§5.1 平面向量的概念及线性运算
1.向量的有关概念 名称 定义
备注
向量 既有______又有______的量；向量的大小叫做向量的______(或称______) 平面向量是自由向量
零向量 长度为______的向量；其方向是任意的
记作______
单位向量 长度等于________的向量 非零向量a 的单位向量为±a
|a |
平行向量 方向____或____的非零向量 0与任一向量______或共线
共线向量
__________________的非零向量又叫
做共线向量
相等向量 长度______且方向______的向量 两向量只有相等或不等，不能
比较大小 相反向量
长度______且方向____的向量
0的相反向量为0 向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运
算
(1)交换律：a ＋b ＝
____________.(2)结合律：(a ＋b )＋c ＝____________.
减法
求a 与b 的相反向
量－b 的和的运算叫做a 与b 的差
________法则 a －b ＝a ＋(－b )
数乘
求实数λ与向量a 的积的运算
(1)|λa |＝________； (2)当λ>0时，λa 的方向与
a 的方向________；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向________；当λ＝0时，λa
＝______
λ(μa )＝______；(λ＋μ)a ＝________； λ(a ＋b )＝_______ 向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得______. [难点正本 疑点清源] 1.向量的两要素
向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小. 2.向量平行与直线平行的区别
向量平行包括向量共线和重合的情况，而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合.
1.化简OP →－QP →＋MS →－MQ →
的结果为________.
2.在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB →＝a ，AD →＝b ，则BE →
＝____________. 3.下列命题：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量；④相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是________. 4.已知D 为三角形ABC 边BC 的中点，点P 满足P A →＋BP →＋CP →＝0，AP →＝λPD →
，则实数λ的值为________.
5.已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA →＋OB →＋OC →
＝0，那么( ) A.AO →＝OD →
B.AO →＝2OD →
C.AO →＝3OD →
D.2AO →＝OD →
题型一 平面向量的概念辨析 例1 给出下列命题：
①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →
是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b .
其中正确命题的序号是________.
探究提高 (1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键. (2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性. (3)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.
(4)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈.
(5)非零向量a 与a |a |的关系是：a
|a |
是a 方向上的单位向量.
判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由.
(1)若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a>b ；
(2)若|a |＝|b |，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反； (3)若|a |＝|b |，且a 与b 方向相同，则a ＝b ；
(4)由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行； (5)若向量a 与向量b 平行，则向量a 与b 的方向相同或相反；
(6)若向量AB →与向量CD →
是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上； (7)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； (8)任一向量与它的相反向量不相等. 题型二 向量的线性运算
例2 在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AC 边 上的中点，G 为BE 上一点，且GB ＝2GE ， 设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AD →，AG →.
探究提高 (1)解题的关键在于搞清构成三角形的三个问题间的相互关系，能熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.
(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果.
在△ABC 中，E 、F 分别为AC 、AB 的
中点，BE 与CF 相交于G 点，设AB →＝a ，AC →
＝b ， 试用a ，b 表示AG →
. 题型三 平面向量的共线问题
例3 设两个非零向量a 与b 不共线，
(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →
＝3(a －b )，求证：A 、B 、D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线.
探究提高 (1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.
(2)向量a 、b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立，若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a 、b 不共线.
如图所示，△ABC 中，在AC 上取一点N ，
使得AN ＝13AC ，在AB 上取一点M ，使得AM ＝1
3AB ，
在BN 的延长线上取点P ，使得NP ＝1
2BN ，在CM 的延长
线上取点Q ，使得MQ →＝λCM →时，AP →＝QA →
，试确定λ的值.
11.用方程思想解决平面向量
的线性运算问题
试题：(14分)如图所示，在△ABO 中，OC →＝14OA →
，
OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M ，设OA →
＝a ，
OB →＝b .试用a 和b 表示向量OM →.
审题视角 (1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领，要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去.
(2)既然OM →能用a 、b 表示，那我们不妨设出OM →
＝m a ＋n b . (3)利用共线定理建立方程，用方程的思想求解. 规范解答
解 设OM →
＝m a ＋n b ，
则AM →＝OM →－OA →
＝m a ＋n b －a ＝(m －1)a ＋n b . AD →＝OD →－OA →＝12OB →－OA →
＝－a ＋12b .
[3分]
又∵A 、M 、D 三点共线，∴AM →与AD →
共线. ∴存在实数t ，使得AM →＝tAD →
， 即(m －1)a ＋n b ＝t ????－a ＋1
2b .
[5分]
∴(m －1)a ＋n b ＝－t a ＋1
2
t b .
∴?????
m －1＝－t n ＝t 2
，消去t 得，m －1＝－2n ， 即m ＋2n ＝1.①
[7分]
又∵CM →＝OM →－OC →
＝m a ＋n b －14a ＝????m －14a ＋n b ， CB →＝OB →－OC →
＝b －14a ＝－14
a ＋
b .
又∵C 、M 、B 三点共线，∴CM →与CB →
共线.
[10分]
∴存在实数t 1，使得CM →＝t 1CB →
， ∴????m －14a ＋n b ＝t 1???
?－1
4a ＋b ， ∴?????
m －14＝－14t 1n ＝t 1，消去t 1得，4m ＋n ＝1.② [12分]
由①②得m ＝17，n ＝37，∴OM →＝17a ＋37
b .
[14分]
批阅笔记 (1)本题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，但解题过程复杂，有一定的难度.(2)学生的易错点是，找不到问题的切入口，亦即想不到利用待定系数法求解.(3)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析判断求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧.如本题学生易忽视A 、M 、D 共线和B 、M 、C 共线这个几何特征.(4)方程思想是解决本题的关键，要注意体会.
方法与技巧
1.将向量用其它向量(特别是基向量)线性表示，是十分重要的技能，也是向量坐标形式的基础.
2.可以运用向量共线证明线段平行或三点共线问题.如AB →∥CD →
且AB 与CD 不共线，则AB ∥CD ；若AB →∥BC →
，则A 、B 、C 三点共线. 失误与防范
1.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件.要特别注意零向量的特殊性.
2.在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误.
§5.1 平面向量的概念及线性运算
(时间：60分钟) A 组 专项基础训练题组
一、选择题 1.给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量； ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③λa ＝0 (λ为实数)，则λ必为零； ④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线. 其中错误命题的个数为
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
2.设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →
，则
( )
A.P A →＋PB →＝0
B.PC →＋P A →＝0
C.PB →＋PC →＝0
D.P A →＋PB →＋PC →＝0
3.已知向量a ，b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b .如果c ∥d ，那么 ( )
A.k ＝1且c 与d 同向
B.k ＝1且c 与d 反向
C.k ＝－1且c 与d 同向
D.k ＝－1且c 与d 反向 二、填空题
4.设a 、b 是两个不共线向量，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →
＝a －2b ，若A 、B 、D 三点共线，则实数p 的值为________.
5.在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →
，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.
6.如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →
，P 是BN 上的一点，
若AP →＝mAB →＋211AC →
，则实数m 的值为________.
三、解答题
7.如图，以向量OA →＝a ，OB →
＝b 为边作?OADB ， BM →＝13BC →，CN →＝13CD →，用a 、b 表示OM →、ON →、
MN →.
8.若a ，b 是两个不共线的非零向量，a 与b 起点相同，则当t 为何值时，a ，t b ，1
3(a ＋
b )三向量的终点在同一条直线上？
B 组 专项能力提升题组
一、选择题
1.已知P 是△ABC 所在平面内的一点，若CB →＝λP A →＋PB →
，其中λ∈R ，则点P 一定在( ) A.△ABC 的内部 B.AC 边所在直线上 C.AB 边所在直线上 D.BC 边所在直线上
2.已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →
成立，则m 等于
( )
A.2
B.3
C.4
D.5
3.O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：OP →＝OA →
＋λ ? ????
AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的
( )
A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心
二、填空题
4.已知向量a ，b 是两个非零向量，则在下列四个条件中，能使a 、b 共线的条件是__________(将正确的序号填在横线上). ①2a －3b ＝4e ，且a ＋2b ＝－3e ； ②存在相异实数λ、μ，使λ·a ＋μ·b ＝0； ③x ·a ＋y ·b ＝0(实数x ，y 满足x ＋y ＝0)； ④若四边形ABCD 是梯形，则AB →与CD →
共线.
5.如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点. 过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的 两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →
，则 m ＋n 的值为______.
6.在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →
，则λ＝________.
7.已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A 、B 两点，且|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →
|，其中O 为坐标原点，则实数a 的值为________. 三、解答题
8.已知点G 是△ABO 的重心，M 是AB 边的中点. (1)求GA →＋GB →＋GO →；
(2)若PQ 过△ABO 的重心G ，且OA →＝a ，OB →＝b ，OP →＝m a ，OQ →
＝n b ，求证：1m ＋1n ＝
3.
答案
要点梳理
1.大小 方向 长度 模 零 0 1个单位 相同 相反 方向相同或相反 平行 相等 相同 相等 相反
2.三角形 平行四边形 (1)b ＋a (2)a ＋(b ＋c ) 三角形
(1)|λ||a | (2)相同 相反 0 λμa λa ＋μa λa ＋λb 3.b ＝λa 基础自测
1.OS →
2.b －12a
3.①②③
4.－2
5.A
题型分类·深度剖析 例1 ②③
变式训练1 解 (1)不正确，因为向量只讨论相等和不等，而不能比较大小.(2)不正确，因为向量模相等与向量的方向无关.(3)正确.(4)不正确，因为规定零向量与任意向量平行.(5)不正确，因为两者中若有零向量，零向量的方向是任意的.(6)不正确，因为AB →与CD →
共线，而AB 与CD 可以不共线即AB ∥CD .(7)正确.(8)不正确，因为零向量可以与它的相反向量相等.
例2 解 AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋1
2
b ；
AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BE →＝AB →＋13(BA →＋BC →)＝23AB →＋13(AC →－AB →
)
＝13AB →＋13AC →＝13a ＋1
3b . 变式训练2 解 AG →＝AB →＋BG → ＝AB →＋λBE →＝AB →＋λ2(BA →＋BC →)
＝????1－λ2AB →＋λ2(AC →－AB →) ＝(1－λ)AB →＋λ2AC →
＝(1－λ)a ＋λ2
b .
又AG →＝AC →＋CG →＝AC →＋mCF → ＝AC →＋m 2
(CA →＋CB →)
＝(1－m )AC →＋m 2AB →＝m
2
a ＋(1－m )
b ，
∴???
1－λ＝
m 2
1－m ＝λ
2
，解得λ＝m ＝2
3
，
∴AG →＝13a ＋13
b .
例3 (1)证明 ∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →
＝3(a －b )， ∴BD →＝BC →＋CD →
＝2a ＋8b ＋3(a －b ) ＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →
. ∴AB →、BD →
共线，又∵它们有公共点B ， ∴A 、B 、D 三点共线.
(2)解 ∵k a ＋b 与a ＋k b 共线， ∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即k a ＋b ＝λa ＋λk b .∴(k －λ)a ＝(λk －1)b . ∵a 、b 是不共线的两个非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0.∴k ＝±1. 变式训练3 12
课时规范训练 A 组
1.C
2.B
3.D
4.－1
5.43
6.311
7.解 ∵BA →＝OA →－OB →
＝a －b ， BM →＝16BA →＝16a －16
b ，
∴OM →＝OB →＋BM →＝16a ＋56b .又OD →
＝a ＋b ，
∴ON →＝OC →＋13CD →＝12OD →＋16OD →
＝23OD →＝2
3
(a ＋b ). ∴MN →＝ON →－OM →＝23a ＋23b －16a －56b ＝12a －16b .
即OM →＝16a ＋56b ，ON →＝23a ＋23b ，
MN →＝12a －1
6
b .
8.解 设OA →＝a ，OB →＝t b ，OC →＝1
3(a ＋b )，
∴AC →＝OC →－OA →
＝－23a ＋13b ，
AB →＝OB →－OA →
＝t b －a .
要使A 、B 、C 三点共线，只需AC →＝λAB →
. 即－23a ＋1
3
b ＝λt b －λa .
∴有??? －2
3
＝－λ，1
3＝λt ，
????
λ＝23
，t ＝1
2.
∴当t ＝1
2时，三向量终点在同一直线上.
B 组
1.B
2.B
3.B
4.①②
5.2
6.23
7.±2
8.(1)解 ∵GA →＋GB →＝2GM →， 又2GM →＝－GO →，
∴GA →＋GB →＋GO →＝－GO →＋GO →
＝0.
(2)证明 显然OM →＝1
2(a ＋b ).
因为G 是△ABO 的重心， 所以OG →＝23OM →＝1
3
(a ＋b ).
由P 、G 、Q 三点共线，得PG →∥GQ →
， 所以，有且只有一个实数λ，使PG →＝λGQ →
. 而PG →＝OG →－OP →＝1
3(a ＋b )－m a
＝????13－m a ＋13
b ， GQ →＝OQ →－OG →
＝n b －13(a ＋b )
＝－1
3a ＋????n －13b ， 所以????13－m a ＋13b ＝λ???
?－1
3a ＋???
?n －13b . 又因为a 、b 不共线，
所以???
13－m ＝－13
λ13＝λ???
?
n －13，
消去λ，整理得3mn ＝m ＋n ，
故1m ＋1n
＝3.
教学过程 课堂导入 以前台胞春节期间来大陆探亲，乘飞机先从台北到香港，再从香港到上海.20XX年7月4日，两岸直航包机启航．若台北到香港的位移用向量a表示，香港到上海的位移用向量b表示，台北到上海的位移用向量c表示．想一想，向量a、b、c有何关系？ 复习预习 1．我们已经学习过位移、速度、力等，你能总结出它们的特点吗？特点为________________________________．
2．在学习三角函数线时，我们已经学习过有向线段了，你还记得吗？ 所谓有向线段就是________________________，三角函数线都是_____________． 知识讲解 考点1 向量的有关概念
考点2 向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何意义)运算律 加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝b＋a (2)结合律：(a＋b)＋c＝a ＋(b＋c) 减法求a与b的相反向量－b的 和的运算叫做a与b的差 a－b＝a＋(－b) 数乘求实数λ与向量a的积的运 算 (1)|λa|＝|λ||a| (2)当λ＞0时，λa与a的方向相同； 当λ＜0时，λa与a的方向相反；当λ ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ) a (λ＋μ)a＝λa＋μa λ(a＋b)＝λa＋λb 考点3 共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.
例题精析 【例题1】 【题干】设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0； ③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是() A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3. 【例题2】 【题干】如图，在△OAB中，延长BA到C，使AC＝BA，在OB上取点D，使DB＝13OB.设OA＝a，OB＝b，用a，b表示向量OC，DC.
平面向量的概念与线性运算知识点 一.平面向量的有关概念 １．向量：既有大小，又有方向的量． ２．数量：只有大小，没有方向的量． ３．有向线段的三要素：起点、方向、长度． ４．零向量：长度为0的向量． ５．单位向量：长度等于1个单位的向量． ６．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 注：任一组平平行向量都可以平移到同一直线上 ７．相等向量：长度相等且方向相同的向量． ８．相反向量：长度相等且方向相反的向量 二．向量的表示法 １．字母表示法：如：a ，AB 等 ２．几何表示法：用一条有向线段表示向量 ３．代数表示法：在平面直角坐标系中，设向量OA 的起点Ｏ是坐标原点，终点坐标是（x ，y ），则（x ，y ）称为OA 的坐标，记作：OA ＝（x ，y ） 三．向量的运算 １．向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；②结合律：()()a b c a b c ++=++； ③00a a a +=+=． b a C B A a b C C -=A -AB =B
⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++． ２．向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--． ３．向量数乘运算： ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ=； ②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=． ⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==． ４．向量共线定理： 向量()0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=． 设()11,a x y =，()22,b x y =，其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、() 0b b ≠共线． 四．跟踪训练 １．=++++（ ） A ． B ．0 C ． D ． ２．给出命题 （1）零向量的长度为零，方向是任意的.（2）若a ，b 都是单位向量，则a ＝b . （3）向量AB 与向量BA 相等.（4）若非零向量AB 与CD 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点共线. 以上命题中，正确命题序号是 A.（1） B.（2） C.（1）和（3） D.（1）和（4） ３．在四边形ABCD 中，如果0AB CD =，AB DC =，那么四边形ABCD 的形状是 A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.直角梯形 ４．如图，在△ABC 中，AD 、BE 、CF 分别是BC 、CA 、AB 上的中线，它们交于点 G ，则下列各等式中不正确的是
2．2《平面向量的线性运算》教学设计 【教学目标】 1．掌握向量的加、减法运算，并理解其几何意义； 2．会用向量加、减的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力； 3．通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法； 4．掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算； 5．理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判断两个向量是否平行； 6．通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想. 【导入新课】 设置情景： 1、 复习：向量的定义以及有关概念 强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置 2、 情景设置： （1）某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ， 则两次的位移和：AC BC AB =+ （2）若上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ， 则两次的位移和：=+ （3）某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ， 则两次的位移和：=+ （4）船速为AB ，水速为，则两速度和：AC =+ 新授课阶段 一、向量的加法 A B C A C A B C
O A a a a b b b １．向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. ２．三角形法则（“首尾相接，首尾 连”） 如图，已知向量a 、ｂ.在平面内任取一点A ，作AB ＝a ，BC ＝ｂ，则向量AC 叫做a 与ｂ的和，记作a ＋ｂ，即 a ＋ｂAC BC AB =+=，规定： a + 0-= 0 + a. 探究：（1）两相向量的和仍是一个向量； （2）当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |； （3）当a 与b 同向时，则a +b 、a 、b 同向，且|a +b |=|a |+|b |，当a 与b 反向时，若|a |>|b |，则a +b 的方向与a 相同，且 |a +b |=|a |-|b |；若|a |<|b |，则a +b 的方向与b 相同，且|a +b|=|b |-|a |. （4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n 个向量连加. 例1 已知向量a 、b ，求作向量a +b . 作法：在平面内取一点，作a OA = b AB =，则b a OB +=. ４．加法的交换律和平行四边形法则 问题：上题中b +a 的结果与a +b 是否相同？ 验证结果相同 从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）； A B C a +b a +b a a b b a ｂ ｂ ａa
向量的概念及线性运算 编制人：马兰主审人: 朱礼强 一、新课引入 1. 老鼠以10 m/s的速度向东跑，猫以50 m/s的速度向西追，猫能否追上老鼠？ 分析：老鼠逃窜的路线、猫追逐的路线实际上都是有方向、有长短的量. 2. 问题：质量、力、速度这三个物理量有什么区别？ 质量只有大小；力、速度既有大小，又有方向. 二、概念建构 1．向量的有关概念 2.向量的线性运算
3.共线向量定理 向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa ． 三、例题选讲 【例1】（1）已知下列结论： ① 若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ； ① 非零向量a 与b 同向是a =b 的必要不充分条件； ① 四边形ABCD 是平行四边形的充要条件是=； ① λ，μ为实数，若λa = μb ，则a 与b 共线. 其中正确的序号为 . （2）设,a b 都是非零向量，下列四个条件中，使 =a b a b 成立的充分条件是( ) A .|a |=|b |且a ∥b B .a =-b C .a ∥b D .a =2b 【解题导引】（1）利用共线向量定理及向量相等的概念逐一判断. （2）利用单位向量与向量相等的概念求解. 【规范解答】（1）对于①，当b =0时，条件满足但结论不成立； 对于①，因为向量a 与b 都是非零向量，所以该命题是正确的；
对于①，四边形是大前提，当AB DC =u u u r u u u r 时，即AB∥DC ，且AB=DC ，所以四边形ABCD 是平行四边形，反之，若四边形ABCD 是平行四边形，则AB DC =u u u r u u u r ， 所以①正确； 对于①，当λ=μ=0时，a 与b 可为任意向量，不一定共线，所以①不正确. 答案：①①. （2）选D .由a a 表示与a 同向的单位向量，表示与b 同向的单位向量，故只要a 与b 同向即可，观察可知D 满足题意. 【变式】 1. 本例（2）①中，若b ≠0，该结论是否正确? 【解析】若b ≠0，又a ①b ，b ①c ，所以a ①c 显然成立，故该结论正确. 2. 若本例（2）①中的实数λ，μ满足λ2+μ2 ≠ 0，该结论是否正确? 【解析】由λ2+μ2 ≠ 0知实数λ，μ 中至少有一个不为0. (①)若λ≠0，μ=0，则λa =0·b =0.因为λ≠0，所以a =0，又0与任何向量共线， 所以结论正确. (①)同理，若λ=0，μ≠0，结论也正确； (①)若λ≠0，μ≠0，由λa = μb 得a =μ λ b ，由共线向量定理知结论正确. 综上所述，该结论正确. 【易错警示】解答本例题（1）有两点容易出错. （1） 不清楚 ,a b a b 表示何种向量，不知道a a 是a 方向上的单位向量. （2） 求解时易忽视两向量是同向还是反向，是共线还是相等. 【规律方法】把握向量有关概念的关键点 （1）定义：方向和长度. （2）非零共线向量：方向相同或相反，长度没有限制. （3）相等向量：方向相同且长度相等. （4）单位向量：方向没有限制，但长度都是一个单位长度. （5）零向量：方向没有限制，长度是0，规定零向量与任何向量共线. 【变式训练】设a 0为单位向量，下列命题中：
6. （2010浙江杭州调研）设a 、b 是两个不共线向量, AB = 2a + pb , BC = a + b , CD = a — 2b , 第四单元 平面向量 4.1 平面向量的概念及线性运算 、选择题 1.在厶 ABC 中，AB = c , AC = b ,若点 D 满足 BD = 2DC ，则 AD =( ) 2 1 A ?3b + 3c 5 2 B ?3c — 3b C.2b -3c 3 3 1 2 D ?1b + 3c …AD = AB + BD = c + 3( b — c) = §b + 3c 答案：A 2. （2010广东中山调研）已知a 、b 是两个不共线的向量，AB =入a b, AC = a +讥入 此R ）, 那么 A 、B 、C 三点共线的充要条, 件是 ( ) A . ?+尸 2 B .入一 (i= 1 C . 入=—1 D . 入=1 解析 由 AB =入 a b, AC = a + 3 b 人 卩€ R ）及 A 、B 、 C 三点共线得AB = tAC (t € R), 入=t 所以 入 t+ b^ t(a + ub ta +1 3, 「所以 1 ，即入 =1. 1 = t 3 答案 :D 3. （2009 ?东）设P 是厶ABC 所在平面内的一点， BC + BA = 2BP ，则（ ） A . PA + PB = 0 C . PB + PC =0 B . P C + PA = 0 D . PA + PB + PC = 0 V ----------- 」 解析：如上图，根据向量加法的几何意义 Be + B A = 2B P ? P 是AC 的中点, 故 PA + PC = 0. 答案：B 4.已知平面内有一点 P 及一个△ ABC ，若PA + PB + PC = AB ，则（ ） A .点P 在厶ABC 外部 B .点P 在线段 AB 上 C .点P 在线段BC 上 D .点P 在线段AC 上 解析：?/ PA + PB + PC = AB , ??? PA + PB + PC = PB — PA ??? PC = — 2PA.A 2PA = CP ，?点 P 在线段 AC 上. 答案：D 、填空题 5. （2009宁夏银川模拟）若AB = 3% CD = — 5e i ,且AD 与CB 的模相等，则四边形 ABCD 是 解析：?/ AB = — 3CD , ??? AB // CD ，且 |AB|M |CD|. 5 答案：等腰梯形 解析: D C =AC — AB = b- c , B D = 2BC = 2(b — c),
05—平面向量的概念、运算及平面向量基本定理 突破点(一)平面向量的有关概念 知识点：向量、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、相反向量 考点 平面向量的有关概念 ［典例］⑴设a , b 都是非零向量，下列四个条件中，使 向=而成立的充分条件是( ) A . a =- b B . a // b C . a = 2b D . a // b 且 |a|= |b| ⑵设a o 为单位向量，下列命题中：①若 a 为平面内的某个向量，贝U a = |a| a o ;②若a 与a o 平行，则 a = |a|a o ;③若a 与a o 平行且|a|= 1,则a = a o .假命题的个数是( ) A . o B . 1 C . 2 D . 3 ［解析］⑴因为向量合的方向与向量a 相同，向量￡的方向与向量b 相同，且￡，所以向量a 与 |a| |b| |a| |b| 向量b 方向相同，故可排除选项 A , B , D.当a = 2b 时，a =警=b ，故a = 2b 是耳=g 成立的充分条件. |a| |2b| |b| |a| |b| (2)向量是既有大小又有方向的量， a 与|a|a o 的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若 a 与a o 平行，则a 与a o 的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时 a =- |a|a o ，故②③也是假命题.综上 所述，假命题的个数是 3. ［答案］(1)C (2)D _ _［易错提醒」_____________ _____________ 厂7i)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小 ［…(2)大小与方向是向量的两个要素?j 分别是向量的代数特征与几何特征； (3)向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上. 突破点(二)平面向量的线性运算 1. 向量的线性运算： 加法、减法、数乘 2. 平面向量共线定理： 向量b 与a(a ^ o )共线的充 要条件是有且只有一个实数 人使得b = 1 ［答案］(1)D ⑵1 —…_［方法技巧丄—――――_—_ _―_—_ _―_……_ _―_…_ _―_…_ _―_…_ _―_…「 i 1.平面向量的线性运算技巧： ⑴不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解. ⑵含图形的情况：将它们转化到 ］ 三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示岀来求解. 2?利用平面向量的线性运算求参数的一般思路： (1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置. (2)利用平行四 边形法则或三角形法贝U 进行转化丄转化为要求的向量形式._ _ (3) 比较，观察可知所求.__________ 考点二 平面向量共线定理的应用 ［例2Lu 设两个非零向J a 和b 不共鈿 平面向量的线性运算 …uuur …"uLu r 考点一 ~~uuur ----- u uur ［例 1］ (1)在厶 ABC 中，AB = c , AC = b.若点 D 满足 BD = 2 DC 12 5 2 A.3b + 3C B.gC — 3b 2 1 2 1 C.gb — 3c D.gb + 3C uuuu 1 uuur ⑵在△ ABC 中，N 是AC 边上一点且 AN = NC , P 是BN 上一点, 数m 的值是 ______________ . uuur umr ［解析］(1)由题可知BC = AC - uuur + BD = c + 2 1 —c)= 3b + §c,故选 D. uuuu 1 uuur (2)如图，因为AN = 2 NC ，所以 uuur 2 uuuu m AB + 3 AN ?因为B ，P ，N 三点共线, ―uuur ，贝U AD =( ) UULT uuur 2 uuur 若 AP = m AB + 9 AC ，则实 2 uuir 2 uuir uur uuur uuur uuur UULT AB = b — c , '^BD = 2 DC ,「.BD = 3 BC = 3(b — c)，则 AD = AB uuuu 1 uuur AN = 3 AC ，所以 2 所以m +3= 1,则 UULT uuur 2 uuur AP = m AB + 9 AC = 1 m = 3.
向量的加法；向量的减法；向量的数乘. 教学目标 通过经历向量加法的探究，掌握向量加法概念，结合物理学实际理解向量加法的意义。能 熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则， 并能作出已知两向量的和向量。 通 过探究活动，掌握向量减法概念，理解两个向量的减法就是转化为加法来进行，掌握相反 向量。 教学重点 向量的加减法的运算。 〔 _____________ ! 教学难点 教学过程 」、导入 高考对本内容的考查主要以选择题或者是填空题的形式来出题， 一般难度不 大，属于简单题 二、知识讲解 I 考）向量加量加三法形法则 在定义中所给出的求象量和的方法就是向量加法的三角形法则。 运用这一法则时 要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点， 则由第 一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量。 0位移的合成可以看 作向量加法三角形法则的物理模型。 知识点 向量的加减法的几何意义 。 【知识导图】
（2）平行四边形法则 以同一点0为起点的两个已知向量 A.B为邻边作平行四边形，则以0为起点的对角线0C就是a与b 的和。我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。 由于方向反转两次仍法法原来的方向，因此a和-:互为相反向量。 于是-（-a）=a。 我们规定，零向量的相反向量仍是零向量. ____________ __ 一「 4 ■+ , 4 4 任一向量与其相反向量的和是零向量，即 a （-a）二（-a）■ a =0。 TH 4 4 H ^4^4 所以，如果a,b是互为相反的向量，那么a二-b,b二-a,a ? b =0。 考点3实数与向量的积的运算律 设■, ^为实数，那么 ⑴，（七）=（」i）a； （2）（I 丄）a 虫；」a ； （3）（a b）八a ■ b. ■.斗、- ,4 _斗屮.4 特别地，我们有（- ’）a = ，a）二’（-a），，（a-b）二’a-'b。 ■H 屮 4 . 向量共线的等价条件是：如果a（a = 0）与b共线，那么有且只有一个实数?，使 ■I J b —■ a。 二、例题精析 类型一平面向量的坐标表示 例题知边长为1的正方形ABCD 中, AB与x轴正半轴成30°角.求点B和点D的坐标和 uuiv uuv AB与AD的坐标.
2015届高考数学一轮总复习 5-1平面向量的概念与线性运算 基础巩固强化 一、选择题 1．(文)(2014·南通中学月考)设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC → ＋BA → ＝2BP → ，则( ) A.P A →＋PB →＝0 B.PC →＋P A →＝0 C.PB → ＋PC → ＝0 D.P A → ＋PB → ＋PC → ＝0 [答案] B [解析] 如图，根据向量加法的几何意义，BC → ＋BA → ＝2BP → ?P 是AC 的中点，故P A → ＋PC → ＝0. (理)已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD → ＝2DB →，CD → ＝rAB → ＋sAC → ，则r ＋s 的值是( ) A.23 B.43 C ．－3 D ．0 [答案] D [解析] CD → ＝AD → －AC → ，DB → ＝AB → －AD → . ∴CD →＝AB →－DB →－AC →＝AB → －1 2CD →－AC →. ∴3 2 CD →＝AB →－AC → ，
∴CD →＝23AB →－2 3 AC → . 又CD →＝rAB →＋sAC → ，∴r ＝23，s ＝－2 3， ∴r ＋s ＝0. 2．(2012·四川理，7)设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b |b |成立的充分条件是( ) A ．a ＝－b B ．a ∥b C ．a ＝2b D ．a ∥b 且|a |＝|b | [答案] C [解析] 本小题考查共线向量、单位向量、向量的模等基本概念． 因a |a |表示与a 同向的单位向量，b |b |表示与b 同向的单位向量，要使a |a |＝b |b |成立，则必须a 与b 同向共线，所以由a ＝2b 可得出a |a |＝b |b | . [点评] a ＝－b 时，a 与b 方向相反；a ∥b 时，a 与b 方向相同或相反．因此A 、B 、D 都不能推出a |a |＝b |b | . 3．(2013·长春调研)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(x ，－2)，若a ∥b ，则a ＋b 等于( ) A ．(－2，－1) B ．(2,1) C ．(3，－1) D ．(－3,1) [答案] A [解析] 由a ∥b 可得2×(－2)－1×x ＝0，故x ＝－4，所以a ＋b ＝(－2，－1)，故选A. 4．(2013·辽宁五校联考)设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC → 2＝16，|AB → ＋AC → |＝|AB → －AC → |，则|AM → |＝( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 [答案] A [解析] 由|AB → ＋AC →|＝|AB →－AC →|两边平方得AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →＝AB →2＋AC →2－2AB →·AC →，即AB →·AC → ＝0， 所以AB →⊥AC → ，∴AM 为Rt △ABC 斜边BC 上的中线，又由BC →2＝16得|BC →|＝4，所以|AM → |＝2. 5．设OA → ＝e 1，OB → ＝e 2，若e 1与e 2不共线，且点P 在线段AB 上，|AP PB |＝4，如图所示，则 OP → ＝( )
向量的概念与运算 一、知识网络 二、高考考点 1、对于向量的概念，高考的考点主要是两向量平行（即共线）的判定以及两向量共线的基本定理的运用，多以选择题或填空题的形式出现。 2、对于向量的运算，向量的数量积及其运算是向量的核心内容，对此，高考的考点主
要是： （1）向量的加法、减法的几何意义与坐标表示的应用； （2）向量共线的充要条件的应用；（3）向量垂直的充要条件的应用；（4）向量的夹角的计算与应用； （5）向量的模的计算，关于向量的模的等式的变形与转化，关于向量的模的不等式的认知与转化。 3、线段的定比分点线或平移问题。 4、以向量为载体的三角求值或图象变换问题，以向量为载体的函数或解析几何问题（多以解答题的形式出现）。 三、知识要点 （一）向量的概念 1、定义（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量。 （2）向量的模：向量的大小（即长度）叫做向量的模，记作。 特例：长度为0的向量叫做零向量，记作；长度为1的向量叫做单位向量. （3）平行向量（共线向量）： 一般定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量.特殊规定：与任一向量平行（即共线）. （4）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。零向量与零向量相等。认知：向量的平移具有“保值性”。 2、向量的坐标表示 （1）定义：在直角坐标系内，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量、作为基底，任作一个向量 ,则由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y使得，将有序实数对（x,y）叫做向量的坐标，记作；并将叫做向量的坐标表示。 （2）认知：相等的向量，其坐标也相同，反之成立。 （二）向量的运算 1、向量的加法 2、向量的减法 3、实数与向量的积 （1）定义（2）实数与向量的积的运算律： （3）平面向量的基本定理： 如果是同一面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1，2使，这两个不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。 （4）向量共线的充要条件： （i）向量与非零向量共线有且只有一个实数使 （ii）设则： 4、向量的数量积（内积） （1）定义：（i）向量的夹角：已知两个非零向量和，作叫做向量与的夹角。 （ii）设两个非零向量和的夹角为，则把数量叫做与的数量积（内积），记作，即并且规定：零向量与任一向量的数量积为0. （2）推论设、都是非零向量，则（i）（ii）（iii） (3)坐标表示(i)设非零向量，则 (ii)设(4)运算律（自己总结，认知） 四、经典例题 例1．判断下列命题是否正确： （1）若的方向相同或相反；（2）若
平面向量的概念及线性运算知识点： 1．向量的有关概念 2.向量的线性运算
3.向量共线的判定定理 a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线． 选择题： 给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量AB→与BA→相等．则所有正确命题的序号是( ) A．①B．③C．①③D．①② 解析根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB→与BA→互为相反向量，故③错误． →；③OA→＋OB→＋BO→＋CO→；④AB→－AC→＋BD→已知下列各式：①AB→＋BC→＋CA→；②AB→＋MB→＋BO→＋OM －CD→，其中结果为零向量的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4 解析由题知结果为零向量的是①④，故选B. 设a0为单位向量，①若a为平面的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a 与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 解析向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3. 设a0，b0分别是与a，b同向的单位向量，则下列结论中正确的是( ) A．a0＝b0B．a0·b0＝1 C．|a0|＋|b0|＝2 D．|a0＋b0|＝2 解析∵是单位向量，∴|a0|＝1，|b0|＝1 设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( ) A．a与λa的方向相反B．a与λ2a的方向相同C．|－λa|≥|a| D．|－λa|≥|λ|·a 解析对于A，当λ＞0时，a与λa的方向相同，当λ＜0时，a与λa的方向相反，B正确；对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定；对于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小． 设a、b是两个非零向量( ) A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b B．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b| C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λa D．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b| 解析对于A，可得cos〈a，b〉＝－1，∴a⊥b不成立；对于B，满足a⊥b时|a＋b|＝|a|－|b|
平面向量 一、向量的相关概念 1、向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段（向量可以平移）。如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB u u u r 按向量a r ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（3,0） 2、向量的表示方法：用有向线段来表示向量. 起点在前，终点在后。有向线段的长度表示向量的大小，用_____箭头所指的方向____表示向量的方向.用字母a ，b ，…或用AB ，BC ，…表示 （1） 模：向量的长度叫向量的模，记作|a |或|AB |. （2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的； （3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB u u u r 共线的单位向量是|| AB AB ±u u u r u u u r )； （4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性。 （5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0r )；④三点A B C 、、共线? AB AC u u u r u u u r 、共线； （6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是－a 。零向量的相反向量时零向量。 二、向量的线性运算 1.向量的加法： （1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 如图，已知向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB =u u u r a ，BC =u u u r b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a+b ，即 a+b AB BC AC =+=u u u r u u u r u u u r 。AB BC CD DE AE +++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 特殊情况：a b a b a+b b a a+ b (1)平行四边形法则三角形法则 C B D C B A 对于零向量与任一向量a ，有 a 00+=+ a = a （2）法则：____三角形法则_______，_____平行四边形法则______ （3）运算律：____ a +b =b +a ；_______，____（a +b ）+c =a +（b +c ）._______ 当a 、b 不共线时，
《平面向量的线性运算》复习教学设计 高中数学北师大版 西安交通大学第二附属中学 刘正伟
§5.1平面向量的线性运算 【教学目标】 知识与能力；过程与方法；情感、态度、价值观； 1.掌握向量加法，减法的运算，并理解其几何意义； 2.掌握向量数乘向量的运算及其几何意义，理解向量共线的充要条件； 了解向量共线的含义，理解向量共线判定和性质定理。 【教学重点、难点】 重点：理解并掌握向量的线性运算及向量共线的充要条件； 难点：向量的线性运算及向量共线的充要条件的应用。 【教具准备】 多媒体课件 【教学方法】 启发引导式；讲练结合 【教学设计】 （一）．复习导入 问题：前面我们已经复习了的向量的有关概念，知道了向量是既有大小又有方向的量，物理中既有大小又有方向的量？ 学生：速度，加速度，位移，力 力可以合成也可以分解，那么向量怎么运算 那么我们今天一起回顾向量的线性运算——板书课题 （二）知识要点 1.向量的线性运算
a 是一个非零向量，若存在一个实数λ.，使得 b ＝λa ，则向量b 与非零向量a 共线． 3.【知识拓展】 1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终 点的向量，即A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ——→＝A 1A n →，特别地，一个封闭图形，首尾连 接而成的向量和为零向量． 2．若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP →＝12 (OA →＋OB →)． 3.OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，点A ，B ，C 共线 λ＋μ＝1. 题型一 平面向量的线性运算 命题点1 向量的线性运算 例2 (1)在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →等于( )
适用
高中数学
适用年级
高一
学科
适用区域 苏教版区域
课时时长（分钟）
2 课时
知识点 向量的加法；向量的减法；向量的数乘.
教学目标
通过经历向量加法的探究，掌握向量加法概念，结合物理学实际理解向量加法的意义。能 熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，并能作出已知两向量的和向量。通 过探究活动，掌握向量减法概念，理解两个向量的减法就是转化为加法来进行，掌握相反 向量。
教学重点 向量的加减法的运算。
教学难点 向量的加减法的几何意义。
【知识导图】
教学过程
一、导入
高考对本内容的考查主要以选择题或者是填空题的形式来出题，一般难度不 大，属于简单题。
二、知识讲解
（考1）点向1量向加量法加的法三法角则形法则 在定义中所给出的求象量和的方法就是向量加法的三角形法则。运用这一法则时 要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一 个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量。0 位移的合成可以看作 向量加法三角形法则的物理模型。
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（2）平行四边形法则 以同一点 O 为起点的两个已知向量 A.B 为邻边作平行四边形，则以 O 为起点的 对角线 OC 就是 a 与 b 的和。我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平 行四边形法则。
由考于点方2向反向转量两的次减仍法回法到则原来的方向，因此 a 和 a 互为相反向量。 于是 (a) a 。 我们规定，零向量的相反向量仍是零向量. 任一向量与其相反向量的和是零向量，即 a (a) (a) a 0 。 所以，如果 a, b 是互为相反的向量，那么 a= b,b= a, a b 0 。
考点 3 实数与向量的积的运算律 设 ， 为实数，那么 (1) ( a) ()a ； (2) ( )a a a ； (3) (a b) a b . 特别地，我们有 ()a (a) (a) ， (a b) a b 。 向量共线的等价条件是：如果 a(a 0) 与 b 共线，那么有且只有一个实数 ，使 b a。
三 、例题精析 类型一 平面向量的坐标表示
例题 1
已知边长为 1 的正方形 ABCD 中，AB 与 x 轴正半轴成 30°角．求点 B 和点 D 的坐标和 AB 与 AD 的坐标．
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金题精讲 题一：判断下列命题的真假：[来源学_科_网Z_X_X_K] (1)若非零向量,AB CD 是共线向量，则四点D C B A ,,,共线； (2)若//,//,a b b c 则//a c ； (3)起点不同，但方向相同且长度相等的几条有向线段表示的向量是相等的向量； (4)不相等的向量，则一定不平行； (5)与非零向量a 共线的单位向量是 || a a ． 题二：已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0→，那么（ ） A ．AO → = OD → B ．AO → = 2OD → C ．AO → = 3O D → D ．2AO →＝OD → 题三：已知P 、A 、B 、C 是平面内四个不同的点，且PA →＋PB →＋PC →＝AC →，则（ ） A ．A 、B 、C 三点共线 B ．A 、B 、P 三点共线 C ．A 、C 、P 三点共线 D ．B 、C 、P 三点共线 题四：已知OA →＝a ，OB →＝b ，C 为线段AO 上距A 较近的一个三等分点，D 为线段C B 上距C 较近 的一个三等分点，则用a 、b 表示OD →的表达式为__________________． 题五：设平面内有四边形ABCD 和点O ，若OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，且a ＋c ＝b ＋ d ，则四边形ABCD 为（ ） A ．菱形 B ．梯形 C ．矩形 D ．平行四边形
金题精讲 题一：(1)假命题；(2) 假命题；(3)真命题；(4) 假命题；(5) 假命题． 题二：A ． 题三：B ． 题四：OD → = 49a ＋13b ． 题五：D ．
高中数学必修4《平面向量线性运算》教案 High school mathematics compulsory 4 "plane vector linear op eration" teaching plan
高中数学必修4《平面向量线性运算》教案前言：数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种，在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用，是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。本教案根据数学课程标准的要求和教学对象的特点，将教学诸要素有序安排，确定合适的教学方案的设想和计划、并以启迪发展学生智力为根本目的。便于学习和使用，本文档下载后内容可按需编辑修改及打印。 教学准备 教学目标 1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义; 2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力; 3、通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法; 教学重难点 教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量. 教学难点：理解向量加法的定义.
教学工具 投影仪 教学过程 一、设置情景： 1、复习：向量的定义以及有关概念 强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置 从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行. 三、应用举例： 例二（P94—95）略 练习：P95 四、小结 1、向量加法的几何意义; 2、交换律和结合律;
§6.1 向量的概念与线性运算 ● 课前热身 1．下列命题正确的是（ ） A ．若=，则∥ B ．若a ∥b ∥c ，则∥c C =a =b D ．若b a ≠，则b a b a <>或 2．ABC ?中， AB 边上的高为CD ，若=，=，0=? 1= 2=，则= A ． b a 3131- B ．b a 3 2 32- C ． b a 5353- D ．b a 5 4 54- 3．平面向量a ，b 共线的充要条件是（ ） A ．a ，b 方向相同 B ．a ，b 两向量中至少有一个为零向量 C ．R λ?∈，a b λ= D ．存在不全为零的实数1λ，2λ，021=+b a λλ 4．在平行四边形 ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若μλ+=，其中R ∈μλ,，则 =+μλ ． 5．如图，正六边形ABCDEF 中，有下列四个命题： ① 2=+； ②22+=； ③?=?；④)()(?=?． 其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）． ● 知识梳理 1.平面向量的有关概念 （1）向量的定义: 既有大小．．又有方向．．的量叫做向量. （2）向量的表示方法 几何表示：用有向线段表示. 字母表示：用字母 ,等表示；用有向线段的起点与终点字母，如：. 注意：解题时，向量中的箭头不可省． （3）向量的长度：向量 的大小就是向量的长度（或称为模） ，记作||． 向量模的计算方法：||a = 零向量、单位向量概念： 零向量： =?= ；单位向量= e 为单位向量1=?e . （4）平行向量定义 ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量； ②规定0与任一向量平行. （5）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，记作a =b . ①零向量与零向量相等； ②任意两个相等的非零向量，都可以用一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关. （6）共线向量与平行向量关系 ①平行向量可以在同一直线上；②共线向量可以相互平行；③平行向量．．．．就是共线向量．．．．．． . 2.平面向量的线性运算 （1）向量的加法 ①向量加法的三角形法则 ②向量加法的平行四边形法则 =+（两个．． 向量“首尾．．．．．”．相接．． ） A B C A B D E C F
平面向量的线性运算教案
海伊教育学科教师辅导讲义 学员编号：年级：九年级课时数： 学员姓名：张鸿敬辅导科目：数学学科教师：高老师 课 题 平面向量的线性运算 授课时间：2013 年10月18日备课时间：2013 年10月16日 教学目 标1.通过经历向量加法的探究，掌握向量加法概念，结合物理学实际理解向量加法的意义。能熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，并能作出已知两向量的和向量。 2.在应用活动中，理解向量加法满足交换律和结合律及表述两个运算律的几何意义。掌握有特殊位置关系的两个向量的和，比如共线向量、共起点向量、共终点向量等。 3.通过本节内容的学习，认识事物之间的相互转化，培养数学应用意识，体会数学在生活中的作用。培养类比、迁移、分类、归纳等能力。 4.通过探究活动，掌握向量减法概念，理解两个向量的减法就是转化为加法来进行，掌握相反向量。 5.学会分析问题和创造地解决问题。能熟练地掌握用三角形法则和平行四边形法则作出两向量的差向量。 6.通过经历探究数乘运算法则及几何意义的过程，掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义，掌握实数与向量的积的运算律。 重点、难 点1.向量加法的运算及其几何意义。 2.对向量加法法则定义的理解。 3.向量的减法运算及其几何意义。 4.对向量减法定义的理解。 5.实数与向量积的意义。 6.实数与向量积的运算律。 7.两个向量共线的等价条件及其运用。 8.对向量共线的等价条件的理解运用。
授课方 法 联想质疑——交流研讨——归纳总结— —实践提高 教学过程 一、情景设置（知识导入） 二、探索研究 【知识点总结与归纳】 一、求若干个向量的和的模(或最值)的问题通常按下列步骤进行： (1)寻找或构造平行四边形，找出所求向量的关系式； (2)用已知长度的向量表示待求向量的模，有时还要利用模的重要性质。 二、1. 向量的加法定义 向量加法的定义：如图3，已知非零向量A.b，在平面内任取一点A，作AB=a，BC=b，则向量AC叫做a与b的和，记作a+b，即a+b=AB+BC=AC。 求两个向量和的运算，叫做向量的加法。 2. 向量加法的法则： （1）向量加法的三角形法则 在定义中所给出的求象量和的方法就是向量加法的三角形法则。运用这一法则时要特