《有理数的乘方》典型例题
令狐文艳
例1 计算：
（1）4)3(-；（2）3
)8(-；（3）4
)31(- 分析 根据乘方的意义可以直接用乘法来求出各乘方的值．
解 （1）
.81)3()3()3()3()3(4=-?-?-?-=- （2）
.512)8()8()8()8(3-=-?-?-=- （3）.811)31()31()31()31()3
1(4=-?-?-?-=- 说明：（1）4)3(-不能写成43-或（－3）×4，同理3
)8(-和4)31(-也不能如此书写；（2）观察该题可以发现负数的乘方，当指数是偶数时其乘方的值为正，当指数为奇数时其乘方的值为负．由此我们在计算负数的乘方时也可以先根据这一规律来确定乘方的符号，再计算正数的乘方．
例2 计算：
（1）3)7(--；（2）45.0-
分析 （1）中只要求出3)7(-，就可求出3)7(--；
（2）中需注意的是44)5.0(5.0-≠-．
解 （1）
3437)7()7(333==--=-- （2）0625.05.04=- 例3 计算12104)25.0(?-的值．
分析 直接求10)25.0(-和124比较麻烦，但细观察可以发现
个个12121010104444 25.025.025.0)25.0(???=??==-．这就提醒我们利用
乘法的交换律和结合律就比较容易求出结果了．
解 12104)25.0(?-
说明： 当发现一个题算起来比较麻烦时，我们就应该细观察、多动脑，尽可能找出简便的方法来．
例4 选择题：
（1）在绝对值小于100的整数中，可以写成整数平方的数共（ ）个．
A ．18
B ．19
C ．10
D ．9
（2）在绝对值小于100的整数中，可以写成整数立方的数共有（ ）个．
A ．7
B ．8
C ．10
D ．12
分析 （1）绝对值小于100的整数共199个；0，±1，±2，…，±99，由于任何整数的平方都是非负数，所以满足题意的数应在0，1，…，99中寻
找．
819,648,497,366,255,164,93,42,11,002222222222==========，而100102=（不合题意），所以共计10个数．
（2）负整数的立方仍然是负数，且可以看做与正数的立方
是成对的，比如有6443=，就有64)4(3-=-，只有03
是个特殊情况，因此，在所给范围内可写成整数立方的数的个数必为奇数．
解（1）选C （2）选A．
说明：（1）从课本中用黑体字给出的乘方的符号规律地可以知道，负数不可能等于某个有理数的偶数次幂，但可能是某个负数的奇数次幂．
（2）第（2）问还可以怎样给出呢？如果把其中的“D”改为13个，你又怎样解出呢？要学会给自己提出问题，要学会经常与同学一起研究问题．
有理数的乘方（1） 教学目标： 1、理解有理数乘方的意义. 3、经历探索有理数乘方的运算，获得解决问题经验. 重点：有理数乘方的意义 难点：幂、底数、指数的概念极其表示 教学过程 一、预习检测 1．某种细胞每过30分钟便由l 个分裂成2个，经过5小时，这种细胞1个能分裂成多少个? (1)细胞每30分钟分裂一次，则5个小时共分裂_____________次； (2)5个小时后，细胞的个数一共有=__________个，为了简便能够记作________. 二、合作探究 1、分小组合作学习Ｐ４１页内容，然后再完成好下面的问题 1） 叫乘方， 叫做幂，在式子ａｎ中，ａ叫做 ，ｎ叫做 . 2）式子ａｎ表示的意义是 3）从运算上看式子ａｎ，能够读作 ，从结果上看式子ａｎ，能够读 作 . 三、释疑解惑 1、将下列各式写成乘方（即幂）的形式： 1）（—２.３）×（—２.３）×（—２.３）×（—２.３）×（—２.３）＝ . 2）、（—14）×（—14）×（—14）×（—14 ）＝ . 3）x ?x ?x ?……?x （２００８个）＝ 2、例题，P41例1师生共同完成 归纳：正数的任何次幂都是 数，负数的奇次幂是 数，负数的偶次幂是 数，0的任何次幂都是 . 3、思考：（—2）4和—24意义一样吗？为什么？ 四、随堂测评 1、填空 1）底数是-1,指数是91的幂写做_________,结果是_________. 2）(-3)3的意义是_________,-33的意义是___________. 3）5个13 相乘写成__________, 1 3的5次幂写成_________. 2、用乘方的意义计算下列各式： （1）()24- ； （2）42- （3）3 23??- ??? ； （4）223- 五、归纳小结 1、请你对本节课所学知识作个小结 运算 加 减 乘 除 乘方 运算结果 和
有理数的乘方(1) 一．选择题 1、118表示（ ） A 、11个8连乘 B 、11乘以8 C 、8个11连乘 D 、8个别1相加 2、－32的值是（ ） A 、－9 B 、9 C 、－6 D 、6 3、下列各对数中，数值相等的是（ ） A 、 －32 与 －23 B 、－23 与 (－2)3 C 、－32 与 (－3)2 D 、(－3×2)2与－3×22 4、下列说法中正确的是（ ） A 、23表示2×3的积 B 、任何一个有理数的偶次幂是正数 C 、－32 与 (－3)2互为相反数 D 、一个数的平方是94，这个数一定是3 2 5、下列各式运算结果为正数的是（ ） A 、－24×5 B 、(1－2)×5 C 、(1－24)×5 D 、1－(3×5)6 二、填空题 1、(－2)6中指数为 ，底数为 ；4的底数是 ，指数是 ；5 23??? ??-的底数是 ，指数是 ，结果是 ； 2、根据幂的意义，(－3)4表示 ，－43表示 ； 3、平方等于641的数是 ，立方等于64 1的数是 ； 4、一个数的15次幂是负数，那么这个数的2003次幂是 ； 5、平方等于它本身的数是 ，立方等于它本身的数是 ； 计算题 1、()42-- 2、3 211??? ?? 3、()20031- 4、()3 3131-?-- 5、()2332-+- 6、()2233-÷- 有理数的乘方(2) 一．选择题 1、如果一个有理数的平方等于(－2)2，那么这个有理数等于（ ）
A 、－2 B 、2 C 、4 D 、2或－2 2、一个数的立方是它本身,那么这个数是（ ） A 、 0 B 、0或1 C 、－1或1 D 、0或1或－1 3、如果一个有理数的正偶次幂是非负数,那么这个数是（ ） A 、正数 B 、负数 C 、 非负数 D 、任何有理数 4、－24×(－22)×(－2) 3=（ ） A 、 29 B 、－29 C 、－224 D 、224 5、两个有理数互为相反数，那么它们的n 次幂的值（ ） A 、相等 B 、不相等 C 、绝对值相等 D 、没有任何关系 6、一个有理数的平方是正数,则这个数的立方是（ ） A 、正数 B 、负数 C 、正数或负数 D 、奇数 7、(－1)2001＋(－1)2002÷1-＋(－1)2003的值等于（ ） A 、0 B 、 1 C 、－1 D 、2 二、填空题 1、=??? ??-343 ，=??? ??-3 43 ，=-433 ； 2、()372?-，()472?-，()5 72?-的大小关系用“＜”号连接可表示为 ； 3、如果44a a -=，那么a 是 ； 4、()()()()=----20022001433221 ； 5、如果一个数的平方是它的相反数，那么这个数是 ；如果一个数的平方是它的倒数，那么这个数是 ； 6、若032＞b a -，则b 0 计算题 1、()()3322222+-+-- 2、()34255414-÷-?? ? ??-÷
有理数的乘方 基础知识，基本技能 1．乘方的意义 (1)乘方的定义 求n 个相同因数a 的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂．如图，a 叫做底数，n 叫做指数，a n 读作：a 的n 次幂(a 的n 次方)． 乘方是一种特殊的乘法运算(因数相同)，幂是乘方运算的结果；乘方的底数是 相同因数，指数是相同因数的个数． (2)乘方的意义 a n 表示n 个a 相乘． 即a n ＝n a a a a a ?????1442443个. 如：(－2)3＝(－2)×(－2)×(－2)表示3个(－2)相乘． 释疑点 (－a )n 与－a n 的区别 ①(－a )n 表示n 个－a 相乘，底数是－a ，指数是n ，读作：－a 的n 次方；②－a n 表示n 个a 乘积的相反数，底数是a ，指数是n ，读作：a 的n 次方的相反数． 如：(－3)3底数是－3，指数是3，读作负3的3次方，表示3个(－3)相乘．(－3)3＝(－3)×(－3)×(－3)＝－27. －33底数是3，指数是3，读作3的3次方的相反数．－33＝－(3×3×3)＝－27. (3)乘方的书写 ①一个数可以看成这个数本身的一次方．如5就是51，通常指数1省略不写． ②负数或分数做底数时，应用括号把负数或分数括起来，再在其右上角写指 数，指数应写小一点．如(－1)2不能写成－12，? ?? ??322不能写成322. 【例1】 填空：(1)式子(－1.2)10表示__________，其中底数是__________，指数是__________． (2)120137111777??- ??? ??????-?-???- ? ? ??????? 14444244443个写成乘方的形式是__________，读作__________． 解析：(1)乘方表示几个相同因数的积，相同的因数是底数，指数即相同因数 的个数；(2)把n 个相同因数的积写成乘方的形式，相同因数写成底数，本题中? ?? ??－17是底数，相同因数的个数2 013写成指数． 答案：(1)10个－1.2相乘 －1.2 10 (2)? ????－17 2 013 负17的2 013次幂? ?? ??或负17的2 013次方 2．乘方运算的符号法则
有理数的乘方（讲义） ? 课前预习 1. 填空： 边长为a 的正方形面积可以表示为_____，它的含义是a ×a ；边长为a 的正方体体积可以表示为____，它的含义是______；类似地，我们可以把2×2×2记作______，2×2×2×2记作______； 2×2×…×2×2（n 个2）记作_______． 2. 根据第1题的内容，填空： 22=______；23=______；24=______；25=______；26=______；27=______；28=______；29=______；210=______． (-2)2=(-2)×(-2)=4；(-3)3=_____________=______； 3 12?? -??? =___________________=______． 3. 四则混合运算顺序：先算________，再算________；同级运算，从左向右进行； 如果有括号，先算括号里面的．
? 知识点睛 1. 求几个相同因数乘积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做 _____，______叫底数，____叫指数，读作_______________）． 2. 22=____；23=____；24=____；25=____；26=____；27=____；28=____；29=____； 210=____． 3. 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数． 正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0． 4. 科学记数法的定义：_________________________________ _________________________________________________． 5. 有理数混合运算顺序：先________，再________，最后________；同级运算，从 左到右进行；如果有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． ? 精讲精练 1. 在74中，底数是_____，指数是_______；在5 13?? - ??? 中，底数是_____，指数是 ________． 2. 对比(-4)3和-43，下列说法正确的是（ ） A ．它们的底数相同，指数也相同 B ．它们底数相同，但指数不相同 C ．它们所表示的意义相同，但运算结果不相同 D ．虽然它们底数不同，但运算结果相同 3. 下列计算正确的是（ ） A ．4381-= B ．2(6)36--= C ．233 24 -=- D ．3 225125?? -=- ??? 4. 下列各组数中，值相等的是（ ） A ．23与32 B ．22-与2(2)- C ．2)3(-与2(3)-- D ．232?与2)32(? 5. 在(-1)3，(-1)2，-22，(-3)2这四个数中，最大的数与最小的数的和等于（ ） A ．6 B ．8 C ．-5 D ．5 6. 一个数的平方是16，则这个数是（ ） A ．4 B ．-4 C ．±4 D ．8 7. 若有理数(3)n -的值是正数，则n 必定是（ ）
2有理数的乘方（讲义） ?课前预习 1.填空： 边长为a 的正方形面积可以表示为，它的含义是a×a； 边长为a 的正方体体积可以表示为，它的含义是； 类似地，我们可以把2×2×2 记作，2×2×2×2 记作； 2×2×…×2×2（n 个2）记作． 2.根据第1 题的内容，填空： 22= ；23= ；24= ；25= ；26= ； 27= ；28= ；29= ；210= ．(-2)2=(-2)×(-2)=4；(-3)3= = ； ? 1 ?3 -? ?? = = ． 3.四则混合运算顺序：先算，再算；同级运 算，从左向右进行；如果有括号，先算括号里面的．
1
5 ? 知识点睛 1. 求几个相同因数乘积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做 ，字母表示为 ， 叫底数， 叫指数， 读作 （或 ）． 2. 22= ；23= ；24= ；25= ；26= ；27= ； 28= ；29= ；210= ． 3. 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数． 正数的任何次幂都是正数，0 的任何正整数次幂都是 0． 4. 科学记数法的定义： ． 5. 有理数混合运算顺序：先 ，再 ，最后 ；同级运算，从左到右进行；如果有括号，先做括 号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． ? 精讲精练 1. 在 74 中，底数是 ，指数是 ；在? - ? 1 ?5 ? ? 中，底数 是 ，指数是 ． 2. 对比(-4)3 和-43，下列说法正确的是（ ） A ．它们的底数相同，指数也相同 B ．它们底数相同，但指数不相同 C. 它们所表示的意义相同，但运算结果不相同 D ．虽然它们底数不同，但运算结果相同 3. 下列计算正确的是（ ） A ． -34 = 81 B ． -(-6)2 = 36 3 3 ? 2 ? 3 2 C ． - = - 22 4 D ． - ? ? ? = - 125 4. 下列各组数中，值相等的是（ ） A ． 32 与23 C ． (-3)2 与-(-32 ) B ． -22 与( - 2)2 D ． 2 ? 32 与(2 ? 3)2 5. 在(-1)3，(-1)2，-22，(-3)2 这四个数中，最大的数与最小的数 的和等于（ ） A ．6 B ．8 C ．-5 D ．5 6. 一个数的平方是 16，则这个数是（ ） A ．4 B ．-4 C ．±4 D ．8 例：(-2)4 与-24 的意义、读法与结果均不相同． 3
有理数的乘方 各位评委老师好，我是03号考生，今天试讲的内容时有理数的乘方，接下来开始我的试讲： 同学们，在上课之前，老师给大家分享一个故事：古时候在某个王国里有一位聪明的大臣，他发明了国际象棋，献给了国王。国王从此迷上了下棋，为了表示对聪明大臣表示感谢，国王答应满足这个大臣的一个要求，大臣说:就在这个棋盘上放上一些米粒吧，第一格放2粒米，第二格放4粒米，第三格放8粒米，然后是16粒，32粒，64粒…“你真傻，就要这么一点米粒？”国王哈哈大笑，大臣却说：“就怕您的国库里没有这么多米粒！” 同学们，你们觉得大臣说的对吗？通过观察主题图，你们发现了什么？扎辫子的女同学说下。哦，你是说米粒数量所发生的变化是在成倍的增长。你的思维真敏捷。老师这有一张表，请同学们来填一下。 第1格：2粒 第2格：2×2粒 第3格：2×2×2粒 第4格：2×2×2×2粒 第30格： 请问第4格填多少呢？哪位同学来说一下？靠窗的同学你来说，16粒，那你是怎么计算的？你是用2×2×2×2计算的，一共有几个2
呀？一共有4个。回答的真清楚！请问第30格应该是多少粒呢？又有几个2相乘呢？看到很多同学已经开始计算了，很不错，我们今天就来学习一下，当出现相同因数相乘而因数的个数非常多时，造成乘法算式和算法的重复和繁琐，需要创造出一种简单的表达式，那我们应该怎么解决这个问题呢？这就是我们今天的内容-有理数的乘方。（板书-有理数的乘方） 我们现在来看第二格的米粒数，2×2，我们在数学中，可以用2^2表示2个2相乘。请问2×2×2怎么表示呢，请前排的同学说下，2^3，接下来请同桌之间相互讨论一下第四格和第30格应该怎么表示？给大家2分钟的时间，自己动手，试着写一下。选择同学的作业进行展示，并总结道：我们把几个相同因数相乘的运算叫做乘方，乘方的结果用叫做幂。如果把2换成a，你们能把它表示出来吗？请后排的同学说下，a的2次方，a的3次方。很棒！我适时总结：一般地，我们可以把a^n表示n个a相乘的结果。这个叫做乘方，我们把a叫做幂的底数，n叫做幂的指数，这个式子，我们叫做幂，我们把这个式子读作：a的n次方，或者a的n次幂。跟着老师一起读：a的n次方！同学们，你们对于有理数的乘方，都掌握了吗？老师从你们的表情里看到了答案。 现在老师想请同学们思考一下，当a取值不同时，a的n次方的取值会怎么样呢？请同学们自己先思考下，然后以4人小组进行合作交流。时间到，请一个小组派个代表来说下。这组同学讨论的最激烈，请代表来说下，当a取值为正时，a的n次方也为正，当a的取值为
《有理数的乘方》（第一课时）说课稿 各位领导、各位老师： 大家好！非常高兴有机会和大家共同交流，谨此向各位评委、各位老师学习。 我今天说课的内容是“有理数的乘方”第一课时的内容。根据新课程理念，我在设计中力求“自主探索、动手实践、合作交流”成为学生学习的主要方式。接下来我将对本节课的设计作以下说明： 一、说教材： 《有理数的乘方》这节课选自新人教版《数学》七年级上册第一章第五节的内容，乘方是有理数的一种基本运算，是在学生学习了有理数的加、减、乘、除运算的基础上来学习的，它既是有理数乘法的推广和延续，又是后续学习有理数的混合运算、科学记数法和开方的基础，起到承前启后、铺路架桥的作用。 结合七年级学生的认知特点，对实际操作活动有着浓厚的兴趣，对直观的事物感知较强等特点。我认真创设教学情境，让学生自己发现规律，从而激发学生的归纳能力，感受数学符号的简捷美和化归的数学思想。 因此本节课的教学重点为：理解有理数乘方的意义，会进行有理数的乘方运算。 二、说学情： 从知识基础方面来看,学生已经有了两个方面良好的基础,一是小学学过如何求一个正数的平方与立方,使学生能很好的理解乘方的意义和记法,实现知识的正迁移;二是学生刚学完有理数的乘法不久,具备良好的运算基础,对于准确理解有理数乘方的符号法则具有很重要的作用，缺点是从小养成了重结果、轻过程的习惯，基础知识不够扎实，计算准确性不够。对于4)2(-与42-这类型运算易混淆。 因此本堂课的难点定位为：有理数乘方运算的符号法则。 三、说教学目标和重难点： 根据本节内容在教材中的地位和作用，依据新课程标准的要求，以及七年级学生的认知结构和心理特征，本课时的教学力求达到以下目标： 1、知识与技能目标:理解并掌握有理数的乘方、幂、底数、指数的概念及意义；能够正确进行有理数的乘方运算。 2、数学思考：在生动的情境中让学生获得有理数乘方的初步经验；培养学生观察、分析、归纳、概括的能力；经历从乘法到乘方的推广的过程，从中感受转化的数学思想。 3、解决问题：通过经历探索有理数乘方意义的过程，鼓励学生积极主动发现问题并解决问题。 在解决问题的过程中，提高学生分析问题的能力,体会与他人合作交流的重要性。 4、情感态度：在经历发现问题，探索规律的过程中体会到数学学习的乐趣，
有理数的乘方测试 一、填空题 1.算式(－3)×(－3)×(－3)×(－3)用幂的形式可表示为 ，其值为 . 2.在今年的“两会”上，温家宝总理在政府工作报告中提出，要在5年之内，在全国逐步取消农业税，减轻农民负担.目前我国农民每年交纳的农业税约为300亿远，用科学记数法表示为（结果保留3个有效数字） . 3. 计算3 32)3()31()1(-?---的结果为 . 4.圆周率=3.141592653…，如果取近似数3.142，它精确到 位，有效数字是 . 5.用计算器计算： （1）542= . （2）3216520.3-? -+=（） . 二、选择题 1.下列语句中的各数不是近似数的是（ ）. A.印度洋海啸死亡和失踪总人数已超28万人 B.生物圈中已知的绿色植物，大约有30万种 C.光明学校有1148人 D.我国人均森林面积不到世界的14 公顷 2．用四舍五入法按要求对0.05019取近似值，其中错误的是（ ） A ．0.1（精确到0.1） B ．0.05（精确到百分位） C ．0.05（保留两个有效数字） D ．0.0502（精确到0.0001） 3．下列各组数中，数值相等的是（ ） A ．33)2(2--和 B ．22)2(2--和 C ．2332--和 D ．10 10)1(1--和 三、 1.计算： （1）323-； （2）()524 --； （3）()() 2332---； （4）－(－2)3(－0.5)4.
2.计算： （1）23－32－(－2)×(－7)； （2）－14－6 1[2－(－3)2]. 四1.用科学记数法表示下列各数： （1）地球距离太阳约有一亿五千万千米； （2）第五次全国人口普查，我国人口总数约为129533万人. 2．请你把32，102)1(,10 1,21,0,)2(----这六个数按从小到大的顺序排列，并用“<”连接. 3．假如我们的计算机每秒钟能够计算10亿种可能性，那么，10台计算机一个世纪能够分析多少种可能性？与19 10比较，哪个大？（假如一年有365天，一天有24小时） 参考答案 一、 1. (－3)4，－81. 2 .103.0010? 3. 0 4.千分；3，1，4，2 5.（1）130691232；（2）-773620.632 二、 1. C 2. C 3. A 三、 1.（1）83-；（2）516-；（3）9 8；（4）0.5. 2. （1）－15；（2） 61. 四、 1.（1）1.5×108万千米；（2）1. 3×105万人，或1. 3×109人. 2.略.
《有理数的乘方》典型例题 例1 计算： （1）4)3(-；（2）3)8(-；（3）4)3 1(- 分析 根据乘方的意义可以直接用乘法来求出各乘方的值． 解 （1）.81)3()3()3()3()3(4=-?-?-?-=- （2）.512)8()8()8()8(3-=-?-?-=- （3）.81 1)31()31()31()31()31(4=-?-?-?-=- 说明：（1）4)3(-不能写成43-或（－3）×4，同理3)8(-和4)3 1(-也不能如此书写；（2）观察该题可以发现负数的乘方，当指数是偶数时其乘方的值为正，当指数为奇数时其乘方的值为负．由此我们在计算负数的乘方时也可以先根据这一规律来确定乘方的符号，再计算正数的乘方． 例2 计算： （1）3)7(--；（2）45.0- 分析 （1）中只要求出3)7(-，就可求出3)7(--； （2）中需注意的是44)5.0(5.0-≠-． 解 （1）3437)7()7(333==--=-- （2）0625.05.04=- 例3 计算12104)25.0(?-的值． 分析 直接求10)25.0(-和124比较麻烦，但细观察可以发现 个个12121010104444 25.025.025.0)25.0(???=??==-．这就提醒我们利用乘法的交 换律和结合律就比较容易求出结果了． 解 12104)25.0(?- 1210425.0?= 个个1210444 25.025.025.0???????= )44( )425.0()425.0()425.0(10????????= 个
16 11110????= 个 .16= 说明： 当发现一个题算起来比较麻烦时，我们就应该细观察、多动脑，尽可能找出简便的方法来． 例4 选择题： （1）在绝对值小于100的整数中，可以写成整数平方的数共（ ）个． A ．18 B ．19 C ．10 D ．9 （2）在绝对值小于100的整数中，可以写成整数立方的数共有（ ）个． A ．7 B ．8 C ．10 D ．12 分析 （1）绝对值小于100的整数共199个；0，±1，±2，…，±99，由于任何整数的平方都是非负数，所以满足题意的数应在0，1，…，99中寻找．819,648,497,366,255,164,93,42,11,002222222222==========，而100102=（不合题意），所以共计10个数． （2）负整数的立方仍然是负数，且可以看做与正数的立方是成对的，比如有6443=，就有64)4(3-=-，只有03是个特殊情况，因此，在所给范围内可写成整数立方的数的个数必为奇数． 解 （1）选C （2）选A ． 说明：（1）从课本中用黑体字给出的乘方的符号规律地可以知道，负数不可能等于某个有理数的偶数次幂，但可能是某个负数的奇数次幂． （2）第（2）问还可以怎样给出呢？如果把其中的“D ”改为13个，你又怎样解出呢？要学会给自己提出问题，要学会经常与同学一起研究问题．
学科辅导讲义 授课对象 初一3-5人班 授课教师 杨老师 授课时间 授课题目 有理数的除法 课 型 预习课 使用教具 讲义、练习题 教学目标 1．理解有理数乘方的概念，掌握有理数乘方的运算； 2．培养观察、比较、分析、归纳、概括能力,以及探索精神； 3．分类讨论思想． 教学重点和难点 重点：有理数乘方的运算和正确运用科学记数法表示较大的数． 难点：有理数乘方运算的符号法则和正确掌握10的幂指数特征． 教学流程及授课详案 有理数的乘方 知识回顾： ） 叙述有理数的乘法法则； ） 叙述有理数的除法法则. 学习过程： 情景导入 棋盘上的学问： 古时候，在某个王国里有一位聪明的大臣，他发明了国际象棋，献给了国王，国王从此迷上了下棋，为了对聪明的大臣表示感谢，国王答应满足这个大臣的一个要求。大臣说：“就在这个棋盘上放一些米吧，第1格放1粒米，第2格放2粒米，第3格放4粒米，然后是8粒米，16粒米，32粒米……一直到第64格．”“你真傻！就要这么一点米粒？！”国王哈哈大笑．大臣说：“就怕你的国库里没有这么多米！” 你认为国王的国库里有这么多米吗？ （一）、从学生原有认知结构提出问题 在小学我们我们已经学习过a a ?，记作2a ，读作a 的平方（或a 的二次方）；a a a ??记作3a ，读作a 的立方（或a 的三次方）；那么，a a a a ???（n 是正整数）呢？ 在小学对于字母a 我们只能取正数，进入中学后，我们学习了有理数，那么a 还可以取哪些数呢？请举例说明。
（二）、讲授新课 重点1。有理数乘方 1． 求n 个相同因数的积的运算叫做乘方。 2． 乘方的结果叫做幂，相同的因数叫做底数，相同因数的个数叫做指数。 一般地，在n a 中，a 取任意有理数，n 取正整数。应当注意，乘方是一种运算，幂是乘方运算的结果。当n a 看作a 的n 次方的结果时，也可以读作a 的n 次幂。 3． 我们知道，乘方和加、减、乘、除一样，也是一种运算，n a 就是表示n 个a 相乘，所以可以利用有理数的乘法运算来进行有理数乘方的运算。 n a a a a a =???????? 例1 计算：（1）32； （2）()3 2-； (3)()4 2-； (4)()5 2-； ☆注：2就是12，指数1通常不写。 观察、比较、分析这几组计算题中，底数、指数和幂之间有什么关系？ （1） 横向观察 正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，偶数幂是正数；零的任何次幂都是零。 ） 纵向观察 互为相反数的两个数的奇次幂仍互为相反数，偶次幂相等。 ） 任何一个数的偶次幂是什么数？ 任何一个数的偶次幂都是非负数。 你能把上述的结论用数学符号语言表示吗？ 当0a >时，0n a >（n 是正整数）； 当0a =时，0n a =（n 是正整数）. （以上为有理数乘方运算的符号法则） ()22n n a a =-（n 是正整数）； 指数 底数 n a 幂
课题有理数的乘方运算及其混合运算 教学目的1.理解有理数乘方的意义并能准确进行有理数乘方的计算 2.熟练运用加减乘除法则进行有理数的混合运算 (一)、乘方的意义 1.求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂.在a n中，a叫做底数，n叫做指数，当a n看作a 的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂. 2.负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数. 3.正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0. (二)、有理数混合运算的运算顺序： 1.先乘方，再乘除，最后加减； 2.同极运算，从左到右进行； 3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行. (三)、有理数混合运算需注意的问题 1.有理数的运算，加减法叫做第一级运算；乘除法叫做第二级运算；乘方和开方（以后学）叫做第三级运算.一个式子中如果含有多级运算式，先做第三级运算，再做第二级运算，最后做第一季运算.同一级运算按照从左到右的顺序进行运算；有括号时，按照小括号、中括号、大括号（或大括号、中括号、小括号）的顺序进行运算. 2.灵活的运用运算律，改变运算顺序，可以简化计算. 【例1】 () 1135 24 26812 -+-+?-?? ? ?? 知识点梳理 例题讲解
【例2】 ()2215130.34130.343737 -?-?+?--? 【例3】()1 13333-?÷-??? ??? 【例4】 ()()241110.5123---??--??? ? 【例5】已知31 =3，32 =9，33 =27，34 =81，35 =243，36 =729，37 =2187，38 =6561，…，试确定32007 的末位数字是几． 【例6】一根木棍原长为m 米，如果从第一天起每天折断它的一半． （1）请写出木棍第一天，第二天，第三天的长度分别是多少？ （2）试推断第n 天木棍的长度是多少？ 【例7】若52x+1 =125，求（x-2） 2005+x 的值是
有理数的乘方 教学目标 1理解有理数乘方的概念，掌握有理数乘方的运算； 2培养学生的观察、比较、分析、归纳、概括能力，以及学生的探索精神； 3渗透分类讨论思想 教学重点和难点 重点：有理数乘方的运算 难点：有理数乘方运算的符号法则 课堂教学过程设计 一、从学生原有认知结构提出问题 在小学我们已经学习过a ·a ，记作a2，读作a 的平方(或a 的二次方)；a ·a ·a 作a3，读作a 的立方(或a 的三次方)；那么，a ·a ·a ·a 可以记作什么?读作什么?a ·a ·a ·a ·a 呢? 434 21Λ个 n a a a a ?? (n 是正整数)呢? 在小学对于字母a 我们只能取正数进入中学后，我们学习了有理数，那么a 还可以取哪些数呢?请举例说明 二讲授新课 1求n 个相同因数的积的运算叫做乘方 2乘方的结果叫做幂，相同的因数叫做底数，相同因数的个数叫做指数 一般地，在a n 中，a 取任意有理数，n 取正整数 应当注意，乘方是一种运算，幂是乘方运算的结果当a n 看作a 的n 次方的结果时，也可 以读作a 的n 次幂。 3．我们知道，乘方和加、减、乘、除一样，也是一种运算，n a 就是表示n 个a 相乘，所以可以利用有理数的乘法运算来进行有理数乘方的运算 例1 计算： (1)2，??? ??212，??? ??322，24 ； (2)-2，??? ??-212，??? ??-323，(-2)4； (3)0，02，03，04 教师指出：2就是21，指数1通常不写让三个学生在黑板上计算 引导学生观察、比较、分析这三组计算题中，底数、指数和幂之间有什么关系? (1)模向观察 正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数；零的任何次幂都是零 (2)纵向观察 互为相反数的两个数的奇次幂仍互为相反数，偶次幂相等 (3)任何一个数的偶次幂都是什么数 任何一个数的偶次幂都是非负数 你能把上述的结论用数学符号语言表示吗? 当a ＞0时，a n ＞0(n 是正整数)；
有理数的乘方 引入： 棋盘上的数学 古时候，在某个王国里有一位聪明的大臣，他发明了国际象棋，献给了国王，国王从此迷上了下棋。为了对聪明的大臣表示感，国王答应满足这个大臣的一个要求。大臣说：“陛下，就在这个棋盘上放一些米粒吧！第1格放1粒米，第2格放2粒米，第3格放4粒米，然后是8粒、16粒、32粒…，一直到第64格。”“你真傻！就要这么一点米粒？！”国王哈哈大笑，大臣说：“就怕您的国库里没有这么多米！” 设计意图： 通过创设故事和问题情境,吸引学生的注意力，唤起学生的好奇心，激发学生兴趣和主动学习的欲望，营造一个让学生主动思考、探索的氛围。 猜想第64格的米粒是多少？ 第1格: 1 第2格: 2 第3格: 4=2×2=22 第4格: 8=2 ×2 ×2=23 第5格: 16= 2 ×2 ×2 ×2=24 63个2 第64格=2×2×······×2=263 【知识点二】乘方的意义 乘方：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方 a·a·…·a=a n
a n 读作a 的n 次幂（或a 的n 次方）。 其中a 是底数，n 是指数。 【例1】 把下列各数写成乘方的形式 （1） （-6）×（-6） ×（-6） （2） 32323232??? （3）－ 2×2×2×2 变式训练 读出下列个数，并指出其中的底数和指数 1) 在（－9）7中,底数是 ，指数是 ，读作 ,或读作 ； 2) 在83中，底数是 ，指数是 ，读作 ,或读作 ； 3) 在 中，底数是 ，指数是 ，读作 ； 4) 在－24中，底数是 ，指数是 ； 5）在 5 中,底数是 ,指数是 。 【知识点三】 有理数乘方的运算法则： 正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； 【例2】 计算 1) （-3）4 2) -3 4 443?? ? ??
《有理数的乘方》教学设计 《有理数的乘方》是新人教版七年级数学第一章有理数中第五节内容，是学生学习有理数的加、减、乘、除四种运算后的一个有关有理数的运算。 教材分析： 《有理数的乘方》是有理数乘法中相同因数相乘的简单表示方法,它作为基础知识,对学生以后学习科学记数法,进行幂的五种运算、整式加减等知识有很大帮助。 学情分析： 学生在小学阶段学过边长为a的正方形的面积a 2 , 正方体的体 积 a 3 ，同时,学生已经熟练掌握有理数乘法的运算，为学生学习有理数的乘方奠定了基础。 教学目标： 知识目标： 理解有理数乘方的意义，能根据乘方的意义进行有理数的乘方运算。 能力目标： 通过学生自学、观察、思考，小组讨论、总结等活动，让学生体会从特殊到一般的归纳过程，培养学生的语言表达能力，学生的观察力、倾听及自学的能力，提高学生的逻辑思维能力。 情感目标： 通过小组讨论，共同探索，共同分享成功的喜悦，感受团结协作的团队精神，激发学生学习数学的兴趣。 教学重点：有理数乘方的意义。
教学难点：负数的正整数幂的正负。 教学方法：学生自学与四环节教学法相结合。 教学过程设计 （一）体验感受，激发兴趣 做游戏：拿出课前让学生准备好的纸，让学生动手折纸。 对折1次后，纸变成了几层？对折2次后变成几层？按照刚才折纸的规律，将一张足够长的纸连续20次，应该是多少层？ 第1次对折的层数是：2 第2次对折的层数是：2×2 第3次对折的层数是：2×2×2 第20次对折的层数是：2×2×2×2……×2 20个2 20个2相乘的结果是多少？如果这张纸的厚度为0.1毫米，那么折纸的高度比我们学校的教学楼要高得多，你相信吗？学了今天的内容你们就会明白了。（板书课题——有理数的乘方） 【设计意图】学生亲自动手，切实体验感受，激发其寻求规律的欲望，为新课学习作铺垫。 （二）比较概括，提炼概念 问题：1.边长为5的正方形的面积是多少? 2.棱长为5的正方体的体积为多少? （课件出示） 5×5=52=25 5×5×5=53 =125
有理数的乘方测试题及答案 一、填空题 1.算式(－3)×(－3)×(－3)×(－3)用幂的形式可表示为，其值为 . 2.在今年的“两会”上，温家宝总理在政府工作报告中提出，要在5年之内，在全国逐步取消农业税，减轻农民负担.目前我国农民每年交纳的农业税约为300亿远，用科学记数法表示为（结果保留3个有效数字） . 3. 计算的结果为 . 4.圆周率=3.141592653…，如果取近似数3.142，它精确到位，有效数字是 . 5.用计算器计算： （1） . （2） . 二、选择题 1.下列语句中的各数不是近似数的是（）. A.印度洋海啸死亡和失踪总人数已超28万人 B.生物圈中已知的绿色植物，大约有30万种 C.光明学校有1148人 D.我国人均森林面积不到世界的公顷 2．用四舍五入法按要求对0.05019取近似值，其中错误的是（）A．0.1（精确到0.1）B．0.05（精确到百分位） C．0.05（保留两个有效数字）D．0.0502（精确到0.0001） 3．下列各组数中，数值相等的是（） A．B．C．D． 三、 1.计算： （1）；（2）； （3）；（4）－(－2)3(－0.5)4. 2.计算： （1）23－32－(－2)×(－7)； （2）－14－[2－(－3)2]. 四 1.用科学记数法表示下列各数： （1）地球距离太阳约有一亿五千万千米； （2）第五次全国人口普查，我国人口总数约为129533万人. 2．请你把32，这六个数按从小到大的顺序排列，并用“<”连接. 3．假如我们的计算机每秒钟能够计算10亿种可能性，那么，10台计算机一个世纪能够分析多少种可能性？与比较，哪个大？（假如一年有365天，一天有24小时）
有理数的乘方(一) 教学目标： 1、理解有理数乘方的意义； 2、掌握有理数乘方运算； 3、能确定有理数加、减、乘、除、乘方混合运算的顺序； 4、会进行有理数的混合运算； 5、培养并提高正确迅速的运算能力． 教学重点：有理数乘方的意义；运算顺序的确定和性质符号的处理． 教学难点：幂、底数、指数的概念及其表示；有理数的混合运算． 教学过程： 一、学前准备 1、看下面的故事：从前，有个“聪明的乞丐”他要到了一块面包．他想，天天要饭太辛苦，如果我第一天吃这块面包的一半，第二天再吃剩余面包的一半，……依次每天都吃前一天剩余面包的一半，这样下去，我就永远不要去要饭了！ 学生交流讨论并计算，如果把整块面包看成整体“1”，那第十天他将吃到面包． 2、拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复多次，就能把这根很粗的面条，拉成许多很细的面条．想想看，捏合次后，就可以拉出32根面条？ 二、合作探究 我们学过正方形的面积公式，知道边长为a的正方形面积为a?a；我们还知道棱长为a的正方体的体积是a?a?a． a?a可简记为a2，读作a的平方(或二次方)． a?a?a可简记为a3，读作a的立方(或三次方)． 一般地，n个相同的因数a相乘，即，记作a n，读作a的n次方． 接下来引入乘方的概念：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂；在 a n中，a叫做底数，n叫做指数，当a n看作a的n次方的结果时，也可读作a的n次幂；当指数是1时，通常省略不写．
三、新知应用 1、将下列各式写成乘方(即幂)的形式： 1)(?2.3)×(?2.3)×(?2.3)×(?2.3)×(?2.3) ＝．(?2.3)5 2)(?)×(?)×(?)×(?) ＝．(?)4 3)x?x?x?……?x(2008个) ＝．x2008 2、计算： 1)(?3)4 2)(?)3 3)(?5)3 4)()2 解答：1)(?3)4 = (?3)×(?3)×(?3)×(?3) = 81 2) (?)3 = (?)×(?)×(?) = ? 3)(?5)3 = (?5)×(?5)×(?5) = ?125 4) ()2 =×= 从上题中你能发现什么规律？ 归纳：正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，0的任何次幂都是0． 3、思考：(?2)4和?24意义一样吗？为什么？ 4、混合运算：
《有理数的乘方》专题培优 （一）知识回顾1、一个有理数的平方是正数，则这个数的立方是（） A、正数B 、负数C 、正数或负数 D 、奇数 2、（_ 1 ）2001+ （_ 1 ）2002+| I] + （- 1 ）2003的值等于（） A 0 B 、1 C 、一 1 D 、2 3、一个数的立方是它本身，那么这个数是（） A、0 B 、0 或1 C 、—1 或1 D 、0 或1 或—1 4、如果一个有理数的正偶次幕是非负数，那么这个数是（） A、正数B 、负数C 、非负数D 、任何有理数 4 2 3 5、一2 X （—2）X （—2）=（） A、29 B 、一29 C 、一224 D 、224 5、两个有理数互为相反数，那么它们的n次幕的值（） A、相等B 、不相等C 、绝对值相等 D 、没有任何关系 7、平方等于它本身的数是______ ，立方等于它本身的数是____________ ; 8 2 7 3, 2 7 4, 2 7 5的大小关系用“V”号连接可表示为_______________ 9、如果a a，那么a是 _________________ ； 10、 1 2 2 3 3 4 L 2013 2014 __________ ; 11、如果一个数的平方是它的相反数，那么这个数是___________ ;如果一个数的平方是它的倒数，那么这个数是___________ ; 12、若a2b3> 0，则b013 2 1 4 3、4 - 5 5 4 14、26 2 432启15、 2 2 3 1 302 7 16、 2 23130 2 317 2 2 2 2 3 23 20、某种细菌在培养过程中，每半小时分裂一次（由一个分裂成两个），若这种细菌由1个分裂为16 个，则这个过程要经过多 21、你吃过“手拉面”吗？如果把一个面团拉开，然后对折，再拉开，再对折，……如此往复下去，对折10次，会拉出多少根面条？ （二）探究创新： 18 52 [ 4 (1 0.2 5) (2)] 19 14 (1 0.5) 3 [2 ( 3)2]
课题：有理数的乘方 教学目标（1）认知目标:在现实背景中理解有理数乘方的意义，正确理解乘方、幂、指数、底数等概念，会进行有理数乘方的运算。 （2）能力目标: 1.使学生能够灵活地进行乘方运算。 2.通过对乘方意义的理解，培养学生观察、比较、分析、归纳、概括的 能力，渗透转化的数学思想。 （3）情感目标： 1.通过对实例的讲解，让学生体会数学与生活的密切联系。 2.学会数学的转化思想，培养学生灵活处理现实问题的能力。 教学重点正确理解乘方的意义，掌握乘方的符号规律。 教学难点正确理解乘方、底数、指数的概念，并合理运算。 教学方法考虑到七年级学生的认知水平和结构以及思维活动特点，本节课采用多媒体直观教学法，联想比较、发现教学法，设疑思考法，逐步渗透法和师生 交流相结合的方法。 教学手段多媒体辅助教学. 教学过程 教师活动学生活动设计意图 一、创设情境，引入新课。 有一张厚度是0.1毫米的纸，依次折叠1次、2次、3次、 4次，列式并计算纸张的厚度. 引导学生观察、发现纸张厚度所发生的变化是在成倍的增 长. 算式： 对折1次为：0.1×2 对折2次为：0.1×2×2 对折3次为：0.1×2×2×2 对折4次为：0.1×2×2×2×2 珠穆朗玛峰是世界的最高峰，连续对折30次的厚度能超过珠穆朗玛峰。这是真的吗？ 最后老师告诉学生：连续折叠27次就超过珠穆朗玛峰的高度了，而折叠30次就有12个珠穆朗玛峰了。 我们一起来看上面的算式： 列式并计算纸 张的厚度. 教师创设情境，学 生产生疑问 吸引学生的 注意力，唤起 学生的好奇 心，激发学生 兴趣和主动 学习的欲望， 引出课题
对折1次厚度为：2 对折2次厚度为：2×2 对折3次厚度为：2×2×2 对折4次厚度为：2×2×2×2 对折30次厚度为： 问题：观察式子的后面，它们都是什么运算？有什么特点？ 出现问题： 当相同因数相乘而因数的个数非常多时，造成乘法的算式和算法的重复和繁锁，需要创造一种简单的表达式，怎么解决这个问题呢？ 二、新课讲解。 2×2=22 2×2×2=32 乘方：把几个相同的因数相乘的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。 幂的表示：n a a a a a a =????? a n 读作：a 的n 次方，也叫做a 的n 次幂， a 叫做幂的底数，n 叫做幂的指数。 a n 的意义：表示n 个a 相乘。 运算 加 减 乘 除 乘方 结果 和 差 积 商 幂 老师引导学生列 式并观察式子特 点。 教师提出问题 学生独立思考并回答问题 教师板书（课题） 学生理解 乘方、底数、指数、 让学生体会 到问题的存在性和引入新的表示方法-----乘方的必要性！ 承上启下。 与小学所学知识联系，让学生体会乘 方的表示方 法的得出过程及这样表示的合理性。 为定义得出 作铺垫 加深学生对 乘方的理解。让学生更进一步认识幂 特别地：a 可以看作a 的一次幂，也就是 说a 的指数是 1，1次方可以省略，2次方 又叫平方，3 次方又叫立方。 幂的指数 a n 幂的底数 相乘 个a n 30 2×2 ×2 …… 2×2 ×2 =302