2018年北京各区二次函数专题
5.抛物线c
-
=2与x轴交与A(1,0),B(- 3，
+
y+
bx
x
0)两点，
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.
（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值.若没有，请说明理由.
(4)若点M从B点以每秒4/3个单位沿BA方向向A点运动，同时，点N从C点以每秒根号2个单位向沿CB方向A点运动，问t当为何值时，以
B，M，N为顶点的三角形与△OBC相似？
4
3
已知抛物线1
2+
+
=bx
x
y的顶点在x轴上，且与y
轴交于A点. 直线m
kx
y+
=经过A、B两点，点B的坐标为（3，4）.
（1）求抛物线的解析式，并判断点B是否在抛物线上；
（2）如果点B在抛物线上，P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过
P 作x 轴的垂线与这个．．
二次函数的图象交于点E ，设线段PE 的长为h ，点P 的横坐标为x .当x 为何值时，h 取得最大值，求出这时的h 值.
（延一）7. 二次函数2
y x mx n =-++的图象经过点A
（﹣1，4），B （1，0），12
y x b =-+经过 点B ，且与二次函数2
y x mx n =-++交于点D ．过点D 作DC ⊥x 轴，垂足为点C ．
（1）求二次函数的表达式；
（2）点N 是二次函数图象上一点（点N 在BD 上方），过N 作NP ⊥x 轴，垂足为点P ，
交BD 于点M ，求MN 的最大值.
27．
在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()
2
10y ax bx a =++≠过
点()1,0A -，()1,1B ,与y 轴交于点C ． （1）求抛物线()
2
10y ax
bx a =++≠的函数表达式；
（2）若点D 在抛物线()2
10y ax
bx a =++≠的对称轴上，当ACD
△的周长最小时，求点D 的坐标
;
（3）在抛物线()
2
10y ax
bx a =++≠的对称轴上是否存
在点P ,使ACP △成为以AC 为直角边的直角三角形？若存在,求出点P 的坐标；若不存在,请说明理由.
（海一）27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2
21
2
y x x =-+与y 轴交于点A ，顶点为点B ，点C 与点A 关于抛物线的对称轴对称．
（1）求直线BC 的解析式； （2）点D 在抛物线上，且点D 的横坐标为4．将抛物线在点A ，D 之间的部分（包含点A ，D ）记为图象G ，若图象G 向下平移t （0t >）个单位后与直线
BC 只有一个公共点，求t 的取值范围．
x
y O
–5
–4
–3
–2
–11
2
3
4
5
–7
–6–5–4–3–2–1
123
4567
27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线223(0)
=--≠与x轴交于(3,0)
y mx mx m
A，B两点．（1）求抛物线的表达式及点B的坐标；
（2）当23
-<<时的函数图象记为G，求此时函
x
数y的取值范围；
（3）在（2）的条件下，将图象G在x轴上方的部分沿x轴翻折，图象G的其余部分保
持不变，得到一个新图象M．若经过点
y kx b k
=+≠与图象M在第三C的直线(0)
(4,2)
象限内有两个公共点，结合图象求b的
取值范围．
（27．二次函数2
(0)y ax bx c a =++≠的图象与一次函
数1
y x b =+k
的图象交于)10(，A 、B 两点，(1,0)C 为二次函数图象的顶点.
1）求二次函数)0(2
1
≠++=a c bx ax y 的解析式；
（2）定义函数f ：“当自变量x 任取一值时，x
对应的函数值分别为y 1或y 2，若y 1≠y 2，函数f 的函数值等于y 1、y 2中的较小值;若y 1=y 2，函数f 的函数值等于y 1（或y 2）.”当直线2
1
3
-
=kx y
（k >0）与函数f 的
图象只有两个交点时，求k 的值.
（2014·石景山1月期末·24）如图，二次函数
)
0(21≠++=a c bx ax y 的图象与一次函数b
x y
+=2
的图
象交于)10(，A ，B 两点. C ）
（0,1为二次函数图象的顶点.
（1）求二次函数2
(0)y ax bx c a =++≠的表达式； （2）在所给的平面直角坐标系中画出二次函
数2
(0)y ax bx c a =++≠的图象和一次函数1
y x b =+k 的图象；
（3）把（1）中的二次函数2
(0)y ax bx c a =++≠的图
象平移后得到新的二次函数2
2
(0,)y ax bx c m a m =+++≠为常数的图象,.定义新函数f ：“当自变量x 任取一值时，x 对应的函数值分别为1y 或2y ，如果1y ≠2
y ，函数f 的函数值等于1y 、2
y 中的较小值;如果1y =2y ，函数f 的函数值等于1y （或2
y ）.” 当新函数f 的图象与x 轴有三个交点时,直接写出m 的取值范围.
x
23．已知：二次函数2
314
y x mx m =-++（m 为常数）． （1）若这个二次函数的图象与x 轴只有一个公共点A ，且A 点在x 轴的正半轴上． ①求m 的值；
②四边形AOBC 是正方形，且点B 在y 轴的负半轴上，现将这个二次函数的图象平移，使平移后的函数图象恰好经过B ，C 两点，求平移后的图象对应的函数解析式； （2）当0≤x ≤2时，求函数2
314
y x mx m =-++的最小值（用含m 的代数式表示）．
（怀一）27．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y=（a-1）x 2
+2x+1与x 轴有交点，a 为正整数. （1）求a 的值.
（2）将二次函数y=（a-1）x 2
+2x+1的图象向右平移m 个单位，
向下平移m 2
+1个单位，当 -2≤x ≤1时，二次函数有最小值-3，
求实数m 的值.
y
x
1
1
O
27
(朝一) 27．如图，将抛物线M 1: x ax y 42
+=向右平
移3个单位，
再向上平移3个单位，得到抛物线M 2，直线x y =与M 1
的一个交点记为A ，与M 2的一个交点记为B ，点A 的 横坐标是－3.
（1）求a 的值及M 2的表达式； （2）点C 是线段AB 上的一个动点，过点C 作x
轴的 垂线，垂足为D ，在CD 的右侧作正方形CDEF .
①当点C 的横坐标为2时，直线n x y +=恰好
经过
正方形CDEF 的顶点F ，求此时n 的值； ②在点C 的运动过程中，若直线n x y +=与正方形CDEF 始终没有公共点，求n 的 取值范围（直接写出结果）.
O y x
（门一）27．已知：关于x 的一元二次方程－x 2+(m +1)x +(m +2)=0（m ＞0）．
（1）求证：该方程有两个不相等的实数根；
（2）当抛物线y =－x 2+(m +1)x +(m +2)经过点
（3，0），求该抛物线的表达式； （3）在（2）的条件下，记抛物线y =－
x 2+(m +1)x +(m +2)
在第一象限之间的部分为图象G ，如果直线
y =k (x +1)+4与图象G 有公共点，请结合函数
的图象，求直线y =k (x +1)+4与y 轴交点的纵坐标t 的取值范围．
(燕一) 27．抛物线c
bx x
y C ++=2
1
2
1:与y 轴交于点C (0，
3)，其对称轴与x 轴交于点A (2，0)． （1）求抛物线1
C 的解析式；
（2）将抛物线1
C 适当平移，使平移后的抛物
线2
C 的顶点为
D (0，k )．已知点B (2，2)，
若抛物线2
C 与△OAB 的边界总有两个公
共点，请结合函数图象，求k 的取值范围．
11
2A
C
O
x
y
B
（丰一）27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线
22y x mx n
=++经过点A （-1，a ），B （3，
a ），且最低点的纵坐标为-4. （1）求抛物线的表达式及a 的值； （2）设抛物线顶点C 关于y 轴的对
称点为点D ，点P 是抛物线对称
轴上一动点，记抛物线在点A ，
B 之间的部分为图象G （包含A ，B 两点）.如果直线DP 与图象G 恰有两个公共点，结合函数图象，求点P 纵坐标t 的取值范围.
4
44
4
1231233
2
12
1
3
x
O
y
（平一）27．已知抛物线y =ax 2+x +c （a ≠0）经
过A （1 ，0），B （2，0）两点，与y 轴相交于点C ，点D 为该抛物线的顶点．
（1）求该抛物线的解析式及点D 的坐标； （2）点E 是该抛物线上一动点，且位于第一象限，当点E 到直线BC 的距离为22时，求
点E 的坐标；
（3）在（2）的条件下，在x 轴上有一点P ，
且∠EAO +∠EPO =∠α，当tanα=2时，求点P 的坐标．
O
y
x
（东一27．
在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()
2
10y ax
bx a =++≠过点()1,0A -，()1,1B ,与y 轴交于点C ． （1）求抛物线()
2
10y ax
bx a =++≠的函数表达式；
（2）若点D 在抛物线()2
10y ax
bx a =++≠的对称轴上，当ACD
△的周长最小时，求点D 的坐标
;
（3）在抛物线()
2
10y ax
bx a =++≠的对称轴上是否存
在点P ,使ACP △成为以AC 为直角边的直角三角形？若存在,求出点P 的坐标；若不存在,请说明理由.
（房一） 在平面直角坐标系中，抛物线3
2
++=bx ax y 与x 轴的两个交点分别为A （-3，0）, B （1，0），顶点为C .
(1) 求抛物线的表达式和顶点坐标；
(2) 过点C作CH⊥x轴于点H，若点P为x 轴上方的抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），PQ⊥AC于点Q，当△PCQ与△ACH相似时，求点P的坐标.
（石一）27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线223(0)
=--≠与x轴交于(3,0)
y mx mx m
A，B两点．（1）求抛物线的表达式及点B的坐标；
（2）当23
-<<时的函数图象记为G，求此时函
x
数y的取值范围；
（3）在（2）的条件下，将图象G在x轴上方的部分沿x轴翻折，图象G的其余部分保
持不变，得到一个新图象M．若经过点
=+≠与图象M在第三
(4,2)
y kx b k
C的直线(0)
象限内有两个公共点，结合图象求b的
取值范围．
（兴一）27．已知抛物线222
=++-与x轴有两
y x x k
个不同的交点．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为正整数，且该抛物线与x轴的交点都是整数点，求k的值．
（3）如果反比例函数m
=的图象与（2）中的抛
y
x
物线在第一象限内的交点的横坐标为
x，且
满足1<
x<2，请直接写出m的取值范围.
（顺义一）27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物
线2
121
2
y ax
x a =+-+与y 轴交于C 点，与x 轴交于
A ，
B 两点（点A 在点B 左侧），且点A 的横坐标为-1． （1）求a 的值；
（2）设抛物线的顶点P 关于原点的对称点为'P ，求点'P 的坐标；
（3）将抛物线在A ，B 两点之间的部分（包
括A ， B 两点），先向下平移
3个单位，再向左平移m （0m >）个单位，平移后的图象记为图象G ，若图象G 与直线'PP 无交点，求m 的取值范围．
x
y O
2
2
-2
-2