一元函数微分学 §1 导数和微分的概念 基本概念 1. 导数定义 00000)()(lim lim )()(lim 0x x x f x f x y x x f x x f x x x x --=??=?-?+→→?→? 0|)()(00x x dx dy x y x f =='='= 几种极限形式都要掌握 函数在某点可导即上述极限存在，极限存在?左右极限都存在且相等，左极限为左导，右极限为右导， )(lim 00x f x y x --→?'=??， )(lim 00x f x y x ++→?'=?? 导数定义是非常重要的概念，一定要灵活掌握。 2. 导函数)(x f ',dx dy . f (x )在（a , b ）可导, f (x )在[a , b ]可导 3. 可导与连续的关系 可导一定连续，但连续不一定可导（如函数||x y =在x =0点处连续，但是不可导） 4. 导数的几何意义 切线方程：))((000x x x f y y -'=-； 法线方程：)() (1000x x x f y y -'- =- 0)(0≠'x f ， 5. 微分的定义
微分的几何意义 6. 微分与导数的关系 )(x f 在x 处可微?)(x f 在x 处可导，且dx x f dy )('= 同时 dx x f dy x x )(|00'==。 §2 导数与微分的计算 基本概念 1. 基本初等函数的导数、微分公式（书159页，166页） 2. 导数（微分）四则运算公式 )()())()((x g x f x g x f '±'='±， )()()()())()((x g x f x g x f x g x f '+'='， 特别地 )())((x f k x kf '='， ) ()()()()())()((2x g x g x f x g x f x g x f '-'=' 特别地 ) ()())(1(2x f x f x f '-='。 后面两个公式不要记错。 3. 复合函数的求导法则 如何正确运用好复合函数求导法则（必须明确函数的复合过程），并且应到最后一层复合 4．高阶导数（计算同一阶导数）。
导数和微分的概念
一元函数微分学 §1 导数和微分的概念 基本概念 1.导数定义 ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? 几种极限形式都要掌握 函数在某点可导即上述极限存在，极限存在?Skip Record If...?左右极限都存在且相等，左极限为左导，右极限为右导， ?Skip Record If...?， ?Skip Record If...? 导数定义是非常重要的概念，一定要灵活掌握。 2.导函数?Skip Record If...?,?Skip Record If...?. f(x)在（a, b）可导, f(x)在[a, b]可导 3.可导与连续的关系 可导一定连续，但连续不一定可导（如函数?Skip Record If...?在x=0点处连续，但是不可导） 4.导数的几何意义 切线方程：?Skip Record If...?； 法线方程：?Skip Record If...? ?Skip Record If...?， 5.微分的定义 微分的几何意义 6.微分与导数的关系
?Skip Record If...?在x处可微?Skip Record If...??Skip Record If...?在x处可导，且?Skip Record If...? 同时 ?Skip Record If...?。 §2 导数与微分的计算 基本概念 1.基本初等函数的导数、微分公式（书159页，166页） 2.导数（微分）四则运算公式 ?Skip Record If...?， ?Skip Record If...?， 特别地 ?Skip Record If...?， ?Skip Record If...? 特别地 ?Skip Record If...?。 后面两个公式不要记错。 3.复合函数的求导法则 如何正确运用好复合函数求导法则（必须明确函数的复合过程），并且应到最后一层复合 4．高阶导数（计算同一阶导数）。 §3 中值定理 基本概念
第三章 函数的导数与微分 习题 3－1 1. 根据定义求下列函数的导数: (1) x y 1 = (2)x y cos = (3)b ax y +=(a ,b 为常数) (4)x y = 解(1)因为 00()()'lim lim x x y f x x f x y x x ?→?→?+?-==?? =x x x x x ?-?+→?1 1lim 0=01lim ()x x x x ?→-+?=21 x - 所以 21 y x '=- . (2) 因为00cos()cos 'lim lim x x y x x x y x x ?→?→?+?-==?? 02sin()sin 22 lim sin x x x x x x ?→??-+==-? 所以sin y x '=- (3) 因为 00[()][]'lim lim x x y a x x b ax b y x x ?→?→?+?+-+==?? =x x a x ??→?0lim =a 所以y a '= (4) 因为 00'lim lim x x y y x x ?→?→?-==?? = )(lim 0x x x x x x +?+??→? lim x ?→== 所以 y '= . 2. 下列各题中假定)(0' x f 存在, 按照导数的定义观察下列极限, 指出A 表示什么? (1) A x x f x x f x =?-?-→?)()(lim 000 (2) A x x f x =→)(lim 0(其中0)0(=f 且)0(' f )存在) (3) A x f tx f x =-→)0()(lim 0(其中)0(' f 存在)
第二章 导数与微分 (A) 1．设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ?+0时，相应函数的改变量=?y ( ) A ．()x x f ?+0 B ．()x x f ?+0 C ．()()00x f x x f -?+ D ．()x x f ?0 2．设()x f 在0x 处可，则()()=?-?-→?x x f x x f x 000lim ( ) A ．()0x f '- B ．()0x f -' C ．()0x f ' D ．()02x f ' 3．函数()x f 在点0x 连续，是()x f 在点0x 可导的 ( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．设函数()u f y =是可导的，且2x u =，则=dx dy ( ) A ．()2x f ' B ．()2x f x ' C ．()22x f x ' D ．()22x f x 5．若函数()x f 在点a 连续，则()x f 在点a ( ) A ．左导数存在； B ．右导数存在； C ．左右导数都存在 D ．有定义 6．()2-=x x f 在点2=x 处的导数是( ) A ．1 B ．0 C ．-1 D ．不存在 7．曲线545223-+-=x x x y 在点()1,2-处切线斜率等于( ) A ．8 B ．12 C ．-6 D ．6 8．设()x f e y =且()x f 二阶可导，则=''y ( ) A ．()x f e B ．()()x f e x f '' C ．()()()[]x f x f e x f ''' D ．()()[](){} x f x f e x f ''+'2 9．若()???≥+<=0 ,2sin 0,x x b x e x f ax 在0=x 处可导，则a ，b 的值应为( ) A ．2=a ，1=b B ． 1=a ，2=b C ．2-=a ，1=b D ．2=a ，1-=b
第五章 微分方程 第一节 微分方程的基本概念 一、基本概念 微分方程的定义： ①凡是含有未知函数的导数（或微分）的方程，称为微分方程. ②未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.本书只讨论常微分方程，简称微分方程. 微分方程的阶、解与通解： 微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶.如果把函数 )(x f y =代入微分方程后，能使方程成为恒等式,则称该函数为该微分方程的解.若微分方 程的解中含有任意常数，且独立的任意常数的个数与方程的阶数相同，则称这样的解为微分方程的通解. 初始条件与特解： 用未知函数及其各阶导数在某个特定点的值作为确定通解中任意常数的条件，称为初始条件.满足初始条件的微分方程的解称为该微分方程的特解。 例1 课本294页 例1 二、独立的任意常数 线性相关与线性无关： 设)(),(21x y x y 是定义在区间),(b a 内的函数，若存在两个不全为零的数21,k k ，使得对于区间),(b a 内的任一x ，恒有 0)()(2211=+x y k x y k 成立，则称函数)(),(21x y x y 在区间),(b a 内线性相关，否则称为线性无关. 显然，函数)(),(21x y x y 线性相关的充分必要条件是 ) () (21x y x y 在区间),(b a 内恒为常数. 如果 ) () (21x y x y 不恒为常数，则)(),(21x y x y 在区间),(b a 内线性无关.
独立的任意常数： 在表达式)()(2211x y C x y C y += (1C ,2C 为任意常数) 中, 1C ,2C 为独立的任意常数的充分必要条件为)(1x y ,)(2x y 线性无关. 例2 课本297页 例4 第二节 可分离变量的微分方程 一、定义 形如 )()(d d y g x f x y = 的微分方程，称为可分离变量的方程.该微分方程的特点是等式右边可以分解成两个函数之积，其中一个仅是x 的函数，另一个仅是y 的函数，即)(),(y g x f 分别是变量y x ,的已知连续函数. 二、求解方法 可分离变量的微分方程 )()(d d y g x f x y =的求解方法,一般有如下两步: 第一步:分离变量 x x f y y g d )(d )(=， 第二步:两边积分 ??= x x f y y g d )(d )(. 【例1】求微分方程ydy dx y xydy dx +=+2 的通解. 解 先合并dx 及dy 的各项,得dx y dy x y )1()1(2-=- 设,01,012≠-≠-x y 分离变量得 dx x dy y y 1 1 12 -=- 两端积分 ? ? -=-dx x dy y y 111 2得 ||ln |1|ln |1|ln 2 1 12C x y +-=- 于是 2212)1(1-±=-x C y 记,21C C ±=则得到题设方程的通解 .)1(122-=-x C y 注：在用分离变量法解可分离变量的微分方程的过程中, 我们在假定0)(≠y g 的前提下, 用它除方程两边, 这样得到的通解, 不包含使0)(=y g 的特解. 但是, 有时如果我们扩大任意常数C 的取值范围, 则其失去的解仍包含在通解中. 如在例2中，我们得到的通解中应该0≠C ，但这样方程就失去特解1±=y ，而如果允许0=C ，则1±=y 仍包含在通解
高等数学练习题 第二章 导数与微分 第一节 导数概念 一．填空题 1.若)(0x f '存在，则x x f x x f x ?-?-→?) ()(lim 000 = )(0x f '- 2. 若)(0x f '存在，h h x f h x f h ) ()(lim 000 --+→= )(20x f ' . 000 (3)() lim x f x x f x x ?→+?-?=03()f x '. 3.设20-=')(x f , 则=--→)()2(lim )000 x f x x f x x 4 1 4.已知物体的运动规律为2 t t s +=(米)，则物体在2=t 秒时的瞬时速度为5（米/秒） 5.曲线x y cos =上点（ 3 π ，21）处的切线方程为03 123=- -+π y x ，法线方程为 03 22332=-+ -π y x 6.用箭头?或?表示在一点处函数极限存在、连续、可导、可微之间的关系， ； 可微 ? 可导 <≠ ? | 连续 <≠ ? 极限存在。 二、选择题 1．设0)0(=f ,且)0(f '存在，则x x f x ) (lim 0→= [ B ] （A ）)(x f ' ( B) )0(f ' (C) )0(f (D) 2 1 )0(f 2. 设)(x f 在x 处可导，a ,b 为常数，则x x b x f x a x f x ??--?+→?) ()(lim 0 = [ B ] （A ）)(x f ' ( B) )()(x f b a '+ (C) )()(x f b a '- (D) 2 b a +)(x f ' 3. 函数在点 x 处连续是在该点 x 处可导的条件 [ B ] （A ）充分但不是必要 （B ）必要但不是充分 （C ）充分必要 （D ）即非充分也非必要 4．设曲线22 -+=x x y 在点M 处的切线斜率为3，则点M 的坐标为 [ B ]
偏导数与全导数偏微分与全微分的关系 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】
1。偏导数代数意义偏导数是对一个变量求导,另一个变量当做数对x求偏导的话y就看作一个数，描述的是x方向上的变化率对y求偏导的话x就看作一个数，描述的是y方向上的变化率 几何意义对x求偏导是曲面z=f(x,y)在x方向上的切线对y求偏导是曲面z=f(x,y)在x方向上的切线 这里在补充点。就是因为偏导数只能描述x方向或y方向上的变化情况，但是我们要了解各个方向上的情况，所以后面有方向导数的概念。 2。微分偏增量：x增加时f(x,y)增量或y增加时f(x,y) 偏微分：在d e t a x趋进于0时偏增量的线性主要部分d e t a z=f x（x,y）d e t a x+o(d e t a x) 右边等式第一项就是线性主要部分，就叫做在（x，y）点对x的偏微分这个等式也给出了求偏微分的方法，就是用求x的偏导数求偏微分
全增量：x,y都增加时f(x,y)的增量全微分：根号(detax方+detay方）趋于0时，全增量的线性主要部分同样也有求全微分公式，也建立了全微分和偏导数的关系d z=A d x+B d y其中A就是对x求偏导，B就是对y求偏导 希望楼主注意的是导数和微分是两个概念，他们之间的关系就是上面所说的公式。概念上先有导数，再有微分，然后有了导数和微分的关系公式，公式同时也指明了求微分的方法。 3.全导数全导数是在复合函数中的概念，和上面的概念不是一个系统，要分开。u=a(t),v=b(t) z=f[a(t),b(t)] dz/dt 就是全导数，这是复合函数求导中的一种情况，只有这时才有全导数的概念。 d z/d t=(偏z/偏u)(d u/d t)+(偏z/偏v)(d v/d t) 建议楼主在复合函数求导这里好好看看书，这里分为3种情况。1.中间变量一元就是上面的情况，才有全导数的概念。2.中间变量有多元，只能求偏导 3.中间变两有一元也有多元，还是求偏导。 对于你的题能求对x的偏导数，对y的偏导数，z的全微分，不能求全导数
第五章 导数与微分 (计划课时:1 2时) §1 导数的概念 ( 2 时) 一． 导数的背景与定义： 1． 背景：曲线的切线、直线运动的瞬时速度. 2. 导数的定义: )(0x f '定义的各种形式. )0(f '的定义. 导数的记法. 有限增量公式: .0 ),( )(0→? ?+?'=?x x x x f y 例1 ,)(2 x x f = 求). 1 (f ' 例2 设函数)(x f 在点0x 可导, 求极限 .) 3()(lim 000 h h x f x f h --→ 3. 单侧导数: 定义. 单侧可导与可导的关系. 曲线的尖点. 例3 . )(x x f = 考查)(x f 在点0=x 的可导情况. 例4 设?? ?<≥-=. 0, ,0, cos 1)(x x x x x f 讨论)(x f 在点0=x 处的左、右导数与导数. 二. 导数的几何意义: 可导的几何意义, 导数的几何意义, 单侧导数的几何意义. 例5 求曲线2 )(x x f y ==在点) 1 , 1 (处的切线与法线方程. 三. 可导与连续的关系: Th1 若函数f 在点0x （左、右）可导，则f 在点0x （左、右）连续. 例6 证明函数)()(2 x D x x f =仅在点00=x 处可导,其中)(x D 为Dirichlet 函数. 四 导函数: 函数在区间上的可导性, 导函数, 导函数的记法. .) ()(lim )(0x x f x x f x f x ?-?+='→? (注意:x sin 等具体函数的导函数不能记为,n si x ' 应记为.)(sin 'x ) 例7 求下列函数的导数：⑴ ,)(n x x f = ⑵x x f sin )(=， ⑶x x f a log )(=. 五 导函数的介值性:
导数和微分 问题 1.为什么用导数能研究函数的性态？ 答：应用导数之所以研究函数的性态是因为函数 () f x 在点 0 x 导数 00 0 0 0 0 ()() '()lim lim x x x f x f x y f x x x x ?? - D == D - 本身蕴含了函数 () f x 在点 0 x 最本质的属性.为了说明这个事实，我们首先从比数 0 0 ()() f x f x y x x x - D = D - 说起，比数 y x D D 对研究函数 () f x 在点 0 x 的性态有什么意义呢？ 我们知道，两个量a 与b 之比数 a k b = （或a kb = ）是一个抽象的数，称为率。 在数学中有很多的率。例如，圆周率，离心率，斜率，曲率等。在社会科学中， “率”就更多了，例如，增长率，出生率，利率等。率这个抽象的数k 给出了两 个量a 与b 之间的倍数关系，即a 与b 的k 倍，它能刻划事物内在的规律和属性。 例如，椭圆 22 22 1 x y a b += 的离心率 22 (01) a b e e a - = ￡< 描绘了椭圆的扁圆的程度：e 愈大，椭圆愈扁;e 愈小，椭 圆愈近似于圆。 由此可见， 椭圆的离心率e 对认识椭圆的几何性态是十分必要的。 这就是几何性质定量化，是“以数表性”的实例。同样，导数这个“率”也能够 以数表性（函数的性态），而应用的范围更为广泛。 设函数 () y f x = 在点 0 x 可导，任取一点 x ，有自变量的改变量 0 , x x x D =- 相应函数 () y f x = 的改变量 0 ()(). y f x f x D =- 两者的比数为 0 0 ()() '. f x f x y k x x x - D == D - 用分析的语言说， ' k 是函数 () y f x = 在 0 x 附近的平均变化率。用几何的语言说， ' k 是曲线 () y f x = 过点 00 (,()) x f x 与 (,()) x f x 的割线斜率。 当 x 很靠近 0 x 时 （或 x D 很小时），平均变化率 ' k 能够近似地描绘函数 () y f x = 在点 0 x 附近的性态。例如，
第二章 导数与微分 1. ()().1,102-'=f x x f 试按定义求设 2002 00(1)(1)10(1)10 '(1)lim lim 1020lim lim(1020)20x x x x f x f x f x x x x x x ?→?→?→?→-+?--?---==???-?==?-=-? 2. 下列各题中均假定()0x f '存在，按导数定义观察下列极限，指出此极限表示什么, 并将答案填在括号内。 ⑴ ()()=?-?-→?x x f x x f x 000lim （0'()f x -）； ⑵ ()=→?x x f x 0lim （'(0)f ）， 其中()()存在；且0,00f f '= ⑶ ()() =--+→h h x f h x f h 000lim （02'()f x ）. 3. 求下列函数的导数： ⑴ ='=y x y ,4则3 4x ⑵ ='=y x y ,32则132 3 x - ⑶ ='=y x y ,1 则32 12x -- ⑷ = '=y x x y ,53则115165x 4． 求曲线. 21,3 cos 程处的切线方程和法线方 上点?? ? ??=πx y 'sin ,'()3y x y π=-= 所以切线方程为1)223y x π- =-- 2(1)03 y +-+=
法线方程为1)23y x π- =- 化简得3)0x π+-= 5. 讨论函数?????=≠=0 00 1sin 2 x x x x y 在0=x 处的连续性和可导性. 20(0)0 1 lim sin 0(0)()x f x f x →===因为有界量乘以无穷小 所以函数在0x =处连续 因为 20001 sin (0)(0) 1lim lim lim sin 0x x x x f x f x x x x x ?→?→?→?+?-==?=??? 所以函数在0x =处可导. 6. 已知()()()()是否存在？ 又及求 0 ,0 0 , 0 2f f f x x x x x f '''???<-≥=-+ 2 ' 00(0)(0)(0)lim lim 0h h f h f h f h h + →+→++-=== '0 0(0)(0)(0)lim lim 1h h f h f h f h h -→-→++--===- ''(0)(0)f f +-≠ '(0)f ∴不存在 7. ()(). , 0 sin x f x x x x x f '?? ?≥<=求已知 当0x <时, '()(sin )'cos f x x x ==; 当0x >时, '()()'1f x x ==;
第二章 导数与微分 一、导数 1．导数的定义: 由“变速直线运动的瞬时速度”、“平面曲线的切线斜率”引出 设函数()x f y =在点0x 的某领域内有定义，自变量x 在0x 处有增量x ?，相应地函数增量()()00x f x x f y -?+=?。如果极限 ()()x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?0000lim lim 存在，则称此极限值为函数()x f 在0x 处的导数（也称微商），记作()0x f '，或0 x x y =' ， 0x x dx dy =，()0 x x dx x df =等，并称函数()x f y =在点0x 处可导。如果上面的极限不存在， 则称函数()x f y =在点0x 处不可导。 注：函数()x f 在0x 处的导数，就是导函数f ’(x)在点在0x 处的函数值，即()0x f '=f ’(x)|x=x0。 多数情况下用求导法则，有时用定义求导更方便。如题中函有f(x)，而不是具体的方程时。 2、单侧导数 右导数：()()()()() x x f x x f x x x f x f x f x x x ?-?+=--='++ →?→+000000lim lim 0 左导数：()()()()()x x f x x f x x x f x f x f x x x ?-?+=--='-- →?→-000000lim lim 0 则有 ()x f 在点0x 处可导()x f ?在点0x 处左、右导数皆存在且相等。 3、导数的几何意义 如果函数()x f y =在点0x 处导数()0x f '存在，则在几何上()0x f '表示曲线 ()x f y =在点()()00,x f x 处的切线的斜率，即：()0x f '=K=tan a 。 切线方程：()()()000x x x f x f y -'=- 法线方程：()() ()()()01 0000≠'-'- =-x f x x x f x f y 注：切线与法线垂直，切线的斜率与法线的斜率乘积为负1，即：K 切 * K 法 = -1。 设物体作直线运动时路程S 与时间t 的函数关系为()t f S =，如果()0t f '存在，则
导数与微分的关系 宁小青 我们知道一个函数在某点可导和可微是等价的，大部分高等数学、经济数学和数学分析课本中都是先引进导数的概念，再引进微分的概念，到底导数和微分这两个概念，哪个概念产生在前、哪个概念产生在后呢？ 一、微分概念的导出背景 当一个函数的自变量有微小的改娈时，它的因变量一般说来也会有一个相应的改变。微分的原始思想在于去寻找一种方法，当因变量的改变也是很微小的时候，能够简便而又比较精确地估计出这个改变量。 我们来看一个简单的例子： 维持物体围绕地球作永不着地（理论上）的飞行所需要的最低速度称为第一宇宙速度。在中学里，利用计算向凡加速度的办法已经求出这种速度约为7.9千米/秒，现在我们改用另一种思路去推导它。 设卫星当前时刻在地球表面附近的A点沿着水平方向飞行，假如没有外力影响的话，那么它在一秒种后本应到达B点，但事实上它要受到地球的引力，因而实际到达的并非是B 点，而是C点，BC=4.9米是自由落体在重力加速度的作用下，第一秒中所走过的距离。 容易看出，若C点与地心O的距离与A事点到O的距离是相等的，那么由运动的独立性原理，就可以推断出卫星在沿地球的一个同心圆轨道运行，也就是作环绕地球的飞行了。因此，卫星应具有最小每秒飞行速度恰好在线段AB的长度。△OAB是直角三角形，OA和OC可近似的取为地球的平均半径6371千米，也就是6371000米，于是由勾股定理 显然就这样按上式去计算是不可取的——这将导致两个量级的数在直接相减，工作量大不说，在字长较短的计算机上，还可能产生较大的误差。 利用乘法公式 可将上式改为 由于，因此这一项与这一项想比可以忽略不计，于是可以把计算简化为 由此计算出千米。 这就是说，卫星的速度至少要达到每秒7.9千米才能维持其围绕地球的飞行，此即所要求的第一宇宙速度。 上面所计算的，实际上就是函数在处，自变量出现了一个微小的改变量之后，函数值的相应改变量4.9。然而在计算过程中，我们并没有完全精确地去算
2020年数学分析教案华东师大版第五章导数和微分精编版
第五章导数和微分 教学目的： 1.使学生准确掌握导数与微分的概念。明确其物理、几何意义，能从定义出发求一些简单函数的导数与微分； 2.弄清函数可导与可微之间的一致性及其相互联系，熟悉导数与微分的运算性质和微分法则，牢记基本初等函数的导数公式，并熟练地进行初等函数的微分运算； 3.能利用导数与微分的意义解决某些实际问题的计算。 教学重点、难点：本章重点是导数与微分的概念及其计算；难点是求复合函数的导数。 教学时数：16学时 § 1 导数的概念（4学时） 教学目的：使学生准备掌握导数的概念。明确其物理、几何意义，能从定义出发求一些简单函数的导数与微分，能利用导数的意义解决某些实际应用的计算问题。 教学要求：深刻理解导数的概念，能准确表达其定义；明确其实际背景并给出物理、几何解释；能够从定义出发求某些函数的导数；知道导数与导函数
的相互联系和区别；明确导数与单侧导数、可导与连续的关系；能利用导数概念解决一些涉及函数变化率的实际应用为体；会求曲线上一点处的切线方程。 教学重点：导数的概念。 教学难点：导数的概念。 教学方法：“系统讲授”结合“问题教学”。 一、问题提出：导数的背景. 背景：曲线的切线；运动的瞬时速度. 二、讲授新课： 1.导数的定义: 定义的各种形式. 的定义. 导数的记法. 有限增量公式: 例1 求 例2 设函数在点可导, 求极限 2.单侧导数: 定义. 单侧可导与可导的关系. 曲线的尖点. 例3考查在点的可导情况. 3.导数的几何意义: 可导的几何意义, 导数的几何意义, 单侧导数的几何意义.
第五章 导数与微分 §1 导数的概念 【教学目的】深刻理解导数的概念，能准确表达其定义；明确其实际背景并给出物理、几何解释；能够从定 义出发求某些函数的导数；知道导数与导函数的相互联系和区别；明确导数与单侧导数、可导与连续的关系；能利用导数概念解决一些涉及函数变化率的实际应用问题；会求曲线上一点处的切线方程；清楚函数极值的概念，并会判断简单函数的极值。 【教学重点】导数的概念，几何意义及可导与连续的关系。 【教学难点】导数的概念。 一、导数的定义 1．引入（背景） 导数的概念和其它的数学概念一样是源于人类的实践。导数的思想最初是由法国数学家费马（Fermat ）为研究极值问题而引入的，后来英国数学家牛顿（Newton ）在研究物理问题变速运动物体的瞬时速度，德国数学家莱布尼兹（Leibuiz ）在研究几何问题曲线切线的斜率问题中，都采用了相同的研究思想。这个思想归结到数学上来，就是我们将要学习的导数。 在引入导数的定义前，先看两个与导数概念有关的实际问题。 问题1直线运动质点的瞬时速度：设一质点作直线变速运动，其运动规律为)(t s s =，若0t 为某一确定时 刻，求质点在此时刻时的瞬时速度。 取临近于0t 时刻的某一时刻t ，则质点在[]t t ,0或[]0,t t 时间段的平均速度为：00) ()(t t t s t s v --= ， 当t 越接近于0t ，平均速度就越接近于0t 时刻的瞬时速度，于是瞬时速度：0 0) ()(lim t t t s t s v t t --=→。 问题2 曲线上一点处切线的斜率：已知曲线方程为)(x f y =，求此曲线在点),(00y x P 处的切线。 在曲线上取临近于P 点的某点),(y x Q ，则割线PQ 的斜率为：0 0) ()(tan x x x f x f k --= =α， 当Q 越接近于P ，割线PQ 斜率就越接近于曲线在点P 处的斜率，于是曲线在点P 处的斜率： 0 0) ()(lim x x x f x f k x x --=→. 2．导数的定义 以上两个问题的实际意义虽然不同，但从数学角度来看，都是特殊形式的函数的极限。 定义1 设函数)(x f y =在0x 的某邻域内有定义，若极限0 0()(lim x x x f x f x x --→） 存在，则称函数f 在点0x 处可导，并称该极限为f 在点0x 处的导数，记作)('0x f 或 .0 x x dx dy =
第二章 导数与微分 第一节 导数概念 1.x x x y = ，求y ' 2．求函数y =2tan x +sec x -1的导数y ' 3. x x y 1010 +=，求y ' 4. 求曲线y =cos x 上点)2 1 ,3(π处的切线方程和法线方程式. 5.3ln ln +=x e y ，求y ' 6.已知? ??<-≥=0 0 )(2x x x x x f 求f +'(0)及f -'(0), 又f '(0)是否存在？ 7.设????? =≠=0 ,00 ,1sin )(x x x x x f ，用定义证明)(x f 在点0=x 处连续，但不可导。
8. 证明: 双曲线xy =a 2上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于2a 2 . 9.讨论函数y =|sin x |在x =0处的连续性与可导性: 10.设函数? ??>+≤=1 1 )(2x b ax x x x f ，为了使函数f (x )在x =1处连续且可导, a , b 应取什么值？ 第二节 函数的求导法则 1.设()22arcsin x y =，求y ' 2．求函数y =sin x ?cos x 的导数y ' 3．求函数y =x 2ln x 的导数y '
4．求函数x x y ln =的导数y ' 5．求函数3ln 2+=x e y x 的导数y ' 6. )(cos )(sin 2 2x f x f y +=，求y ' 7. n b ax f y )]([+=，求y ' 8. ) ()(x f x e e f y =，求y ' 9. x x x y arcsin 12 +-=，求y ' 10．求函数y =x 2ln x cos x 的导数y ' 第三节 高阶导数 1. x x x y ln 1 arctan +=，求y ''
第五章 定积分 内容：定积分的概念和性质、微积分基本公式、换元积分法、分部积分法、广义积分。 要求：理解定积分的概念和性质。掌握牛顿－莱布尼兹公式、定积分的换元法和分部积分法，理解变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理，理解广义积分的概念和计算方法。 重点：定积分的概念和性质；微积分基本公式；换元积分法、分部积分法。 难点：定积分的概念；变上限积分函数及其导数；换元积分法、分部积分法。 §1.定积分的概念 一、实例分析 1．曲边梯形的面积 设函数)(x f y =∈C[a , b ], 且)(x f y =>0. 由曲线0,,),(====y b x a x x f y 围成的图形称为曲边梯形. 如何定义曲边梯形的面积 (1) 矩形面积=底?高. (2) 预备一张细长条的纸, 其面积≈底?高. (3) 预备一张呈曲边梯形状的纸, 将其撕成许多细长条. (4) 启示: 将曲边梯形分割为许多细长条, 分割得越细, 误差越小. 第i 个细长条面积)],,[()(11---=?∈??≈?i i i i i i i i i x x x x x x f S ξξ 曲边梯形面积: ∑=?≈ n i i i x f S 1 )(ξ 定积分概念示意图.ppt 定义: ),,2,1,max{()(lim 1 n i x x f S i n i i i =?=?=∑=→λξλ
抛开上述过程的几何意义，将其数学过程定义为定积分. 二、定积分的定义 1. 定义 设)(x f y =在[a , b ]有定义, 且有界. (1) 分割: 用分点b x x x a n =<<<= 10把[a , b ]分割成n 个小区间: } ,,2,1,max{,,,2,1],,[11n i x x x x n i x x i i i i i i =?=-=?=--λ记 (2) 取点: 在每个小区间],[1i i x x -上任取一点ξi , 做乘积: i i x f ?)(ξ. (3) 求和: ∑=?n i i i x f 1 )(ξ (4) 取极限: ∑=→?n i i i x f 1 )(lim ξλ 若极限存在, 则其为)(x f 在[a , b ]上的定积分, 记作: ? b a dx x f )(. 即: ∑? =→?=n i i i b a x f dx x f 1 )(lim )(ξλ [a , b ]: 积分区间；a ：积分下限；b ：积分上限； ∑=?n i i i x f 1 )(ξ积分和式. 问题: 定积分是极限值, 在求极限的过程中, 谁是常量, 谁是变量? 注: (1) ∑ =?n i i i x f 1 )(ξ与区间的分割法?x i 和取点法ξi 有关; 而?b a dx x f )(与?x i 和ξi 无关. (2) ? b a dx x f )(与a 、b 、f 有关，与x 无关，即： [][]???? ===b a b a b a b a d f du u f dt t f dx x f )()()()( 2．定积分存在定理 定理 若)(x f 在[a , b ]上有界且只有有限个间断点，则)(x f 在[a , b ]上可积. 推论 若)(x f 在[a , b ]上连续，则)(x f 在[a , b ]上可积. 例1. 求 ?1 xdx 解: x x f =)(在[0, 1]连续, 积分存在. ∑?=→?=n i i i x xdx 1 1 lim ξλ 与[0, 1]的分割法和ξi 的
arccos求导 1基础总结 1、极限的实质是：动而不达 导数的实质是：一个有规律商的极限。规律就是： 2、导数的多种变式定义： 要注意细心观察发现，是描述趋近任意x时的斜率。而可以刻画趋近具体x0时的斜率。 3、 若x没趋近到x0，那么除法得到的值是这段的平均斜率，如果趋近到了x0,得到的就是这点的斜率----导数。 4、可导与连续的关系： 导数的实质是定义在某点的左右极限。既然定义在了某点上，该点自然存在，而且还得等于左右极限。因此，可导一定是连续的。反之，如果连续，不一定可导。不多说。同理，如果不连续，肯定某点要么无定义，要么定义点跳跃跑了，肯定极限有可能存在，但是导数绝不会存在。 同理要注意左右导数的问题。如果存在左或者右导数，那么在左侧该点一定是存在的。如： 这个函数，在0点就不存在左导数，只存在右导数。为什么嫩？看定义： 。定义里面需要用到f(0)啊！因此，千万不要以为导数是一种简单的极限，极限是可以在某点无定义的，而导数却是该点必须存在！ 由此引发了一些容易误判的血案： 例如： 定义解决时候一定要注意中的到底是神马。比如求上图中,这个f(x0)千万要等于2/3，而不是1！ 由此也可以知道，这个函数是不存在导数的，也不存在左导数，只存在右导数。
5、反函数的导数与原函数的关系： 有这样一条有趣的关系：函数的导数=对应的反函数的导数的倒数。 注意，求反函数时候不要换元。因为换了元虽然对自身来讲函数形式不变，但是与原函数融合运算时候就算是换了一个不是自己反函数的一个函数进行运算。结果显然是错误的。举例子： 求的导数。显然反函数（不要换元）是。反函数的导数是。反函数导数的倒数是，因此， 再如，求的导数。 解：令函数为，则其反函数为，导数的倒数为。但是必须消去。因此变形得 (注意到在定义域内cosy恒为正，因此舍掉负解) 6、复合函数求导法则： 只要父函数和子函数随时能有定义，就拆着求就可以了。 7、高阶导数： 如果f(x)在点x处具有n阶导数，那么f(x)在点x的某一邻域内必定具有一切低于n阶的导数。 ; ;其余的也记不住，自己慢慢推导。 ; 二项式定理中有：；类似的，乘法的n阶导数也有： 。这个是要熟练记忆的。 8、隐函数，参数方程的导数，相关变化率 建议隐函数，参数方程的导数，以及求导数的相关变化率时使用形式求解。只有这样才能准确，安全，方便。 举例：求（隐函数f(x,y)=0）中y对x的导数 解：两边求导，，解完以后发现效果还不错。如果直接用什么y’神马的净是错误，所以不要直接用口算，用dy/dx方法求解。
学科：数学 教学内容：导数与微分单元达纲检测 【知识结构】 【内容提要】 1．本章主要内容是导数与微分的概念，求导数与求微分的方法，以及导数的应用． 2．导数的概念． 函数y=f(x)的导数f ′(x)，就是当△x →0时，函数的增量△y 与自变量△x 的比x y ??的极限，即 x x f x x f x y x f x x ?-?+=??=→?→?) ()(lim lim )('00 函数y=f(x)在点0x 处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点))(,(00x f x P 处的切线的斜率． 3．函数的微分
函数y=f(x)的微分，即dy=f ′(x)dx ． 微分和导数的关系：微分是由导数来定义的，导数也可用函数的微分与自变量的微分的商来表示，即dx dy x f = )('． 函数值的增量△y 也可以用y 的微分近似表示，即△y ≈dy 或△y ≈f ′(x)dx 。 4．求导数的方法 (1)常用的导数公式 c ′=0(c 为常数)； )()'(1 Q m mx x m m ∈=-； (sinx)′=cosx ； (cosx)′=－sinx ； x x e e =)'(， a a a x x ln )'(=； x x 1)'(ln = ， e x a x a log 1)'(log =。 (2)两个函数四则运算的导数： (u ±v)′=u ′±v ′； (uv)′=u ′v+uv ′ )0(' ''2 ≠-= ?? ? ??v v uv v u v u 。 (3)复合函数的导数 设y=f(u)，)(x u ?=， 则)(')(''''x u f u y y x u x ??=?=． 5．导数的应用
第二章导数与微分 数学中研究导数、微分及其应用的部分称为微分学，研究不定积分、定积分及其应用的部分称为积分学.微分学与积分学统称为微积分学. 微积分学是高等数学最基本、最重要的组成部分，是现代数学许多分支的基础，是人类认识客观世界、探索宇宙奥秘乃至人类自身的典型数学模型之一. 恩格斯（1820-1895）曾指出：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了”.微积分的发展历史曲折跌宕，撼人心灵，是培养人们正确世界观、科学方法论和对人们进行文化熏陶的极好素材（本部分内容详见光盘）. 积分的雏形可追溯到古希腊和我国魏晋时期，但微分概念直至16世纪才应运萌生.本章及下一章将介绍一元函数微分学及其应用的内容. 第一节导数概念 从15世纪初文艺复兴时期起，欧洲的工业、农业、航海事业与商贾贸易得到大规模的发展，形成了一个新的经济时代.而十六世纪的欧洲，正处在资本主义萌芽时期，生产力得到了很大的发展.生产实践的发展对自然科学提出了新的课题，迫切要求力学、天文学等基础科学的发展，而这些学科都是深刻依赖于数学的，因而也推动了数学的发展.在各类学科对数学提出的种种要求中，下列三类问题导致了微分学的产生： (1)求变速运动的瞬时速度； (2)求曲线上一点处的切线； (3)求最大值和最小值. 这三类实际问题的现实原型在数学上都可归结为函数相对于自变量变化而变化的快慢程度，即所谓函数的变化率问题.牛顿从第一个问题出发，莱布尼茨从第二个问题出发，分别给出了导数的概念. 内容分布图示 ★引言★变速直线运动的瞬时速度 ★平面曲线的切线★导数的定义★几点说明 ★利用定义求导数与求极限（例1、例2）★例3 ★例4★例5★例6★例7 ★左右导数★例8★例9 ★导数的几何意义★例10★例11 ★导数的物理意义★可导与连续的关系 ★例12★例13★例14★例15 ★内容小结★课堂练习 ★习题2-1★返回 内容要点： 一、引例：引例1:变速直线运动的瞬时速度；引例2:平面曲线的切线 二、导数的定义： x x f x x f x y x f x x ?-?+=??='→?→?)()(lim lim )(00000注：导数概念是函数变化率这一概念的精确描述，它撇开了自变量和因变量所代表的几何或物理等方面的特殊意义，纯粹从数量方面来刻画函数变化率的本质:函数增量与自变量增量的比值x y ??是函数y 在以0x 和x x ?+0为端点的区间上的平均变化率，而导数0|x x y ='则是函数y 在点0x 处的变化率，它反映了函数随自变量变化而变化的快慢程度. 根据导数的定义求导，一般包含以下三个步骤： 1．求函数的增量：); ()(x f x x f y -?+=?
