第17讲数列与数表
内容概述
通过观察数列或数表中的已知数据，发现规律并进行填补与计算的问题，注意数表形式的多样性，计算时常常考虑周期性，或进行合理估算.
典型问题
兴趣篇
1．1，1，4，2，7，3，10，1，13，2，16，3，19，1，22，2，25，3，…，100．请观察上面数列的规律，问：(1)这个数列一共有多少项? (2)这个数列所有数的总和是多少?
答案：67；1783
解析：间隔是是等差数列。
2．观察数组(1，2，3)，(3，4，5)，(5，6，7)，(7，8，9)的规律，求：
(1)第20组中三个数的和；
(2)前20组中所有数的和．
答案：120；1260
解析：（39，40，42），运用等差数列求和公式。
3．一个数列的第一项是l，之后的每一项是这样得到的：如果前一项是一位数，接着的一项就等于前一项的两倍；如果前一项是两位数，接着的一项就等于前一项个位数字的两倍．请问：
(1)第100项是多少?
(2)前100项的和是多少?
答案：8；975
解析：按规律写：1,2,4,8,16,12,4,8,16,12……四个数为一个周期
4. 如图17-1，方格表中的数是按照一定规律填人的．请观察方格表，并填出“?”处的数．
答案：105
解析：四周数的差是一个等差数列。
5．如图17-2，数阵中的数是按一定规律排列的，请问：
(1)100在第几行、第几列?
(2)第20行第3列的数是多少?
答案：（1）第25行第6列；（2）79
解析：两行为一个周期。观察除以8的余数与在第几列之间的关系。
6．如图17-3，从4开始的自然数是按某种规律排列的，请问：
(1)100在第几行，第几列?
(2)第5行第20列的数是多少?
答案：（1）第1第25列；（2）81
解析：两列为一个周期。
7. 如图17-4所示，把偶数2、4、6、8，排成5列．各列从左到右依次为第1列、第2列、第3列、第4列和第5列，请问：
(1)100在第几行，第几列?
(2)第20行第2列的数是多少?
答案：（1）第15行第2列；（2）138
解析：八个数为一个周期，可以把每个数先除以2转化成简单数列。
8．如图17-5，从1开始的自然数按某种方式排列起来，请问：
(1)100在第几行?100是这一行左起第几个数?
(2)第25行左起第5个数是多少?
答案：（1）第14行左起第9个数；（2）321
解析：观察1，6，15…这样的数都是1加到行数之和。
3，10也是1一直加到行数之和。
9. 如图17-6，把从1开始的自然数排成数阵．试问：能否在数阵中放人一个3×3的方框，使得它围住的九个数之和等于：
(1)1997；(2)2016；(3)2349．
如果可以，请写出方框中最大的数．
答案：只有2349是可以的，最大为269.
解析：和一定是9的倍数，而且中心数必须是第二列到第6列的数。
10. 如图17-7，将1至400这400个自然数顺次填人20 x20的方格表中，请问：
(1)246在第几行，第几列?
(2)第14行第13列的数是多少?
(3)所有阴影方格中数的总和是多少?
答案：（1）13行16列；（2）273；（8020）
解析：周期问题
拓展篇
1．1，100，2，98，3，96，2，94，1，92，2，90，3，88，2，86，l，84，…，0．请观察上面数列的规律，请问：
(1)这个数列中有多少项是2？
(2)这个数列所有项的总和是多少?
答案：（1）26项；（2）2652
解析：间隔数是等差数列。
2．一列由两个数组成的数组：(1，1)，(1，2)，(2，2)，(1，3)，(2，3)，(3，3)，(1，4)，(2，4)，(3，4)，(4，4)，(1，5)，…，请问：
(1)第100组内的两数之和是多少?
(2)前55组中“5”这个数出现了多少次?
答案：23；11次。
解析：数对前面的数规律为1，1，2，1，2,3,1,2,3,4，…后面的规律为：1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…
3．有一列数，第一个数是3，第二个数是4，从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的和的个位数．从这列数中取出连续的50个数，并求出它们的和，所得的和最大是多少?如果从中取出连续的500个数，500个数的和最大又是多少?
答案：257；2510
解析：3,4,7,1,8,9,7,6,3,9，2,1，3,4,7,1,8,9,7,6,3,9，2,1…12个个数为一个周期。50个数是4个周期加上9,8最大。500个数求最大是41个周期加上8个最大的数，不加1,2,3,4即可。
4．如图17-8，把从1开始的自然数填在图上，1在射线OA上，2在射线OB上，3在射线OC上，4在射线OD上，5在射线OE上，6在射线OF上，7在射线OG上，8在射线OH 上，9又回到射线OA上，如此循环下去，问：78在哪条射线上?射线OE上的第30个数是多少?
答案：射线OF上；237.
解析：八个数为一个周期，每条线上的数又组成一个等差数列。
5．如图17-9，将从5开始的连续自然数按规律填人数阵中，请问：
(1)123应该排在第几列?
(2)第2行第20列的数是多少?
答案：第24列；101.
解析：周期问题，等差数列。
6．如图17-10所示，将自然数有规律地填入方格表中，请问：
(1)500在第几行，第几列?
(2)第100行第2列是多少?
答案：第111行，第5列；448.
解析：周期问题。
7．如图17-11所示，数阵中的数字是按一定规律排列的．这个数阵中第60行左起第4个数字是多少?
答案：9
解析：第60行左起第4个数字是第476个数字。
1-9 9个
10-99 180个
100-194 285个
9+180+285=474个所以第60行左起第4个数字是9
8．中国古代的纪年方法叫“干支纪年”，是在“十天干”和“十二地支”的基础上建立起来的．天干共十个，其排列顺序为：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；
地支共十二个，其排列顺序为：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．
以一个天干和一个地支相配，天干在前，地支在后，每对干支表示一年．在干支纪年中，每六十年纪年方式循环一次．
公元纪年则是国际通行的纪年方式．
图17-12是1911年到1926年的公元纪年与干支纪年的对照表．请问：
(1)中国近代史上的“辛亥革命”发生在公元1911年，是干支纪年的辛亥年，请问公元2049年是干支纪年的什么年?
(2)21世纪的甲子年是公元纪年的哪一年?
(3)“戊戌变法”发生在19世纪末的戊戌年，这一年是公元纪年的哪一年?
答案：己巳年；2044年；1889年
解析：（1）【10,12】=60
2049-1911=138
138÷60=2……18 己巳年
（2）1924+60×2=2044
(3)余数特征
9．如图17-13所示，将1至400这400个自然数填入下面的小三角形中，每个小三角形内填有一个数. “l”所处的位置为第1行；“2，3，4”所处的位置为第2行；………请问：
(1)第15行正中间的数是多少?
(2)第12行中所有空白三角形内的数之和是多少?
(3)前8行中阴影三角形内的各数之和比空白三角形内的各数之和大多少?
答案：211；1463；176
解析：(1)规律为N(N-1)带入
(2)123+125+127+…+143=1463
(3)1+(4-1)+(9-2)+(16-3) +(25-4)+(36-5)+(49-6)+(64-7)=176
10．如图17-14，把从1开始的自然数按某种方式排列起来．请问：
(1)150在第几行，第几列?
(2)第5行第10列的数是多少?
答案：第6行第13列；86
解析：（1）最右侧数是行数的平方
（2）第9行最左侧数是81，所以81+5=86
11．如图17-15，把从l开始的自然数按某种方式排列起来．请问：
(1)200排在第几行，第几列?
(2)第18行第22列的数是多少?
答案：第10行第11列；759。
解析：（1）1+2+3+…19=190
200-190=10行；21-10=11列
（2）18+22-1=39；第39行第一个数是780,780-21=759
12．如图17-16所示，把自然数按规律排列起来．如果用“土”字型阴影覆盖出8个数并求和，且和为798．这8个数中最大的数是多少?(“土”字不能旋转或翻转)
答案：112
解析：设方程的方法，设方格中任意一个数为X，用含有X的式子表示其他的方格内数，他们的和为798，解方程再带入最大求值。
超越篇
1．下面的数组是按一定顺序排列的：
(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，…．请问：
(1)其中第70个括号内的数分别是多少?
(2)前50个括号内各数之和是多少?
答案：
解：（1）把（1，1）看作第一组；（1，2），（2，1）看作第二组；……依次类推每一个括号内的两个数字之和是它所在组的序号加1.前十一组共有66括号，所以第70个括号一定属于第十二组。
（2）第一组的和为1×2；第二组的和为2×2；以此类推……前50个括号内的各数之和为1×2＋2×3＋3×4＋…＋9×10＋5×11＝385.
2. 桌子上有一堆球，如果球的总数量是10的倍数，就平均分成10堆并拿走其中9堆；如果球的总数量不是10的倍数，就添加不多于9个球，使球数变为10的倍数，再平均分成10堆并拿走其中9堆．这个过程称为一次“操作”．若球仅为一个，则不做“操作”．如果最初有194919481947…54321个球，那么经过多少次“操作”后仅余下一个球?
解：每操作一次，数位会减少1，当数位减少至一位时是“2”，还可以再进行一次操作，所以，最初的球数有多少数位就可以进行多少次操作。1×9＋2×(99－10＋1)＋3
×(999－100＋1)＋4×(1949－1000＋1)＝6689（次）。
3．在图17-17所示的数阵中，将满足下面条件的两个数分为一组：它们上下相邻，且和为391．问：在所有这样的数组中，哪一组内的两个数乘积最小?
解：两个数的和一定时，它们的差越大，乘积越小。由数阵中规律可知，上下相邻的两个数差最大为29.由和差问题公式，较大数＝（和+差）÷2=（391+29）÷2=210，较小
数=391－210=181，所以，这一组的两个数为181和210.
4．图17-18中的数是按一定规律排列的，郡么第6行第23列的数字是多少?
解：前22列的数字个数为1+2+…+22=253，从1至120的数字个数为9+2×90+3×21=252，所以，第23列的第1行是121中的“2”，那么第6行就是123中的“1”。所以，第6行第23列的数字是“1”。
5．将“白、旦、田、由、甲、申”这六个字按如图17-19所示的方式排列．请问：
(1)第1行从左往右数的第15个字是多少?
(2)第1列从上往下数的第25个字是多少?
(3)第25行的第15个字是多少?
解：（1）1+2+…+15=120，第1行从左向右的第15个字是整个图中第120个字，文字排列周期为6，120÷6=20。所以第120个字是“申”。
（2）1+2+…+24+1=301，第1列从上往下数的第25个字是整个图中第301个字，
301÷6=50……1，所以第301个字是“白”。
（3）第25行的第15个字和第39行的第1个字都属于第39斜行，第39行的第1
个字是整个图中第1+2+…+38+1=742个，742÷6=123……4，所以，第39行的第1
个字为“由”，再往后数14个即为第25行的第15个字，为“申”。
6．将自然数从1开始，顺次排成如图17-20所示的螺旋形，其中2，3，5，7，…处为拐点，请问：
(1)第30个拐点处的数是多少?
(2)前30个拐点处的各数之和是多少?
解：（1）1+1+1+2+2+3+3+4+4+…+15+15=241，第30个拐点处的数是241.
（2）2×30+1×29+（2×28+2×27+3×26+3×25+4×24+4×23+5×22+5×21+…+15×2+15×1）
=60+29+55×2+51×3+47×4+43×5+…+15×3
=2630
前30个拐点处的各数之和是2630.
7．如图17-2l，把从1开始连续的自然数按照一定的顺序排成数表，如果这个数表有40行，请通过计算回答下列问题：
(1)第1行的数是多少?
(2)第20行中的最大数与最小数之和是多少?
(3)第35行中的最大数与最小数之和是多少?
解：（1）行数除以3余1时，整个图形可以看成是1和一堆由数字组成的三角形（一个比一个大）组成的。除了1以外，有13个三角形，最小的是由2，3，4，5，6，7，
8，9，10组成的，总共9个数字
第2个三角形有18个数字，一个比一个多9个数字，最大的三角形117个数字。
最大的三角形顶点在第1行，底在40行。117个数字
第2大的三角形顶点在第3行，底在39行。108个数字
……
第6大的三角形顶点在第11行，底在35行。 72个数字
……
第10大的三角形顶点在第19行，底在31行。36个数字
最小的三角形顶点在第25行，底在28行。9个数字
容易得出，第1行的数是1+（9+18+27+…+117）-39=781.
（2）第20行最小的数字在第10大的三角形中。从最小的三角形到第11大的三角形，
一共3个三角形，再加上1，一共是1+9+18+27=55个数字，因为第10大的三角形
有36个数字，所以第20行最小的数字是55+12+12-1=78，最大800，最大数与最小
数之和为878.
（3）每个三角形里的最小数字都是那个三角形的底从左数第2个数字，从最小的三角形
到第7大的三角形，一共7个三角形，再加上1，一共是1+9+18+27+36+45+54+63=253
个数字，所以第6大的三角形从254开始，也就是第35行最小的数字是254，最
大815，所以，最大数与最小数之和是1069.
8. 如图17-22，25个同样大小的等边三角形拼成了一个大等边三角形．在每个小三角形的顶点处都标有一个数，使得任何两个相邻小等边三角形所构成的菱形的两组相对的顶点上所放置的数的和都相等．已知在大等边三角形的三个顶点放置的数分别是100、200、300．求所有顶点上数的总和．
将2n个同样大小的等边三角形，拼成一个大等边三角形。在每个小三角形的顶点处
都标有一个数，使得任何两个相邻小等边三角形所构成的菱形的两组相对的顶点上
所放置的数的和都相等。已知在大等边三角形的三个顶点放置的三个数分别是
,,x y z ，求所有顶点上数的总和。
解 下面先证明：在这样一个网格中，任何一条直线段上的数字，必定排列成等差数列。
在上图中，按照定义，必有 a e b d +=+ (1) 和 b e c d +=+ (2) ，
将 (1)(2)-，就得到 a b b c -=- ，即 ,,a b c 排列成等差数列。
对于一条直线段上的一串数字 ,,,,,,a b c d e f L ，用上面同样的推理方法，可以得到
a b b c c d d e e f -=-=-=-=-=L ，
也就是说，,,,,,,a b c d e f L 排列成等差数列。
按照上述结论，我们就很容易将各顶点处的数字填写出来。
下面计算所有顶点上数字的总和。
从 x 到 y 的直线段上的 1n + 个数字，要成为等差数列，必定是 y x x k n -+（0,1,
,k n =L ）。 从 x 到 z 的直线段上的 1n + 个数字，要成为等差数列，必定是
z x x k
n
-+（0,1,,k n =L ）。 从 y x x k n -+ 到 z x x k n -+ 的直线段上的 1k + 个数字，要成为等差数列，必定是
y x z y x k j n n
--++（0,1,,j k =L ，0,1,,k n =L ）。 所以，全部数字的总和为
00()n k k j y x z y x k
j n n ==--++∑∑(1)(2)()6
n n x y z ++++= 。 例1 设 2n = ，2
4n = ，,,100,200,300x y z = ，则有
所有顶点上数的总和为 (1)(2)()(21)(22)(100200300)120066
n n x y z ++++++++== 。 例2 设 4n = ，2
16n = ，,,100,200,300x y z = ，则有
所有顶点上数的总和为
(1)(2)()(41)(42)(100200300)300066
n n x y z ++++++++== 。 例3 设 5n = ，2
25n = ，,,100,200,300x y z = ，则有
所有顶点上数的总和为
(1)(2)()(51)(52)(100200300)420066n n x y z ++++++++== 。
第4讲包含与排除 内容概述 有重叠部分酌若干对象的计数问题．能利用文氏图进行辅助分析，弄清文氏图中每部分的含义；结合文氏图理解两个对象和三个对象酌容斥原理；灵活处理具有一些不确定性酌计数问题，以及其他形式的重复计数问题． 典型问题 兴趣篇 1．暑假里，小悦和冬冬一起讨论“金陵十八景”．他们发现十八景中的每一处都有人去过，而且有五处是两人都去过的．如果小悦去过其中的卜二景，那么冬冬去过其中的几景？ 2．在一群小朋友中，有12人看过动画片《黑猫警长》，有21人看过动画片《大闹天宫》，并且有8人两部动画片都看过．请问：至少看过其中一部的小朋友有多少人？ 3．五年级一班45个学生参加期末考试，成绩公布后，数学得满分的有10人，数学及语文均得满分的有3人，这两科都没有得满分的有29人．请问：语文成绩得满分的有多少人？ 4．某餐馆有27道招牌菜．小悦吃过其中的13道，冬冬吃过其中的7道，而且有2道菜是两人都吃过的．请问：有多少道招牌菜是两人都没有吃过的？ 5．如图4-I，已知甲、乙、丙三个圆的面积均为30，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为6、8、5，同时被这三个圆覆盖的部分的面积为2．请问： (1)只被甲或乙覆盖，却不被丙覆盖的部分的面积是多少？ (2)只被这3个圆中某一个圆覆盖的部分的面积是多少？ 6．在一个由30人组成的合唱队中，每个人都爱喝红茶、绿茶、花茶中的一种或者几种，其中有10个人爱喝红茶，12个人不爱喝红茶却爱喝绿茶，请问：只爱喝花茶的有多少人？ 7．光明小学五年级课外活动有体育、音乐、书法三个小组，参加的人数分别是54人、46
人、36人．同时参加体育小组和音乐小组的有4人，同时参加体育小组和书法小组的有7人，同时参加音乐小组和书法小组的有10人，三组都参加的有2人．光明小学五年级参加课外活动的一共有多少人？ 8．卫生部对120种食物是否含有维生素A、C、E进行调查，结果发现：含维生素A的有62种，含维生素C的有90种，含维生素E的有68种，同时含维生素A和C的有48种，同时含维生素A和E的有36种，同时含维生素C和E的有50种，同时含这三种维生素的有25种．请问： (1)这三种维生素都不含的食物有多少种？(2)仅含维生素A的食物有多少种？ 9．操场上有50名同学在跑步或跳绳，其中女生有18名，跳绳的同学有31名，跑步的男生有14名．跳绳的女生有多少名？ 10．学校举行棋类比赛，分为象棋、围棋和军棋三项，每人最多参加其中两项．根据报名的人数，学校决定对象棋的前9名、围棋的前10名和军棋的前11名发放奖品．请问：最少有几人获得奖品？ 拓展篇 1．在一个办公室中，有7个人爱喝茶，10个人爱喝咖啡，3个人既爱喝茶又爱喝咖啡，如果每个人都至少爱喝茶或咖啡中的一种，那么这个办公室里共有多少人？ 2．五年级二班有40名同学，其中有25:人没参加数学小组，有18人参加航模小组，有10人两个小组都参加．那么只参加了这两个小组之一的学生共有多少人？ 3．在1至100这100个自然数中，既不能被2整除也不能被3整除的数有多少个？ 4．渔乡小学举行长跑和游泳比赛，共305人参加．参加长跑比赛的有150名男生和90名女生，参加游泳比赛的有120名男生和70名女生，有110名男生两项比赛都参加了，请问：只参加游泳比赛而没有参加长跑比赛的女生有多少人？
第18讲行程问题三 内容概述 运动过程较为复杂的行程问题，一般通过分段、比较等办法进行考虑，在往返问题中考虑多次相遇和多次追及的过程，需要注意从整体考虑两个对象的路程和或路程差，并从中找到规律. 典型问题 兴趣篇 1．莉莉和莎莎一起从家去学校，莉莉步行，莎莎骑车．莎莎到学校后发现自己没带文具盒，便立刻骑车回家去取，到家取出文具盒后又马上骑向学校，结果她和莉莉一起到校．如果莉莉每分钟走53米，那么莎莎骑车每分钟行进多少米? 答案：159 详解：视从家到学校的路程为一个全程，由题意知道莎莎到校，再返回家，再到学校，一共走了三个全程，在同样时间内莉莉走了一个全程，即莎莎速度是莉莉的三倍 53×3=159 2．小燕上学时骑车，回家时步行，路上共用50分钟．如果往返都步行，则全程需要70分钟．求小燕往返都骑车所需的时间． 答案：30分钟 详解：视从家到学校的路程为一个全程，往返情况：骑车+步行=50 步行+步行=70得知 一个全程骑车比步行多用20分钟 70－2×20=30分钟 3．一天，小悦到离自己家4000米的表哥家去玩．早晨7：20时，小悦从家出发向表哥家走去，每分钟行60米，同时表哥骑车从家出发来接她．表哥到小悦家后才发现小悦已经走了，又立即返回去追．表哥骑车每分钟行260米．当表哥追上小悦后，带着她一起回表哥家，这时骑车速度变为每分钟骑175米．请问：当他们到达表哥家时还差几分钟就到8点了? 答案：差4分钟 详解：表哥从自己家到小悦家的时间是4000/260=200/13分，在这段时间小悦行走了4000/260×60=12000/13米同时这个距离也是表哥要返回去追小悦时两个人之间的路程差，路程差÷速度差=追及时间，所以追及时间是4000/260×60/（260-60）=60/13分；追上小悦时距离小悦家的路程为60/13×260=1200米，这时距离表哥家还有4000－1200=2800米，走这2800米的速度为175米/分所以用的时间是2800÷175=16分， 因此本题所用总时间分三部分从表哥家到小悦家的时间200/13，追及时间60/13，回去时间16，共200/13+60/13+16=36分钟20+36=56分。所以距离8点还有4分钟。 4．培英学校和电视机厂之间有一条公路，原计划下午2点时培英学校派车去电视机厂接劳
五年级奥数－数列与数表 1.计算：（2+5+8+......+194）÷（4+7+ (196) 2.一本600页的书，小明每天都比前一天多读一页，16天刚好读完这本书，那 么他最后一天读了多少页？ 3.有一列数，前两个数分别是0和1，从第三个数开始，每一个数都是前两个数 的和：0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，……。那么这个数列的第2005个数除以8所得的余数是多少？ 4.把自然数按照下列规则排列，那么2008应该排在左起第几列？ 1 2 3 4 5 9 8 7 6 10 11 12 13 17 16 15 14 18 19 20 21 25 24 23 22 26 27 28 29 …… …… 5.观察下面的一列有规律的算式：5+3，7+6，9+9，11+12，……则按照规律第 2008个算式的结果应该是多少？
五年级奥数－数列与数表答案 1.解析： 2，5，8，......，194是以3为公差的等差数列，共有（194-2）÷3+1=64项，则2+5+8+......+194=（2+194）×64÷2=98×64。4，7，10， (196) 每一项都比上面的等差数列中每一项多2，因此4+7+10+……+196=98×64+2×64=100×64。因此原式=98÷100=0.98。 2.解析： 设小明最后一天读了x页，则第一天读了x-15页，由题意可得方程：（x-15+x）×16÷2=600，解得，x=45。 3.解析： 这串除以8所得的余数依次是：0，1，1，2，3，5，0，5，5，2，7，1，0，1，1，2，……。余数数列从第1个开始，以0、1、1、2、3、5、0、5、5、 2、7、1这12个数为一组依次循环出现的，又2008=12×167+4，所以第2008 个数除以8所得的余数与第4个余数相同，即为2。 4.解析： 观察数列可知，除了前5个数之外，后面的数以8为周期，由2008=8×250=8+8×249，所以2008与8在同一列，即2008在左边第2列。 5.解析： 通过观察可以发现，题目中出现的算式的规律是：每一个算式的第一个加数比上一个算式的第一个加数多2，而每一个算式的第二个加数比上一个算式的第二个加数多3。以此推断，第2008个算式的两个加数分别是5+2×2007和3+3×2007，所以该算式的结果为5+2×2007+3+3×2007=10043。
第10讲几何计数 内容概述 合理使用各种已学的计数方法来解决几何计数问题；学会利用图形的位置和形状进行恰当的分类；掌握方格表中长方形个数的计算方法；注意利用图形的对称性来简化计算． 典型问题 兴趣篇 1．如图10-1，线段AB、BC、CD、DE的长度都是3厘米．请问：图中一共有多少条线段？ 这些线段的长度之和是多少厘米？ 2．小明把巧克力棒摆成了如图10-2所示的形状，其中每一条小短边代表一个巧克力棒．请问： (1)一共有多少个巧克力棒？(2)这些巧克力棒共构成了多少个三角形？ (3)嘴馋的小明吃掉一个巧克力棒后（图中两端带有箭头的小边），剩下的图形中还有多少个三角形？ 3．如图10-3，它是由18个大小相同的小正三角形拼成的四边形，其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的正三角形，图中包含“冰”的各种大小的正三角形一共有多少个？ 4．如图104和10-5，数一数，两个图形中分别有多少个三角形？ 5．如图10-6，在一个4x4的方格表中，共有多少个正方形？ 6．如图10-7，数一数图中一共有多少条线段？多少个矩形？ 7．如图10-8，AB、CD、EF、MN互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少？
8．如图10-9，125个黑色与白色小立方体相间排列拼成了一个大立方体，其中露在表面上的黑色小立方体有多少个？ 9．如图10-10，木板上钉着12枚钉子，排成三行四列的长方阵．用橡皮筋一共可以套出多少个不同的三角形？ 10．如图10-11，在2x3的长方形中，每个小正方形的面积都是1．请问：以A、B、C、D、E、，、G为顶点且面积为1的三角形共有多少个？ 拓展篇 1．如图10-12，数一数，图中有多少个三角形？ 2．如图10-13，数一数下面的三个图形中分别有多少个三角形． 3．如图10-14，数一数，图中有多少个三角形？ 4．如图10-15，数一数．，图中共有多少个长方形？（正方形是一种特殊的长方形） 5．如图10-16，四条边长度都相等的四边形称为菱形，用16个同样大小的菱形组成如图的 一个大菱形．数一数，图中共有多少个菱形？
第２1讲?排列组合 内容概述 了解排列、组合公式的来由及含义,掌握具体的计算方法；辨析排列、组合之间酌区别与联系，并能够合理应用. 典型问题 兴趣篇 1. 计算：24(1)A ?4 10(2)A ??33 36(3)3A A ?+ 【答案】(1)12 (2)50４0 (3）138 【解析】根据排列公式 )1()1(+-?-?=n m m m A n m 计算 2433 41036(1)4312(2)109875040(3)3138A A A A =?==???=?+= ２.费叔叔、小悦、冬冬和阿奇四个人站成一排照相,一共有多少种不同的排列方法? 【答案】24 【解析】这种排列是有序的2412344 4=???=A ３．体育课上,老师从１0名男生中挑出４人站成一排,—共有多少种不同的排列方法? 【答案】504０ 【解析】先从１0人中选出4人，再让4人全排列5040210244 4410=?=?A C 4．费叔叔、小悦、冬冬、阿奇四个人一块乘公共汽车去公园，上车后发现有8个空座位,他们一共有多少种不同的坐法？ 【答案】168０ 【解析】先让4人选座位,再让4人全排列168024704 448=?=?A C 5．用1至7这７个数字一共能组成多少个没有重复数字的三位数?如果把这些三位数从小到大排起来，312是其中第几个？ 【答案】（１）210；(2)第6１人 【解析】第一个位置有７中选择第二个位置有6个选择第三个位置有5个选择 个 是第个，开头的有个，百位是开头的有百位是61312302301)2(210)1(151617=??A A A 6.计算:2 5(1)C 47(2)C ?33 66(2)A C ? 【答案】(１)１0 （2）35 (3)2400 【解析】根据组合公式
数列与数表 一、知识与方法归纳 1、等差数列的有关知识. （1）通项公式:末项=首项+(项数-1) ×公差 （2）项数=(末项-首项)÷公差+1 （3）求和公式:和=(首项+末项) ×项数÷2 2、本讲主要包括两部分内容：规律较复杂的数列以及简单的数表 二、经典例题 例1.1，100，2，98，3，96，2 ，94，1，92，2 ，90，3 ，88，2，86，1， 84，…，0。请观察数列的规律并回答一下问题： （1）这个数列中有多少项是2？ （2）这个数列所有项的总和是多少？ 解： 例2. 1，2，3，4, 4, 5, 6, 7，7, 8，9 ，10，…，97, 98, 99, 100.请观察数列的规律并回答一下问题： （1）这个数列一共有多少个数？ （2）50在数列中是第几个数？ 解： 体验训练1 1, 2, 2， 4， 3， 6， 1， 8， 2， 10， 3， 12，…，100.观察数列的规律，请问：（1）数列中有多少个2？ （2）数列中所有数的总和是多少？ 解：
例3．有一列数，第一个数是3，第二个数是4，从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的和的个位数。从这列数中取出连续的50个数，它们的和最大是多少？ 解： 例4. 如图所示，将从5开始的连续自然数按规律填入下面的数阵中，请问： （1）123应该排在第几列？ 第1列 第2列 第3列 … （2）第2行、第20列的数是多少？ 5 10 15 … 6 11 16 … 7 12 17 … 8 13 18 … 9 14 19 … 解： 体验训练2 将从1开始的自然数按某种规律填入方格表中，请问： （1）66在第几行、第几列？ （2）第33行、第4列的数是多少？ 解： *例5.如图所示，将自然数有规律地填入方格表中，请问：
第二讲 数列与数表 知识要点： 数列与数表这一类题目种类繁多，其中数列包括了等差数列、周期数列等，数表中有我们比较常见的三角数表和一些行列数表，这些题目初看比较复杂，但其中都包含了一些规律性的变化，只要认真观察，并将其中的规律找出，那么解决起来就会变得简单许多，通常还会用到余数原理和等差数列相关公式和性质，方便我们找出数列、数表与余数之间的关系。 一、基础应用： 【例1】 有一张纸片，第一次将它撕成6小片，第二次将其中的一张又撕成6小片，以 后每一次都将其中的一小张撕成更小的6片，撕了五次后一共得到多少张纸片？ 【解析】 每撕一次，把一张纸片撕成6小片，增加了5张； 撕了六次后一共得到15526+?=张纸片。 【例2】 一列数1，4，7，10，13，…，从第二项起，后项减去它的前面一项的差都 相等，从左往右数，第几个数是196？ 【解析】 这是个等差数列，公差是3；从左往右数，第()19613166-÷+=个数是196。 【例3】 计算：6463626160595857565432-++-++-++++-+ 【解析】 6463626160595857565432-++-++-++++-+ ()()()()()646362616059585756765432=-++-++-+++-++-+ ()()121216360576312192021336932 +?=+++ ++=++ +++?=?= 【例4】 有一列数：2、3、6、8、8、……从第三个数开始，每个数都是前两个数 乘积的个位数字，那么这列数的第60个数应是多少？ 【解析】 因为从第三个数开始，每个数都是前两个数乘积的个位数字，根据题意将 接下来的数字表示出来，有2、3、6、8、8、4、2、8、6、8、8、……，后面会发现数列具有周期现象，且周期从第三个数字开始为6、8、8、4、2、 8，六个数字为一个周期，根据周期问题， (602)694-÷=……，第60个数为周期内的第4个数字，即为4。 二、拓展训练： 【例5】 由三个数组成的数组按某种规律排成一列：(1,2,3)，(2,3,5)，(3,4,7)，(4,5,9)，……，那么其中第几个数组中的各数之和为1234？ 【解析】 此题如果由数组中单一一个数去考虑，题目会变得比较复杂，因为问题是
第11讲约数与倍数 内容概述 掌握约数与倍数酌概念．学会约数个数与约数和的计算方法；掌握最大公约数、最小公倍数的常用计算方法；能够利用最大公约数和最小公倍数的性质解决相关的整数问题． 典型问题 兴趣篇 1．(1)请写出105的所有约数；(2)请写出72的所有约数． 2．(1) 20000的约数有多少个？ (2) 720的约数有多少个？ 3．计算：(1) (28,72), [28,72]; (2) (28,44,260), [28, 44, 260]. 4．两个数的差是6，它们的最大公约数可能是多少？ 5．(1)求1085和1178的最大公约数和最小公倍数；(2)求3553，3910和1411的最大公约数． 6．教师节到了，校工会买了320个苹果、240个桔子、200个香蕉来慰问退休老职工．请问：用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，苹果、桔子、香蕉各有多少个？ 7．一块长方形草地，长120米，宽90米，现在在它的四周种树，要求四个角和各边中点都要求种树，且相邻两棵树之间的距离都相等，请问：最少要种多少棵树？ 8．甲数和乙数的最大公约数是6，最小公倍数是90.如果甲数是18，那
么乙数是多少？ 9．有甲、乙两个数，它们的最小公倍数是甲数的27倍．已知甲数是2、 4、6、8、10、12、14、16的倍数，但不是18的倍数；乙数是两位 数．乙数是多少？ 10．小悦、冬冬、阿奇在黑板上各写了一个自然数，这三个自然数的最大公约数是35，最小公倍数是70.这三个数的和可能是多少？ 拓展篇 1．72共有多少个约数？其中有多少个约数是3的倍数？ 2．5400共有多少个约数？并求出所有约数乘积的质因数分解形式．3．两数乘积为2800，已知其中一个数的约数个数比另一个数的约数个数多1．这两个数分别是多少？ 4．计算：(1) (391, 357), [391, 357]; (2) (18, 24, 36), [18, 24, 36]. 5．1547、1573、1859这三个数的最大公约数是多少？最小公倍数是多少？ 6．张阿姨把225个苹果、350个梨和150个桔子平均分给小朋友们，最后剩下9个苹果、26个梨和6个桔子没分出去，请问：每个小朋友分了多少个苹果？ 7．一个数和16的最大公约数是8，最小公倍数是80.这个数是多少？8．两个自然数不成倍数关系，它们的最大公约数是18，最小公倍数是216.这两个数分别是多少？
第19讲??格点与割补 内容概述 明确格点多边形的概念，学会通过分割和添补的方法计算其面积；学会利用割补法计算不规则图形的面积;掌握格点多边形的面积计算公式. 典型问题 兴趣篇 1.图１9-ｌ中相邻两格点问的距离均为1厘米．三个多边形的面积分别是多少平方厘米? 答案：4平方厘米２平方厘米8平方厘米 【分析】方法:正方形格点阵中多边形面积公式:（N+L 2 -1)×单位正方形 面积,其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数． 有N＝0，L＝１0,则用粗线围成图形的面积为:(0+1０÷2－1)×１=４（平方厘米) 有Ｎ＝0，Ｌ=10,则用粗线围成图形的面积为:（1＋4÷2-１)×1=2(平方厘米） 有N=5,L=8,则用粗线围成图形的面积为:(5+8÷２－1)×１=8(平方厘米) 2．图１９－2中相邻两格点问的距离均为l厘米．三个阴影图形的面积分别是多少平方厘米? 答案：5平方厘米5平方厘米0.５平方厘米 【分析】方法：正方形格点阵中多边形面积公式:(N+L 2 －1）×单位正方 形面积，其中N为图形内格点数，Ｌ为图形周界上格点数. 有Ｎ=4,L=4,则用粗线围成图形的面积为：（4+４÷２-1)×1=５(平方厘米) 有Ｎ=4,L=4，则用粗线围成图形的面积为:(4+4÷２－1)×1=５(平方厘米）有N=０,L=3，则用粗线围成图形的面积为:（0+3÷2－１）×１=0.５(平方厘米) 3．图１9-3中每个小正方形的面积均为２平方厘米.阴影多边形的面积是多少平方厘米?
答案:19平方厘米 【分析】方法:交点组成了正方形格点,正方形格点阵中多边形面积公式: （N+L 2 -１)×单位正方形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数. 有N=7，L=１7,则用粗线围成图形的面积为：(7+7÷2-1)×2＝19(平方厘米) 4．图1９-４是一个三角形点阵,其中能连出的最小的等边三角形的面积为ｌ平方厘米.三个多边形的面积分别为多少平方厘米? 答案:6平方厘米６平方厘米14平方厘米 【分析】方法：正三角形方形格点阵中多边形面积公式：（2N+L－２)x单位正三角形面积,其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数． 有N=0,L=８,所以用粗线围成的图形的面积为:(０×2+８-2)×１=6(平方厘米). 有Ｎ＝２，L=4，所以用粗线围成的图形的面积为：(2×2+4-2)×1＝6(平方厘米）. 有N=４，L=7,所以用粗线围成的图形的面积为：（4×2+7－2）×1＝１4(平方厘米).５．如图19-５所示,如果每个小等边三角形的面积都是１平方厘米．四边形ABCD和三角形EFＧ的面积分别是多少平方厘米? 答案：20平方厘米10平方厘米 【分析】方法：正三角形方形格点阵中多边形面积公式:（2N＋Ｌ-２)x单位正三角形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数． 有N＝9,L=4,所以用粗线围成的图形的面积为：（９×2+4-2)×1=２0(平方厘米)． 有N＝4,L=4，所以用粗线围成的图形的面积为:（4×2+4-2）×1=1０(平方厘米）． ６．图１９－6中的数字分别表示对应线段的长度，试求这个多边形的面积.（单位：厘米)
2，100，3，98，5，96，4，94，1，92，2，90，3，88，5，86，4，84，1，…，0。 请观察上面数列的规律，请问： ⑴这个数列有多少项是2？ ⑵这个数列所有项的总和是多少？ 下面的算式是按规律排列的：5＋1，3＋4，1＋7，5＋10，3＋13，1＋16，…，请观察上面数列的规律。请问：是否存在算式的运算结果是2012？是第几个？ 下面是按规律排列的三角形数阵：那么此数阵第2012行左起第三个数是多少？ 把正整数依次排成以下数阵：求 ⑴第20行第10列是哪个数？ ⑵第10行第20列是哪个数？ 数列与数表综合（一） (★★★) (★★★) (★★★) (★★★★)
从1开始的自然数按图所示的规则排列，并用一个正方形框出九个数，能否使这九个数的和等于：⑴2012；⑵2007；⑶2160。 若能，请写出正方形的中心数；若不能，说明理由。 本讲总结 多重数列——拧麻花 数表——行列联合，从问题入手 等差数列家族——差等差 整体考虑；快速判断 时刻要谨慎；细节定成败 重点例题：例1；例3；例5 在线测试题 温馨提示：请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节！ 1．3，100，4，96，5，92，3，88，4，84，5，…，0请观察上面数列的规律，那么这个数列有( )项是4，所有项的总和是( )。 A．9，1303 B．9，1403 C．10，1303 D．10，1403 2．下面的各算式是按规律排列的：1＋1，2＋3，3＋5，4＋7，1＋9，2＋11，3＋13，4＋15，1＋17，……，那么其中第( )个算式的结果是2008。 A．997 B．1003 C．2005 D．2006 3．如图，从1开始的自然数按某种方式排列起来，那么136在第( )行。 A．14 B．15 C．16 D．17 (★★★★)
第17讲数列与数表 内容概述 通过观察数列或数表中的已知数据，发现规律并进行填补与计算的问题，注意数表形式的多样性，计算时常常考虑周期性，或进行合理估算. 典型问题 兴趣篇 1．1，1，4，2，7，3，10，1，13，2，16，3，19，1，22，2，25，3，…，100．请观察上面数列的规律，问：(1)这个数列一共有多少项? (2)这个数列所有数的总和是多少? 答案：67；1783 解析：间隔是是等差数列。 2．观察数组(1，2，3)，(3，4，5)，(5，6，7)，(7，8，9)的规律，求： (1)第20组中三个数的和； (2)前20组中所有数的和． 答案：120；1260 解析：（39，40，42），运用等差数列求和公式。 3．一个数列的第一项是l，之后的每一项是这样得到的：如果前一项是一位数，接着的一项就等于前一项的两倍；如果前一项是两位数，接着的一项就等于前一项个位数字的两倍．请问： (1)第100项是多少? (2)前100项的和是多少? 答案：8；975 解析：按规律写：1,2,4,8,16,12,4,8,16,12……四个数为一个周期 4. 如图17-1，方格表中的数是按照一定规律填人的．请观察方格表，并填出“?”处的数． 答案：105 解析：四周数的差是一个等差数列。 5．如图17-2，数阵中的数是按一定规律排列的，请问： (1)100在第几行、第几列?
(2)第20行第3列的数是多少? 答案：（1）第25行第6列；（2）79 解析：两行为一个周期。观察除以8的余数与在第几列之间的关系。 6．如图17-3，从4开始的自然数是按某种规律排列的，请问： (1)100在第几行，第几列? (2)第5行第20列的数是多少? 答案：（1）第1第25列；（2）81 解析：两列为一个周期。 7. 如图17-4所示，把偶数2、4、6、8，排成5列．各列从左到右依次为第1列、第2列、第3列、第4列和第5列，请问： (1)100在第几行，第几列? (2)第20行第2列的数是多少? 答案：（1）第15行第2列；（2）138 解析：八个数为一个周期，可以把每个数先除以2转化成简单数列。 8．如图17-5，从1开始的自然数按某种方式排列起来，请问： (1)100在第几行?100是这一行左起第几个数? (2)第25行左起第5个数是多少? 答案：（1）第14行左起第9个数；（2）321 解析：观察1，6，15…这样的数都是1加到行数之和。 3，10也是1一直加到行数之和。 9. 如图17-6，把从1开始的自然数排成数阵．试问：能否在数阵中放人一个3×3的方框，使得它围住的九个数之和等于： (1)1997；(2)2016；(3)2349． 如果可以，请写出方框中最大的数． 答案：只有2349是可以的，最大为269.
第5讲 分数与循环小数 内容概述 掌握分数与小数互相转化的方法，并在分数与循环小数混合运算中进行合理应用；学会通过分数的形式判断相应的小数类型；注意利用周期性分析循环小数的小数部分． 典型问题 兴趣篇 1．把下列分数化为小数： ;334,113,92)2(;2513,813,43)1(?37 4,133,72)4(;907,225,65)3( 2．把下列循环小数转化为分数： .83.0,80.0)3(;53.0,10.0)2(;4.0,1.0)1(&&&&&&&& 3．把下列循环小数转化为分数：321.0,321.0,21.0,7.0&&&&&&& 4．计算：;7.05.03.0)3(;4.03.02.0)2(;3.02.01 .0)1(&&&&&&&&&++++++ .32.021.0)5(;312.021.01.0)4(&&&&&&+++ 5．.41235.035124.024513.013452.052341 .0&&&&&&&&&&++++ 6．计算下列各式，并用小数表示计算结果：.815.083.0)2(;153.068 .1)1(&&&&&&&÷? 7．将算式6.03.06.03.06.03.0&&&&&&÷+?-+的计算结果用循环小数表示是多少？
8．将算式 12 111110191+++的计算结果用循环小数表示是多少？ 9．冬冬将32.1&乘以一个数口时，把32.1&误看成1. 23，使乘积比正确结果减少0. 3．则正 确结果应该是多少？ 10．真分数 7a 化成小数后，如果从小数点后第一位起连续若干个数字之和是2000．a 应该是多少？ 拓展篇 1．将下列分数化为小数：?13 10,72,944, 65,83 2．把下列循环小数转化为分数：.13846536.6,3071.3,3351.0,84 .0&&&&&&&& 3．(1)把下面这些分数化为小数后，哪些是有限小数，哪些是纯循环小数，哪些是混循环小数： ;1111 11,625135,30884,19218,15017,7715,172,5031,43 (2)把下列分数化成循环小数：?143 12,3714,353 4．计算：;4312.021.01.0)2(;54.013.020 .0)1(&&&&&&&&&&++++ .011021.0212.076.0)4(;96.035.021.0.)3(&&&&&&&&&&&&++++
第12讲复杂竖式 内容概述 需要较强推理能力的竖式问题．学会运用奇偶分析、整体分析、分粪讨论等技巧性较高的方法． 典型问题 兴趣篇 1．图12-1是一个字母竖式，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字．请把竖式用数字表示出来． 2．在图12-2中的各个方框内填人恰当的数字后，可使算式成立，并且个位上的5个数字从上向下看，恰好是图12-3中顺时针次序的连续5个数字，十位上的5个数字也有这样的性质．请问：竖式中计算的结果是多少? 3. 请把1至9这9个数字填在图12-4的方框中（其中有3个数字已经填好），使得加法和乘法这两个算式都成立. 4. 图12-5是一个乘法竖式，请在其中的10个方框内分别填入0至9这10个数字，使得竖式成立.
5.如图12-6，在乘法竖式的每个方框中填入一个数字，使其成为正确的竖式，那么所得的乘积应该是多少？ 6. 如图12-7，在乘法竖式的每个方框中填入一个数字，使其成为正确的竖式，那么所得的 乘积应该是多少？ 7. 在图12-8的方框内填入恰当的数字，可以得到一个正确的乘法竖式. 已知这样的填法有两种，这两种填法所得到的两个不同的乘积相差多少？ 8. 在图12-9的方框内填上适当的数字，使得竖式成立，请写出所有的答案. 9. 请把图12-10中的除法竖式补充完整.
10. 请把图12-11中的除法竖式补充完整. 这个算式的被除数、除数以及商的总和是多少？ 拓展篇 1. 在图12-12中的字母竖式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字. 已知个位向十位的进位为2，且E是奇数，则A、B、C、D分别代表什么数字？ 2. 在图12-13中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字. 请给出两种使竖式成立的填法. 3. 在图12-14所示的乘法竖式中，每个方框和字母都代表一个数字，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，请问：A、B、C、D各代表什么数字？ 4. 在图12-15所示的乘法竖式中，每个方框和汉字都代表一个数字，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字. 请问：这个乘法算式最后的乘积是多少？
第22讲牛吃草问题与钟表问题 内容概述 牛吃草问题是一类特殊的工程问题，钟表问题是一类特殊的行程问题．牛吃草问题的难点在于草的总量有变化，因此要注意单位“1”的选取．掌握钟表问题的相关知识，学会将掐针成角度问题转化为指针闻的环形追及问题或相遇问题，学会用比例分析两个速度不同的钟表之间的时间对比关系． 典型问题 兴趣篇 1．有一片牧场，草每天都在均匀地生长．如果在牧场上放养24头牛，那么6天就把草吃完了；如果只放养21头牛，那么8天才把草吃完．请问： (1)要使得草永远吃不完，最多可以放养多少头牛？(2)如果放养36头牛，多少天可以把草吃完？ 2．学校有一片均匀生长的草地，可以供18头牛吃40天，或者供12头牛与36只羊吃25天，如果1头牛每天的吃草量相当于3只羊每天的吃草量．请问：这片草地让17头牛与多少只羊一起吃，刚好16天吃完？ 3．一片均匀生长的草地，如果有15头牛吃草，那么8天可以把草全部吃完；如果起初这15头牛在草地上吃了2天后，又来了2头牛，则总共7天就可以把草吃完．如果起初这15头牛吃了2天后，又来了5头牛，再过多少天可以把草吃完？ 4．有一座时钟现在显示上午10点整，问： (1)多少分钟后，分针与时针第一次重合？(2)再经过多少分钟，分针与时针第二次重合？
5．小悦早上6点半起床，赶到学校时发现手表上的时针和分针恰好第一次张开成一条直线，那么小悦到达学校的时间是几点几分？ 6．阿奇在9点与10点之间开始解一道数学题，当时手表的时针和分针正好成一条直线．当阿奇解完这道题时，时针和分针刚好第一次重合．请问：阿奇解这道题用了多少分钟？ 答案：11 832分 7．下午6点多时冬冬吃完晚饭开始看动画片，动画片开始时他看手表，发现时针和分针的夹角为110°．在新闻联播前动画片放完了，冬冬又看手表，发现时针和分针的夹角仍是110°．那么动画片一共放了多少分钟？ 8．在早晨6点到7点之间有一时刻，钟面上的“6”字恰好在时针与分针的正中央．请问：这一时刻是6点多少分？ 9．小悦的手表比家里的闹钟走得要快一些．这天中午12点时，小悦把手表和闹钟校准，但当闹钟走到下午1点时，手表显示的时间是1点5分．请问： (1)当闹钟显示当天下午5点的时候，手表显示的时间是几点几分？ (2)当手表显示当天下午6点半的时候，闹钟显示的时间是几点几分？ 10．一个快钟每小时比标准时间快1分钟，一个慢钟每小时比标准时间慢3分钟，现在将两个钟同时调到标准时间，结果在24小时内，快钟显示9点整时，慢钟恰好显示8点整．请问：这个时候的标准时间是多少？
学习-----好资料 第5讲竖式问题 内容概述 以字母或汉字表示数字的竖式问题，学会选择适当的突破口，并逐步解决问题；能够将文字叙述的题目转化为数字谜形式，便于直观地解决问题。 典型问题 兴趣篇 1.如图5-1所示，每个英文字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字，其中“G”代表“5”，“A”代表“9”，“D”代表“0”，“H”代表“6”.问：“I”代表的数字是多少？ 分析：也一定有A+E=HC=4，A+D=D，所以,它们的和一定有进位，所以 ，、2、F分别是1没有用，所以1、2、3、8B，现在还剩进位，所以E=7I=3. 的加法竖式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代）在图5-22. （1 表相同的数字，那么每个汉字各代表什么数字？的减法竖式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相在图5-3(2) 同的数字，那么每个汉字各代表什么数字？分析：，卒=1（1）观察可得：车
，马=卒，所以兵=5=0，兵+兵马，所炮=，+1=5，所以马=4炮+=2 以炮5240+5210=10450 =2=马，所以：兵，=12）观察可得：炮，兵—兵=马，一定有借位，所以马=9，炮—兵（292=929—1221 的竖式中，相同的汉字代表相同的3. 在图5-4+如果23+解数字，不同的汉字代表不同的数字，”所代表的三，那么“字++谜=30 数数字谜位数是多少？ 更多精品文档． 学习-----好资料
不同的汉字代表不同的数字，每个汉字代表一个数字，图5-5所示的竖式中，4. ”代表的四位数是多少？那么“北京奥运 分析：奥++京，北+奥=0，所以可得要进位，所以；京=8 观察可得：北=1，北+京=9 ，运位，所以：奥=0+运=8，所以要进2=1809 北京奥运 ABCDE所示的乘法竖式成立，那么5. 已知图5-6是多少？ 相同的符号代5-7的竖式中，6. (1) 在图 表相同的数字，不同的符号代表不同的数字，那么☆、△、○分别代表什么数字？的竖式中，相同的符号代表5-8(2) 在图不同的符号代表不同的数字，相同的数字，那么☆、△、○分别代表什么数字？分析：三种可能，因为是三 位数5、9,×△=△，所以△=1、）（1△，○=1，☆乘一位数等于四位数，所以1排除，经分析：△=5=2=2 ，○，当△=5时，☆=4、）△=15、6三种可能，排除12 （=3○=5时，△
第二讲数列与数表 例1：有一个数列：4、7、10、13、…、25，这个数列共有多少项? 例2：有一等差数列：2，7,12,17，…，这个等差数列的第100项是多少？ 例3：计算2+4+6+8+…+1990的和。 例4：计算（1+3+5+...+l99l)-（2+4+6+ (1990) 例5：已知一列数：2,5,8,11,14，…，80，…，求80是这列数中第几个数。 例6：小王看一本书第一天看了20页，以后每天都比前一天多看2页，第30天看了78页正好看完。这本书共有多少页？ 例7：建筑工地上堆着一些钢管(如图所示),求这堆钢管一共有多少根。 例8：四（1）班45位同学举行一次同学联欢会，同学们在一起一一握手，且每两个人只能握一次手，同学们共握了多少次手？ A
1.有一个数列:2,6,10,14,…,106,这个数列共有多少项?。 2.求1,5,9,13,…,这个等差数列的第3O项。 3.计算1+2+3+4+…+53+54+55的和。 4.计算(1+3+5+7+...+2003)-(2+4+6+8+ (2002) 5.有一列数是这样排列的:3,11,19,27,35,43,51,…,求第12个数是多少。 B 6.一等差数列,首项=7,公差=3,项数=15,它的末项是多少? 7.计算(2OO1+1999+1997+1995)-(2OOO+1998+1996+1994)。 8.文丽学英语单词,第一天学会了3个，以后每天都比前一天多学会1个，最后一天学会了21个。文丽在这些天中共学会了多少个英语单词？ 9.李师傅做一批零件，第一天做了25 个，以后每天都比前一天多做2个，第20天做了63个正好做完。这批零件共有多少个？ 10.有60把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多试多少次? C 11.一些同样粗细的圆木,像如图所示一样均匀地堆放在一起,已知最下面一层有70根。一共有多少根圆木？ 12.用3根等长的火柴棍摆成一个等边三角形,用这样的等边三角形，按下图所示铺满一个大的等边三角形,如果这个大的等边三角形的底边能放10根火柴棒,那么这个大的等边三角形中一共要放多少根火柴棒? 13.有一些锁的钥匙搞乱了,已知至多要试28次,就能使每把锁都配上自己的钥匙。一共有几把锁的钥匙搞乱了? 14.学校进行书法大赛，每个选手都要和其他所有选手各赛一场。如果有16人参加比赛，一共要进行多少场比赛？ 15.在一次元旦晚会上，一共有48位同学和5位老师，每一位同学或老师都要和其他同学握一次手。那么一共握了多少次手？
第16讲构造认证一 内容概述 各种形式的构造问题，解题时要不断地调整设计方案以满足全部要求，有时应从简单情形入手寻找规律．本讲的论证问题，一般采用奇偶性或整阵性的分析方法． 典型问题 兴趣篇 1．如图16-1，用1×2和1×3两种规格的小长方形地板砖铺满的地面，至少需要地板砖多少块？ 2．国际象棋的皇后可以控制她所在的横线、竖线和斜线，图16-2中一个皇后（图中五角星）就把整个3×3的棋盘控制了．为了控制一个4×4的棋盘至少要放几个皇后？ 3．图16-3中的左图为15枚硬币组成的三角形，如果仅移动5枚硬币，要把这些硬币变成右图的形式，应该怎样移动？请在图中表示出移动的方法． 4．把100个橘子分装在6个篮子里，使得每个篮子里装的橘子数都含有数字6，应该如何装？
5．把正方体的所有棱染成白色或者红色，要求每个面上至少要有一条棱是白色的．请问：最少有多少条棱是白色的？ 6．请在9，8，…，3，2，l的相邻两个数之间填入“ + ”或者“ - ”（不能改变数的顺序），使得结果是1．能否使得结果是0呢？ 7．如图16-5，能否在三角形的三个顶点各填一个自然数，使得每条边的两个顶点上的数之和都是奇数？如果能，请写出一种填法；如果不能，请说明理由， 8．四位同学进行了一次乒乓球单打比赛，当比赛进行了若干场后，体育老师问他们分别比赛了多少场．这四位同学回答分别比了1、2、3、3场．老师说：“你们肯定有人记错了．”请问：老师是怎么知道的呢？ 9．有四个算式：口+口=口，口－口=口，口×口=口，口÷口=口，如果每一个算式中都至少有1个偶数和1个奇数，那么12个数中一共有多少个偶数？如果没有前面的限制，这12个数中最少有多少个偶数？最多有多少个偶数？ 10．有14个孩子，依次给他们编号为1，2，3，…，14.能否把他们分成三组，使得每组都有一个孩子的编号是该组其它孩子的编号之和．
第15讲加法原理与乘法原理 兴趣篇 1、铮铮去吃午饭，发现附近的中餐厅有9个，西餐厅有3个，日式餐厅有2个。他准备找 一家餐厅吃饭，一共有多少种不同的选择？ 2、铮铮进入一家中餐厅后，发现主食有3种，热菜有20种。他打算主食和热菜各买1种， 一共有多少种不同的买法？ 3、老师要求冬冬在黑板上写出一个减法算式，而且被减数必须是两位数，减数必须是一位 数，冬冬共有多少种不同的写法？ 4、传说地球上有7颗不同的龙珠，如果找齐这7颗龙珠，并且按照特定顺序排成一行就会 有神龙出现。邪恶的沙鲁找到了这7颗龙珠，但是他不知道排列的特定顺序。请问：运气不好的沙鲁最坏要试几次才能遇见神龙？ 5、用红、黄、蓝三种颜色给图的三个圆圈染色，一个圆圈只能染一种颜色，并且相连的两 个圆圈不能同色，一共有多少种不同的染色方法？ 6、在图中，从“北”字开始，每次向下移动到一个相邻的字可以读出“北京奥运会”。那么一
共有多少种不同的读法？ 7、运动会种有四个跑步比赛项目，分别为50米、100米、200米、400米，规定每个参赛 者只能参加其中的一项。甲、乙、丙、丁四名同学报名参加这四个项目，请问： （1）如果每名同学都可以任意报这四个项目，一共有多少种报名方法？ （2）如果这四名同学所报的项目各不相同，一共有多少种报名方法？ 8、冬冬的书包里有5本不同的语文书、6本不同的数学书、3本不同的英语书。请问：（1）如果从中任取1本书，共有多少种不同的取法？ （2）如果从中取出语文书、数学书、英语书各1本，共有多少种不同的取法？ 9、如图，甲、乙两地之间有4条路，乙、丙两地之间有2条路，甲、丙两地之间有3条路， 那么从甲地去丙地一共有多少条不同的路线？ 10、图中有一个从A到B的公路网络，一辆汽车从A到B，可以选择的最短路线一共有多 少条？