2016年高等代数考研模拟试题
本试题共1页,第1页
试题编号：422 试题名称：高等代数 注意：答题一律答在答题纸上，答在草稿纸或试卷上一律无效
一 填充题（6?5分=30分）
1．多项式x 3-6x 2+15x -14的有理根为 。
2． ????
? ??--01101
2111的逆矩阵为 。 3．已知二阶方阵A 的特征值为λ1=2，λ2=3，对应的特征向量分别为X 1=(1，2) '，X 2=(3，4) '。 则A= 。
4．当 a= 时，向量组α1=(a ，1，3，11)，α2=(1，-3，1，3)，α3=(1，2，1，4)的秩为2。
5．设f(x 1，x 2，x 3) = x 12+4x 22+4x 32+2λx 1x 2-2x 1x 3+4x 2x 3正定，则λ的取值范围是 。
6．设在空间P[x]n 中，变换А为f(x)→ f(x+1) -f(x)。求变换А在基ε0=1，εi =
!)1()1(i i x x x +-???-(i=1，2，…，n -1)下的矩阵。
二（15分）证明：x m -1整除x n -1的充要条件是m 整除n 。
三（15分）设a ij ，b ij 分别为n 阶行列式detA ，detB 的元素，而且满足b ij =
∑=n k ik a 1- a ij (i=1，2，…，
n ；j=1，2，…，n )，求证detB=(-1) m (n -1)detA 。
四（15分）设n ?m 实矩阵A 的秩为m ，B 为n 阶正定矩阵，证明矩阵A 'BA 可逆。这里A '是A 的转置矩阵。
五（15分）设V 是一个n 维欧氏空间，α1，α2，…，αn 是V 的一个标准正交基，σ是V 的一个线性变换，A=( a ij )是σ在这个基下的矩阵，证明：(σαi ，αj )= a ji ，i ，j=1，2，…，n 。 六（15分）若D=(d ij ) n ?n ，定义TrD=∑=n
i ii d 1。设????? ??-=010001133A
（1） 求TrA k ，k=1，2，…。 （2） 证明A 不相似于任一对角阵。
七（15分）实数λ≥0是A -A 的特征值的充要条件是存在非零向量X ，使A -
X =λX 。这里A 是复方阵，-A 是A 的共轭阵。
八（15分）设η0是线性方程组的一个解，η1，η2…，ηt 是它的导出方程组的一个基础解系，令γ1=η0，γ2=η1+η0，…，γt+1=ηt +η0，证明线性方程组的任一个解γ，都可表成γ=u 1γ1+ u 2γ2+…+u t+1γt+1，其中u 1+ u 2+…+u t+1=1。
九（15分）设f(x)是数域P 上的多项式，而且有f(x)=α (x) β(x)，(α (x) ，β (x))=1。又设V 为P 上n 维线性空间，T 为V 的一个线性变换，K 为f(T )的核，W 1为α (T )的核，W 2为β (T )的核，求证：K= W 1 ⊕W 2。
1.设A 是数域P 上线性空间V 的线性变换且2 =A A ,证明: （1）A 的特征值为1或0；（2）{}1 (0)()A V ααα-=-∈A ;（3） 1 (0)()V V -=⊕A A . 2.已知A 是n 维欧氏空间的正交变换，证明：A 的不变子空间W 的正交补W ⊥也是A 的不变子空间． 3.已知复系数矩阵 = A 1 2340123 00120 01?? ? ? ? ??? ， （1） 求矩阵A 的行列式因子、不变因子 和初等因子；（2）若当标准形.（15分） 4.已知二次型 222 12312323 (,,)2332f x x x x x x ax x =+++， (0)a >通过某 个正交变换可化为标准形2 2 2 12325f y y y =++， （1）写出二次型对应的矩阵A 及A 的特征多项式，并确定 a 的值； （2）求出作用的正交变换. 6. 设 A 为 n 阶方阵， {} 1 |0 n W x R Ax = ∈=， {} 2 |()0n W x R A E x = ∈-=证明 A 为幂等矩阵，则1 2 n R W W =⊕. 7.若设W= {}() (1)0,()[] n f x f f x R x =∈, 证明：W 是 []n R x 的子空间，并求出W 的一组基及维数. 8.设V 是一个n 维欧氏空间，1 2 ,,,m α ααL 为V 中的正交向量组，令 {}(,)0,,1,2,,i W V i m αααα==∈=L （1）证明：W 是V 的一个子空间；（2）证明：()1 2 ,,,m W L ααα ⊥ =L . 9.试求矩阵3 100 1100 30534 1 3 1A -=---?? ? ? ? ??? 的特征多项式、最小多项式.
《高等代数》考研2021考研真题北京大学考研真题 二 第一部分名校考研真题 第6章线性空间 一、选择题 1．下面哪一种变换是线性变换（）．[西北工业大学研] A．B． C． 【答案】C查看答案 【解析】不一定是线性变换，比如则也不是线性变换，比如给而不是惟一的． 2．在n维向量空间取出两个向量组，它们的秩（）．[西北工业大学研] A．必相等B．可能相等亦可能不相等C．不相等 【答案】B查看答案 【解析】比如在中选三个向量组 (I)：0 (Ⅱ) (Ⅲ)． 若选（I）（II），秩秩（II），从而否定A，若选（Ⅱ）（Ⅲ），秩（Ⅲ）＝秩（Ⅱ），从而否定C，故选B． 二、填空题 1．若
则V对于通常的加法和数乘，在复数域C上是______维的，而在实数域R上是______维的．[中国人民大学研] 【答案】2；4．查看答案 【解析】在复数域上令；则是线性无关的． 则 此即证可由线性表出． 在实数域上，令 若，其中，则 此即在R上线性关． 可由线性表出，所以在实数域R上，有 三、分析计算题 1．设V是复数域上n维线性空间，V 1和V2各为V的r1维和r2维子空间，试求 之维数的一切可能值．[南京大学研] 解：取的一组基，再取的一组基则 ＝秩 2．设U是由生成的的子空间，W是由生成的的子空间，求
（1）U＋W： （2）L∩W的维数与基底．[同济大学研] 解：（1）令 可得．所以 由于为的一个极大线性无关组，因此又可得 且，故为U＋W的一组基． （2）令 因为秩＝3．所以齐次方程组①的基础解系由一个向量组成： 再令，则 故ζ为U∩W的一组基． 3．设A是数域K上的一个m×n,矩阵，B是一个m维非零列向量．令 （1）证明：W关于K n的运算构成K n的一个子空间； （2）设线性方程组AX＝B的增广矩阵的秩为r．证明W的维数dimW＝n－r＋1：（3）对于非齐次线性方程组 求W的一个基．[华东师范大学研]
西安交通大学2009年攻读硕士学位研究生入学考试试题 科目代码：818 科目名称：高等代数 一 （20分）计算行列式： 000 00 0000 00000n D αβαβαβαβαβαβαβαβ +++=+ + 二 （20分）已知12(0,1,0),(3,2,2)T T αα==-，是线性方程组 1231231 2321341x x x x x x ax bx cx d -+=-??++=??++=? 的两个解，求此方程组的全部解． 三 （20）当t 取什么值时，下面二次型是正定的： 222123123121323(,,)42106f x x x x x x tx x x x x x =+++++ 四（15分）设3阶实对称矩阵A 有特征值1231,1λλλ=-==，A 的属于特征值-1的特征向量1(0,1,1)T ξ=，矩阵32B A A E =-+，其中E 为3阶单位阵（下同），问： （1） 1ξ是否为B 的特征向量？求B 的所有特征值和特征向量； （2） 求矩阵B ． 五（15分）设，1200000,,,,00,,,00a c x W a a b c R W y x y z R c b z z ????????????????=∈=∈???????????????????????? （1） 求12W W +； （2） 记12W W W =+，试求空间3W 使得33()M R W W =⊕（其中3()M R 为实数域 上3阶矩阵全体），并说明理由． 六（15分）设向量组12,,,r ααα线性无关，而12,,,,,r αααβγ线性相关．证明：
要么β与γ中至少有一个可被12,,,r ααα线性表出，要么12,,,,r αααβ与12,,,,r αααγ等价． 七（15分）设A 为(1)n n ?+阶常数矩阵，X 为(1)n n +?阶未知数矩阵．试证明矩阵方程AX E =有解的充要条件为()r A n =． 八（10）若12,αα是数域F 上的二维线性空间2()V F 的基，σ和τ是2()V F 上的线性变换，且满足 112212121212,,(),()σαβσαβτααββτααββ==+=+-=- 试证：στ=． 九（10）设A 和B 是两个n 阶实正交矩阵，并且det()det()A B =-．证明 ()r A B n +<． 十（10分）证明A 可与一个对角矩阵相似的充要条件是：对于A 的任意特征值i λ，方程组 2()0i E A X λ-=与()0i E A X λ-= 是同解的，其中11(,,,)n n X x x x =．需要更多试题请https://www.doczj.com/doc/df6229679.html,/exam.taoba -//maths :http 高等代数试题分数分布： 行列式：20分（1）； 线性方程组：35分（2）； 矩阵：15分（1）； 二次型：20分（1）； 线性空间：15分（1）； 欧几里得空间：10分（1） 线性变换：35分（3）
天津师范大学高等代数考研辅导及复习资料 想给大家分享一下我去年参加天津师范大学高等代数考研辅导班的经验，还有一些关于辅导方面的信息，我报考的是学硕哦，不是专业硕士。首先呢，我的复习时间是从暑假开始的，在暑假之前稍稍复习了一点公共课，也就是政治和英语一还有数学三，而专业课高等代数我在七月开始入手学习的。 一开始先在书店直接买了所有高等代数的参考书，然后才在网上找找前辈分享的复习经验，就是一些计划，开始了简单的学习之路。开始复习了两个月吧，总感觉很累，就像高中学习地理一样，说难也不是难，需要背诵的知识真不少，后来都快到九月份开学了，有点慌，感觉做真题的时候成绩太差了，开学以后没有那么多时间去学习这个，也没有认识的学长学姐可以教教我，所以在我爸妈的建议下报名了天津考研网的一对一辅导。 于是就开始了自己复习+一对一辅导的学习模式，在时间紧任务重的情况下，选择辅导班确实是提升自己的学习效率和思维能力的捷径。至于选择天津考研网机构，在这之前还是有一段了解过程的，我事找了几家辅导机构对比的，天津考研网这里可以自己选择辅导课时，按照总课时去计价，而总课时是根据自己的知识功底来决定的，会先做一下测试题然后和老师一起看一下自己的情况再决定，而且面授或者视频都可以自己商量。我觉得蛮有保障而且时间自由就选择了。在辅导的同时还给我讲很多专业近况和他们的学习氛围还有导师和研究生之间的事。对于我的初试复试帮助都很大。 实际上可能也是先入为主的效应所以才选择的这个机构，因为之前买专业课资料时候就是买的他家的《天津师范大学数学专业（高等代数+数学分析）考研真题复习宝典（真题+答案，赠考研学长指导视频）》真题解析资料，特别全面，因为真题是回忆版的答案也是在读研究生做的，那种答题逻辑很适合备考学生使用，而且讲解非常详细易懂。就增添了一些好感。 那么天津师范大学高等代数考研辅导的相关信息就说到这里吧，说的太多也
2018年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 **************************************************************************************** 学科、专业名称：数学学科、基础数学、计算数学、概率论与数理统计、应用数学、 运筹学与控制论专业 研究方向：各方向 考试科目名称：高等代数 考试科目代码：810 考试科目: 高等代数 共 4 页,第 1 页 考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分 一、填空题（将题目的正确答案填写在答题纸上。共10小题，每小题3分，共30分。） 1、设A 为3阶矩阵, 13=A , 求1*(3)5--A A = 。 2、当实数=t 时，多项式32x tx ++有重根。 3、λ取值 时，齐次线性方程组1231231232402(2)00λλλ--+=??+-+=??+-=?x x x x x x x x x 有非零解。 4、实二次型22212312313(,,)2==+-+T f x x x X AX x ax x bx x (0)b >，其中二次型的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为-12，则a = ，b = 。 5、矩阵方程12133424????= ? ?????X , 那么X = 。 6、已知向量()10,0,1α=，211,,022α??= ???，311,,022α??=- ???是欧氏空间3R 的一组标准正交基,则向量()2,2,1β=在这组基下的坐标为 。
考试科目: 高等代数 共 4 页,第 1 页 考试科目: 高等代数 共 4 页,第 2 页 7、已知矩阵,A B 均可逆，00B X A ??= ???，则1X -= 。 8、4阶方阵2222022200220002?? ? ? ? ???的Jordan 标准形是 。 9、在欧氏空间3R 中，已知()2,1,1α=--，()1,2,1β=-，则α与β的夹角为 （内积按通常的定义）。 10、设三维线性空间V 上的线性变换σ在基321,,εεε下的矩阵为221011021-?? ?- ? ?-??，则σ在 基213,,εεε下的矩阵为 。
且f(x)在有理数域上不可约。 第一章多项式 1 (清华 2 000— 20分)试求7次多项式f(X )，使f(M 1能被(X -1)4 整除，而f(X )-1能 被(X 1)4整除。 2、 (南航 2001 — 20 分) (1) 设 x —2px+2 I x +3x +px+q ，求 p,q 之值。 (2) 设f(x) , g(x), h(x) € R[x]，而满足以下等式 2 (x +1)h(x)+(x -1) f(x)+ (x -2) g(x)=0 2 (x +1)h(x)+(x+1) f(x)+ (x+2) g(x)=0 2 2 证明：x +1 I f(x) , x +1 I g(x) 3、 (北邮2002 —12分)证明：x d - 1 I x "- 1的充分必要条件是 d I n (这里里记号 d I n 表 示正整数d 整除正整数n )。 4、 、(北邮 2003 —15分)设在数域 P 上的多项式 g 1(x), g 2(x) , g 3(x) , f(x),已知 g 1(x) I f(x), g 2(x) I f(x) , g 3(x) I f(x)，试问下列命题是否成立，并说明理由： (〔)如果 g 1(x) , g 2(x) , g 3(x)两两互素，则一定有 g 1(x) , g 2(x) , g 3(x) I f(X ) (2)如果 g 1(x) , g 2(x) , g 3(x)互素，则一定有 g 1(x)g 2(x)g 3(x) I f(X ) 5、 (北师大2003—25分)一个大于1的整数若和其因子只有 1和本身，则称之为素数。证 明P 是素数当且仅当任取正整数 a , b 若p I ab 则p I a 或p I b 。 6、 (大连理工2003 —12分)证明：次数＞0且首项系数为1的多项式f(x)是某一不可约多项 式的方幕主充分必要条件是， 对任意的多项式g(x) , h(x),由f(x) I g(x) h(x)可以推出 f(x) I g(x)，或者对某一正整数 m , f(x) I h m (x)。 7、(厦门2004—16分)设f(x) , g(x)是有理数域上的多项式, 若存在数:-使得 f( : )=g^ )=0，则 f(x) I g(x)。 8、(南航 2004— 30 分)(1 )设 f(x)=x 7+2x 6 -6x 5-8 x 4 +19x '+9x 2 - 22x+8 , g(x)=x 2 +x _ 2, 将f(x) 表示成g(x)的方幕和，即将f(x)表示成 k k-1 f(x)=C k (x)g(x) + C k-1 (x)g(x) + …+ C 1(x)g(x)+C o (x) 其中次(C(x)) ＜次(g(x))或 C(x)=0 , i=0,1,…,k 。(15 分) (2)设 d(x)=( f(x) , g(x)) , f(x) I g(x)和 g(x) I h(x)。证明：f(x)g(x) I d(x) h(x)。 (15 分) 9、(北京化工大 2005— 20 分)设 f i (x)丰 0, f 2(x) , g i (x) , g 2(x)是多项式，且 g i (x)g 2 (x) I f 1(x)
《高等代数》试题库 一、 选择题 1．在[]F x 里能整除任意多项式的多项式是（）。 A ．零多项式 B ．零次多项式 C ．本原多项式 D ．不可约多项式 2．设()1g x x =+是6242()44f x x k x kx x =-++-的一个因式，则=k （）。 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．以下命题不正确的是（）。 A .若()|(),()|()f x g x f x g x 则； B .集合{|,}F a bi a b Q =+∈是数域； C .若((),'())1,()f x f x f x =则没有重因式； D ．设()'()1p x f x k -是的重因式，则()()p x f x k 是的重因式 4．整系数多项式()f x 在Z 不可约是()f x 在Q 上不可约的()条件。 A .充分 B .充分必要 C .必要 D ．既不充分也不必要 5．下列对于多项式的结论不正确的是（）。 A .如果)()(,)()(x f x g x g x f ，那么)()(x g x f = B .如果)()(,)()(x h x f x g x f ，那么))()(()(x h x g x f ± C .如果)()(x g x f ，那么][)(x F x h ∈?，有)()()(x h x g x f D .如果)()(,)()(x h x g x g x f ，那么)()(x h x f 6．对于“命题甲：将(1)n >级行列式D 的主对角线上元素反号,则行列式变为D -； 命题乙：对换行列式中两行的位置,则行列式反号”有()。 A .甲成立,乙不成立； B .甲不成立,乙成立； C .甲,乙均成立； D ．甲,乙均不成 立 7．下面论述中,错误的是()。 A .奇数次实系数多项式必有实根； B .代数基本定理适用于复数域；
第一章 多项式 1、（清华２000—20分）试求7次多项式()f x ，使()1f x +能被4 (1)X -整除,而()1f x -能 被4 (1)X +整除。 2、（南航2001—20分） （1）设x 2-2px+2∣x 4+3x 2 +px+q ，求p,q 之值。 （2）设f(x)，g(x)，h(x)∈R[x]，而满足以下等式 （x 2 +1)h(x)+(x -1) f(x)+ (x -2) g(x)=0 （x 2 +1)h(x)+(x+1) f(x)+ (x+2) g(x)=0 证明：x 2+1∣f(x)，x 2 +1∣g(x) 3、（北邮2002—12分）证明：x d -1∣x n -1的充分必要条件是d ∣n （这里里记号d ∣n 表 示正整数d 整除正整数n ）。 4、、（北邮2003—15分）设在数域P 上的多项式g 1(x)，g 2(x)，g 3(x)，f(x),已知g 1(x)∣f(x)， g 2(x)∣f(x)， g 3(x)∣f(x)，试问下列命题是否成立，并说明理由： （1）如果g 1(x)，g 2(x)， g 3(x)两两互素，则一定有g 1(x)，g 2(x)，g 3(x)∣f(x) （2）如果g 1(x)，g 2(x)， g 3(x)互素，则一定有g 1(x)g 2(x)g 3(x)∣f(x) 5、（北师大2003—25分）一个大于1的整数若和其因子只有1和本身，则称之为素数。证 明P 是素数当且仅当任取正整数a ，b 若p ∣ab 则p ∣a 或p ∣b 。 6、（大连理工2003—12分）证明：次数>0且首项系数为1的多项式f(x)是某一不可约多项 式的方幂主充分必要条件是，对任意的多项式g(x)，h(x) ，由f(x)∣g(x) h(x)可以 推出f(x)∣g(x)，或者对某一正整数m ，f(x)∣h m (x)。 7、（厦门2004—16分）设f(x)，g(x)是有理数域上的多项式，且f(x)在有理数域上不可约。 若存在数α使得f(α)=g(α)=0，则f(x)∣g(x)。 8、（南航2004—30分）（1）设f(x)=x 7+2x 6 -6x 5-8 x 4 +19x 3+9x 2-22x+8，g(x)=x 2 +x -2， 将f(x)表示成g(x)的方幂和，即将f(x)表示成 f(x)=C k (x)g(x)k + C k-1(x)g(x)k-1 + … + C 1(x)g(x)+C 0(x) 其中次（C i (x)）<次（g(x)）或C i (x)=0，i=0,1, …,k。（15分 ） （2）设d(x)=( f(x)，g(x))，f(x)∣g(x)和g(x)∣h(x)。证明：f(x)g(x)∣d(x)h(x)。（15分） 9、（北京化工大2005—20分）设f 1(x)≠0，f 2(x)，g 1(x)，g 2(x)是多项式，且g 1(x)g 2(x)∣f 1(x) f 2(x)，证明：若f 1(x)∣g 1(x), 则g 2(x)∣f 2(x)。
安徽大学2008年高等代数考研试题参考解答 北京大学1996年数学分析考研试题参考解答 北京大学1997年数学分析考研试题参考解答 北京大学1998年数学分析考研试题参考解答 北京大学2015年数学分析考研试题参考解答 北京大学2016年高等代数与解析几何考研试题参考解答 北京大学2016年数学分析考研试题参考解答 北京大学2020年高等代数考研试题参考解答 北京大学2020年数学分析考研试题参考解答 北京师范大学2006年数学分析与高等代数考研试题参考解答北京师范大学2020年数学分析考研试题参考解答 大连理工大学2020年数学分析考研试题参考解答 赣南师范学院2012年数学分析考研试题参考解答 各大高校考研试题参考解答目录2020/04/29版 各大高校考研试题参考解答目录2020/06/21版 各大高校数学分析高等代数考研试题参考解答目录2020/06/04广州大学2013年高等代数考研试题参考解答 广州大学2013年数学分析考研试题参考解答 国防科技大学2003年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2004年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2005年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2006年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2007年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2008年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2009年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2010年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2011年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2012年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2013年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2014年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2015年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2016年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2017年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2018年实变函数考研试题参考解答 哈尔滨工程大学2011年数学分析考研试题参考解答
2018 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 **************************************************************************************** 学科、专业名称：数学学科、基础数学、计算数学、概率论与数理统计、应用数学、运筹学与控制论专业 研究方向： 各方向 考试科目名称：高等代数 考试科目代码： 810 考生注意 ： 所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分 一、填空题（将题目的正确答案填写在答题纸上。 共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。） 1、设 A 为 3 阶矩阵 , A 1 , 求 (3A) 1 5A * = 。 3 2、当实数 t 时，多项式 x 3 tx 2有重根。 x 1 2x 2 4x 3 0 3、 取值 时，齐次线性方程组 2x 1 (2 ) x 2 x 3 0 有非零解。 x 1 x 2 x 3 0 4、实二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) X T AX x 12 ax 22 2x 32 bx 1 x 3 (b 0) ，其中二次型的矩阵 A 的特征值之和为 1，特征值之积为 -12 ，则 a = ， b = 。 1 2 1 3 。 5、矩阵方程 X 4 2 , 那么 X 3 4 6、已知向量 1 0,0,1 ， 2 1 , 1 ,0 ， 3 1 , 1 ,0 是欧氏空间 R 3 的一 2 2 2 2 组标准正交基 , 则向量 2,2,1 在这组基下的坐标为 。
考试科目 : 高等代数 共 4 页 ,第 1 页 7、已知矩阵 A , B 均可逆， X B ，则 X 1 。 A 0 2 2 2 2 0 2 2 2 8、4 阶方阵 的 Jordan 标准形是 。 0 0 2 2 0 0 0 2 9、在欧氏空间 R 3 中，已知 2, 1,1 ， 1, 2,1 ，则 与 的夹角为 （内 积按通常的定义）。 2 2 1 10、设三维线性空间 V 上的线性变换 在基 1, 2 , 3 下的矩阵为 0 1 1 ，则 在 2 1 基 2 , 1 , 3 下的矩阵为 。
中国科学院大学 2017年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题科目名称：高等代数 考生须知： 1.本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟； 2.所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。 ———————————————————————————————————————— 1.(15分)证明:实系数多项式f (x )对所有实数x 均有f (x ) 0,求证f (x )可以写成两实系数多项式的平方和[g (x )]2+[h (x )] 2. 2.(15分)f i ;i =1; ;m;m 、2009年攻读硕士学位研究生入学考试试题答案及评分标准 科目代码： 856 科目名称： 高等代数 一. （20分）证明下列命题： (1). （10分）设()d x ,()f x ,()g x 都是数域P 上的多项式。如果()|()d x f x ， ()|()d x g x ，且()d x 为()f x 与()g x 的一个组合，证明：()d x 是()f x 与()g x 的一个最 大公因式。 (2). （10分）)(x f 是数域F 上次数大于零的多项式，0,≠∈c F c 则 )()(x f c x f ≠-. 证明：(1).由题意，存在多项式(),()u x v x , 使()()()()()d x u x f x v x g x =+.（4分）如果()|()h x f x ，()|()h x g x ,那么()|()h x d x .（8分）又由于()|()d x f x ，()|()d x g x , 所以()d x 是()f x 与()g x 的一个最大公因式。（10分） (2).如果()()f x c f x -=, 那么(0)()(2)f f c f c === .（3分） 考虑()()(0)g x f x f =-.（6分） 显然，()()g x f x ?=?, 并且()0,1,2,g nc n == . ()g x 有无限多个根，这是不可能的。（10分） 二.（15分）已知行列式3 07437516 78 9435 2-= D . 求24232221A A A A +++，其中ij A 是元素ij a 的代数余子式。 解：考虑行列式253411 11 15734703 C -= ，按它的第二行展开。（5分）由于C 和D 除了第二行外均相同，故21222324C A A A A =+++，（10分）而计算可得 第一章多项式 1、（清华２000—20分）试求7次多项式()f x ，使()1f x +能被4(1)X ?整除,而()1f x ?能被4(1)X +整除。 2、（南航2001—20分） （1）设x 2?2px+2∣x 4+3x 2+px+q ，求p,q 之值。 （2）设f(x)，g(x)，h(x)∈R[x]，而满足以下等式 （x 2+1)h(x)+(x ?1)f(x)+(x ?2)g(x)=0 （x 2+1)h(x)+(x+1)f(x)+(x+2)g(x)=0 证明：x 2+1∣f(x)，x 2+1∣g(x) 3、（北邮2002—12分）证明：x d ?1∣x n ?1的充分必要条件是d ∣n （这里里记号d ∣n 表示正整数d 整除正整数n ）。 4、、（北邮2003—15分）设在数域P 上的多项式g 1(x)，g 2(x )，g 3(x )，f(x),已知g 1(x)∣f(x)，g 2(x)∣f(x)，g 3(x)∣f(x)，试问下列命题是否成立，并说明理由： （1）如果g 1(x)，g 2(x)，g 3(x)两两互素，则一定有g 1(x)，g 2(x)，g 3(x)∣f(x) （2）如果g 1(x)，g 2(x)，g 3(x)互素，则一定有g 1(x)g 2(x)g 3(x)∣f(x) 5、（北师大2003—25分）一个大于1的整数若和其因子只有1和本身，则称之为素数。证明P 是素数当且仅当任取正整数a，b 若p∣ab 则p∣a 或p∣b。 6、（大连理工2003—12分）证明：次数>0且首项系数为1的多项式f(x)是某一不可约多项式的方幂主充分必要条件是，对任意的多项式g(x)，h(x)，由f(x)∣g(x)h(x)可以推出f(x)∣g(x)，或者对某一正整数m ，f(x)∣h m (x)。 7、（厦门2004—16分）设f(x)，g(x)是有理数域上的多项式，且f(x)在有理数域上不可约。若存在数α使得f(α)=g(α)=0，则f(x)∣g(x)。 8、（南航2004—30分）（1）设f(x)=x 7+2x 6?6x 5?8x 4+19x 3+9x 2?22x+8，g(x)=x 2 +x ?2，将f(x)表示成g(x)的方幂和，即将f(x)表示成 f(x)=C k (x)g(x)k +C k-1(x)g(x)k-1+…+C 1(x)g(x)+C 0(x) 其中次（C i (x)）<次（g(x)）或C i (x)=0，i=0,1,…,k。（15分） （2）设d(x)=(f(x)，g(x))，f(x)∣g(x)和g(x)∣h(x)。证明：f(x)g(x)∣d(x)h(x)。（15分）9、（北京化工大2005—20分）设f 1(x)≠0，f 2(x)，g 1(x)，g 2(x)是多项式，且g 1(x)g 2(x)∣f 1(x)f 2(x)，证明：若f 1(x)∣g 1(x),则g 2(x)∣f 2(x)。 第三章线性方程组 1.已知：在维列向量00,…,％中，前—1个列向量线性相关， 后斤-1个列向量线性无关，〃二少+冬+…+勺，"阶方阵 A =（ea，…必）。证明：线性方程组AX=0有无穷多个解且任一解向 量（002, ??，%，满足乞=1 o 2 ?设A是sx”矩阵，rankA = s 6?已知3] = (1,0,2,3) , d2 = (1,1,3,5) f d3 = (1,-1, a+ 2,1) , d4 = (1,2,4,°+ 8)和"(l,l" + 3,5) (1) 为何值时，0不能表示成儿。200的线性组合？ (2) ci,b为何值时，0能rhd],%,%，%惟一线性表示？并写出表示式。 7. ------------------------------------------------------------------------------------ 设向量组4，。2，???。(宀2)线性相关，且其中任意￡-1个向量线性无夫,则存在全不为0的数/，爲,,使得+k2d2 H -------------------------------- k s d s = 0 D?(1, 2,?3, 1) (3, 6, -9, 3) (3, 0, 7, 7)。 x, + cix2 + a2x3 = a3 8.解线性方程组壬方*=戻，其中以,c为互不相等的数. X] + cx2 + C2X3 = c3 (Oj + b)x x + a2x2 + 冬+ ? ? ? + a n x n = 0 a{x{ + (a2 + b)x2 + a3x3 + …+ a n x n = 0 9?已知齐次线性方程组:< + a2x2 + (a3 + b)x3 + ? ? ? + a n x n = 0 其中工 qHO, f=l a}x} +a2x2十色呂十+仇)￡ =0 试讨论吗卫2,…,％和b满足何种关系时， (I)方程组仅有零解； (II)方程组有非零解,在有非零解时，求此方程组的…个基础解系. 10 ?设向量组a v a^^a r_v a r线性无关， /?! =a2 +a y +???+匕. 02 -a x +a3+??? + ?, < ??????????????? 一、填空题：（每空3分，共24分. 请将答案写在答题纸上 ) 1．设()f x 为有理数域上的一元多项式，()()1g x f x =-，则()f x 与()g x 的首项系数 为1的最大公因式((),())f x g x = ○ 1 2.已知向量123=(1,2,0),=(1,0,-2),=(0,2,1)ααα线性无关，则向量1=(1,2,0,15)w ， 23=(1,0,-2,16),=(0,2,1,17)w w 的线性相关性为 ○ 2 3．设3阶方阵A 的3个特征值为-2,1,5，则A 的行列式||A E += ○ 3 4．设线性空间2 2?=F V , 子空间,,0a c W a b c F b ??????=∈?? ? ?????? 的一个基是 ○4 5．设线性空间V 的一个基为123,,εεε，它的另外一个基是112223,,βεεβεε=-=- 33,βε= 则从123,,εεε到123,,βββ的过渡矩阵为 ○5 6．线性方程组0s t A X ?=有唯一解的充分必要条件是 ○6 7．设()A m x 为2017阶矩阵A 的最小多项式，则()A m A = ○ 7 8．已知实二次型222Q(,,)x y z ax y z xy xz yz =+++++正定，则实数a 的取值范围为 ○ 8 二、判断下列命题正确与否，正确的给出证明，错误的举出反例：(每小题4 分，共16分) 1．设,A B 为n 阶方阵，并且0AB =，则0A =或0B =. 2．设,,A B C D ，为n 阶方阵，则 ||||||||A B A D B C C D =-. 3．设,A B 为n 阶方阵，并且A 与B 相似，则A 与B 有相同的特征值. 4．设W 为数域F 上的线性空间，1V 与2V 为W 的子空间，则12V V ?也为W 的子空间. 三、计算题(55分) 1．（10分）计算下列行列式的值 名校高等代数考研《830高等代数》考研真题解析库 北大重大 第一部分名校考研真题 第1章多项式 一、判断题 1．设Q是有理数域，则P＝{α＋βi|α，β∈Q}也是数域，其中．（）[南京大学研] 【答案】对查看答案 【解析】首先0，1∈P，故P非空；其次令a＝α1＋β1i，b＝α2＋β2i其中α1，α2，β1，β2为有理数，故 a±b＝（α1＋β1i）±（α2＋β2i）＝（α1±α2）＋（β1±β2）i∈P ab＝（α1＋β1i）（α2＋β2i）＝（α1α2－β1β2）＋（α1β2＋α2β1）i∈P 又令c＝α3＋β3i，d＝α4＋β4i，其中α3，α4，β3，β4为有理数且d≠0，即α4≠0，β4≠0，有 综上所述得P为数域． 2．设f（x）是数域P上的多项式，a∈P，如果a是f（x）的三阶导数f?（x）的k 重根（k≥1）并且f（a）＝0，则a是f（x）的k＋3重根．（）[南京大学研] 【答案】错查看答案 【解析】反例是f（x）＝（x－a）k＋3＋（x－a）2，这里f（a）＝0，并且f?（x）＝（k＋3）（k＋2）（k＋1）（x－a）k满足a是f（x）的三阶导数f?（x）的k重根（k≥1）． 3．设f（x）＝x4＋4x－3，则f（x）在有理数域上不可约．（）[南京大学研] 【答案】对查看答案 【解析】令x＝y＋1，则f（y）＝y4＋4y3＋6y2＋8y＋2，故由艾森斯坦因判别法知，它在有理数域上不可约． 二、计算题 1．f（x）＝x3＋6x2＋3px＋8，试确定p的值，使f（x）有重根，并求其根．[清华大学研] 解：f′（x）＝3（x2＋4x＋p）．且（f（x），f′（x））≠1，则 （1）当p＝4时，有（f（x），f′（x））＝x2＋4x＋4 所以x＋2是f（x）的三重因式，即f（x）（x＋2）3，这时f（x）的三个根为－2，－2，－2． （2）若p≠4，则继续辗转相除，即 北京大学数学系《高等代数》考研配套考研真题库 第一部分名校考研真题 第1章多项式 一、判断题 1．设Q是有理数域，则P＝{α＋βi|α，β∈Q}也是数域，其中．（）[南京大学研] 【答案】对查看答案 【解析】首先0，1∈P，故P非空；其次令a＝α1＋β1i，b＝α2＋β2i其中α1，α2，β1，β2为有理数，故 a±b＝（α1＋β1i）±（α2＋β2i）＝（α1±α2）＋（β1±β2）i∈P ab＝（α1＋β1i）（α2＋β2i）＝（α1α2－β1β2）＋（α1β2＋α2β1）i∈P 又令c＝α3＋β3i，d＝α4＋β4i，其中α3，α4，β3，β4为有理数且d≠0，即α4≠0，β4≠0，有 综上所述得P为数域． 2．设f（x）是数域P上的多项式，a∈P，如果a是f（x）的三阶导数f?（x）的k 重根（k≥1）并且f（a）＝0，则a是f（x）的k＋3重根．（）[南京大学研] 【答案】错查看答案 【解析】反例是f（x）＝（x－a）k＋3＋（x－a）2，这里f（a）＝0，并且f?（x）＝（k＋3）（k＋2）（k＋1）（x－a）k满足a是f（x）的三阶导数f?（x）的k重根（k≥1）． 3．设f（x）＝x4＋4x－3，则f（x）在有理数域上不可约．（）[南京大学研] 【答案】对查看答案 【解析】令x＝y＋1，则f（y）＝y4＋4y3＋6y2＋8y＋2，故由艾森斯坦因判别法知，它在有理数域上不可约． 二、计算题 1．f（x）＝x3＋6x2＋3px＋8，试确定p的值，使f（x）有重根，并求其根．[清华大学研] 解：f′（x）＝3（x2＋4x＋p）．且（f（x），f′（x））≠1，则 （1）当p＝4时，有（f（x），f′（x））＝x2＋4x＋4 所以x＋2是f（x）的三重因式，即f（x）（x＋2）3，这时f（x）的三个根为－2，－2，－2． （2）若p≠4，则继续辗转相除，即 《高等代数》考研北京大学配套2021考研真题库 第一部分名校考研真题 第1章多项式 一、判断题 1．设Q是有理数域，则P＝{α＋βi|α，β∈Q}也是数域，其中．（）[南京大学研] 【答案】对查看答案 【解析】首先0，1∈P，故P非空；其次令a＝α1＋β1i，b＝α2＋β2i其中α1，α2，β1，β2为有理数，故 a±b＝（α1＋β1i）±（α2＋β2i）＝（α1±α2）＋（β1±β2）i∈P ab＝（α1＋β1i）（α2＋β2i）＝（α1α2－β1β2）＋（α1β2＋α2β1）i∈P 又令c＝α3＋β3i，d＝α4＋β4i，其中α3，α4，β3，β4为有理数且d≠0，即α4≠0，β4≠0，有 综上所述得P为数域． 2．设f（x）是数域P上的多项式，a∈P，如果a是f（x）的三阶导数f?（x）的k 重根（k≥1）并且f（a）＝0，则a是f（x）的k＋3重根．（）[南京大学研] 【答案】错查看答案 【解析】反例是f（x）＝（x－a）k＋3＋（x－a）2，这里f（a）＝0，并且f?（x）＝（k＋3）（k＋2）（k＋1）（x－a）k满足a是f（x）的三阶导数f?（x）的k重根（k≥1）． 3．设f（x）＝x4＋4x－3，则f（x）在有理数域上不可约．（）[南京大学研] 【答案】对查看答案 【解析】令x＝y＋1，则f（y）＝y4＋4y3＋6y2＋8y＋2，故由艾森斯坦因判别法知，它在有理数域上不可约． 二、计算题 1．f（x）＝x3＋6x2＋3px＋8，试确定p的值，使f（x）有重根，并求其根．[清华大学研] 解：f′（x）＝3（x2＋4x＋p）．且（f（x），f′（x））≠1，则 （1）当p＝4时，有（f（x），f′（x））＝x2＋4x＋4 所以x＋2是f（x）的三重因式，即f（x）（x＋2）3，这时f（x）的三个根为－2，－2，－2． （2）若p≠4，则继续辗转相除，即 2014年浙江大学研究生入学考试高等代数试题 1. 00n n E A E ??= ???，{}2()n L B M R AB BA =∈=。证明L 为2()n M R 的子空间并计算其维数。 2. 00n n E A E ??= ???，请问A 是否可对角化并给出理由。若A 可对角化为C ，给出可逆矩阵P ，使得1P AP C -=. 3.方阵A 的特征多项式为32()(2)(3)f λλλ=-+，请给出A 所有可能的Jordan 标准型。 4. 1η，2η，3η为0AX =的基础解系，A 为3行5列实矩阵。求证：存在5R 的一组基， 其包含123ηηη++，123ηηη-+，12324ηηη++。 5．X ，Y 分别为m n ?和n m ?矩阵，n YX E =，m A E XY =+，证明A 相似于对角矩阵。 6. A 为n 阶线性空间V 的线性变换，1λ，2λ，…，m λ为A 的不同特征值，i V λ为其特征子空间。证明：对任意V 的子空间W ，有1()()m W W V W V λλ=?⊕???⊕?. 7.矩阵A ，B 均为m n ?矩阵，0AX =与0BX =同解，求证A 、B 等价。若A 、B 等价，是否有0AX =与0BX =同解？证明或举反例否定。 8.证明：A 正定的充分必要条件是存在方阵i B （1,2,,i n =???），i B 中至少有一个非退化，使得1n T i i i A B B ==∑。 9.定义ψ为[0,1]到n 阶方阵全体组成的欧式空间的连续映射，使得(0)ψ为第一类正交矩阵，(1)ψ为第二类正交矩阵。证明：存在0(0,1)T ∈，使得0()T ψ退化。 10.设g ，h 为复数域C 上n 维线性空间V 的线性变换，gh hg =。求证g ，h 有公共的特征向量。若不是在复数域C 上而是在实数域R 上，则结论是否成立？若成立，给出理由；不成立举出反例。 对试题有任何疑问，或者需要更多浙江大学或数学系的考研资料，可以进一步与我讨论。QQ ：334216522。856高等代数考研真题答案09
高等代数考研真题__第一章_多项式
高等代数考研复习线性方程组.doc
贵州大学2017年高等代数考研真题
名校高等代数考研《830高等代数》考研真题解析库
北京大学数学系《高等代数》考研配套考研真题库
《高等代数》考研北京大学配套2021考研真题库
2014年浙江大学高等代数考研真题
相关主题
文本预览