1.6 微积分基本定理
一、教学目标
知识与技能目标
通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分 过程与方法 通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法
情感态度与价值观
通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。
二、教学重难点
重点 通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。
难点 了解微积分基本定理的含义
三、教学过程
1、复习：
定积分的概念及用定义计算
2、引入新课
我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。
变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()v t o ≥）， 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为
21()T T v t dt ?。 另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达，即
2
1()T T v t dt ?=12()()S T S T -
而()()S t v t '=。 对于一般函数()f x ，设()()F x f x '=，是否也有
()()()b
a f x dx F
b F a =-?
若上式成立，我们就找到了用()f x 的原函数（即满足()()F x f x '=）的数值差()()F b F a -来计算()f x 在[,]a b 上的定积分的方法。
注：1：定理 如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数，则
()()()b
a f x dx F
b F a =-?
证明：因为()x Φ=()x
a f t dt ?与()F x 都是()f x 的原函数，故
()F x -()x Φ=C （a x b ≤≤）
其中C 为某一常数。
令x a =得()F a -()a Φ=C ，且()a Φ=
()a a f t dt ?=0 即有C=()F a ，故()F x =()x Φ+()F a ∴ ()x Φ=()F x -()F a =()x a
f t dt ? 令x b =，有()()()b
a f x dx F
b F a =-?
此处并不要求学生理解证明的过程 为了方便起见，还常用()|b a F x 表示()()F b F a -，即
()()|()()b
b a a f x dx F x F b F a ==-?
该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。
例1．计算下列定积分：
（1）2
11dx x ?； （2）3211(2)x dx x
-?。 解：（1）因为'1(ln )x x
=， 所以22111ln |ln 2ln1ln 2dx x x
==-=?。 （2））因为2''211()2,()x x x x
==-， 所以3332211111(2)2x dx xdx dx x
x -=-??? 233111122||(91)(1)33x x =+=-+-=。 练习：计算
120x dx ? 解：由于313
x 是2x 的一个原函数，所以根据牛顿—莱布尼兹公式有 120x dx ?=3101|3x =33111033?-?=13
例2．计算下列定积分：
2200
sin ,sin ,sin xdx xdx xdx π
πππ???。 由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论。 解：因为'(cos )sin x x -=，
所以
00sin (cos )|(cos )(cos 0)2xdx x ππ
π=-=---=?，
22sin (cos )|(cos 2)(cos )2xdx x ππππ
ππ=-=---=-?， 2
200sin (cos )|(cos 2)(cos 0)0xdx x πππ=-=---=?. 可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0:
( l ）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时（图1.6一3 ) ，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积；
图1 . 6 一 3 ( 2 ）
（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时（图 1 . 6 一 4 ) ，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数；
( 3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0（图 1 . 6 一 5 ) ，且等于位于 x 轴上方的曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积．
例3．汽车以每小时32公里速度行驶，到某处需要减速停车。设汽车以等减速度a =1.8米/秒2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？
解:首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间。当t =0时，汽车速度0v =32公里/小时=
3210003600
?米/秒≈8.88米/秒,刹车后汽车减速行驶,其速度为0(t)=t=8.88-1.8t v v a -当汽车停住时,速度(t)=0v ,故从(t)=8.88-1.8t=0v 解得8.88t= 4.931.8≈秒 于是在这段时间内,汽车所走过的距离是
4.93
4.9300(t)(8.88 1.8t)s v dt dt ==-??= 4.93201(8.88 1.8t )21.902-?≈米,即在刹车后,汽
车需走过21.90米才能停住.
微积分基本定理揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时它也提供了计算定积分的一种有效方法．微积分基本定理是微积分学中最重要的定理，它使微积分学蓬勃发展起来，成为一门影响深远的学科，可以毫不夸张地说，微积分基本定理是微积分中最重要、最辉煌的成果．
四、课堂小结
本节课借助于变速运动物体的速度与路程的关系以及图形得出了特殊情况下的牛顿-莱布尼兹公式.成立，进而推广到了一般的函数，得出了微积分基本定理，得到了一种求定积分的简便方法，运用这种方法的关键是找到被积函数的原函数，这就要求大家前面的求导数的知识比较熟练，希望，不明白的同学，回头来多复习！
五、教学后记
从教以来，一直困惑于一个问题：课堂上如何突出重点并突破难点。当然，理论方面自己早已烂熟于心，关键是缺乏实践方面的体验及感悟。在今天的课堂上，当自己在生物化学班重点及难点均未解决，相反将更多时间纠缠在细节方面，而物理班级恰好相反，教学效果的强烈反差，终于让自己对这个问题有了实践的切身的认识。记得当实习生时，本来一个相当简单的问题，可在课堂上却花费了大量时间，更严重的是学生却听得更为糊涂。一个主要原因在于，对相关知识结构理解不到位，眉毛胡子一把抓，而难点又无法解决。
二项式定理（第1课时） 一、内容和内容解析 内容：二项式定理的发现与证明． 内容解析：本节是高中数学人教A版选修2－3第一章第3节的内容．二项式定理是多项式乘法的特例，是初中所学多项式乘法的延伸，此内容安排在组合计数模型之后，随机变量及其分布之前，既是组合计数模型的一个应用，也是为学习二项分布作准备．由于二项式定理的发现，可以通过从特殊到一般进行归纳概括，在归纳概括过程中还可以用到组合计数模型，因此，这部分内容对于培养学生数学抽象与数学建模素养有着不可忽略的价值．教学中应当引起充分重视． 二、目标和目标解析 目标： （1）能通过多项式乘法，归纳概括出二项式定理内容，并会用组合计数模型证明二项式定理． （2）能从数列的角度认识二项式的展开式及其通项的规律，并能通过特例体会二项式定理的简单应用． （3）通过二项式定理的发现过程培养学生的数学抽象素养，以及用二项式定理这个模型培养学生数学建模素养． 目标解析： （1）二项式展开式是依多项式乘法获得的特殊形式，因此从多项式乘法出发去发现二项式定理符合学生的认知规律．但归纳概括的结论，如果不加以严格的证明不符合数学的基本要求．因此，在归纳概括的过程中，用好组合模型不仅可以更自然地得到结论，还能为证明二项式定理提供方法． （2）由于二项展开式是一个复杂的多项式．如果不把其看成一个数列的和，引进数列的通项帮助理解与应用，学生很难短期内对定理有深入的认识．因此，通过一些特例，建立二项式展开式与数列及数列和的联系，是达成教学目标的一个重要途径．（3）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实．在二项式定理的教学中，从特殊的二项式展开式的特征归纳概括一般二项式展开式的规律是进行数学抽象教学的很好机会；同时利用组合计数模型证明二项式定理，以及利
27.3(1) 垂径定理 崇明县三乐学校秦健 一、教学内容分析 学情分析：学生已经知道，在同圆或等圆中，圆心角、圆心角所对的弧和弦及其弦心距这四组量之间有密切的联系。（即“四等定理”）本节利用圆的轴对称性，进一步得到圆的直径与弦及弦所对的弧之间也存在着密切的关联.因为圆是轴对称图形，且任意一条直径所在直线都是它的对称轴，所以课本对于这些量之间关系的讨论，从垂直于弦的直径的性质开始展开，并加以推理证明； 教材分析：垂径定理及其推论揭示了垂直于弦的直径和这条弦及这条弦所对的弧之间的内在关系，是圆的轴对称性的具体化；也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据；同时也为进行圆的有关计算和作图提供了方法和依据；在垂径定理得出的过程中，体验了从感性到理性、从具体到抽象思维过程，有助于培养思维的严谨性. 二、教学目标 1、经历垂径定理的探索和证明过程，掌握垂径定理； 2、在研究过程中，进一步体验“实验——归纳——猜测——证明”的方法； 3、能初步运用垂径定理及推论解决有关数学问题. 三、教学重点及难点 重点：掌握垂径定理的内容并初步学会运用. 难点：垂径定理的探索和证明. 四、教学过程 （一）情景引入 1300 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫拱形高）为7.2米，求桥拱的半径（精确到0.1米）说明：通过实际问题引入新课激发学生学习兴趣
52D C B A O 1、观察与思考： 圆是怎样的对称图形？对称轴与对称中心分别是什么？ （二）学习新课 1、思考 如图，CD 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 的弦，且AB ⊥CD ，垂足为 M ，则图中有哪些相等的线段和弧？(半圆除外）为什么？ （学生观察，猜想，并得出以下结论） ①CO=DO （同圆的半径相等） ②AM=BM,弧AD=弧BD ，弧AC=弧BC （如何证明？） （学生讨论，并得出推导过程，教师板书） 联结OA 、OB ，则OA=OB. ∵ AB ⊥CD, ∴ AM=BM （等腰三角形三线合一）, ∠AOD=∠BOD, ∴ 弧AD=弧BD （同圆中，相等的圆心角所对的弧相等）. ∵ ∠AOC=∠BOC, ∴ 弧AC=弧BC. 2、定理：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，且平分这条弦所对的弧. 结合图形写成符号语言： ∵直径CD ⊥弦AB ，垂足为M ∴ AM=BM ∴ 弧AD=弧BD （同圆中，相等的 圆心角所对的弧相等）. 弧AC=弧BC. 3、抢答题：如图：已知⊙O 的半径OC 垂直于弦AB,垂足为点D ， AD 长2厘米，弧AB 长5厘米，则AB= 弧 AC= . 4、例题分析 例1、 已知：如图，以点O 为圆心的两个圆中， 大圆的弦AB 交小圆于点C 、D 两点，
增城市实验中学九年级数学备课组 2012年9月21日在增城二中进行了《垂径定理》两节全市公开课，两位老师的上课模式都是以生本教育理念为基础，充分发挥学生的主体作用，采用自主探究、合作交流的学习方式，让学生积极参与到学习中，构成积极、欢乐、高效的课堂。 我们的课堂教学应该是有效的教学，有效备课，备好学生，两为老师的备课是非常充分的，从教师的教案来看，老师对教材的难点重点把握很到位，练习能结合学生的学习特点和掌握情况进行评讲。在教学过程中，两位老师的课堂是有效的上课，教师让学生体验到教育给他带来的无穷快乐，两位老师在课堂上给学生充足的空间，让孩子们自主交流、展示成果、互相质疑，在合作、交流、质疑中主动学习，获取知识和解决问题的能力，经过自己的实践获得知识，他们特别有成就感，自信心增强，在这种氛围中学习，学生们很放松，他们得到了释放，在课堂上很放的开，对学习更加有兴趣了。 用生本教育模式上课，对我们教师的要求更高，在生本高效课堂中，更要突出教师的主导地位，也就是说教师主要起引导作用。如何引导学生参与课堂，成了我们要思考的问题。我们要适当的引领，对于展示的好的地方要给予鼓励，对于展示不到位的要及时给予提示，尽量使得环节完整。在学生展示的过程中还要及时点拨，尤其是重难点知识。点拨尽量做到语言精简、方法恰当、并列举恰当的实例进行补充。这样便于我们的学生在以后的展示过程中抓住重难点。对于学生的语言表达能力、知识归纳的能力的提高会有很大的帮助。这些都是我们在今后的教学中要注意的地方。
小楼中学九年级备课组 听了增城二中赖金佑老师上完一节成功的生本课后，再对比自己备组设置的教案与上课方式给予我们备组很大的启发。赖老师上课方式与教学内容的设置都充分体现她的严谨教学风格。首先从教学内容的设置上看，他设置的教学内容非常严谨，井井有条。特别是习题的设置，层次分明，层层递进，题型各异，而且每道题目都是围绕中考的类型设置。让学生不但熟练掌握本节的内容，而且熟悉中考的题型。整节的内容含量恰当。从教法上看，赖老师的生本教育理念，注重引导学生自己去发现问题，在重点内容的讲解上细致又严谨，时间把握得非常恰当。赖老师能给学生建立一个民主平等的平台，营造一种自觉学习、合作探究的氛围，从而使学生的个性得到张扬，生命得以激扬，综合能力得到提升。
公开课教案
讲解新课: 1 、证明猜想 ⑴提问: 什么是猜想的题设？ 什么是猜想的结论？ ⑵要求学生根据“猜想”的题设和结论说出已知和求证. ⑶用大屏幕打出证明过程. 结合证明过程提问: (1)证明利用了圆的什么性质? (2)证明CE＝DE还有其它方法吗? 教师小结:通过证明,我们知道猜想是正确的,因此我们可以把 它叫做“垂径定理”. 2、垂径定理 垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的 ﹤2﹥﹤1﹥﹤3﹥﹤4﹥﹤5﹥ 两条弧.（优弧、劣弧） 为运用方便,将原定理叙述为:⑴过圆心；⑵垂直于弦；⑶平分 弦⑷平分弦所对的优弧；⑸平分弦所对的劣弧. 练习1 ⑴若AB为⊙Ｏ的直径, CD⊥AB于E , ⑵在下列图形中,你能否利用垂径定理找到相等的线段或的圆弧. 3、例题讲解 例1已知:如图,在⊙Ｏ中,弦AB的长为8㎝,圆心O到AB的距离 为3㎝. 求:⊙Ｏ的半径.（学生回答,教师板书过程） 学生积极思考作答。 积极观察、思考，得 出新的证明方法。 引导学生剖析定理的 条件，结论，有利于 学生的深刻理解和全 面把握。 巩固定理的条件和结 论。
教 学 过 程 学 生 活 动 解:连结OA,作OE ⊥AB,垂足为 E. ∵OE ⊥AB, ∴AE=EB. ∵AB=8 ㎝ ,∴AE=4㎝. 又∵OE=3 ㎝ , 在Rt △AOE 中, ()cm AE OE OA 5432222=+=+= ∴⊙Ｏ的半径为5㎝. 教师强调:从例1可以看出“弦心距”是一条很重要的辅助线,弦心距的作用就是平分弦,平分弦所对的弧,它和直径一样. 练习2 ⑴半径为5 ㎝的⊙Ｏ中,弦AB=6 ㎝,那么圆心O 到弦AB 的距离是 ； ⑵⊙Ｏ的直径为10㎝,圆心O 到弦AB 的距离为3 ㎝,那么弦AB 的长是 ； ⑶半径为2㎝的圆中,过半径的中点且垂直于这条半径的弦长是 . 例2①已知:在以O 为圆心 的两个同心圆中,大圆的 直径AB 交小圆于C 、D 两点. 求证:AC=BD. 例2②已知:在以O 为圆心的 两个同心圆中,大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点. 求证:AC=BD. 课堂小结 ⑴垂径定理相当于说一条直线如果具备:⑴过圆心；⑵垂直于弦；则它有以下的性质:⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧；⑸平分弦所对的劣弧. ⑵在圆中解决有关于弦的问题时,经常是过圆心作弦的垂线段（弦心距）,连结半径等辅助线,为应用垂径定理创造条件. 作业: ① 证明垂径定理（用等腰三角形三线合一性质证明） 书中P88 3 P89 4 ② 目标P90. 学生口述证明过程，教师板书。 引导学生总结出圆的一条重要辅助线。 巩固定理内容。 通过例题的变式，分层教学，使学生达到不同的目标。
7．动能和动能定理 教学目标】 1、知识与技能 ①．知道动能的定义式，会用动能的定义式进行计算； ②．理解动能定理及其推导过程，知道动能定理的适用范围。 2 、过程与方法 ①．运用归纳推导方式推导动能定理的表达式；②．对比分析动力学知识 与动能定理的应用。 3、情感态度与价值观 通过动能定理的归纳推导，培养学生对科学研究的兴趣。教学重难点】 1 、重点：动能的概念和表达式。 2、难点：动能定理的理解和应用。 授课类型】新授课 主要教学方法】讲授法 直观教具与教学媒体】多媒体投影、ppt 课件、黑板、粉笔课时安排】 1 课时【教学过程】
一、复习引入 通过本章第一节伽利略理想斜面实验复习重力势能的表达式和动能的定义。 重力势能：E P mgh 动能：物体由于运动而具有的能量。例如：跑动的人、下落的重物。 二、新课教学 思考：物体的动能与哪些量有关？ 情景1 ：让滑块A 从光滑的导轨上滑下，与木块B 相碰，推动木块做功。A 滑下时所处的高度越高，碰撞后B 运动的越远。 情景2 ：质量不同的滑块从光滑的导轨上同一高度滑下，与木块B 相碰，推动木块做功。滑块质量越大，碰撞后木块运动的越远。 师：根据以上两个情景，说明物体动能的大小与物体的速度和质量有关，且随着速度和质量的增大而增大。所以动能的表达式应该满足这样的特征。
另外，物体能量的变化一定伴随着力对物体做功，所以我们还是从 力对物体做功来探究物体动能的表达式。 （一）动能的表达式首先我们来看这样一个问题。设物体的质量为m ，在与运动方向 相同的恒定外力 F 的作用下发生一段位移所 示。试用牛顿运动定律和运动学公式，推导出力 F 对物体做功的表达式（用m 、v1、v2 表示）。 分析：根据牛顿第二定律有 F ma 又根据运动学规律v22v122al 得 v2 2 2a 则力F 对物体所做的功为： 从这个式子可以看出，“12mv2”是一个具有特定意义的物理量，它的特殊意义在于：①与力对物体做的功密切相关；②随着物体质量的增大、 1 2 速度的增大而增大。这满足物体动能的特征，所以“21 mv2” 就是我们要寻 找的动能的表达式，动能用E k 来表示，则 E 1 mv 2 k2 1、定义：物体由于运动而具有的能量； 1 2 2 、表达式：E k 2mv； 3、单位：焦耳，简称焦，有符号J 表示； 2 2 1kg m2/ s21N m 1J w Fl 2 2 2 2 v v m(v v ) 2 1 ma 2 1 2a 2 1 2 1 2 mv2 mv1 2 2 2 1 1） l ，速度由v1 增加到v2，如图
二项式定理公开课教案 1、重点：二项式定理的发现、理解和初步应用。 2、难点：二项式定理的发现。 三、教学过程 1、情景设置 问题1：若今天是星期一，再过30天后是星期几？怎么算？ 预期回答：星期三，将问题转化为求“30被7除后算余数”是多少。 问题2：若今天是星期一，再过)(8* ∈N n n 天后是星期几？怎么算？ 预期回答：将问题转化为求“n n )17(8+=被7除后算余数”是多少，也就是研究)()(*∈+N n b a n 的展开式是什么？这就是本节课要学的内容，学完本课后，此题就不难求解了。2、新授 第一步：让学生展开 b a b a +=+1)( 2222)(b ab a b a ++=+； 32232333)()()(b ab b a a b a b a b a +++=++=+； 43223434464)()()(b ab b a b a a b a b a b a ++++=++=+ 5432234555510105)()()(b ab b a b a b a a b a b a b a +++++=++=+ 教师将以上各展开式的系数整理成如下模型 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 问题1：请你找出以上数据上下行之间的规律。 预期回答：下一行中间的各个数分别等于上一行对应位置的相邻两数之和。 问题2：以5 )(b a +的展开式为例，说出各项字母排列的规律；项数与乘方指数的关系；展开式第二项的系数与乘方指数的关系。
预期回答：①展开式每一项的次数按某一字母降幂排列、另一字母升幂排列，且两个字母的和等于乘方指数；②展开式的项数比乘方指数多1项；③展开式中第二项的系数等于乘方指数。 初步归纳出下式： ()()()()()n n n n n n b b a b a b a a b a +++++=+--- 33221)( （※） （设计意图：以上呈现给学生的由系数排成的“三角形”，起到了“先行组织者”的作用，虽然，教师将此“三角形”模型以定论的形式呈现给学生，但是，它毕竟不是最后的结果，而是一种寻找系数规律的有效工具，便于学生将新的学习材料同自己原有的认知结构联系起来，并纳入到原有认知结构中而出现意义。这样的学习是有意义的而不是机械的，是主动建构的而不是被动死记的心理过程。）练习：展开7 )(b a + 教师作阶段性评价，告诉学生以上的系数表是我国宋代数学家杨辉的杰作，称为杨辉三角形，这项发明比欧洲人帕斯卡三角早400多年。你们今天做了与杨辉同样的探索，以鼓励学生探究的热情，并激发作为一名文明古国的后代的民族自豪感和爱国热情。第二步：继续设疑 如何展开100) (b a +以及)()(*∈+N n b a n 呢？ （设计意图：让学生感到仅掌握杨辉三角形是不够的，激发学生继续学习新的更简捷 的方法的欲望。） 继续新授 师：为了寻找规律，我们将))()()(()(4b a b a b a b a b a ++++=+中第一个括号中的字母分别记成11,b a ；第二个括号中的字母分别记成22,b a ；依次类推。请再次用多项式乘法运算法则计算：))()()(()(443322114b a b a b a b a b a ++++=+
24.1.2 垂直于弦的直径
垂直于弦的直径 教学设计 初中数学 白水县城关一中 刘春芳 垂直于弦的直径 教学设计 教学目标：1.使学生理解圆的轴对称性；2.掌握垂径定理 3.学会运用垂径定理解决有关的证明、计算问题。 过程与方法：通过观察、动手操作培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力2.锻炼学生的逻辑思维能力,体验数学来源于生活又用于生活。 情感、态度与价值观：通过联系、发展、对立与统一的思考方法对学生进行辩证唯物主义观点及美育教育。 教学重点：垂径定理及应用 教学难点：垂径定理的理解及其应用
学情分析：学生在生活中经常遇到圆方面的图形，对本节课会比较有兴趣,并且学过轴对称图形相关知识。同时九年级的同学仍然是比较好奇、好动、好表现的。但在合作交流、探索新知等方面发展的极不均衡。在学习的主动性、积极性等方面也有较大的差异。 教学用具：圆形纸片，多媒体 教学过程： 一、创设情景：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，赵洲桥主桥拱的半径是多少？怎样求?学完本节课后就可以解决这个问题了 二、引入新课---揭示课题： 1、运用教具与学具（学生自制的圆形纸片）演示，让每个学生都动手实验，把圆形纸片沿直径对折，观察两部分是否重合，通过实验，引导学生得出结论： (1)圆是轴对称图形 (2)经过圆心的每一条直线（注：不能说直径）都是它的对称轴 (3)圆的对称轴有无数条 (4)圆也是中心对称图形.（出示教具演示）。 2、再请同学们在自己作的圆中作图：(1)任意作一条弦AB；(2)作直径CD垂直弦AB 垂足为M。（出示教具演示）引导学生分析直径CD与弦AB此时的关系，说明直径CD 垂直于弦AB的，并设问：垂直于弦的直径它除了上述性质外，是否还有其他性质呢？ 三、讲解新课---探求新知 （1）实验--观察--猜想：让学生将上述作好的圆沿直径CD对折，观察重合部分后，发现有哪些线段相等、弧相等，并得出猜想：在圆O中，CD是直径，AB是弦，CD垂直AB于M.那么AM=BM，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD. （2）证明：引导学生用“叠合法”证明此定理 （3）对定理的结构进行分析 （4）结合图形用几何语言表述 （5）垂径定理的变式
二项式定理公开课教案 （第一教时） 一、教学目标 1、理解杨辉三角形。其行为样例是：（1）能用不完全归纳法写出杨辉三角形；（2）能根据杨辉三角形对)6()(≤+n b a n 的二项式进行展开。 2、掌握二项式定理。其行为样例是：（1）能根据组合思想及不完全归纳法猜出二项展 开式的系数),,,2,1,0(*∈=N n n r C r n Λ以及二项展开式的通项r r n r n r b a C T -+=1；(2)能正确区分二项式系数和某一项的系数；（3）能应用定理对任意给定的一个二项式进行展开、并求出它特定的项或系数。 二、教学重点与难点 1、重点：二项式定理的发现、理解和初步应用。 2、难点：二项式定理的发现。 （教具：多媒体课件） 三、教学过程 1、情景设置 问题1：若今天是星期一，再过30天后是星期几？怎么算？ 预期回答：星期三，将问题转化为求“30被7除后算余数”是多少。 问题2：若今天是星期一，再过)(8* ∈N n n 天后是星期几？怎么算？ 预期回答：将问题转化为求“n n )17(8+=被7除后算余数”是多少，也就是研究)()(*∈+N n b a n 的展开式是什么？这就是本节课要学的内容，学完本课后，此题就不难求解了。 （设计意图：使学生明确学习目的，用悬念来激发他们的学习动机。奥苏贝尔认为动机是学习的先决条件，而认知驱力，即学生渴望认知、理解和掌握知识，并能正确陈述问题、顺利解决问题的倾向是学生学习的重要动力。） 2、新授 第一步：让学生展开 b a b a +=+1)( 2222)(b ab a b a ++=+； 32232333)()()(b ab b a a b a b a b a +++=++=+； 43223434464)()()(b ab b a b a a b a b a b a ++++=++=+ 5432234555510105)()()(b ab b a b a b a a b a b a b a +++++=++=+ 教师将以上各展开式的系数整理成如下模型 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1
授课班级10计算机专业计算机授课教师王居授课时间编号课时 2 授课目标能力目标 能利用叠加原理求解复杂电路。 知识目标 1：掌握叠加原理的内容，解题步骤，注意点。 2：能熟练用叠加原理求解复杂电路。 3：掌握几种典型的题目。 情感目标 增强独立完成任务的能力 教学重点能利用叠加原理求解复杂电路。 1：掌握叠加原理的内容，解题步骤，注意点。2：能熟练用叠加原理求解复杂电路。 3：掌握几种典型的题目。 教学难点叠加原理的典型题型。 学情分析学生对部分知识以前理解较好。 课后阅读了解并掌握叠加原理的应用 课外作业 与操作 教学后记学生对叠加原理很容易的吸收纳入，并对它产生兴趣。
复习提问 1、支路电流法的定义？ 提问回答 2、利用支路电流法解题时应注意哪些？ 叠加定理 一、叠加定理的内容 当线性电路中有几个电源共同作用时，各支路的电 流(或电压)等于各个电源分别单独作用时在该支路产生的 电流(或电压)的代数和(叠加)。 在使用叠加定理分析计算电路应注意以下几点: (1) 叠加定理只能用于计算线性电路(即电路中的元件 均为线性元件)的支路电流或电压(不能直接进行功率的叠 加计算)； (2) 电压源不作用时应视为短路，电流源不作用时应 视为开路； (3)叠加时要注意电流或电压的参考方向，正确选取各 分量的正负号。 (4) 二、应用举例 【例3-3】如图3-8(a)所示电路，已知E1 = 17 V，E2 = 17 V，R1 = 2 Ω，R2 = 1 Ω，R3 = 5 Ω，试应用叠加定理求 各支路电流I1、I2、I3 。
图3-8 例题3-3 解：(1) 当电源E 1单独作用时，将E 2视为短路，设 R 23 = R 2∥R 3 = 0.83 Ω 则 A 1A 5A 683 .217 1322 313 23 223111=+==+===+='I R R R 'I 'I R R R 'I R R E 'I (2) 当电源E 2单独作用时，将E 1视为短路，设 R 13 =R 1∥R 3 = 1.43 Ω 则 A 2A 5A 743 .217 23 11 323 13 113222=+==+===+=''I R R R ''I ''I R R R ''I R R E ''I (3) 当电源E 1、E 2共同作用时(叠加)，若各电流分量与原电路电流参考方向相同时，在电流分量前面选取“+”号，反之，则选取“-”号： I 1 = I 1′- I 1″ = 1 A ， I 2 = - I 2′ + I 2″ = 1 A ， I 3 = I 3′ + I 3″ = 3 A 【例3-4】《相约》
《垂径定理》教学设计 圆是一种特殊图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形。该节内容分为2 课时。本节课是第1课时，学生通过前面的学习，能用折叠的方法得到圆是一个轴对称图形。其对称 轴是任一条过圆心的直线。 【知识与能力目标】 1．理解圆的轴对称性及其相关性质； 2 ．利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理。 【过程与方法目标】 经历探索圆的对称性及相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法。 【情感态度价值观目标】 1． 培养学生独立探索，相互合作交流的精神。 2． 通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生学习实事求是的科学态度和积极参与的主动精神。 【教学重点】 利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理。 【教学难点】 和圆有关的相关概念的辨析理解。 （提前一天布置） 1. 每人制作两张圆纸片（最好用16K 打印纸） 2. 预习课本P 74~P 76内容 第一环节 复习提问
1、什么是轴对称图形？我们在学过哪些轴对称图形？ 如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。如线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形。 2、我们所学的圆是不是轴对称图形呢？如果是，它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴? 归纳：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。 第二环节讲授新课 活动内容： （一）探索垂径定理。 做一做 1．在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折使圆的两半部分 重合。 2．得到一条折痕CD。 3．在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中，点M 是两条折痕的交点，即垂足。 4．将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如右图 问题：（1）观察右图，它是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能发现图中有那些等量关系？说一说你的理由。 在⊙O中，AB为弦，CD为直径,CD⊥AB 提问：你在图中能找到哪些相等的量？并证明你猜想的结论。 证明过程见PPT。 几何语言
课题：§1.3.1二项式定理（人教A版高中课标教材数学选修2-3）
《二项式定理》教学设计 一、教学内容解析 《二项式定理》是人教A 版选修2-3第一章第三节的知识内容，它是初中学习的多项式乘法的继续．在计数原理之后学习二项式定理，一方面是因为它的证明要用到计数原理，可以把它作为计数原理的一个应用，另一方面也是解决整除、近似计算、不等式证明的有力工具，同时也是后面的数学期望等内容的基础知识，二项式定理起着承上启下的作用．另外，由于二项式系数是一些特殊的组合数，利用二项式定理可进一步深化对组合数的认识．总之，二项式定理是综合性较强的、具有联系不同内容作用的知识． 二、教学目标设置 新课标指出教学目标应体现学生学会知识与技能的过程也同时成为学生学会学习，形成正确价值观的过程．新课标要求：用计数原理分析2()a b +，3()+a b ，4()+a b 的展开式，归纳类比得到二项式定理，并能用计数原理证明．掌握二项展开式的通项公式，解决简单问题；学会讨论二项式系数性质的方法．根据新课标的理念及本节课的教学要求，制定了如下教学目标： 1.学生在二项式定理的发现推导过程中，掌握二项式定理及推导方法、二项展开式、通项公式的特点，并能运用二项式定理计算或证明一些简单的问题． 2.学生经历二项式定理的探究过程，体验“从特殊到一般发现规律，从一般到特殊指导实践”的思想方法，获得观察、归纳、类比、猜想及证明的理性思维探究能力． 3.通过二项展开式的探究，培养学生积极主动、勇于探索、不断创新的精神，感受合作探究的乐趣，感受数学内在的和谐、对称美及数学符号应用的简洁美．结合数学史，激发学生爱国热情和民族自豪感． 三、学情分析 １．有利因素 授课对象是高二的学生，具有一般的归纳推理能力，思维较活跃，初步具备了用联系的观点分析问题的能力．学生刚刚学习了计数原理和排列组合的知识，对本节()+n a b 展开式中各项系数的研究会有很大帮助． ２．不利因素 本节内容思维量较大，对思维的严谨性和分类讨论、归纳推理等能力有较高要求，学生学习起来有一定难度．在数学学习过程中，大部分学生习惯于重视定理、公式的结论，而不重视其形成过程． 四、教法策略分析 遵循“以学生为主体、教师是数学课堂活动的组织者、引导者和参与者”的现代教育原则，采用“启发式教学法”，学生主要采用“探究式学习法”， 并利用多媒体辅助教学． 本课以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，倡导学生主动参与，通过不断探究、发现，在师生互动、生生互动中，完成二项式定理的探究，让学习过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程． 五、教学过程 （一）创设情境 引入课题 引入：通过“牛顿发现二项式定理”的历史引入课题．提出问题：2()+=a b ？ 3()+=a b ？
二项式定理 一、教学目标 1．知识目标：掌握二项式定理及其简单应用 2．过程与方法：培养学生观察、归纳、猜想能力，发现问题，探求问题的能力，逻辑推理能力以及科学的思维方式。 3．情感态度和价值观：培养学生勇于探索，勇于创新的个性品质，感受和体验数学的简洁美、和谐美和对称美。 二、教学重点、难点 重点：二项式定理的发现、理解和初步应用及通项公式 难点：展开式中某一项的二项式系数与该项的系数的区别 三、教学过程 创设问题情境： 今天是星期三，15天后星期几，30天后星期几，1008天后星期几呢？ 前面几个问题全班所有学生都大声地回答出来了，最后一个问题大家都很迷惑，有些学生试图用计算器算，还是觉得很复杂，学习完这节课我们就知道答案了，并且我们不用查日历就能知道未来任何一天是星期几 新课讲解： 问题1 ()()a b c d ++的展开式有多少项？有无同类项可以合并？ 由于这一节是在学生学习了两个计数原理和排列组合知识之后学习的，所以学生能够快速的说出答案。 问题2 ()()a b a b ++的()2a b +原始展开式有多少项？有几项是同类项？项是怎样构成的？有规律吗？ 学生根据乘法展开式也很快得出结论 问题3 ()()()a b a b a b +++的()3a b +原始展开式有多少项？经合并后又只能有几项？是哪几项？ 学生仍然根据乘法公式算出了答案 问题4 ()()()()a b a b a b a b ++++的()4a b +的原始展开式有多少项？ 问题5 你能准确快速地写出()4a b +的原始展开式的16项吗？经合并后，又只能有哪几 项？ 此时，学生能说出其中的一两项，并不能全部回答出来所有的项，思维觉察到麻烦，困难，易出错——借此“愤悱”之境，有效的实现思维的烘热） 启发类比：4个袋中有红球a ，白球b 各一个，每次从4个袋子中各取一个球，有什么样的取法？各种取法有多少种？ 在4个括号（袋子）中
垂径定理 一、教学目标 1．利用圆地轴对称性研究垂径定理及其逆定理；2．运用垂径定理及其逆定理解决问题． 二、教学重点和难点 重点：利用圆地轴对称性研究垂径定理及其逆定理．难点：垂径定理及其逆定理地证明，以及应用时如何添加辅助线 三、教学过程 （一）情境引入： 1．如图，AB是⊙O地一条弦，作直径 CD，使CD⊥AB，垂足为M． （1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能图中有哪些等量关系？ （3）你能给出几何证明吗？（写出已知、求证并证明）
（二）知识探究： 【探究一】通过上面地证明过程，我们可以得到：1.垂径定理____________________________________________ _________ 2.注意： ①条件中地“弦”可以是直径；②结论中地“平分弧”指平分弦所对地劣弧、优弧。 ③定理中地两个条件缺一不可——______________，______________． 3.给出几何语言 如图，已知在⊙O中，AB是弦，CD是直径，如果CD ⊥AB，垂足为E，那么 ， ? BD=________ 4．辨析：判断下列图形，能否使用垂径定理？ 2
1.如图，AB 是⊙O 地弦（不是直径），作一条平分AB 地直径CD ，交AB 于点M. （1）下图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）图中有哪些等量关系？说一说你地理由. 2. 垂 径 定 理 地 推 论 ： ______________________________________________________________ 3．辨析：“平分弦（不是直径）地直径垂直于弦，并且平分弦所对地两条弧．”如果该定理 少了“不是直径”，是否也能成 反例： 4.如图，在⊙O 中，AB ， CD 是直径， （1）如果AE=BE 那么CD____AB ? BD =____ (2)如果? AC =? BC 那么CD____AB ，AE______BE ，? BD =____ （3）如果 ? AD =? BD 那么CD____AB ，AE_____BE ， D
高中数学《二项式定 理》公开课教案设计 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
二项式定理公开课教案 （第一教时） 一、教学目标 1、理解杨辉三角形。其行为样例是：（1）能用不完全归纳法写出杨辉三角形；（2）能根据杨辉三角形对)6()(≤+n b a n 的二项式进行展开。 2、掌握二项式定理。其行为样例是：（1）能根据组合思想及不完全归纳 法猜出二项展开式的系数),,,2,1,0(*∈=N n n r C r n 以及二项展开式的通项r r n r n r b a C T -+=1；(2)能正确区分二项式系数和某一项的系数；（3）能应用定理对任意给定的一个二项式进行展开、并求出它特定的项或系数。 二、教学重点与难点 1、重点：二项式定理的发现、理解和初步应用。 2、难点：二项式定理的发现。 （教具：多媒体课件） 三、教学过程 1、情景设置 问题1：若今天是星期一，再过30天后是星期几怎么算 预期回答：星期三，将问题转化为求“30被7除后算余数”是多少。 问题2：若今天是星期一，再过)(8*∈N n n 天后是星期几怎么算 预期回答：将问题转化为求“n n )17(8+=被7除后算余数”是多少，也就是研究)()(*∈+N n b a n 的展开式是什么？这就是本节课要学的内容，学完本课后，此题就不难求解了。 （设计意图：使学生明确学习目的，用悬念来激发他们的学习动机。奥苏贝尔认为动机是学习的先决条件，而认知驱力，即学生渴望认知、理解和掌握知识，并能正确陈述问题、顺利解决问题的倾向是学生学习的重要动力。） 2、新授 第一步：让学生展开 b a b a +=+1)( 2222)(b ab a b a ++=+； 32232333)()()(b ab b a a b a b a b a +++=++=+； 43223434464)()()(b ab b a b a a b a b a b a ++++=++=+ 5432234555510105)()()(b ab b a b a b a a b a b a b a +++++=++=+ 教师将以上各展开式的系数整理成如下模型 1 1 1 2 1
二项式定理（第 1 课时） 一、内容和内容解析 内容：二项式定理的发现与证明． 内容解析：本节是高中数学人教 A 版选修 2－3 第一章第 3 节的内容．二项式定理是多项式乘法的特例，是初中所学多项式乘法的延伸，此内容安排在组合计数模型之后，随机变量及其分布之前，既是组合计数模型的一个应用，也是为学习二项分布作准备． 由于二项式定理的发现，可以通过从特殊到一般进行归纳概括，在归纳概括过程中还可 以用到组合计数模型，因此，这部分内容对于培养学生数学抽象与数学建模素养有着不可忽 略的价值．教学中应当引起充分重视． 二、目标和目标解析 目标： （1）能通过多项式乘法，归纳概括出二项式定理内容，并会用组合计数模型证明二 项式定理． （2）能从数列的角度认识二项式的展开式及其通项的规律，并能通过特例体会二项 式定理的简单应用． （3）通过二项式定理的发现过程培养学生的数学抽象素养，以及用二项式定理这个 模型培养学生数学建模素养． 目标解析： （1）二项式展开式是依多项式乘法获得的特殊形式，因此从多项式乘法出发去发现二 项式定理符合学生的认知规律．但归纳概括的结论，如果不加以严格的证明不符合数学的基 本要求．因此，在归纳概括的过程中，用好组合模型不仅可以更自然地得到结论，还能为证明二项式定理提供方法． （2）由于二项展开式是一个复杂的多项式．如果不把其看成一个数列的和，引进数列 的通项帮助理解与应用，学生很难短期内对定理有深入的认识．因此，通过一些特例，建立二项式展开式与数列及数列和的联系，是达成教学目标的一个重要途径． （3）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会 去落实．在二项式定理的教学中，从特殊的二项式展开式的特征归纳概括一般二项式展开 式的规律是进行数学抽象教学的很好机会；同时利用组合计数模型证明二项式定理，以及利
垂径定理教学设计 【教学目标】 知识与技能： 1、知识目标：通过实验观察，让学生探索垂径定理的证明过程； 掌握垂径定理，能初步运用垂径定理解决有关的计算和证明问题。 2、能力目标：让学生经历“实验—观察—猜想—验证—归纳”的研究过程，培养学生动手实践、观察分析、 归纳问题和解决问题的能力，培养发散思维。 过程与方法： 1、创设情境，激发学生的求知欲望；学生在老师的引导下进行自主探索、合作交流，收获新知；通过分组训练、 深化新知，共同感受收获的喜悦。 2、在解决垂径定理的相关问题中总结出相应的解题方法和常见辅助线作法，渗透类比、转化、数形结合、方程、 建模等数学思想和方法 情感态度与价值观： （1）体会数学知识与现实生活的密切联系； （2）通过图片欣赏感受数学文化，激发学习热情； （3）养成独立思考、合作交流、反思质疑、主动探究的习惯，形成严谨的科学态度，培养学生勇于探索的精神。【教学难点】 垂径定理的证明和应用。 【教学重点】 运用垂径定理解决有关证明与计算问题 【教学媒体】 自制教具，圆规，三角尺，PPT课件 【教学方法】 问题教学法、实验教学法、探究教学法、引导发现法
设计意图：通过该观察和猜想让学生感知当直径与弦垂直时有特殊的性质。 2、操作验证 你能借助桌上的圆形纸片进行适当的操作来个猜想是否合理吗？动手试一试。培养学生养成严谨的思维习惯。 弦对的两图2 图3 图1
②、归纳垂径定理的几个基本图形 设计意图：让学生熟记定理应用的条件，检验是否理解了定理，熟悉定理能应用的相应图形。 垂足为M，AB=12，半径OB=10
师生共同总结常用方法：垂径定理常和勾股定理结合使用，半径、半弦、弦心距三个量中任知两个量，可求第三个量。 设计意图：让学生即学即练，初步运用定理解决简单计算问题，并总结解题方法。 方法归纳：当半径、半弦、弦心距三个量中不直接具备 进一步培养学生运用垂径定理解决有关计算问题的能力，初步感受“连半径”这一辅助线作法和方程思想。
第七节动能和动能定理 教学目标： （一）知识与技能 1、掌握动能和动能定理的表达式。 2、理解动能定理的确切含义，应用动能定理解决实际问题。 （二）过程与方法 1、运用演绎推导方式推导动能定理的表达式。 2、理论联系实际，学习运用动能定理分析解决问题的方法。 （三）情感、态度与价值观 通过动能定理的演绎推导，感受成功的喜悦，培养学生对科学研究的兴趣。教学重点： 动能定理及其应用。 教学难点： 对动能定理的理解和应用。 教学方法： 推理归纳法、讨论法。 教学用具： 多媒体 教学过程： （一）引入新课 开门见山，直引主题：通过上节课的探究，我们已经知道了力对物体所做的功与速度变化的关系，那么物体的动能应该怎样表达？力对物体所做的功与物体的动能之间又有什么关系呢？这节课我们就来研究这些问题。 （二）新课教学 1、动能表达式 我们学习重力势能的时候是从重力做功入手的，而物体速度的变化的原因是力。那么我们讨论动能也应该从做功开始入手讨论。 设物体的质量为m，在与运动方向相同的恒定外力F的作用下发生一段位移l，速度由v 增加到v2，如图所示。试用牛顿运动定律和运动学公式，推导出力 1
F 对物体做功的表达式。（用m 、v 1 、、、v 2 表示） 。 学生先独立推导。然后让两个学生上黑板上分别写出推导过程。得出表达式： 21222 121mv mv W -= 22 1mv 可能是一个具有特殊意义的物理量。因为这个量在过程终了时和开始时的差正好等于力对物体做的功。这就是我们寻找的动能。 质量为m 的物体，以速度v 运动时的动能为： 22 1mv E k = 提出问题：动能是矢量还是标量？国际单位制中，动能的单位是什么？1970年我国发射的第一颗人造地球卫星，质量为173kg ，运动速度为7.2km/s ，它的动能是多大？ 学生活动：回答问题，并计算卫星的动能。 2、动能定理 直接给出动能定理的表达式：21222 121mv mv W -= 或：12k k E E W -= （1） 公式的意义：212 1mv 是初动能， 2221mv 是末动能。公式表明，在一个过 程中力对物体做的功等于这个过程中动能的变化。 （2）提出问题： ①如果物体受到几个力的作用，动能定理中的W 表示什么意义？结合生活实际，举例说明。————应该是合力的功，它等于各力做功的代数和。 ②动能定理是我们在物体受恒力作用且作直线运动的情况下推出的，是否可以应用于变力作功或物体作曲线运动的情况，该怎样理解？
24.1.2 垂直于弦的直径 谷城县石花镇一中李世秀 一、内容和内容解析 1．内容 圆是轴对称图形、垂径定理及垂径定理的推论。 2．内容解析 垂径定理是初中数学的重要内容之一。本节课是在学生已经学习了圆的定义以及圆的有关概念的基础上，进一步研究圆的有关定理．作为本章的第一个定理，本节内容是学习本章知识的基础，另外也进行了情感教育，同时体现了数形结合和转化的数学思想．本节课首先从赵州桥引入，紧接着出现三个探究：分别是圆的轴对称性、垂径定理、垂径定理的推论。 圆的轴对称性：通过学生动手反复折叠结合问题得出结论； 垂径定理：通过问题串的形式首先给出图形讨论除了垂直外，还有哪些等量关系等等？学生通过自主探究合作交流达成共识进而进行剖析定理; 垂径定理的推论：题设结论共5要素，是否任意知道2要素，得到其它3要素？老师指导，学生练习自主探究合作交流达成共识。 基于以上分析，可以确定本课的教学重点是：1.理解圆的轴对称性；掌握垂径定理及推论；学会运用垂径定理进行有关计算。 二、教材解析 本节课是在学习了圆的有关概念之后，为了学习后面圆的有关知识引进了垂径定理。它是为后面学习弧、弦、圆心角定理与圆周角定理以及其它有关圆的知识作了准备，尤其利用垂径定理及推论来计算线段长度。本节课的难点是垂径定理及推论的推导、应用。学生在学习过程中可能不能深刻理解“垂径定理”。因此在教学时，要利用问题串形式来进行自主探究合作交流通过教师点拨从而突破重点难点。 三、目标和目标解析 1．目标 （1）经历探索圆的轴对称性及垂径定理及推论的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法。 （2）理解并应用垂径定理及推论进行有关的计算． 2．目标解析 目标（1）是让学生能从反复的折纸中体会圆是轴对称图形以及得出垂径定理，体会数形结合和转化的数学思想． 目标（2）是让学生需要理解垂径定理及推论的推导，并且运用它进行有关的计算。 四、教学问题诊断分析
7.7 动能和动能定理 一、教学目标 1.知识与技能： （1）．知道动能的定义式，会用动能的定义式进行计算。 （2）．理解动能定理及其推倒过程，知道动能定理的适用范围。 （3）．利用动能定理解决实际问题。 2.过程与方法： （1）．运用归纳推导方式推导动能定理的表达式。 （2）．对比分析动力学知识解决问题与动能定理解决问题。 3.情感态度与价值观： 通过动能定理的演绎推导．感受成功的喜悦，培养学生对科学研究的兴趣。 二、教学重点 动能的概念 三、教学难点 对动能定理的理解和应用 四、教学过程 1．复习上节课所学 重力势能变化重力做功（1） （功是能量变化的量度。） 物体能量的变化往往跟力做功相关联。弹性势能变化弹力做功 动能变化合外力做功 （2）从我们的日常生活经验知道，速度变化越大，动能变化越大即合外力对物体做功越多。 （3）通过上节课的实验探究得出结论：合外力所做的功和速度的平方成正比。 即Ｗ∝V2 本节课我们再沿另一条线索探索物体动能的表达式，如果两者相互支持，我们就可以做出比较正确的结论。 2．影响动能的因素 （1）根据动能的定义和日常生活经验，我们知道速度是影响动能的一个重要因素的。 （2）情景一，有一个小球以速度V迎面滚来 情景二，视频中石球以速度V迎面滚来.
速度相同的两个球迎面向我们滚过来，面对不同的球体为何人会做出不同的反应？这两个球体都因为运动而具有动能，那么它们的动能是否相同？ 因为两个球具有的能量不一样，因为运动而具有的这种能量叫做动能。 结论：石球的的动能很巨大，物体的质量也是影响动能大小的一个重要因素。 3. 问题情景：在光滑水平面上有一物体的质量为m ，在与运动方向相同的恒力F 的作用下发生一段位移L,速度由v1增加到v2，如图所示. 提出问题： （1） 物体受到的合外力是：F 合=Ｆ （2）合外力对物体所做的功是:W=F ×L （3）物体的初速度、末速度、位移之间有: 2 122v v -=2aL (4) 结合上述三式你能综合推导得到什么样的式子？ 推导：这个过程中，力F 所做的功为W=FL 根据牛顿第二定律F=ma 而2 122 v v -=2aL,即 L=a v v 22122- 把F 、L 的表达式代入W=FL,可得F 做的功W=a v v ma 2) (212 2- W = 21222 121mv mv - 结论： 2 1mv 2 是一个具有特殊意义的物理量，表现在： 1. 这个式子中包含了影响动能的两个因素:m 和v 2. 这个过程终了与开始的差，正好等于力对物体做的功 3. 这个量涵盖了我们上节课探究得到的结论Ｗ∝V 2 4．根据这段时间一系列的探究：质量为m 的物体，以速度v 运动时的动能为Ｅｋ E k =2 1mv 2 总结：（1）物体的动能等于物体质量与物体速度的二次方的乘积的一半． （2）动能的标矢性：标量，没有正负． v 1 v 2