三角函数的图像与性质题型归纳总结
题型归纳及思路提示
题型1 函数解析式确定函数性质
【思路提示】一般所给函数为y ＝A sin(ω x ＋φ)或y ＝A cos(ω x ＋φ)，A>0,ω>0,要根据 y ＝sin x ，y ＝cos x 的整体性质求解。 一、函数的奇偶性
例1 f (x )＝sin ()x ϕ+〔0≤ϕ<π〕是R 上的偶函数，那么ϕ等于〔 〕
A.0 B ．
4π C ．2
π
D ．π 【评注】由sin y x =是奇函数，cos y x =是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：sin()();
y A x k k Z ϕϕπ=+=∈(1)若是奇函数，则
sin()+
();
2
y A x k k Z π
ϕϕπ=+=∈(2)若是偶函数，则
cos()();
2
y A x k k Z π
ϕϕπ=+=+
∈(3)若是奇函数，则 cos()();
y A x k k Z ϕϕπ=+=∈(4)若是偶函数，则
tan()().2k y A x k Z π
ϕϕ=+=
∈(5)若是奇函数，则
.()sin ||a R f x x a a ∈=-变式1已知，函数为奇函数，则等于（ ）
A.0 B ．1 C ．1- D ．1
±
2.0()cos()()R f x x x R ϕϕϕ∈==+∈变式设，则“”是“为偶函数”的（ ）
A 充分不必要条件
B ．必要不充分条
C ．充要条件
D ．无关条件
3.()sin()0()f x x f x ωϕω=+>变式设，其中，则是偶函数的充要条件是（ ）
A.(0)1f = B ．(0)0f = C ．'(0)1f = D ．'(0)0
f =
2.()sin(2)()()2f x x x R f x π
=-∈例设，则是( )
A.π最小正周期为的奇函数 B ．π最小正周期为的偶函数 C ．2π
最小正周期为
的奇函数 D ．2π
最小正周期为的偶函数
2()sin 1()()f x x x R f x =-∈变式1.若，则是( )
A.π最小正周期为的奇函数 B ．π最小正周期为的偶函数 C ．π最小正周期为2的奇函数 D ．π最小正周期为2的偶函数
2.(0,)2π
π变式下列函数中，既在递增，又是以为周期的偶函数的是( )
A.cos 2y x = B ．|sin 2|y x = C ．|cos 2|y x = D ．|sin |
y x =
二、函数的周期性
3.sin(2)cos(2)66y x x ππ
=++例函数的最小正周期为( )
A.
2π B ．4π
C ．2π
D ．π
【评注】关于三角函数周期的几个重要结论：
sin()b,cos()b,tan()b
22,,.||||||
y A x y A x y A x ωϕωϕωϕπππ
ωωω=++=++=++(1)函数的周期分别为
|sin()|,|cos()|,|tan()|.||y A x y A x y A x πωϕωϕωϕω=+=+=+(2)函数的周期均为
2|sin()b |(b 0),|cos()b |(b 0).||y A x y A x π
ωϕωϕω=++≠=++≠(3)函数的周期均为
1.sin(2)cos(2)63y x x ππ
=+++变式函数的最小正周期和最大值分别为( )
A.,1π B
．π C ．2,1π D
．2π()sin (sin cos ),()f x x x x f x =-变式2.若则的最小正周期是________.
()sin 3|sin 3|()f x x x f x =+变式3.若则是( )
A.3
π
最小正周期为
的周期函数 B ．23
π
最小正周期为
的周期函数 C ．π最小正周期为2的周期函数 D ．非周期函数
三、函数的单调性
.sin(2)([0,])6y x x π
π=-∈例4函数的递增区间是( )
A.[0,]3π B ．7[,]1212ππ C ．5[,]36ππ
D ．5[,]6ππ
【评注】求三角函数的单调区间：
sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>若函数则
22()2
2
322()22
(3)sin()0,0sin()
sin()(4)cos()tan()k x k k Z k x k k Z y A x A y A x y A x y A x y A x π
π
πωϕπππ
πωϕπωϕωωϕωϕωϕωϕ-
≤+≤+
∈+≤+≤+∈=+><=---=--=+=+(1)函数的递增区间由决定；
(2)函数的递减区间由决定；
若函数中，可将函数变为则的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间；
对于函数和单调性的讨论同上。
31.sin ()[()44y x f x f x ππ
=+-
变式函数在,]内单调递增，则可以是( )
A.1 B ．cos x C ．sin x D ．cos x -
()sin()(0)(42f x x ππ
ωωπω=+>变式2.若在,)上单调递增，则的取值范围是（ ）
A.15[,]24 B ．13[,]24 C ．1
(0,]2 D ．(0,2]
3.()cos()cos()(0)
33
(1)()(2)(),[0,]()22
f x x x x f x f x x f x ππ
ωωωωππ
=+++->∈变式已知函数求的值域；若的最小正周期为，的单调递减区间.
四、函数的对称性〔对称轴、对称中心〕
.sin(2)3y x π
=+例5函数图象的对称轴方程可能是( )
A.6x π=- B ．12x π=- C ．6x π= D ．12x π
=
【评注】关于三角函数对称性的几个重要结论：
sin (),(,0)();
2
cos (),(,0)();
2
tan (
,0)();2
2
sin()(),=
();
2
:y x x k k Z k k Z y x x k k Z k k Z k y x k Z k y A x b x k k Z x k Z x k π
πππ
πππ
π
πϕ
π
ωϕωϕπω
ωϕπ==+∈∈==∈+∈=∈+
-=+++=+∈∈+=(1)函数的对称轴为对称中心(2)函数的对称轴为对称中心(3)函数无对称轴，对称中心(4)函数的对称轴的求法：令得对称中心的求法令()=
(),(,)()cos()(),=();
22:()=(),(,)()
2k k k Z x k Z b k Z k y A x b x k k Z x k Z k k x k k Z x k Z b k Z πϕ
πϕ
ω
ω
πϕ
ωϕωϕπω
πππϕπϕπωϕπωω
--∈∈∈-=+++=∈∈+-+-+=+∈∈∈得对称中心为；
(5)函数的对称轴的求法：令得对称中心的求法令得对称中心为
1.sin()(0)()3y x f x π
ωωπ=+>变式已知函数的最小正周期为，则的图象( )
A.(,0)3π关于点对称 B ．4x π
=关于直线对称
C ．(,0)4π关于点对称
D ．3x π
=关于直线对称
.sin()4y x π
=-变式2函数的图象的一个对称中心是( )
A.(,0)π- B ．3(,0)4π- C ．3(,0)4π D ．(,0)2π 223.()sin cos .
55
x x
f x =+变式函数的图象中，相邻两条对称轴之间的距离是
__________.sin 0x x a a a =>变式4若函数y 的图象向右平移个单位（）后的图象关于y 轴对称，则的最小值是( )
A.
76
π B ．2π C ．6π D ．
3π
五、三角函数性质的综合
【思路提示】三角函数的性质〔奇偶性、周期性、单调性、对称性〕中，对称性尤为重要；
121()()()()(2)22
4
(3)()()sin(),00()[,]f x y f x f x f x T T T
f x f x A x A f x ωωθθ⇒⇒⇒=>>（）对称性奇偶性：若函数的图象关于轴对称，则是偶函数；若函数的图象关于原点对称，则是奇函数；
对称性周期性：相邻两条对称轴之间的距离为；相邻两个对称中心的距离为；
相邻的对称中心与对称轴之间的距离为；
对称性单调性：在相邻的对称轴之间，函数单调；
特殊的，若，函数在上单调12120[,]{||,}4
T
max θθθθθθ∈=≥，且设，则
。6.()sin 2cos 2,0,()(),6117(1)()0;(2)()();(3)()12105
2()[,]()63
(5)(,)().
f x a x b x ab f x f x R f f f f x f x k k k Z a b f x π
πππππ
ππ=+≠≤∈=<++∈例设若对任成立则
不具奇偶性；
(4)的单调递增区间是；
存在经过点的直线与函数的图象不相交.以上结论中正确的是__________________
7.()4cos()sin cos(2)(0)
6
3(1)()(2)()[,].22
f x x x x f x f x π
ωωωπωππ
ω=--+>-例已知函数求的值域；若在区间为增函数，求的最大值
21.()2sin (0),()[,].
43
f x x f x ππ
ωωω=>-
变式已知函数若在上递增，求的取值范围
8.()sin()(0),()()(,)=______.
36363
f x x f f πππππ
ωωω=+>=例若且在上有最小值无最大值，则
题型2 根据条件确定解析式
方向一：“知图求式〞，即三角函数的局部图象，求函数解析式。 【思路提示】
由图象求得y ＝A sin(ω x ＋φ) (A >0，ω>0)的解析式一般不唯一，只有限定φ的取值范围，才
能得到唯一解。依据五点法原理，点的序号与式子的关系是：第一点〔即图象上升时与横轴的交点〕为0x ωϕ+=，第二点〔即图象最高点〕为2
x π
ωϕ+=
，第三点〔即图象下降时
与横轴的交点〕为x ωϕπ+=，第四点〔即图象最低点〕为32
x π
ωϕ+=，第五点〔即图象上升时与横轴的交点〕为2.x ωϕπ+=。
.()sin(2)(,)(0)f x A x A R f ϕϕ=+∈=例9函数部分图象如下图所示，则（ ）
A.1
2-
B ．1-
C ．32-
D ．3
1.()sin()(0,0)(0)________.
f x A x A f ωϕω=+>>=变式函数部分图象如下图所示，则
2
.()cos()()(0)________.
23f x A x f f πωϕ=+=-=变式2部分图象如下图所示，,则
.()sin()(0,0,||)()f x A x A f x ωϕωϕπ=+>><例10已知函数部分图象如下图所示，求的解析式。
变式1.)(cos )(2
ϕω+=x x f 〔ω，ϕ为常数〕，如果存在正整数ω和实数ϕ使得函数()
f x 的图象如下图〔图象经过点〔1,0〕〕，求ω的值.
方向二：知性质〔如奇偶性、单调性、对称性、最值〕求函数解析式。
11
2
y
O
x
3.()sin()(0,0)R 4
]()2
f x x f x π
ωϕωϕππ
=+>≤<例11已知函数为上的偶函数，点(,0)是其一对称中心，且函数在[0,上单调，求函数的解析式。
.()4sin()(0,0)23
()f x x f x π
π
ωϕωϕ=+><<变式1已知函数图象的相邻两条对称轴的距离为，且经过点(0,2)，求函数的解析式。
题型3：函数的值域〔最值〕
【思路提示】求三角函数的最值，通常要利用正、余弦函数的有界性，一般是通过三角变换化归为以下根本类型处理：
22222(1)sin ,sin [1,1];
(2)sin cos ),tan ;
(3)sin sin ,sin [1,1];cos sin (),sin [1,1];cos 2sin 2(),sin y a x b at b x t b
y a x b x c x c a
y a x b x c at bt c x t y a x b x c at bt a c x t y a x b x c at bt a c x ϕϕ=+=+=∈-=++=++==++=++=∈-=++=-+++=∈-=++=-+++
=22
[1,1];
1
(4)cos sin (sin cos )(),sin cos [21cos sin (sin cos )(),sin cos [2
sin sin (5)csin ccos t t y a x x b x x c a bt a c x x t t y a x x b x x c a bt a c x x t a x b a x b y y x d x d
∈--=+++=++++=∈-=+-+=+++-=∈++==++与根据正、余弦函数的有界性，既可用分析法求最值，也可
用不等sin cos x x 式法求最值，更可用数形结合法求最值，但都必须要注意、的范围。
12.()sin cos 11
.1 (122)
f x x x A B C D =--例函数的最小值是( )
.()sin cos()3
.[2,2].[.[1,1].[f x x x A B C D π
=-+--变式1函数的值域为（ ）
2.()sin cos []42
13.1 (122)
f x x x x A B C D ππ
=-+变式2函数在区间,上的最大值为（ ）
.()4sin()3sin()36
3.7.5.42
f x x x A B C D ππ
=++-例13函数的最大值为（ ）
22.()cos()2cos 32
x
f x x π=+
+变式1求函数的值域.
.()cos(2)2sin()sin()([,])344122
f x x x x x πππππ
=-++-∈-变式2求函数的值域.
2.()2cos 2sin 4cos f x x x x =+-例14求函数的最值.
2.()cos sin (||4
f x x x x π
=+≤
变式1求函数)的最小值.
253.()sin cos (0822
f x x a x a x π
=++-≤≤变式2求函数)的最大值.
2.sin cos 0x x a a ++=变式3若有实数解，试确定的取值范围.
2.cos sin 0(0,25
5.(,]
.(1,1].[1,1]
.(1,]
4
4
x x x a a A B C D π
-+=-∞----变式4若关于的方程在]上有解，则的取值范围是（ ）
2.cos sin 0(0,
2
x x x a a π
-+≥变式5若关于的不等式在]上恒成立，求的取值范围.
sin 1
.()(0)sin ....x f x x x
A B C D π+=
<<例15对于函数，下列结论中正确的是( )有最大值无最小值有最小值无最大值有最大值和最小值
无最值
.y =
变式1求函数.
3.tan 2tan 4
2
x y x x π
π
<<
=变式2若
，求函数的最大值.
题型4：三角函数图象变换 【思路提示】
sin sin()(,0)y x y A x b A ωϕω==++>由函数的图象变换为函数的图象.
途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)
1
sin sin()sin()sin()sin()x y A b y x y x y x y A x y A x b ϕω
ϕωϕωϕωϕ=−−−−−−→=+−−−−−→=+−−−−−→
=+−−−−−−→=++变为原来的
向左平移个单位
变为原来的倍
向上平移个单位；
途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。
1
sin sin sin()sin()sin().
x y A b y x x y x y A x y A x b b ϕ
ωω
ωωϕωϕωϕωϕ=−−−−−→−−−−−−→=+−−−−−→=+−−−−−−→=++变为原来的
向左平移个单位
变为原来的倍向上平移个单位平移口诀：左加右减，上加下减（不要管、、的正负,注意先弄清楚由谁平移到谁）。
例16.把函数y ＝cos2x ＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是〔 〕
.y cos(2y sin 23
55..121255..66
2.()sin(),()cos(),()22
.().()y .()2
.x x A B C D f x x g x x f x A g x B g x C g x D g π
π
π
π
π
ππ
π
=+==+=-变式1为得到函数)的图象，只需将函数的图象（ ）
向左平移
个单位向右平移
个单位向左平移个单位
向右平移个单位
变式已知则的图象（ ）
与的图象相同与的图象关于轴对称是由的图象向左平移个单位得到的是由()2
x π
的图象向右平移
个单位得到的
2111
.()sin 2sin cos cos sin()(0),(,).
22262
(1);
1
(2)()()2()[0,]4
f x x x f x y
g x g x ππϕϕϕϕπϕπ
=+-+<<=例17函数求的值将的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，
求函数在上的最大值和最小值.
变式1.向量()()=sin ,1,=3cos ,
cos 2>02A m x n A x x A ⎛⎫
⎪⎭
，函数()=f x m n 的最大值为6，〔1〕求A 〔2〕将函数()=y f x 的图像向左平移12
π
个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()=y g x 的图像，求()g x 在50,24π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的值域.
1 ●高考明方向 1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象， 了解三角函数的周期性． 2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、 最大值和最小值，图象与x 轴的交点等)，理解正切函数 在区间? ?? ?? －π2，π2内的单调性． ★备考知考情 三角函数的周期性、单调性、最值等是高考的热点，题型既有选择题、填空题、又有解答题，难度属中低档，如2014课标全国Ⅱ14、北京14等；常与三角恒等变换交汇命题，在考查三角函数性质的同时，又考查三角恒等变换的方法与技巧，注重考查函数方程、转化化归等思想方法. 《名师一号》P55
2 二、例题分析： （一）三角函数的定义域和值域 例1．（1）《名师一号》P56 对点自测3 函数y ＝lg(sin x )＋ cos x －1 2 的定义域为____________ 解析 要使函数有意义必须有? ??? ? sin x >0，cos x －1 2≥0， 即????? sin x >0，cos x ≥12，解得???? ? 2k π 3 解:(1)要使函数有意义，必须有sin x －cos x ≥0，即sin x ≥cos x ，同一坐标系中作出y ＝sin x ，y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象如图所示． 结合图象及正、余弦函数的周期是2π知， 函数的定义域为?????? ????x ??? 2k π＋π4≤x ≤2k π＋54π，k ∈Z . 注意：《名师一号》P56 高频考点 例1 规律方法 (1)求三角函数的定义域实质就是解三角不等式（组）． 一般可用三角函数的图象或三角函数线确定 三角不等式的解． 例2．（1）《名师一号》P56 对点自测4 函数y ＝2sin ? ?? ?? πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之 和为( ) A ．2－ 3 B ．0 C ．－1 D ．－1－ 3 三角函数概念和性质复习 1.终边相同的角: 与角α终边相同角的集合为 （1）试写出与角16800 终边相同的最小正角和最大负角. （2）已知α与0 240角的终边相同，则 2 α 为第 象限角. （3）第二象限角的集合为________________________________________ （4）如果角α为第三象限角，则 2 α 为第________________象限角 2.弧度制 （1）0 180rad π= ，0 1180 rad π = ，180 1rad π = （2）弧长公式：l = ，扇形面积公式：s = （1）扇形的圆心角为1200 ，半径为6cm ，扇形的弧长是 cm. （2）若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm ，则这个圆心角所在的扇形面积为 2cm ． 3.任意角的三角函数定义 角α终边上任意一点P 的坐标(,)x y ，它与原点的距离是(0)r r = . 规定：sin α= ；cos α= ；tan α= (0)x ≠. （1）①已知角α的终边经过点(5,12)-，则sin cos αα-= ． ②已知角α的终边过点(,6)P x --，且5 cos 13 α=- ，则x = . ③已知角α的终边在直线y =上，则sin α= ；tan α= . （2）特殊角的三角函数： （1）已知0tan cos 三角函数的图像与性质（正弦、余弦、正切） 【知识点1】函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象性质 题型1：定义域 例1：求下列函数的定义域 (1)x x y cos 2cos 1+=； (2)x y 2sin = 2 lg(4)x - 题型2：值域 例2：求下列函数值域 (1))3π2,6π(,sin 2-∈=x x y (2)y=2sin(2x-3π),x 5,46ππ?? ∈???? (3) )3π,2π(),3π2cos(2-∈+=x x y (4)函数1)6 π 21cos(2++-=x y 的最大值以及此时x 的取值集合 题型3：周期 例3：求下列函数的周期： （1）f(x)=2sin2x (2)y=cos(123x π-) (3)y=tan(2x 4 π -) （4）y=sin x 例4： 若函数()2sin(2)3 f x kx π =+ 的最小正周期T 满足12T <<,则自然数k 的值为______. 例5：若)10(sin 2)(<<=??x x f 在区间[0, ]3 π 上的最大值是2，则?=________. 例6：使x y ωsin =（ω＞0）在区间[0，1]至少出现2次最大值，则ω的最小值为【 】 A ．π2 5 B ．π4 5 C ．π D ．π 2 3 例7：设函数f(x)=2sin( 2 5 x π π + ),若对于任意的x R ∈,都有f(1x )2()()f x f x ≤≤成立，则12x x -的最小值是 A.4 B.2 C.1 D.12 题型4：奇偶性 例8：函数y ＝sin （x ＋ 2 π）（x ∈［－ 2 π ， 2 π］）是【 】 A.增函数 B.减函数 C.偶函数 D.奇函数 例9：判断下列函数的奇偶性 (1)y=xsin(x π+) (2)y= cos 1sin x x + 例10：已知函数f(x)=x 3cosx+1,若f(a)=11,则f(-a)=________ 题型5：单调性 例11：函数y =2 1log sin(2x + 4 π )的单调递减区间是【 】 A.（k π－4π,k π］(k ∈Z ) B.（k π－8π,k π+8π ］(k ∈Z ) C.（k π－83π,k π+8π］(k ∈ D.（k π+8 π ,k π+83π］(k ∈Z ) 例12：.求1cos() 34 1 2 log x y π +=的单调区间 例13：求下列函数的单调增区间(1))3 π2 1cos(-=x y ; (2) ]0,π[),6 π2sin(2-∈+=x x y ； (3))23π sin(2x y -= 例14：（1）求函数y=2sin(2x-3 π )的单调递减区间。 （2）求函数y=[]1sin(2),0,26x x ππ+∈的递增区间。 三角函数的图像和性质 1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）： 正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) (2π,1) (π,0) (2 3π ,-1) (2π,0) 余弦函数y=cosx x ∈[0,2π]的图像中，五个关键点是：(0,1) (2π,0) (π,-1) (2 3π,0) (2π,1) 2 sin y x = cos y x = tan y x = 图 象 定义域 R R ,2x x k k ππ??≠+∈Z ???? 值域 []1,1- []1,1- R 最 值 当 22 x k π π=+ 时， max 1y =；当22x k ππ=- 时，min 1y =-． 当2x k π=时， max 1y =；当2x k ππ=+ 时，min 1y =-． 既无最大值也无最小值 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单 调 性 在2,22 2k k π πππ?? - + ??? ? 上是增函数； 在32,22 2k k ππππ? ?++??? ? 上是减函数． 在[]2,2k k πππ-上是增函 数； 在[]2,2k k πππ+上是减函数． 在,2 2k k π πππ? ? - + ?? ? 上是增函数． 对称 性 对称中心(),0k π 对称轴2 x k π π=+ 对称中心,02k π π??+ ?? ? 对称轴x k π= 对称中心,02k π?? ??? 无对称轴 函 数 性 质 例作下列函数的简图 (1)y=|sinx|，x ∈[0，2π]， (2)y=-cosx ，x ∈[0，2π] 例利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x 的集合： 21sin )1(≥ x 21 cos )2(≤ x 3、周期函数定义：对于函数()y f x =，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有：()()f x T f x +=，那么函数()y f x =就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。 注意： 周期T 往往是多值的（如sin y x = 2π,4π,…,-2π,-4π,…都是周期）周期T 中最小的正数叫做 ()y f x =的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）sin y x =, cos y x =的最小正周期为2π （一 般称为周期） 正弦函数、余弦函数：ωπ= 2T 。正切函数：π ω 例求下列三角函数的周期： 1? y=sin(x+3 π ) 2? y=cos2x 3? y=3sin(2x +5π) 4? y=tan3x 例求下列函数的定义域和值域： （1）2sin y x =- （2）y =（3）lgcos y x = 三角函数的图象与性质 1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 2．三角函数的单调区间： x y sin =的递增区间是????? ? +-2222ππππk k ，)(Z k ∈， 递减区间是?? ? ?? ?+ + 2322 2πππ πk k ，)(Z k ∈； x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈， 递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈， x y tan =的递增区间是??? ? ? +-22ππππk k ，)(Z k ∈， 3．函数B x A y ++=)sin(?ω），（其中00>>ωA 最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ω π 2=T ，频率是π ω 2= f ，相位是?ω+x ，初相是?；其图象的对称轴是直线)(2 Z k k x ∈+=+π π?ω，凡是该图象与直线B y =的 交点都是该图象的对称中心。 4．由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋?)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。 利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。 途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换) 先将y ＝sin x 的图象向左(?＞0)或向右(?＜0＝平移｜?｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的 ω 1 倍(ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋?)的图象。 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。 先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω 1 倍(ω＞0)，再沿x 轴向左(?＞0) 或向右(?＜0＝平移 ω ?| |个单位，便得y ＝sin(ωx ＋?)的图象。 5．由y ＝A sin(ωx ＋?)的图象求其函数式： 给出图象确定解析式y =A sin （ωx +?）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－ω ? ，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准．． 第一个零点的位置。 6．对称轴与对称中心： sin y x =的对称轴为2 x k ππ=+，对称中心为(,0) k k Z π∈； cos y x =的对称轴为x k π=，对称中心为2(,0) k ππ+； 对于sin()y A x ωφ=+和cos()y A x ωφ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最 值点联系。 7．求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A 、ω的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间； 8．求三角函数的周期的常用方法： 经过恒等变形化成“sin()y A x ωφ=+、cos()y A x ωφ=+”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法。 9．五点法作y =A sin （ωx +?）的简图： 五点取法是设x =ωx +?，由x 取0、2π、π、2 π 3、2π来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图。 四．典例解析 题型1：三角函数的图象 例1．函数y ＝－xc os x 的部分图象是（ ） 解析：因为函数y ＝－xc os x 是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除A 、C ，当x ∈（0， 2 π ）时，y ＝－xc os x ＜0。答案为D 。 例2．函数y =x +sin|x |，x ∈［－π，π］的大致图象是（ ） 三角函数的图像和性质 【高频考点解读】 1．画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性． 2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]，正切函数在????－π2，π 2上的性质． 【热点题型】 题型一 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 例1、函数y ＝tan ???? π4－x 的定义域为( ) A.??????x ?? x ≠π4，x ∈R B.? ??? ??x ?? x ≠－π 4，x ∈R C.??????x ?? x ≠k π＋π4，k ∈R ，x ∈R D.? ??? ??x ? ? x ≠k π＋3π 4，k ∈R ，x ∈R 解析：∵x －π4≠k π＋π2，∴π≠k π＋3 4π，k ∈Z. 答案：D 【提分秘籍】 1．正切函数的图象是由直线x ＝k π＋π 2 (k ∈Z)隔开的无穷多支曲线组成，单调增区间是 ????－π2＋k π，π2＋k π，k ∈Z 不能说它在整个定义域内是增函数，如π4<3π4，但是tan π4>tan 3π4 ， 正切函数不存在减区间． 2．求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式，再根据三角函数的单调区间，求出x 所在的区间，应特别注意，考虑问题应在函数的定义域内．注意区分下列两种形式的函数单调性的不同． (1)y ＝sin ????ωx －π4；(2)y ＝sin ??? ?π 4－ωx . 3．三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx ，而偶函数一般可化为y ＝ A cos ωx ＋b 的形式． 4．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π |ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正 周期为π |ω| . 【举一反三】 函数f (x )＝2cos ????x ＋5π 2是( ) A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为2π的偶函数 C ．最小正周期为2π的非奇非偶函数 D ．最小正周期为π的偶函数 解析：因为f (x )＝2cos ????x ＋π 2＝－2sin x 是奇函数，T ＝2π. 答案：A 【热点题型】 题型二 三角函数的定义域 值域 例2、 (1)函数y ＝2sin x －1的定义域为________． (2)已知sin x ＋sin y ＝23，则2 3＋sin y －cos 2x 的取值范围是( ) A.???? 112，73 B.? ???－1，7 3 C.????112，1 D.???? 112，79 三角函数的图像与性质题型归纳总结 题型归纳及思路提示 题型1 函数解析式确定函数性质 【思路提示】一般所给函数为y ＝A sin(ω x ＋φ)或y ＝A cos(ω x ＋φ)，A>0,ω>0,要根据 y ＝sin x ，y ＝cos x 的整体性质求解。 一、函数的奇偶性 例1 f (x )＝sin ()x ϕ+〔0≤ϕ<π〕是R 上的偶函数，那么ϕ等于〔 〕 A.0 B ． 4π C ．2 π D ．π 【评注】由sin y x =是奇函数，cos y x =是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：sin()(); y A x k k Z ϕϕπ=+=∈(1)若是奇函数，则 sin()+ (); 2 y A x k k Z π ϕϕπ=+=∈(2)若是偶函数，则 cos()(); 2 y A x k k Z π ϕϕπ=+=+ ∈(3)若是奇函数，则 cos()(); y A x k k Z ϕϕπ=+=∈(4)若是偶函数，则 tan()().2k y A x k Z π ϕϕ=+= ∈(5)若是奇函数，则 .()sin ||a R f x x a a ∈=-变式1已知，函数为奇函数，则等于（ ） A.0 B ．1 C ．1- D ．1 ± 2.0()cos()()R f x x x R ϕϕϕ∈==+∈变式设，则“”是“为偶函数”的（ ） A 充分不必要条件 B ．必要不充分条 C ．充要条件 D ．无关条件 3.()sin()0()f x x f x ωϕω=+>变式设，其中，则是偶函数的充要条件是（ ） A.(0)1f = B ．(0)0f = C ．'(0)1f = D ．'(0)0 f = 2.()sin(2)()()2f x x x R f x π =-∈例设，则是( ) A.π最小正周期为的奇函数 B ．π最小正周期为的偶函数 C ．2π 最小正周期为 的奇函数 D ．2π 最小正周期为的偶函数 2()sin 1()()f x x x R f x =-∈变式1.若，则是( ) A.π最小正周期为的奇函数 B ．π最小正周期为的偶函数 C ．π最小正周期为2的奇函数 D ．π最小正周期为2的偶函数 1 ●高考明方向 1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象， 了解三角函数的周期性． 2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、 最大值和最小值，图象与x 轴的交点等)，理解正切函数 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫ －π2 ，π2内的单调性． ★备考知考情 三角函数的周期性、单调性、最值等是高考的热点，题型既有选择题、填空题、又有解答题，难度属中低档，如2014课标全国Ⅱ14、北京14等；常与三角恒等变换交汇命题，在考查三角函数性质的同时，又考查三角恒等变换的方法与技巧，注重考查函数方程、转化化归等思想方法. 《名师一号》P55 二、例题分析： （一）三角函数的定义域和值域 例1．（1）《名师一号》P56 对点自测3 函数y ＝lg(sin x )＋ cos x －1 2 的定义域为____________ 解析 要使函数有意义必须有⎩ ⎪⎨⎪ ⎧ sin x >0，cos x －1 2≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ sin x >0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪ ⎧ 2k π 专题七《三角函数》讲义 7.3 三角函数的图像与性质 知识梳理.三角函数的图像与性质 1．正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定 义 域 R R错误!值域[－1,1][－1,1]R 奇偶 性 奇函数偶函数奇函数 单调性在⎣⎡⎦⎤ － π 2＋2kπ， π 2＋2kπ (k∈Z)上是递增函数，在 ⎣ ⎡ ⎦ ⎤ π 2＋2kπ， 3π 2＋2kπ(k∈ Z)上是递减函数 在[2kπ－π，2kπ](k∈ Z)上是递增函数，在 [2kπ，2kπ＋π](k∈Z) 上是递减函数 在⎝⎛⎭⎫ － π 2＋kπ， π 2＋kπ(k∈Z) 上是递增函数 周 期性周期是2kπ(k∈Z且 k≠0)，最小正周期是2π 周期是2kπ(k∈Z且 k≠0)，最小正周期是 2π 周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最 小正周期是π 对称性对称轴是x＝ π 2＋kπ(k∈ Z)，对称中心是(kπ，0)(k ∈Z) 对称轴是x＝kπ(k∈ Z)，对称中心是 ⎝ ⎛ ⎭ ⎫ kπ＋ π 2，0(k∈Z) 对称中心是 ⎝ ⎛ ⎭ ⎫ kπ 2，0(k∈Z) 题型一. 三角函数图像的伸缩变换 1．要得到函数y ＝3sin （2x +π3 ）的图象，只需要将函数y ＝3cos2x 的图象（ ） A ．向右平行移动 π 12 个单位 B ．向左平行移动 π12 个单位 C ．向右平行移动π 6 个单位 D ．向左平行移动π6 个单位 2．（2017•新课标Ⅰ）已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin （2x +2π 3），则下面结论正确的是（ ） A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π 6个 单位长度，得到曲线C 2 B ．把 C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12 个单位长度，得到曲线C 2 C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12 ，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π 6 个单 位长度，得到曲线C 2 D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的1 2，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 π12 个 单位长度，得到曲线C 2 3．（2021春•闵行区校级期中）函数y ＝cos （2x +φ）的图象向右平移π 2个单位长度后与函数 y ＝sin （2x +2π 3）的图象重合，则|φ|的最小值为 ． 4．（2016春•南通期末）将函数f(x)=sin(ωx +φ)，(ω＞0，−π 2＜φ＜π 2)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π 4个单位长度得到y ＝sin x 的图象， 则f(π 6)= ． 5．（2015•湖南）将函数f （x ）＝sin2x 的图象向右平移φ（0＜φ＜π 2 ）个单位后得到函数g （x ）的图象．若对满足|f （x 1）﹣g （x 2）|＝2的x 1、x 2，有|x 1﹣x 2|min =π3，则φ＝（ ） A ． 5π12 B ．π 3 C ．π 4 D ．π 6 三角函数图像与性质专题题型分类集训（含答案） 考点一：根据函数图象求f(x)=Asin(ωx+φ)或f(x)=Asin(ωx+φ)+B解析式 1.函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，若将f（x）图象上所有点的横坐标缩短来原来的倍（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，则g（x）的解析式为（） A．y=sin（4x+）B．y=sin（4x+）C．y=sin（x+）D．y=sin（x+） 2. 已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示，则f（x）的递增区间为（） A．，k∈Z B．，k∈Z C．，k∈Z D．，k∈Z 3. 函数f（x）=cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（） A．（kπ﹣，kπ+），k∈Z B．（2kπ﹣，2kπ+），k∈Z C．（k﹣，k﹣），k∈Z D．（2k﹣，2k+），k∈Z 4. 函数f（x）=sin（ωx+φ）（其中|φ|＜）的图象如图所示，为了得到y=sinωx的图象，只需把y=f （x）的图象上所有点（）个单位长度． A．向右平移B．向右平移C．向左平移D．向左平移 5.函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（） A．B． C．D． 考点二：三角函数的基本性质 ※奇偶性※ 1. 函数y=1﹣2sin2（x﹣）是（） A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数 ※单调性※ 1. 将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为f（x），则函数f（x）的单调递增区间（） A．B． C．D． 2.已知函数f（x）=sin（2x+φ）0＜φ＜）的图象的一个对称中心为（，0），则函数f（x）的单调递减区间是（） A．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）B．[2kπ+，2kπ+]（k∈Z） C．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）D．[kπ+，kπ+]（k∈Z） 三角函数图像与性质 一、图像的伸缩变换 1. ( 2019天津理7)已知函数f(x) Asi n( x )(A 0, 0,| | )是奇函数， 将y f x 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2倍(纵坐标不变)，所得图 像对应的函数为g x 若g x 的最小正周期为2n,且g - ,2，则f 匕 4 8 A. 2 B. 2 C. 2 D.2 2. (2018天津)将函数y sin(2x -)的图象向右平移 后个单位长度，所得函数 C. 在区间［―,—］上单调递增 D.在区间 ［乞,2 ］上单调递减 4 2 2 2 3. (2017新课标I)已知曲线 & : y cosx ， C 2 : y sin(2x )，则下面结 3 论正确的是 A. 把G 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线 向右平移一个单位长度，得到曲线C 2 6 B. 把G 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线 向左平移一个单位长度，得到曲线C 2 12 C. 把G 上各点的横坐标缩短到原来的 丄倍，纵坐标不变，再把得到的曲线 2 向右平移一错误!未找到引用源。个单位长度，得到曲线C 2 6 A . 在区间［3 , 5 ］上单调递 增 3 B. 在区间［一，］上单调递减 4 D.把G上各点的横坐标缩短到原来的错误!未找到引用源。倍，纵坐标不 变，再把得到的曲线向左平移一错误!未找到引用源。个单位长度，得 12 到曲线C 2 4 . （2016全国II ）若将函数y 2sin 2x 的图像向左平 移 最小值为错误!未找到引用源。 的图像 （2014安徽）若将函数f （x ） sin2x cos2x 的图象向右平移 个单位，所得图 A . 8 sin x 的图象向左平移一个单位，得到函数y f x 的 2 —个单位长度，则平移 12 后图象的对称轴为 k A . x (k Z) 2 6 k C. x (k Z) B . x D . x k ~2 k ~2 6 (k Z) 5. （2016北京）将函数y sin （2x -）图像上的点Pq,t ）向左平移s （s 0）个单 位长度得到点P .若P 位于函数y sin 2x 的图像上，则 1 A - t 2，5 的最小值为?错误沫找到引用源。 B. 的最小值为错误!未找到引用源。 1 C t 2， s 的最小值为错误味找到引用源。 D . 6. （2015山东）要得到函数y 4sin(4x —)的图像, 需要将函数 sin 4x 的图像 7. A .向左平移花个单位 C 向左平移-个单位 （2014浙江）为了得到函数 B •向右平移 D.向右平移 sin 3x 个单位 12 个单位 3 cos3x 的图象，可以将函数 y 2 cos3x A. 向右平移矗个单位 B. 向右平移-个单位 C 向左平移必个单位 D. 向左平移-个单位 8. 象关于y 轴对称，则 的最小正值是 9. （2014福建）将函数y 三角函数的图像与性质 模块一、三角函数的图像和性质 要点一、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）： 正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) ( 2π,1) (π,0) (23π ,-1) (2π,0) 余弦函数 y=cosx x ∈[0,2π]的图像中，五个关键点是：(0,1) ( 2π,0) (π,-1) (2 3π ,0) (2π,1) 要点二、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质： sin y x = cos y x = tan y x = 图象 定义域 R R ,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭ 值域 []1,1- []1,1- R 最值 当22 x k π π=+ 时，max 1y =；当 22 x k π π=- 时，min 1y =-． 当2x k π=时， max 1y =；当2x k ππ=+时，min 1y =-． 既无最大值也无最小值 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在2,22 2k k π πππ⎡ ⎤ - + ⎢⎥⎣ ⎦ 上是增函 数； 在32,22 2k k π πππ⎡ ⎤++ ⎢⎥⎣ ⎦ 上是减函数． 在[] 2,2k k πππ-上是增函数； 在[]2,2k k πππ+上是减函 数． 在,2 2k k π πππ⎛ ⎫ - + ⎪⎝ ⎭ 上是增函数． 对称性 对称中心(),0k π 对称轴2 x k π π=+ 对称中心,02k π π⎛⎫+ ⎪⎝ ⎭ 对称轴x k π= 对称中心,02k π⎛⎫ ⎪⎝⎭ 无对称轴 函 数 性 质 模块二、函数sin()y A x ωϕ=+（A≠0，ω≠0）的图像与性质 要点三、几个物理量： A 为振幅；2π ω T =为周期；1 f T = 为频率（周期的倒数）；x ωϕ+为相位；ϕ为初相（x=0时的相位）； 要点四、函数sin()y A x ωϕ=+图象的画法： ①“五点法”――设X x ωϕ=+，令X ＝0，3,, ,22 2 π π ππ求出相应的x 值， 计算得出五点的坐标，描点后得出图象；②图象变换法：这是作函数简图常用方法。 要点五、函数sin()y A x k ωϕ=++的图象与sin y x =图象间的关系： 特别注意，（1）若由()sin y x ω=得到()sin y x ωϕ=+的图象，则向左或向右平移应平移| |ϕ ω 个单位。 （2）已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的图象求解析式：当1x x =时，取得最小值为min y ；当2x x =时，取得最大值为max y ，则①()max min 12y y A = -，()max min 1 2 y y B =+，()21122 x x x x T =-<，②由函数的周期T 求ω，ω＝2π T ， ③利用与“五点法”中相对应的特殊点求φ. 要点六、研究函数sin()y A x ωϕ=+性质的方法： （1）换元法：类比于研究sin y x =的性质，只需将sin()y A x ωϕ=+中的x ωϕ+看成sin y x =中的x ，但在求sin()y A x ωϕ=+的单调区间时，要特别注意A 和ω的符号，通过诱导公式先将ω化正。 （2）复合函数法：同增异减。 作y=sinx （长度为2π的某闭区间） 得y=sin(x+φ) 得y=sin ωx 得y=sin(ωx+φ) 得y=sin(ωx+φ) 得y=Asin(ωx+φ)的图象，先在一个周期闭区间上再扩充到R 上。 沿x 轴平 移|φ|个单位 横坐标 伸长或缩短 横坐标伸 长或缩短沿x 轴平 移| |个单位 纵坐标伸 长或缩短 纵坐标伸 长或缩短 三角函数图像与性质知识点总结和经典题型 1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 2．三角函数的单调区间： x y sin =的递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡ +-2222ππππk k ，)(Z k ∈，递减区间是 ⎥⎦⎤⎢⎣ ⎡ ++23222ππππk k ，)(Z k ∈； x y cos =的递增区间是[]πππk k 22， -)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈， x y tan =的递增区间是⎪⎭⎫ ⎝ ⎛ +-22ππππk k ，)(Z k ∈， 3．函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA 最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ω π 2=T ，频率是π ω 2= f ，相位是ϕω+x ，初相是ϕ；其图象的对称轴是直线)(2 Z k k x ∈+=+π πϕω，凡是该图象与直线B y =的交点 都是该图象的对称中心。 4．由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。 利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不 是“角变化”多少。 途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换) 先将y ＝sin x 的图象向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移｜ϕ｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的 ω 1 倍(ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。 先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω 1 倍(ω＞0)，再沿x 轴向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移 ω ϕ| |个单位，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。 5．由y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的图象求其函数式： 给出图象确定解析式y =A sin （ωx +ϕ）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－ω ϕ，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准．．第一个零点的位置。 6．对称轴与对称中心： sin y x =的对称轴为2x k ππ=+，对称中心为(,0) k k Z π∈； cos y x =的对称轴为x k π=，对称中心为2(,0)k ππ+； 对于sin()y A x ωφ=+和cos()y A x ωφ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。 7．求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A 、ω的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间； 8．求三角函数的周期的常用方法： 经过恒等变形化成“sin()y A x ωφ=+、cos()y A x ωφ=+”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法。 9．五点法作y =A sin （ωx +ϕ）的简图： 五点取法是设x =ωx +ϕ，由x 取0、2π、π、2 π 3、2π来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图。 四．典例解析 题型1：三角函数的图象 例1．（2000全国，5）函数y ＝－xc os x 的部分图象是（ ） 。 题型2：三角函数图象的变换 三角函数的图象和性质及三角恒等变换知识点归纳 及常见题型讲解 教学大纲： 知识要点 （一）三角函数的图象与性质 sin y x = cos y x = tan y x = 图象 定义域 R R ,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭ 值域 []1,1- []1,1- R 最 值 当22 x k π π=+ () k ∈Z 时，max 1y =；当 22 x k π π=- ()k ∈Z 时，min 1y =-． 当()2x k k π=∈Z 时， max 1y =；当2x k ππ=+ ()k ∈Z 时，min 1y =-． 既无最大值也无最小值 周 期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单 调性 在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣ ⎦ 在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是 增 函 数 ； 在 在,22k k ππππ⎛ ⎫-+ ⎪⎝ ⎭ 2、三角函数图像变换 函数sin y x =的图象上所有点向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数 ()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的 1 ω 倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象． 函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1 ω 倍（纵坐标不变），得到函数 sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移 ϕ ω 个单位长度，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象． 3、函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质： ①振幅：A ； ②周期：2π ω T =； ③频率：12f ω π = =T ； ④相位：x ωϕ+； ⑤初相：ϕ． 优秀版 函数图像与性质知识点总结 一、三角函数图象的性质 1．“五点法”描图 (1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,0) ⎝ ⎛⎭ ⎪⎪ ⎫ π2，1 (π，0) ⎝ ⎛⎭ ⎪⎪⎫ 32π，－1 (2π，0) (2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎪ ⎫ 3π2，0，(2π，1) 函数 性质 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x 定义域 R R {x |x ≠k π＋π 2 ，k ∈ Z} 图象 值域 [－1,1] [－1,1] R 对称性 对称轴： x ＝k π＋π2(k ∈Z)； 对称轴： x ＝k π(k ∈Z) 对称中心： 对称中心：⎝ ⎛⎭ ⎪⎪ ⎫k π2，0 (k ∈Z) f ＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期) 4.求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用sin x、cos x的有界性； 关于正、余弦函数的有界性 由于正余弦函数的值域都是[－1,1]，因此对于∀x∈R，恒有－1≤sin x≤1，－1≤cos x≤1，所以1叫做y＝sin x，y＝cos x的上确界，－1叫做y＝sin x，y＝cos x的下确界. (2)形式复杂的函数应化为y＝A sin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；含参数的最值问题，要讨论参数对最 值的影响. (3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题． 利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性，如：y ＝sin 2x －4sin x ＋5，令t ＝sin x (|t |≤1)，则y ＝(t －2)2＋1≥1，解法错误. 5.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成形如y ＝A sin(ωx ＋φ) (ω>0)的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出x 所在的区间.应特别注意，应在函数的定义域内考虑.注意区分下列两题的单调增区间不同;利用换元法求复合函数的单调区间(要注意x 系数的正负号) (1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π4；(2)y ＝sin ⎝ ⎛⎭ ⎪⎪⎫π4－2x . 6、y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑： ①A 的确定：根据图象的最高点和最低点，即A ＝最高点－最低点 2； ②B 的确定：根据图象的最高点和最低点，即B ＝ 最高点＋最低点 2 ； ③ω的确定：结合图象，先求出周期，然后由T ＝2π ω (ω>0)来确定ω； ④φ的确定：把图像上的点的坐标带入解析式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，然后根据 φ的范围确定φ即可，例如由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋K 最开始与x 轴的交点(最靠近原点)的横坐标为－φω(即令ωx ＋φ＝0，x ＝－φ ω )确定φ. 二、三角函数的伸缩变化 先平移后伸缩 sin y x =的图象ϕϕϕ<−−−−−−−→向左(>0)或向右(0) 平移个单位长度 三角函数的图像与性质 一、知识梳理 1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ π2，1，(π， 0)，⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ 3π2，－1，(2π，0). (2)余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ π2，0，(π， －1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫ 3π2，0，(2π，1). 2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z ) π 3.对称与周期 (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是1 4个周期. (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期. (3).对于y ＝tan x 不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间 ⎝ ⎛ ⎭ ⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内为增函数. 二、例题精讲 + 随堂练习 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)余弦函数y ＝cos x 的对称轴是y 轴.( ) (2)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数.( ) (3)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( ) (4)y ＝sin|x |是偶函数.( ) 解析 (1)余弦函数y ＝cos x 的对称轴有无穷多条，y 轴只是其中的一条. (2)正切函数y ＝tan x 在每一个区间⎝ ⎛ ⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上都是增函数，但在定 义域内不是单调函数，故不是增函数. (3)当k >0时，y max ＝k ＋1；当k <0时，y max ＝－k ＋1. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ 2.若函数y ＝2sin 2x －1的最小正周期为T ，最大值为A ，则( ) A.T ＝π，A ＝1 B.T ＝2π，A ＝1 C.T ＝π，A ＝2 D.T ＝2π，A ＝2 解析 最小正周期T ＝2π 2＝π，最大值A ＝2－1＝1.故选A. 答案 A 3.函数y ＝－tan ⎝ ⎛ ⎭⎪⎫2x －3π4的单调递减区间为________. 解析 由－π2＋k π＜2x －3π4＜π 2＋k π(k ∈Z )， 得π8＋k π2＜x ＜5π8＋k π 2(k ∈Z )， 所以y ＝－tan ⎝ ⎛ ⎭ ⎪⎫2x －3π4的单调递减区间为 ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z ). 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫ π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z )三角函数概念图像与性质复习题型总结(最全)
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