数值分析
一、单项选择题（共20分,每小题2分）
1-1、已知10010=，12111=，14412=，则Lagranage 二次插值多项式为（ ）
A.
2(121)(144)(100)(144)(100)(121)
()10
1112
(100121)(100144)(121100)(121144)(144121)(144100)
x x x x x x L x ------=++------
B ．2(121)(144)(100)(144)(100)(121)
()111012(100121)(100144)(121100)(121144)(144121)(144100)
x x x x x x L x ------=++------
C ．2(121)(144)(100)(144)(100)(121)
()121110(100121)(100144)(121100)(121144)(144121)(144100)x x x x x x L x ------=++------
D ．2(121)(144)(100)(144)(100)(121)
()10
1211(100121)(100144)(121100)(121144)(144121)(144100)
x x x x x x L x ------=++------
1-2已知10010=，12111=，14412=，用Lagranage 二次插值多项式计算115的值为（ ）精确到小数点后4位。 A.9.7227 B ．11.7227 C ．10.7227 D ．13.7227
1-3、已知(1 2 3 4)T X =，则向量X 的21, , X
x x ∞
的值分别是：
（ ） A. 4,30,10 B. -9，212,7 C. 4,5,6
D. 9,4,7
1-4、设 2121A --??
= ?
??，则21,, , F A A A x ∞的值分别为（ ）
A. 10,3,10,4
B. -9，2,21,7
C.
10，4,5,6
D. 9,4,7，10
1-5、设节点00 (=0,1,2,...,n), (0),k x x kh k x x th t =+=+>则Newton 向前插值公式为（ ）
得 分 评分人
A. 100010()()!k k n
n k j f N x th f t j k -==?+=+-∑∏ B. 1
10
()()!k k n
n n n n k j f N x th f t j k -==?+=+-∑∏ C. 100010()()!k k n
n k j f N x th f t j k -==?+=+-∑∏ D. 1
10
()()!k k n
n n n n k j f N x th f t j k -==?+=+-∑∏
1-6、方程组?????
??=+++=+++=+++=+++47
4018156221896223
156949
62424321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 进行直接三角分解法得到的L 矩阵为（ ）
A. 1
211213321
B.
1
6
13
216241 C.
1
6
33
220
2102 D.1214716551
1-7、对方程组的系数矩阵1234123123
4
13
4626
2414535x x x x x x x x x x x x x x ++-=??++=-?++-=?--+=-?进行Crout 分解法得到的U 矩阵为（ ）
A.
1111
363111261131-- B. 111
136311156
9171-
-
C.
1111
36611151091371
-- D. 1111663112236
1112
1-
-
1-8、1、已知642
()1f x x x x =+-+，2, 2 (0,1,2,...)k x kh h k =+==，则
[2,6,10,14,18,22,26,30]f =（ ）
A ．5！
B ．4！
C ．0
D ．1
1-9、1、已知64()f x x x =+，2, 2 (0,1,2,...)k x kh h k =+==，则[2,4,6,8,10,12,14]f =
（ ）
A ．5！
B ．4！
C ．0
D ．1
1-10、复合Cotes 求积公式, 复合梯形求积公式和复合Simpson 求积公式的收敛阶分别为（ ） A ．5，1，3 B ．4，2 ，6 C ．6，2，4 D ．以上都不对
1-11、对线性方程组1231231232211
221
x x x x x x x x x +-=??++=?++=??，若用Jocabi 迭代法和G-S 迭代法求解，则（ ）
A.Jocabi 迭代法收敛和G-S 迭代法发散
B. Jocabi 迭代法和G-S 迭代法均发散
C. Jocabi 迭代法和G-S 迭代法均收敛
D. Jocabi 迭代法发散和G-S 迭代法收敛
1-12、对线性方程组1231213918 2
93
x x x x x x x --=??-+=?-+=??，若用Jocabi 迭代法和G-S 迭代法求解（ ）
，则 B.Jocabi 迭代法收敛和G-S 迭代法发散 A. Jocabi 迭代法和G-S 迭代法均发散
C. Jocabi 迭代法和G-S 迭代法均收敛
D. Jocabi 迭代法发散和G-S 迭代法收敛
1-13、设线性方程组为1231213918 2
93
x x x x x x x --=??-+=?-+=??，则Jocabi 迭代格式和G-S 迭代格式分别为（ ）
，则
(Ⅰ) 2311(1)()()1(1)()2(1)
()3117
99917881899k k k k k k k x x x x x x x +++?=++???=+
???=+??
(Ⅱ) 2311(1)()()1(1)(1)2(1)
(1)3117
99917881899k k k k k k k x x x x x x x +++++?=++???=+
???=+??
A.(Ⅰ)和(Ⅱ)
B. (Ⅱ)和(Ⅰ)
C.(Ⅰ)和(Ⅰ)
D. (Ⅱ)和(Ⅱ)
1-14、已知*x 是()f x 的 (2)m m ≥重根，则求重根的修正Newton 公式为（ ）
1(). ()k k k k f x A x x m
f x +=-' 10()
. ()k k k f x B x x m
f x +=-'
111(). ()()()
k k k k k k k f x C x x x x f x f x +--=-
-- 111()()
. ()
()k k k k
k k k f x f x D x x f x x x -+--=--
1-15、若记(),()k k k k y f x z f y ==，则对迭代格式1()k k x f x -=使用Aitken 加速后得到的新迭代迭代格式为（ ）
2
1(()). (())2()k k k k k k k f x x A x x f f x f x x +-=-
-+
2
1(()). ()(())2()k k k k k k k f x x B x f x f f x f x x +-=-
-+
21(). 2k k k k k k k z y C x z z y x +-=--+ 2
1((())()). (())(())2()k k k k k k k f f x f x D x f f x f f x f x x +-=-
-+
1-16、将积分区间[a,b]n 等分，分点为kh a x k +=，k=0,1,2,3,4....n,其中n
a
b h -=，则复合梯形公式为( )
A. ])()(4)([211∑-=++n k k b f x f a f h
B.])()(2)([21
1
∑-=++n k k b f x f a f h
C.)]()(4)(2)([61
02
111b f x f x f a f h
n k k n k k +++∑∑-=+-=
D.)]()(4)(2)([61
12
110b f x f x f a f h
n k k n k k +++∑∑-=+-=
二、填空题（共20分,每空2分）
2-1、根据数值方法的稳定性与算法设计原则在连加运算中要防止 ，在减法运算中要避免 ，在除法运算中要避免，在乘法运算中要避免 。
2-2、有矩阵
111231112341113
45
A =
那么，2()cond A = 2-3、有矩阵
120121011A ?? ?=-- ? ???
.
那么， ()A ρ== ，2A =
2-4 设准确值 3.78695x =，**123.7869, 3.7870,x x ==则**
12
,x x 分别有 和 有效数字。
2-5、Simpson 求积公式的代数精度为 。 2-6、已知
[][]012123,,10,,,10,0.1,,
i f x x x f x x x h x a ih ====+计算
[]1203,,,f x x x x =
。
三、计算题）
19、用Crout 分解法求解方程组1234123123
4
13
4626
2414535x x x x x x x x x x x x x x ++-=??++=-?++-=?--+=-?（10分）
20、用Gauss 列主元素消去法求解方程组123412341234
1234221
25323223515
3
259
x x x x x x x x x x x x x x x x ++-=??++-=?+=?++=?－－－＋＋ （10分）
（要求写出求解过程）
18、 试利用复合梯形求积公式（n=8）和复合Simpson 求积公式（n=4)求积分1
0sin x I dx
x =? 的值（10分）。
22、教科书P77-83例1&例2&例3
要求写出差分表&Newton 插值多项式及余项 23、习题3-24（1）P119-120.
24、习题6-14（1）&（2）P260.
25、用三阶R-K 法计算初值问题
{
2
,x [0,0.5](0)1
y y y '=∈=
的部分解123,,y y y ，其中0.1h =
教科书P178
25、用四阶R-K 法计算(1.3),(1.5),y y 其中0.1h =
{
23
y (1)1
y x x y '=+=
四、算法设计（共10分,每小题10分）
24、⑴编程实现四阶R-K 方法求一阶常微分方程初值问题
{
(,) ,x [a,b] ()y f x y y a y '=∈=
的数值解（C 、类C 、MATLAB 等）；
⑵调用⑴设计的程序计算如下初值问题：
21(-y+x +4x-1) ,x [0,0.5] 2(0)0y y ??'=∈?=??
的解()y x 在 (0.05)x ih h ==的近似值i y 。
得 分 评分人
数值分析模拟试卷1 一、填空（共30分，每空3分） 1 设??? ? ??-=1511A ，则A 的谱半径=)(a ρ______，A 的条件数)(1A cond =________. 2 设 ,2,1,0,,53)(2==+=k kh x x x f k ，则],,[21++n n n x x x f ＝________, ],,[321+++n n n n x x x x f ，＝________. 3 设?????≤≤-++≤≤+=2 1,121 0,)(2 323x cx bx x x x x x S ，是以0，1，2为节点的三次样条函数，则b=________,c=________. 4 设∞=0)]([k k x q 是区间［0，1］上权函数为x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x q ，则 ?=1 )(dx x xq k ________，=)(2 x q ________. 5 设???? ??????=11001a a a a A ，当∈a ________时，必有分解式，其中L 为下三角阵，当 其对角线元素)3,2,1(=i L ii 满足条件________时，这种分解是唯一的. 二、（14分）设4 9,1,41,)(2102 3 === =x x x x x f , （1）试求)(x f 在]4 9,41[上的三次Hermite 插值多项式)(x H 使满足 2,1,0),()(==i x f x H i i ，)()(11x f x H '='. （2）写出余项)()()(x H x f x R -=的表达式. 三、（14分）设有解方程0cos 2312=+-x x 的迭代公式为n n x x cos 3 2 41+ =+， （1） 证明R x ∈?0均有? ∞ →=x x n x lim （? x 为方程的根）； （2） 取40=x ，用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过，列出各次迭代值； （3）此迭代的收敛阶是多少？证明你的结论. 四、(16分) 试确定常数A ，B ，C 和，使得数值积分公式 有尽可能高的代数精度. 试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss 型的？
准备工作 ?算法设计 矩阵特征值的求法有幂法、Jacobi法、QR法等，其中幂法可求得矩阵按模最大的特征值（反幂法可求得按模最小特征值），Jacobi法则可以求得对称阵的所有特征值。 分析一：由题目中所给条件λ1≤λ2≤…≤λn，可得出λ1、λn按模并不一定严格小于或大于其他特征值，且即使按模严格小于或大于其他特征值，也极有可能出现|λs|<λ1|<|λn |或|λs|<λn|<|λ1 |的情况，导致按幂法和反幂法无法求解λ1或λn二者中的一者； 分析二：题目要求求解与数μk =λ1+k(λn-λ1)/40最接近的特征值λik(k=1,2,3…39)，这个问题其实可以转换为求A-μk 按模最小的特征值的问题，但因为在第一个问题中无法确定能肯定的求得λ1和λn，所以第二个问题暂先搁浅； 分析三：cond(A) 2 = ||A|| * ||A-1|| =|λ|max * |λ|min,这可以用幂法和反幂法求得，det(A) =λ1 *λ2 * … *λn，这需要求得矩阵A的所有特征值。 由以上分析可知，用幂法和反幂法无法完成所有问题的求解，而用Jacobi法求得矩阵所有特征值后可以求解题目中所给的各个问题。所以该题可以用Jacobi法求解。 ?模块设计 由 ?数据结构设计 由于矩阵是对称阵，上下带宽均为2，所以可以考虑用二维数组压缩存储矩阵上半带或下半带。但由于Jacobi法在迭代过程中会破坏矩阵的形态，所以原来为零的元素可能会变为非零，这就导致原来的二维数组无法存储迭代后的矩阵。基于此的考虑，决定采用一维数组存储整个下三角阵，以此保证迭代的正确进行。 完整代码如下（编译环境windows10 + visual studio2010）：
数值分析第三次大作业 一、算法的设计方案： （一）、总体方案设计： x y当作已知量代入题目给定的非线性方程组，求（1）解非线性方程组。将给定的(,) i i
得与(,)i i x y 相对应的数组t[i][j],u[i][j]。 （2）分片二次代数插值。通过分片二次代数插值运算，得到与数组t[11][21],u[11][21]]对应的数组z[11][21]，得到二元函数z=(,)i i f x y 。 （3）曲面拟合。利用x[i],y[j],z[11][21]建立二维函数表，再根据精度的要求选择适当k 值，并得到曲面拟合的系数矩阵C[r][s]。 （4）观察和(,)i i p x y 的逼近效果。观察逼近效果只需要重复上面（1）和（2）的过程，得到与新的插值节点(,)i i x y 对应的(,)i i f x y ，再与对应的(,)i i p x y 比较即可，这里求解 (,)i i p x y 可以直接使用（3）中的C[r][s]和k 。 （二）具体算法设计： （1）解非线性方程组 牛顿法解方程组()0F x =的解* x ，可采用如下算法： 1）在* x 附近选取(0) x D ∈，给定精度水平0ε>和最大迭代次数M 。 2）对于0,1, k M =执行 ① 计算() ()k F x 和()()k F x '。 ② 求解关于() k x ?的线性方程组 () ()()()()k k k F x x F x '?=- ③ 若() () k k x x ε∞∞ ?≤，则取*()k x x ≈，并停止计算；否则转④。 ④ 计算(1) ()()k k k x x x +=+?。 ⑤ 若k M <，则继续，否则，输出M 次迭代不成功的信息，并停止计算。 （2）分片双二次插值 给定已知数表以及需要插值的节点，进行分片二次插值的算法： 设已知数表中的点为： 00(0,1,,) (0,1,,)i j x x ih i n y y j j m τ=+=???=+=?? ，需要插值的节点为(,)x y 。 1) 根据(,)x y 选择插值节点(,)i j x y ： 若12h x x ≤+ 或12 n h x x ->-，插值节点对应取1i =或1i n =-，
目标：使用带双步位移的QR 分解法求矩阵10*10[]ij A a =的全部特征值，并对其中的每一个实特征值求相应的特征向量。已知：sin(0.50.2)() 1.5cos( 1.2)(){i j i j ij i j i j a +≠+== (i,j=1,2, (10) 算法： 以上是程序运作的逻辑，其中具体的函数的算法，大部分都是数值分析课本上的逻辑，在这里特别写出矩阵A 的实特征值对应的一个特征向量的求法： ()[]()() []()[]()111111I 00000 i n n n B A I gause i n Q A I u Bu u λλ-?-?-=-?-?? ?-=????→=??????→= ?? ? 选主元的消元 检查知无重特征值 由于=0i A I λ- ，因此在经过选主元的高斯消元以后，i A I λ- 即B 的最后一行必然为零，左上方变 为n-1阶单位矩阵[]()()11I n n -?-，右上方变为n-1阶向量[]()11n Q ?-，然后令n u 1=-，则 ()1,2,,1j j u Q j n ==???-。
这样即求出所有A所有实特征值对应的一个特征向量。 #include 数值分析第二次大作业 史立峰 SY1505327 一、 方案 （1）利用循环结构将sin(0.50.2)() 1.5cos( 1.2)() {i j i j ij i j i j a +≠+==(i,j=1,2,……,10)进行赋值，得到需要变换的 矩阵A ； （2）然后，对矩阵A 利用Householder 矩阵进行相似变换，把A 化为上三角矩阵A (n-1)。 对A 拟上三角化，得到拟上三角矩阵A (n-1)，具体算法如下： 记A(1)=A ，并记A(r)的第r 列至第n 列的元素为()n r r j n i a r ij ,,1,;,,2,1) ( +==。 对于2,,2,1-=n r 执行 1. 若 ()n r r i a r ir ,,3,2) ( ++=全为零，则令A(r+1) =A(r),转5；否则转2。 2. 计算 () ∑+== n r i r ir r a d 1 2 )( ()( )r r r r r r r r r r d c a d a c ==-=++则取,0sgn ) (,1)(,1若 )(,12r r r r r r a c c h +-= 3. 令 () n T r nr r r r r r r r r R a a c a u ∈-=++) ()(,2)(,1,,,,0,,0 。 4. 计算 r r T r r h u A p /)(= r r r r h u A q /)(= r r T r r h u p t /= r r r r u t q -=ω T r r T r r r r p u u A A --=+ω)()1( 5. 继续。 （3）使用带双步位移的QR 方法计算矩阵A (n-1)的全部特征值，也是A 的全部特征值，具体算法如下： 1. 给定精度水平0>ε和迭代最大次数L 。 2. 记n n ij n a A A ?-==][) 1()1()1(，令n m k ==,1。 北京航空航天大学 数值分析大作业八 学院名称自动化 专业方向控制工程 学号 学生姓名许阳 教师孙玉泉 日期2014 年11月26 日 一．题目 关于x , y , t , u , v , w 的方程组(A.3) ???? ?? ?=-+++=-+++=-+++=-+++79 .0sin 5.074.3cos 5.007.1cos sin 5.067.2cos 5.0y w v u t x w v u t y w v u t x w v u t (A.3) 以及关于z , t , u 的二维数表（见表A-1）确定了一个二元函数z =f (x , y )。 表A-1 二维数表 t z u 0 0.4 0.8 1.2 1.6 2 0 -0.5 -0.34 0.14 0.94 2.06 3.5 0.2 -0.42 -0.5 -0.26 0.3 1.18 2.38 0.4 -0.18 -0.5 -0.5 -0.18 0.46 1.42 0.6 0.22 -0.34 -0.58 -0.5 -0.1 0.62 0.8 0.78 -0.02 -0.5 -0.66 -0.5 -0.02 1.0 1.5 0.46 -0.26 -0.66 -0.74 -0.5 1. 试用数值方法求出f (x , y ) 在区域}5.15.0,8.00|), {≤≤≤≤=y x y x D （上的近似表达式 ∑∑===k i k j s r rs y x c y x p 00 ),( 要求p (x , y )以最小的k 值达到以下的精度 ∑∑==-≤-=10020 7210)],(),([i j i i i i y x p y x f σ 其中j y i x i i 05.05.0,08.0+==。 2. 计算),(),,(* ***j i j i y x p y x f (i =1,2,…,8 ; j =1,2,…,5) 的值，以观察p (x , y ) 逼 近f (x , y )的效果，其中j y i x j i 2.05.0,1.0**+==。 航空航天大学 《数值分析》计算实习报告 第一大题 学院：自动化科学与电气工程学院 专业：控制科学与工程 学生姓名： 学号： 教师： 电话： 完成日期： 2015年11月6日 航空航天大学 Beijing University of Aeronautics and Astronautics 实习题目： 第一题 设有501501?的实对称矩阵A ， ??? ???? ?????????=5011A a b c b c c b c b a 其中，064.0,16.0),501,,2,1(64.0)2.0sin()024.064.1(1 .0-==???=--=c b i e i i a i i 。矩阵A 的特征值为)501,,2,1(???=i i λ，并且有 ||min ||,501 150121i i s λλλλλ≤≤=≤???≤≤ 1.求1λ，501λ和s λ的值。 2.求A 的与数40 1 5011λλλμ-+=k k 最接近的特征值)39,,2,1(???=k k i λ。 3.求A 的(谱数)条件数2)A (cond 和行列式detA 。 说明： 1.在所用的算法中，凡是要给出精度水平ε的，都取12-10=ε。 2.选择算法时，应使矩阵A 的所有零元素都不储存。 3.打印以下容： （1）全部源程序； （2）特征值），，39,...,2,1(,s 5011=k k i λλλλ以及A det ,)A (cond 2的值。 4.采用e 型输出实型数，并且至少显示12位有效数字。 一、算法设计方案 1、求1λ，501λ和s λ的值。 由于||min ||,501 150121i i s λλλλλ≤≤=≤???≤≤，可知绝对值最大特征值必为1λ和501 λ其中之一，故可用幂法求出绝对值最大的特征值λ，如果λ=0，则1λ=λ，否则 501λ=λ。将矩阵A 进行一下平移： I -A A'λ= （1） 对'A 用幂法求出其绝对值最大的特征值'λ，则A 的另一端点特征值1λ或501λ为'λ+λ。 s λ为按模最小特征值，||min ||501 1i i s λλ≤≤=，可对A 使用反幂法求得。 2、求A 的与数40 1 5011λλλμ-+=k k 最接近的特征值)39,...,2,1(=k k i λ。 计算1)1,2,...,50=(i i λ-k μ，其模值最小的值对应的特征值k λ与k μ最接近。因此对A 进行平移变换： )39,,2,1k -A A k k ==（I μ （2） 对k A 用反幂法求得其模最小的特征值'k λ，则k λ='k λ+k μ。 3、求A 的(谱数)条件数2)(A cond 和行列式detA 。 由矩阵A 为非奇异对称矩阵可得： | | )(min max 2λλ=A cond （3） 其中max λ为按模最大特征值，min λ为按模最小特征值，通过第一问我们求得的λ和s λ可以很容易求得A 的条件数。 在进行反幂法求解时，要对A 进行LU 分解得到。因L 为单位下三角阵，行 列式为1，U 为上三角阵，行列式为主对角线乘积，所以A 的行列式等于U 的行列式，为U 的主对角线的乘积。 习 题 1. 指出有效数49×102，0.0490，490.00的绝对误差限、相对误差限和有效数字位数． 2. 将 3.142作为π的近似值，它有几位有效数字，相对误差限和绝对误差限各为多少？ 3. 要使101的近似值x * 的相对误差限不超过4102 1?×，问查开方表时x * 需要保留几位有效数字？ 4. 已知近似数x * 有两位有效数字，试估计其相对误差限． 5. 设x * 为x 的近似数, 证明n x * 的相对误差大约为x * 相对误差的n 1倍． 6. 某矩形的长和宽大约为100cm 和50cm, 应该选用最小刻度为多少cm 的测量工具, 才能保证计算出的面积误差（绝对值）不超过0.15cm 2． 7. 已知三角形面积c ab S sin 2 1=，测量a , b , c 时产生的相对误差为)(*a e r ，)(*b e r ，)(*c e r ，其中2 ,0*π< 《数值分析A》计算实习题目第一题 一．算法设计方案： 1.矩阵A的存储与检索 将带状线性矩阵A[501][501]转存为一个矩阵MatrixC[5][501] . 由于C语言中数组角标都是从0开始的，所以在数组MatrixC[5][501]中检索A的带内元素a ij的方法是： A的带内元素a ij=C中的元素c i-j+2,j 2.求解λ1，λ501，λs ①首先分别使用幂法和反幂法迭代求出矩阵按摸最大和最小的特征值λmax和λmin。λmin即为λs； 如果λmax>0,则λ501=λmax；如果λmax<0,则λ1=λmax。 ②使用带原点平移的幂法（mifa（）函数），令平移量p=λmax，求出对应的按摸最大的特征值λ，max， 如果λmax>0,则λ1=λ，max+p；如果λmax<0,则λ501=λ，max+p。 3.求解A的与数μk=λ1+k（λ501-λ1）/40的最接近的特征值λik （k=1,2，…，39）。 使用带原点平移的反幂法，令平移量p=μk，即可求出与μk最接近的特征值λik。 4.求解A的（谱范数）条件数cond（A）2和行列式d etA。 ①cond（A）2=|λ1/λn|，其中λ1和λn分别是矩阵A的模最大和最小特征值。 ②矩阵A的行列式可先对矩阵A进行LU分解后，detA等于U所有 对角线上元素的乘积。 二．源程序(VS2010环境下，C++语言) #include 北京航空航天大学2020届研究生 《数值分析》实验作业 第九题 院系：xx学院 学号： 姓名： 2020年11月 Q9:方程组A.4 一、 算法设计方案 （一）总体思路 1.题目要求∑∑=== k i k j s r rs y x c y x p 00 ),(对f(x, y) 进行拟合，可选用乘积型最小二乘拟合。 ),(i i y x 与),(i i y x f 的数表由方程组与表A-1得到。 2.),(* * j i y x f 与1使用相同方法求得，),(* * j i y x p 由计算得出的p(x,y)直接带入),(* * j i y x 求得。 1. ),(i i y x 与),(i i y x f 的数表的获得 对区域D ={ （x,y)|1≤x ≤1.24,1.0≤y ≤1.16}上的f (x , y )值可通过xi=1+0.008i ，yj=1+0.008j ，得到),(i i y x 共31×21组。将每组带入A4方程组，即可获得五个二元函数组，通过简单牛顿迭代法求解这五个二元数组可获得z1~z5有关x,y 的表达式。再将 ),(i i y x 分别带入z1~z5表达式即可获得f(x,y)值。 2.乘积型最小二乘曲面拟合 2.1使用乘积型最小二乘拟合，根据k 值不用，有基函数矩阵如下： ????? ??=k i i k x x x x B 0000 ， ????? ??=k j j k y y y y G 0000 数表矩阵如下： ???? ? ? ?=),(),(),(),(0000j i i j y x f y x f y x f y x f U 记C=[rs c ]，则系数rs c 的表达式矩阵为： 11-)(-=G G UG B B B C T T T ）（ 通过求解如下线性方程，即可得到系数矩阵C 。 UG B G G C B B T T T =)()( 2.2计算),(),,(* ***j i j i y x p y x f (i =1,2,…,31 ; j =1,2,…,21) 的值 ),(**j i y x f 的计算与),(j i y x f 相同。将),(**j i y x 代入原方程组，求解响应) ,(* *ij ij u t 进行分片双二次插值求得),(**j i y x f 。),(* *j i y x p 的计算则可以直接将),(**j i y x 代入所求p(x,y)。 二、 源程序 ********* 第三次数值分析大作业Q9************ integer::i, j, K1, L1, n, m dimension X(31), Y(21), T(6), U(6), Z(6, 6), UX(11, 21), TY(11, 21), FXY(11, 21), C(6, 6) dimension z1(31, 21), z2(31, 21), z3(31, 21), z4(31, 21), z5(31, 21) dimension X1(8), Y1(5), FXY1(8, 5), PXY1(8, 5), UX1(8, 5), TY1(8, 5) 《数值分析》计算实习作业 （第二题） 算法设计方案： 1、对矩阵A 赋值，取计算精度ε=1×10-12； 2、对矩阵A 进行拟上三角化，得到A (n-1)，并输出A (n-1)； 对矩阵A 的拟上三角化，通过直接调用子函数inftrianglize(A)来实现；拟上三角化得到的矩阵A (n-1)输出至文件solution.txt 中。 3、对A (n-1)进行QR 分解并输出Q 、R 及RQ 矩阵； QR 分解通过直接调用子函数QRdescom(A,Q,R, n)实现。 4、运用QR 方法求所有的特征值，并输出； (1)初始时令m=n ，在m>2的条件下执行； (2)判断如果|A mm-1|<ε，则得到一个特征值，m=m-1，转(4)；否则转(3)； (3)判断如果|A m-1m-2|<ε，则得到两个特征值，m=m-2，转(4)； (4)判断如果m ≤2，转(6)；否则转(5)； (5)执行相似迭代，转(2)； k k T k k k k k k k k k k Q A Q A R Q M I D A D tr A M ==+-=+1)2)det(( (6)求出最后的一个或两个特征值； (7)输出全部的特征值至文件solution.txt 中。 5、输出QR 分解法迭代结束之后的A (n-1)至文件solution.txt 中； 6、通过反幂法求出所有实特征值的特征向量并输出。 首先令B=(A-λi I)，其中λi 是实特征值；反幂法通过调用子函数Bpowmethod(B,x1)实现，最终λi 对应的特征向量就是x1；最后将所有的实特征值的特征向量输出。 北航数值分析计算实习 报告一 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】 北京航空航天大学 《数值分析》计算实习报告 第一大题 学 院：自动化科学与电气工程学院 专 业： 控制科学与工程 学 生 姓 名： 学 号： 教 师： 电 话： 完 成 日 期： 2015年11月6日 北京航空航天大学 Beijing University of Aeronautics and Astronautics 实习题目： 第一题 设有501501?的实对称矩阵A ， 其中，064.0,16.0),501,,2,1(64.0)2.0sin()024.064.1(1.0-==???=--=c b i e i i a i i 。矩阵A 的特征值为)501,,2,1(???=i i λ，并且有 1.求1λ，501λ和s λ的值。 2.求A 的与数40 1 5011λλλμ-+=k k 最接近的特征值)39,,2,1(???=k k i λ。 3.求A 的(谱范数)条件数2)A (cond 和行列式detA 。 说明： 1.在所用的算法中，凡是要给出精度水平ε的，都取12-10=ε。 2.选择算法时，应使矩阵A 的所有零元素都不储存。 3.打印以下内容： （1）全部源程序； （2）特征值），，39,...,2,1(,s 5011=k k i λλλλ以及A det ,)A (cond 2的值。 4.采用e 型输出实型数，并且至少显示12位有效数字。 一、算法设计方案 1、求1λ，501λ和s λ的值。 由于||min ||,501 150121i i s λλλλλ≤≤=≤???≤≤，可知绝对值最大特征值必为1λ和501λ其中之 一，故可用幂法求出绝对值最大的特征值λ，如果λ=0，则1λ=λ，否则501λ=λ。将矩阵A 进行一下平移： I -A A'λ= （1） 对'A 用幂法求出其绝对值最大的特征值'λ，则A 的另一端点特征值1λ或501λ为 'λ+λ。 s λ为按模最小特征值，||min ||501 1i i s λλ≤≤=，可对A 使用反幂法求得。 2、求A 的与数40 1 5011λλλμ-+=k k 最接近的特征值)39,...,2,1(=k k i λ。 计算1)1,2,...,50=(i i λ-k μ，其模值最小的值对应的特征值k λ与k μ最接近。因此对A 进行平移变换： )39,,2,1k -A A k k ==（I μ （2） 对k A 用反幂法求得其模最小的特征值'k λ，则k λ='k λ+k μ。 北航数值分析作业第一题： 一、算法设计方案 1.要求计算矩阵的最大最小特征值，通过幂法求得模最大的特征值，进行一定 判断即得所求结果； 2.求解与给定数值接近的特征值，可以该数做漂移量，新数组特征值倒数的绝 对值满足反幂法的要求，故通过反幂法即可求得； 3.反幂法计算时需要方程求解中间过渡向量，需设计Doolite分解求解； 4.|A|=|B||C|，故要求解矩阵的秩，只需将Doolite分解后的U矩阵的对角线相 乘即为矩阵的Det。 算法编译环境：vlsual c++6.0 需要编译函数：幂法，反幂法，Doolite分解及方程的求解 二、源程序如下： #include 数值分析模拟卷A 一、填空（共30分，每空3分） 1 设??? ? ??-=1511A ，则A 的谱半径=)(a ρ______，A 的条件数)(1A cond =________. 2 设 ,2,1,0,,53)(2==+=k kh x x x f k ，则],,[21++n n n x x x f ＝________, ],,[321+++n n n n x x x x f ，＝________. 3 设?????≤≤-++≤≤+=2 1,121 0,)(2 323x cx bx x x x x x S ，是以0，1，2为节点的三次样条函数，则b=________,c=________. 4 设∞=0)]([k k x q 是区间［0，1］上权函数为x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x q ，则 ?=1 )(dx x xq k ________，=)(2 x q ________. 5 设???? ??????=11001a a a a A ，当∈a ________时，必有分解式，其中L 为下三角阵，当 其对角线元素)3,2,1(=i L ii 满足条件________时，这种分解是唯一的. 二、（14分）设4 9,1,41,)(2102 3 === =x x x x x f , （1）试求)(x f 在]4 9,41[上的三次Hermite 插值多项式)(x H 使满足 2,1,0),()(==i x f x H i i ，)()(11x f x H '='. （2）写出余项)()()(x H x f x R -=的表达式. 三、（14分）设有解方程0cos 2312=+-x x 的迭代公式为n n x x cos 3 2 41+ =+， （1） 证明R x ∈?0均有? ∞ →=x x n x lim （? x 为方程的根）； （2） 取40=x ，用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过，列出各次迭代值； （3）此迭代的收敛阶是多少？证明你的结论. 四、(16分) 试确定常数A ，B ，C 和，使得数值积分公式 有尽可能高的代数精度. 试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss 型的？ 五、（15分） 设有常微分方程的初值问题???=='00 )() ,(y x y y x f y ，试用Taylor 展开原理构造形如 )()(11011--++++=n n n n n f f h y y y ββα的方法，使其具有二阶精度，并推导其局部截断误 差主项. 数值分析第三次大作业 一、算法的设计方案 1、求解非线性方程组 将题目中给出的(,)i i x y 当作已知量代入题目给定的非线性方程组，求出与 (,)i i x y 相对应的数组te[i][j]，ue[i][j]，此处采用的是牛顿法解非线性方程组，其 算法如书上91页所示。 2、分片二次代数插值 对所求出的数组te[i][j]，ue[i][j]，通过分片二次代数插值运算，得到与数组te[11][21]，ue[11][21]对应的数组ze[11][21]，从而得到二元函数z=(,)i i f x y ，此处采用如书上101页例2中所示的分片二次代数插值。 3、曲面插值 利用x[11]，y[21]，ze[11][21]建立二维函数表，进行曲面插值计算，逐步提高k 值，计算其精度，看其是否满足要求，以此来确定循环结束的时刻，并得到曲面拟合的系数矩阵C[r][s]，此处的算法如书142页所示，只需将所需矩阵给出，然后按公式进行计算即可。 4、比较 观察和),(j i y x p 逼近(,)i i f x y 的效果。观察逼近效果只需要利用新给的点列 (,)i i x y 重复上面（1）和（2）的过程，得到与新的插值节点(,)i i x y 对应的(,) i i f x y ， 再与对应的(,)i i p x y 比较即可，这里求解(,)i i p x y 可以直接使用（3）中的C[r][s]和k 。 5、几点说明 分片二次插值的结果x[i]，y[j]，ze[i][j]输出到一个文件shubiao.txt 中，方便结果的复制与粘贴。 曲面插值的结果输出到一个文件xishu.txt 中，包括循环中每一次的k 值以及误差平方和sigma 的值，还有最后满足误差要求时曲面插值的系数C[r][s]。 观察逼近效果的结果输出到一个文件shubiao1.txt 中，方便结果的复制与粘贴。 北航数值分析大作业第一题幂法与反幂法 -标准化文件发布号：（9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 《数值分析》计算实习题目 第一题： 1. 算法设计方案 （1）1λ，501λ和s λ的值。 1)首先通过幂法求出按模最大的特征值λt1，然后根据λt1进行原点平移求出另一特征值λt2，比较两值大小，数值小的为所求最小特征值λ1，数值大的为是所求最大特征值λ501。 2)使用反幂法求λs ，其中需要解线性方程组。因为A 为带状线性方程组，此处采用LU 分解法解带状方程组。 （2）与140 k λλμλ-5011=+k 最接近的特征值λik 。 通过带有原点平移的反幂法求出与数k μ最接近的特征值 λik 。 （3）2cond(A)和det A 。 1）1=n λλ2cond(A)，其中1λ和n λ分别是按模最大和最小特征值。 2）利用步骤（1）中分解矩阵A 得出的LU 矩阵，L 为单位下三角阵,U 为上三角阵，其中U 矩阵的主对角线元素之积即为det A 。 由于A 的元素零元素较多，为节省储存量，将A 的元素存为6×501的数组中，程序中采用get_an_element()函数来从小数组中取出A 中的元素。 2.全部源程序 #include 数值分析 一、单项选择题（共20分,每小题2分） 1-1 10= 11= 12=，则Lagranage 二次插值多项式为（ ） A. 2(121)(144)(100)(144)(100)(121) ()10 1112 (100121)(100144)(121100)(121144)(144121)(144100)x x x x x x L x ------=++------ B ．2(121)(144)(100)(144)(100)(121) ()111012 (100121)(100144)(121100)(121144)(144121)(144100) x x x x x x L x ------=++------ C ．2(121)(144)(100)(144)(100)(121) ()121110 (100121)(100144)(121100)(121144)(144121)(144100)x x x x x x L x ------=++------ D ．2(121)(144)(100)(144)(100)(121) ()10 1211 (100121)(100144)(121100)(121144)(144121)(144100) x x x x x x L x ------=++------ 1-2 10= 11= 12=，用Lagranage 值为（ ）精确到小数点后4位。 A.9.7227 B ．11.7227 C ．10.7227 D ．13.7227 1-3、已知(1 2 3 4)T X =，则向量X 的21, , X x x ∞ 的值分别是： （ ） ，212,7 C. 4,5,6 D. 9,4,7 1-4、设 2121A --?? = ? ??，则21,, , F A A A x ∞的值分别为（ ） 4 B. -9 ， 4,5,6 D. 9,4,7 1-5、设节点00 (=0,1,2,...,n), (0),k x x kh k x x th t =+=+>则Newton 向前插值公式为（ ） 一、算法设计方案 1、解非线性方程组 将各拟合节点（x i ，y j ）分别带入非线性方程组，求出与(,)i i x y 相对应的数组te[i][j]，ue[i][j]，求解非线性方程组选择Newton 迭代法，迭代过程中需要求解线性方程组，选择选主元的Doolittle 分解法。 2、二元二次分偏插值 对数表z(t,u)进行分片二次代数插值，求得对应（t ij ，u ij ）处的值，即为),(j i y x f 的值。根据给定的数表，可将整个插值区域分成 16 个小 的区域，故先判断(t i j , u ij ) 所在，的区域，再作此区域的插值，计算 z ij ，相应的Lagrange 形式的插值多项式为： 11 2211(,)()()(,)m n k r k r k m r n p t u l t l u f t u ++=-=-= ∑∑ 其中 1 1()m w k w m k w w k t t l t t t +=-≠-=-∏ (k=m-1, m, m+1) 1 1()n w r w n r w w r y y l u y y +=-≠-= -∏ (r=n-1, n, n+1) 3、曲面拟合 从k=1开始逐渐增大k 的值，使用最小二乘法曲面拟合法对z=f(x,y)进行拟合，当710-<σ时结束计算。拟合基函数φr (x)ψs (y)选择为φr (x)=x r ，ψs (y)=y s 。 拟合系数矩阵c 通过连续两次解线性方程组求得。[]rs c *=C ，11()()T T T --=C B B B UG G G 其中 0011101011[()]1k k r i k x x x x x x x ???????==????????B ，0011101011[()]1k k s j k y y y y G y y y ψ??????==???????? [(,)]i j f x y =U 4、观察比较 计算)5,,2,1,8,,2,1 )(,(),,(****???=???=j i y x p y x f j i j i 的值并输出结果，以观察),(y x p 逼近),(y x f 的效果。其中j y i x j i 2.05.0,1.0* *+==。 二、全部源程序 // hean.cpp : 定义控制台应用程序的入口点。 // #include "stdafx.h" #include 北航数值分析大作业第二题
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