《用方程解答含两个未知数的问题》教学设计
刘瑄教学内容：教科书第70页，练习十三第4～8题。
教学目标：
1.理解实际问题中有关和、差、倍的数量关系。
2.初步学会设一个未知数，列方程解答含两个未知数的实际问题。
3.培养学生的比较、分析能力和类比学习的能力。
教学过程：
一、复习准备
1.填空。
（1）学校科技组的男同学人数是女同学的3倍。设女同学有x人，男同学有（）人；设男同学有x人，女同学有（）人。
（2）学校航模组的男同学人数比女同学多18人。设女同学有x人，男同学有（）人；设男同学有x人，女同学有（）人。
比较两种设未知数的方法，选择哪个量设为x，另一个量就比较容易表示？（3）学校书法组有女同学x人，男同学人数是女同学的2.5倍。男同学有（）人，男女同学一共有（）人，男同学比女同学多（）人。
（4）2.5x＋x＝（）x；2.5x－x＝（）x。
运用了什么运算定律？
2.口答。
根据下面的两个条件，你能提出什么数学问题？
地球上的陆地面积为1.5亿平方千米，海洋面积约为陆地面积的2.4倍。
通常，学生能提出的问题有：
（1）海洋面积约有多少亿平方千米？
（2）海洋面积约比陆地面积多多少亿平方千米？
（3）地球的表面积是多少亿平方千米？
让学生把第（3）个问题算出答案：
地球上的陆地面积为1.5亿平方千米，海洋面积约为陆地面积的2 4倍。地球的表面积是多少亿平方千米？
1.5＋1.5×
2.4＝5.1（亿平方千米）
二、教学例3
1.引入例题。
出示例3的条件：
地球的表面积为5.1亿平方千米，其中，海洋面积约为陆地面积的2.4倍。
教师：现在又能提出哪些数学问题？
引出例题。
2.比较例题与求地球表面积的复习题，有什么区别。
引导学生回答：数量关系相同，条件与问题交换了位置。
请学生说出数量关系，教师板书：
陆地面积＋海洋面积＝地球的表面积5.1亿平方千米
↓
陆地面积×2.4
3.讨论：有两个未知数，怎么办？
①怎样设未知数？
②怎样列方程？
学生分组讨论，教师巡视，酌情参与讨论。
4.交流各种解法。
引导学生从便于思考、便于解方程两方面进行比较。
5.重点讨论下列解法。
解：设陆地面积为x亿平方千米。（设海洋面积为x可以吗？哪个更方便？）那么海洋面积为2.4x亿平方千米。（这是用了哪个条件？）
x＋2.4x＝5.1 （这是用了哪个条件？）
(1＋2.4）x＝5.1 (这是用了什么运算定律？）
让学生自己把方程解完，得x＝1.5。
提问：另一个未知数怎样求？根据是什么？
5.1－1.5＝3.6（利用和的关系）
2.4x＝1.5×2.4＝
3.6（利用倍数关系）
6.引导学生进行检验。
提问：除了代入方程检验之外，还可以怎样验算？
验算陆地面积与海洋面积的和是否等于地球的表面积5.1亿平方千米：
1.5＋3.6＝5.1
验算海洋面积与陆地面积的倍数关系是否等于2.4：
3.6÷1.5＝2.4
三、巩固练习
1.看图列方程（单位：棵）。同桌互相口头说出方程。
2.课本练习十三第4、6、7题。要求不抄题，用方程解。
独立完成，然后全班交流核对。
四、本课小结
师：今天我们学习了用方程解决含两个未知数的问题，你认为解答时应注意什么？
着重从以下几方面进行小结。
①两个未知数怎么办？
②两个已知条件怎么用？
③怎样验算？
五、布置作业
课本练习十三第5、8题。
稍复杂的方程
这部分内容共有三道例题。它们的共同点是每道例题都担负着教学列方程和教学解方程的双重任务。这是本单元学习的难点。
编写意图
例3的内容是关于地球表面海洋面积和陆地面积的计算。它的特点是问题含有两
个未知数，一般通常用两个已知条件说明两个未知数的关系。如给出两个未知数的和与差，或给出两个未知数的倍数关系与两个未知数的和（或差）。
具有这种数量关系的问题，在算术中称为“和差”、“和倍”、“差倍”问题。若用算术方法解，思路特殊，需要分别教学。改用方程解，都可归结为解形如ax±bx=c 的方程，思路统一，解法一致，学会其中之一的解法，其他几种就很容易类推解决。
在实际生活中，也常常会遇到一些具有这种数量关系的问题。特别是当两个数的倍数关系用分数、百分数表示时，这样的问题就更常见了。
像这样含有两个未知数的问题，在本单元之前，学生还没接触过。但它与学生以前学过的不少内容有关。比如，已知两数，可以求出它们的和、差及倍数关系，这是小学低年级的小学内容。现在，从两数的和、差及倍数关系中选取两项作已知条件，反过来求两数各是多少，这就是我们在这里讨论的问题。可见，所谓的“和差”、“和倍”、“差倍”问题，实际上是已知两数，求它们的逆思考问题。
在小学中年级，曾出现过只有两个已知条件，却要两步计算解决的实际问题。如，舞蹈队有男生20人，女生人数是男生的2倍，舞蹈队共有学生多少人？女生比男生多多少人？这类问题的特点是选取两数之一作一个条件，再从两数的和、差及倍数关系这三个量中选取一个为另一个条件，然后求三个量中的其他两个量。不难看出，例3也是这类两步计算问题的逆思考问题。
解答例3，首先碰到的第一个问题是设未知数。学生已有的经验是“求什么设什么”。现在面临一道题中要求两个未知数各是多少，究竟设哪个为x，另一个又怎样表示？这是必须突破的一个难点。就数学本身来说，和差倍关系的两个未知数，任选一个设为x都是可行的。同样，另一个未知数的表示方法也有两种，即选用两个已知条件中的任何一个都能表示。比较而言，在各种解法中，把作为比较标准的未知数设为x，则用含x的式子表示另一个未知数就比较容易。
教材采用的就是这种方法。设陆地面积为x亿平方千米，根据两个量的倍数关系这个条件表示海洋面积，再根据另一个已知条件（两部分面积的和即地球表面积），列出方程。
这里第一次出现了形如ax±bx=c的方程。考虑到学生的知识水平和接受能力，教材没有出现合并同类项等术语，而是启发学生运用乘法分配律，将原方程转化
为学生已会解的形式（a±b）x＝c。这与合并同类项的方法实质上是一致的。
求出陆地面积后，接下去怎样求海洋面积？有两种选择。即任选两个已知条件中的任何一个都可以。教材以两个同学互相交流的形式，对两种算法都作了介绍。
教学建议
（1）教学例3前，可以采用口答形式进行一些写出含有字母式子的填空练习。如：学校科技组有女同学x人，男同学是女同学的3倍，男同学有（）人，男女同学一共有（）人，男同学比女同学多（）人。还可以给出复习题：
地球上的陆地面积为1.5亿平方千米，海洋面积约为陆地面积的2.4倍。地球的表面积是多少亿平方千米？让学生列式计算出地球表面积是5.1亿平方千米，作为新授的铺垫和过渡。
（2）教学例3时，可以先让学生说出已知条件，并根据已知条件画出线段图（暂不标出“x” ）。再让学生说出所求问题，明确要求的未知数有两个。然后利用线段图启发学生思考，先设哪一个未知数为x，根据已知条件，另一个未知数该怎样用含有字母的式子来表示。根据学生的回答在线段图上标注x和2.4x。然后引导学生想：一个条件已经用来表示第二个未知数了，还可以根据哪个条件找出等量关系列方程？由此列出课本介绍的方程。然后将方程和复习题的算式进行对比：
1.5＋1.5×
2.4＝5.1
x＋2.4x＝5.1
帮助学生沟通新旧知识的联系，进一步理解数量关系。
如果学生提出不同的方法，可酌情加以比较，如：
让学生观察这些方程，容易看出解方程都比较麻烦。如果学生求出陆地面积后，怎样求海洋面积，有两种方法。学生喜欢用哪一种都可以，不必强求一律。（3）例3的检验，应予以重视。可以提出问题：除了代入方程检验之外，还有没有其他的验算方法？学生一般能够想到，验算两个得数的和与商，看是否等于已知数。教师可以指出，在解决实际问题时，这样验算比先检查方程，再把x
的值代入方程检验，更有效，也更简便。
（4）引导学生小结时，可以着重明确以下三点：第一，两个未知数怎么办？可以先选择其中一个设为x，列方程解，再求另一个；第二，两个已知条件怎么用？可以把其中一个用来写出含有字母的式子，表示另一个未知数，另一个用来列方程；第三，怎样验算？可以通过列式计算，检验两个得数的和及倍数关系是否符合已知条件。
第4题的数量关系仍为两积之和，但两个积都含未知因数x，所以列出的方程形如ax±bx=c。把它作为例2与例3配套练习的过渡比较合适。
第5题，练习解形如ax±bx=c的方程。熟练以后，允许学生简化解方程的书写过程。如：
解5.4x＋x＝12.8
6.4x＝12.8
x＝2
第6题，含两个未知数，已知条件是两数的和与差（两个相邻自然数的差是1），它与已知“和倍”、“差倍”关系的问题略有不同的是，设两个数中的任何一个为x 都可以，不存在解方程时简便或麻烦的问题。
第7题，为鸡兔同笼问题的变式。题中的隐蔽条件是鸡有2条腿，兔有4条腿。由于鸡兔数量相同，所以列出的方程形如ax+bx=c。
第8题，含两个未知数，已知条件为两数之差与倍数关系。可以让学生选用自己喜欢的方法，列出方程。
1.本单元的内容结构及其地位作用。
本单元的主要学习内容是用字母表示数和解简易方程，以及简易方程在解决一些实际问题中的运用。
这些内容是在学生学了一定的算术知识（如整数、小数的四则运算及其应用），已初步接触了一点代数知识（如用字母表示运算定律，用○、△或□表示数）的基础上，进行学习的。
一般地说，在小学教学简易方程有以下几方面的意义。
一是有助于培养学生的抽象概括能力，发展学生思维的灵活性。因为对小学生来说，从具体事物的个数抽象出数是认识上的一个飞跃，现在由具体的、确定的数过渡到用字母表示抽象的、可变的数，更是认识上的一个飞跃。而且，在用字母表示未知数的基础上，使学生解决实际问题的数学工具，从列出算式解发展到列出方程解，这又是数学思想方法认识上的一次飞跃，它将使学生运用数学知识解决实际问题能力提高到一个新的水平。
二是有助于巩固和加深理解所学的算术知识。通过用字母表示所学过的数量关系、运算定律以及一些图形的周长、面积计算公式，可以使学生加深对这些知识的理解。同时，由于用字母表示比用文字表述更简明易记，所以便于学生巩固所学知识。
三是有利于加强中小学数学的衔接。让学生初步接触一点代数知识，能使学生摆脱算术思维方法中的某些局限性（逆向思考，未知数不参加运算，等于缺少一个条件，思维的步骤增加），为进一步学习代数知识做好认识的准备和铺垫。
本单元的内容分为两节，第一节的主要内容是用字母表示数、表示运算定律、计算公式和数量关系。第二节的主要内容是方程的意义，等式的基本性质和解简易方程，以及列方程解决一些比较简单的实际问题。这些内容的编排体系如下表。
从上表可以看出，两节教材的四部分内容具有内在的逻辑联系。用“字母表示数”是学习方程的基础，“方程的意义”是学习“解方程”的基础，“稍复杂的方程”则是“解方程”的发展。
2.本单元教材的编写特点。
与原教材相比，本单元教材的主要改进有以下几点。
（1）用字母表示数的教材编排更贴近学生的认知特点。
用字母表示数，对小学生来说，是比较抽象的。特别是用含有字母的式子表示数量关系，更感困难一些。例如，已知父亲年龄比儿子大30岁，用a表示儿子岁数，那么a+30既表示父亲岁数总是比儿子岁数大30的年龄关系，又表示父亲的岁数。这是学生初学时的一个难点。首先，他们要理解父子年龄之间的关系，把用语言叙述的这一关系改用含有字母的式子表示；其次，他们往往不习惯将
a+30视为一个量，常有学生认为这是一个式子，不是结果。而用一个式子表示一个量恰恰是学习列方程不可或缺的一个基础。因此，为了保证基础，突破难点，教材对用字母表示数的教学内容作出了更贴近学生的认知特点的安排。即先学习用字母表示一个特定的数（例1），然后学习用字母表示一般的数，即用字母表示运算定律和计算公式（例2和例3），待学生有了一定的基础，再学习用含字母的式子表示数量和数量关系（例4）。这样由易到难，便于学生逐步感悟、适应字母代数的特点。
（2）以等式的基本性质为基础，而不是依据逆运算关系解方程。
长期以来，在小学教学简易方程，方程变形的依据总是加减运算的关系或乘除运算之间的关系。这实际上是用算术的思路求未知数。到了中学又要另起炉灶，引入等式的基本性质或方程的同解原理，然后重新学习依据等式的基本性质或方程的同解原理解方程，而且小学的思路及其算法掌握的越牢固，对中学代数起步教学的负迁移就越明显。现在，根据《标准》的要求，从小学起就引入等式的基本性质，并以此为基础导出解方程的方法。这就较为彻底地避免了同一内容两种思路、两种算理解释的现象，有利于加强中小学数学教学的衔接。
从国内部分地区的先行实验来看，等式基本性质所反映的数学事实，比较浅显，小学生凭借自己的知识经验，不难发现其变化规律。只要处理得当，把它作为解简易方程的依据也是可行的。
（3）调整简易方程的内容，突显利用等式基本性质解方程的优势。
引进等式基本性质作为解简易方程的认知基础之后，一个相应的措施就是调整简易方程的基本内容，暂不出现形如a-x=b和a÷x=b的简易方程。这是因为小学生还没有学习正负数的四则运算，利用等式的基本性质解a-x=b，方程变形的过程及其算理解释比较麻烦。至于形如a÷x=b的方程，本质上是分式方程，依据等式的基本性质解需要先去分母，同样不适合在小学阶段学习。事实上，回避这两种类型的简易方程，并不影响学生列方程解决实际问题。因为当需要列出形如a-x=b或a÷x=b的方程时，总可以根据实际问题的数量关系，列成形如x+b=a或bx=a的方程。这也体现了列方程解决问题，常常可以化逆向思维为顺向思维的优势。
内容调整后，利用等式基本性质解方程的优越性就比较容易显现出来了，比
如，解形如x+a=b与x-a=b的方程，都可以归结为，等式两边减去（加上）a，得x=b-a与x=b+a。解形如ax=b与x÷a=b的方程，都可以归结为，等式两边除以（乘上）a，得x=b÷a与x=ab。显然比原来依据逆运算关系解方程，思路更为统一。
（4）解方程与解决实际问题的教学有机整合。
过去，解方程的教学与列方程解应用题的教学是分开进行的，前者属于计算，后者属于应用。现在恢复计算与应用的天然联系，体现在本单元中，学习“稍复杂的方程”时，由实际问题引入方程，在现实背景下求解方程并检验，这样处理有助于学生理解解方程的过程，也有利于加强数学知识与现实世界的联系，有利于培养学生的数学应用意识。
（第53～76页）教材说明
本节教材包括方程的意义、解方程和稍复杂的方程三部分内容。
关于方程和解方程的知识，在初等代数中占有重要地位。中小学生在学习代数的整个过程中，几乎都要接触这方面的知识。从这个意义上说，前一节学习用字母表示数，为本节学习方程和解方程打下了基础。
本节的学习内容，既包括方程的概念和解方程所依据的原理（等式基本性质），又包括方程的解法和应用。这些内容之间的逻辑联系如下图所示。
其中较简单的方程，只要通过一次变形，即在方程两边同时加上或减去、乘上或除以一个适当的数，就能求出x的值。稍复杂的方程，则需要两次变形，才能求出x的值。
如果说学习的目的全在于应用，那么学习方程的目的也是如此。因此，学习列方程解决实际问题与学习解方程一样，是本单元的学习重点。
列方程解决实际问题，与学生在这之前所采用的列算式解决实际问题，它们的共同点是，都以四则运算和常见数量关系为基础，都需要分析数量关系。它们的区别主要是思考方法不同。列算式解决实际问题时，未知数始终作为一个“目标”，不参加列式运算，只能用已知数和运算符号组成算式，所以列式费思考，解题思路常常迂回曲折，局限性较大。列方程解决实际问题时，未知数能以一个
字母（如x）为代表和已知数一起参加列式运算，所以解题思路更加直截了当，降低了思维难度，适用面广。但由于学生较长时期用算术方法解决问题，开始学习列方程解决问题时，往往受到算术思路的干扰。因此，在本节的教学中，注意过渡和对比，克服干扰，对于学生初步掌握列方程解决问题的思考方法和特点，初步体会列方程解决问题的优越性，具有重要意义。
鉴于列方程解决问题的关键在于搞清数量之间的相等关系，所以教材在每个实际问题的解答中都列出了用文字、运算符号与等号表示的等量关系，但只要求学生学会这样思考，不要求学生解题时都书写出来，因此围以虚线框。
教学建议
1.重视概念与原理的教学。
建立方程的概念是学习解方程的基础。虽然有关方程的几个概念，教材只作描述，不下定义，但这并没有削弱理解概念对于掌握方法的作用。比如，只有理解了“方程”的含义，它是一个“含有未知数的等式”，才有可能明确，所谓解方程，实际上就是解决这样一个问题：当x取什么数值时，能使等式成立。类似地，只要理解了“方程的解”的含义，也就明确了应当怎样去检验某个数是不是方程的解。
同样道理，为使等式的基本性质成为解方程的认知基础，就应当重视对它的理解。教学时，应充分利用天平的直观性，帮助学生感悟怎样才能使天平的两端保持平衡。学生理解了等式的基本性质，就能有效地避免解方程时的机械模仿和死记硬背。
2.重视解决实际问题能力的培养。
由于用方程解决实际问题具有思考过程比较直接、简明，能使某些实际问题的解决化难为易。所以有利于减少学生的学习困难，有利于培养解决实际问题的能力。又由于用算术方法和用方程解决问题的思路有所不同，从而能使学生在掌握新的解决问题思考方法的过程中开阔思路，这同样有助于培养学生解决实际问题的能力。
因此，在本节内容的教学中，应着力让学生体会列方程解决问题的优越性，让学生掌握列方程解决问题的基本步骤，并注意引导学生逐步学会根据问题特点，灵活选择比较简便的算法，进而在提高解决实际问题能力的同时，培养学生
思维的灵活性。
3.注意掌握教学目标的适切性。
本节的教学内容，从方程的概念到天平平衡的原理，再到稍复杂的方程及其应用，内容本身有很大的发展空间。因此，教师在确定各课时的教学目标时，应依据《标准》，并参照课本、参照本单元的教学目标。同时还应从本班学生的实际情况出发，把教学目标定在学生的最近发展区内。
在教学用方程解决问题时，教师可以补充一些联系实际的问题，特别是补充一些具有地方特点的实际问题。但这些问题的数量关系不能过于复杂，必须是学生能够理解的；由这些问题所得到的方程，形式一般不宜超过教材。以免加重学生的学习负担，欲速而不达。
4.本节内容可以用12课时进行教学。
课题：列方程解答含有两个未知数的实际问题 年级五执课教师XXX 使用日期 学习内容：列方程解含有两个未知数的应用题 学习目标： 1、学生通过自主探索、交流互助学会根据两个未知量之间的关系，列方程解答含有两个未知数的实际问题。 2、指导学生设未知数表示两个数量之间的关系，会解答形如ax±bx＝c的应用题，会进行检验。 3、培养学生认真学习的好习惯，渗透不同事物之间既有联系又有区别的观点。 学习重点：会列方程解含有两个未知数的应用题的方法 学习难点：分析应用题的等量关系，恰当地设未知数。 学习过程 一、预习作业 1、抢答： 4.5x+x=( ) 5.8x－x=( ) x+x-2=( ) x-1+x+2+x=( ) 2、认真阅读，并用笔勾画出下题中所涉及的量，再完成后面的问题。 (1)、“学校科技小组的男生人数是女生人数的3倍”：设女生有x人，男生有（）人，男女生共有（）人，男生比女生多（）人。 (2)、“妈妈的年龄是孩子年龄的3.5倍”：我们可以设（）的年龄为x岁，那么（）的年龄为（）岁，妈妈和孩子共（）岁。妈妈比孩子大（）岁。通过第上面两题的练习，在含有两个相关联的未知量的实际问题时，我们可以设（）为x,然后把（）用含有x的式子表示出来。3、男生比女生多10人，我们可以设（）为x，则另一个量（）应该表示为（），全班共有（）人 4、3个连续自然数中间一个为b，那么这3个连续自然数分别为（）、（）、（）。 二、合作探究，共同学习： 1、分析条件 （1）、海洋面积约为陆地面积的2.4倍。请你勾画出条件中所涉及的量，并写出等量关系式：（）你觉得是知道海洋面积求陆地面积，还是知道陆地面积求海洋面积，哪个较为简单些？为什么？如果海洋面积和陆地面积都不知道，那么你认为我们应该设其中（）为x，另一个量（）应该表示为（）。
在教学五年级解方程一单元之前，一直都认为使用各部分数量之间的关系来解方程。接触了这个单元，才知道现在是利用天平平衡的原理来解答方程。因此，在教学时，先让学生了解天平保持平衡的道理的原理，再学习解方程学生，结果效果还行，简单的方程学生基本能解。但是棘手的问题出现了如：10-x=8。按照天平保持平衡的原理的过程是：解：10-x+x=8+x 8+x=10 8+x-8=10-8 x= 2 但是，在练习中，学生对这种题下不了手。后来，在和同事的讨论下，决定运用老教材的方法——利用四则运算关系法去解方程。10-x=8。 解： x=10-8 （减数=被减数-差） x=2 但是，还是会出现这样的现象：10-x=8。 解：10-x+10 =10+10 X=20 反思： 一、对天平保持平衡的原理掌握不透彻 方法一：利用天平保持平衡的原理，也就是说天平两边同时加上或减去相同的法码，天平保持平衡！对于这道题，我们就是要把天平两边都加上x的法码才行，可是我们连一个X是多少都不知道，如何知道加上的是x的法码呢这种方法从理论上讲是我感觉是对的，可是从小学生认知能力的角度思考，他们能真正的认同吗这与其它解方程先消去已知数，只剩未知数的题型是相反的，因此，会使学生出现混乱的现象！ 二、对四则运算关系的淡化 方法二是老教材所主张的方法，而切从低年级开始一直在渗透四则运算的关系，因此，利用他来解方程是很简单的。但新教材注重数学模型的建构。回避和淡化了四则运算的关系，所以在教学第二种解法时，学生甚至不知道哪个是减数，哪个是被减数……，这样怎么会利用他们之间的关系来解呢 三、思维定势
这种题型是出现在一般方程之后，学生习惯性的将已知数消去，出现思维定势，会习惯性地把10-x看成x-10，从而出现：10-x+10 =10+10这种情况。 在新教材下，如何让学生真正学会解这类方程也是我们所困惑的。
什么是方程解方程的依据 方程是指含有未知数的等式，那么你对方程了解多少呢?以下是由整理关于什么是方程的内容，希望大家喜欢! 方程(equation)是指含有未知数的等式。是表示两个数学式(如两个数、函数、量、运算)之间相等关系的一种等式，使等式成立的未知数的值称为“解”或“根”。求方程的解的过程称为“解方程”。 通过方程求解可以免去逆向思考的不易，直接正向列出含有欲求解的量的等式即可。方程具有多种形式，如一元一次方程、二元一次方程等等，还可组成方程组求解多个未知数。 方程与等式的关系方程一定是等式，但等式不一定是方程。 例子：a+b=13 符合等式，有未知数。这个是等式，也是方程。 1+1=2 ，100×100=10000。这两个式子符合等式，但没有未知数，所以都不是方程。 在定义中，方程一定是等式，但是等式可以有其他的，比如上面举的1+1=2，100×100=10000，都是等式，显然等式的范围大一点。 方程的附注一般地，n元一次方程就是含有n个未知数，且含未知数项次数是1的方程，一次项系数规定不等于0 n元一次方程组就是几个n元一次方程组成的方程组(一元一次方程除外)
一元a次方程就是含有一个未知数，且含未知数项最高次数是a 的方程(一元一次方程除外) 一元a次方程组就是几个一元a次方程组成的方程组(一元一次方程除外) n元a次方程就是含有n个未知数，且含未知数项最高次数是a 的方程(一元一次方程除外) n元a次方程组就是几个n元a次方程组成的方程组(一元一次方程除外) 方程(组)中，未知数个数大于方程个数的方程(组)叫做不定方程(组)，此类方程(组)一般有无数个解。 解方程依据1、移项变号：把方程中的某些项带着前面的符号从方程的一边移到另一边，并且加变减，减变加，乘变除以，除以变乘; 2、等式的基本性质 性质1 等式两边同时加(或减)同一个数或同一个代数式，所得的结果仍是等式。用字母表示为：若a=b，c为一个数或一个代数式。则：(1) a+c=b+c (2) a-c=b-c 性质2 等式的两边同时乘或除以同一个不为0的数所得的结果仍是等式。 用字母表示为：若a=b，c为一个数或一个代数式(不为0)。则这个：
(10-7.5)x=0.125X 8 (5x-12) X 8=24 (3x-101)十 2=8 解方程 知识回顾： 1、 含有未知数的等式叫做方程。 2、 使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 3、 求方程的解的过程叫做解方程。 4、 等式的基本性质①等式两边加上或减去同一个数或式子，左右两边仍然相等 ②等式两边乘或除以同一个不为 0的数或式子，左右两边仍然相等 本次课我们要解决稍复杂的方程，比如方程两边都含有未知数，如 8x 10 2 x 6 ;等号两边都是分数形 解方程中需要掌握的一般方法： 一、利用等式的基本性质~~简化方程: ① 等式两边加上或减去同一个数或式子，左右两边仍然相等 ② 等式两边乘或除以同一个不为 0的数或式子，左右两边仍然相等 、合并含未知数的式子 ：根据乘法分配律 三、 去括号：乘法分配律； 括号前面是减号，去掉括号要改号；括号前面是加号，去掉括号不改号 四、 两边是分数形式的方程，运用交叉相乘法，转化为不是分数形式的方程。 五、 解方程步骤要规范，求出得数后可以检验。 解方程实际上就是利用等式的性质将等式一步一步变形，最后变成 x=O 的形式，就求出了未 知数的值，即方程的解。 （1） 去括号； （2） 整理不含未知数的数：利用等式的基本性质消去等号一边的数 （3） 如果等号左右两边都出现含未知数 x 的式子，则要利用等式的基本性质把等号一边的 x 消掉； （4） 合并含未知数x 的式子； （5） 使含未知数x 的式子出现在等号的一边，不含未知数的数出现在等号的另一边； （6） 等号左右两边同除以未知数 x 前的乘数； 补充：【把一个式子从等号的一边移到另一边，要改变式子的符号。一般情况下，把含有未知数的式子移到 等号的右边，把其他数移到等号的右边。 （4x=3x+50=>4x-3x =50; 5+2x=7=>2x=7-5 ）】 一、利用等式的基本性质： 20-x=9 5宁 x=3 式的方程，如 5x 1 6 2(x+1)=6 43-5x=23
含有未知数的等式叫方程吗 “含有未知数的等式叫方程”，几个版本数学教材都对“方程”下了这样的定义。这个定义不仅成为小学生判断一些式子是不是方程的依据，也成为许多一线教师教学设计的根据。 那么，“7x-3x=4x”是不是方程呢？相当多的学生根据教材中对方程的定义得出：“式子既含有未知数x，同时也是等式，当然是方程”的结论。7x-3x=4x真的是方程吗？教师自然不会认同。 “x=1是不是方程？”这是一道常见的判断题。学生根据书本上的定义，判定x=1是方程，因为它一为等式，二含有未知数，所以必然是方程。但是也有个别学生对此判断表现出心有不甘，认为“x=1”只是方程的解。 如何解此困惑？它要求教师不仅要掌握数学概念的形式特征，更要掌握概念的数学本质。在代数领域，有一类概念是通过其形式结构下定义的，与式有关的概念常用形式定义，数学教材中对方程的定义当属此类。但是，方程的形式定义不利于我们理解方程的数学本质，会误导师生的教与学。所以，我们必须对方程的数学内涵重新加以认识。 方程不仅是一种解题策略，更是一种数学思想方法。方程的思想核心是运用数学符号化语言，将问题中的已知量和
未知量之间的数量关系，抽象为方程（或方程组）、不等式等数学模型，然后通过它们使问题获得解决。列方程解决问题的关键就在于用两种不同的表现形式来表示同一个量或相等的量。方程思想体现了已知和未知的对立统一，在方程中，未知数应和已知数一样参与计算。 有了这样的认识，我们不难发现：“7x-3x=4x”，根本不是通过对已知量和未知量的重新组合转换，把未知量转化为已知量的过程;而只是对同一相等数量的传递，所以它不是方程。对于“x=1”，未知数x没有参与计算，不是通过用数学符号进行数学建模以解决问题;可以说，方程“x=1”是没有实际意义的。学生对此表示质疑是有道理的。 所以，“含有未知数的等式叫方程”，只是方程外在的形式特征，并没有揭示方程的内在本质。我们在教学中必须注意，要淡化其形式，注重其本质。 （作者单位：江苏省高邮实验小学责任编辑：王彬）
列方程解答含有两个未知数应用题教学内容： 教科书第70页，练习十三第4～8题 教学目标： 1.理解实际问题中有关和、差、倍的数量关系，初步学会设一个未知数，列方程解答含两个未知数的应用题。 2.培养学生的比较、分析能力和逻辑思维能力。 3.培养学生认真检查的良好习惯，体会数量关系的和谐美。 教学重点： 学会解答含有两个未知数的应用题。 教学难点： 正确选择未知数及题中的已知条件，用含有x的式子表示另一个未知数，再根据题中的另一个已知条件列方程。 教具准备：多媒体投影、口算卡片。 教学过程： 一、复习准备 1、直接口算结果(出示口算卡片) 1.8b+0.7b= x+3x= a-0.4a= 8x-0.35x= 提问：你运用了什么运算定律？ 2、填空（投影出示） (1)五年级﹙1﹚班的女同学人数是男同学的2倍。设男同学有x人，女同学有( )人，设女同学有x人，男同学有( )人， 追问：对比两种不同的设法，你觉得设哪个量为x，另一个量比较容易表示？ (2)妈妈的年龄是儿子年龄的2.5倍，设儿子年龄为x岁，妈妈年龄为( )岁，妈妈和儿子一共( )岁，妈妈比儿子大( )岁 3、口答：根据下面的两个条件，你能提出什么数学问题？ 地球上的陆地面积约为1.5亿平方千米，海洋面积约为陆地面积的2.4倍。 学生自由发言：(1)海洋面积约有多少亿平方千米？
(2)海洋面积比陆地面积多多少亿平方千米？ (3)地球的表面积是多少亿平方千米？ 让学生把第(3)个问题算出答案：1.5+1.5×2.4=5.1(亿平方千米)说说运用了什么等量关系？ 二、探究新知 1、出示例题。（投影出示） 地球的表面积为5.1亿平方千米，其中，海洋的面积约为陆地面积的2.4倍。地球上的海洋面积和陆地面积分别是多少亿平方千米？ 2、比较例题与导入题有什么区别。 引导学生回答：数量关系相同，条件与问题交换了位置。 复习题每个问题有一个未知数，例题有两个未知数。 今天就请同学们和老师一起研究列方程解答含有两个未知数应用题。 板书课题：列方程解答含有两个未知数应用题。 提问：这道题存在什么等量关系？ 教师板书：陆地面积＋海洋面积=地球表面积 3、讨论：有两个未知数，怎么办？你们是根据哪个条件设未知数？设谁为x比较合适？为什么？怎样列方程？ 学生分组讨论，教师巡视。 4、互相交流解法。 引导学生从便于思考、便于解方程这两个方面进行讨论。 小结：①两个未知数，可以先选择一个设为x（一般设一倍量为x，那么几倍的量就是几x表示。或直接设较小的量为x。）列方程解，再求另一个；②两个已知条件，可以把其中一个用来写出含有字母的式子，表示另一个未知数，另一个用来列方程。 5、重点讨论下面解法。 解：设陆地面积为x亿平方千米，（为什么设陆地面积为x？）那么海洋面积为2.4x亿平方千米。（这里用了哪个已知条件？） x＋2.4x=5.1 （这是用了哪个已知条件？） （1＋2.4）x=5.1 （运用了什么运算定律？）
列方程解应用题设未知数常用方法 甘肃省康县第一中学 （746500） 杜红全 列一元一次方程解应用题，若未知数设得好，则可使解题更为方便省事。下面介绍几种设未知数的技巧。 一．直接设未知数 直接设未知数就是题目问什么，就设什么为x 。 例1.一条环形跑道长400米。甲练习骑自行车，平均每分钟骑550米；乙练习赛跑，平均每分钟跑250米.两人同时同向从同地出发，经过多少分钟相遇？ 解：直接设经过x 分钟两人相遇，依题意，得 550x -250x =400 解得x = 43。 答：经过4 3分钟两人相遇。 二．间接设未知数 对有的题，若直接设未知数使求解过程繁琐，可间接设与所求未知数有关的未知数，使求解过程简化。所谓间接设未知数就是选取一个与问题有关的量为未知数，再通过这个未知数求出题目中要求的量。 例2.为了测量井深，将一定长度的绳子折成相等的3段后放下去，绳的下端碰到井底时，上端露出井口4尺；将绳子折成相等的4段之后再放下去，下端碰到井底时上端正好与井口平齐。求井深。 解：不直接设井深，而设绳长为x 尺，那么井深为 4x 尺，依题意，得 3x -4=4x ， 解得x =48, 4x =12。 答：井深为12尺。 三．有选择的设未知数 题目中，若要求多个未知数，可根据未知数之间的关系，有选择地设其中一个或几个便于求解的未知数。 例3.某商店现有甲、乙、丙三种电视机共1800台。已知其中甲电视机数是乙种电视机的5倍，而丙种电视机比乙种电视机多120台。问甲、乙、丙三种电视机各有多少台？ 解：选择设乙种电视机有x 台，则甲种电视机有5x 台，丙种电视机有（x +5）台，依题意，得 5x +x +(x +120)=1800, 解得x =240,5x =1200,x +120=360. 答：这个商店现有甲种电视机1200台，乙种电视机240台，丙种电视机360 台。 四．设比例关系中的一份为未知数 涉及某些连比的题目，若直接设未知数不便时，则可以设比例关系中的一份为未知数。 例4.一种混凝土由水、水泥、黄沙、碎石搅拌而成。这四种原料的质量比是1.7：2：3： 5.7。 搅拌这种混凝土3100千克，四种原料各需多少千克？
新课标人教版小学数学五年级上册《列方程解含有两个未知数的应用题》教案 教学内容 教科书第118页例6，练习二十九的第1～5题． 教学目的 1．使学生掌握列方程解含有两个未知数的应用题的解题步骤，初步学会列方程解含有两个未知数的应用题． 2．培养学生的比较、分析能力和归纳概括能力． 教具准备 视频展示台． 教学过程 一、复习准备 1．在视频展示台上出示复习准备题． 教师：同学们会解答吗？（会）把它解答出来． 解答完后，在视频展示台上展示学生的解答过程，集体订正． 2．在视频展示台上出示：一个水果店运进苹果252筐，苹果筐数比梨的2倍少12筐．这个水果店运进梨多少筐？ 教师：同学们先在小组内说一说列方程解应用题的解题步骤，再用方程把这道题解答出来． 学生解答后，指名学生说一说列方程解应用题的解题步骤，再集体订正答案．二、导入新课 在同学们已经基本上掌握了列方程解应用题步骤的基础上，这节课我们继续学习列方程解应用题． 板书课题：列方程解应用题 教师：同学们要注意的是，今天学习的列方程解应用题与原来的学习内容有相同之处，也有不同之处．它们哪些地方相同？哪些地方不同？要多加比较，弄清这节课的知识“新”在什么地方，然后才能“对症下药”，采用相应的学习方法来学习新知识． 三、进行新课 1．教学例6． 出示第118页例6． 教师：和复习准备题比较，这两道题哪些地方相同？哪些地方不同？ 学的应用题只有一个未知数，而这道题有两个未知数．怎样用方程解有两个未知数的应用题呢？请同学们看看书，第33页中的小字“想”，书上告诉了我们一个
什么方法？ 学生看书后回答：先设其中的一个未知数为x，根据题意列方程解答，然后再求出另一个未知数． 教师：你准备设哪个未知数为x？为什么设这个数为x？说一说你的理由． 引导学生讨论后回答：准备设桃树的棵树为x，因为杏树是桃树的3倍，也就是说杏树的棵数是随桃树的棵数的变化而变化的，桃树的棵数确定了，杏树的棵数也就好确定了． 教师：我赞同你们的意见．把桃树的棵数设为x以后，你能根据题意画出线段图吗？ 学生在下面画线段，指一名学生在黑板上画： 教师：这样画对吗？说说你这样画的理由． 教师：从图中你知道些什么？ 学生：如果桃树是x棵，杏树就是3个x棵；又知道桃树和杏树的总棵数是180棵，也就是说，图中的这4个x棵与180棵相等． 教师：抓住“4个x棵与180棵相等”这个等量关系，你能列出方程吗？（能）列出方程，并把它解答出来． 学生列方程，解答后要求学生说一说解答过程． 教师：方程的解x＝45，是哪种树的棵数？（桃树）知道桃树的棵数后，杏树的棵数怎样求？（45×3）为什么这样算？（因为杏树的棵数是桃树的3倍．） 指导学生验算，写答案． 随后要求学生讨论分析完成第118页中的“做一做”． 2．教学第118页“想一想”． 教师：现在老师把这道题改一下． 把例6的第一个条件改成“果园里的杏树比桃树多90棵”． 教师：这道题与例6比较，哪些地方起了变化？ 学生讨论后回答：等量关系起了变化． 教师：现在的等量关系是什么呢？ 教师：会列方程解答吗？（会）把它解出来． 学生解答后相互交流，再集体订正，并讨论出用“杏树的棵数－桃树的棵数＝90棵”列方程解答起来最方便，因为用这个等量关系列方程，未知数都在等号的左边，有利于方程的计算． 四、巩固练习 师生共同分析解答练习二十九的第1题． 五、课堂小结 教师：今天学习的用方程解的应用题有什么特点？（应用题中出现了两个未知数）这类应用题怎样解答？ 师生共同归纳其解答方法是： 1．应用题中有两个未知数，可以先选择其中的一个未知数设为x，另一个未知数用含有x的式子表示； 2．找出题中的等量关系，列出方程； 3．解方程；
如何解未知数是减数和除数的方程？ 在教学五年级解方程一单元之前，一直都认为使用各部分数量之间的关系来解方程。接触了这个单元，才知道现在是利用天平平衡的原理来解答方程。因此，在教学时，先让学生了解天平保持平衡的道理的原理，再学习解方程学生，结果效果还行，简单的方程学生基本能解。但是棘手的问题出现了如：10-x=8。按照天平保持平衡的原理的过程是：解：10-x+x=8+x 8+x=10 8+x-8=10-8 x= 2 但是，在练习中，学生对这种题下不了手。后来，在和同事的讨论下，决定运用老教材的方法——利用四则运算关系法去解方程。10-x=8。 解： x=10-8 （减数=被减数-差） x=2 但是，还是会出现这样的现象：10-x=8。 解：10-x+10 =10+10 X=20 反思： 一、对天平保持平衡的原理掌握不透彻 方法一：利用天平保持平衡的原理，也就是说天平两边同时加上或减去相同的法码，天平保持平衡！对于这道题，我们就是要把天平两边都加上x的法码才行，可是我们连一个X是多少都不知道，如何知道加上的是x的法码呢？这种方 法从理论上讲是我感觉是对的，可是从小学生认知能力的角度思考，他们能真正的认同吗？这与其它解方程先消去已知数，只剩未知数的题型是相反的，因此，会使学生出现混乱的现象！ 二、对四则运算关系的淡化 方法二是老教材所主张的方法，而切从低年级开始一直在渗透四则运算的关系，因此，利用他来解方程是很简单的。但新教材注重数学模型的建构。回
避和淡化了四则运算的关系，所以在教学第二种解法时，学生甚至不知道哪个是减数，哪个是被减数……，这样怎么会利用他们之间的关系来解呢？ 三、思维定势 这种题型是出现在一般方程之后，学生习惯性的将已知数消去，出现思维定势，会习惯性地把10-x看成x-10，从而出现：10-x+10 =10+10这种情况。 在新教材下，如何让学生真正学会解这类方程也是我们所困惑的。
这样设未知数你才真的会解方程题作为公务员行测笔试题而言，数量关系无疑是很多考生成“公”道路上的大山。面对这座大山，考生有没有愚公移山的勇气，是最终能够在考场上拿到高分的关键。今天华图教育专家就从这座大山的一角——方程法入手，带领大家逐步走进这座大山，领略这座大山的魅力。 在解答方程题的过程中，大多数考生都有一个误区，往往题目最终问的什么，就设哪个量为未知数，也就是求什么设什么。这种设未知数的方式，偶尔能够很好的解决问题；但是大多数情况下，反而会让考生无从下手，因为面对一些数量题，求什么设什么，往往会让列出的方程无比繁琐。华图教育专家在本文中通过例题的形式给考生提供一种设未知数的方法：设中间量。 【例题1】小王、小李和小周一共收藏了121本图画书，小王给小李和小周每人6本后，小王图画书的本数是小周的3倍，小李的2倍，则小周原有图画书的本数是（）。 A.14 B.15 C.16 D.22 【华图解析】若直接设小王、小李、小周的原有本数为x、y、z，我们需要列出三个相关方程。首先三个人相加总本数为121本①x+y+z=121；小王给小李之后，本书为小李的2倍②（x-12）=2（y+6）；小王图画书为小周的3倍 国家公务员| 事业单位| 村官| 选调生| 教师招聘| 银行招聘| 信用社| 乡镇公务员| 各省公务员|
（x-12）=3（z+6）。很多考生估计看完这三个方程，都想放弃了，这1min 能解出来么。 在上面的这种设未知数的方式中，考生们的直观思维是将题干中“小王的本书是小周的3倍，小李的2倍”这句话作为两个等量关系进行列式，这种做法可谓相当浪费。如果我们能够直接设小王给完之后书本数量为6x，那么小周则为2x，小李为3x。可以通过三个人书本总数为121本，得到方程6x+2x+3x=121，解得x=11，所以小周给完之后的书本数为2x=22本，则小周原有22-6=16本数。答案选择C。 比较两种方法，第二种无疑简单的多，这种方法就是我们所说的设中间量。当然在上面的解题过程中，我们还有两个问题没有解决，第一个是为什么设给完之后小王的书本数？第二个是为什么设为6x？只有解决了这两个问题，你才是真正的懂得了何为设中间量。 首先解决第一个问题：为什么设小王的书本数？这是因为小王的书本与小周有联系，同时与小李有联系，小王的书本数相当于将其他两个量联系了起来。所以我们在设未知数的时候优先设小王为未知数。总结来说就是A、B相关，B、C相关，设A为未知数，通过A直接表示出B和C。 其次解决第二个问题：为什么设为6x？这主要是根据三者之间的倍数关系得来的。在本题中小王给完之后的书本数为小周的3倍，则小王书本数应为3的倍数；小王书本数为同时也为小李的2倍，则小王书本数应为2的倍数。综 国家公务员| 事业单位| 村官| 选调生| 教师招聘| 银行招聘| 信用社| 乡镇公务员| 各省公务员|
分母中含有未知数的方程叫做分式方程．如：等等都是分式方程． 在此之前我们学过的方程，分母中都不含有未知数，都是整式方程，因此目前学过的方程可归纳为： 2、解分式方程的基本思路——转化 解分式方程的基本思路是将分式方程转化为整式方程．这种转化的具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，归纳如下： 如：解方程： 方程两边都乘以(x＋3)(2x－7)得 2(2x－7)=3(x＋3) 4x－14=3x＋9 x=23 3、解分式方程的一般步骤 （1）去分母：方程两边同乘以各分母的最简公分母，将分式方程转化整式方程． （2）解整式方程． （3）验根，即把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，若结果不是零，说明此根是原方程的根；若结果是零，说明此根是原方程的增根，必须舍去．见例1． （4）写出方程的解． 解分式方程的一般步骤列表如下：
4、列分式方程解应用题的步骤 （1）审清题意，找出题目的等量关系，设出未知数．（2）根据等量关系，列出分式方程． （3）解分式方程，并验根． （4）写出答案． 二、重难点知识归纳 分式方程的解法及应用既是重点，又是难点． 三、例题赏析 例1、解下列分式方程： 分析： （1）先确定最简公分母为2(x－1)，再按步骤求解．（2）先将2－x化为－(x－2)，然后去分母求解． （3）先将分母分解因式，再确定公分母为6x(x＋1)．
解： （1）方程两边同乘以2(x－1)，得 2x=3－4(x－1) 解之得 检验：当时，2(x－1)0 ∴是原方程的根． （2）方程两边同乘以(x－2)，得 x－3＋(x－2)=－1 2x－5=－1 解之得x=2 检验：将x=2代入最简公分母x－2=0， ∴x=2为原方程的增根． ∴原方程无解． （3）原方程可变为： 方程两边同乘以6x(x＋1)，得 12x＋6=5x 解之得
含有两个未知数的分数除法应用题（新授课） 班级------ 姓名 ------- 学习目标： 1、能根据关键句弄清数量关系。 2、会列方程解答较复杂的“已知一个数的几分之几是多少，求这个 数”的实际问题。 重点：说出解题思路和方法。 难点：正确分析题中的数量关系，会设未知数。 教学过程： 一、知识链接： 1、解方程：x+35 x=16 (1- 815 )x=28 2、上衣价钱是裤子的2倍，裤子x 元，那么上衣（ ）元，上衣和 裤子一共（ ）元。 3、兔的只数是鸡的18 ,鸡有x 只，那么兔有（ ）只，鸡和兔一共（ ）只。 温馨小提示：两个数量都未知时，根据两个数量之间的关系，把一个 设为x ，另一个用含有x 的代数式表示。 二、自主探究： 1、自学41页例6：在一场篮球比赛中，我们班全场得了42分，下 半场的得分只有上半场的一半，上半场和下半场各得多少分？ 回答下列问题: (1）各得多少分是什么意思？ (2）上半场和下半场得分都不知道，结合知识链接想一想，我们可以 怎么办？设---为x ，则----可表示为----，----可表示为-------。 (3）全场42分包括什么？ (4）画出线段图，列出数量关系式。 (5）列方程解答 三、合作探究： 例6除了方程法，我们还可以用别的方法解答： （1）用分数除法解答（按各数量与分率之间的对应关系） 提示：上半场----1 下半场----（ ) 全场42分----（ ）
（2)用算术法解答（按各数量与份数之间的对应关系) 提示：上半场----2份 下半场----1份 全场42分----（ ） 四、拓展训练： 1、某电视机厂去年全年生产电视机108万台，其中上半年产量是下 半年的45 ,这个电视机厂去年上半年和去年下半年的产量分别是多少万台？ 2、甲乙两数的是96，甲数是乙数的 35 ，甲数和乙数各是多少？ 3、甲乙两队合修一条公路，甲队修了这条公路的 17 ，乙队修了这条公路的 16 ，甲队比乙队少修了35米，这条公路共有多长？ 五、总结反思： 通过本节课的学习，我知道了有两个未知数的分数除法应用题，其解 题方法是：根据已知条件先---------------------------，利用题 中的等量关系--------解答，也可以用-------------和 方法解答。
《列方程解含有两个未知数的应用题》教案1 教学内容：列方程解含有两个未知数的应用题(例6和做一做，练习二十九的第1～5题。) 教学要求： 1.初步学会分析“已知有两个数的和或差，和两个数的倍数关系，求两数各是多少”的应用题，正确地列出方程解答。 2.指导学生设未知数表示两个数量之间的关系，会解答形如ax±bx＝c的应用题，会进行检验。 3.培养学生认真学习的好习惯，渗透不同事物之间既有联系又有区别的观点。 教学重点：用方程解答“和倍”、“差倍”应用题的方法。 教学难点：分析应用题的等量关系，恰当地设未知数。 教学用具：小黑板或投影片若干张。 教学过程 一、激发 1.投影出示复习题： (1)学校科技组有女同学x人，男同学是女同学的3倍，男同 学有多少人?男女同学一共有多少人?男同学比女同学多多少人? (2)育才小学五年级有学生z人，四年级学生的人数是五年级的1.2倍，四年级有学生多少人?四、五年级一共有多少人? 2.复习题:果园里有桃树45棵，杏树的棵数是桃树的3倍，两种树一共有多少棵？ (1)读题，理解题意。 (2)生独立解答，指名讲算式的意义。 45 × 3 ＋45 杏树桃树 两种数的和 3.揭示课题：第1题中的第(2)小题，如果我们知道四、五年级一共有学生99人，要求四、五年级各有多少人，该怎样求呢？这节课我们就来学习列方程解像这样含有两个未知数的应用题的方法。（板书课题：列方程解含有两个未知数的应用题。） 二、尝试 1．出示例6：果园里有桃树和杏树180棵，杏树的棵树是桃树的3倍。两种树各有多少棵？ (1)指名读题，说出已知条件和问题，学画出线段图。 x 桃树 x x x 180 杏树 (2)根据线段图启发学生思考并回答。 ①这道题要求几个未知数?(两个，桃树和梨树的棵数。) ②要求的未知数有两个，根据题目的已知条件应先设哪一个未知数为x?为什么?(设桃
设未知数X 解方程一般步骤及习题练习 一、设未知数解方程的一般步骤： （1）弄清题意，找出未知数，并用x 表示； （2）分析题目所给已知量，找出相应数量之间的等量关系，列方程； （3）解方程； （4）检验，写出正确答案。 二、习题巩固： （1）一块合金内，铜和锌的比是2：3，现在再加入6克锌，共得新合金36克。求新合金中锌的重量。 （2）如图，在一只圆形钟面上，时针长3厘米，分针长5厘米。经过12 小时，时针扫过的面积是多少平方厘米？分针走了多少厘米？ （3）为了学生的卫生安全，学校给每个住宿生配一个水杯，每只水杯3元，大洋商城打九折，百汇商厦“买八送一”。学校想买180只水杯，请你当“参谋”，算一算：到哪家购买较合算？请写出你的理由。 （4）李师傅加工一批零件，第一天完成的个数与零件总数的比是1：3。如果再加工15个，就可以完成这批零件的一半。这批零件共有多少个？ （5）求图中阴影部分的面积和周长（单位：分米） 。 求面积： 23549 678
2、提升训练： （1）一项工程，甲队独修15天完成，乙队独修20天完成。两队合修5天后，甲队调走，剩下的由乙队继续修完。乙队还要几天修完？ （2）有一批书，小亮9天可装订 43，小冬20天可装订65，小亮和小冬合作，几天能完成这批书的 32？ （3）一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做30天完成。甲乙合做了几天后，乙因事请假，甲继续做，从开工到完成任务共用了16天。乙请假多少天？ （4）李冬看一本故事书，第一天看了全书的 121还少5页，第二天看了全书的15 1还多3页，还剩206页。这本故事书有多少页？ （5）下面是某电影大世界的影片告示： 张老师一家三口去看了某一场次的电影，票价节 省了31.5元，那么，张老师一家看的是哪个场次的电影？优惠票价是多少？ 3、附加题： （1）有一批零件，张师傅加工了全部的 61，李师傅加工了余下的41，孙师傅加工的零件比张师傅少 4 1，这时还有980个零件没有加工，这批零件共有多少个？ （2）有两根钢管，第一根钢管长54米，第二根钢管长50米。两根钢管使用同样长的一段后，第二根钢管剩下的长度是第一根钢管剩下的长度的9 7，用去一段后第一根钢管长多少米？ 片 名 《不二神探》 票 价 35元 优惠办法 上午场 六折 下午场 七折 晚 场 不优惠
《列方程解解决稍复杂的求两个未知数的应用问题》教案 教学要求： 1.结合具体事例，经历用线段图分析数量关系、列含有两个未知数的方程和解方程的过程。 2.能利用线段图分析数量关系，根据等量关系列出含有两个未知数的方程，会应用等式的基本性质求出方程的解。 3.在用线段图分析数量关系的过程中，感受用线段图表示数量的直观性，初步建立数形之间的联系，发展形象思维。 教学重点：用方程解答“和倍”、“差倍”应用题的方法。 教学难点：分析应用题的等量关系，恰当地设未知数。 教学过程： 一、激发 1.复习题:一套英语书的价钱是71元，一套磁带的价钱是书的3倍，一套英语书和一套磁带一共多少钱？ (1)读题，理解题意。 (2)生独立解答，指名讲算式的意义。 71×3＋71 磁带英语书 两套的和 2.揭示课题：如果我们知道一套英语书和一套磁带一共284元，要求一套英语书和一套磁带各有多少钱，该怎样求呢？这节课我们就来学习列方程解像这样含有两个未知数的应用题的方法。（板书课题：列方程解含有两个未知数的应用题。） 二、尝试 1．出示例题：一套英语书加上配套磁带的价钱一共是284元，其中磁带的价钱是书的3倍。这套书和磁带的价钱各是多少？ (1)指名读题，说出已知条件和问题，学画出线段图。 x 书的价钱 x x x 284 磁带的价钱 (2)根据线段图启发学生思考并回答。 ①这道题要求几个未知数?(两个，书和磁带的价钱。) ②要求的未知数有两个，根据题目的已知条件应先设哪一个未知数为x?为什么?(设书为x元，因为根据磁带的价钱是书的3倍，可知磁带的价钱为3x 元。) 根据学生的回答，教师在线段图上标注x。 (3)引导学生分析题中的已知条件，找出数量间的相等关系，列出方程并求解。板书： 解：设这套书的价钱是x元，那么磁带的价钱是3x元。 x＋3x＝284
有两个未知数的应用题姓名： 一：回顾 买3千克苹果的钱比买4千克里多用0.6元，每千克苹果的价钱是1.8元，每千克梨多少钱？ 二：课堂演练。 例1：小东家养的鸡和鸭共440只，鸡的只数是鸭的1.2倍，小东家养的鸡和鸭各有多少只？ 解：设小东家有x只，则有只。想：设什么为x？另一个量怎么办？ x＋1.2x =440 想：等量关系是什么？ =440 ◆如果用算术法你会么？ x= 列总式： 想：另一个量怎么求？ 答：小东家养的鸡有只，鸭有只。 巩固练习：一套课桌椅售价96元，其中课桌的价格是椅子的2倍，课桌和椅子的价格分别是多少？ 例2：李明剪红五角星35个，比他剪的黄五角星的2倍多3个，李明剪的五角星一共多少个？ 解：设李明剪的五角星有x个，则五角星有个想：应该设那种颜色的五角星为x？ 35=2x＋3 想：等量关系是什么？ ◆算术法你会么？ 列总式： 想：一共的五角星怎么求？ 答：李明剪的五角星一共个。 巩固练习：一根绳子长5米，比另一根绳子的2倍还长1米，两根绳子一共多长？ 例3：一个日记本的价格是一个笔记本的3倍，小华买了一个日记本，比他买的一个笔记本多花了1.2元，一个笔记本和一个练习本各多少钱？ 解：设一个本x元，则本为元。想：应该设什么本的价格为x？ 3x－x=1.2想：等量关系是什么？ ◆算术法你会么？ 列总式： 想：另一种本子的钱怎么求？ 答：一个笔记本元，一个练习本元。 巩固练习：有两缸金鱼，甲缸的条数是乙缸的1.6倍，甲缸比乙缸多6条，甲乙两缸各有多少条金鱼？
智能提升：有两缸金鱼，甲缸的条数是乙缸的1.6倍，如果把甲缸的6条放入乙缸中，两缸的金鱼条数正好相等。甲乙两缸原来各有多少条金鱼？ 解：设乙缸的金鱼有x条，则甲缸的金鱼有条。 等量关系：甲缸的金鱼－6条=乙缸的金鱼＋6条 1.6x－6=x＋6 1.6x－x=6＋6 移项（） 0.6x=12 x=20 20×1.6=32（条） 答：甲缸原来32条，乙缸原来20条。 巩固练习：有两堆煤，甲堆是乙堆的3倍，把甲堆的2吨转移到乙堆，则两堆煤正好相等，两堆煤原来有多少吨？ 课后练习： 1：小明家养的鸡和鸭共300只，鸡的只数是鸭的2倍，小东家养的鸡和鸭各有多少只？ 2：一根绳子长5米，另一根绳子比它的的2倍还长1米，两根绳子一共多长？ 3：一个日记本的价格是一个笔记本的2倍，小华买了一个日记本，比他买的一个笔记本多花了3.2元，一个笔记本和一个练习本各多少钱？ 4：有两堆煤，甲堆是乙堆的2.5倍，把甲堆的5吨转移到乙堆，则两堆煤正好相等，两堆煤原来有多少吨？ 智慧谷：有两堆煤，甲堆是乙堆的2倍，把甲堆的8吨转移到乙堆，则乙堆煤正好是甲堆煤的2倍，两堆煤原来有多少吨？
初二数学培优资料 列方程时设未知数的几种技巧 班级___________ 姓名_________________ 座号___________ 成绩____________ 列分式方程解实际问题时，根据题目的特点，恰当的设出未知数，是顺利列出方程的关键和难点，现以几道习题为例，说明常见的设未知数的方法。以帮助同学们突破这一难点。 一、直接设 这种方法就是将题目要求的未知量直接设为x或其他字母，再结合题意列出方程。 例1、某质检部门抽取甲、乙两厂相同数量的产品进行质量检测，测得甲厂有合格产品48件，乙厂有合格产品45件，甲厂的合格率比乙厂的合格率高5%，问甲厂的合格率是多少？ 二、间接设 当直接设所示的未知量列方程较困难时，可考虑间接设未知数，再用与所设未知数有关的代数式去表示题目所求的未知量。 例2、某商厦进货员预测一种应季衬衫能畅销市场，就用8万元购进这种衬衫，上市后果然供不应求，商厦又用17.6万元购进第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了4元，商厦销售这种衬衫定价是58元，最后剩下150件按八折销售，很快售完，在这笔生意中，商厦共盈利多少元？ 三、少设 有的问题要求的未知数不止一个，且这些未知数的关系比较明显，可用其中的一个未知数表示其他的未知数，此时就可以只设一个未知数。即采用少设的方法求解。 例3、某车间加工1200个零件后，采用了新工艺，工效是原来的1.5倍，这样加工同样多的零件就少用了10h，采用了新工艺后前、后每小时分别加工多少个零件？ 四、多设 这类问题只设一个未知数，很难将方程列出，可采用另设辅助未知数的方法，这些辅助未知数不必求出，在求解的过程中自行消失，其作用是为列方程起“牵线搭桥”的作用。 例4、已知甲乙二人均由A地去B地，甲步行比乙提前4小时出发，乙骑自行车出发，已知甲走完这段路所用时间比乙多用6小时，且乙出发 3 10 小时后在途中追上甲，求乙由A地到B地所用的时间？
用方程解决含有两个未知数的方程 上饶县第二小学蔡海燕 教学目标： 1、初步掌握含有两个未知数的应用题的解题思路和方法，会解含有两个未知数的应用题； 2、会用把两个未知数的值代入已知条件看是否符合的方法进行验算； 3、在教学解题思路的同时培养学生初步的分析、综合、比较的能力；教学重点：正确设未知数和列出方程。 教学关键：找出等量关系，列出方程。 教学过程： 一、课前谈话： 简易方程中的简易，同学们认为是什么意思？简是简单，易是容易，意思是说学会了方程，学好了方程，我们学习中、生活中的一些问题就会变的简单、容易。同学们，你们方程学得好吗？（好）那下面的问题对你们来说肯定很简单.请看大屏幕。 二、复习引入 抢答赛开始啦！ 1、口算，并说说计算方法。 （1）5个＋4个= （） （2）8－2= （） （3）1个a＋3个 a = （）（4）4a＋3a = （）
（5）x+ 6x = ( ) （6）10.5X-2.5X = （ ） 2、填空 书法社团 女生： 社团共有（ ）人 男生： 男生有（ ）人 男生比女生多（ ）人 我还会说等量关系式： 课件出示 女生人数×4=男生人数 女生人数＋男生人数=总人数 男生人数－女生人数=相差人数 小结：思维分顺向思维和逆向思维，方程的优点就是顺着意思列式，从而让复杂的问题简单化。所以我们大多会选择顺向写的等量关系式。 二、探究新知 （一）、出示例题 1、课件出示会转动的地球图片： 问:地球图中绿色是？蓝色是？ 从图中我们看到海洋面积比陆地面积大的多。 2、课件出示：海洋面积约为陆地面积的2.4倍。地球的表面积为5.1亿平方千米，海洋面积和陆地面积分别是多少亿平方千米？ （二）阅读理解 1、理解题意 x 人
方程和列方程解应用题（一） 一、知识介绍 1、用字母表示数 用字母表示我们学过的自然数、整数、小数……用含有字母的式子可以简明地表示运算定律、计算公式、数量关系。 2、（1）等式：表示相等关系的式子叫做等式。 （2）方程：含有未知数的等式叫做方程。 （3）方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。 （4）解方程：求方程的解的过程叫做解方程。 3、列方程解应用题 列方程解应用题是把题目中的未知量用字母表示，把它先当成已知数，然后根据题目中的等量关系列出等式，即列出方程。再解方程而求得未知量。 在列方程时要注意搞清题意，哪些是已知数，哪些是未知数，它们之间有什么联系，分析题中的等量关系，具体解题步骤如下： （1）弄清题意，明确已知条件和所求问题的关系。 （2）用字母表示未知数。 （3）根据题意找出数量间的相等关系，列出方程。 （4）解方程，求出未知数的值。 （5）检验并写答。 二、例题精讲 例1．a的一半与b的1.5倍的和，用含有字母的式子表示是（）。如果a=4，b=8，式子的值是（）。 例2．解下列方程 x÷6=12 0.8x－2.1×7=1.3 3x＋2.5x=2.2 12x÷3=10 例3．一台电视机的价格是2900元，它比一种DVD影碟机的4倍还多100元。这种DVD影碟机每台多少元？（用算术法和方程解） 例4．甲、乙两车同时从相距1000千米的两地相对开出，6小时后两车相距130千米，甲车每小时行85千米，乙车每小时行多少千米？（用算术法和方程解） 例5．甲、乙两个工程队合修了一条600米的公路，甲队修的米数是乙队修的1.5倍，甲、乙两队各修了多少米？
列方程解应用题设未知 数常用方法 Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT
列方程解应用题设未知数常用方法 甘肃省康县第一中学（746500）杜红全 列一元一次方程解应用题，若未知数设得好，则可使解题更为方便省事。下面介绍几种设未知数的技巧。 一．直接设未知数 直接设未知数就是题目问什么，就设什么为x 。 例1.一条环形跑道长400米。甲练习骑自行车，平均每分钟骑550米；乙练习赛跑，平均每分钟跑250米.两人同时同向从同地出发，经过多少分钟相遇 解：直接设经过x 分钟两人相遇，依题意，得 550x -250x =400 解得x =43 。 答：经过43 分钟两人相遇。 二．间接设未知数 对有的题，若直接设未知数使求解过程繁琐，可间接设与所求未知数有关的未知数，使求解过程简化。所谓间接设未知数就是选取一个与问题有关的量为未知数，再通过这个未知数求出题目中要求的量。 例2.为了测量井深，将一定长度的绳子折成相等的3段后放下去，绳的下端碰到井底时，上端露出井口4尺；将绳子折成相等的4段之后再放下去，下端碰到井底时上端正好与井口平齐。求井深。 解：不直接设井深，而设绳长为x 尺，那么井深为4 x 尺，依题意，得
3x -4=4 x ， 解得x =48,4 x =12。 答：井深为12尺。 三．有选择的设未知数 题目中，若要求多个未知数，可根据未知数之间的关系，有选择地设其中一个或几个便于求解的未知数。 例3.某商店现有甲、乙、丙三种电视机共1800台。已知其中甲电视机数是乙种电视机的5倍，而丙种电视机比乙种电视机多120台。问甲、乙、丙三种电视机各有多少台 解：选择设乙种电视机有x 台，则甲种电视机有5x 台，丙种电视机有（x +5）台，依题意，得 5x +x +(x +120)=1800, 解得x =240,5x =1200,x +120=360. 答：这个商店现有甲种电视机1200台，乙种电视机240台，丙种电视机360台。 四．设比例关系中的一份为未知数 涉及某些连比的题目，若直接设未知数不便时，则可以设比例关系中的一份为未知数。 例4.一种混凝土由水、水泥、黄沙、碎石搅拌而成。这四种原料的质量比是：2：3：。搅拌这种混凝土3100千克，四种原料各需多少千克 解：设其中每一份为ｘ千克，那么水、水泥、黄沙、碎石的质量分别是千克,2x 千克,3x 千克,千克，依题意，得