3.4 定积分与微积分基本定理
教学目标
重点是理解定积分的定义及几何意义，理解定积分的性质，了解微积分的基本定理，并且熟练计算一些函数的积分；定积分的概念是运用分割、近似代替、求和、取极限的思想；掌握定积分的计算方法．难点是利用定积分的几何意义解决问题．
能力点：定积分的定义及几何意义以及极限思想，正确进行表述、判断和推理．
教育点：提高学生的认知水平，塑造良好的认知结构．
自主探究点：抓住定义，运用类比、联系和举例的方法加深对有关概念的理解和应用．
高考要求：
1、理解定积分的定义及几何意义，理解定积分的性质，了解微积分的基本定理，并且熟练计算一些函数的积分；
2、体会运用分割、近似代替、求和、取极限的思想过程；
3、掌握定积分的计算方法；
4、利用定积分的几何意义会解决问题．
学法与教具
1、学法：探究归纳，讲练结合
2、教具：多媒体、实物投影仪．
一、【知识结构】
二、【知识梳理】
1．用化归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边递形的面积的具体步骤为、、、.
2.定积分的定义
如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点将区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间上任取一点(1,2,
,)i i n ξ=作和式 。当n →∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函
数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记作 ，即
()b
a
f x dx ?
＝ ，其中()f x 称
为 ，x 称为 ，()f x dx 称为 ，[,]a b 为 ，a 为 ，
b 为 ， “?”称为积分号．
3．
()b
a
f x dx ?
的实质
（1）当()f x 在区间[,]a b 上大于0时，()b
a f x dx ?表示 ； （2）当()f x 在区间[,]a
b 上小于0时，
()b
a
f x dx ?
表示 ；
（3）当()f x 在区间[,]a b 上有正有负时，()b
a
f x dx ?
表示 ；
4．定积分的性质
根据定积分的定义及几何意义，容易得到定积分的如下性质： （1）()b
a kf x dx ?
＝ （k 为常数）；
（2）1
2
[()()]b
a
f x f x dx ±=? ；
（3）
()b
a
f x dx ?
＝ （其中a c b <<）．
5．微积分基本定理
一般地，如果()f x 是闭区间[,]a b 上的连续函数，并且()()F x f x '=，那么
()b
a
f x dx ?
＝
__________________，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿―――莱布尼兹公式，可以把
()()F b F a -记作 ，即()b
a f x dx ?＝ ＝ ．
［特别提醒］ 1．定积分()b
a
f x dx ?
的值只与被积函数()f x 及被积区间[,]a b 有关，而与积分变量所用的符号无关，
即定积分
()b
a
f x dx ?
是一个常数，当被积函数()f x 及被积区间[,]a b 给定后，这个数便是确定的，它除了
不依赖于定义中的对区间[,]a b 的分法和i ξ的取法外，也不依赖于()b
a
f x dx ?
中的积分变量，即()b
a
f x dx
?＝
()b
a
f t dt ?
．
2．由积分符号
()b
a
f x dx ?
可知，积分变量x 的变化范围是a x b ≤≤.
3．定积分的概念与理论是在解决实际问题的过程中，运用数学知识抽象概括后产生和发展起来的，它的几何意义是表示曲边梯形的面积，物理意义来源于汽车行驶的路程．
4．运用定积分的性质可以将较为复杂的求定积分问题转化为简单的求定积分问题，因此，在求定积分时应充分考虑利用定积分的性质化简后再进行求解．
三、【范例导航】 例1.求定积分
2
21
1
d 2x x x
+?
．
解析：
2
21
1d 2x x x
+?
22211111111d ln ln(2)(ln 3ln 2).2222x x x x x ????=-=-+=- ?????+??? 评注：本题由2
21
1d 2x
x x +?
想到被积函数的原函数可能是自然对数的形式，只是需要把212x x +拆成1
x
与
1
2
x +的差．运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数． 变式训练：计算:
2
20
sin 2
x dx π
?
分析：我们要直接求2
sin 2x 的原函数比较困难，但我们可以将2sin 2
x
先变式化为1cos 11
cos 222
x x -=-，再求积分，利用上述公式就较容易求得结果，方法简便易行. 解：
2
2
22222
000001cos 1111sin cos |sin |222222x x dx dx dx xdx x x π
πππππ
-==-=-?
???
1111
0sin sin 04222242
π
ππ=
-?-+=- 评注：较复杂函数的积分，往往难以直接找到原函数，常常需先化简、变式、换元变成基本初等函数的四则运算后，再求定积分.
例2.求定积分
1
20
(1(1))x x dx ---?
的值．
解析：1
2
(1(1))x x dx ---?
表示圆22
(1)1(0)x y y -+=≥的一部分与直线y x
=所围成的图形（如图所示）的面积，因此21
2
0π11π1
(1(1))114242
x x dx ?---=
-??=-?． 评注：本题如果用定积分的定义或微积分基本定理求解都比较麻烦，由
1
20
(1(1))x x dx ---?
联想到
圆2
2
(1)1(0)x y y -+=≥的一部分与直线y x =，再联想到定积分的几何意义，从而简化了运算．这也是数形结合思想的又一体现．运用定积分的几何意义计算定积分，需要具备较强的观察能力、分析能力．
变式训练：求定积分
1
21
(1)x dx --?
的值.
分析：利用定积分的意义是指曲边梯形的面积，只要作出图形就可求出． 解：
1
21
(1)x dx --?表示圆x 2
＋y 2
＝1在第一、二象限的上半圆的面积．
因为2
S π
=半圆，又在x 轴上方．
所以
1
21
(1)x dx --?
＝
2
π
． 例3、求y 2
=x 与直线x-2y-3=0所围图形的面积．
解法一：先求出抛物线与直线的交点P(1,-1)与Q(9,3)，如图把所求面积的平面图形分成S 1，S 2两部分，分别求得它们的面积A 1, A 2 ：
A 1=
1
[
()]x x dx --?=21
xdx ?
=43; A 2=91328
()23
x x dx --=
? 所以A=A 1+A 2=
43+283=102
3
解法二：本题也可把抛物线与直线方程写成x= y 2
=g 1(y), x=2y+3=g 2(y), 应用公式对y 求积分便得： A=
3
211
[()()]g y g y dy --?
=3
21
[(23)]y y dy -+-?=10
2
3
评注：1. 求平面图形的面积的解题步骤：
（1）画出图形；（2）确定图形范围，通过解方程组求出交点横（纵）坐标，定出积分上、下限；（3）确定被积函数，注意分清被积函数的上、下位置；（4）写出平面图形面积的定积分的表达式；（5）运用微积分基本公式计算定积分，求出平面图形的面积．
2．求解时要灵活选择坐标系，积分变量，由图形特点，适当选取积分变量对计算简繁有很大影响，显然上述解法二简洁．
变式训练：求曲线3y x =与直线2y x =所围成的图形的面积． 解：如图，先求出直线与曲线的交点，由方程组32y x y x ?=?=?，
，解得
02x x ==±，．
故交点坐标为(222)(00)(222)--，
，，，，． 因此，积分区间应分为两部分[20][02]-，，，，且由图象的对称性知，图形在两个积分区间上面积相等．
故0
23320(2)(2)S x x dx x x dx -
=-+-?
?2322
42012(2)222
x x dx x x =-=-=?||． 点评：本解法充分利用图形的对称性，减少了运算量.
x
y
o
1
-1
1
例4、（2012年高考湖南理15）函数f （x ）=sin (x ω?+)的导函数()y f x '=的部分图像如图所示，其中，P 为图像与y 轴的交点，A,C 为图像与x 轴的两个交点，B 为图像的最低点.
（1）若6
π
?=
，点P 的坐标为（0，
33
），则ω= ; （2）若在曲线段ABC 与x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC 内的概率为 .
解析：（1）()y f x '=cos()x ωω?=+，当6
π
?=
，点P 的坐标为（0，
33
）时，33
cos
,36
2
π
ωω=
∴=； （2）由图知222T AC π
πωω
=
==，122
ABC
S AC π
ω=
?=，设,A B 的横坐标分别为,a b . 设曲线段ABC 与x 轴所围成的区域的面积为S 则
()()
sin()sin()2b
b
a
a
S f x dx f x a b ω?ω?'=
==+-+=?
，由几何概型知该点在△ABC 内的概率为
224
ABC
S
P S
π
π=
==. 点评：本题考查三角函数的图像与性质、几何概型等，（1）利用点P 在图像上求ω，（2）几何概型，求出三角形面积及曲边形面积，代入公式即得.
变式训练： (2012年惠州质检)设y ＝f(x)为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0≤f(x)≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分
1
()f x ?
dx.先产生两组(每组N 个)区间[0,1]上的均匀随机数x 1，x 2，…，x N 和
y 1，y 2，…，y N ，由此得到N 个点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，N)．再数出其中满足y i ≤f(x i )(i ＝1,2，…，N)的点数N 1，那么由随机模拟方法可得积分
1
()f x ?
dx 的近似值为______．
解析：因为0≤f(x)≤1且由定积分的定义知：1
()f x ?
dx 是由直线x ＝0，x ＝1及曲线y ＝f(x)与x 轴
围成的面积．
又产生的随机数对在如图所示的正方形内，正方形的面积为1，且共有N 个数对，即N 个点．而满足y i ≤f(x i )的有N 1个点，即在函数f(x)的图象上及图象下方有N 1个点．所以用几何概型的概率公式得：f(x)在x ＝0到x ＝1上与x 轴围成的面积为
1N N ×1＝1N N ，即10()f x ?dx ＝1N
N
.
四、【解法小结】
1．(1)若使F ′(x)＝f(x)的函数F(x)不易寻找时，要把f(x)进行等价变形， (2)一般要把被积函数变形为幂函数、指数函数、正(余)弦函数积的和或差．
2．用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数．此外，如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分解，代入相应的解析式，分别求出积分值相加．
3．当被积函数的图象与直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0所围成的曲边梯形的面积易求时，用求曲边梯形面积的代数和的方法求定积分．但要注意两点：(1)函数的图象连续不间断．(2)函数图象是在x 轴上方还是下方．
4．对于不便求出被积函数的原函数的，可考虑用定积分的几何意义求解．
5、利用定积分求面积一定要结合几何图形的直观性，把所求的曲边形的面积用函数的定积分表示，关键有两点：一是确定积分的上下限；二是确定被积函数．只要解决了这两点，所求的面积就转化为根据微积分基本定理计算定积分了．
五、【布置作业】 必做题：
1、（2012年济南三模）已知函数2
()321f x x x =++，若1
1
()2()(0)f x dx f a a -=>?
成立，则a ＝
________
2、（2012年莱芜3月模拟）函数2(01)()2(12)
x x f x x x ?≤≤=?-≤≤?的图像与x 轴所围成的封闭图形的面积
为 .
3、（2012临沂3月模拟）函数3
2
()1f x x x x =-++在点(1,2)处的切线与函数2
()g x x =围成的图形的面积等于_________；
4、（2012日照5月模拟）如图，由曲线sin y x =，直线3
2
x π=与x 轴围成的阴影部分的面积是 （A ）1 （B ）2 （C ）2 （D ）3
5、（2011年高考陕西理11）．设2
lg 0()30
a
x x f x x t dt x
>??
=?+???，
若((1))1f f =，则a = ．
必做题答案：1、13 2、56 3、4
3
C. 4、D 5、1 选做题：
1、（2012年临沂二模）已知{(,)|01,01}x y x y Ω=≤≤≤≤，A 是由直线0,(01)y x a a ==<≤和曲线3
y x =围成的曲边三角形区域，若向区域Ω上随机投一点，点落在区域A 内的概率为1
64
，则a 的值是
（A ）
1
64
（B ）18 （C ）14 （D ）12
2、（2012青岛二模）设2
20(13)4a x dx =
-+?，则二项式2
6()a x x
+展开式中不含．．3x 项的系数和是
A ．-160
B ．160
C ．161
D ．-161 3、已知函数f(x)=
bx ax x ++2
32
131, a,b ∈R,)(x f '是函数f(x)的导数． （1)试判断函数f(x)的单调性；(2)若-1≤a ≤1, -1≤b ≤1,求方程)(x f '=0有实数根的概率．（3）若-1≤a ≤1, -1≤b ≤1,求方程)(x f '＋ax ＋a 2
＋a ＝0有实数根的概率．
选做题答案： 1、D 2、C 3、解析：（1）由f(x)=
bx ax x ++2
32
131得b ax x x f ++='2)(, ①若△=a 2
-4b ＜0，即a 2
＜4b ，当x ∈R 时,)(x f '＞0恒成立，所以f(x)在R 上单调递增；
②若△=a 2
-4b=0，即a 2
=4b ，当x ∈R 时)(x f '≥0恒成立，当且仅当x=-2
a
时, )(x f '=0. 当x ≠-2a 时, )(x f '>0恒成立，所以函数f(x)在(-∞, -2a )上为增函数，在(-2
a
，+∞)上也为增函
数，而函数f(x)在x=-2
a
处连续，则f(x)在R 上单调递增;
③若△=a 2-4b>0，即a 2
>4b ，令)(x f '=0,即b ax x ++2=0,
解得2421b a a x ---=,2
422b
a a x -+-=,21x x <.当x ∈(-∞, 1x )时)(x f '＞0，
当x ∈(21,x x )时,)(x f '<0时,当x ∈(x 2, +∞)时, )(x f '＞0.
则函数f(x)在(-∞,x 1)上单调递增, (21,x x )上单调递减，(x 2, +∞)上单调递增．
故若a 2
≤4b 时，函数f(x)在R 上单调递增；若a 2
>4b 时，函数f(x)在(-∞,x 1)上单调递增，(21,x x )
上单调递减，(x 2, +∞)上单调递增，其中2421b a a x ---=,2
422b
a a x -+-=.
（2）方程)(x f '=0，即b ax x ++2
=0有实数根，则△≥0，即a 2
≥4b ，
若-1≤a ≤1, -1≤b ≤1,方程)(x f '=0有实数根的条件是??
?
??≥≤≤-≤≤-b a b a 411112 (※)
如图条件(※)的面积为
da a S ?---=1
121)]1(4[=da a ?-+112)14(6
13212
1
1
3
=
+=
-a . 而条件-1≤a ≤1, -1≤b ≤1的面积为S=4，
根据几何概型的概率公式可知,方程)(x f '=0有实数根的概率为
P=
24
131=S S . （3）方程)(x f '＋ax ＋a 2
＋a ＝0，即x 2
＋2ax ＋a 2
＋a ＋b=0有实数根，则△≥0，即a+b ≤0，
若-1≤a ≤1, -1≤b ≤1,方程)(x f '＋ax ＋a 2
＋a ＝0有实数根的条件是
??
?
??≤+≤≤-≤≤-01111b a b a (※) 如图：条件(※)的面积为S 1=2，
而条件-1≤a ≤1, -1≤b ≤1的面积为S=4， 根据几何概型的概率公式可知，
方程)(x f '＋ax ＋a 2
＋a ＝0有实数根的概率为P=
2
11=S S . 六、【教后反思】
1、本教案的亮点是：首先以结构图呈现定积分与微积分基本定理的知识，直观明了；其次，在梳理相关知识以填空的形式，充分关注知识的系统化，再次，例题选择典型、全面（定积分的计算、求面积、知识的交汇性），关注的主干知识，讲练结合，真正地让学生动起来，让课堂活起来．最后，在作业的布置上，选择2012年各地最新的模拟题，对学生理解、巩固知识起到了良好作用．
2、本教案的不足之处是：题量有点大，45分钟没完成教学任务，若对程度好的学校应该能够完成.
学习目标 1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义.2.会利用微积分基本定理求函数的积分． 知识点一 微积分基本定理(牛顿—莱布尼茨公式) 思考1 已知函数f (x )＝2x ＋1，F (x )＝x 2＋x ，则?10(2x ＋1)d x 与F (1)－F (0)有什么关系？ 答 由定积分的几何意义知，?10(2x ＋1)d x ＝12 ×(1＋3)×1＝2，F (1)－F (0)＝2，故?10(2x ＋1)d x ＝F (1)－F (0)． 思考2 对一个连续函数f (x )来说，是否存在唯一的F (x )，使得F ′(x )＝f (x )? 答 不唯一，根据导数的性质，若F ′(x )＝f (x )，则对任意实数c ，都有[F (x )＋c ]′＝F ′ (x )＋c ′＝f (x )． 1．微积分基本定理 (1)条件：f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )； (2)结论：?b a f (x )d x ＝F (b )－F (a )； (3)符号表示：?b a f (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a )． 2．常见的原函数与被积函数关系 (1)?b a C d x ＝Cx |b a (C 为常数)． (2)?b a x n d x ＝ ???1n ＋1x n ＋1b a (n ≠－1)． (3)?b a sin x d x ＝－cos x |b a . (4)?b a cos x d x ＝sin x |b a . (5)?b a 1x d x ＝ln x | b a (b >a >0)． (6)?b a e x d x ＝ e x |b a .
定积分与微积分基本定理(理) 基础巩固强化 1.求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝?? ?0 1(x 2－x )d x B ．S ＝?? ?0 1 (x －x 2)d x C ．S ＝?? ?0 1 (y 2－y )d y D ．S ＝??? 1 (y － y )d y [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x 2，故函数y ＝x 2与y ＝x 所围成图 形的面积S ＝?? ?0 1 (x －x 2)d x . 2．如图，阴影部分面积等于( ) A ．2 3 B ．2－3 [答案] C [解析] 图中阴影部分面积为
S ＝??? -3 1 (3－x 2 －2x )d x ＝(3x －1 3x 3－x 2)|1 －3＝32 3. 4－x 2d x ＝( ) A ．4π B ．2π C ．π [答案] C [解析] 令y ＝4－x 2，则x 2＋y 2＝4(y ≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积， ∴S ＝1 4×π×22＝π. 4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示)．那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是( ) A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面 B ．在t 1时刻，甲车在乙车后面 C ．在t 0时刻，两车的位置相同 D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面 [答案] A [解析] 判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t 0，t 1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积
1.4定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝??01(x2－x)dx B ．S ＝??01(x －x2)dx C ．S ＝??01(y2－y)dy D ．S ＝??01(y －y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝??0 1(x －x2)dx. 2．(2010·日照模考)a ＝??02xdx ，b ＝??02exdx ，c ＝??02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系是 ( ) A ．a 理学院 School of Sciences 微积分基本定理的证明 Proof of the fundamental theorem of calculus 学生姓名：张智 学生学号：201001164 所在班级：数学101 所在专业：数学与应用数学 指导老师：杨志林 摘要 微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的，自十七世纪以来，微积分不断完善成为一门学科。而微积分基本定理的则是微积分中最重要的定理，它的建立标志着微积分的完成，成为数学发展史的一个里程碑。因此就有了研究微积分基本定理的必要性。本文从十七世纪到二十世纪以来的科学家如巴罗、牛顿、莱布尼兹、柯西、黎曼、勒贝格等人对微积分基本定理的发展所作出的贡献展开论述。并论述了定理在微积分学理论发展中的应用。如换元公式、分部积分公式、Taylor中值定理的积分证明、连续函数的零点定理的证明，建立了微分中值定理与积分中值定理的联系，在一元函数和多元函数上的推广等等。最后给出定理的几个证明方法。 关键词：微积分基本定理，发展史，定理的应用，定理的证明 ABSTRACT Calculus the subject in the position of the development of mathematics is very important,since seventeenth Century,calculus constantly improved as a discipline.While the fundamental theorem of calculus is the most important theorems in calculus,which establishment marks the complete of the calculus, become a milepost of the development history of mathematics. So it is necessary to study the fundamental theorem of calculus. In this paper,since seventeenth Century to twentieth Century,launches the elaboration from scientists such as Barrow, Newton, Leibniz, Cauchy, Riemann, Lebesgue and others on made the contribution to the development of the fundamental theorem of calculus. And discusses the application of theorem in the development of the calculus theory.Such as the transform formula, integral formula of integration by parts, proof of the Taylor mean value theorem of continuous function, the zero point theorem proof, established the differential mean value theorem and the integral mean value theorem in contact,a unary function and multivariate function on the promotion and so on.Finally gave several proofs of the theorem. Keywords:Fundamental Theorem of Calculus,phylogeny,Application,Proof 微积分基本定理 编稿：赵雷 审稿：李霞 【学习目标】1．理解微积分基本定理的含义。 2．能够利用微积分基本定理求解定积分相关问题。 【要点梳理】 要点一、微积分基本定理的引入 我们已学过过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。 （1）导数和定积分的直观关系： 如下图：一个做变速直线运动的物体的运动规律是s=s （t ），由导数的概念可知，它在任意时刻t 的速度v （t ）=s ＇（t ）。设这个物体在时间段[a ，b]内的位移为s ，你能分别用 s （t ）、v （t ）表示s 吗？ 一方面，这段路程可以通过位置函数S （t ）在[a ，b]上的增量s （b ）－s （a ）来表达， 即 s=s （b ）－s （a ）。 另一方面，这段路程还可以通过速度函数v （t ）表示为 ()d b a v t t ? , 即 s = ()d b a v t t ? 。 所以有： ()d b a v t t =? s （b ）－s （a ） （2）导数和定积分的直观关系的推证： 上述结论可以利用定积分的方法来推证，过程如下： 如右图：用分点a=t 0＜t 1＜…＜t i －1＜t i ＜…＜t n =b ， 将区间[a ，b]等分成n 个小区间： [t 0，t 1]，[t 1，t 2]，…，[t i ―1，t i ]，…，[t n ―1，t n ]， 每个小区间的长度均为 1i i b a t t t n --?=-= 。 当Δt 很小时，在[t i ―1，t i ]上，v （t ）的变化很小，可以认为物体近似地以速度v （t i ―1）做匀速运动，物体所做的位移 111()'()'()i i i i i b a s h v t t s t t s t n ----?≈=?=?= 。 ② 从几何意义上看，设曲线s=s （t ）上与t i ―1对应的点为P ，PD 是P 点处的切线，由导数的几何意义知，切线PD 的斜率等于s ＇（t i ―1），于是 1tan '()i i i s h DPC t s t t -?≈=∠??=??。 结合图，可得物体总位移 111 1 1 1 ()'()n n n n i i i i i i i i s s h v t t s t t --=====?≈=?=?∑∑∑∑。 显然，n 越大，即Δt 越小，区间[a ，b]的分划就越细，1 11 1 ()'()n n i i i i v t t s t t --==?=?∑∑与s 的近似程度就越好。由定积分的定义有 11lim ()n i n i b a s v t n -→∞=-=∑11 lim '()n i n i b a s t n -→∞=-=∑()d '()d b b a a v t t s t t ==??。 结合①有 ()d '()d ()()b b a a s v t t s t t s b s a ===-??。 上式表明，如果做变速直线运动的物体的运动规律是s=s （t ），那么v （t ）=s ＇（t ）在 区间[a ，b]上的定积分就是物体的位移s （b ）―s （a ）。 一般地，如果()f x 是区间[a ，b]上的连续函数，并且'()()F x f x =，那么 ()d ()()b a f x x F b F a =-? 。 这个结论叫做微积分基本定理。 要点二、微积分基本定理的概念 微积分基本定理： 一般地，如果'()()F x f x =，且()f x 在[a ，b]上可积，则()d ()()b a f x x F b F a =-? 。 这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿-莱布尼兹公式。 其中，()F x 叫做()f x 的一个原函数。为了方便，我们常把()()F b F a -记作()b a F x ，即 ()d ()()()b b a a f x x F x F b F a ==-? 。 1.6 微积分基本定理 周；使用时间17年 月 日 ；使用班级 ；姓名 一、选择题 1．若F ′(x )＝x 2，则F (x )的解析式不正确的是( ) A ．F (x )＝13x 3 B ．F (x )＝x 3 C ．F (x )＝13x 3＋1 D ．F (x )＝13x 3＋c (c 为常数) 2．?0－4|x ＋2|d x 等于( ) A ．?0－4(x ＋2)d x B ．?0－4(－x －2)d x C ．?－ 2－4(x ＋2)d x ＋?0－2(－x －2)d x D ．?－ 2－4(－x －2)d x ＋?0－2(x ＋2)d x 3．若S 1＝?21x 2d x ，S 2＝?211x d x ，S 3＝?21e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( ) A ．S 1 7、微积分基本定理 一、选择题 1.??0 1(x 2 ＋2x )d x 等于( ) A.13 B.23 C ．1 D.43 2．∫2π π(sin x －cos x )d x 等于( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．0 3．自由落体的速率v ＝gt ，则落体从t ＝0到t ＝t 0所走的路程为( ) A.13gt 20 B ．gt 2 0 C.12gt 20 D.16gt 20 4．曲线y ＝cos x ? ????0≤x ≤3π2与坐标轴所围图形的面积是( ) A ．4 B ．2 C.5 2 D ．3 5．如图，阴影部分的面积是( ) A ．2 3 B ．2－ 3 C.323 D.35 3 6.??0 3|x 2－4|d x ＝( ) A.213 B.223 C.233 D.25 3 7．??241 x d x 等于( ) A ．－2ln2 B ．2ln2 C ．－ln2 D ．ln2 8．若??1a ? ?? ??2x ＋1x d x ＝3＋ln2，则a 等于( ) A ．6 B ．4 C ．3 D ．2 9．(2010·山东理，7)由曲线y ＝x 2 ，y ＝x 3 围成的封闭图形面积为( ) A.112 B.14 C.13 D.7 12 10．设f (x )＝??? ?? x 2 0≤x <12－x 1微积分基本定理的证明
知识讲解_微积分基本定理
人教新课标版数学高二-2-2限时练 1.6 微积分基本定理
7.微积分基本定理练习题