§5.1平面向量的概念及线性运算
2014高考会这样考 1.考查平面向量的概念、线性运算；2.考查向量运算的几何意义，向量共线的应用．
复习备考要这样做 1.重视向量的概念，熟练掌握向量加减法及几何意义；2.理解应用向量共线和点共线、直线平行的关系．
1．向量的有关概念
2.
求实数λ与向
3. a 是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b ＝λa ，则向量b 与非零向量a 共线． [难点正本 疑点清源] 1． 向量的两要素
向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系．同向且等长的有向线段都表示同一向量．
2． 一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的
向量．
3． 证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，
当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．
1． 若a ＝“向东走8 km ”，b ＝“向北走8 km ”，则|a ＋b |＝________；a ＋b 的方向是
________．
答案 82 东北方向
解析 根据向量加法的几何意义，|a ＋b |表示以8 km 为边长的正方形的对角线长，
∴|a ＋b |＝82，a ＋b 的方向是东北方向．
2. 如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB →
＝a ，
AD →＝b ，则BE →
＝____________. 答案 b －1
2
a
解析 BE →＝BA →＋AD →＋12DC →
＝－a ＋b ＋12a ＝b －1
2
a .
3． 已知D 为三角形ABC 边BC 的中点，点P 满足P A →＋BP →＋CP →＝0，AP →＝λPD →
，则实数λ
的值为________． 答案 －2
解析 如图所示，由AP →＝λPD →，且P A →＋BP →＋CP →
＝0，则P 是以AB 、AC 为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此AP →＝－2PD →
，则λ＝ －2.
4． 已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且2OA →＋OB →＋OC →
＝0，那么( )
A.AO →＝OD →
B.AO →＝2OD →
C.AO →＝3OD →
D ．2AO →＝OD →
答案 A
解析 由2OA →＋OB →＋OC →＝0可知，O 是底边BC 上的中线AD 的中点，故AO →＝OD →
. 5． (2012·四川)设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b
|b |
成立的充分条件是( )
A ．a ＝－b
B ．a ∥b
C ．a ＝2b
D ．a ∥b 且|a |＝|b |
答案 C 解析
a |a |表示与a 同向的单位向量，b
|b |
表示与b 同向的单位向量，只要a 与b 同向，就有a |a |＝b
|b |
，观察选项易知C 满足题意．
题型一 平面向量的概念辨析 例1 给出下列命题：
①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →
是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中正确命题的序号是________． 答案 ②③
解析 ①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同． ②正确．∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →，
又∵A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|，因此，AB →＝DC →. ③正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同；又b ＝c ， ∴b ，c 的长度相等且方向相同， ∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .
④不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故“|a |＝|b |且a ∥b ”不是“a ＝b ”的充要条件，而是必要不充分条件． 综上所述，正确命题的序号是②③.
探究提高 (1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键． (2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (3)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．
(4)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图像移动混为一谈．
(5)非零向量a 与a |a |的关系：a
|a |
是a 方向上的单位向量．
下列命题中正确的是
( )
A ．a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线
B ．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点
C ．向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量
D ．有相同起点的两个非零向量不平行 答案 C
解析 由于零向量与任一向量都共线，所以A 不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，所以B 不正确；向量的平行只要求方向相同或相反，与起点是否相同无关，所以D 不正确；对于C ，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题入手来考虑，假设a 与b 不都是非零向量，即a 与b 中至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可知a 与b 共线，符合已知条件，所以有向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量，故选C. 题型二 向量的线性运算
例2 如图，以向量OA →＝a ，OB →＝b 为邻边作?OADB ，BM →＝1
3
BC →，CN →
＝13
CD →，用a ，b 表示OM →，ON →，MN →. 思维启迪：结合图形性质，准确灵活运用三角形法则和平行四边形法则是向量加减运算的关键．
解 ∵BA →＝OA →－OB →＝a －b ，BM →＝16BA →＝16a －1
6b ，
∴OM →＝OB →＋BM →＝16a ＋5
6b .
又∵OD →
＝a ＋b ，
∴ON →＝OC →＋13CD →＝12OD →＋16OD →
＝23OD →＝23a ＋2
3
b ， ∴MN →＝ON →－OM →＝23a ＋23b －16a －56b ＝12a －16b .
综上，OM →＝16a ＋56b ，ON →＝23a ＋23b ，MN →＝12a －1
6
b .
探究提高 (1)解题的关键在于搞清构成三角形的三个问题间的相互关系，能熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化．
(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的
三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．
在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →
等于( )
A.23b ＋1
3c B.53c －2
3b C.23b －1
3c
D.13b ＋23
c 答案 A
解析 ∵BD →＝2DC →，∴AD →－AB →＝2(AC →－AD →)， ∴3AD →＝2AC →＋AB →， ∴AD →＝23AC →＋13AB →＝23b ＋13c .
题型三 共线向量定理及应用
例3 设两个非零向量a 与b 不共线，
(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →
＝3(a －b )，求证：A 、B 、D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．
思维启迪：解决点共线或向量共线的问题，要结合向量共线定理进行． (1)证明 ∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →
＝3(a －b )， ∴BD →＝BC →＋CD →
＝2a ＋8b ＋3(a －b ) ＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →
. ∴AB →、BD →
共线，又∵它们有公共点B ， ∴A 、B 、D 三点共线． (2)解 ∵k a ＋b 与a ＋k b 共线， ∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即k a ＋b ＝λa ＋λk b .∴(k －λ)a ＝(λk －1)b . ∵a 、b 是不共线的两个非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0.∴k ＝±1.
探究提高 (1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．
(2)向量a 、b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立，若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，否则向量a 、b 不共线．
设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且DC →＝2BD →，CE →
＝
2EA →，AF →＝2FB →，则AD →＋BE →＋CF →与BC →
( )
A ．反向平行
B ．同向平行
C ．互相垂直
D ．既不平行也不垂直
答案 A
解析 由题意，得DC →＝DA →＋AC →，BD →＝BA →＋AD →
. 又DC →＝2BD →，所以DA →＋AC →＝2(BA →＋AD →)． 所以AD →＝13AC →＋23
AB →.
同理，得BE →＝13BC →＋23BA →，CF →＝13CA →＋23CB →
.
将以上三式相加，得AD →＋BE →＋CF →
＝－13BC →.故选A.
方程思想在平面向量的线性运算中的应用
典例：(14分)如图所示，在△ABO 中，OC →＝1
4OA →，OD →＝12
OB →
，AD 与BC
相交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b .试用a 和b 表示向量OM →
.
审题视角 (1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领，要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去． (2)既然OM →能用a 、b 表示，那我们不妨设出OM →
＝m a ＋n b . (3)利用向量共线建立方程，用方程的思想求解． 规范解答
解 设OM →
＝m a ＋n b ，
则AM →＝OM →－OA →
＝m a ＋n b －a ＝(m －1)a ＋n b .
AD →＝OD →－OA →＝12OB →－OA →
＝－a ＋12b .[3分]
又∵A 、M 、D 三点共线，∴AM →与AD →
共线． ∴存在实数t ，使得AM →＝tAD →
， 即(m －1)a ＋n b ＝t ????－a ＋1
2b .[5分] ∴(m －1)a ＋n b ＝－t a ＋1
2
t b .
∴?????
m －1＝－t n ＝t 2
，消去t 得，m －1＝－2n ， 即m ＋2n ＝1.① [7分]
又∵CM →＝OM →－OC →
＝m a ＋n b －14a ＝????m －14a ＋n b ， CB →＝OB →－OC →
＝b －14a ＝－14
a ＋
b .
又∵C 、M 、B 三点共线，∴CM →与CB →
共线．[10分] ∴存在实数t 1，使得CM →＝t 1CB →
， ∴????m －14a ＋n b ＝t 1????－1
4a ＋b ， ∴?????
m －14＝－14t 1n ＝t 1
，消去t 1得，4m ＋n ＝1.②[12分]
由①②得m ＝17，n ＝37，∴OM →＝17a ＋3
7
b .[14分]
温馨提醒 (1)本题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，但解题过程复杂，有一定的难度．(2)易错点是，找不到问题的切入口，亦即想不到利用待定系数法求解．(3)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析、判断、求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．如本题易忽视A 、M 、D 共线和B 、M 、C 共线这个几何特征．(4)方程思想是解决本题的关键，要注意体会.
方法与技巧
1．将向量用其它向量(特别是基向量)线性表示，是向量坐标形式的基础．
2．可以运用向量共线证明线段平行或三点共线．如AB →∥CD →
且AB 与CD 不共线，则AB ∥CD ；若AB →∥BC →
，则A 、B 、C 三点共线． 失误与防范
1．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．
2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误．
A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)
一、选择题(每小题5分，共20分) 1． 给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量； ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③λa ＝0 (λ为实数)，则λ必为零；
④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中错误命题的个数为
( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 答案 C
解析 ①错，由于终点相同，两起点不一定相同，所以可以不共线． ②对，由于模是实数，所以可以比较大小． ③错，由于a ＝0，λ≠0时，也可以得λa ＝0.
④错，当λ＝μ＝0时，虽然λa ＝μb ，但是a 与b 可以不共线．∴错误命题个数为3. 2． 设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →
，则
( )
A.P A →＋PB →
＝0 B.PC →＋P A →＝0 C.PB →＋PC →
＝0
D.P A →＋PB →＋PC →＝0
答案 B
解析 如图，根据向量加法的几何意义有BC →＋BA →＝2BP →
?P 是 AC 的中点，故P A →＋PC →
＝0.
3． 已知向量a ，b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b .如果c ∥d ，那么
( )
A ．k ＝1且c 与d 同向
B ．k ＝1且c 与d 反向
C ．k ＝－1且c 与d 同向
D ．k ＝－1且c 与d 反向
答案 D
解析 ∵c ∥d ，∴c ＝λd ，
即k a ＋b ＝λ(a －b )，∴?
????
k ＝λ
λ＝－1.
4． (2011·四川)如图，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →
等于( )
A ．0 B.BE → C.AD →
D.CF →
答案 D
解析 因ABCDEF 是正六边形，
故BA →＋CD →＋EF →＝DE →＋CD →＋EF →＝CE →＋EF →＝CF →. 二、填空题(每小题5分，共15分)
5． 设a 、b 是两个不共线向量，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →
＝a －2b ，若A 、B 、D 三点共
线，则实数p 的值为________． 答案 －1
解析 ∵BD →＝BC →＋CD →
＝2a －b ，又A 、B 、D 三点共线，
∴存在实数λ，使AB →＝λBD →.即????
?
2＝2λ
p ＝－λ
，∴p ＝－1.
6． 在?ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →
＝____________(用a ，
b 表示)． 答案 －14a ＋1
4
b
解析 由AN →＝3NC →得AN →＝34AC →＝3
4(a ＋b )，
AM →＝a ＋12
b ，所以MN →＝AN →－AM →
＝34(a ＋b )－????a ＋12b ＝－14a ＋14b . 7． 给出下列命题：
①向量AB →的长度与向量BA →
的长度相等；
②向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；
④向量AB →与向量CD →
是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上． 其中不正确的个数为________． 答案 2
解析 命题①③正确，②④不正确． 三、解答题(共22分)
8． (10分)若a ，b 是两个不共线的非零向量，a 与b 起点相同，则当t 为何值时，a ，t b ，1
3
(a
＋b )三向量的终点在同一条直线上？ 解 设OA →＝a ，OB →＝t b ，OC →＝1
3
(a ＋b )，
∴AC →＝OC →－OA →＝－23a ＋13b ，AB →＝OB →－OA →
＝t b －a .
要使A 、B 、C 三点共线，只需AC →＝λAB →
. 即－23a ＋1
3
b ＝λt b －λa .
∴有??? －2
3
＝－λ，1
3＝λt ，
????
λ＝23
，t ＝1
2.
∴当t ＝1
2
时，三向量的终点在同一条直线上．
9． (12分)如图，在△ABC 中，E 、F 分别为AC 、AB 的中点，BE
与CF 相交于G 点，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AG →
. 解 AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋λBE → ＝AB →＋λ2(BA →＋BC →)
＝????1－λ2AB →＋λ2
(AC →－AB →)
＝(1－λ)AB →＋λ2AC →
＝(1－λ)a ＋λ2
b .
又AG →＝AC →＋CG →＝AC →＋mCF →＝AC →＋m 2(CA →＋CB →
)
＝(1－m )AC →＋m 2AB →＝m
2
a ＋(1－m )
b ，
∴???
1－λ＝m
2
1－m ＝λ
2
，解得λ＝m ＝23，∴AG →＝13a ＋1
3
b .
B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)
一、选择题(每小题5分，共15分) 1． (2012·浙江)设a ，b 是两个非零向量．
( )
A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥b
B ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |
C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得b ＝λa
D ．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a |－|b | 答案 C
解析 由|a ＋b |＝|a |－|b |知(a ＋b )2＝(|a |－|b |)2， 即a 2＋2a ·b ＋b 2＝|a |2－2|a ||b |＋|b |2， ∴a ·b ＝－|a ||b |.
∵a ·b ＝|a ||b |·cos 〈a ，b 〉，
∴cos 〈a ，b 〉＝－1，∴〈a ，b 〉＝π， 此时a 与b 反向共线，因此A 错误．
当a ⊥b 时，a 与b 不反向也不共线，因此B 错误． 若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ＝－1，使b ＝－a ， 满足a 与b 反向共线，故C 正确． 若存在实数λ，使得b ＝λa ， 则|a ＋b |＝|a ＋λa |＝|1＋λ||a |，
|a |－|b |＝|a |－|λa |＝(1－|λ|)|a |，只有当－1≤λ≤0时，|a ＋b |＝|a |－|b |才能成立，否则不能
成立，故D 错误．
2． 已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →
成立，则
m 等于
( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
答案 B
解析 由已知条件得MB →＋MC →＝－MA →
.
如图，因此延长AM 交BC 于D 点，则D 为BC 的中点．延长 BM 交AC 于E 点，延长CM 交AB 于F 点，同理可证E 、F 分别为AC 、AB 的中点，即M 为△ABC 的重心． AM →＝23AD →＝13
(AB →＋AC →)，即AB →＋AC →＝3AM →
，则m ＝3.
3． O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：OP →＝OA →
＋λ
? ????
AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的
( )
A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心
答案 B
解析 作∠BAC 的平分线AD .
∵OP →＝OA →
＋λ? ????AB →|AB →|＋AC →|AC →|， ∴AP →
＝λ? ????AB →|AB →|＋AC →|AC →| ＝λ′·AD
→|AD →| (λ′∈[0，＋∞))，
∴AP →＝λ′|AD →|·AD →，∴AP →∥AD →.
∴P 的轨迹一定通过△ABC 的内心． 二、填空题(每小题5分，共15分)
4． 已知向量a ，b 是两个非零向量，则在下列四个条件中，能使a 、b 共线的条件是
__________(将正确的序号填在横线上)．
①2a －3b ＝4e ，且a ＋2b ＝－3e ； ②存在相异实数λ、μ，使λ·a ＋μ·b ＝0； ③x ·a ＋y ·b ＝0(实数x ，y 满足x ＋y ＝0)； ④若四边形ABCD 是梯形，则AB →与CD →
共线． 答案 ①②
解析 由①得10a －b ＝0，故①对．②对．对于③当x ＝y ＝0时，a 与b 不一定共线，故③不对．若AB ∥CD ，则AB →与CD →共线，若AD ∥BC ，则AB →与CD →
不共线． 5. 如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点．过点O 的直线分别交
直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →
，则m ＋n 的值为________． 答案 2
解析 ∵O 是BC 的中点， ∴AO →＝12
(AB →＋AC →)．
又∵AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，∴AO →＝m 2AM →＋n 2AN →.
∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n
2
＝1.则m ＋n ＝2.
6． 在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13
CA →＋λCB →
，则λ＝________.
答案 23
解析 由图知CD →＝CA →＋AD →
，① CD →＝CB →＋BD →
，② 且AD →＋2BD →
＝0.
①＋②×2得：3CD →＝CA →＋2CB →
， ∴CD →＝13CA →＋23CB →
，∴λ＝23.
三、解答题
7． (13分)已知点G 是△ABO 的重心，M 是AB 边的中点．
(1)求GA →＋GB →＋GO →
；
(2)若PQ 过△ABO 的重心G ，且OA →＝a ，OB →＝b ，OP →＝m a ，OQ →
＝n b ，求证：1m ＋1n
＝3.
(1)解 因为GA →＋GB →＝2GM →，又2GM →＝－GO →
， 所以GA →＋GB →＋GO →＝－GO →＋GO →
＝0. (2)证明 显然OM →＝1
2
(a ＋b )．
因为G 是△ABO 的重心，所以OG →＝23OM →＝1
3(a ＋b )．
由P 、G 、Q 三点共线，得PG →∥GQ →
， 所以，有且只有一个实数λ，使PG →＝λGQ →
. 而PG →＝OG →－OP →＝1
3(a ＋b )－m a ＝????13－m a ＋13b ， GQ →＝OQ →－OG →
＝n b －13(a ＋b )＝－13a ＋????n －13b ， 所以????13－m a ＋1
3b ＝λ????－13a ＋?
???n －13b . 又因为a 、b 不共线，所以???
13－m ＝－13
λ13＝λ???
?
n －13，
消去λ，整理得3mn ＝m ＋n ，故1m ＋1
n ＝3.
平面向量的概念与线性运算知识点 一.平面向量的有关概念 １．向量：既有大小，又有方向的量． ２．数量：只有大小，没有方向的量． ３．有向线段的三要素：起点、方向、长度． ４．零向量：长度为0的向量． ５．单位向量：长度等于1个单位的向量． ６．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 注：任一组平平行向量都可以平移到同一直线上 ７．相等向量：长度相等且方向相同的向量． ８．相反向量：长度相等且方向相反的向量 二．向量的表示法 １．字母表示法：如：a ，AB 等 ２．几何表示法：用一条有向线段表示向量 ３．代数表示法：在平面直角坐标系中，设向量OA 的起点Ｏ是坐标原点，终点坐标是（x ，y ），则（x ，y ）称为OA 的坐标，记作：OA ＝（x ，y ） 三．向量的运算 １．向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；②结合律：()()a b c a b c ++=++； ③00a a a +=+=． b a C B A a b C C -=A -AB =B
⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++． ２．向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--． ３．向量数乘运算： ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ=； ②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=． ⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==． ４．向量共线定理： 向量()0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=． 设()11,a x y =，()22,b x y =，其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、() 0b b ≠共线． 四．跟踪训练 １．=++++（ ） A ． B ．0 C ． D ． ２．给出命题 （1）零向量的长度为零，方向是任意的.（2）若a ，b 都是单位向量，则a ＝b . （3）向量AB 与向量BA 相等.（4）若非零向量AB 与CD 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点共线. 以上命题中，正确命题序号是 A.（1） B.（2） C.（1）和（3） D.（1）和（4） ３．在四边形ABCD 中，如果0AB CD =，AB DC =，那么四边形ABCD 的形状是 A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.直角梯形 ４．如图，在△ABC 中，AD 、BE 、CF 分别是BC 、CA 、AB 上的中线，它们交于点 G ，则下列各等式中不正确的是
第二章平面向量 2.1平面向量的实际背景及基本概念 教学设计 一、内容和内容解析 向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何和三角函数的一种工具，它有着丰富的现实背景和物理背景。向量是刻画位置的重要数学工具，在诸如卫星定位、飞船设计等领域有着广泛的应用。向量也是刻画物理量——力、位移、速度、加速度、动量、电场强度这些物理量的数学工具，它体现了数学和物理的天然联系。向量的学习有助于学生认识数学和实际生活以及物理学科的紧密联系，体会向量在刻画和解决实际问题中的作用，从中感受数学的应用价值。在教学中需要引导学生对现实原型的观察分析和比较，得出抽象的数学模型，所以本节内容是渗透“数学抽象”很好的载体。在本节中，学生将了解平面向量丰富的实际背景，理解平面向量的意义，能用向量的语言和方法表达和解决数学和物理中的一些问题。 本节课是一节概念课，在向量基本概念的形成过程中，需要将学生已有的旧知识作为新知识的固着点和生长点，在探究向量的几何表示时让学生经历以物理中学习力的图示，位移的表示，速度的表示为起点，归纳并确定向量的几何表示以及符号表示，而在探索向量间的特殊关系时，引导学生借助图形进行，这样不仅使研究有序，同时更锻炼学生的直观想象能力，有助于感受向量集数与形于一身的特性。通过类比学习数量的过程，让学生自然的获得新知识的探究方向，在基本概念的学习中，要让学生体验概念的生成过程，获得这些概念的“基本思路”即获得数学研究对象，认识数学新对象的基本方法，用数学的观点刻画和研究现实事物的方法和途径。 二、目标和目标解析 1. 通过对平面向量概念的抽象概括，体验数学概念的形成过程，了解平面向量的实际背景； 2. 理解平面向量的意义和两个向量相等的含义； 3. 理解平面向量的几何表示和基本要素，会用有向线段表示向量，会判断零向量，单位向量，能做一个向量和已知向量相等，能根据图形判定向量是否是平
6. （2010浙江杭州调研）设a 、b 是两个不共线向量, AB = 2a + pb , BC = a + b , CD = a — 2b , 第四单元 平面向量 4.1 平面向量的概念及线性运算 、选择题 1.在厶 ABC 中，AB = c , AC = b ,若点 D 满足 BD = 2DC ，则 AD =( ) 2 1 A ?3b + 3c 5 2 B ?3c — 3b C.2b -3c 3 3 1 2 D ?1b + 3c …AD = AB + BD = c + 3( b — c) = §b + 3c 答案：A 2. （2010广东中山调研）已知a 、b 是两个不共线的向量，AB =入a b, AC = a +讥入 此R ）, 那么 A 、B 、C 三点共线的充要条, 件是 ( ) A . ?+尸 2 B .入一 (i= 1 C . 入=—1 D . 入=1 解析 由 AB =入 a b, AC = a + 3 b 人 卩€ R ）及 A 、B 、 C 三点共线得AB = tAC (t € R), 入=t 所以 入 t+ b^ t(a + ub ta +1 3, 「所以 1 ，即入 =1. 1 = t 3 答案 :D 3. （2009 ?东）设P 是厶ABC 所在平面内的一点， BC + BA = 2BP ，则（ ） A . PA + PB = 0 C . PB + PC =0 B . P C + PA = 0 D . PA + PB + PC = 0 V ----------- 」 解析：如上图，根据向量加法的几何意义 Be + B A = 2B P ? P 是AC 的中点, 故 PA + PC = 0. 答案：B 4.已知平面内有一点 P 及一个△ ABC ，若PA + PB + PC = AB ，则（ ） A .点P 在厶ABC 外部 B .点P 在线段 AB 上 C .点P 在线段BC 上 D .点P 在线段AC 上 解析：?/ PA + PB + PC = AB , ??? PA + PB + PC = PB — PA ??? PC = — 2PA.A 2PA = CP ，?点 P 在线段 AC 上. 答案：D 、填空题 5. （2009宁夏银川模拟）若AB = 3% CD = — 5e i ,且AD 与CB 的模相等，则四边形 ABCD 是 解析：?/ AB = — 3CD , ??? AB // CD ，且 |AB|M |CD|. 5 答案：等腰梯形 解析: D C =AC — AB = b- c , B D = 2BC = 2(b — c),
2.1平面向量的实际背景及基本概念 【学习目标！1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区 别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念. ET问题导学-------------------------- 知识点一向量的概念 思考i在日常生活中有很多量，如面积、质量、速度、位移等，这些量有什么区别？答案面积、质量只有大小，没有方向；而速度和位移既有大小又有方向 思考2两个数量可以比较大小，那么两个向量能比较大小吗？ 答案数量之间可以比较大小，而两个向量不能比较大小 梳理向量与数量 （1）向量：既有大小，又有方向的量叫做向量 （2）数量：只有大小，没有方向的量称为数量. 知识点二向量的表示方法 思考1向量既有大小又有方向，那么如何形象、直观地表示出来？ 答案可以用一条有向线段表示. 思考2 0的模长是多少？ 0有方向吗？ 答案 0的模长为0,方向任意. 思考3单位向量的模长是多少？ 答案单位向量的模长为1个单位长度. 梳理（1）向量的几何表示：向量可以用一条有向线段表示.带有方向的线段叫做有向线段, 它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示. 以A为起点、B为终点的有向线段记作X B ⑵向量的字母表示：向量可以用字母a, b , c，…表示（印刷用黑体a, b, c,书写时用 b , c). ⑶向量AB勺大小，也就是向量AB勺长度（或称模），即有向线段AB勺长度，记作|AB.长度为 0的向量叫做零向量，记作 0；长度等于1个单位的向量，叫做单位向量 . 知识点三相等向量与共线向量
向量的概念及线性运算 编制人：马兰主审人: 朱礼强 一、新课引入 1. 老鼠以10 m/s的速度向东跑，猫以50 m/s的速度向西追，猫能否追上老鼠？ 分析：老鼠逃窜的路线、猫追逐的路线实际上都是有方向、有长短的量. 2. 问题：质量、力、速度这三个物理量有什么区别？ 质量只有大小；力、速度既有大小，又有方向. 二、概念建构 1．向量的有关概念 2.向量的线性运算
3.共线向量定理 向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa ． 三、例题选讲 【例1】（1）已知下列结论： ① 若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ； ① 非零向量a 与b 同向是a =b 的必要不充分条件； ① 四边形ABCD 是平行四边形的充要条件是=； ① λ，μ为实数，若λa = μb ，则a 与b 共线. 其中正确的序号为 . （2）设,a b 都是非零向量，下列四个条件中，使 =a b a b 成立的充分条件是( ) A .|a |=|b |且a ∥b B .a =-b C .a ∥b D .a =2b 【解题导引】（1）利用共线向量定理及向量相等的概念逐一判断. （2）利用单位向量与向量相等的概念求解. 【规范解答】（1）对于①，当b =0时，条件满足但结论不成立； 对于①，因为向量a 与b 都是非零向量，所以该命题是正确的；
对于①，四边形是大前提，当AB DC =u u u r u u u r 时，即AB∥DC ，且AB=DC ，所以四边形ABCD 是平行四边形，反之，若四边形ABCD 是平行四边形，则AB DC =u u u r u u u r ， 所以①正确； 对于①，当λ=μ=0时，a 与b 可为任意向量，不一定共线，所以①不正确. 答案：①①. （2）选D .由a a 表示与a 同向的单位向量，表示与b 同向的单位向量，故只要a 与b 同向即可，观察可知D 满足题意. 【变式】 1. 本例（2）①中，若b ≠0，该结论是否正确? 【解析】若b ≠0，又a ①b ，b ①c ，所以a ①c 显然成立，故该结论正确. 2. 若本例（2）①中的实数λ，μ满足λ2+μ2 ≠ 0，该结论是否正确? 【解析】由λ2+μ2 ≠ 0知实数λ，μ 中至少有一个不为0. (①)若λ≠0，μ=0，则λa =0·b =0.因为λ≠0，所以a =0，又0与任何向量共线， 所以结论正确. (①)同理，若λ=0，μ≠0，结论也正确； (①)若λ≠0，μ≠0，由λa = μb 得a =μ λ b ，由共线向量定理知结论正确. 综上所述，该结论正确. 【易错警示】解答本例题（1）有两点容易出错. （1） 不清楚 ,a b a b 表示何种向量，不知道a a 是a 方向上的单位向量. （2） 求解时易忽视两向量是同向还是反向，是共线还是相等. 【规律方法】把握向量有关概念的关键点 （1）定义：方向和长度. （2）非零共线向量：方向相同或相反，长度没有限制. （3）相等向量：方向相同且长度相等. （4）单位向量：方向没有限制，但长度都是一个单位长度. （5）零向量：方向没有限制，长度是0，规定零向量与任何向量共线. 【变式训练】设a 0为单位向量，下列命题中：
2013年普通高考数学科一轮复习精品学案 第25讲 平面向量的概念及运算 一．课标要求： （1）平面向量的实际背景及基本概念 通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示； （2）向量的线性运算 ①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义； ②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义； ③了解向量的线性运算性质及其几何意义。 （3）平面向量的基本定理及坐标表示 ①了解平面向量的基本定理及其意义； ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示； ③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算； ④ 理解用坐标表示的平面向量共线的条件。 二．命题走向 本讲内容属于平面向量的基础性内容，与平面向量的数量积比较出题量较小。以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察向量的概念、向量的几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算等。此类题难度不大，分值5~9分。 预测2013年高考： （1）题型可能为1道选择题或1道填空题； （2）出题的知识点可能为以平面图形为载体表达平面向量、借助基向量表达交点位置或借助向量的坐标形式表达共线等问题。 三．要点精讲 1．向量的概念 ①向量 既有大小又有方向的量。向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终点 的大写字母表示，如：AB 几何表示法AB ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a =+= 。向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a |。 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。 ②零向量 长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ?｜a ｜ ＝0。由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。（注意与0的区别） ③单位向量 模为1个单位长度的向量，向量0a 为单位向量?｜0a ｜＝1。 ④平行向量（共线向量）
平面向量的线性运算 一、选择题 1．若a 是任一非零向量，b 是单位向量，下列各式①｜a ｜＞｜b ｜；②a ∥b ； ③｜a ｜＞0；④｜b ｜=±1；⑤a =b ，其中正确的有（ ） A ．①④⑤ B ．③ C ．①②③⑤ D ．②③⑤ 2. O 是ABC ?所在平面内一点，D 为BC 边上中点，02=++OC OB OA ,则（） A ．OD AO = B ．OD AO 2= C ．OD AO 3= D ．OD AO =2 3．把平面上所有单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是（ ） A ．一条线段 B ．一个圆面 C ．圆上的一群弧立点 D ．一个圆 4．向量（AB +MB ）+（BO +BC ）+OM 化简后等于（ ） A ． BC B ． AB C ． AC D ．AM 5．在四边形ABCD 中，AC =AB +AD ，则（ ） A ．ABCD 是矩形 B ．ABCD 是菱形 C ．ABC D 是正方形 D ．ABCD 是平行四边形 6．已知正方形ABCD 的边长为1，AB =a ,AC =c , BC =b ,则｜a +b +c ｜为（ ） A ．0 B ．3 C ． 2 D ．22 7．如图，正六边形ABCDEF 中，BA uur ＋CD u u u r ＋EF uuu r ＝( ) A ．0 B.BE uu u r C.AD uuu r D.CF u u u r 8．如果两非零向量a 、b 满足：｜a ｜＞｜b ｜,那么a 与b 反向,则（ ） A ．｜a +b ｜=｜a ｜-｜b ｜ B ．｜a -b ｜=｜a ｜-｜b ｜ C ．｜a -b ｜=｜b ｜-｜a ｜ D ．｜a +b ｜=｜a ｜+｜b ｜ 二、填空题
平面向量 一、向量的相关概念 1、向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段（向量可以平移）。如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB u u u r 按向量a r ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（3,0） 2、向量的表示方法：用有向线段来表示向量. 起点在前，终点在后。有向线段的长度表示向量的大小，用_____箭头所指的方向____表示向量的方向.用字母a ，b ，…或用AB ，BC ，…表示 （1） 模：向量的长度叫向量的模，记作|a |或|AB |. （2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的； （3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB u u u r 共线的单位向量是|| AB AB ±u u u r u u u r )； （4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性。 （5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0r )；④三点A B C 、、共线? AB AC u u u r u u u r 、共线； （6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是－a 。零向量的相反向量时零向量。 二、向量的线性运算 1.向量的加法： （1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 如图，已知向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB =u u u r a ，BC =u u u r b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a+b ，即 a+b AB BC AC =+=u u u r u u u r u u u r 。AB BC CD DE AE +++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 特殊情况：a b a b a+b b a a+ b (1)平行四边形法则三角形法则 C B D C B A 对于零向量与任一向量a ，有 a 00+=+ a = a （2）法则：____三角形法则_______，_____平行四边形法则______ （3）运算律：____ a +b =b +a ；_______，____（a +b ）+c =a +（b +c ）._______ 当a 、b 不共线时，
必修4第二章 平面向量 2．1．1 向量的概念与几何表示 【内容分析】 向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，反过来，向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具，它也是解决一些数学问题的工具.向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题。向量与代数、三角、几何均有密切的联系与交汇，是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，在数学和物理学科中具有广泛的应用和极其重要的地位，也是高考的必考点. 【学习目标】 1.通过物理学中力的分析等实例，知道向量的实际背景，能能举例说明向量的概念； 2.会用几何法表示向量，掌握向量的模，能举例说出零向量、单位向量、平行向量概念的含义； 3.通过对向量的学习，使同学们初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别，掌握对向量与数量的识别能力，培养同学们认识客观事物与数学本质的能力. 【学习重点】理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、平行向量的概念，会用几何法表示向量. 【难点提示】平面向量概念的理解以及平行向量、相等向量的区别和联系. 【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材7479P 结合进行自主学习（对教材中的文字、图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组组织讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备； 2.在学习过程中用好“十二字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“听”、“问”、“通”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达. 【学习过程】 一、学习准备 1.请同学们回顾一下，从小学到现在你们学过或知道哪些度量单位、度量方法？ 2.我们见过的线段的长度、物体的重量、水的温度、任意角的弧度等有哪些特点？ 3.思考：如图2.1.1-1，老鼠由A 向西北逃窜，猫在B 处向东 追去，请问猫能否追到老鼠吗？为什么？ 4.生活中还存在着与长度、温度不同特征的“量”吗？ 图2.1.1-2中的AB 属于什么“两”呢？这就是本节课要研 究的问题！ 二、学习探究 1.向量的物理背景与概念 阅读探究 请同学们结合“学习准备”的问题，仔细阅读课 本P72-74页，可知在现实生活中，我们会遇到很多量，其中一 些量在取定单位后用一个实数就可以表示出来，如长度、质量等. 还有一些量，如我们在物理中所学习的位移、弹力、速度以及上面 图2.1.1-2的AB 等量，它们有怎样的特点呢？ A B C D 图2.1.1-1
6．1 平面向量的概念 问题导学 预习教材P2－P4的内容，思考以下问题： 1．向量是如何定义的？向量与数量有什么区别？ 2．怎样表示向量？向量的相关概念有哪些？ 3．两个向量(向量的模)能否比较大小？ 4．如何判断相等向量或共线向量？向量AB →与向量BA → 是相等向量吗？ 1．向量的概念及表示 (1)概念：既有大小又有方向的量． (2)有向线段 ①定义：具有方向的线段． ②三个要素：起点、方向、长度． ③表示：在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB →． ④长度：线段AB 的长度也叫做有向线段AB →的长度，记作|AB → |. (3)向量的表示 ■名师点拨 (1)判断一个量是否为向量，就要看它是否具备大小和方向两个因素．
(2)用有向线段表示向量时，要注意AB → 的方向是由点A 指向点B ，点A 是向量的起点，点 B 是向量的终点． 2．向量的有关概念 (1)向量的模(长度)：向量AB →的大小，称为向量AB →的长度(或称模)，记作|AB → |． (2)零向量：长度为0的向量，记作0. (3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量． 3．两个向量间的关系 (1)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量．若a ，b 是平行向量，记作a ∥b . 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a ，都有0∥a ． (2)相等向量：长度相等且方向相同的向量，若a ，b 是相等向量，记作a ＝b . ■名师点拨 (1)平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别． (2)共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同． (3)平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同． 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量，长度大的向量较大．( ) (2)如果两个向量共线，那么其方向相同．( ) (3)向量的模是一个正实数．( ) (4)向量就是有向线段．( ) (5)向量AB →与向量BA → 是相等向量．( ) (6)两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行．( ) (7)零向量是最小的向量．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)× (7)× 已知向量a 如图所示，下列说法不正确的是( ) A ．也可以用MN → 表示 B ．方向是由M 指向N C ．起点是M D ．终点是M 答案：D 已知点O 固定，且|OA → |＝2，则A 点构成的图形是( ) A ．一个点 B ．一条直线
§平面向量的线性运算 重难点：灵活运用向量加法的三角形法则和平行四边形法则解决向量加法的问题，利用交换律和结合律进行向量运算；灵活运用三角形法则和平行四边形法则作两个向量的差，以及求两个向量的差的问题；理解实数与向量的积的定义掌握实数与向量的积的运算律体会两向量共线的充要条件． 考纲要求：①掌握向量加法，减法的运算，并理解其几何意义． ②掌握向量数乘的运算及其意义。理解两个向量共线的含义． ③了解向量线性运算的性质及其几何意义． 经典例题：如图，已知点,,D E F 分别是ABC ?三边,,AB BC CA 的中点， 求证：0EA FB DC ++=． 当堂练习： 1．a 、b 为非零向量，且+=+||||||a b a b ，则 （ ） A ．a 与b 方向相同 B ．a =b C ．a =-b D ．a 与b 方向相反 2．设+++=()()AB CD BC DA a ，而b 是一非零向量，则下列各结论：①//a b ；② +=a b a ；③+=a b b ；④+<+a b a b ，其中正确的是 （ ） A ．①② B ．③④ C ．②④ D ．①③ 3．3．在△ABC 中，D 、E 、F 分别BC 、CA 、AB 的中点，点M 是△ABC 的重心，则 MC MB MA -+等于 （ ） A ．O B ．MD 4 C ．MF 4 D ．M E 4 4．已知向量b a 与反向，下列等式中成立的是 （ ） A ．||||||b a b a -=- B ．||||b a b a -=+ C ．||||||b a b a -=+ D ．||||||b a b a +=+ 5．若a b c =+化简3(2)2(3)2()a b b c a b +-+-+ （ ） A ．a B ．b C ．c D ． 以上都不对 6．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括端点A 、C ），则AP =（ ） A ．().(0,1)AB AD λλ+∈ B ．2 ().(0, )AB BC λλ+∈ C ． ().(0,1)AB AD λλ-∈ D ． 2().(0, )2 AB BC λλ-∈ 7．已知==||||3OA a ，==||||3OB b ，∠AOB=60?，则+=||a b __________。
金题精讲 题一：判断下列命题的真假：[来源学_科_网Z_X_X_K] (1)若非零向量,AB CD 是共线向量，则四点D C B A ,,,共线； (2)若//,//,a b b c 则//a c ； (3)起点不同，但方向相同且长度相等的几条有向线段表示的向量是相等的向量； (4)不相等的向量，则一定不平行； (5)与非零向量a 共线的单位向量是 || a a ． 题二：已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0→，那么（ ） A ．AO → = OD → B ．AO → = 2OD → C ．AO → = 3O D → D ．2AO →＝OD → 题三：已知P 、A 、B 、C 是平面内四个不同的点，且PA →＋PB →＋PC →＝AC →，则（ ） A ．A 、B 、C 三点共线 B ．A 、B 、P 三点共线 C ．A 、C 、P 三点共线 D ．B 、C 、P 三点共线 题四：已知OA →＝a ，OB →＝b ，C 为线段AO 上距A 较近的一个三等分点，D 为线段C B 上距C 较近 的一个三等分点，则用a 、b 表示OD →的表达式为__________________． 题五：设平面内有四边形ABCD 和点O ，若OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，且a ＋c ＝b ＋ d ，则四边形ABCD 为（ ） A ．菱形 B ．梯形 C ．矩形 D ．平行四边形
金题精讲 题一：(1)假命题；(2) 假命题；(3)真命题；(4) 假命题；(5) 假命题． 题二：A ． 题三：B ． 题四：OD → = 49a ＋13b ． 题五：D ．
篇一：平面向量概念教案 平面向量概念教案 一．课题：平面向量概念 二、教学目标 1、使学生了解向量的物理实际背景，理解平面向量的一些基本概念，能正确进行平面向量的几何表示。 2、让学生经历类比方法学习向量及其几何表示的过程，体验对比理解向量基本概念的简易性，从而养成科学的学习方法。 3、通过本节的学习，让学生感受向量的概念方法源于现实世界，从而激发学生学习数学的热情，培养学生学习数学的兴趣 三．教学类型：新知课 四、教学重点、难点 1、重点：向量及其几何表示，相等向量、平行向量的概念。 2、难点：向量的概念及对平行向量的理解。 五、教学过程 （一）、问题引入 1、在物理中，位移与距离是同一个概念吗？为什么？ 2、在物理中，我们学到位移是既有大小、又有方向的量，你还能举出一些这样的量吗？ 3、在物理中，像这种既有大小、又有方向的量叫做矢量。 在数学中，我们把这种既有大小、又有方向的量叫做向量。而把那些只有大小，没有方向的量叫数量。 （二）讲授新课 1、向量的概念 练习1 对于下列各量： ①质量②速度③位移④力⑤加速度⑥路程⑦密度⑧功⑨体积⑩温度 其中，是向量的有：②③④⑤ 2、向量的几何表示 请表示一个竖直向下、大小为5n的力，和一个水平向左、大小为8n的力（1厘米表示1n）。思考一下物理学科中是如何表示力这一向量的？ （1）有向线段及有向线段的三要素 （2）向量的模 （4）零向量，记作＿＿＿＿； （5）单位向量 练习2 边长为6的等边△abc中，＝＿＿，与相等的还有哪些？ 总结向量的表示方法： 1）、用有向线段表示。 2）、用字母表示。 3、相等向量与共线向量 （1）相等向量的定义 （2）共线向量的定义 六．教具：黑板 七．作业 八．教学后记 篇二：平面向量的实际背景及基本概念教学设计 平面向量的实际背景及基本概念教学设计
1 平面向量基本概念 教学目标 1.从生活实例和物理素材中感受向量以及研究向量的必要性. 2.理解平面向量的含义、向量的几何表示，向量的模. 3.理解零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量的含义，能在 图形中辨认相等向量和共线向量. 4.从“平行向量→相等向量→共线向量”的逐步认识，充分揭示向量的两 个要素及向量可以平移的特点. 教学重点：向量、相等向量、共线向量的含义及向量的几何表示. 教学难点：向量的含义. 教学过程 （一）情境创设 1.南辕北辙——战国时，有个北方人要到南方的楚国去.他从太行山脚下出发，乘着马车一直往北走去.有人提醒他：“到楚国应该朝南走，你怎能往北呢?”他却说：“不要紧，我有一匹好马！” 结果 原因 2.如图1，在同一时刻，老鼠由A 向西北方向的C 处逃窜，猫由B 向正东方向的D 处追去，猫能否抓到老鼠？ 结果 原因 思考：上述情景中，描绘了物理学中的那些量？ 咱们还认识类似于上面的量，你能举出来吗？ 这些量的共同特征是什么？ （二）概念形成 观察：如图2中的三个量有什么区别？ 1.向量的概念——既有大小又有方向的量叫向量. 2.向量的表示方法 思考:物理学中如何画物体所受的力? (1) 几何表示法：常用一条有向线段表示向量. 符号表示：以A 为起点、B 为终点的有向线段， 记作AB .(注意起终点顺序). (2) 字母表示法：可表示AB 为a . 练习. 如图4，小船由A 地向西北方向航行15海里到达 B 地，小船的位移如何表示？（用1cm 表示5海里） （三）理性提升 3.向量的模 向量的大小——向量长度称为向量的模. 记作：||. 强调：数量与向量的区别： 数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；
2.1 平面向量的实际背景及基本概念 [A 级 基础巩固] 一、选择题 1．关于向量的概念，下列命题中正确的是( ) A ．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合 B ．模相等的两个平行向量是相等向量 C ．若a 和b 都是单位向量，则a ＝b D ．两个相等向量的模相等 解析：A 项，两个向量如果相等，则它们的模和方向相同，起点和终点不一定重合，故错误；B 项，模相等的两个平行向量有可能方向相反，故错误；C 项，两个向量相等不仅要求模相等还要求方向相同，单位向量的模相等，方向不一定相同，故错误；D 项，如果向量相等，则它们的模和方向均相同，故正确． 答案：D 2．数轴上点A ，B 分别对应－1，2，则向量AB → 的长度是( ) A ．－1 B ．2 C ．1 D ．3 解析：|AB → |＝2－(－1)＝3. 答案：D 3．如图所示，在⊙O 中，向量OB →、OC →、AO → 是( )
A ．有相同起点的向量 B ．共线向量 C ．模相等的向量 D ．相等的向量 答案：C 4．如图，等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F 分别在两腰AD ，BC 上，EF 过点P ，且EF ∥AB ，则( ) A.AD →＝BC → B.AC →＝BD → C.PE →＝PF → D.EP →＝PF → 解析：由平面几何知识知，AD →与BC →方向不同，故AD →≠BC →；AC →与BD →方向不同，故AC →≠BD →；PE →与PF →的模相等而方向相反，故PE →≠PF →；EP →与PF →的模相等且方向相同，所以EP →＝PF →. 答案：D 5．若|AB →|＝|AD →|且BA →＝CD → ，则四边形ABCD 的形状为( ) A ．平行四边形 B ．矩形 C ．菱形 D ．等腰梯形 解析：由BA →＝CD →知四边形为平行四边形；由|AB →|＝|AD → |知四边形 ABCD 为菱形． 答案：C 二、填空题 6．有下列说法：
向量的概念、表示和线性运算 1．向量的有关概念 2.向量的线性运算 4.中线定理：在中，已知是中 边的中线，则 5.重心定理：在 中， 是 的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）则
，； 6.三点共线的结论：存在实数,等于已知三点共线； 7..在中，则通过的内心； 练习题 1．下列命题中，正确的是（） A. 若|a|=|b|，则a=b B. 若a=b, 则a与b是平行向量 C. 若|a|>|b|, 则a>b D. 若a与b不相等，则向量a与b是不共线向量 2. 以下四个命题中不正确的是（） A. 若a为任意非零向量，则a//0 B. | a+b|=|a|+|b| C. a=b，则|a|=|b|，反之不成立 D. 任一非零向量的方向都是惟一的 3．下列四个命题： ①长度相等的向量是相等向量；②相等向量是共线向量； ③平行于同一个向量的两个向量是共线向量；④在△ABC中，AB BC AC ++≠0. 其中真命题的是() A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④ 4．已知m∈R, 下列说法正确的是（） A. 若m a =0，则必有m=0 B. 若m≠0,a≠0，则m a的方向与a同向 C. 若m≠0,则|m a|=m| a| D. 若m≠0,a≠0，则m a与a共线 5.已知正方形的边长为1，=a，=b，=c,则|a+b+c|等于（） A. 0 B. 3 C. 2 D. 22 6.设（+）+（+）= a, b≠0,则在下列结论中，正确的有（） ①a∥b; ②a + b = a; ③a + b = b; ④｜a + b｜＜｜a｜+｜b｜ A．①②B．③④C．②④D．①③ 7. 已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC. 则 ①CA CB CA CB -=-; -=+;②AB AC BA BC -=-;③CA BA CB AB ④222 +=-+-. 其中正确命题的个数为（） CA CB AB AC BA CA A．1B．2C．3D．4 8. 已知D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，若点M是ABC +-为（） ?的重心,则MA MB MC A．0B．4ME C．4MD D．4MF
6.1平面向量的概念 导学案 【学习目标】 1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别. 2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量. 3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念． 【自主学习】 知识点1 向量 既有大小，又有方向的量叫做向量． 知识点2 向量的几何表示 以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB →. 知识点3 向量的有关概念 (1)零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作0. (2)单位向量：长度等于1个单位的向量，叫做单位向量． (3)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量． (4)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量． ①记法：向量a 平行于向量b ，记作a ∥b .
②规定：零向量与任一向量平行．
【合作探究】 探究一向量的概念 【例1】判断下列命题是否正确，并说明理由． (1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b； (2)若|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反； (3)由于0方向不确定，故0不能与任意向量平行； (4)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反； (5)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量． [分析]解答本题可从向量的定义、向量的模、相等向量、平行向量等概念入手，逐一判断真假． [解](1)不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小． (2)不正确．由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们方向的关系． (3)不正确．依据规定：0与任意向量平行． (4)不正确．因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不定． (5)正确．对于一个向量只要不改变其大小与方向，是可以任意移动的． 归纳总结：1判断一个量是否为向量，应从两个方面入手：①是否有大小，①是否有方向. 2注意两个特殊向量：零向量和单位向量. 3注意平行向量与共线向量的含义. 【练习1-1】下列物理量中不是向量的有() ①质量；①速度；①力；①加速度；①路程；①密度；①功；①电流强度． A．5个B．4个C．3个D．2个 解析：(1)看一个量是否为向量，就要看它是否具备向量的两个要素：大小和方向，特别是方向的要求，对各量从物理本身的意义作出判断，①①①既有大小也有方向，是向量，①①①①①只有大小没有方向，不是向量．
适用
高中数学
适用年级
高一
学科
适用区域 苏教版区域
课时时长（分钟）
2 课时
知识点 向量的加法；向量的减法；向量的数乘.
教学目标
通过经历向量加法的探究，掌握向量加法概念，结合物理学实际理解向量加法的意义。能 熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，并能作出已知两向量的和向量。通 过探究活动，掌握向量减法概念，理解两个向量的减法就是转化为加法来进行，掌握相反 向量。
教学重点 向量的加减法的运算。
教学难点 向量的加减法的几何意义。
【知识导图】
教学过程
一、导入
高考对本内容的考查主要以选择题或者是填空题的形式来出题，一般难度不 大，属于简单题。
二、知识讲解
（考1）点向1量向加量法加的法三法角则形法则 在定义中所给出的求象量和的方法就是向量加法的三角形法则。运用这一法则时 要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一 个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量。0 位移的合成可以看作 向量加法三角形法则的物理模型。
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（2）平行四边形法则 以同一点 O 为起点的两个已知向量 A.B 为邻边作平行四边形，则以 O 为起点的 对角线 OC 就是 a 与 b 的和。我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平 行四边形法则。
由考于点方2向反向转量两的次减仍法回法到则原来的方向，因此 a 和 a 互为相反向量。 于是 (a) a 。 我们规定，零向量的相反向量仍是零向量. 任一向量与其相反向量的和是零向量，即 a (a) (a) a 0 。 所以，如果 a, b 是互为相反的向量，那么 a= b,b= a, a b 0 。
考点 3 实数与向量的积的运算律 设 ， 为实数，那么 (1) ( a) ()a ； (2) ( )a a a ； (3) (a b) a b . 特别地，我们有 ()a (a) (a) ， (a b) a b 。 向量共线的等价条件是：如果 a(a 0) 与 b 共线，那么有且只有一个实数 ，使 b a。
三 、例题精析 类型一 平面向量的坐标表示
例题 1
已知边长为 1 的正方形 ABCD 中，AB 与 x 轴正半轴成 30°角．求点 B 和点 D 的坐标和 AB 与 AD 的坐标．
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《平面向量的实际背景及基本概念》教学设计 一、教材分析 本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学4》（人教A版）第二章第一节“平面向量的实际背景及基本概念”，是概念课。平面向量的实际背景及基本概念是向量知识体系中的起始内容，起着为其他知识学习奠基的重要作用．一方面，它能为其他向量知识的学习奠基，通过了解向量的实际背景，理解向量的含义及几何表示等内容，奠定学生学习向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示和平面向量数量积的知识基础；另一方面，它能为学习新的数学对象奠基，学生通过认识向量，形成向量相关概念的过程，可以获得认识其他数学对象的基本方法和途径，可以为学习和研究其他数学对象奠定方法的基础．本节从物理学中的速度、力等既有大小又有方向的量出发，抽象出向量的概念，并重点说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的几何表示、向量的长度(模)、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量等基本概念。本节课不仅要让学生理解向量的形式化定义及几个相关概念，而且能让学生去体会认识与研究数学新对象的方法和基本思路，进而提高提出问题，解决问题的能力。 二、学情分析 （一）有利因素： 在学生已经在物理中学习了矢量，即知道力、位移、速度等是既有大小又有方向的物理量（矢量），知道可以借助有向线段来求作力的图示；了解数的抽象过程、实数的绝对值（线段的长度）、数的相等、单位长度、0和1的特殊性、平面几何中的平行与共线；对类比的思想方法有所了解等。 所在的创新二班和三班学生基础较好，接受知识能力较快。 （二）不利因素 虽然学生具备认知基础，但是，由于学生处于高一年级，对于本节课的难点：向量概念的理解及形成过程、零向量、相等向量、共线向量等概念，尤其在思维辨析方面，总体情况可能不是太好。.所以在分辨对向量的长度而不是对向量本身进行度量的问题上，适度加以引导和指导。 三、教学目标 1、知识与技能： (1)能结合物理中矢量认识向量，掌握向量与数量的区别.； (2)理解零向量、单位向量及向量的模等概念； (3)明确有向线段与向量的联系与区别，会用有向线段和字母表示向量；