《有理数的乘方》典型例题
例1 计算：
（1）4)3(-；（2）3)8(-；（3）4)3
1(- 分析 根据乘方的意义可以直接用乘法来求出各乘方的值．
解 （1）.81)3()3()3()3()3(4=-?-?-?-=-
（2）.512)8()8()8()8(3-=-?-?-=-
（3）.81
1)31()31()31()31()31(4=-?-?-?-=- 说明：（1）4)3(-不能写成43-或（－3）×4，同理3)8(-和4)3
1(-也不能如此书写；（2）观察该题可以发现负数的乘方，当指数是偶数时其乘方的值为正，当指数为奇数时其乘方的值为负．由此我们在计算负数的乘方时也可以先根据这一规律来确定乘方的符号，再计算正数的乘方．
例2 计算：
（1）3)7(--；（2）45.0-
分析 （1）中只要求出3)7(-，就可求出3)7(--；
（2）中需注意的是44)5.0(5.0-≠-．
解 （1）3437)7()7(333==--=-- （2）0625.05.04=-
例3 计算12104)25.0(?-的值．
分析 直接求10)25.0(-和124比较麻烦，但细观察可以发现
个个12121010104444 25.025.025.0)25.0(???=??==-．这就提醒我们利用乘法的交
换律和结合律就比较容易求出结果了．
解 12104)25.0(?-
1210425.0?=
个个1210444 25.025.025.0???????=
)44( )425.0()425.0()425.0(10????????= 个
16 11110????= 个
.16=
说明： 当发现一个题算起来比较麻烦时，我们就应该细观察、多动脑，尽可能找出简便的方法来．
例4 选择题：
（1）在绝对值小于100的整数中，可以写成整数平方的数共（ ）个．
A ．18
B ．19
C ．10
D ．9
（2）在绝对值小于100的整数中，可以写成整数立方的数共有（ ）个．
A ．7
B ．8
C ．10
D ．12
分析 （1）绝对值小于100的整数共199个；0，±1，±2，…，±99，由于任何整数的平方都是非负数，所以满足题意的数应在0，1，…，99中寻找．819,648,497,366,255,164,93,42,11,002222222222==========，而100102=（不合题意），所以共计10个数．
（2）负整数的立方仍然是负数，且可以看做与正数的立方是成对的，比如有6443=，就有64)4(3-=-，只有03是个特殊情况，因此，在所给范围内可写成整数立方的数的个数必为奇数．
解 （1）选C （2）选A ．
说明：（1）从课本中用黑体字给出的乘方的符号规律地可以知道，负数不可能等于某个有理数的偶数次幂，但可能是某个负数的奇数次幂．
（2）第（2）问还可以怎样给出呢？如果把其中的“D ”改为13个，你又怎样解出呢？要学会给自己提出问题，要学会经常与同学一起研究问题．
小学数学总复习经典好题解析 提前练习一道：分数的加减法单元习题 李林喝了一杯牛奶的1/6,然后加满水，又喝了一杯的1/3，再倒满水后又喝了半杯，又加满了水，最后把一杯都喝了。李林喝的牛奶多，还是水多？ 解答题 1、甲、乙两个修路队同时合修一条1875米的公路，用25天。完工时乙队比甲队少修125米，乙队平均每天修35米，甲队平均每天修多少米？ 2、快车从甲站到达乙站需要8小时，慢车从乙站到达甲站需要12小时，如果快、慢两车同时从甲、乙两站相对开出，相遇是快车比慢车多行180千米，甲、乙两站相遇多少千米？ 3、电影门票20元一张，降价后观众增加一倍，收入增加五分之一，那么一张门票降价多少元？ 4、甲、乙两列火车同时从A、B两城相对开出，行了3.2小时后，两列还相距全程的5/8, 两车还需要几小时才能相遇？ 5、加工一批零件，甲独做30小时完成，乙独做20小时完成，现在两人同时加工，完成任务时，乙给甲87个，两人零件个数就相等，这批零件共多少个？
6、修一条路3天修完。第一天修全长的37%，第二天和第三天修的米数的比是4:5，第二天修了64米，这条路全长多少米？ 7、红星鞋厂生产一批儿童鞋准备装箱。如果每箱装70双，5箱装不满，如果每箱装44双，7箱又装不完，最后决定每箱装A双，这是恰好装满A箱而没有剩余，这批儿童鞋共有多少双？ 8、有两桶油，第一桶用去1/4后，余下的与第二桶的质量比是3:5，第一桶原来有油18千克，第二桶原来有油多少千克？ 9、客车从甲地，货车从乙地同时相对开出。一段时间后，客车行了全程的7/8,货车行的超过中点54千米，已知客车比货车多行了90千米，甲、乙两地相距多少千米？ 10、甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，当甲车行到全程的7/11时与乙车相遇，乙车继续以每小时40千米的速度前进，又行驶了154千米到达A地。甲车出发到相遇用了多少小时？ 11、生产一批零件，甲每小时可以生产70个，乙单独做要10小时完成，现在由甲、乙两个人同时合做完成，甲、乙生产零件数量的比是4:3，甲一共生产理解多少个？ 12、一个商店以每双6.5双的价格购进一批布鞋，以每双8.7元的价格售出，当卖出这批布鞋的3/4时，不仅收回原来的成本，而且还盈利20元，购进这批布鞋是多少双？
勾股定理全章知识点和典型例习题 一、基础知识点： １．勾股定理 内容： 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么 ２.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： ３.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ?中，90C ∠=?， 则 ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题 4.勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若 ，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若 ，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形； ②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 5.勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用 c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D C B A
中考数学勾股定理知识点-+典型题及解析 一、选择题 1．图中不能证明勾股定理的是（ ） A ． B ． C ． D ． 2．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国算书《网醉算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1，是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，BC=5，点D ，E ，F ，G ，H ，I 都在矩形KLMJ 的边上，则矩形KLMJ 的面积为( ) A ．121 B ．110 C ．100 D ．90 3．如图，在ABC 中，90A ∠=?，6AB =，8AC =，ABC ∠与ACB ∠的平分线交于点O ，过点O 作⊥OD AB 于点D ，若则AD 的长为( )
A ．2 B ．2 C ．3 D ．4 4．已知△ABC 是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt △ABC 的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt △ACD ，再以Rt △ACD 的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt △ADE ，…，依此类推，第n 个等腰直角三角形的面积是( ) A ．2n ﹣2 B ．2n ﹣1 C ．2n D ．2n+1 5．如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 边长分别为a 和b ，正方形CEFG 绕点C 旋转，给出下列结论：①BE=DG；②BE⊥DG；③DE 2+BG 2=2a 2+2b 2，其中正确结论有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 6．如图是我国数学家赵爽的股弦图，它由四个全等的直角三角形和小正方形拼成的一个大正方形．已知大正方形的面积是l3，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边长为a ，较长直角边长为b ，那么()2 a b +值为（ ） A ．25 B ．9 C ．13 D ．169 7．我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知90A ∠=?正方形ADOF 的边长是2，4BD =，则CF 的长为（ ） A ．6 B ．2 C ．8 D ．10 8．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了上图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）
新人教版八年级下册勾股定理典型例习题 一、经典例题精讲 题型一:直接考查勾股定理 例１.在ABC ?中,90C ∠=?. ⑴已知6AC =,8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =,15AC =,求BC 的长分析:直接应用勾股定理 222a b c += 解:⑴2210AB AC BC =+= ⑵228BC AB AC =-= 题型二:利用勾股定理测量长度 例题1 如果梯子的底端离建筑物9米,那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米? 解析:这是一道大家熟知的典型的“知二求一”的题。把实物模型转化为数学模型后,．已 知斜边长和一条直角边长，求另外一条直角边的长度,可以直接利用勾股定理! 根据勾股定理AC 2+BC 2＝AB 2， 即ＡＣ2+9２=1５2,所以AC ２ =144,所以AC=12. 例题２ 如图(8），水池中离岸边D 点１.5米的C 处,直立长着一根芦苇，出水部分B Ｃ的长是0.５米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B 恰好落到D 点,并求水池的深度AC. 解析:同例题１一样，先将实物模型转化为数学模型，如图 2. 由题意可知△AC Ｄ中,∠ACD=90°,在Ｒt △ACD 中,只知道CD ＝１．5，这是典型的利用勾股定理“知二求一”的类型。 标准解题步骤如下(仅供参考）: 解:如图2,根据勾股定理，AC 2+CD 2=A Ｄ2 设水深AC= x 米，那么AD ＝A Ｂ=AC+CB ＝x +0.5 ｘ２+1．52=( x ＋0.5）2 解之得x =2. 故水深为2米. 题型三:勾股定理和逆定理并用—— 例题3 如图3，正方形ＡＢCD 中，E 是ＢC 边上的中点,F 是AB 上一点，且AB FB 4 1= 那么△ＤEF 是直角三角形吗?为什么? C B D A
七年级数学上册典型例题 例1. 已知方程2x m－3+3x=5是一元一次方程，则m= . 解：由一元一次方程的定义可知m－3=1，解得m=4.或m－3=0，解得m=3 所以m=4或m=3 警示：很多同学做到这种题型时就想到指数是1，从而写成m=1，这里一定要注意x的指数是（m－3）. 例2. 已知2 x=-是方程ax2－（2a－3）x+5=0的解，求a的值. 解：∵x=－2是方程ax2－（2a－3）x+5=0的解 ∴将x=－2代入方程， 得a·（－2）2－（2a－3）·（－2）+5=0 化简，得4a+4a－6+5=0 ∴ a=8 1 点拨：要想解决这道题目，应该从方程的解的定义入手，方程的解就是使方程左右两边值相等的未知数的值，这样把x=－2代入方程，然后再解关于a的一元一次方程就可以了. 例3. 解方程2（x+1）－3（4x－3）=9（1－x）. 解：去括号，得2x+2－12x+9=9－9x， 移项，得2+9－9=12x－2x－9x. 合并同类项，得2=x，即x=2. 点拨：此题的一般解法是去括号后将所有的未知项移到方程的左边，已知项移到方程的右边，其实，我们在去括号后发现所有的未知项移到方程的左边合并同类项后系数不为正，为了减少计算的难度，我们可以根据等式的对称性，把所有的未知项移到右边去，已知项移到方程的左边，最后再写成x=a的形式. 例4. 解方程 1 7 5 3 2 1 4 1 6 1 8 1 = ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? + - x . 解析：方程两边乘以8，再移项合并同类项，得111 351 642 x ?-? ?? ++= ? ?? ?? ?? 同样，方程两边乘以6，再移项合并同类项，得11 31 42 x- ?? += ? ??
类型一：勾股定理的直接用法 1、在Rt△ABC中，∠C=90° (1)已知a=6，c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a. 思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。 解析：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b= (2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c= (3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a= 举一反三 【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少? 【答案】∵∠ACD=90° AD=13, CD=12 ∴AC2 =AD2－CD2 =132－122 =25 ∴AC=5 又∵∠ABC=90°且BC=3 ∴由勾股定理可得 AB2=AC2－BC2 =52－32 =16 ∴AB= 4 ∴AB的长是4. 类型二：勾股定理的构造应用 2、如图，已知：在中，，，. 求：BC的长. 思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有 ，，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的 长. 解析：作于D，则因， ∴（的两个锐角互余） ∴（在中，如果一个锐角等于， 那么它所对的直角边等于斜边的一半）. 根据勾股定理，在中， . 根据勾股定理，在中，
. ∴. 举一反三【变式1】如图，已知：，，于P. 求证：. 解析：连结BM，根据勾股定理，在中， . 而在中，则根据勾股定理有 . ∴ 又∵（已知）， ∴. 在中，根据勾股定理有 ， ∴. 【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。 分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。 解析：延长AD、BC交于E。 ∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。 ∴AE=2AB=8，CE=2CD=4， ∴BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE==。 ∵DE2= CE2-CD2=42-22=12，∴DE==。 ∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=AB2BE-CD2DE= 类型三：勾股定理的实际应用（一） 用勾股定理求两点之间的距离问题3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了 到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。（1）
典型例题 知识点一、直接应用勾股定理或勾股定理逆定理 例1:如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB CD EF、GH四条线段, 其中能构成一个直角三角形三边的线段是（） A.CD、EF、 GH C. AB、CD GH B.AB、EF、GH D. AB、CD EF 愿路分乐屮 1）題意分析’本题考查幻股定理及勾股定理的逆定理.亠 2）解題思器；可利用勾脸定理直接求出各边长，再试行判断?』 解答过整屮 在取DEAF中，Af=l, AE=2,根据勾股定理，得昇 EF = Q抡於十￡尸° = Q +F二艮 同理HE = 2百* QH. = 1 CD = 2^5 计算发现W十◎血尸=（鸥31即血+曲=GH2,根据勾股定理的逆宦理得到UAAE、EF\ GH为辺的三角形是直毎三角形.故选B. * 縮題后KJ思专：* 1.勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于说角三角形和钝角三角形? 因此」辭题时一宦妾认真分析题目所蛤■条件■,看是否可用勾股定理来解口* 2.在运用勾股左理时，要正确分析题目所给的条件，不要习惯性地认为就是斜 迫而“固执”地运用公式川二/十就其实，同样是S6
"不一罡就等于餌，疋不一罡就昱斜辺，KABC不一定就是直角三祐
3.直角三第形的判定条件与勾股定理是互逆的.区别在于勾股定理的运用是一个从 卅形s—个三角形是直角三角形）到懺 y =沖十沪）的过程，而直角三角形的判定是一 ①从嗦（一个三角形的三辺满足X二护+酹的条件）到偲个三角形是直角三角形）的过 程.a 4?在应用勾股定理解题叭聲全面地琴虑间题.注意m题中存在的多种可能性，遊免漏辭.初 例玉如圏，有一块直角三角形?椀屈U,两直角迫4CM5沁丸m?现将直角边AC沿直绘AD折蠡便它落在斜边AB上.且点C落到点E处, 则切等于（、* C/) "禎 B. 3cm G-Icni n題童分析，本题着查勾股定理的应用刎 ：）解龜思路；車题若直接在△MQ中运用勾股定理是无法求得仞的长的，因为貝知遒一条边卫0的长，由题意可知，AACD和心迓门关于直线KQ对称.因而^ACD^hAED ?进一歩则有应RUm CZAED ED 丄AB,设UD=E2＞黄泱，则在Rt A ABO中，由勾股定 理可得^=^（^+^=^83=100,得AB=10cm,在松迟DE 中,W ClO-fl）2= d驚解得尸 九4 解龜后的思琴尸 勾股定理说到底是一个等式，而含有未知数的等式就是方程。所以，在利用勾股定理求线段的长时常通过解方程来解决。勾股定理表达式中有三个量，如果条件中只有一个已知量，必须设法求出另一个量或求出另外两个量之间的关系，这一点是利用勾股定理求线段长时需要明确的思路。 方程的思想：通过列方程（组）解决问题，如：运用勾股定理及其逆定理求线段的长度或解决实际问题时，经常利用勾股定理中的等量关系列出方程来解 决问题等。 例3：一场罕见的大风过后，学校那棵老杨树折断在地，此刻，张老师正和占 明、清华、绣亚、冠华在楼上凭栏远眺。 清华开口说道：“老师，那棵树看起来挺高的。” “是啊，有10米高呢，现在被风拦腰刮断，可惜呀！” “但站立的一段似乎也不矮，有四五米高吧。”冠华兴致勃勃地说。 张老师心有所动，他说：“刚才我跑过时用脚步量了一下，发现树尖距离树根恰好3米，你们能求出杨树站立的那一段的高度吗？” 占明想了想说：“树根、树尖、折断处三点依次相连后构成一个直角三角
七年级数学 下学期期末复习知识归纳总结与典型例题 【本讲教育信息】 一. 教学内容: 期末几何复习 二. 知识归纳总结(知识清单) 知识点(1)同一平面两直线的位置关系 知识点(2)三角形的性质 三角形的分类 <1>按边分 <2>按角分 ???? ???三角形 三角形锐角三角形)9()8(
知识点(3)平面直角坐标系 <1>有序实数对 有顺序的两个实数a和b组成的实数对叫做有序实数对，利用有序实数对可以很准确地表示(18) 的位置。 <2>平面直角坐标系 在平面内两条互相垂直且有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系，水平的数轴叫做x 轴或横轴，取向右为正方向；竖直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向，两坐标轴的交点O为平面直角坐标系的(19) 三、中考考点分析 平面图形及其位置关系是初中平面几何的基础知识，相交点与平行线更是历年中考常见的考点，通常以填空题和选择题的形式考查，其中角平分线的定义及其性质，平行线的性质与判定，利用“垂线段最短”解决实际问题是重点；平面直角坐标系的考查重点是在直角坐标系中表示点及直角坐标系中点的特征，分值为3分左右，考查难度不大；三角形是最基本的几何图形，三角形的有关知识是学习其它图形的工具和基础，是中考重点，考查题型主要集中在选择题和解答题。 【典型例题】 相交线与平行线 例一、如图:直线a∥b，直线AC分别交a、b于点B、C，直线AD交a于点D 若∠1＝20°，∠2＝65°
则∠3＝＿＿＿ 解析:∵a∥b(已知) ∴∠2＝∠DBC＝65°(两直线平行，内错角相等) ∵∠DBC＝∠1＋∠3(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和) ∴∠3＝∠DBC－∠1 ＝65°－20° ＝45° 本题考查平行线性质和三角形的外角性质的应用 例二．将一副三角板如图放置，已知AE∥BC，则∠AFD的度数是【】A．45°B．50°C．60°D．75° 解析:∵AE∥BC(已知) ∴∠C＝∠CAE＝30°(两直线平行，内错角相等) ∵∠AFD＝∠E＋∠CAE(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和) ＝45°＋30°=75°故选D 本题解答时应抓住一副三角板各个角的度数 例三．如图，∠1＋∠3＝180°，CD⊥AD，CM平分∠DCE，求∠4的度数 解析:∵∠3＝∠5(对顶角相等)∠1＋∠3＝180°(已知) ∴∠1＋∠5＝180°(等量代换) ∴AD∥BE(同旁内角互补，两直线平行) ∵CD⊥AD(已知) ∴∠6＝90°(垂直定义) 又∵AD∥BE(已证) ∴∠6＋∠DCE＝180°(两直线平行，同旁内角互补) ∴∠DCE＝90° 又∵CM平分∠DCE(已知)
统计学是一门收集、整理和分析数据的方法科学，其目的是探索数据的内在数量规律性，以达到对客观事物的科学认识。包括：1.数据搜集：例如，调查与试验；2.数据整理：例如，分组；3.数据展示：例如，图和表；4.数据分析：例如，回归分析。 统计学的分科：按内容分为描述统计学（描述数据特征；找出数据的基本规律）和推断统计学（对总体特征作出推断）；按性质分为理论统计学（统计学的一般理论和数学原理）和应用统计学（在各领域的具体应用）。 一、描述统计学的典型例题 【例3.3】某生产车间50名工人日加工零件数如下（单位：个） 117 122 124 129 139 107 117 130 122 125 108 131 125 117 122 133 126 122 118 108 110 118 123 126 133 134 127 123 118 112 112 134 127 123 119 113 120 123 127 135 137 114 120 128 124 115 139 128 124 121 要求：请对上述数据进行分组，编制频数分布表；绘制直方图，并对该情况进行简要的分析说明 可以按Sturges 提出的经验公式来确定组数K=1+lgn/lg2 确定各组的组距：组距＝( 最大值- 最小值）÷组数 等距分组表（上下组限重叠——不重不漏：左闭右开）（上下组限间断）
面积来表示各组的频数分布；在直角坐标中，用横轴表示数据分组，纵轴表示频数或频率，各组与相应的频数就形成了一个矩形，即直方图(Histogram)；直方图下的总面积等于1。 分组数据—直方图（直方图的绘制） 对该情况进行简要的分析说明（略） 【例3.4】在某地区调查120名刚毕业参加工作的研究生月工资收入，进行分组
新人教版八年级下册勾股定理典型例习题 一、经典例题精讲 题型一：直接考查勾股定理 例１.在ABC ?中，90C ∠=?． ⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长分析：直接应用勾股定理 222a b c += 解：⑴2210AB AC BC =+= ⑵228BC AB AC =-= 题型二：利用勾股定理测量长度 例题1 如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少 米？ 解析：这是一道大家熟知的典型的“知二求一”的题。把实物模型转化为数学模型后，. 已知斜边长和一条直角边长，求另外一条直角边的长度，可以直接利用勾股定理！ 根据勾股定理AC 2+BC 2=AB 2, 即AC 2+92=152,所以AC 2 =144,所以AC=12. 例题2 如图（8），水池中离岸边D 点1.5米的C 处，直立长着一根芦苇，出水部分B C 的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B 恰好落到 D 点，并求水池的深度AC. 解析：同例题1一样，先将实物模型转化为数学模型，如 图2. 由题意可知△ACD 中,∠ACD=90°,在Rt △ACD 中，只知道CD=1.5，这是典型的利用勾 股定理“知二求一”的类型。 标准解题步骤如下（仅供参考）： 解：如图2，根据勾股定理，AC 2+CD 2=AD 2 设水深AC= x 米，那么AD=AB=AC+CB=x +0.5 x 2+1.52=（ x +0.5）2 解之得x =2. 故水深为2米. 题型三：勾股定理和逆定理并用—— 例题3 如图3，正方形ABCD 中，E 是BC 边上的中点，F 是AB 上一点，且AB FB 4 1= 那么△DEF 是直角三角形吗？为什么？ C B D A
勾股定理课时练（1） 1. 在直角三角形ABC中，斜边AB=1，则AB2 2 2AC BC+ +的值是（） A.2 B.4 C.6 D.8 2.如图18－2－4所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD，AD∥BC，斜腰DC的长为10 cm，∠D=120°，则该零件另一腰AB的长是______ cm（结果不取近似值）. 3. 直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______． 4.一根旗杆于离地面12m处断裂，犹如装有铰链那样倒向地面，旗杆顶落于离旗杆地步16m，旗杆在断裂之前高多少m？ 5.如图，如下图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是米. 6. 飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶正上方4000米处,过了20秒,飞机距离这个男孩头顶5000米,求飞机每小时飞行多少千米? 7. 如图所示，无盖玻璃容器，高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇，试求急于扑货苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度. 8. 一个零件的形状如图所示，已知AC=3cm，AB=4cm，BD=12cm。求CD的长. 9. 如图，在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，求AB的长. 10. 如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北 7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？ 11如图，某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m，宽2m的楼道上铺地毯,已知地毯平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱? 12. 甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源．为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米．早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10：00，甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？
初一英语Revision 2外研社（初中起点） 【本讲教育信息】 一. 教学内容： Revision 2 二. 教学重点 1. 重点的词汇和语法 2. 考点例题 三. 内容的讲解与分析 1. like的句型有如下的两种. （1）Would you like sth. 此句型表示委婉地征求对方的意见。意为“你想要某物吗” 肯定回答为：Yes, please . / /否定回答为 :No, thanks . 如： Would you like some apples to eat Yes, please . 你想要些苹果吗好的，来点吧。 Would you like some fish No ,thanks . 你想要些鱼肉吗不，谢谢。 （2）Would you like to do sth. 此句表示委婉地提出邀请，意为：你愿意做某事吗 肯定回答为：I would like/love to. / I’d like to .(缩写形式) 否定回答为：Sorry, I am afraid not./ Sorry, I can’t. But … Would you like to come to my party Yes ,I’d like to. 你想来我的晚会吗是的，很愿意。 Would you like to fly kites with me Yes, I’d like to. 你想和我一起去放风筝吗很愿意。 Would you like to wear white shirtSorry, I am afraid not. 你想穿白上衣吗不想。 2. 我们来具体看看 can的用法. （1）表示某种能力时，意为“能,会”如： This boy can speak English. 这个男孩会说英语。 （2）表示允许或请求许可时，意为“可以，允许”，相当于may。若要表示更委婉，客气，可用 could来代替。如： You can /may go home now. 你现在可以回家了。 Can /Could I borrow two books at a time 我可以一次借两本书吗 Yes, you can .可以。 （3）表示可能性时，意为“可能”，具有怀疑或不肯定的意味，仅用于否定句或疑问句中. can的否定式can’t 的意思是“不可能”。如： I think you are a good student, you can’t do that thing. 我认为你是好学生，不可能做那样的事。 Can he be a bad man 他可能是坏人吗 3. must 是情态动词，它的用法如下： （1）表示命令，义务或要求时，意为“必须，应该”，其否定式mustn’t意为“不应
勾股定理经典例题(含答案)A
经典例题透析 类型一：勾股定理的直接用法 1、在Rt△ABC中，∠C=90° (1)已知a=6，c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a. 类型二：勾股定理的构造应用 2、如图，已知：在中，，，. 求：BC的长. 举一反三【变式1】如图，已知：，，于P. 求证：. 【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。
类型三：勾股定理的实际应用 （一）用勾股定理求两点之间的距离问题 3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从 营地A点出发，沿北偏东60°方向走了到 达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C 点。 （1）求A、C两点之间的距离。 （2）确定目的地C在营地A的什么方向。 举一反三 【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?
（二）用勾股定理求最短问题 4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线． 举一反三 【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．
类型四：利用勾股定理作长为的线段 5、作长为、、的线段。 举一反三【变式】在数轴上表示的点。 类型五：逆命题与勾股定理逆定理 6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确 1．原命题：猫有四只脚． 2．原命题：对顶角相等 3．原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等． 4．原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等．7、如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足
勾股定理全章知识点和典型例习题 一、基础知识点： 1?勾股定理 内容：____________________________________________________________ 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为 a , b，斜边为c，那么__________________ 2 ?勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 3 ?勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC中，C 90 , 则 __________________________________________ ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定 理解决一些实际问题 4. 勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a , b , c满足a2 b2c，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过数转化为形”来确定三角形的可能 形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和a2 b2与较长边的平方c2作比较，若它们相等时，以 a , b , c为三边 的三角形是直角三角形；若 _________ ，时，以a , b , c为三边的三角形是钝角三角形；若__________________ ，时，以a , b , c为三边的三角形是锐角三角形； ②定理中a , b , c及a2 b2 c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长 a , b , c满足a2 c2 b2, 那么以a , b , c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 5. 勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2 b2 c2中，a , b , c为正整数时，称a , b , c为 一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5 ; 6,8,10 ; 5,12,13; 7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n组勾股数： 2 2 n 1,2n,n 1 （n 2, n 为正整数）； 2n 1,2n2 2n,2n2 2n 1 （n为正整数）m2 n2,2mn,m2 n2（m n, m , n为正整数）7 .勾股定理的应用
1.（2020?岐山县二模）将直角三角板ABC 按如图所示的方式放置，直线a 经过点A ，且直线a ∥BC ，若∠1=60°，则∠2的度数为（ ） A ．35° B ．30° C ．60° D ．50° 【考点】平行线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【分析】先根据平行线的性质求出∠3的度数，再根据平角的定义求出∠2的度数． 【解答】解：如图． ∵直线a ∥BC ， ∴∠3=∠1=60°， ∵∠CAB=90°， ∴∠2=180°-∠CAB-∠3=30°， 故选：B ． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等．
2.（2020?邢台一模）若a表示正整数，且 a，则a << 的值是（） A．3 B．4 C．15 D．16 【考点】实数与数轴；估算无理数的大小． 【专题】二次根式；数感． 【分析】直接利用a的取值范围得出符合题意的答案． 【解答】解：∵<< a << ∴正整数a=4， 故选：B． 【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出接近无理数的整数是解题关键．
≤≤≤，则的3.（2020?鼓楼区一模）已知57,4 整数部分可以是（） A．9 B．10 C．11 D．12 【考点】估算无理数的大小．无理数的整数部分与小数部分【专题】实数；运算能力． 【分析】根据估算无理数的大小的方法即可得 分． ≤≤≤， 【解答】解：∵57,4 ∴25≤a≤49，16≤b≤36， ∴41≤a+b≤85， 则 的整数部分可以是6，7，8，9． 故选：A． 【点评】本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是掌握估算的方法．
勾股定理经典例题 类型一：勾股定理的直接用法 1、在Rt△ABC中，∠C=90° (1)已知a=6，c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a. 思路点拨: 写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。 举一反三 【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少? 类型二：勾股定理的构造应用 2 、如图，已知：在中，， ，. 求：BC的长. 1、某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要（） A、450a元 B、225a 元 C、150a元 D、300a元 举一反三【变式1】如图，已知： ，，于P. 求证：. 150° 20m 30m
【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。 类型三：勾股定理的实际应用 （一）用勾股定理求两点之间的距离问题 3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了到达B 点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。 （1）求A、C两点之间的距离。 （2）确定目的地C在营地A的什么方向。 举一反三 【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门? （二）用勾股定理求最短问题 4、如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，
XX教育一对一个性化教案 授课日期：2014 年月日学生姓名许XX 教师姓名授课时段2h 年级8 学科数学课型VIP 教学内容勾股定理及逆定理 教学重、难点重点：运用勾股定理判定一个三角形是否为直角三角形。难点：运用用勾股定理和勾股定理逆定理解决实际问题。 教学步骤及突出教学方法一、知识归纳 1、勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a，b，c满足222 a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22 a b +与较长边的平方2c作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；若222 a b c +<，时，以a，b，c为三边的三角形是钝角三角形；若222 a b c +>，时，以a，b，c为三边的三角形是锐角三角形； ②定理中a，b，c及222 a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足222 a c b +=，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边。 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形。 2、勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222 a b c +=中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n组勾股数： 22 1,2,1 n n n -+（2, n≥n为正整数）； 22 21,22,221 n n n n n ++++（n为正整数） 2222 ,2, m n mn m n -+（, m n >m，n为正整数）
初三数学上册期末复习资料加经典例题 第一章、图形与证明（二） （一）、知识框架 (二)知识详解 2．1、等腰三角形的判定、性质及推论 性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角） 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边） 推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”） 2．2、等边三角形的性质及判定定理 性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60度；等边三角形的三条边都满足“三 2.直角三角形全等的判定：HL 4.等腰梯形的性质和判定 5.中位线 三角形的中位线 梯形的中位线 注意：若等边三角形的边长为a ，则：其高为： ，面积为： 。 1.等腰三角形 等边三角形的性质和判定 等腰三角形的性质和判定 线段的垂直平分线的性质和判定 角的平分线的性质和判定 3.平行四边形 平行四边形的性质和判定：4个判定定理 矩形的性质和判定 菱形的性质和判定：3个判定定理 正方形的性质和判定：2个判定定理 注注意：（1）中点四边形 ①顺次连接任意四边形各边中点，所得的新四边形是 ； ②顺次连接对角线相等的四边形各边中点，所得的新四边形是 ； ③顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点，所得的新四边形是 ； ④顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点，所得的新四边形是 。 ab S 2 1=注意：（1）解决梯形问题的基本思路:通过分割和拼接转化成三角形和平行四边形进行解决。 即需要掌握常作的辅助线。 （2）梯形的面积公式：()lh h b a S =+=2 1 （l -中位线长）
线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。 判定定理：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。或者三个角都相等的三角形是等边三角形。 2．3、线段的垂直平分线 （1）线段垂直平分线的性质及判定 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 （2）三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。 （3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线 分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线。 2．4、角平分线 （1）角平分线的性质及判定定理 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。 （2）三角形三条角平分线的性质定理 性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。 （3）如何用尺规作图法作出角平分线 2．5、直角三角形 （1）勾股定理及其逆定理 定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 （2）直角三角形全等的判定定理 定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL） 2.6、几种特殊四边形的性质
经典例题透析 类型一：勾股定理的直接用法 1、在Rt△ABC中，∠C=90° (1)已知a=6，c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a. 思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。 解析：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b= (2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c= (3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a= 举一反三 【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长 是多少? 【答案】∵∠ACD=90° AD=13, CD=12 ∴AC2 =AD2－CD2 =132－122 =25 ∴AC=5 又∵∠ABC=90°且BC=3 ∴由勾股定理可得 AB2=AC2－BC2 =52－32 =16 ∴AB= 4 ∴AB的长是4. 类型二：勾股定理的构造应用 2、如图，已知：在中，，，. 求：BC的长.
思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有 ，，再由勾股定理计算出AD、DC的长， 进而求出BC的长. 解析：作于D，则因， ∴（的两个锐角互余） ∴（在中，如果一个锐角等于， 那么它所对的直角边等于斜边的一半）. 根据勾股定理，在中， . 根据勾股定理，在中， . ∴. 举一反三【变式1】如图，已知：，，于P. 求证：. 解析：连结BM，根据勾股定理，在中， . 而在中，则根据勾股定理有 . ∴ 又∵（已知）， ∴. 在中，根据勾股定理有 ， ∴. 【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD