金属自由电子气理论 特鲁德电子气模型：特鲁德提出了第一个固体微观理论利用微观概念计算宏观实验观测量 自由电子气+波尔兹曼统计→欧姆定律 电子平均自由程+分子运动论→电子的热导率 特鲁德（Paul Drude ）模型的基本假设1 1.自由电子近似：传导电子由原子的价电子提供，离子实对电子的作用可以忽略不计，离子实的作用维持整个金属晶体的电中性，与电子发生碰撞。 2.独立电子近似：电子与电子之间的相互作用可以忽略不计。外电场为零时，忽略电子之间的碰撞，两次碰撞（与离子实碰撞）之间电子自由飞行（与经典气体模型不同，电子之间没有碰撞，电子只与离子实发生碰撞，这一点我们将在能带论中证明是错误的。） 特鲁德（Paul Drude ）模型的基本假设2 3.玻尔兹曼统计：自由电子服从玻尔兹曼统计。 4.弛豫时间近似：电子在单位时间内碰撞一次的几率为1/τ，τ称为弛豫时间（即平均自由时间）。每次碰撞时，电子失去它在电场作用下获得的能量，即电子和周围环境达到热平衡仅仅是通过与原子实的碰撞实现的。 特鲁德模型的成功之处——成功解释了欧姆定律 欧姆定律E j ρ=（或j E σ=），其中E 为外加电场强度、ρ为电阻率、j 为电流密度。
202()1I j nev ne S j E eEt m v v E j m ne eE m v m τρτστρ?==-??=??-?? =+??=????==???=-?? 2.经典模型的另一困难：传导电子的热容 根据理想气体模型，一个自由粒子的平均热量为3/2B k T ，故 333 (),222 A B e U U N k T RT C R T ?====? 33/29v ph e C C C R R =+=+≈（卡/molK.） 但金属在高温时实验值只有6（卡/molK.），即3v C R ≈。 4.2 Sommerfeld 的自由电子论 1925年：泡利不相容原理 1926年：费米—狄拉克量子统计 1927年：索末菲半经典电子论 抛弃了特鲁德模型中的玻尔兹曼统计，认为电子气服从费米—狄拉克量子统计得出了费米能级，费米面等重要概念，并成功地解决了电子比热比经典值小等经典模型所无法解释的问题。 量子力学的索末菲模型 1、独立电子近似：所有离子实提供正电背景，忽略电子与电子之间的相互作用。 2、自由电子近似：电子与原子实之间的相互作用也被忽略。 3、采用费米统计以代替玻尔兹曼统计。 传导电子的索末菲模型
金属中的电子气的理论 金属中的自由电子并非真正自由，而是要受到金属离子的周期势场的作用，因此一些自由电子理论并不能解释金属的全部性质。由F.布洛赫和 .布里渊确立的单电子能带论解释了金属导电性与绝缘体和半导体的差别（见能带理论，半导体），并能定量计算金属的结合能，在考虑了金属离子的热运动的影响后，在描述金属的导电和导热等输运过程方面均取得了很大成功。金属中自由电子之间有很强的相互作用，在低温下考虑了电子通过晶格推动相互耦合就能很好地解释单电子理论无法解释的超导电性。近年来，研究合金中电子运动规律的合金电子理论也是金属电子论中的重要内容。 一、托马斯-费米近似方法 在相互作用强度很大的情况下，相互作用能在系统能量中占主导地位，相比之下，处于基态的系统的粒子由于受到非常强的相互排斥作用，其运动范围受到了限制，因此，动能就会远小于相互作用能。这时候，哈密顿量中的动能就可以忽略掉，被称为托马斯-费米(Thomas-Fermi)近似。一维定态GP 方程变为 则玻色子的密度分布为
同时玻色子密度分布的边界满足，在外势为简谐势的情况 我们得到凝聚体的半径为 则系统的粒子数为 将上式变换一下，得到化学势μ 满足 其中单粒子基态的特征半径为 边界R满足 化学势u和边界R都是随着粒子个数N和相互作用强度U1的增加而增加的。
在处理多电子原子问题中,、通常采用Hartree-Fook近似方法比较好,但是计算比较繁复,工作量大,在电子计算机使用以后,可以帮助人们进行大量的计算,减轻人们的负担,但用电子计算机计算有一个缺点,就是计算机只能进行数值计算,而不能解出一般形式,我们希望能找出一个普遍形式,这样对各种具体问题都能适用。 费米模型认为将金属中电子看作限制在边长为a的立方体盒子中运动.盒子内部势能为0.盒外势能为无限大,这样通过解定态薛定谔方程,可得出金属中电子的许多性质,如电子能级,电子的最高能量,电子的平均能量,电子气的压强,电子气的能级密度和磁化率,而且费米气体模型在固体理论中和原子核结构上也有很大用处,可以推出原子核的质量公式,跟实验结果比较符合得很好。 对于多电子原子应用如下的近似方法,即托马斯——费米方法,这是一个统计方法.它不是直接解薛定愕方程,可得出一些有用结论,其基本思想是在重原子中把正电荷看作连续分布(背景),电子在背景中运动n,这样处理中性原子运动比较成功。 二、哈特利-福克近似方法 通过绝热近似，把电子运动与离子实的运动分开，但系统的薛定谔方程仍然是一个多体方程。由于电子间存在的库伦相互作用，严格求解这种多电子问题是不可能的。通过哈特利-福克（Hartree-Fock）近似,可以将多电子的薛定谔方程简化为单电子有效势方程。 哈特利波函数将多电子波函数表述为每个独立电子波函数的连
1）经典定理固体原子作独立的简谐振动+能量均分定理仅在室温和高温范围内符合实验 2）爱因斯坦理论固体原子的振动模满足谐振子解+所有固体原子作同频共振+原子在振动模上服从玻尔兹曼分布在低温上定性符合3）德拜理论（非金属固体）固体原子的振动模式按频率的分布服从驻波条件+固体原子的振动模式的能量满足谐振子解+每一个振动模式只与一个原子的振动相对应+原子在振动模式上服从玻尔兹曼分布在低温时定性符合4）索末菲理（金属固体）对于金属固体：离子振动贡献+自由电子气体贡献。对自由电子气体：电子具有波粒二象性+电子的量子态满足驻波条件+自由电子在量子态上的填充满足费米分布。对离子振动：服从德拜理论，在低温处①金属中的自由电子形成强简并的费米气体，或者说自由电子气体以强简并形式占据量子态。 ②德布罗意假设——电子具有波粒二象性 ③电子自旋为1/2，且电子间为库仑相互作用。金属中的自由电子服从费米分布 ④在体积V 内，能量在的范围内，电子的实际量子态为⑤0K 时费米温度和电子简并压。当T=0K 时，化学势设为，则由费米分布有平均粒子数（体现了占据最低能量态和泡利不相容原理） 一般情况下，，即电子气体的分布与0K 时相差不大，与十分接近。由的分布可知，只有能量在附近，量级为的范围内的电子对热容量有贡献。这部分粒子数为、对能量和热容的贡献为固体的热容量问题 金属中的自由电子气体由自由电子在量子态上的费米分布，总电子数为 费米能级 费米动量费米温度（根据单个粒子的等效热温度概念） 0K 时的自由电子气体的内能 0K 时的自由电子气体的压强 T>0K 时自由电子气体性质自由电子气体的热容量的定量计算 低温下金属固体的实际定容热容量贡献的来源：金属中的离子振动——德拜理论+金属中的自由电子气体——索末菲理论。低温下金属的总定容热容量为自由电子气体
第四章 金属自由电子理论 1.金属自由电子论作了哪些假设？得到了哪些结果？ 解：金属自由论假设金属中的价电子在一个平均势场中彼此独立，如同理想气体中的粒子一样是“自由”的，每个电子的运动由薛定谔方程来描述；电子满足泡利不相容原理，因此，电子不服从经典统计而服从量子的费米－狄拉克统计。根据这个理论，不仅导出了魏德曼－佛兰兹定律，而且而得出电子气对晶体比热容的贡献是很小的。 2.金属自由电子论在k 空间的等能面和费米面是何形状？费米能量与哪些因素有关？ 解：金属自由电子论在k 空间的等能面和费米面都是球形。费米能量与电子密度和温度有关。 3.在低温度下电子比热容比经典理论给出的结果小得多，为什么？ 解：因为在低温时，大多数电子的能量远低于费米能，由于受泡利原理的限制基本上不能参与热激发，而只有在费米面附近的电子才能被激发从而对比热容有贡献。 4.驰豫时间的物理意义是什么？它与哪些因素有关？ 解：驰豫时间的物理意义是指电子在两次碰撞之间的平均自由时间，它的引入是用来描写晶格对电子漂移运动的阻碍能力的。驰豫时间的大小与温度、电子质量、电子浓度、电子所带电量及金属的电导率有关。 5.当2块金属接触时，为什么会产生接触电势差？ 解：由于2块金属中的电子气系统的费米能级高低不同而使热电子发射的逸出功不同，所以这2块金属接触时，会产生接触电势差。 6.已知一维金属晶体共含有N 个电子，晶体的长度为L ，设0=T K 。试求： （1）电子的状态密度； （2）电子的费米能级； （3）晶体电子的平均能量。 解：(1)该一维金属晶体的电子状态密度为： dE dk dk dZ dE dZ E ? == )(ρ …………………………（1） 考虑在k 空间中，在半径为k 和dk k +的两线段之间所含的状态数为： dk L dk dZ π =?=k 2 ………………………… （2） 又由于 m k E 22 2η= 所以 m k dk dE 2η= …………………………（3） 将（2）和（3）式代入（1）式，并考虑到每个状态可容纳2个自旋相反的电子，得该 一维金属晶体中自由电子的状态密度为： E m L E 22)(ηπρ= (4) （2）由于电子是费米子，服从费米—狄拉克统计，即在平衡时，能量为E 的能级被电子占据的几率为：
第一章 自由电子论 1.1 经典自由电子论 1900年特鲁德 (P. Drude) 首先提出金属中的价电子好比气体分子，组成电子气体，它们可以同离子碰撞，在一定的温度下达到热平衡。因此电子气体可以用具有确定的平均速度和平均自由时间的电子来描述。在外电场作用下，电子产生定向漂移运动引起了电流。在温度场中电子气体的定向流动伴随着能量传送，使金属具有良好的热导。金属的电导和热导之间的维德曼－夫兰兹(Wiedemann -Franz) 定律反映了它们都起因于电子气体的定向流动，支持了电子气体模型。特鲁德金属电子气体模型的基本假设为： (1) 在两次碰撞间隙，忽略给定电子和其它电子及离子的相互作用。没有外加电磁场时，电子作匀速直线运动，在有外加电磁场时，电子受电磁力，运动遵从牛顿运动定律。忽略其它电子和离子产生的复杂的附加场。在两次碰撞间隙，忽略电子－电子之间的相互作用称为独立电子近似；忽略电子－离子之间的相互作用称为自由电子近似。 (2) 一个电子在有限的时间间隔dt 内经历的碰撞次数为τdt ，τ 称为平均自由时间，或弛豫时间。特鲁德假定弛豫时间与电子的位置和速度无关。这称为弛豫时间近似。 (3) 电子通过碰撞和它们的环境达到热平衡。遵从玻尔兹曼统计。电子每一次碰撞后，完全丢失原来的速度和运动方向，随机地改变运动方向，获得新的速率近似地由发生碰撞处的温度决定。这样发生碰撞的区域越热，碰撞后电子的速率越大。 应用特鲁德理论可以成功地解释金属的一些输运性质： 1 电子的运动方程 在任意时间t 电子的平均速度为p (t ) / m ，p 是每个电子的总动量。我们来计算经过无穷小的时间间隔dt 后每个电子的总动量p (t+dt )。电子在这段时间间隔内的碰撞几率为τdt ，不遭受碰撞的几率为τdt -1。假设电子不遭受碰撞，但是受到越过空间均匀的电场或/和磁场力()t f 的作用，因此电子总动量的增量为()()2dt o dt t +f 。忽略碰撞对电子总动量的影响有： ()()()()()()()()()()22 1t dt dt t t dt o dt t dt t t dt o dt ττ??+=-++-++?? p p f =p p f (1.1.1) 因此得到： ()()()()()()2dt o dt t t dt t dt t ++-=-+f p p p τ (1.1.2) 方程两边同除以dt ，并取dt → 0时的极限： ()()()t t dt t d f p p +-=τ (1.1.3) 这就是电子的运动方程。 2 金属的直流电导 欧姆定律的微分形式为： j = σ E (1.1.4) 其中σ 称为电导率。设单位体积中n 个电子以相同的平均速度υ运动，由此产生的电流密度j 将平行于υ。在时间间隔dt 内电子在速度方向运动的距离为υdt ，这样将有n υdtA 的电子越过垂直于速度方向的面积A ，每一个电子携带电荷 - e ，在时间间隔dt 内越过面积A 的电荷为 -ne υdtA ，因此电流密度为： j = -ne υ (1.1.5) 在没有外加电场时，电子的平均速度为零，电流密度也为零。在有外加电场E 时，稳态时，按照电子运 动方程，()0=dt t d p ，()()t t f p =τ ，因此附加定向速度的平均值为υ = -e E τ / m ，τ 为弛豫时间。因此： E j m ne τ 2= (1.1.6) 因此金属的电导率为： m ne τ σ2= (1.1.7) 3 霍尔效应 1879年霍尔 (E. H. Hall) 研究了在磁场中的载流导体，发现当磁场B (设沿z 方向) 垂直于电流j x 时，在垂直于电流和磁场方向导体两边 (沿y 方向) 有电压降。首先定义两个重要的物理量： ()x x j E H =ρ (1.1.8) 称为横向磁阻。其中E x 为沿电流j x 方向的电场。
金属自由电子理论文档编制序号：[KK8UY-LL9IO69-TTO6M3-MTOL89-FTT688]
第四章金属自由电子理论 1.金属自由电子论作了哪些假设得到了哪些结果 解：金属自由论假设金属中的价电子在一个平均势场中彼此独立，如同理想气体中的粒子一样是“自由”的，每个电子的运动由薛定谔方程来描述；电子满足泡利不相容原理，因此，电子不服从经典统计而服从量子的费米－狄拉克统计。根据这个理论，不仅导出了魏德曼－佛兰兹定律，而且而得出电子气对晶体比热容的贡献是很小的。 2.金属自由电子论在k空间的等能面和费米面是何形状费米能量与哪些因素有关 解：金属自由电子论在k空间的等能面和费米面都是球形。费米能量与电子密度和温度有关。 3.在低温度下电子比热容比经典理论给出的结果小得多，为什么 解：因为在低温时，大多数电子的能量远低于费米能，由于受泡利原理的限制基本上不能参与热激发，而只有在费米面附近的电子才能被激发从而对比热容有贡献。 4.驰豫时间的物理意义是什么它与哪些因素有关 解：驰豫时间的物理意义是指电子在两次碰撞之间的平均自由时间，它的引入是用来描写晶格对电子漂移运动的阻碍能力的。驰豫时间的大小与温度、电子质量、电子浓度、电子所带电量及金属的电导率有关。 5.当2块金属接触时，为什么会产生接触电势差 解：由于2块金属中的电子气系统的费米能级高低不同而使热电子发射的逸出功不同，所以这2块金属接触时，会产生接触电势差。
6.已知一维金属晶体共含有N 个电子，晶体的长度为L ，设0=T K 。试求： （1）电子的状态密度； （2）电子的费米能级； （3）晶体电子的平均能量。 解：(1)该一维金属晶体的电子状态密度为： dE dk dk dZ dE dZ E ? == )(ρ (1) 考虑在k 空间中，在半径为k 和dk k +的两线段之间所含的状态数为： dk L dk dZ π =?= k 2 (2) 又由于 m k E 22 2 = 所以 m k dk dE 2 = …………………………（3） 将（2）和（3）式代入（1）式，并考虑到每个状态可容纳2个自旋相反的电子，得该一维金属晶体中自由电子的状态密度为： E m L E 22)( πρ= (4) （2）由于电子是费米子，服从费米—狄拉克统计，即在平衡时，能量为E 的能级被电子占据的几率为：
第六章 自由电子论和电子的输运性质 6-1电子气的费米能和热容量 自由电子气(自由电子费米气体)：自由的、无相互作用的 、遵从泡利原理的电子气。 一 费米能量 1.模型(索末菲) (1)金属中的价电子彼此之间无相互作用； (2)金属内部势场为恒定势场(价电子各自在势能等于平均势能的势场中运动)； (3)价电子速度服从费米—狄拉克分布。 2.费米分布函数 在热平衡时，能量为E 的状态被电子占据的概率是 1 e 1)(B F )(+= -T k E E E f E F ---费米能级(等于这个系统中电子的化学势)，它的意义是在体积不变的条件下，系统增加一个电子所需的自由能。它是温度T 和晶体自由电子总数N 的函数。 随着T 的增加，f (E )发生变化的能量范围变宽，但在任何情况下，此能量范围约在E F 附近±k B T 范围内。 3.费米面 0.a =T ?? ? ??>=<<=F F F 01 )(E E E E E E E f 陡变0 .b ≠T ? ????>>=<<=F F F 0211)(E E E E E E E f
E=EF 的等能面称为费米面。 在绝对零度时，费米面以内的状态都被电子占据，球外没有电子。 T ≠0时，费米球面的半径k F 比绝对零度时费米面半径小，此时费米面以内能量离EF 约k B T 范围的能级上的电子被激发到EF 之上约k B T 范围的能级。 4.求EF 的表达式 E~E+dE 间的电子状态数：E E N )d ( E~E+dE 间的电子数：E E N E f )d ()( 系统总的电子数：? ∞ =０ E E N E f N )d ()( 分两种情况讨论： (1)在T=0K 时，上式变成：? = 0)d (F E E E N N ０ 将自由电子密度N(E)=CE 1/2代入得： () 2 30 2 103 2d ? ==F E F E C E CE N ０ 其中2 3222π2?? ? ??= m V C c () 2 30 2 3222π232F E m V N ?? ? ??= 令n=N/V ，代表系统的价电子浓度
1.“晶格振动”理论是半经典理论。 答：晶体中的格点表示原子的平衡位置，晶格振动便是指原子在格点附近的振动。 晶格振动的研究是从晶体热力学性质开始的杜隆-珀替定理总结了固体热容量在室温和更高的温度适合而在较低的温度下固体的热容量开始随温度的降低而不断降低，从而进一步发展出了量子热熔理论。但是经典晶格振动理论知识局限于固体的热学性质，故是半经典理论。首先只能求解牛顿方程，并引入了格波，而且每个格波的能量可用谐振子能量来表示。之后进行了量子力学修正，量子力学修正体现在谐振子能量不用经典谐振子能量表示式，而用量子谐振子能量表示式。 2.声学波和光学波的区别。长光学支格波与长声学支格波的本质差别。格波支数的关系。 定性地讲，声学波描述了元胞质心的运动，光学波描述了元胞内原子的相对运动。描述元胞内原子不同的运动状态是二支格波最重要的区别。 长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动, 振动频率较高, 它包含了晶格振动频率最高的振动模式. 长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移, 原胞做整体运动, 振动频率较低, 它包含了晶格振动频率最低的振动模式, 波速是一常数. 任何晶体都存在声学支格波, 但简单晶格(非复式格子)晶体不存在光学支格波. 独立的波矢q 总点数＝晶体的总胞数N ； 格波总个数＝晶体原子振动自由度数，3nN 个； 格波总支数＝3n ，其中3 支声学波，3(n-1)支光学波。 3.金属的比热与温度的联系。 低温时，由德拜模型，V C 随温度下降而快速下降。当温度趋于零时，V C 亦趋于零。比热随温度的下降速 度T3。 高温时，比热与温度的关系更加符合爱因斯坦模型。比热与温度的一次方呈正比。 当温度T 极大时 3V B C Nk ≈，恰为经典理论的结果。这是因为在高温区，振子的能量近似B k T ，而当B k T 远大于能量量子（?ω）时，量子化效应可以忽略。 4.导体、半导体和绝缘体能带结构的基本特征。 5.费米分布函数的物理意义。费米能级。接触电势差。 费米能级的物理意义是，该能级上的一个状态被电子占据的几率是1/2。 费米能级是绝对零度时电子的最高能级，当f （E ）=1/2时，得出的E 的值对应的能级为费米能级 接触电势差：两种不同的金属相互接触时在它们之间产生的电势差。 其数值决定于金属的性质和接触面的温度。因不同金属的功函数(电子逸出金属表面所需的功)不同而产生。 与功函数的关系：Va-Vb=1/e(Φb -Φa) 产生接触电势差的原因是：⑴两种金属电子的逸出功不同。⑵两种金属的电子浓度不同。若 A 、 B 两种金属的逸出功分别为Va 和Vb ，电子浓度分别为Na 和Nb ，则它们之间的接触电势差为Vab=Va-Vb+(kT/e)×ln(Na/Nb) 式中的k 为玻尔兹曼（Boltzmann ）常数，e 是电子电量，T 是金属的绝对温度。几种金属依次连接时，接触电势差只与两端金属的性质有关，与中间金属无关。 6.晶体结合的基本类型。 7.金属自由电子论的假设与结果。 解：金属自由论假设金属中的价电子在一个平均势场中彼此独立，如同理想气体中的粒子一样是“自由”的，每个电子的运动由薛定谔方程来描述；电子满足泡利不相容原理，因此，电子不服从经典统计而服从 3 cT c VD =
第一章金属自由电子气体模型 1．1 （1）在绝热近似条件下，外场力对电子气作的功W 等于系统内能的增加dU ，即 PdV W dU -== , 式中P 是电子气的压强。由上式可得 V U P ??- = 。 在常温条件下，忽略掉温度对内能的影响，则由教材（1.1.25）式得 F N U εε5 3 0= = 其中3 2 2 2 22 322??? ? ??==V N m m k F F πε 由此可计算压强： V V N V V U P N F N 325300εεε=??? ????-=??? ????-=??- = (2) 由热力学可知，压缩系数的定义是：单位压强引起的体积的相对变化，即 T P V V ??? ????- =1κ 而体弹性模量等于压缩系数的倒数， T V P V K ??? ????-== κ1 故体弹性模量为： () V V V N m N V V V V P V K T T 9109103253320 13 2 3 2 220επε= ? =??? ????-=??? ????-=-- 1．2 He 3 的自旋为1/2，是费米子，其质量24 10 5-?≈m g.在密度3 081.0-?=cm g ρ的液 体He 3 中，单位体积中的He 3 数目为： 3283221062.11062.1--?≈?≈= m cm m n ρ 其费米能为： () 3 2 22 2 2322n m m k F F πε == 将n,m 值带入；得到： J F 23 10 8.6-?≈ε
其费米温度为： ()K K k T B F F 9.410 38.1108.623 23 ≈??≈=--ε 1．3 由教材（1.2.20）式知单位体积的自由电子气体内能： ()()2 2 06 T + =B k g F επμμ 则1mol 自由电子气体的内能为： ()()?? ????T +=??? ??=B 22061K g n n N n N U F A A επμμ 自由电子气体的摩尔热容量为 (利用了教材（1.1.29）式)： ()??? ? ??== ??? ????=F B A F V e T T R T K N g n T U C 2322 2πεπ ………… ① 又知低温下金属钾的摩尔电子热容量 321008.22-?=??? ? ??= T T T R C F e π K ≈?19726F T 由 ① 式可知：费米面上的态密度： ()3 1462 32221073.71008.2333---??≈??===m J RK n T RK nC T K N nC g B B e B A e F πππε （其中取：3 28 104.1-?=m n ） 1．4 ⑴ 3223231042.864 95.811002.6--?≈???== cm cm A Z N n m A ρ ⑵ s ne m m ne 14221071.21 -?≈=?==ρ ττσρ ⑶ ()()eV J n m n k m k F F F F 71012.1323218322 232222 2≈?== ??? ??? == -πεπε ()1631 2 1057.13-??===s m n m m k v F F π ⑷ m v l F F 8 1025.4-?==τ
第四章金属自由电子理论 1.金属自由电子论作了哪些假设？得到了哪些结果？ 解：金属自由论假设金属中的价电子在一个平均势场中彼此独立，如同理想气体中的粒子一样是“自由”的，每个电子的运动由薛定谔方程来描述；电子满足泡利不相容原理，因此，电子不服从经典统计而服从量子的费米－狄拉克统计。根据这个理论，不仅导出了魏德曼－佛兰兹定律，而且而得出电子气对晶体比热容的贡献是很小的。 2.金属自由电子论在k 空间的等能面和费米面是何形状？费米能量与哪些因素有关？ 解：金属自由电子论在k 空间的等能面和费米面都是球形。费米能量与电子密度和温度有关。 3.在低温度下电子比热容比经典理论给出的结果小得多，为什么？ 解：因为在低温时，大多数电子的能量远低于费米能，由于受泡利原理的限制基本上不能参与热激发，而只有在费米面附近的电子才能被激发从而对比热容有贡献。 4.驰豫时间的物理意义是什么？它与哪些因素有关？ 解：驰豫时间的物理意义是指电子在两次碰撞之间的平均自由时间，它的引入是用来描写晶格对电子漂移运动的阻碍能力的。驰豫时间的大小与温度、电子质量、电子浓度、电子所带电量及金属的电导率有关。 5.当2块金属接触时，为什么会产生接触电势差？ 解：由于2块金属中的电子气系统的费米能级高低不同而使热电子发射的逸出功不同，所以这2块金属接触时，会产生接触电势差。 6.已知一维金属晶体共含有N 个电子，晶体的长度为L ，设0=T K 。试求： （1）电子的状态密度； （2）电子的费米能级； （3）晶体电子的平均能量。 解：(1)该一维金属晶体的电子状态密度为： dE dk dk dZ dE dZ E ?== )(ρ…………………………（1） 考虑在k 空间中，在半径为k 和dk k +的两线段之间所含的状态数为： dk L dk dZ π=?=k 2…………………………（2） 又由于m k E 22 2 = 所以m k dk dE 2 =…………………………（3） 将（2）和（3）式代入（1）式，并考虑到每个状态可容纳2个自旋相反的电子，得该一维金属晶体中自由电子的状态密度为： E m L E 22)( πρ=…………………………（4） （2）由于电子是费米子，服从费米—狄拉克统计，即在平衡时，能量为E 的能级被电子占据的几率为：
金属自由电子理论 Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】
第四章金属自由电子理论 1.金属自由电子论作了哪些假设得到了哪些结果 解：金属自由论假设金属中的价电子在一个平均势场中彼此独立，如同理想气体中的粒子一样是“自由”的，每个电子的运动由薛定谔方程来描述；电子满足泡利不相容原理，因此，电子不服从经典统计而服从量子的费米－狄拉克统计。根据这个理论，不仅导出了魏德曼－佛兰兹定律，而且而得出电子气对晶体比热容的贡献是很小的。 2.金属自由电子论在k空间的等能面和费米面是何形状费米能量与哪些因素有关 解：金属自由电子论在k空间的等能面和费米面都是球形。费米能量与电子密度和温度有关。 3.在低温度下电子比热容比经典理论给出的结果小得多，为什么 解：因为在低温时，大多数电子的能量远低于费米能，由于受泡利原理的限制基本上不能参与热激发，而只有在费米面附近的电子才能被激发从而对比热容有贡献。 4.驰豫时间的物理意义是什么它与哪些因素有关 解：驰豫时间的物理意义是指电子在两次碰撞之间的平均自由时间，它的引入是用来描写晶格对电子漂移运动的阻碍能力的。驰豫时间的大小与温度、电子质量、电子浓度、电子所带电量及金属的电导率有关。 5.当2块金属接触时，为什么会产生接触电势差
解：由于2块金属中的电子气系统的费米能级高低不同而使热电子发射的逸出功不同，所以这2块金属接触时，会产生接触电势差。 6.已知一维金属晶体共含有N 个电子，晶体的长度为L ，设0=T K 。试求： （1）电子的状态密度； （2）电子的费米能级； （3）晶体电子的平均能量。 解：(1)该一维金属晶体的电子状态密度为： dE dk dk dZ dE dZ E ? == )(ρ …………………………（1） 考虑在k 空间中，在半径为k 和dk k +的两线段之间所含的状态数为： dk L dk dZ π =?= k 2 (2) 又由于 m k E 22 2 = 所以 m k dk dE 2 = (3) 将（2）和（3）式代入（1）式，并考虑到每个状态可容纳2个自旋相反的电子，得该一维金属晶体中自由电子的状态密度为：
金属导体中自由电子的定向移电速率 设铜导线单位体积内的自由电子数为n，电子定向移动为v，每个电子带电量为e，导线横截面积为S．则时间t内通过导线横截面的自由电子数，其总 电量。根据得，代入数字可得 v =7.4×10－5米/秒，即0.74毫米/秒．从以上数据可知，自由电子在导体中定向移动速率（约10－4米/秒）只约为自由电子热运动的平均速率（约105米／秒）的1/109．这说明电流是导体中所有自由电子以很小的速度运动所形成的．这是为什么呢？金属导体中自由电子定向移动速度虽然很小，但是它的"传导速度"是很大的，好像一队学生从前校门列队到后操场，没有行进命令时，都是站着不动的（相当于导线中无电流），一声令下，虽然后操场最后的那位同学可能要走很久才能到达前校门，但只要整个队列一动，马上就有学生出了前校门！（相当于整个导线中各处都有了电流）。这里前校门开始有学生走出的反应速度决定于口令声波的传播速度，同样，导线中即使很远的地方开始有电流的反应速度，只决定于"口令"电磁场在导线中的传播速度（等于光速）。
自由电子在交流电路中的运动速率 当金属中有电场时，每个自由电子都将受到电场力的作用，使电子沿着与场强相反的方向相对于晶格做加速的定向运动．这个加速定向运动是叠加在自由电子杂乱的热运动之上的．对某个电子来说，叠加运动的方向是很难确定的．但对大量自由电子来说，叠加运动的定向平均速度方向是沿着电场的反方向．电场大小变化或电场方向改变，其平均速度大小和方向都变化．对50赫的交流电而言，可推导出自 由电子的定向速，τ为自由电子晶格碰撞时间，其数量级为10－14秒．所受到的合力 ，即电子所受的力满足．这 说明自由电子在交流电路中是做简谐运动．其电子定向运动的最大速率为：，振幅约为10－6米．
第六章 金属电子论 这一章与下一章讨论固体中电子运动的（一般）规律 这一章讨论固体中的一类：金属的电子运动规律及性质 §6-0 引子 1． 金属的一些基本物理性质： 良导体：Ohm 定律 V=RI j E σ= 金属一般是顺磁体 0M H χ=> χ：10-5～10-6 良导热体：比热数值小 〈〈 晶格比热 光学 ： 有光泽（强反射）但不透射 2． 物理基础 微观粒子 + 多体问题 量子 相互作用复杂 ??? 电子间 晶格与电子间 3． 经典模型：（Drude - Lorentz ） 1900年 1．模型 经典：单体-牛顿 多体-Boltzmann 统计 自由：相互作用可忽略 → “气体”
仅有与原子实碰撞 扩展态－非局域 (3)对物理性质定性解释 ? 扩展、自由 ? 导电、导热好 ? 外场（光 → 电磁场） → 电子吸收能量（激发 态）? 不透明 激发态 → 基态 ?放出 光学?反射 ? 不能解释电子气的比热（实验仅为理论的1%） 经典：能量均分-自由度与晶格相比拟 §6.1 金属自由电子气的量子理论 三部分：1.单电子的基本问题（p k = ，E ?= ，ψ） 2.关于 ψ，k , E 的讨论 ()k ρ ()E ρ 3.讨论相应的物理量 V C 一、 金属中单自由电子量子理论 1.模型： 量子 + 自由 具体：一个立方金属固体， V 体积 自由：电子在V 内不受力 V(x,y,z)= 0 边界：电子不能脱离体内 V(x,y,z)= ∞ 三维 无限深势阱
2.S.E. 及其解 22E m -?ψ=ψ 令 222222(,,)()()() ()22x y z x y z x y z k E k k k m m ψψψψ===++ ? ()x x ik x ik x x x x A e B e ψ-=+ ()y y ik y ik y y y y A e B e ψ-=+ ()z z ik z ik z z z z A e B e ψ-=+ 周期性边界条件: ()()x L x ψψ+= ()()y L y ψ ψ+= ()() z L z ψψ+= ? () (,,)x y z i k x k y k z ik r x y z Ae Ae ++ψ= = ? 2i i k n L π = (,,)i x y z = 3/ 21A L = = 归一化常数 22222 222(2)()22x y z k E n n n m m L π==++ 3. 讨论： ()r ψ 平面波 2 C ψ＝ 在金属内找到电子得几率处处一样 0P v ?≠ 行波
第五章 金属电子论基础 5.1 已知下列金属的电子数密度3 /n cm -： Li 4.7×1022 Ni 2.65×1022 Cu 8.45×1022 试计算这些金属的费米能和费米球半径。 解：（参考中南大学4.6）根据《固体物理学》式（5-32） 解法一：金属的电子浓度 ()3/2 1/222/0 1221 B E k T m E n dE e μπ∞ -??= ? -?? ? （1） 式中()/1 ()1 B E k T f E e μ-=-，由于0=T K ，0 F E μ=，所以当0F E E >，有0)(=E f ，而当0F E E ≤， 有1)(=E f ，故（1）式可简化为： ()03/2 3/2 3/21/2022220 12212232F E F m m n E dE E ππ?? ?? == ? ? ?? ?? ? （2） 得 () 2 2/3 02 32F E n m π= 解法：根据《固体物理学》式（5-19）和式（5-18） 得费米半径( ) 1/3 2 3F k n π= 费米能量()222 2/32 322F F k E n m m π== 分别代入电子数密度 ()()2 3422/32/32222 ,276.34102 3.14233 3.142 4.71022 6.941 1.6710 F Li E n m π--?? ? ??????==????????? () ()1/3 1/3 2 2 22,33 3.142 4.710F Li k n π??==???=?? ()()2 3422/32/32222 ,276.34102 3.14233 3.142 4.71022 6.941 1.660510 F Li E n m π--?? ? ??????==????????? () ()1/3 1/3 2 2 22,33 3.142 4.710F Li k n π??==???=??
范佳华20111101113 物理一班 金属自由电子气体模型 1：金属自由电子气体模型和理想气体的联系 什么是理想气体：严格遵从气态方程(PV=(m/M)RT=nRT)的气体，叫做理想气体(Ideal gas)。从微观角度来看是指：分子本身的体积和分子间的作用力都可以忽略不计的气体，称为是理想气体。理想气体具有的性质： 1、分子体积与气体体积相比可以忽略不计； 2、分子之间没有相互吸引力； 3、分子之间及分子与器壁之间发生的碰撞不造成动能损失。 4、在容器中，在未碰撞时考虑为作匀速运动，气体分子碰撞时发生速度交换，无动能损失。 5、解热学题的时候，简单的认为是分子势能为零，分子动能不为零。 6、理想气体的内能是分子动能之和。 把理想气体的性质运用于金属中，金属中的大量传导电子近视的类似于经典理想气体，可以把它们归纳
为四个基本假设： 1：独立电子近似——忽视电子与电子之间的相互作用2:自由电子近似——近似认为单个电子在与离子实的相继两次碰撞之间做自由运动，故金属中的传到电子又称为自由电子。 3：弛豫时间近似——不论碰撞前后如何近似认为与离子实碰撞后电子速度的统计分布将恢复到平衡状态。4:经典近似——在与离子实的相继两次碰撞之间的电子的运动遵循牛顿运动定律，碰撞前后电子遵循boltzmann统计分布。 在我看来，这个时候金属自由电子气体模型有点理想化，对于理想气体我们知道这时气体的温度体积和压强都不会发生改变，也就是说处于一个非常稳定的状态，在金属中，我们可以考虑它的一些性质，金属在我们生活中最重要的性质我们知道是导电性，导热性，延展性，熔点高，这与金属的内部结构有关，这时把理想气体的性质运用到金属中，我们就能够假设金属内部的电子和电子~电子和离子实之间碰撞基本上队金属本身是没有什么影响的，而且彼此之间的碰撞可能还有一定的规律可循，可以运用一些宏观上的
一,金属自由电子气体模型 1.1 经典电子论 特鲁德电子气模型：特鲁德提出了第一个固体微观理论利用微观概念计算宏观实验观测量 自由电子气+波尔兹曼统计→欧姆定律 电子平均自由程+分子运动论→电子的热导率 特鲁德（Paul Drude ）模型的基本假设1 1.自由电子近似：传导电子由原子的价电子提供，离子实对电子的作用可以忽略不计，离子实的作用维持整个金属晶体的电中性，与电子发生碰撞。 2.独立电子近似：电子与电子之间的相互作用可以忽略不计。外电场为零时，忽略电子之间的碰撞，两次碰撞（与离子实碰撞）之间电子自由飞行（与经典气体模型不同，电子之间没有碰撞，电子只与离子实发生碰撞，这一点我们将在能带论中证明是错误的。） 特鲁德（Paul Drude ）模型的基本假设2 3.玻尔兹曼统计：自由电子服从玻尔兹曼统计。 4.弛豫时间近似：电子在单位时间内碰撞一次的几率为1/τ，τ称为弛豫时间（即平均自由时间）。每次碰撞时，电子失去它在电场作用下获得的能量，即电子和周围环境达到热平衡仅仅是通过与原子实的碰撞实现的。 特鲁德模型的成功之处——成功解释了欧姆定律 欧姆定律E j ρ=（或j E σ=），其中E 为外加电场强度、ρ为电阻率、j 为电流密度。 202()1I j nev ne S j E eEt m v v E j m ne eE m v m τρτστρ?==-??=??-??=+??=????==???=-?? 1.2.经典模型的另一困难：传导电子的热容 根据理想气体模型，一个自由粒子的平均热量为3/2B k T ，故 333 (),222A B e U U N k T RT C R T ?====? 33/29v ph e C C C R R =+=+≈（卡/molK.） 但金属在高温时实验值只有6（卡/molK.），即3v C R ≈。 1.3 Sommerfeld 的自由电子论