立作用原理。 所谓单独作用，是指除该电源外其它各电源都不作用于电路（除源）。对不作用于电路的电源的处理办法是：恒压源予以短路，恒流源予以开路。对实际电源的内阻应保留。 叠加（求代数和）时以原电路的电流（或电压）的参考方向为准，若各个独立电源分别单独作用时的电流（或电压）的参考方向与原电路的电流（或电压）的参考方向一致则取正号，相反则取负号。 例2-1-1 图2-1（a ）所示电路中，已知R 1 = 100Ω，R 2 = 100Ω，U S = 20V ， I S = 1A 。试用叠加原理求支路电流I 1和I 2。 解：根据原电路画出各个独立电源单独作用的电路，并标出各电路中各支路电 U I 2 U I 2 ′ R I 2 ″ （a ）原电路 （b ）U S 单独作用电路 （c ）I S 单独作用电路 图2-1 例2-1-1插图
按各电源单独作用时的电路图分别求出每条支路的电流值。 由图（b ）恒压源U S 单独作用时 121220 0.1A 100100 S U I I R R ''== ==++ 由图（c ）恒流源V S 单独作用时 12 0.5A I I ''''== 根据电路中电流的参考方向，一致取正，相反取负的原则，求出各独立电源在支路中单作用时电流（或电压）的代数和。 111220.10.50.4A 0.10.50.6A 2I I I I I I '''=-=-=-'''=+=+= I 1为负说明其实际方向与正方向相反。 叠加原理是分析线性电路的基础，应用叠加原理应注意只适用于线性电路中电流和电压的计算，不能用来计算功率，因为电功率与电流和电压是平方关系而非线性关系。 2.2 等效电源定理 等效电源定理包括戴维南定理和诺顿定理，它是分析计算复杂线性电路的一种有力工具。当只需计算复杂电路中某一支路的电流时，应用等效电源定理来求解最为简便。等效电源定理的应用涉及到二端网络概念。所谓二端网络是指任何具有一对端钮的电路，二端网络又称一端口网络。若网络内含有电源，称为有源二端网络，用N A 表示；若网络内不含有电源，称为无源二端网络，用N P 表示。 图2-2 （a ）电路的虚线部分就是一个有源二端网络。按照“等效”的含义，可以推想到，完全有可能找到这样一个等效电源，用它来代替原来的有源二端网络后，并不改变其端口电压U 以及流出（或流入）引出端钮的电流。 L （a ） 图2-2 有源二端网络
2-2(1)．求图示电路在开关K 断开和闭合两种状态下的等效电阻ab R 。 解：先求开关K 断开后的等效电阻： ()()Ω=++=9612//126ab R 再求开关K 闭合后的等效电阻： ()()Ω=+=86//1212//6ab R 2-2(2)．求图示电路在开关K 断开和闭合两种状态下的等效电阻ab R 。 解：先求开关K 断开后的等效电阻： ()Ω=+=384//4ab R 再求开关K 闭合后的等效电阻： Ω==24//4ab R 2-3．试求题图2－3所示电路的等效电阻ab R 。 （a ） 解： 题图2-3（a ） a Ω Ωa Ω Ω a 题图2-2（1） 题图2-2（2） a b Ω 4Ω 8
240//360144ab R =ΩΩ=Ω （b ） 解： 40ab R =Ω 题图2-3（b ） a b a b 20Ω60 Ω a 40 Ω a b 20 Ω60 Ω a 20ΩΩ a Ω Ω a a a a Ω
2-25（1）. 求图示电路a 、b 两点间的等效电阻ab R 。 解：在图中画一条垂线，使左右两边对称，参见图中虚线所示。显然虚线为等位线，没有电流流过，故图中电阻0R 可去掉，其等效电阻为： ()()[]Ω=++=48//88//88ab R 2-25（2）. 求图示电路a 、b 两点间的等效电阻ab R 。 解：此题与上题相同，只是其中电阻的阻值不同，但仍保持其对称性。采用同样的方法处理，有： ()()[]Ω=++=7 12 4//22//66ab R 2-25（3）. 求图示电路a 、b 两点间的等效电阻ab R 。 解：在图中画一条垂线，使左右两边对称，参见图中虚线所示。显然虚线为等位线，没有电流流过，故可将图中c 点分开，参见其等效图（题图2-25（3-1））所示，其等效电阻为： ()[]R R R R R R R ab 9 10 2//2//2//2= += 2-8．求图示电路的等效电压源模型。 （1）解：等效电压源模型如题图2-8（1-1）所示。 题图2-25（1） 题图2-25（2） 题图2-8（1） a b V 10题图2-8（1-1） 题图2-25（3） 题图2-25（3-1） R
第二章习题 2.1 如题2.1图所示有向拓扑图，试选2种树，并标出2种树所对应的基本 (a) 树一1T 如图所示。 基本割集为：c1{1,2,4}, c2{1,3,7}, c3{1,3,6,8}, c4{1,3,6,5,4} 基本回路为：l1{5,6,8}, l2{2,4,5}, l3{3,5,8,7}, l4{1,2,5,8,7} (b) 树二2T 如图所示。 基本割集为：c1{4,5,8}, c2{5,7,8}, c3{1,3,7}, c4{4,2,3,7} 基本回路为：l1{2,4,5}, l2{5,6,8}, l3{1,2,3}, l4{1,2,6,7} 2.2 题2.2图示电路，求支路电流1I 、2I 、3I 解：列两个KVL 回路方程： 051)54211=-+++I I I （ 021)510212=-+++I I I （ 整理为： 45921=+I I 115521=+I I 解得：A I 5.01= A I 1.02-= 而 A I I I 4.0)213-=+- =（ 2.3 如题2.3图所示电路，已知电流A I 21=解：可列KVL 回路方程： 2I+2+(i-3)R=3 已知 i=2A ，代入上式可得： R=3Ω
2.4 如题2.4图所示电路，试选一种树，确定基本回路，仅用一个基本回路方程求解电流i 。 解： 10(i-6)+5(0.4i+i)+13i=0 解得： i=2A 2.5 如题2.5图所示电路，试选一种树，确定基本割集，仅用一个基本割集方程求解电压u 。若用节点法，你将选择哪一个节点作参考点？试用一个节点方程求电压u 。 解：① ② 选3为参考节点，列方程如下： 520 1 8120124-=-+u u ）（ 已知V u 122-=，代入上式，有： 520 12812014-=++u ）（ 解得节点点位： V u 324-= 又可知 0124=++u u 得： V u u 201232124=-=--=
第2章电路的一般分析方法 P2-4 用网孔分析法求图P2-4所示电路中的电流 i 图P 2-4解：设网孔电流和电流源电压如图所示: 方程如下: 网孔方程： 12 4 4 )1 5( 6 4 4 1 2 3 1 2 1 3 2 1 - = + - - = + + - - = - - + + u i i u i i i i i ） （ 补充方程：A i i3 2 3 = - 联立以上4个方程可解得： A i33 .1 1 - =，A i07 .3 2 - =，A i07 .0 3 - =，V u07 . 17 =，A i i i74 .1 1 2 - = - = P2-6 求图P2-6所示电路的网孔电流。 x 0.5U 图P 2-6 解：方程如下： 网孔方程： 60 120 )4 2 6( 6 120 5.0 6 6 8 2 1 2 1 - = + + + - - = - + i i U i i x ） （ 补充方程： 2 4i U x ? = 联立以上3个方程可解得： A i8- 1 =，A i1 2 =，V U x 4 = P2-9 应用网孔分析法计算图P2-9所示电路中的0i。 图P 2-9 解：设网孔电流和电流源电压如图所示: 方程如下: 则网孔方程： u i i u i i i i i = + + - - = + - = - + + 3 1 2 1 3 2 1 8 2 2 60 10 10 2- 10 10 4 2 ） （ ） （ 补充方程： 1 2 3 3 i i i i i = = - 联立以上5个方程可解得：
A i 3.711=，A i 4.412=，A i 3.663=， V u 88.62=，A i i 3.7110== P2-16 利用节点电压法计算图P 2-16所示电路中电流0i 。 图P 2-16 解： 1）设节点如图所示： 节点方程： 032132113)21 101(21101021 )812141(4160 i u u u u u u u =++--=-+++- = 补充方程：4 2 10u u i -= 联立以上4个方程可解得： V u 601=，V u 8.0532=，V u 8.8623=， A i 3.710=P2-18用节点电压法求图P 2-18所示电路中的 1U 。 U 3 图P 2-18 解：设参考节点和独立节点如图，同时设受 控电压源流过的电流如图所示： 节点方程： I U U U U U U =++-==--++312321)3 1 31(3160 03 1 21)2413121( 补充方程： 3 61311 23U U i i U U -= =- 联立以上5个方程可解得： V U 481=，V U 602=，V U 363=， A I 8=，A i 41-=P2-20 用节点分析计算图P2-20所示电路的 I 。
第二章 电路的分析方法 P39 习题二 2-1 题2-1图 题2-1等效图 解： 334424144I R R I R I R R I ?=?+??? ? ??+? ① 33341445I R E I I R R I R ?-=?? ? ???++ ② 344443363I I I I =+??? ??+，344215I I = 34815I I = ①
33444621I I I I -=?? ? ??++，345623I I -= 3410123I I -=，34506015I I -=，A 29 30 ,302933= =I I 代入 ①A 29 16, 29 3081544= ?=?I I 另外，戴维南等效图 A 29549 296I 5== 回归原图 3355I R I R E ?=?-，所以 A 29 3042954 163=? -=I 2-2答 由并联输出功率400w 所以每个R 获得功率R U P 2 ,W 1004400== )(484,2201002 Ω==R R 改串联后：W 254 22220P P 222=?===总消耗输出R U 2-3
题2-3等效图 Ω=++?=++?= 313212123121112111R R R R R R ，Ω=++?=++?=13213 223121123122R R R R R R Ω=++?=++?= 2 1 3213123121123133R R R R R R )(913910312 953125225 231ab Ω=+=+=+ ? + =R 2-4 题2-4 △-Y 变换（一）图 1Ω a 2 b c
2—1 试写出如图2—55所示二端网络的V AR 。 - S U - S U + -S I S U S U + - I + - S I + - S I ) (c ) (g ) (h 552-图1 2-题 解: ) (11).() (11).()()..()().()..().().().(S S S S S S S S S S I GU I I I GU I h U RI U U RI U U g I U g G I f U I r R U e I GU I d I GU I c U IR U b U IR U a +β -= +β+=+α+= ++α-=++=+-=--=-=-=+-= 2—2 画出下列二端网络V AR 所对应的最简电路，其中u 和i 采用关联参考方向。
s s s u Ri u u Ri u u Ri u +-=-=+=).3()2()1( s s s i Gu i i Gu i i Gu i +-=-=+=)6()5()4( 解(1) -u (2) -u (3) - R -或 者 -s u s u (4) (5) +-u (6) +-u 或 者 +-u 2—3 将如图2—56所示各电路化简。 +- u
56 2-图3 2-题 解: 原图? 3)(a 原图) (b ? ? ) (c 原图? ? 原图)(d ? ? ) (d ) (e ) (a ) ( b V 93Ω 3342A 2) (c 45V 10
)(e 原图 ? ? 2-4. 求图示电路的V A R ，并找出一种 最简等效电路。 5V （a ） 【解】原电路? 5V ? 5V 由K V L 得 1015555u i i i =-++= + 因此，最简等效电路为 5V 或 2V x u （b ） 【解】原电路?
第二章电阻电路的等效变换 “等效变换”在电路理论中是很重要的概念，电路等效变换的方法是电路问题分析中经常使用的方法。 所谓两个电路是互为等效的，是指（1）两个结构参数不同的电路再端子上有相同的电压、电流关系，因而可以互相代换；（2）代换的效果 2-12）33(R R ∞=23,i i 。 解：（1） 2R 和3R 为并联，其等效电阻842R k ==Ω， 则总电流 mA R R u i s 3504210011=+=+= 分流有mA i i i 333.86502132==== （2）当∞=3R ，有03=i
（3）03=R ，有0,022==u i 2-2电路如图所示，其中电阻、电压源和电流源均为已知，且为正值。求： （1）电压2u 和电流2i ；（2）若电阻1R 增大，对哪些元件的电压、电流有影响？影响如何？ 解：（1）对于2R 和3R 来说，其余部分的电路可以用电流源s i 等效代换，如33R R i R +32R R i R R s +（2但1R 显然s i u s i 图（a 压is u 压源s u 4s 路中s u 中的电流。 2-3电路如图所示。（1）求s o u u ；（2）当(//212121R R R R R R R L +=>>时，s o u u 可近似为212 R R R +，此时引起的相对误差为 当L R 为)//(21R R 的100倍、10倍时，分别计算此相对误差。
解：（1） L L R R R R R +?=22R R u i s +=1R R R u Ri u s o +==1 所以s o u u =（2）设当100=K 10=K 时2-4==21G G 解：有 (b)图 中1G 和2G 所在支路的电阻 所以[][]Ω=+=+=322//2//34R R R R ab
第二章电路的分析方法 本章以电阻电路为例，依据电路的基本定律，主要讨论了支路电流法、弥尔曼定理等电路的分析方法以及线性电路的两个基本定理：叠加定理和戴维宁定理。 1．线性电路的基本分析方法 包括支路电流法和节点电压法等。 （1）支路电流法：以支路电流为未知量，根据基尔霍夫电流定律（KCL）和电压定律(KVL)列出所需的方程组，从中求解各支路电流，进而求解各元件的电压及功率。适用于支路较少的电路计算。 （2）节点电压法：在电路中任选一个结点作参考节点，其它节点与参考节点之间的电压称为节点电压。以节点电压作为未知量，列写节点电压的方程，求解节点电压，然后用欧姆定理求出支路电流。本章只讨论电路中仅有两个节点的情况，此时的节点电压法称为弥尔曼定理。 2 ．线性电路的基本定理 包括叠加定理、戴维宁定理与诺顿定理，是分析线性电路的重要定理，也适用于交流电路。 （1）叠加定理：在由多个电源共同作用的线性电路中，任一支路电压（或电流）等于各个电源分别单独作用时在该支路上产生的电压（或电流）的叠加（代数和）。 ①“除源”方法 （a）电压源不作用：电压源短路即可。 （b）电流源不作用：电流源开路即可。 ②叠加定理只适用于电压、电流的叠加，对功率不满足。 （2）等效电源定理 包括戴维宁定理和诺顿定理。它们将一个复杂的线性有源二端网络等效为一个电压源形式或电流源形式的简单电路。在分析复杂电路某一支路时有重要意义。 ①戴维宁定理：任何一个线性含源的二端网络，对外电路来说，可以用一个理想电压源和一个电阻的串联组合来等效代替，其中理想电压源的电压等于含源二端网络的开路电压，电阻等于该二端网络中全部独立电源置零以后的等效电阻。 ②诺顿定理：任何一个线性含源的二端网络，对外电路来说，可以用一个理想电流源和一个电阻的并联组合来等效代替。此理想电流源的电流等于含源二端网络的短路电流，电阻等于该二端网络中全部独立电源置零以后的等效电阻。 3 ．含受控源电路的分析 对含有受控源的电路，根据受控源的特点，选择相应的电路的分析方法进行分析。 4．非线性电阻电路分析
第二章 电路的分析方法 知识要点 一、内容提要 在任何一个直流电路中电阻的串并联最为常见，所以常用电阻的串并联等效变换的方法将一个电路化简为单回路电路，计算极为简单。如果不能用电阻的串并联等效变换简化电路，可以根据不同的电路结构采用不同的分析方法如支路电流法、叠加原理、节点电位法、电源模型及其等效互换、等效电流定理等几种方法进行分析、计算。 二、基本要求 1. 对支路电流法、支路电压法作一般了解。 2. 能正确理解叠加原理、戴微南定理、两源互换的适用条件。 3. 能熟练运用叠加原理、戴微南定理、两源互换计算复杂电路中的有关P 、U 、I 。 三、学习指导 在电路诸多的分析方法中，支路法（电流法、电压法）最为基本，是直接应用克希荷夫两个定律列出联立方程求解；叠加原理和戴维南定理是重点，在本课程中常用到。 本章的难点是电流源和理想电流源，它比较生疏，不像电压源那样熟悉和具体，不易理解，所以在学习本章过程中应注意以下几点： 1. 电阻的串联与并联 （1）电阻串联：首尾依次相连，通过同一电流。由欧姆定律可知总电阻为各电阻之和，即： ∑= i R R 各电阻电压分配关系：s U R R U i i =，式中s U 为总电压。 （2）电阻并联：首首共端，尾尾共端，承受同一电压。由欧姆定律可知总电阻为： ∑ = i R R 11 各支路电流分配关系：s I R R I i i = ，式中s I 为总电流。 并联电阻越多，则总电阻越小，电路中总电流和总功率就越大，但每个电阻的电流和功率却不变。 2. 电压源与电流源及其等效互换 (1) 从电压源模型引出电流源模型，由图2-1（a)可知I R E U 0-=，两边除以0R 得
第二章习题 2.1 如题2.1图所示有向拓扑图，试选2种树，并标出2种树所对应的基本 (a) 树一1T 如图所示。 基本割集为：c1{1,2,4}, c2{1,3,7}, c3{1,3,6,8}, c4{1,3,6,5,4} 基本回路为：l1{5,6,8}, l2{2,4,5}, l3{3,5,8,7}, l4{1,2,5,8,7} (b) 树二2T 如图所示。 基本割集为：c1{4,5,8}, c2{5,7,8}, c3{1,3,7}, c4{4,2,3,7} 基本回路为：l1{2,4,5}, l2{5,6,8}, l3{1,2,3}, l4{1,2,6,7} 2.2 题2.2图示电路，求支路电流1I 、2I 、3I 解：列两个KVL 回路方程： 051)54211=-+++I I I （ 021)510212=-+++I I I （ 整理为： 45921=+I I 115521=+I I 解得：A I 5.01= A I 1.02-= 而 A I I I 4.0)213-=+- =（ 2.3 如题2.3图所示电路，已知电流A I 21=解：可列KVL 回路方程： 2I+2+(i-3)R=3 已知 i=2A ，代入上式可得： R=3Ω
2.4 如题2.4图所示电路，试选一种树，确定基本回路，仅用一个基本回路方程求解电流i 。 解： 10(i-6)+5(0.4i+i)+13i=0 解得： i=2A 2.5 如题2.5图所示电路，试选一种树，确定基本割集，仅用一个基本割集方程求解电压u 。若用节点法，你将选择哪一个节点作参考点？试用一个节点方程求电压u 。 解：① ② 选3为参考节点，列方程如下： 520 18120 124-=- +u u ）（ 已知V u 122-=，代入上式，有： 520 128120 14-=+ +u ）（ 解得节点点位： V u 324-= 又可知 0124=++u u 得： V u u 201232124=-=--=
第二章 电路的基本分析方法 1．用支路电流法计算所示电路中的各支路电流。 解：1021++=I I I 012048.01=-+I I 由此解得：I 1=9.38A ；I 1=8.75A ；I 1=28.13A ； 011644.02=-+I I 注意：列写电压方程时，应避开电流源。 2．试用弥尔曼定理求解图示电路中的各支路电流。 解：=++++=50 1501501501205010050 200BA U 140V 2.150140200=-=A I A ；8.050140100-=-=B I A ；4.050 140120-=-=C I A ； 3．在图示电路中，⑴当开关S 合在A 点时，求电流I 1、I 2和I 3；⑵当开关S 闭 合在B 点时，利用⑴的结果，运用叠加原理计算电流I 1、I 2和I 3。 解：⑴S 在A 点时： ?????=+=+=+120421304232 31321I I I I I I I 由此解得：151=I A ；102=I A ；253=I A ； ⑵当20V 电压源单独作用时：设电流分别为I 1′，I 2′，I 3′， 则 6) 4//2(2202=+='I A ；442421-='+-='I I A ；242223='+='I I A 所有电源共同作用时：11415111 =-='+=''I I I A ；16222='+=''I I I A ；27333='+=''I I I A 4．试分别用叠加定理和戴维南定理求图示电路中得电流I 。 解：⑴戴维南定理： 6821-=-?=O C U V ；20=R Ω；6.08 0-=+= R U I OC A ⑵叠加定理： 电流源单独作用时I '（方向与原图同） 2.018 22=?+= 'I A 电压源单独作用时I ''（方向与原图同）
第二章习题 如题图所示有向拓扑图，试选2种树，并标出2种树所对应的基本割集与 (a) 树一1T 如图所示。 基本割集为：c1{1,2,4}, c2{1,3,7}, c3{1,3,6,8}, c4{1,3,6,5,4} 基本回路为：l1{5,6,8}, l2{2,4,5}, l3{3,5,8,7}, l4{1,2,5,8,7} (b) 树二2T 如图所示。 基本割集为：c1{4,5,8}, c2{5,7,8}, c3{1,3,7}, c4{4,2,3,7} 基本回路为：l1{2,4,5}, l2{5,6,8}, l3{1,2,3}, l4{1,2,6,7} 题图示电路，求支路电流1I 、2I 、3I 。 解：列两个KVL 回路方程： 051)54211=-+++I I I （ 021)5 10212=-+++I I I （ 整理为： 45921=+I I 115521=+I I 解得：A I 5.01= A I 1.02-= 而 A I I I 4.0)213-=+- =（ 如题图所示电路，已知电流A I 21=，求电阻R 解：可列KVL 回路方程： 2I+2+(i-3)R=3 已知 i=2A ，代入上式可得： R=3Ω
如题图所示电路，试选一种树，确定基本回路，仅用一个基本回路方程求解电流i 。 解： 10(i-6)+5+i)+13i=0 解得： i=2A 如题图所示电路，试选一种树，确定基本割集，仅用一个基本割集方程求解电压u 。若用节点法，你将选择哪一个节点作参考点试用一个节点方程求电压u 。 解：① ② 选3为参考节点，列方程如下： 520 1 8120124-=-+u u ）（ 已知V u 122-=，代入上式，有： 520 12812014-=++u ）（ 解得节点点位： V u 324-= 又可知 0124=++u u 得： V u u 201232124=-=--=
电路分析答案第二章． 第二章习题
种树所对应的基本种树，并标出22.1 如题2.1图所示有向拓扑图，试选2
割集与基本回路 11 解 b2b2b32acacac 6 6 7 5 5 4 7 5 TT e d e 1d e d 28 8 题如图所示。树一(a)T1基本割集为：c1{1,2,4}, c2{1,3,7}, c3{1,3,6,8}, c4{1,3,6,5,4} 基本回路为：l1{5,6,8}, l2{2,4,5}, l3{3,5,8,7}, l4{1,2,5,8,7} (b) 树二如图所示。T2基本割集为：c1{4,5,8}, c2{5,7,8}, c3{1,3,7}, c4{4,2,3,7} 基本回路为：l1{2,4,5}, l2{5,6,8}, l3{1,2,3}, l4{1,2,6,7} I。、2.2图示电路，求支路电流、2.2 题II312 解：列两个KVL回路方程：410 I+ 0)?1?5?4I?（5I?I22111+ + 0)?（5I?I?1?2?10I- 22125 4I?5?9I整理为：- - I5I21131?II5?1521A0.1?IA?I0.5?解得：21?)?（II??0?4AI.而312 I?2A，求电阻。如题2.3 2.3图所示电路，已知电流R1
解：可列KVL回路方程：2R + - 2I+2+(i-3)R=3 32 i=2A，代入上式可得：已知I1R=3 - 2 图所示电路，试选一种树，确定基本回路，仅用一个基本回路2.4 如题2.4
i。方程求解电10解：6A 2310(i-6)+5(0.4i+i)+13i=0 i i=2A 解得： 5130. 图所示电路，试选一种树，确定基本割集，仅用一个基本割集2.52.5 如题你将选择哪一个节点作参考点？试用一个节点方若用节点法，方程求解电压u。。 程求电压u 0.解：①61- 2 + + - 1 3 + 5u 820- 4 ②为参考节点，列方程如下：选31115）?u???u（2420208V12u??，代入上式，有：已知212115?）（u???420208V32u??解得节点点位：4V?20123212??u?u012??uu???又可知得：44 3
K 解) (6A = 闭合时: 总电阻Ω = + ? + =4 6 3 6 3 2 R ) (5.7 4 30 30 1 A R I= = = 此时电流表的读数为:) (5 5.7 3 2 6 3 6 1 A I I= ? = + = 2-2 题2-2图示电路，当电阻R2=∞时，电压表12V；当R2=10Ω时，电压表的读数为4V，求R1和U S的值。 解:当∞ = 2 R时可知电压表读数即是电源电压 S U. . 12V U S = ∴ 当Ω =10 2 R时,电压表读数:4 12 10 10 1 2 1 2= ? + = + = R U R R R u S (V) Ω = ∴20 1 R 2-3 题2-3图示电路。求开关K打开和闭合情况下的输入电阻R i。
解：K )(18.60//(10Ω+=∴i R K )(8//30//(10Ω==∴i R 2-4 求题2-3图示电路的等效电阻R ab 、R cd 。
解：电路图可变为： ) (1548 82.2148 82.2148//82.21)4040//10//(80//30) (08.1782.294082 .294082.29//40)80//3040//10//(40)(4020 800)(8010800) (4020 800 20201020202010123123Ω=+?==+=Ω=+?==+=Ω==Ω==Ω==?+?+?=cd ab R R R R R 2-5 求题2-5图示电路的等效电阻 R ab 。 题2-59Ω Ω Ω
解：(a)图等效为： 5k Ω 4k Ω 4k Ω 8k Ω a b 5k Ω 2k Ω 8k Ω a b )(73.315 56 8787)25//(8Ω==+?= +=∴ab R (b)图等效为： 5Ω 5Ω 15Ω a b 3Ω )(96325150 310153)55//(153Ω=+=+=?+=++=∴ab R (c)图等效为： b a 9Ω 10Ω 5Ω 2Ω 4Ω 8Ω 注意到54210?=?，电桥平衡，故电路中9 电阻可断去 )(67.127 147 148)25//()410(8Ω=+?+ =+++=∴ab R (d)图等效为： b a 54Ω 14Ω R 12 R 23 R 31 18 1818912+?= R