复变函数与积分变换第三章

C1 C2
Cn
f ( z )dz
（对路径的可加性）
5)设C的 长 度 为 , 函 数f ( z )在C上 满 足 f ( z ) M L
C
f ( z )dz
C
f ( z ) ds ML 估 值 定 理 .
例
试证

C
1 dz 2, 2 z
积分路径 C 为连接i到点 2 i 的直线段.
n
i ( v ( x , y )dx u( x , y )dy )
C C
f ( z )dz
C
结论1 ：当f ( z )是连续函数, C是光滑曲线时，

c
c
f ( z )dz一定存在。
结论2： f ( z )dz可以通过两个二元实函数的线积分 来计算。
设光滑曲线 : z z(t ) x(t ) iy(t ) t : C


f [ z( t )]z' ( t )dt


f ( z )dz
C


f [ z ( t )]z '( t )dt
（3.6）
用（3.6）式计算复变函数的积分,是从积分路径的 参数方程着手,称为参数方程法.
例3.1 计算 zdz , C : 从原点到点3 4i 的直线段. C y x 3t , 0 t 1, 解 直线方程为 y 4t ,
o
z0

r
x
C
2π 1 ire i n 1 dz 0 n1 i ( n1) d ( z z0 ) r e i 2π in n e d , r 0
C
当 n 0 时, 1 2π C ( z z0 )n1 dz i 0 d 2i; 当 n 0 时,
b a
(2)C : t [a, b], f ( z ) u(t ), 则 f ( z )dz u(t )dt
( 3)如 果 f ( z )dz存 在,一 般 不 能 写 成 f ( z )dz.
b C a
因 为 f ( z )dz不 仅与a , b有关,还与曲线C的 形 状
( 2) f ( z )dz
c
udx vdy i vdx udy

(3) f ( z )dz f [ z(t )]z(t )dt
c
( 4)若f ( z )解析, D单连通, C D, 则 f ( z )dz 0
c
(5)若f ( z )在D内解析, D单连通, 则
A
在 C 上, z ( 3 4i )t ,
dz ( 3 4i )dt ,
2
C
zdz ( 3 4i ) tdt ( 3 4i )
2 0
1
0
1
tdt
o
x
( 3 4i ) 2 . 2
另 解 ： 因 为 zdz ( x iy )(dx idy )
故 u( x , y )dx、 v ( x , y )dy、 v ( x , y )dx、 u( x , y )dy都存在 !
C C C C
lim Sn lim f ( k )zk ( u( x , y )dx v ( x , y )dy )
n n k 1 C C
y
i
C Re zdz 0 t (1 2it )dt
t 1 2 2i 3 t i; 2 3 0 2 3
2 1
1
1 i
y x2
o
1
x
(2) 积分路径由两段直线段构成
x轴上直线段的参数方程为 z ( t ) t (0 t 1), 于是 Re z t , dz dt , 1到1+i直线段的参数方程为 z ( t ) 1 it (0 t 1),
C C
y
C
zdz xdx ydy i ydx xdy
C C
A
这两个积分都与路线C 无关 所以不论 C 是怎样从原点连接到点3 4i 的 o ( 3 4i ) 2 曲线, C zdz 2 .
练习：计算 ò z dz .
C :a = i ? b - i 的直线段；
n n k 1
u( k ,k )xk v ( k ,k )yk
k 1 k 1 n n
n
k 1
n
当 0时，均是 实函数的曲线积分.
i[ v ( k ,k )xk u( k ,k )yk ]
k 1 k 1
( z)在C上连续, u( x, y), v( x, y)在C上连续 f
第三章 复变函数的积分
§3.1 复变函数积分的概念

1. 有向曲线
2. 积分的定义


3. 积分性质
4. 积分存在的条件及其计算法
1. 有向曲线
(因而可求长 ). 约定: C 光滑或分段光滑曲线
C的表示 : z(t ) x(t ) iy(t ) ( t ) (1)
z' (t )连续且 ' (t ) 0 z
π
0
e d 1 2i
i 3

0
e d
i 3
i ei 3 d 2 0
π
2 i{0 cos3 d i 0 sin 3 d }


2 4 2 . 3 3
小结
c n
求积分的方法
n k 1
(1) f ( z )dz lim f ( k )zk
1 i 2π in d , n 1 dz n 0 e ( z z0 ) r
y
z
z0

r
C
1 i 2π n 1 dz n 0 (cos n i sin n )d 0; ( z z0 ) r
o
x
2i , 1 所以 n1 dz ( z z0 ) 0, z z0 r
2
4. 积分存在的条件及其计算法
定理3.1
若f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y )在光滑曲线C 上连续, 则f ( z )沿C 可积,即 f ( z )dz存在.
C
且

C
f ( z )dz udx vdy i vdx udy (4)
C C
(5)作和式Sn f ( k )zk
k 1
zk zk zk 1 , 记Sk 为 zk 1 zk 的长度, max{Sk }
1 k n
若
( n ) k 1
lim 0
f (
n
k
)zk I

(2) 则 称为f ( z )沿 曲 线
C
x
解 线段a b 的参数方程为 z = it (t :1 ?
dz = idt , z = it = t
1)
蝌z dz =
C
- 1 1
t idt = - i[ 蝌- tdt +
- 1
0
1 0
1 1 tdt = - i ( + ) = - i 2 2
例3.1
计 算 Re zdz , 其 中C 为 :
C
和方向有关 。
特例：) 若C 表示连接点a , b的任一曲线, 则 (1

C
dz b a
b a C zdz 2
2
2
( 2) 若C表 示 闭 曲 线则 ,
dz 0, zdz 0
C C
3. 积分性质
1)
C

由积分定义得：
f ( z )dz

C
f ( z )dz (方向性)
由曲线积分的计算法得

C
f ( z )dz {u( x(t ), y(t )) x '(t ) v( x(t ), y(t )) y '( t )}dt


i {v( x(t ), y(t )) x '(t ) u( x(t ) y(t )) y '(t )}dt


{u[ x(t ), y(t )] i[v[ x(t ), y(t )]]}(x' (t ) iy' (t ))dt
2) 蝌 ( z )dz = k kf
C
C
f ( z )dz
C
C C
3) [ f ( z ) g( z )]dz f ( z )dz g( z )dz （线性性）
4) C C1 C2 Cn (分段光滑曲线)


C
f ( z )dz

z1
z0
f ( z )dz F ( z ) z , F ' ( z ) f ( z )
z1
0
1 例3.3 求 n 1 dz , C 为以 z0 为中心, r 为半 C (z z ) 0 径的正向圆周 n 为整数. ,
y
z
解 积分路径的参数方程为
z z0 re i (0 2π ),
C从( A B )的 积 分 , 记 作 f ( z )dz
C
无论如何分割 , i 如何取 C
i .e .,

C
f ( z )dz l i m f ( k )zk ( 3)
n k 1
n
分割 取乘积 求和 取极限
(1) 若C为闭曲线， 记作C
C
f ( z )dz
C的方向规定 : 开曲线 : B (终点) 指定起点A, 终点B, 若A B为正, C
则B A为负, 记作 C ;
A(起点)
围线 : 逐段光滑的简单闭曲线简称为围线.
正方向 观察者顺此方向沿C前进一周,
C的内部一直在观察者的左边。
C
C
2. 积分的定义
定义 设(1)w f ( z ) z D
n 0, n 0.
重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关.
dz 例如 z 1 z 2 i ,
证明 C 的参数方程为 z = 2t + i , (0 ＃t 1) y 1 因为在 C 上 2 连续,且 z
1 1 1 1 2 2 1 2 2 4t 1 z 2t i z
1 dz 2 z
i
2i
o
2
x
而C之长为2,根据估值不等式知

C

C
1 ds 2 z

C
ds 2
于是 Re z 1, dz idt ,
y
i
C Re zdz 0 tdt 0 1 idt
1 1
1 i
y ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
1 i. 2
o
1
x
积分路径不同,积分结果也可能不同.
z 例3.2 计算积分 dz , 其中为圆环1 z 2及实轴 z y 所围区域位于上半平面部分的边界.
π 0
i 2 π 2e e ie i d dt 0 i 2ie i d 1 2e e i
dt
2
1
i
dt
2
1
π
0
e iei d i e
i
dt 0
2 1
π
π
2e 2iei d 2ei
i
1 i
记忆

C (u iv)(dx idy)
证明 令zk xk iyk xk xk xk 1 yk yk yk 1 k k ik u( k ,k ) uk v( k ,k ) vk
Sn f ( k )zk ( uk ivk )(xk iyk )
C
(1)抛 物 线 y x 2 上 从 原 点 到 点 i 的 弧 段 1 ; (2)从 原 点 沿x 轴 到 点1 再 到1 i 的 折 线 .
z(t ) t it 2 (0 t 1), 解 (1) 积分路径的参数方程为
于是 Re z t , dz (1 2ti )dt ,
( 2)C为 区 域 内 点A 点B D 的一条光滑有向曲线 .
( 3)将 AB 任 意 分 划 成 个 n 小 弧 段: A z0 , z1 , , zn B
n
y
z k 1
1
k
zk
zk
z n 1
B
⌒
z1
A
o
D x
(4) k zk 1zk ，作乘积f ( k )zk
解 积分路径的参数方程为 I : z t 2 t 1,
C1 : z e
i
C2
C1
( 从π到0),
2
I
1
o
II
1 2
x
II : z t 1 t 2,
C2 : z 2e
i
(0 π),
z z dz

I
z z z z dz dz dz dz C1 z C2 II z z z