一、将下列复数用代数式、三角式、指数式表示出来。 (1) i 解：2
cos
sin
2
2
i
i e i ππ
π
==+
(2) -1
解：1cos sin i e i πππ-==+ (3)
1+
解：()/3122cos /3sin /3i e i πππ+==+ (4) 1cos sin i αα-+ 解：
2221cos sin 2sin 2sin
cos
2sin
(sin
cos )2
2
2
2
22
2sin
cos()sin()2sin 222222
i i i i i e παα
α
α
α
α
α
αααπαπαα??
- ???
-+=+=+?
?=-+-= ???
(5) 3z
解：()3333cos3sin3i z r e r i θθθ==+ (6) 1i e +
解：()1cos1sin1i i e ee e i +==+
(7)
11i
i
-+ 解：3/411cos3/4sin 3/411i i i i e i i i πππ--==-==+++
二、计算下列数值
(1) 解：
1ar 21ar 21ar 2 b i ctg k a b
i ctg a
b
i ctg
a
π??
+ ???
=
=??=???
(2)
解：6
2263634632
22i k i i i i e i e
e e i
πππππππ??
??++ ? ???
????+ ????=+????====-+?
??=-?
(3) i i 解：(
)2222i
i k k i i e e
ππππ????
+-+ ? ???
??
==
(4)
解：(
)
1/2222i
i k k e
e
ππππ????
++ ? ???
??
==
(5) cos5α
解：由于：()()5
5
2cos5i i e e ααα-+=，
而：
()()()()
()()()()
5
5
5
55
5
5
5
55
cos sin cos sin cos sin cos sin n
n
i n
n n
n
i n n e i C i e i C i αααααααααα-=--==+==-=-∑∑
所以：
()()()()()()()()()()()
5555055550
4
3
2
5
3
543251cos5cos sin cos sin 21 cos sin 112 5cos sin cos sin cos 5cos sin 10cos sin cos n n n n
n n n n n
n n C i i C i i C i ααααααααααααααααα
--=--=??
=+-????=+-??=++=-+∑∑
(6) sin5α
解：由于：()()
5
5
2sin 5i i e
e ααα--=，
所以：
()()()()()()()()()()()
()
5555055550
5234
245552341sin 5cos sin cos sin 21 cos sin 1121 sin cos sin sin cos sin 10cos sin 5sin cos n n n n
n n n n n
n n C i i i C i i i C i C i i
ααααααααααααααααα
--=--=??
=--?
???
=--??=++=-+∑∑ (7) cos cos2cos n ααα+++L L 解：
()()221cos cos 2cos ()()2
(1)1(1)11(1)(1)1 21122(1cos )1 2i i in i i in i in i i in i i in i in i i i n e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e αααααααααααα
ααααααααααα----------??+++=
+++++++????
--+--??--??=+=??---??????
+=L L L L L L (1)(1)22(1cos )12cos 22cos(1)2cos cos 1cos(1)cos 22(1cos )2(1cos )1sin()sin
22 2sin
2
i i n i n in in e e e e n n n n n αααααααααααα
ααα
αα
+-+-??
---++??-????--++--++=
=??--??
+-=
(8) sin sin 2sin n ααα+++L L 解：
()()221sin sin 2sin ()()2(1)1(1)11(1)(1)1 21122(1cos )1 2i i in i i in i in i i in i i in i in i i i n e e e e e e i e e e e e e e e e e i e e i e i αααααααααααα
αααααα
αααα---------??+++=+++-+++?
???
-----??--??=-=??---??????=L L L L L L (1)(1)112(1cos )12sin 2sin(1)2sin sin sin(1)sin 22(1cos )2(1cos )1cos()cos
22 2sin
2
i n in i i n in e e e e e i i n i n n n i n ααααααααααααα
ααα
αα+--+-??
--+-++-??-??
??-++-++=
=??--??
-++=
1.2 复变函数
1、试证明函数f (z )=Arg(z ) (-π 证明：(1) 在负实轴上，任取一点z a =-，则分别由水平方向和垂直方向趋近z 点有： 00 lim ()lim ()lim ()lim ()y y y y f z Arg a i y f z Arg a i y π π ++--?→?→?→?→=-+?==-+?=- 显然函数在负实轴上不连续。 (2) 在零点，沿i z re θ =方向趋近于零点则： 0 lim ()lim ()i z z f z Arg re θ θ?→?→== 显然，其极限结果与路径相关，则该函数在0点无极限。 2、复平面上，圆周可以写成0Azz z z C ββ+++=，这里A ，C 为实数，β为复数。 证明：在平面上圆的一般方程表示为： 2 2 0x y ax by c ++++= 则在复平面上：11 (),()22x z z y z z i = +=-，所以圆方程变形为： 02222a b a b zz i z i z c ???? +-+++= ? ?? ??? 若令： ,22a b C i c A A β = -= 则：0Azz z z C ββ+++= 2.1 解析函数 1、试证明下列函数处处不可微： (1) ()f z z = (2) ()f z x = 证明： (1) 在0z ≠处，有： 0000()1lim lim lim lim z z z z z z x y z f z x x y y x y z x i y x i y r x i y ?→?→?→?→???+????+???===??+??+??+? 若沿i z e θδ?=方向趋近于z 点，则： ()00()1cos sin 1lim lim cos sin i i z z f z x y x y e z r e r θ θδθδθθθδ-?→?→?+==+? 显然，函数不可微。 (2) 在0z =处，有： 00() lim lim z z z f z z x i y ?→?→??=??+? 若沿i z e θδ?=方向趋近于0点，则： 00() lim lim i z z z f z e z x i y θ-?→?→??==??+? 显然，函数不可微。 2、设： 3333 22 22(,),(,),0(,)(,)0,0 x y x y u x y v x y z x y x y u x y v x y z ?-+==≠?++? ?===? 试证明f (z )=u (x ,y )+iv (x ,y )在原点满足C -R 条件，但不可微。 证明： 首先： (0,0)(0,0)(0,0)(0,0) 1,1 (,)(,) (,)(,1,) 1 x u x y u x y y x y v x y v x y ??==-????==?? 显然： (0,0)(0,0)(0,0)(0,0) , (,)(,)(,) (,) x u x y v x y y u x y x y v x y ????==- ????，在原点f(z)满足C-R 条件。 而在(0,0)点，f(z)的导数定义为： ' 00003333 22 2 2()()(0)()()lim lim lim lim z z z z x y x f z f z f f z f z z x i y x i y i x y x y y x i y ?→?→?→?→?-??-?====??+??+???+?+?+???++?? 若沿i z e θδ?=方向趋近于0点，则： ()()33033 ' 4cos sin cos ()1()lim (1)(3)cos sin 4 sin i z f z f z i i e z i θθθθθθθ-?→-?=+==++++? 显然，函数在原点的导数不存在，所以函数虽然在原点满足C-R 条件，但不可微。C-R 条件只是函数 可微的必要条件。 1.2 复变函数 1、试证明函数f (z )=Arg(z ) (-π 证明：(1) 在负实轴上，任取一点z a =-，则分别由水平方向和垂直方向趋近z 点有： 00 00 lim ()lim ()lim ()lim ()y y y y f z Arg a i y f z Arg a i y π π ++- -?→?→?→?→=-+?==-+?=- 显然函数在负实轴上不连续。 (2) 在零点，沿i z re θ =方向趋近于零点则： 0 lim ()lim ()i z z f z Arg re θ θ?→?→== 显然，其极限结果与路径相关，则该函数在0点无极限。 2、复平面上，圆周可以写成0Azz z z C ββ+++=，这里A ，C 为实数，β为复数。 证明：在平面上圆的一般方程表示为： 2 2 0x y ax by c ++++= 则在复平面上：11 (),()22x z z y z z i =+=-，所以圆方程变形为： 02222a b a b zz i z i z c ???? +-+++= ? ?? ??? 若令： ,22a b C i c A A β = -= 则：0Azz z z C ββ+++= 2.1 解析函数 1、试证明下列函数处处不可微： (1) ()f z z = (2) ()f z x = 证明： (1) 在0z ≠处，有： 0000()1lim lim lim lim z z z z z z x y z f z x x y y x y z x i y x i y r x i y ?→?→?→?→???+????+???===??+??+??+? 若沿i z e θδ?=方向趋近于z 点，则： ()00()1cos sin 1lim lim cos sin i i z z f z x y x y e z r e r θ θδθδθθθδ-?→?→?+==+? 显然，函数不可微。 (2) 在0z =处，有： 00() lim lim z z z f z z x i y ?→?→??=??+? 若沿i z e θδ?=方向趋近于0点，则： 00() lim lim i z z z f z e z x i y θ-?→?→??==??+? 显然，函数不可微。 2、设： 3333 22 22(,),(,),0(,)(,)0,0 x y x y u x y v x y z x y x y u x y v x y z ?-+==≠?++? ?===? 试证明f (z )=u (x ,y )+iv (x ,y )在原点满足C -R 条件，但不可微。 证明： 首先： (0,0)(0,0)(0,0)(0,0) 1,1 (,)(,) (,)(,1,) 1 x u x y u x y y x y v x y v x y ??==-????==?? 显然： (0,0)(0,0)(0,0)(0,0) , (,)(,)(,) (,) x u x y v x y y u x y x y v x y ????==- ????，在原点f(z)满足C-R 条件。 而在(0,0)点，f(z)的导数定义为： ' 00003333 22 2 2()()(0)()()lim lim lim lim z z z z x y x f z f z f f z f z z x i y x i y i x y x y y x i y ?→?→?→?→?-??-?====??+??+???+?+?+???++?? 若沿i z e θδ?=方向趋近于0点，则： ()()33033 ' 4cos sin cos ()1()lim (1)(3)cos sin 4 sin i z f z f z i i e z i θθθθθθθ-?→-?=+==++++? 显然，函数在原点的导数不存在，所以函数虽然在原点满足C-R 条件，但不可微。C-R 条件只是函数 可微的必要条件。 2.2 解析函数和调和函数 1、已知复变函数的实部或虚部，写出解析函数： 22 33(1)(,),(2)0(2)(,)sin (3)(,),(0)0(4)(,)ln ,(1)0x y v x y f x y u x y e y u x y x y xy f u x y f ρ= =+==++=== 解：(1) 22 (,)y v x y x y = + 则：() 22 222(,)(,)u x y v x y x y x y x y ??-==??+…………….I () 222(,)(,)2u x y v x y xy y x x y ??=-=??+……………II 由I 得：22 (,)()x u x y y x y ?=- ++ 带入(II)得：'()0y ?= 所以：22 (,)x u x y C x y =- ++ (2) (,)sin x u x y e y = 则： (,)(,) cos x v x y u x y e y x y ??=-=-??…………….I (,)(,) sin x v x y u x y e y y x ??==?? ……………II 由I 得：(,)cos ()x v x y e y y ?=-+ 带入(II)得：'()0y ?= 所以：(,)cos x v x y e y C =-+ (3) 33(,)u x y x y xy =++ 22 22(,)6, (,)6u x y x u x y y x y ??==?? 显然：()2222(,)6u x y x y x y ?? ??+=+ ????? (,)u x y 并非调和函数，所以，此题无解。 (4) (,)ln u x y ρ= 则： 22(,)(,)v x y u x y y x y x y ??=-=-??+…………….I 22 (,)(,)v x y u x y x y x x y ??==??+ ……………II 由I 得：(,)atan ()x v x y y y ??? =-+ ??? 带入(II)得：'()0y ?= 所以：(,)atan x v x y C y ?? =-+ ??? 2、 三个单值分支在割破的z 平面上任意区域上都是解析的，并求其导 数。 证明：()f z =(),i i z re z e θθφε+=?= 则：'i z z r e θθ+?+?= ，这里：'sin r r εφ θ=?≈ 所以： ()()()21/6 2 2 33 31/6221/61/6()2cos 22 2cos cos sin 33333322 2cos cos cos sin s 3 3333k i f z z r r e k k r r i k k r r θπθεεφθπθ θπθεεφθπθθπεφ???++ ? ??+?=++???? ????=++++ +++ ? ???????? ? ???????≈++-+ ? ? ???????1/61/65/622in sin cos cos sin 33333312222 2cos cos sin sin cos 63333333333k k i i k k k k r r i i r θθπθθπ θπθθπθπθθπεφ???????????? ++++ ? ? ? ? ?????????? ????? ??????????≈++-+++++ ? ? ? ? ??????????????? 1/32/31/32/312222 2cos cos sin sin cos 63 3333333 3122 2cos cos sin 63333k k k k r i i r k k r i r θπ θπ θθπθπεφθπθπ εφ??????????????????≈++ ++ -+-+ ?? ? ? ? ? ? ????????????????????????≈++++ ? ???????22sin cos 3 3 333k k i θθπθπ ????????????-+-+??? ? ? ? ???????????? 则： 1/3 2/31/32/322122()()sin cos 2cos cos sin 3 333363 33 3221 cos sin 2cos 333 36k k k k f z z f z r i i r k k i ir r θ θπθπθπθπεφθπ θπεφ??? ?? ????????+?-≈-+-+++ ++ ? ? ? ? ??? ? ??????????????????≈+ ++ + ? ? ?????? ? ]3 cos sin i i e φθφφ?????? += 所以： () 000 2/3 ()()()3 lim lim lim 1 33 i i z z z i e f z f z z f z r z z e re z φ θφ θ ε+ ?→?→?→ ?+?- == ?? == 2.1-2 Cauchy 积分 1、计算积分 i i z dz - ?，积分路径(1)直线段；(2)右半单位圆周；(3)左半单位圆周。 解： i i i i z dz -- = ?? (1)若沿直线从-i积分到i，则： () () 101 110 11 00 i i z dz i y dy i ydy ydy i ydy ydy i --- ==+ =+= ???? ?? (2)若沿右半圆从-i积分到i，则： /2/2 /2 /2 () 2 i i i i z dz d e e i ππ θθ π π- -- == = ?? (3)若沿左半圆从-i积分到i，则： /2/2 3/2 3/2 () 2 i i i i z dz d e e i ππ θθ π π - == = ?? 2、当C为单位圆周时，不用计算，试证明： 22 11 (1)0, (2)0 5622 C C dz dz z z z z == ++++ ?? 证明：(1) 2 11 56(2)(3) 11 23 11 23 C C C C C dz dz z z z z dz z z dz dz z z = ++++ ?? =- ? ++ ?? =- ++ ?? ? ?? 因为两个非解析点都不在积分圆周内，根据Cauchy积分定理： 2 1 56 C dz z z = ++ ? (1) ()() 22 11 22(1)1 1 11 111 211 C C C C C dz dz z z z dz z i z i dz dz i z i z i = ++++ = +++- ?? =- ? +-++ ?? ?? ? ?? 因为两个非解析点1,1z i i =---+都不在积分圆周内，根据Cauchy 积分定理： 21 022C dz z z =++? 2.3-4 Cauchy 积分定理 1、已知函数() 1(,)1xt t e x t t ψ--=-，将x 作为参数，把t 认为是复变数，试应用Cauchy 公式表为回路积分， 对回路积分进行变量代换()t z x z =-，并借以证明： ()0 n n x n x n n t d e x e t dx ψ -=?=? 解：(1) 首先，令：1(,)1z x z e e x z z ψ--= -，则：() 111(,)2x e x z d i z ξξξ ψξπξ---=-?? 根据解析函数的无限可微性有： () ()()11!(,)21x n n n e x z d i z ξξ ψξπξξ--+=--?? 所以： ()()110(,)!21x n n n t x t n e d t i ξξψξπξξ--+=?=?-?? (2) 做变量替换：z x t z -= ，则对于积分公式来说：z x z ξ-=，所以： ()()()11011(,)!21!! 22 z x z x x n z z n n t n x z n x n n n x n x n x t n e z x d t i z z x z x z z n z e n e dz e d i i z x x e x e x ξψπξξππξ--???? -- ? ? ??? ?+=--++-?-?? = ???? --????- ??? ? ???==--?=?????蜒 4.2 利用留数定理计算实积分 1、确定下列函数的奇点，并计算留数， (5) 22 (0)sin adx a a x π >+? ； (6) 22 cos (1)12cos xdx x π εεε <-+? 解：(5) 220022201cos 2sin 22 21cos adx adx x a x a adx a x π ππ=++- =+-??? 令：ix z e =，则： ()()22 021122 11 1sin 21222 ()2211 z z z adx adz a x a z z iz a dz a f z dz i i z a z π -====+??+-+ ???=-=--++???? 显然，()f z 存在两个一阶极点：2(21)2z a =+± 2(21)2z a =+- 处 于单位圆内，所以： 22(21)2(21)2Res ()lim z a z a f z →+-=+-= = 则： 220 22sin adx a i a x i π π???? =-= ?+???? (6) 22 cos (1)12cos xdx x π εεε<-+? 令：ix z e =，则：： ()()()()()()()1 22 21 1 22 1 211 11 cos 12cos 2111111 ()2221z z z z z z dz xdx x z z iz z dz z dz f z dz i i i z z z z z z πεεεεεεεεεεε--=--===+= -+??+-+?? ++=-=-=- ??---++?? ????? 显然，()f z 存在三个一阶极点：1 0,,z εε-=，只有：0,z ε= 处于单位圆内，所以： () ()()2 10 1Res ()lim 1z z z f z z z εε-→=+==-- ()() 2 2 2 1 11 Res ()lim 1z z z f z z z ε ε εεε-→=++==-- 所以： 22222 cos 1122112cos 211xdx i x i π επεπεεεεε??+??=-+= ? ?-+--???? ? 2、计算下列实函数积分 (5) 261 1 x dx x ∞ -∞++? 解：(5) 2611 x dx x ∞ -∞++? 而函数42 1 ()1 f z x x =-+存在四个一阶极点：556666,,,i i i i z e e e e ππππ =--，很显然处于上半平面内的孤立奇点只有：566 ,i i z e e π π=，所以： ( )66 6 2631 1 Res ()lim 221221i i i i z e z e f z z z e e ππ π ππ -→====??-- ? ?? ( )5566 65526 36 3 1 11 Res ()lim 221221221i i i i i i i z e z e f z z z e e e e ππ π ππ ππ --→====- =????--- ? ??? ? ? 所以：2 664121 i i x dx i x ππππ-∞-∞??+==+? 3计算下列实函数积分 (3) 2sin 1x x dx x ∞ -∞+? 解：根据定理： 显然，2()1imz ze f z z =+存在两个一阶极点：z i =±，只有：z i = 上半平面内，所以： 1 Res ()lim 2iz z i z i ze f z z i e →===+ 所以： 2sin 1212x x dx x e e ππ∞ -∞==+? 3.2 幂级数 3、求下列幂级数的收敛圆 (1)11()k k z i k ∞ =-∑， (2) ln 1 (2)k k k k z ∞ =-∑ 解：(1) 11/lim lim 11/(1) k k k k c k R c k →∞ →∞+===+ 所以，其收敛圆为以i 为圆心的单位圆。 (2) 由于：()()()22ln ln 1ln 1lim lim lim lim 1ln 1ln 1ln 1k k k k k k k k k R k k k k k →∞→∞→∞→∞????++?? =====??????+++?????? ln ln ln(1)ln(1) 1 lim lim lim 1(1)(1)k k k k k k k k k c k k R c k k ++→∞→∞→∞+====++ 所以，其收敛圆为以2为圆心的单位圆。 3.3 幂级数展开 在指定的点的邻域上把下列函数展开为Taylor 级数 (8) 2sin z 和2cos z 在00z = 解： ()()()() 22 20 221021 21021 21 1 11sin (1cos 2)(112) 22(2)!1 12 2(2)! 1 122(2)! 12 (2)! n n n n n n n n n n n n n n n n z z z n z n z n z n ∞ =∞-=∞+-=∞ +-==-=--=--= +-=-∑∑∑∑ ()()()22 202210221 1 11cos (1cos 2)(112) 22(2)!1 12 2(2)! 112 (2)! n n n n n n n n n n n n z z z n z n z n ∞ =∞-=∞ -==+=+-=+-=+-∑∑∑ 4.1 留数定理 1、确定下列函数的奇点，并计算留数， (1)(1)z e z +； (2) 2 (1)(2)z z z --，(3) 2 2 ()z e a z +，(4) 22)iz e a z + 解：(1) )z e z + 显然1z =-为其一阶极点，则： 1 1 1 Res ()lim(1)(1)z z z f z z e z e -→-=-=++= (2) 2 (1)(2)z z z -- 显然1z =为其一阶极点，2z =为其二阶极点，则： 21 1 Res ()lim(1)(1)(2)1z z f z z z z z →==---= ()22 2222 1Res ()lim (2)(1)(2)lim 11z z z d f z z z z z dz z →→=????=---=-=-????-???? (3) 2 2 ()z e a z + 显然z ia =±为其一阶极点，则： 2 2 Res ()lim()()2ia z z ia z ia e f z z ia e a z ia →==-+= 2 2 Res ()lim ()()2ia z z ia z ia e f z z ia e a z ia -→-=-=++=- (4) 22()iz e a z + 显然z ia =±为其一阶极点，则： 2 2 Res ()lim()()2a iz z ia z ia e f z z ia e a z ia -→==-+= 2 2 Res ()lim ()()2a iz z ia z ia e f z z ia e a z ia →-=-=++=- 2、计算回路积分， (1) ()() 2 2 11l dz z z +-??，l 为22 220x y x y +--= (3) 2 1 2 z z e dz =?? 解：(1) 首先l 的围线方程为：()()2 2 112x y -+-= 而被积函数存在三个孤立奇点,1z i =±，在围线内有两个孤立奇点：,1z i = ()() () 2 2 2() 11 Res ()lim 4 1121z i z i z i f z z z i i →=-== =+-- ()() 22211(1)1 Res ()lim 211z z d z f z dz z z →=-==-+- 所以： ()() 2 2 112()422 11l dz i i z z ππ=-=-+-?? (2) 可以看出来，被积函数存在唯一孤立奇点0z =，且为本性奇点，对被积函数做Laurant 展开： 2 1 20 11 !z n n e n z ∞ == ∑ 可以看出：10c -=，显然： 2 1 2 0z z e dz ==?? 4.2 利用留数定理计算实积分 1、确定下列函数的奇点，并计算留数， (5) 220 (0)sin adx a a x π >+? ； (6) 22 cos (1)12cos xdx x π εεε<-+? 解：(5) 220022201cos 2sin 22 21cos adx adx x a x a adx a x π ππ=++- =+-??? 令：ix z e =，则： ()()22 021122 11 1sin 21222 ()2211 z z z adx adz a x a z z iz a dz a f z dz i i z a z π -====+??+-+ ???=-=--++???? 显然，()f z 存在两个一阶极点：2(21)2z a =+± 2(21)2z a =+- 处 于单位圆内，所以： 22(21)2(21)2Res ()lim z a z a f z →+-=+-= = 则： 220 22sin adx a i a x i π π???? =-= ?+???? (6) 22 cos (1)12cos xdx x π εεε <-+? 令：ix z e =，则：： ()()()()()()()1 22 21 1 22 1 211 11 cos 12cos 2111111 ()2221z z z z z z dz xdx x z z iz z dz z dz f z dz i i i z z z z z z πεε εεεεεεεεε--=--===+=-+??+-+?? ++=-=-=- ??---++?? ????? 显然，()f z 存在三个一阶极点：1 0,,z εε-=，只有：0,z ε= 处于单位圆内，所以： () ()()2 10 1Res ()lim 1z z z f z z z εε-→=+==-- ()()2 2 2 1 11 Res ()lim 1 z z z f z z z ε ε εεε-→=++==-- 所以： 22222 cos 1122112cos 211xdx i x i π επεπεεεεε ??+?? =-+= ? ?-+--????? 2、计算下列实函数积分 (5) 261 1 x dx x ∞ -∞++? 解：(5) 2611 x dx x ∞ -∞++? 而函数42 1 ()1 f z x x =-+存在四个一阶极点：556666,,,i i i i z e e e e ππππ =--，很显然处于上半平面内的孤立奇点只有：566 ,i i z e e π π=，所以： ( )66 6 2631 1 Res ()lim 221221i i i i z e z e f z z z e e ππ π ππ -→====??-- ? ?? ( )5566 65526 3 6 3 1 11 Res ()lim 221221221i i i i i i i z e z e f z z z e e e e ππ π ππππ --→====- =? ???--- ? ?? ? ? ? 所以：2664121 i i x dx i x ππππ-∞-∞??+==+? 3计算下列实函数积分 (3) 2sin 1x x dx x ∞ -∞+? 解：根据定理： 显然，2()1imz ze f z z =+存在两个一阶极点：z i =±，只有：z i = 上半平面内，所以： 1 Res ()lim 2iz z i z i ze f z z i e →===+ 所以： 2sin 1212x x dx x e e ππ∞ -∞==+? 习题六 1. 求映射1 w z = 下，下列曲线的像. (1) 22x y ax += (0a ≠，为实数) 解：2222 11i=+i i x y w u v z x y x y x y ===-+++ 221 x x u x y ax a = ==+, 所以1w z =将22x y ax +=映成直线1u a =. (2) .y kx =(k 为实数) 解： 22221i x y w z x y x y = =-++ 22 2222 x y kx u v x y x y x y = =- =- +++ v ku =- 故1 w z = 将y kx =映成直线v ku =-. 2. 下列区域在指定的映射下映成什么？ （1）Im()0, (1i)z w z >=+； 解： (1i)(i )()i(+)w x y x y x y =+?+=-+ ,. 20.u x y v x y u v y =-=+-=-< 所以Im()Re()w w >. 故(1i)w z =+?将Im()0,z >映成Im()Re()w w >. (2) Re(z )>0. 0 一、将下列复数用代数式、三角式、指数式表示出来。 (1) i 解：2 cos sin 2 2 i i e i ππ π ==+ (2) -1 解：1cos sin i e i πππ-==+ (3) 1+ 解：()/3122cos /3sin /3i e i πππ+==+ (4) 1cos sin i αα-+ 解： 2221cos sin 2sin 2sin cos 2sin (sin cos )2 2 2 2 22 2sin cos()sin()2sin 222222 i i i i i e παα α α α α α αααπαπαα?? - ??? -+=+=+? ?=-+-= ??? (5) 3z 解：()3333cos3sin3i z r e r i θθθ==+ (6) 1i e + 解：()1cos1sin1i i e ee e i +==+ (7) 11i i -+ 解：3/411cos3/4sin 3/411i i i i e i i i πππ--==-==+++ 二、计算下列数值 (1) 解： 1ar 21ar 21ar 2 b i ctg k a b i ctg a b i ctg a π?? + ??? = =??=??? (2) 解：6 2263634632 22i k i i i i e i e e e i πππππππ?? ??++ ? ??? ????+ ????=+????====-+? ??=-? (3) i i 解：( )2222i i k k i i e e ππππ???? +-+ ? ??? ?? == (4) 解：( ) 1/2222i i k k e e ππππ???? ++ ? ??? ?? == (5) cos5α 解：由于：()()5 5 2cos5i i e e ααα-+=， 而： ()()()() ()()()() 5 5 5 55 5 5 5 55 cos sin cos sin cos sin cos sin n n i n n n n i n n e i C i e i C i αααααααααα-=--==+==-=-∑∑ 所以： ()()()()()()()()()()() 5555055550 4 3 2 5 3 543251cos5cos sin cos sin 21 cos sin 112 5cos sin cos sin cos 5cos sin 10cos sin cos n n n n n n n n n n n C i i C i i C i ααααααααααααααααα --=--=?? =+-????=+-??=++=-+∑∑ (6) sin5α 解：由于：()() 5 5 2sin 5i i e e ααα--=， 所以： ()()()()()()()()()()() () 5555055550 5234 245552341sin 5cos sin cos sin 21 cos sin 1121 sin cos sin sin cos sin 10cos sin 5sin cos n n n n n n n n n n n C i i i C i i i C i C i i ααααααααααααααααα --=--=?? =--? ??? =--??=++=-+∑∑ (7) cos cos2cos n ααα+++L L 解： 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。 1．下列复数中，位于第Ⅱ象限的复数是 （ ） A ．1+i B ．1-i C ．-1+i D ．-1-i 2．当i i z -+= 11时，50 75100z z z ++的值等于 （ ） A ． i B ．-i C ．1 D ．-1 3．方程232= -+i z 所代表的曲线是 （ ） A ．中心为i 32-，半径为2的圆周 B ．中心为i 32+-，半径为2的圆周 C ．中心为i 32+-，半径为2的圆周 D ．中心为i 32-，半径为2的圆周 4．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数为 （ ） A ． 2 B ．i 31+ C ．i -3 D ．i +3 5．函数)(z f 在点z 可导是)(z f 在点z 解析的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．即非充分也非必要条件 6．设2 2)(y i x z f ?+=，则=+')1(i f （ ） A ． 2 B ．2 i C ．1 + i D ．2 + 2 i 7．设C 为正向圆周|z|=2，则 ()dz z z c ?-2 1cos （ ） A ．1sin - B ．sin1 C ．1sin 2i ?-π D ．1sin 2i ?π 8．设c 是t i z )1(+=，t 从1到2线段，则=? zdz c arg （ ） A ． 4π B ．4πi C ．4 π (1+ i ) D ．1 + i 9．幂级数∑ ∞ =+-1 n 22z )1n (n )2(在点z=41 处 （ ） A ．发散 B ．条件收敛 C ．绝对收敛 D ．不绝对收敛 10．幂级数n n z n ??? ??∑∞ =22sin 1 π的收敛半径R = （ ） 得分 评卷人 复查人 海南大学2015-2016学年度第1学期试卷 科目：《复变函数与积分变换》试题(B 卷) 学院： 专业班级： 姓名： 学 号： 成绩登记表（由阅卷教师用红色笔填写） 阅卷教师： 年 月 日 考试说明：本课程为闭卷考试。 一、 判断题(每题1分，共5分) （说明：对的，打上“√”号；错的，打上“×”号。） （ ）1、扩充复平面与复球面上的点一一对应。 （ ）2、如果()f z 在0z 处解析，则()f z 在0z 处必可导。 （ ）3、如果 ，则z =0。 （ ）4、z =0是 的一级极点。 （ ）5、如果 在区域D 内处处为零，则()f z 在D 内为一常数。 二、 填空题(每题3分，共15分) 1、 。 2、设f(z)=z cos z ，则 。 )('z f =)0()2016(f 0=z e =?dz z z 2 0sin )1 sin()(z z f = 3、 的收敛半径= 。 4、如果0z 是函数f(z)在有限复平面内的可去奇点，则Res [f(z), 0z ]= 。 5、 。 三、 计算题(共20分) （注意：要有运算步骤。） 1、将下列复数化为三角表示式和指数表示式： 2、求 3、求).31(i Ln - 4、求函数?????≥<≤<≤=.3, 0,31, 2,10,1)(t t t t f 的Laplace 变换. 四、解答题（共60分） 1、计算积分 dz z z z z C ?++-) 4(2)1(sin ）（，其中C 为正向圆周：|z|=3. （10分） 2、 利用留数定理计算 其中C 为正向圆周：|z|=2. （10分） 3、解微分方程 其中，f (t )为已知函数。 (10分) 4、设函数 (1)把函数 f(z) 在 内展开成洛朗级数。 （10分） (2)求积分 （5分） 5、如果函数f(z)=u+iv 在区域D 内解析，且arg f (z )在D 内是一个常数， =?+∞∞ dt )(-t δn n n z i ∑∞ =+0)43(.522 i i i -+. )33(31i ++∞<<||1z . )(3||dz z f z ?=,1 )/1sin()(-=z z z z f ).()()(4 4 t f t y t y dt d =+?+-C dz z z z ，) 1()1(34 复变函数与积分变换试题（一） 一、填空（3分×10） 1．)31ln(i --的模 ，幅角 。 2．-8i 的三个单根分别为： ， ， 。 3．Ln z 在 的区域内连续。 4．z z f =)(的解极域为： 。 5．xyi y x z f 2)(22+-=的导数=')(z f 。 6．=?? ? ???0,sin Re 3z z s 。 7．指数函数的映照特点是： 。 8．幂函数的映照特点是： 。 9．若)(ωF =F [f (t )]，则)(t f = F )][(1ω-f 。 10．若f （t ）满足拉氏积分存在条件，则L [f (t )]= 。 二、(10分) 已知222 1 21),(y x y x v +-=，求函数),(y x u 使函数),(),()(y x iv y x u z f +=为 解析函数，且f (0)=0。 三、（10分）应用留数的相关定理计算 ?=--2||6)3)(1(z z z z dz 四、计算积分（5分×2） 1．?=-2 ||) 1(z z z dz 2．? -c i z z 3 )(cos C ：绕点i 一周正向任意简单闭曲线。 五、（10分）求函数) (1 )(i z z z f -= 在以下各圆环内的罗朗展式。 1．1||0<- 复变函数复习提纲 （一）复数的概念 1.复数的概念：z = X ? iy , X, y 是实数,x = Rez,y=lmz.r=_i. 中的幅角。 3）arg Z与arctan~y之间的关系如下: X y 当X 0, arg Z= arctan 丄； X y y -0,arg Z= arctan 二 ! X y y ：： O,arg Z= arctan -二 J X 4)三角表示：Z = Z(COS8 +isin0 ),其中日=argz；注：中间一定是“ +”号。 5)指数表示：Z = ZeF,其中V - arg z。 (二)复数的运算 1.加减法：若Z I=X I iy1, z2=X2 iy2,贝廿z1二z2= x1二x2i y1- y2 2.乘除法： 1)若z1 = x1 iy1, Z2 =X2 iy2,贝U 狂h[N×2 一y$2 i x2% x1y2 ； 乙_ X1+ i y_ (x1 十 i 和X—i y_ XX y*y y x；。X Z2 X2+ i% (对讪-X )i2y 2+2X222+ 2X22 2)若Z I=Iz I e i^,z2 =∣z2 e iθ ,则 Z1Z2 = ZIll Z2 e i(t1也； 3.乘幕与方根 1)若Z= Z(COS J isin * n (CoS n i Sinn )= n e i"。 2）幅角：在Z=O时，矢量与X轴正向的夹角, 记为Arg Z （多值函数）；主值arg Z 是位于（-理,二］注：两个复数不能比较大小 2.复数的表示 2)若 Z = IZ(COSB+isinT)=∣ze i ^,则 （三）复变函数 1?复变函 数： w = f z ,在几何上可以看作把 Z 平面上的一个点集 D 变到W 平面上的一个点集 G 的映射 . 2 ?复初等函数 1）指数函数：e z =e x cosy isiny ,在Z 平面处处可导，处处解析；且 注：e z 是以2二i 为周期的周期函数。（注意与实函数不同） 3）对数函数： LnZ=In z+i （argz + 2kιι） （k=0,±1,±2八）（多值函数）； 主值：In Z = Inz+iargz 。（单值函数） ?1 LnZ 的每一个主值分支In z 在除去原点及负实轴的 Z 平面内处处解析，且 Inz Z 注：负复数也有对数存在。 （与实函数不同） 3）乘幕与幕函数：a — e bLna （a = 0） ； Z b = e bLnZ （Zn 0） 注：在除去原点及负实轴的 Z 平面内处处解析，且 Z S -bz b j 。 Sin z,cos Z 在 Z 平面内解析，且 Sinz = cosz, CoSZ=-Sinz 注：有界性Sin z 兰1, cosz ≤1不再成立；（与实函数不同） Z ■ Z Z ■ Z ,,,, e -e e +e 4) 双曲函数 ShZ ,chz = 2 2 ShZ 奇函数，ChZ 是偶函数。ShZ I ChZ 在Z 平面内解析，且 ShZ =chz, ChZ i - ShZ O （四）解析函数的概念 1 ?复变函数的导数 1）点可导: f r fZ0；fZ 0 2）区域可导：f Z 在区域内点点可导。 2 ?解析函数的概念 1 f 日 +2kπ ..日 +2kπ ) Z n I cos ----------- 十 ISi n -------- I n n (k =0,12…n -1)(有n 个相异的值) 4）三角函数: iz -iz e -e Sin Z = 2i iz JZ . e +e , sin z , ,cos z ,tgz ,ctgz 2 cos z cosz Sin Z ?复变函数与积分变换?期末试题（A ）答案及评分标准 ?复变函数与积分变换?期末试题（A ） 一．填空题（每小题3分，共计15分） 1． 2 3 1i -的幅角是（ 2,1,0,23±±=+-k k ππ）；2. )1(i Ln +-的主值是 （ i 4 32ln 21π + ） ；3. 211)(z z f +=，=)0() 5(f （ 0 ）； 4．0=z 是 4sin z z z -的（一级）极点；5． z z f 1 )(=，=∞]),([Re z f s （-1）； 二．选择题（每小题3分，共计15分） 1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（ B ）； （A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(； （C ） y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(. 2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ D ），则0d )(=?C z z f ． （A ） 23-z ； （B ）2)1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； （D ）2 )2(3 -z . 3．如果级数∑∞ =1 n n n z c 在 2=z 点收敛，则级数在（ C ） （A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛； （C ）i z +=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散． ４．下列结论正确的是( B ) （A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析； (B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析， 则 0)(=? C dz z f （C ）如果 0)(=? C dz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析； （D ）函数 ),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是 ),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数． 5．下列结论不正确的是（ D ）． (A) 的可去奇点；为z 1 sin ∞ (B) 的本性奇点；为z sin ∞ (C) ;1sin 1 的孤立奇点为 z ∞ (D) .sin 1的孤立奇点为z ∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分） （1）设)()(2 2 2 2 y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a （2）．计算 ? -C z z z z e d ) 1(2 其中C 是正向圆周：2=z ； （3）计算?=++33 42215 d )2()1(z z z z z （4）函数3 2 32) (sin )3()2)(1()(z z z z z z f π-+-=在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级. 四、（本题14分）将函数) 1(1 )(2 -= z z z f 在以下区域内展开成罗朗级数； （1）110<- 复变函数与积分变换期末试题附有答案 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】 复变函数与积分变换期末试题 一．填空题（每小题3分，共计15分） 1．231i - 2.)1(i Ln +-的主值是（ ）；3. 211)(z z f +=，=)0()5(f （ 0 ），4．0=z 是 4sin z z z -的（ 一级 ）极点；5． z z f 1)(=，=∞]),([Re z f s （-1 ）； 二．选择题（每题3分，共15分） 1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（ ）； （A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(； （C ）y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(. 2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ ），则0d )(=?C z z f ． （A ） 23-z ； （B ）2 )1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； 3．如果级数∑∞=1n n n z c 在2=z 点收敛，则级数在 （A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛； （C ）i z +=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散． ４．下列结论正确的是( ) （A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析； （C ）如果0)(=?C dz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析； （D ）函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、 ),(y x v 在该区域内均为调和函数． 5．下列结论不正确的是（ ）． (A) 的可去奇点；为z 1sin ∞(B) 的本性奇点；为z sin ∞ (C) ;1sin 1 的孤立奇点为z ∞三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分） （1）．设)()(2 222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a 解：因为)(z f 解析，由C-R 条件 ,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c 给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。 复变函数复习提纲 (一)复数的概念 1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.2 1i =-. 注：两个复数不能比较大小. 2.复数的表示 1 ）模：z = 2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ- 中的幅角。 3）()arg z 与arctan y x 之间的关系如下： 当0,x > arg arctan y z x =； 当0,arg arctan 0,0,arg arctan y y z x x y y z x ππ? ≥=+?? 命题方式：独立命题 佛山科学技术学院2010—2011学年第1学期 《复变函数与积分变换》课程期末考试试题A答案 专业、班级：机械工程与自动化1、2、3班姓名：学号： 题号一二三四五六七八九十十一十二总成绩得分 1)题目一：下面正确的是（ ）B A B C D 1122122212||||z z z z z z z z =+1122||||||z z z z =112221||||z z z i z z z =+111||z i z =+2)题目二：函数的可导性为（ C ）2()||f z z =A 处处可导 B 处处不可导 C 在z=0处可导 D 无法确定3)题目三：如果在区域D 内，则F (z )是f (z )的（A ）。'()()F z f z =A 原函数 B 反函数 C 像函数 D 原像函数4)题目四：设在简单正向曲线C 及其所围的区域D 内出处解析且,()f z 0z D ∈那么与积分相关的概念是：（B ）01()2c f z dz i z z π-?A 留数 B 柯西公式 C 线积分 D 泰勒级数5)题目五：是级数的：（ 01()()n n n S z c z z ∞==-∑000()...()...k c k c c z z c z z +-++-+C ）A 和 B 部分函数 C 和函数 D 调和函数6)题目六：0是的：(C) sin z z -A 孤立奇点 B 本性奇点 C 零点 D 原点7)题目七：级数：（C ）0 cos 2n n in ∞=∑A 绝对收敛 B 条件收敛 C 发散 D 既不收敛又不发散、管路敷设技术通过管线敷设技术，不仅可以解决吊顶层配置不规范问题，而且可保障各类管路习题到位。在管路敷设过程中，要加强看护关于管路高中资料试卷连接管口处理高中资料试卷弯扁度固定盒位置保护层防腐跨接地线弯曲半径标高等，要求技术交底。管线敷设技术中包含线槽、管架等多项方式，为解决高中语文电气课件中管壁薄、接口不严等问题，合理利用管线敷设技术。线缆敷设原则：在分线盒处，当不同电压回路交叉时，应采用金属隔板进行隔开处理；同一线槽内，强电回路须同时切断习题电源，线缆敷设完毕，要进行检查和检测处理。、电气课件中调试对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料试卷相互作用与相互关系，根据生产工艺高中资料试卷要求，对电气设备进行空载与带负荷下高中资料试卷调控试验；对设备进行调整使其在正常工况下与过度工作下都可以正常工作；对于继电保护进行整核对定值，审核与校对图纸，编写复杂设备与装置高中资料试卷调试方案，编写重要设备高中资料试卷试验方案以及系统启动方案；对整套启动过程中高中资料试卷电气设备进行调试工作并且进行过关运行高中资料试卷技术指导。对于调试过程中高中资料试卷技术问题，作为调试人员，需要在事前掌握图纸资料、设备制造厂家出具高中资料试卷试验报告与相关技术资料，并且了解现场设备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。、电气设备调试高中资料试卷技术电力保护装置调试技术，电力保护高中资料试卷配置技术是指机组在进行继电保护高中资料试卷总体配置时，需要在最大限度内来确保机组高中资料试卷安全，并且尽可能地缩小故障高中资料试卷破坏范围，或者对某些异常高中资料试卷工况进行自动处理，尤其要避免错误高中资料试卷保护装置动作，并且拒绝动作，来避免不必要高中资料试卷突然停机。因此，电力高中资料试卷保护装置调试技术，要求电力保护装置做到准确灵活。对于差动保护装置高中资料试卷调试技术是指发电机一变压器组在发生内部故障时，需要进行外部电源高中资料试卷切除从而采用高中资料试卷主要保护装置。 习题六 1. 求映射1w z = 下，下列曲线的像. (1) 22x y ax += (0a ≠，为实数) 解：2 2 2 2 11i=+i i x y w u v z x y x y x y == = - +++ 2 2 1x x u x y ax a = == +, 所以1w z = 将22x y ax +=映成直线1u a =. (2) .y kx =(k 为实数) 解： 2 2 2 2 1i x y w z x y x y = =- ++ 2 22 2 2 2 x y kx u v x y x y x y = =- =- +++ v ku =- 故1w z = 将y kx =映成直线v ku =-. 2. 下列区域在指定的映射下映成什么？ （1）Im()0, (1i)z w z >=+； 解： (1i)(i )()i(+)w x y x y x y =+?+=-+ ,. 20.u x y v x y u v y =-=+-=-< 所以Im()Re()w w >. 故(1i)w z =+?将Im()0,z >映成Im()Re()w w >. (2) Re(z )>0. 0 复变函数与积分变换期末试题 一．填空题（每小题3分，共计15分） 1． 2 3 1i -的幅角是（ 2,1,0,23±±=+-k k ππ）；2. )1(i Ln +-的主值是 （ i 4 32ln 21π + ）；3. 211)(z z f +=，=)0() 5(f （ 0 ），4．0=z 是 4sin z z z -的（ 一级 ）极点；5． z z f 1 )(=，=∞]),([Re z f s （-1 ）； 二．选择题（每题3分，共15分） 1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（ ）； （A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(； （C ） y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(. 2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ ），则0d )(=?C z z f ． （A ） 23-z ； （B ）2)1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； （D ）2 ) 2(3 -z . 3．如果级数∑∞ =1 n n n z c 在2=z 点收敛，则级数在 （A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛； （C ）i z +=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散． ４．下列结论正确的是( ) （A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析； (B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则 0)(=? C dz z f （C ）如果 0)(=? C dz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析； （D ）函数 ),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是 ),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数． 5．下列结论不正确的是（ ）． (A) 的可去奇点；为z 1 sin ∞(B) 的本性奇点；为z sin ∞ (C) ;1sin 1 的孤立奇点为 z ∞(D) .sin 1的孤立奇点为z ∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分） （1）．设)()(2 2 2 2 y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求 .,,,d c b a 解：因为)(z f 解析，由C-R 条件 … 复变函数与积分变换 （修订版）主编：马柏林 （复旦大学出版社） / ——课后习题答案 习题一 1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数 π/43513 ; ;(2)(43);711i i e i i i i i -++++ ++. ①解i 4 πππ2222e cos isin i i 44-??????=-+-= +-=- ? ? ? ??? ?? ?? ②解： ()()()() 35i 17i 35i 1613i 7i 1 1+7i 17i 2525 +-+==-++- ③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解： ()31i 13 35=i i i 1i 222 -+-+=-+ 2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy ) (z a a z a -∈+); 3 3 31313;;;.n i i z i ???? -+-- ? ? ① ：∵设z =x +iy 则 ()()()()()()()22 i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y -++-????+--+-????===+++++++ ∴ ()222 2 2 Re z a x a y z a x a y ---??= ?+??++, ()22 2Im z a xy z a x a y -?? = ?+??++． ②解： 设z =x +iy ∵ ()()()()() ()()()3 2 3 2 2 222222 3223i i i 2i i 22i 33i z x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++??=--+-+??=-+- ∴ ()332 Re 3z x xy =-, ()323Im 3z x y y =-． ③解： ∵ () ()()()(){ }3 3 2 3 2 1i 31i 311313313388-+??-+? ???== --?-?+?-?- ? ?????? ? ?? ?? ()1 80i 18 = += ∴1i 3Re 1?? -+= ? ??? , 1i 3Im 0??-+= ? ???． ④解： ∵ () ()() ()()2 3 3 23 1313 3133i 1i 38 ??--?-?-+?-?- ?? ??-+? ? = ? ??? ()1 80i 18 = += ∴1i 3Re 1??-+= ? ?? ? , 1i 3Im 0??-+= ? ??? ． ⑤解： ∵()()1, 2i 211i, k n k n k k n k ?-=?=∈?=+-???． ∴当2n k =时，()()Re i 1k n =-，()Im i 0n =； 当 21n k =+时， ()Re i 0 n =， ()()Im i 1k n =-． 3.求下列复数的模和共轭复数 12;3;(2)(32); .2 i i i i +-+-++ ①解：2i 415-+=+=． 2i 2i -+=-- ②解：33-= 33-=- ③解：()()2i 32i 2i 32i 51365++=++=?=． ()()()()()()2i 32i 2i 32i 2i 32i 47i ++=+?+=-?-=- ④解： 1i 1i 2 22++== ()1i 11i 222i ++-??= = ??? 4、证明：当且仅当z z =时，z 才是实数． 证明：若z z =，设i z x y =+， 则有 i i x y x y +=-，从而有()2i 0y =，即y =0 ∴z =x 为实数． 若z =x ，x ∈，则z x x ==． 复变函数与积分变换公 式 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】 复变函数复习提纲 (一)复数的概念 1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：两个复数不能比较大小. 2.复数的表示 1 ）模：z = 2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值 ()arg z 是位于(,]ππ- 中的幅角。 3）()arg z 与arctan y x 之间的关系如下： 当0,x > arg arctan y z x =； 当0,arg arctan 0,0,arg arctan y y z x x y y z x ππ? ≥=+?? 复变函数综合测试题（二） 一、填空题 1、设b a z a z =++?||||，其中b a ,为正常数，则点z 的轨迹曲线是______。 2、设6 cos 6 sin π π i z ??=，则z 的三角表示式为__________________。 3、若函数()f z 在区域D 内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D 内_________。 4、设函数)(z f 在单连通区域D 内解析，则)(z f 在D 内沿任意一条简单闭曲线C 的积分_______)(=∫dz z f C 。 5、若z 0是()f z 的m 阶零点且m >1，则z 0是)('z f 的______零点。 6、函数2 11 )(z z f += 的幂级数展开式为__________。7、函数)6(sin 6)(633?+=z z z z f 的零点0=z 的阶数为______。8、设a 为函数) () ()(z z z f ψ?= 的一阶极点，且0)(,0)(,0)(≠′=≠a a a ψψ?，则_________ __________)(Re ==z f s a z 9、设1 ()sin f z z = ，则)(z f 的定义域为__________。10、设函数),(),()(y x iv y x u z f +=，00iv u A +=，000iy x z +=，则A z f z z =→)(lim 0 的充要条件是___________________________。二、选择题 1、函数()f z z =在z 平面上（） A．不连续B．连续且可导C．连续但处处不可导D．以上答案都不对 2、下列点集哪些是区域（） A．Im Re(1) z i >+B．0arg 4 z π <≤ C．1Im 2 z < 复变函数与积分变换重 要知识点归纳 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT 复变函数复习重点 (一)复数的概念 1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小. 2.复数的表示 1 ）模：z = 2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。 3）()arg z 与arctan y x 之间的关系如下： 当0,x > arg arctan y z x =； 当0,arg arctan 0,0,arg arctan y y z x x y y z x ππ? ≥=+?? 复变函数与积分变换试题（一） 一、填空(3分×10) 1．)31ln(i --的模 ?? ,幅角 ?? 。 2．-8ｉ的三个单根分别为: , ， 。 3．Ln ｚ在 的区域内连续。 4．z z f =)(的解极域为：? ?? ? 。 5．xyi y x z f 2)(22+-=的导数=')(z f ? ??。 ６．=?? ? ???0,sin Re 3z z s ?? ?。 ７.指数函数的映照特点是：??? ? ?? ??。 8.幂函数的映照特点是: ? ?? ? ?。 9.若)(ωF =F [f (ｔ)]，则)(t f = F )][(1ω-f ?? ??。 10．若f （t )满足拉氏积分存在条件，则L ［f (t )]= ? ? 。 二、(10分) 已知222 1 21),(y x y x v +-=,求函数),(y x u 使函数),(),()(y x iv y x u z f +=为解 析函数,且ｆ(０)=0。 三、(1０分)应用留数的相关定理计算 ?=--2||6)3)(1(z z z z dz 四、计算积分（5分×２) 1．?=-2 ||) 1(z z z dz 2．? -c i z z 3 )(cos C :绕点i 一周正向任意简单闭曲线。 五、（10分）求函数) (1 )(i z z z f -= 在以下各圆环内的罗朗展式。 1．1||0<-
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