复习课《分式方程》教学设计
甘肃省景泰县第四中学李成栋
教学内容分析
分式方程是初中数学的重点内容，本节课是北师大版八年级下册第五章《分式与分式方程》第四节—分式方程的复习课，教学重点是分式方程的定义、解法、增根及应用，难点是增根和应用，让学生在学习过程中体会“转化”、“方程”的数学思想，提高分析问题、解决问题的能力。
学生学情分析
我校从2011年以来实行高效课堂，学生经过培养，具备了合作、交流、展示、点评、质疑、分析问题、解决问题的能力，前几节课学生已经学习了分式方程的有关知识，为本节课的复习打下了基础。
教学目标设置
（1）知识与技能
1.进一步掌握分式方程的定义、解法、增根及应用。
2.熟练利用分式方程分析问题、解决问题。
（2）过程与方法
1.通过“互学、独学、对学、合学、群学”等环节，“合作、交流、展示、点评、质疑”等方式促进学生对知识的掌握。
2.体会“转化”、“方程”的数学思想解决问题。
（3）情感与态度
1.进一步体会数学与生活的联系，了解数学的价值。
2.增强学生合作与交流的意识，培养学习的兴趣。
教学重点和难点分析
重点：进一步掌握分式方程的定义、解法、增根及应用。
难点：进一步理解增根的条件，灵活应用分式方程解决实际问题。
教学策略分析
1.在教学中，给学生提前配发导学案进行预习，在课堂中我采用了引导式、探究式的教学方法，以“问题串”的形式，“学生为主体，老师为主导，练习为主线”的思路贯穿整个课堂，并结合了多媒体辅助教学。
2.在学法中，通过“互学、独学、对学、合学、群学”等环节，“合作、交流、展示、点评、质疑”等方式促进学生对知识的掌握。
教具准备
教师：教学设计、电子白板、幻灯片若干张、小组评价表、彩色粉笔、激光灯。
学生：课本、导学案、学生分成8个小组（每组4人，有1号、2号、3号、4号，每人答对或答错都有不同的加分）根据分数评出本节课的优秀小组和优秀个人以资鼓励。梳理知识
知识框架图：（边出示幻灯片边设计板书）
【设计意图】老师提问学生，以框架图的形式梳理本节课知识点，并重点性的板书，提问主要针对3号、4号学生，让他们都积极参与课堂。本环节设计的主要目的是：使学生对本节课的知识有个整体的认识，形成清晰的思路，以便更好地完成学习目标。
教学过程
本节复习课共设计了十个教学环节：第一环节：定义跟踪；第二环节：巩固练习；第三环节：拓展延伸；第四环节：直击难点；第五环节：中考衔接；第六环节：回顾与
反思；第七环节：当堂检测；第八环节：小组评价结果；第九环节：布置作业；第十环节：课外思考题（随机题）。
一、 定义跟踪（师生互学）：（出示幻灯片）
指出下列关于x 的方程中，是分式方程的是 （只填序号）. ①8121=+x ②24312x x -=+- ③ 629132x x +--= ④15-=-x x ⑤1=+b
x a x （师：请3号或4号学生直接口头展示，有疑问的请其他学生补充，老师质疑、强调、纠正）
【问题诊断分析】通过此题理解：像①、③、⑤题中这样的方程为什么不是分式方程？它们应该是什么方程？分母中含有未知数的方程叫做分式方程，分式方程的特征是：（1）方程中含有分母，（2）方程的分母中含有未知数。分母中是否含有未知数是区别分式方程与整式方程的标志，①、②、③、④题学生很容易掌握，⑤题学生不容易掌握，老师要点拨分析，如何看待其分母中的字母a 和 b ？本题中的方程是关于x 的方程，未知数是x ，其他字母都为字母常数。要注意分式方程与含有字母已知数方程的区别，学生容易出错，应着重强调。
【设计意图】这一环节的设计，考察学生对基础知识的掌握，不是简单的让学生重复定义，而是通过展示一组方程让学生进行辨别，在此过程中学生必将调动自己对分式方程定义的理解，同时还要注意区分分式方程与整式方程， ⑤中辅助字母的设计又帮助学生理解分式方程定义的关键点——分母中含有未知数，所以本设计可以说是站在较高的层次上对分式方程定义的复习。
二、巩固练习（学生独学）：（出示幻灯片）
解分式方程： 31144x x x
-+=-- （师：先请学生独立完成后，老师再请一位3号或4号学生口头展示，有疑问的请其他学生补充，有必要时老师补充、纠正）
解分式方程的一般步骤：
（1）去分母（方程两边都乘以最简公分母，把分式方程转化为整式方程）
（2）去括号（利用去括号法则）
（3）移项（移谁改变谁的符号）
（4）合并同类项（利用合并同类项法则）
（5）化系数为1（系数是谁方程两边同时除以谁）
（6）验（双重）
【把所求得的未知数的值代入原分式方程进行检验，一看是否解方程正确，二看是否是增根，即：如果未知数的值使原分式方程的分母为0，则说明是增根，所以原分式方程无解，如果未知数的值使原分式方程的分母不为0，则说明不是增根，是原分式方程的根。】
【问题诊断分析】学生有可能在解题过程中：(1)最简公分母确定的不准确；(2)去分母时漏乘整式项；(3)去分母时忽略符号的变化；(4)忘记检验。通过这道题的解法，让学生更进一步知道，产生增根的原因是：在去分母时给分式方程的两边同乘以最简公分母，最简公分母可能为0了，则原分式方程就没有意义了，所以最后的检验是必须的。
【设计意图】因为解分式方程是要求学生掌握的基本技能，所以先让学生复习解分式方程的一般步骤，然后让学生明确解题过程中应注意的问题。再通过独立解题过程中学生出现的问题，反思解题中常出现的错误，从正、反两个方面加深学生对知识的理解和掌握。
三、拓展延伸（学生对学）：（出示幻灯片）
已知关于x 的分式方程3111m x x
+=---的根是非负数，求m 的取值范围。 （师：先请学生想一想，然后分配任务：让学生对子交流订正，1号和4号，2号和3号，完成后，谁愿意上黑板展示，谁又愿意上黑板点评就上来，点评完，有疑问的请其他学生补充，在这里老师要点拨、强调）
【问题诊断分析】学生大多数可能只是这样做的: “3111m x x +=---，3111
m x x -=---， m-3=-(x-1),m-3=-x+1,x=1+3-m,x=4-m,∵x ≥0,∴4-m ≥0,-m ≥-4,m ≤4,所以答案就是：m ≤4”.但是原分式方程是有根，所以要排除增根，要限制最简公分母x-1≠0,x ≠1,即：4-m ≠1,-m ≠1-4,-m ≠-3,m ≠3,综合起来正确答案就是：m ≤4且m ≠3。学生有可能要补充最简公分母x-1≠0，这一点由于学生审题不严最容易出错，老师要重点强调。另外可以让学生对这道题提出一种质疑并再请其他学生帮助解决，质疑可能有：根是非正数、根是负数、根是正数等等，则m 的取值范围又是多少呢？
【设计意图】解分式方程是基本的计算题题型之一，用途很广很重要，引入不同的题型，变式类似的题型，使学生更进一步掌握分式方程的定义、解法及增根，培养学生计算能力和解决问题的能力。
四、直击难点（学生合学）：（出示幻灯片）
若分式方程11(1)(2)
x n x x x -=--+ 有增根，试求n 的值。 （师：先请学生考虑考虑后分配任务：学生小组合作交流，完成后请一位1号学生上黑板展示，再请一位1号学生上黑板点评，有疑问的请其他学生补充，有必要时老师强调、纠正并补充）
【问题诊断分析】学生有可能对增根的条件考虑不周而导致错误，增根满足的条件：①必须使最简公分母为0；②必须是去分母后的整式方程的根；③把求出的常数值代入原分式方程中，如果能求出相应的x 的值，则说明常数存在，增根也存在；如果求不出相应的x 的值，则说明常数不存在，增根也不存在，应舍去。对于这道题有一定难度，学生由于对增根条件理解不透，容易出错，求出n 的值为0或3，经过第三个条件的检验, n 的值为3,所以检验是非常有必要的，老师应该着重强调。
【设计意图】由于分式方程的增根问题是学生理解上的难点，学生在学过的情况下可能还会存在疑惑，因此安排了“直击难点”这一环节进行训练，所选题是在理解增根基础上的灵活应用，能够帮助学生较好的理解增根条件，并能利用其解决问题。
五、中考衔接（师生群学）：（出示幻灯片）
1. A 、B 两个小组的同学参加“绿化祖国”植树活动，已知B 组每小时比A 组多种2棵树，A 组种60棵树所用的时间与B 组种66棵树所用的时间相等，若设A 组每小时种x 棵树,则可列方程为（ ）
A. B. C. D. 2. 某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨1/3,小明家去年12月份的水费是15元，而今年7月份的水费是30元。已知小明家今年7月份的用水量比去年12月份的用水量多5立方米，求该市今年居民用水的价格。
（师：第一道题请一位3号或4号学生口头展示；第二道题和学生一起审题并请学生口头展示找出三个等量关系，然后分配任务：让学生小组讨论完成后请一位1号或2号学生上黑板展示，再请一位1号或2号学生上黑板点评。有疑问的请其他学生补充，有必要时老师纠正、补充）
【问题诊断分析】第一道题相对简单，学生都能解决。对于第二道题：“从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨1/3,而又求今年居民用水的价格”，学生可能对这个关系不能很好的理解，不能正确的找出等量关系，难设未知数，所以出现问题较多，老师应该再重新举例，这样才能更好地突破解这类题的难点。
【设计意图】通过这一环节的练习，不但让学生能够熟练的建立分式方程数学模型解决60662X X =+60662X X +=60662X X =+60662
X X =+
实际问题，培养了学生的数学应用意识，强化数学与生活的密切联系，突破了难点，而且又关注社会热点——保护环境问题和水资源问题。教育了学生要热爱生命、保护环境，热爱生活、提倡节约。
六、回顾与反思：（出示幻灯片）
同学们通过自学课本、导学案，课堂学习后，谈谈你的收获？你还有什么困惑？你获得 的数学思想？（学生交流后老师请学生回答） .
【设计意图】学生自己畅所欲言谈收获，既对本节知识的复习，又对学生的归纳、表达能力进行了训练。
七、当堂检测：（出示幻灯片）
1、若关于x 的分式方程3
23-=--x k x x 会产生增根，试求k 的值。 2、八年级（1）班学生周末乘汽车到旅游区春游，旅游区距学校120km ，一部分学生乘慢车先行，出发0.5h 后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达游览区。已知快车的速度是慢车的1.2倍，求慢车的速度。 【问题诊断分析】通过本节课的复习，第一题，学生可能都能掌握，第二题，1号、2号学生都能掌握，3号学生可能掌握，对于4号学生难度较大，所以下去以后，1号小组长、老师多帮助他们，另外，老师平时应对他们进行相应的交流和辅导。
【设计意图】让学生独立完成，老师先订正小组长并评价加分后，小组长再订正小组内其他成员。通过这两道题的解答，一方面，让学生能很好的理解增根的条件、利用分式方程数学模型解决实际问题，从而突破本节课的难点，达到复习课预期的目的，培养了学生解决问题的能力；另一方面，检测学生掌握情况，以便老师在后面教学中做到心中有数、因材施教。
八、小组评价结果：（黑板显示）
①优秀小组 ②优秀个人
【设计意图】每个教学环节都能对学生及时的评价，最后做出综合评价，这样能激发学生的学习热情，改变学生的学习态度，不管在课堂中还是在课间，都让学生形成一种：比、学、赶、帮、超的精神，提高了学生的合作能力、竞争意识，以便将来为社会做出贡献。
九、布置作业：（出示幻灯片）
课本P132第10、12题
【设计意图】做作业是学生巩固知识的有力保证，从而培养了学生自学能力和独立分析问题、解决问题的能力。
十、课外思考题：（随机题出示幻灯片）
请你联系生活实际编写一道分式方程的应用题，并解答。
【设计意图】通过本节课的学习，是对数学学有余力、更加感兴趣的学生进行能力提高，使他们得到更高的发展空间。
板书设计
复习课分式方程
一、分式方程的定义：①②
二、解分式方程的一般步骤：①②③④⑤⑥验
三、增根的条件：
①必须使最简公分母为0。②必须是去分母后整式方程的根。③代入原分式方程检验。
四、列分式方程解应用题的一般步骤：
①审②找（关键）③设④列⑤解⑥验⑦答
五、思想：转化方程
【设计意图】使学生对本节课的知识点能整体、直观的理解和识记。
教学反思
1、亮点：
①本节课是分式方程的复习课，课前组织，安排有序，有课代表反馈家庭作业情况。
②在高效课堂的模式下，学生通过课前预习课本、导学案，课堂上老师以问题串的形式设计了知识框架图，通过知识框架图呈现知识结构，使学生对本节知识有系统的把握，把所学知识条理化、系统化，有助于训练学生概括、归纳能力。通过“互学、独学、对学、合学、群学”等环节，“合作、交流、展示、点评、质疑”等方式促进了学生对知识的掌握，提高了分析问题、解决问题的能力。通过逐渐递进的练习，较好的达到复习巩固的目的，这样的程序符合学生的认知规律，使1号、2号、3号、4号的学生得到了不同的发展和提高，但对于4号学生而言，学起来比较费劲，所以我们要充分发挥高效课堂小组建设，老师要多培训、多指导小组长1号学生，让小组长起带头作用、模范作用，
帮助4号学生。另外，老师平时要多和4号学生交流、沟通、谈心，不要使他们厌学、失去信心，做到教育公正、平等。
③学生学习过程中，进一步渗透了“转化”、“方程”的数学思想，了解了数学的价值，培养了学习的兴趣。展示阳光，点评精彩，补充到位，每个教学环节都能对学生及时的评价，最后综合评价。
④信息技术电子白板运用的今天，给教师和学生带来形象、生动、直观、具体、方便的东西真多，效果也非常好，使我受益匪浅，比起以前的教学工具和手段，又省时省力，我今后在教学中应大力提倡、运用。
2、不足：
①应用题第2题中，第一个等量关系突破的不是很好。
②老师的语言表达欠佳。
针对不足我做以下两点改进：
①应用题第2题中，第一个等量关系2位学生答错了，应该在第3个学生答对以后就重新举例，这样能更好地突破这类题的难点。
②多请教多学习，提高语言表达能力。
当然，很难有完美的课堂，本节课虽已突出重点，突破难点，但仍有不足之处，希望各位专家，提出宝贵的意见和建议，因为我还年轻，我会不断学习，不断总结经验，提高教学水平，谢谢大家！
3.4.3 分式方程（三） ●教学目标 （一）教学知识点 1.用分式方程的数学模型反映现实情境中的实际问题. 2.用分式方程来解决现实情境中的问题. （二）能力训练要求 1.经历运用分式方程解决实际问题的过程，发展抽象概括、分析问题和解 决问题的能力. 2.认识运用方程解决实际问题的关键是审清题意，寻找等量关系，建立数学模型. （三）情感与价值观要求 1.经历建立分式方程模型解决实际问题的过程，体会数学模型的应用价值，从而提高学习数学的兴趣. 2.培养学生的创新精神，从中获得成功的体验. ●教学重点 1.审明题意，寻找等量关系，将实际问题转化成分式方程的数学模型. 2.根据实际意义检验解的合理性. ●教学难点 寻求实际问题中的等量关系，寻求不同的解决问题的方法. ●教具准备 实物投影仪 投影片三张 第一张：做一做，（记作§3.4.3 A） 第二张：例3，（记作§3.4.3 B） 第三张：随堂练习，（记作§3.4.3 C） ●教学过程 Ⅰ.提出问题，引入新课 ［师］前两节课，我们认识了分式方程这样的数学模型，并且学会了解分式方程. 接下来，我们就用分式方程解决生活中实际问题.
Ⅱ.讲授新课 出示投影片（§3.4.3 A ） ［生］第二年每间房屋的租金=第一年每间房屋的租金+500元. （1） ［生］还有一个等量关系： 第一年租出的房屋间数=第二年租出的房屋的间数. ［师］根据“做一做”的情境，你能提出哪些问题呢？在我们的数学学习中，提出问题比解决问题更重要. 同学们尽管提出符合情境的问题. ［生］问题可以是：每年各有多少间房屋出租？ ［生］问题也可以是：这两年每年房屋的租金各是多少？ ［师］下面我们就来先解决第一个问题：每年各有多少间房屋出租？ ［师生共析］解：设每年各有x 间房屋出租，那么第一年每间房屋的租金为x 96000元，第二年每间房屋的租金为x 102000元，根据题意，得 x 102000=x 96000+500 解这个方程，得x=12 经检验x=12是原方程的解，也符合题意. 所以每年各有12间房屋出租. ［师］我们接着再来解决第二个问题：这两年每间房屋的租金各是多少？ ［生］根据第一问的答案可计算，得： 第一年每间房屋的租金为 1296000=8000（元）， 第二年每间房屋的租金为12 102000=8500（元）.
《分式方程》教学设计 泰来县江桥镇中心学校潘艳梅 一、教学目标： （一）、知识与技能： 1、理解分式方程的意义； 2、了解解分式方程的基本思路和解法； 3、理解解分式方程时可能产生增根的原因。 （二）、过程与方法：经历“实际问题---分式方程---整式方程”的过程，发展学生分析问题、解决问题的能力，渗透数学的转化思想，培养学生的应用意识。 （三）、情感态度：在活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯，培养学生努力寻找解决问题的进取心，体会数学的应用价值。 二、教学重、难点： 重点：分式方程的概念和解分式方程的基本步骤； 难点：理解解分式方程时可能产生增根的原因。 三、教学过程设计： （一）回顾旧知 师生在和谐的气氛之下共同回忆以下内容： （1）大家还记得我们以前学过什么方程吗？ （2）你会解一元一次方程吗？ 例如：3x+7=2 0.5x-0.7=6.5-1.3x （3）解二元一次方程组的主要思想是什么？
设计意图：通过以上三个问题让学生投入到方程的世界，也为学生能够自己通过知识的迁移突破本节课的重点做一个铺垫. （二）、创设情景、导入新课 出示问题情境：小明与小亮进行百米赛跑。当小明到达终点时，小亮离终点还有5m ，如果小明比小亮每秒多跑0.35m ，你知道小明百米跑的平均速度是多少吗？ (1)设小明百米跑的平均速度为x m/s,那么，小亮百米跑的平均速度是__________m/s （2）小明跑100m 用的时间等于小亮跑_____________m 所用时间。 师： 同学们，你能解决这个问题吗？ （二）激发兴趣，初次探究 （学生交流、讨论，板演所列方程）： 解：设小亮的速度是 x 米∕秒,由题意得：x 5100- = x +35.0100 师：这种类型的方程，我们以前接触过吗？那我们以前曾学过哪几类方程？你能举出几个例子吗？ 生1：我们学过一元一次方程； 如：1653=+x x ， 13 2253-=+x x ，等。 生2：还有二元一次方程；如：402=+y x ，214332=+n m ，等。 师：仔细观察，这些方程的两边都是怎样的式子？ 生齐答：是整式。 师：我们把这些方程都叫做整式方程。那么，我们刚才所列的方程 x 5100- = x +35.0100与这些整式方程有什么区别？ 生1：这个方程的未知数在分母里。 生2：这个方程的分母中含有未知数。
一：认识分式 1、整式与分式 用A ，B 表示两个整式，A ÷B 可以表示成A B 的形式，若B 中含有字母，式子A B 就叫做分式．若分式B A 有意义，则必须满足条件： ；若分式B A 无意义，则必须满足条件： ；若分式 B A 值为零，则必须满足条件： ； 2．分式的基本性质 A B =,A M A A M B M B B M ?÷=?÷（其中M 是不等于零的整式） 3．分式的符号法则 a b =a a a b b b --=-=---． 典型例题 题型一：分式的概念 1、在下列式子x 2、31 )(y x +、35-π、12-a x 、x x 2中，哪些是分式？哪些是整式？ 2、在代数式23 153******** a b ab c x xy a y +++、、、、、中，分式有（ ）. （A ）4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1 3、使分式2 x x +有意义的x 的取值范围是（ ） A ．2x = B ． 2x ≠ C ． 2x ≠- D ． 2x > 4、无论X 取何值，分式总有意义的是（ ）
A.122+x x B. 1+x x C. 112-x D. 21 x x + 5、分式1 12+-x x 的值为0，则（ ） A.．x ＝－１ B ．x ＝１ C ．x ＝±１ D ．x ＝０ 6、当x ＝2时，下列分式中，值为零的是( ) A ． B ． C ． D ． 7、若分式63 2---x x x 的值为零，则x 的值为（ ） A.±3 B.3 C.－3 D.以上答案均不正确 8、若分式m m m --21 的值为零，则m 取值为（ ） A ．m ＝±1 B ．m ＝-1 C ．m ＝1 D ．m 的值不存在 题型三：分式的基本性质 1、下列各式与x y x y -+相等的是（ ） （A ）()5()5x y x y -+++ （B ）22x y x y -+ （C ）222()()x y x y x y -≠- （D ） 22 22 x y x y -+ 2、如果把分式)0,0(≠≠-y x y x x 中的x 和y 都同时扩大3倍，那么分式的值为（ ） A.扩大3倍 B.缩小3倍 C.扩大6倍 D.保持不变 3、如果n m 、同时扩大到原来的10倍，则（1）分式n m n m +-2； ． （2）分式mn n m +； ．（3）分式n m n m --2 2； ． 4、不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数. 2322+--x x x 942--x x 21-x 1 2 ++x x
分式方程教学设计 一、教学内容分析：本节“分式方程”是人教版八年级下册第16章第3节的内容，是继一元一次方程，二元一次方程组之后，初中阶段所讲授的又能一种方程的解法。本节课是在继分式的内容及分式的四则混合运算之后所讲述的一个内容，其实际上就是分式与方程的综合。因此本节课可以看作是一个综合课，同时分式方程的解法也是初中阶段的一个重点内容，要求学生必须掌握。 二、学情分析：在学习本章之前，学生已经分两次学习过整式方程(一元一次方程、二元一次方程组)，他们对于整式方程特别是一元一次方程的解法及其基本思路(使方程逐步化为x=a 的形式)已经比较熟悉，而分式方程的未知数在分母中，它的解法比以前学过的方程复杂，需通过转化思想，化分式方程为整式方程。 三、教学目标： 1、明确什么是分式方程?会区分整式方程与分式方程。 2、会解可化为一元一次方程的分式方程。 3、知道分式方程产生增根的原因，并学会如何验根。 四、教学重点：分式方程的解法。 教学难点：理解分式方程可能产生增根的原因。 五、教学流程 1、忆一忆
(1)什么叫方程?什么叫方程的解? (2)什么叫分式? (3)结合具体例子说出解一元一次方程的步骤。 设计意图：让学生由旧知识的回忆自然引出新知识便于学生理解接受。 2x-(x-1)/3=6 3x/4+(2x+1)/3=0 2、猜一猜 板书课题“分式方程”，让学生猜一猜其概念，结合分式和方程的特点学生易得出：分母中含有未知数的方程叫分式方程。 设计意图：采用这种形式引入今天的话题，让学生觉得不是在上数学，而象是在拉家常，让学生没有负担，另外，学生在前面的回忆的基础上很容易猜出来分式方程的概念。这样使学生感受到数学的简单，从而树立学好数学的信心。 3、辨一辨 判断下列方程是不是分式方程，并说出为什么? 1/(x-2)=3/x x(x-1)/x=-1 (3-x)/=x/2 2x+(x-1)/5=10 3/x=2/(x-3) (2x+1)/x+3x=1 指出：分式方程与整式方程的区别(分母中含不含未知数) 设计意图：学生说出来了分式方程的概念还远远不够，通过这道题使学生更进一步的巩固分式方程的概念。
沪教版七年级第一学期 《可化为一元一次方程的分式方程》教案 数学与应用数学（师范）世承班 徐张帆 1 一、教学目标 1.知识与技能：了解分式方程的定义，掌握将分式方程化为一元一次方程求解的方法，理解增根的产生原因，掌握验根方法。 2.过程与方法：通过先自己寻找解分式方程的方法，再总结一般步骤，体会从特殊到一般的思想方法，了解化归思想，通过学习验根的过程，体会数学的严谨性。 3.情感态度价值观：通过自己探究解决方法，再概括一般方法的过程，提高探究意识和概括能力，通过解决实际应用问题，体会数学源于生活用于生活，提高学习兴趣。 二、教学重难点 1. 重点：将分式方程转化为整式方程的思想和方法（即去分母）。 由于学生要用化归的思想方法解方程，所以这样的思想方法是课堂上要着重说明的，在步骤中就体现为去分母这一步为什么要去怎么去去分母之后方程会化为什么形式 2. 难点：分式方程增根产生的原因及验根过程。 难点在于学生第一次接触到增根这个概念，学生的思维还不够严谨，所以难以理解增根，也容易忘记验根。为攻破难点，课堂上一方面应该讲清楚增根是如何产生的，以及验根的必要性；另一方面应该在讲解习题时要不断强调验根的过程和方法。 三、教学用具 PPT（展示例题）、黑板 四、教学过程 （一）情景引入，感受新知 【例】小白和小绿一起雕刻水仙花，小绿每天比小白少雕刻1个水仙花，小白雕刻4个水仙花的时间，与小绿雕刻3个水仙花的时间相同，问小白和小绿每天分别能雕刻几个水仙花
【复习】列方程解应用题步骤： ① 找等量关系：小白雕刻4个水仙花的时间=小绿雕刻3个水仙花的时间 ② 写设句：设小白每天雕刻x 个水仙花，小绿每天雕刻(x-1)个水仙花。 ③ 列方程： ④ 解方程 ⑤ 写答句 （二）自主探究，理解概念 1. 分式方程的概念 【提问】这个方程是我们之前学过的一元一次方程吗哪里不一样 （预设回答：分母中有未知数） 定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程 以前学过的像一元一次方程、二元一次方程等这类分母中不含有未知数的方程叫整式方程。 【例】概念辨析：下列方程中哪些是分式方程为什么（PPT 展示） （1）x+3y =121 （2）1x x +=5 （3）273x = （4）351221 x x -=-+ （5）51323x x +-+ （6）71532x x -+= 注意区分：分母中有未知数（是分式方程）和有分母但分母中没有未知数（不是分式方程） 2. 分式方程的解法 【小组讨论】这样分母中含有未知数的方程你会怎么解 （预设回答：①通分解方程；②（去分母）两边同时乘以最简公分母x(x-1)） 请学生详细回答去分母的方法：4(x-1)=3x x =4并写答句。（注意板书格式规范） 设计意图：通过复习列方程解应用题，列式得到等式，观察等式从而了解分式方程的概念。体会分式方程是解决实际问题的有效工具。同时通过自己寻找解决方法的过程，初步感受解分式方程的步骤。
分式方程（第1课时）教学设计 一、教学目标 知识与能力（1）了解分式方程的概念。 （2）了解需要对分式方程的解进得检验的原因。 过程与方法会用去分母的方法解可化为一元一次方程的简单分式方程，体会化归思想和程序化思想。 情感态度与价值观通过对本节课的学习使学生养成严谨的数学思维，培养学生发现问题，分析问题，解决问题的能力。 二、教学重难点 重点利用去分母的方法解分式方程。 难点了解用去分母的方法解分式方程产生增根的原因。 三、学情及学法分析 这是八年级学生第一次接触分式方程，在对整式方程的认识还不够深入的情况下，就遇到比解整式方程复杂的求解过程和可能产生增根的新情况，学生对此内容的接受会有很大困难，特别是产生增根的原因，学生没有认知准备。 四、教学过程 1、创设情境，引入课题 问题1 为了解决引言中的问题，我们得到了方程 9060 3030 v v = +- 。仔细观察这个方程， 未知数的位置有什么特点？ 师生活动：学生独立思考并作答。 设计意图：由实际问题引出分母中含有未知数胡方程，让学生了解研究分式方程的必要性。 追问1：方程12 23 x x = + ， 2 110 525 x x = -- ， 2 1 133 x x x x =+ ++ 与上面的方程有什么共同 特征？ 追问2：你能再写出几个分式方程吗？ 设计意图：让学生进一步巩固对分式方程概念的认识。 2、思考探索，获取新知 问题2 你能试着解分式方程 9060 3030 v v = +- 吗？ 师生活动：学生分组讨论，相互交流。教师适当给出提示和纠正。并派出学生代表将不同的解法展示在黑板上，学生相互交流。 设计意图：让学生在已有的知道经验基础上，尝试解分式方程。 问题3 这些解法有什么共同特点？ 师生活动：学生讨论之后，教师总结，这些解法的共同点是先去分母将分式方程转化为整式方程式，再解整式方程，进而通过以下几个问题明确解分式方程的方法和依据： （1）如何把它转化为整式方程？ （2）怎样去分母？ （3）在方程两过乘什么样的式子才能把每一个分母都约去？ （4）这样做的依据是什么？ 学生思考后得出结论：分母中含有未知数的方程，通过去分母就化为整式方程了。利用等式的性质2可以在方程两边都乘以一个式子——各分母的最简公分母。 设计意图：通过探究活动，学生探索出解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，
初中数学《分式方程》教案 3．4分式方程(第1 课时) 教学目标 1．经历分式方程的概念，能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，体会分式方程的模型作用． 2.经历实际问题－分式方程方程模型的过程，发展学生分析问题、解决问题的能力，渗透数学的转化思想人体，培养学生的应用意识。 3.在活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯，培养学生努力寻找解决问题的进取心，体会数学的应用价值. 教学重点： 将实际问题中的等量关系用分式方程表示 教学难点： 找实际问题中的等量关系 教学过程： 情境导入： 有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦9000 kg和15000 kg。已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3000 kg，分别求这两块试验田每公顷的产量。你能找出这一问题中的所有等量关系吗？(分组交流) 如果设第一块试验田每公顷的产量为kg，那么第二块试验田每公顷
的产量是________kg。 根据题意，可得方程___________________ 二、讲授新课 从甲地到乙地有两条公路：一条是全长600 km的普通公路，另一条是全长480 km的高速公路。某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45 km/h，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半。求该客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间。 这一问题中有哪些等量关系？ 如果设客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间为h，那么它由普通公路从甲地到乙地所需的时间为_________h。 根据题意，可得方程_ _____________________。 学生分组探讨、交流，列出方程. 三.做一做： 为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款。已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款总额为5000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额恰好相等。如果设第一次捐款人数为人，那么满足怎样的方程？ 四.议一议： 上面所得到的方程有什么共同特点？ 分母中含有未知数的方程叫做分式方程
复习课《分式方程》教学设计 教学内容分析 分式方程是初中数学的重点内容，本节课是北师大版八年级下册第五章《分式与分式方程》第四节—分式方程的复习课，教学重点是分式方程的定义、解法、增根及应用，难点是增根和应用，让学生在学习过程中体会“转化”、“方程”的数学思想，提高分析问题、解决问题的能力。 学生学情分析 我校从2011年以来实行高效课堂，学生经过培养，具备了合作、交流、展示、点评、质疑、分析问题、解决问题的能力，前几节课学生已经学习了分式方程的有关知识，为本节课的复习打下了基础。 教学目标设置 （1）知识与技能 1.进一步掌握分式方程的定义、解法、增根及应用。 2.熟练利用分式方程分析问题、解决问题。 （2）过程与方法 1.通过“互学、独学、对学、合学、群学”等环节，“合作、交流、展示、点评、质疑”等方式促进学生对知识的掌握。 2.体会“转化”、“方程”的数学思想解决问题。 （3）情感与态度 1.进一步体会数学与生活的联系，了解数学的价值。 2.增强学生合作与交流的意识，培养学习的兴趣。 教学重点和难点分析 重点：进一步掌握分式方程的定义、解法、增根及应用。 难点：进一步理解增根的条件，灵活应用分式方程解决实际问题。 教学策略分析 1.在教学中，给学生提前配发导学案进行预习，在课堂中我采用了引导式、探究式的教学方法，以“问题串”的形式，“学生为主体，老师为主导，练习为主线”的思路贯穿整个课堂，并结合了多媒体辅助教学。
2.在学法中，通过“互学、独学、对学、合学、群学”等环节，“合作、交流、展示、点评、质疑”等方式促进学生对知识的掌握。 教具准备 教师：教学设计、电子白板、幻灯片若干张、小组评价表、彩色粉笔、激光灯。 学生：课本、导学案、学生分成8个小组（每组4人，有1号、2号、3号、4号，每人答对或答错都有不同的加分）根据分数评出本节课的优秀小组和优秀个人以资鼓励。梳理知识 知识框架图：（边出示幻灯片边设计板书） 【设计意图】老师提问学生，以框架图的形式梳理本节课知识点，并重点性的板书，提问主要针对3号、4号学生，让他们都积极参与课堂。本环节设计的主要目的是：使学生对本节课的知识有个整体的认识，形成清晰的思路，以便更好地完成学习目标。 教学过程 本节复习课共设计了十个教学环节：第一环节：定义跟踪；第二环节：巩固练习；第三环节：拓展延伸；第四环节：直击难点；第五环节：中考衔接；第六环节：回顾与
5.4《分式方程》教学设计 第3课时 一、教学目标 1.经历“实际问题情境——建立分式方程模型——求解——解释解的合理性”的过程，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力，增强学生学数学、用数学的意识． 2.会用分式方程解决简单的实际问题． 二、教学重点及难点 重点：分式方程的应用． 难点：将实际问题中的等量关系用分式方程表示并且求得结果． 三、教学用具 多媒体课件 四、教学过程 【问题导入】 教师提出问题：列方程的步骤是什么？ 引导学生归纳列方程的基本步骤： 一审：审清题意，弄清已知量与未知量之间的数量关系和相等关系． 二设：设未知数． 三列：列代数式，列方程． 【探究新知】 某单位将沿街的一部分房屋出租．每间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租的租金第一年为9.6万元，第二年为10.2万元． （1）你能找出这一情境中的等量关系吗? （2）根据这一情境你能提出哪些问题? （3）你能利用方程求出这两年每间房屋的租金各是多少吗? 答案：（1）等量关系包括：第二年每间房屋的租金=第一年每间房屋的租金+500；第一年出租房 屋的间数=第二年出租房屋的间数；出租房屋的间数=所有出租房屋的租金 ．每间房屋的租金 （2）求出租房屋的总间数；分别求出两年每间房屋的租金． （3）解：设第一年每间房屋的租金为x元，则第二年每间房屋的租金为(x＋500)元． 由题意得96000102000 500 x x = + ．
方程两边乘x (x ＋500)，得 96(x ＋500)＝102x ． 解这个方程，得x =8000． 经检验x =8000是原方程的根，所以x ＋500=8500． 因此第一年每间房屋的租金为8000元，则第二年每间房屋的租金为8500元． 设计意图：引导学生从不同角度寻求等量关系，发展学生分析问题、解决问题的能力，培养学生的应用意识． 【典例精讲】 某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨3 1，小丽家去年12月份的水费是15元，而今年7月份的水费则是30元．已知小丽家今年7月份的用水量比去年12月份的用水量多5立方米，求该市今年居民用水的价格． 分析：此题的主要等量关系是： 小丽家今年7月的用水量－小丽家去年12月的用水量=5 m 3． 所以，首先要表示出小丽家这两个月的用水量，而用水量可以用水费除以水的单价得出． 解：设该市去年居民用水的价格为x 元/m 3．则今年的水价为11+3x ? ? ??? 元/m 3，根据题意，得 30155113x x -=??+ ??? ． 解这个方程，得32x =． 经检验32 x =是所列方程的根． 311223???+= ??? （元/m 3）． 所以该市今年居民用水的价格为2元/m 3． 首先，老师询问学生家中的每月用水情况，要求学生能关心家庭生活，又得到了节约用水的教育．学生根据一个月的总水费等于每一吨水费乘以一个月的用水的总吨数，再根据“小丽家今年7月份的用水量比去年12月份的用水量多5立方米”这一条件，列出等量关系式，从而列出分式方程，有了前面的基础，学生能很快和老师一起完成上述过程． 设计意图：引导学生一起完成“设未知数——分析等量关系——列代数式——列出方程——解
九年级数学《分式方程复习课》教学反思 进入初三总复习以来，我一直都在尝试探索一种比较适合总复习课的课堂教学模式，经过近两周的教学实践，我基本形成了以下的课堂教学流程：作业评析→出示学习目标→考点分析→学生独立完成学案→小结归纳→课堂检测，今天在进行“可转化为整式方程的分式方程”的复习课时，我也是按这样的流程来进行，没想到发生了一些意外，以致于影响了整堂课的教学效果。 在作业评析环节，我照常收集学生上堂课测验及课后作业中存在的问题，由学生讲解其解答方法与思路，然后再给时间让学生自行改正。为了突出本节课与分式的化简求值的区别，我还收集了学生以往在分式的运算中容易出错的一个问题。没想到仍有相当多的学生在解答这个问题时却依然遇到了当初那样的困难，出现了同样的错误，于是我不得不已再花时间让学生自我反思与自我改正解答的方法。这样，课堂已过去了 10 来分钟的时间了，对后面的教学产生了直接的影响。 在学生独立完成学案的过程中，虽然我在此之前曾引导学生回顾解分式方程的一般步骤，也书写在黑板上，但我没想到的是依然有相当多的学生对解分式方程的步骤是陌生的，特别是解答过程的书写更是显得百花齐放，有个别学生
甚至于无从下手。于是我不得不已用一个例题示范解答过程，这样又花去了不少的时间，导致学生在课堂教学内容难以顺利完成。 那么，是什么原因导致出现了这些意外呢？作业的评析环节为什么要花这么多的时间呢？学生为什么地分式方程的解答思路过程是如此的陌生呢？ 答案并不难以找到。 一方面，在作业评析的环节里，我收集到的问题都是学生容易出错的问题或感到比较困难的问题，虽然这些问题他们都曾遇到过，但难度自然不会小，因此当需要他们再次解答时自然也就容易出现错误，因此所花的时间当然就较多了。 另一方面，学生对分式方程的解答思路方法的陌生，并不是因为分式方程的解答思路方法有多难或有多复杂，而是因为这部分内容离当初学生学习的时间太远了，而且当初在学习这部分内容时所用的课时就非常少，因此在学生的大脑中留下的印象并不深刻。 问题原因似乎找到了，那么有没有什么好的办法去解决呢？ 先来看作业评析环节中出现的问题。仔细分析课前准备及教学过程中的每一个环节，再回忆当初这些问题的解答方法，我发现了问题的根源，当时在解答这些较难或较易出错
§3.4 分式方程（2） 教学目标 1．经历探索分式方程解法的过程，会解可化为一元一次方程的分式方程,会检验根的合理性; 2.经历“求解－解释解的合理性”的过程，发展学生分析问题、解决问题的能力，培养学生的应用意识。 3.在活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯，培养学生努力寻找解决问题的进取心，体会数学的应用价值。 教学重点：分式方程的解法. 教学难点：解分式方程要验根 教学目标 一. 复习旧知 1、分式方程的概念 2、辨别下列方程是什么方程622213--=-x x 和452600480=-x x 二.讲授新知 你能设法求出分式方程 622213--=-x x 的解吗？ 解方程6 22213--=-x x 解：方程两边都乘以6，得 6*)622(6*213--=-x x 3（3x-1）=12-(x-2) 解这个方程，得x=1017 三. 例题教学
仿上例完成 1.解方程： 452600480=-x x 解：方程两边都乘以2x ，得x x x x 2*452)2600480(=- 960－600=90 x 解这个方程，得x = 4 检验：将x=4代入原方程，得 左边=45=右边 所以，x=4是原方程的根。 例2. 解方程 22121--=--x x x (解略)解得：x = 2 检验：将x = 2代入原方程中分母为0，那怎么办？带 着问题看 .议一议：P81 在这里，x=2不是原方程的根，因为它使得原分式方程的分母为零，我们称它为原方程的增根。产生增根的原因是，我们在方程的两边同乘了一个可能使分母为零的整式。因为解分式方程可能产生增根，所以解分式方程必须检验。 五.想一想: 解分式方程一般需要经过哪几个步骤？ 六.随堂练习 1. 解方程：（1） 132x x =- （2）341x x =- （3）542332x x x +=-- （4）x x x x 215.111 22-=++-
第三讲 分式方程及其应用专讲 【学习目标】 1．掌握分式的概念，会解可化为一元一次方程的分式方程； 2．体验和学习应用分式方程． 3．熟练运用分式方程解题，能准确找出题中的等量关系。 【知识要点】 1．分式方程的概念： 字母里面有未知数的方程． 2．分式方程的解法： （1）去分母：将分式方程两边都乘以最简公分母，化分式方程为整式方程； （2）解整式方程； （3）验根 3．增根：使分式方程中分母为0的根，叫做方程的增根，应舍去． 【经典例题】 例1 解方程 （1）2235211787x x x x x x x ----=----+ （2）x x x x -=-+-3231 例2 解方程
（1）22416222-+=--+-x x x x x （2）()() 365212222-=+----x x x x x x x （3）9 6999624822222+--=-++++x x x x x x x x （4）61514171-+-=-+-x x x x 例3 （1）a 为何值时，方程 3 23-+=-x a x x 会产生增根？ 例4 .甲、乙两地相距50千米，A 骑自行车，B 乘汽车同时从甲城出发去乙城，已知汽车的速度是自行车速度的2.5倍,B 中途休息了半个小时,还比A 早到2小时,求A 和B 两人的速度? 例5．轮船顺水航行100千米所需的时间和逆水航行80千米所需的时间相同，已知水流速度 为2千米/小时，求船在静水中的速度。
例6．某工程甲、乙两队合做2天完成全工程的3 1，甲队独做所需天数是乙队独做所需天数的2倍，现由甲队先做4天后，甲、乙合做2天，余下的由乙队独做，共需几天完工？ 【经典练习】 1．下列方程：①153=-x ；②23=x ；③2151=++x x ；④522=+x x 是分式方程的有（ ） A 、①② B 、②③ C 、③④ D 、②③④ 2．已知 x x --424与5 4--x x 的值互为倒数，x 的值为（ ） A 、-1 B 、0 C 、2 1 D 、1 3．方程x x x +-=+333的解的情况为（ ） A 、3=x B 、3-=x C 、解为除-3以外的任意数 D 、无解 4．方程5 1222-=x x 的解是 ． 5．分式方程03 32=--x x x 的增根是 ． 6．若分式方程 424-+=-x a x x 有增根，则=a ． 7．解方程 （1） 91232312-=--+x x x （2）6273232+=-+x x （3） 4 1441441222-=++-+-x x x x x （4） 81614121---=---x x x x
《认识分式方程》教学设计 陕西师范大学锦园中学张冰冰 一、教材分析 分式方程是“数与代数”中重要的一部分，是在学习了用字母代表数、一元一次方程、二元一次方程（组）后学习的另外一种方程模型，解决问题过程中需要用到建模方法、分式的基本性质、等式的基本性质等基础知识，使原有知识在解决问题过程中得以升华，同时列分式方程这一建模过程为初三学习较难的一元二次方程、二次函数打下了基础，我们数学的知识体系是呈螺旋式上升，分式方程在其中起到了承上启下的作用。 分式方程中所涉及的问题情境全部来源于实际生产、生活中，为学生的数学建模能力搭建了一个平台，提高了学生的应用意识，随时间的推移与知识的积攒，学生会更加体会到数学知识来源于生活，服务于生活，提高学生学习的主动性。 二、学情分析 学生在七年级和八年级上都已经学习了用字母代表数、一元一次方程、二元一次方程（组），八年级下也学习了对分式的认识及分式化简、分式的加、减、乘、除等运算，这对本节课的学习也起到了很好的奠基作用。这为顺利完成本节课的教学任务打下了基础，但对于分式方程的理解，（由于其抽象程度较高，）学生可能会产生一定的困难，所以教学中应予以简单明白，深入浅出的分析。 在分式方程的建模过程中，学生从中学到的不仅仅是知识、方法，在探究过程中，他们在语言表达、面对困难的勇气，对未知事物的好奇心、相互帮助、相互交流及学习方式的选择等方面都会有所收获。 三、教学目标 课程标准对本节课的要求是： 1.让学生经历从实际问题抽象、概括分式方程概念这一“数学化”的过程，体会分式方程的模型思想，进一步发展符号感。
2．经历观察、归纳、类比等数学活动，能解决一些与分式方程有关的实际问题，具有一定的分析问题、解决问题的能力和应用意识。引导学生寻找问题中的所有等量关系，发展学生分析问题、解决问题的能力，会列分式方程。 3、通过学产，获得学习数学代数知识的常用方法，能感受代数学习的价值，发展分析问题、解决问题的能力，培养应用意识。 根据新课标的教学理念，培养学生的数学素养和终身学习的能力，我确立了如下的三维目标： （一）知识与技能目标 经历用字母表示现实情境中数量关系的过程，了解分式议程的概念，体会体会分式方程的模型思想，进一步发展符号感。 （二）过程与方法目标 经历“问题情境—建立模型—解释应用拓展”的过程，发展学生分析问题、解决问题的能力，培养应用意识。 （三）情感与态度目标 综合运用各种方法解决生活问题，发展社会责任感，能够理解他人的思考方式并进行沟通，也能够反思自己的思考过程，通过与同伴合作克服困难，增进应用数学的自信。 根据以上对教材的地位和作用，以及学情分析，结合新课标对本节课的要求，我将本节课的重点确定为：探索、了解分式方程的概念。难点：如何列分式方程，突破难点的关键是恰当设未知数，寻找等量关系。四、教学方法 数学课堂教学是有备、有理、有序、有效的育人活动，但在学生学习过程中会有很多不可预知的障碍及灵感火花的迸发，所以也是一个教学想长的过程。基于以上认识，我遵循“七环节”的教学模式，采用“情境引入—特征识别—概念明晰—概念应用”的方式展开教学。
课题：分式方程(一) 学习目标：1．了解分式方程的概念, 和产生增根的原因. 2．掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根. 学习重点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根. 学习难点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根. 学习过程： 一、预习新知： 1、前面我们已经学习了哪些方程？是怎样的方程？如何求解？ （1）前面我们已经学过了 方程。 （2）一元一次方程是 方程。 （3）一元一次方程解法 步骤是：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1。 如解方程： 16 3 242=--+x x 2、探究新知：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流100千米所用时间，及以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？ 分析：设江水的流速为v 千米/时，根据“两次航行所用时间相同”这一等量关系， 得到方程： v v -=+2060 20100. 像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程。 分式方程及整式方程的区别在哪里？通过观察发现得到这两种方程的区别在于未知数是否在分母上。未知数在分母的方程是分式方程。未知数不在分母的方程是整式方程。前面我们学过一元一次方程的解法，但是分式方程中分母
含有未知数，我们又将如何解？ 解分式方程的基本思路是将分式方程转化为 方程，具体的方法是去分母，即方程两边同乘以最简公分母。 如解方程： v +20100=v -2060 …………………… ① 去分母：方程两边同乘以最简公分母（20+v ）（20-v ），得 100（20-v ）=60（20+v ）……………………② 解得 v=5 观察方程①、②中的v 的取值范围相同吗？ ① 由于是分式方程v ≠±20,而②是整式方程v 可取任何实数。 这说明，对于方程①来说，必须要求使方程中各分式的分母的值均不为0.但变形后得到的整式方程②则没有这个要求。如果所得整式方程的某个根，使原分式方程中至少有一个分式的分母的值为0，也就是说，使变形时所乘的整式的值为0，它就不适合原方程，即是原分式方程的增根。因此，解分式方程必须验根。 如何验根：将整式方程的根代入最简公分母，看它的值是否为0.如果为0即为增根。 如解方程： 51-x =25 10 2-x 。 分析：为去分母，在方程两边同乘最简公分母()()55x x -+， 得整式方程 510x += 解得 5x = 将5x =代入原方程的最简公分母检验，发现这时分母5x -和225x -的值都是0，相应的分式无意义。因此，5x =虽是整式方程的解，但不是原分式方程的解。实际上，这个方程无解。 二、课堂展示 解方程： () 5312 22x x x x -=-- [分析]找对最简公分母x(x-2),方程两边同乘x(x-2),把分式方程转化为整式方程，整式方程的解必须验根
第五章 分式与分式方程 第1节 认识分式（1） 一、基础练习 1.分式的概念：整式A 除以整式B ，可以表示成 A B 的形式，如果 中含有字母，那么我们称A B 为__________ . 2.分式与整式的区别：分式一定含有分母，且分母中一定含有 ；而整式不．一定．． 含有分母，若含有分母，分母中一定不含有字母. 3.分式有意义.无意义或等于零的条件： （1）分式 A B 有意义．．．的条件：分式的 的值不等于零； （2）分式 A B 无意义．．．的条件：分式的 的值等于零； （3）分式A B 的值为零的条件：分式的 的值等于零，且分式的 的值不 . 二、拓展练习 1.下列代数式：1 32m -，31，x π，1x ，1x x -，32(1) x y x x --，其中是分式的有：__________________________________________________________. 2.当x 取何值时，下列分式有意义？ 3.当x 取何值时，下列分式无意义？ 4.当x 取何值时，下列分式的值为零？ *5.当x 为何值时，分式 2 32-+x x 的值为正？ **6.若分式2242 x x x ---的值为零,则x 的值是____________. 分式（2） 一、基础练习
1．分式的基本性质：分式的 和 都同时乘以（或除以）同一个不等．．．．．于零的整式．．．．．，分式的值不变.用字母表示为：A A M B B M ?=?，A A M B B M ÷=÷（M 是整式，且M ≠0）. 2．约分： （1）概念：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为__________ （2）约分的关键．． ：找出分子分母的公因式； 约分的依据．． ：分式的基本性质； 约分的方法．． ：先把分子.分母分解因式（分子.分母为多项式时），然后约去它们的公因式，约分的最后结果是将一个分式变为最简分式或整式. 3．最简分式：分子与分母没有____________的分式叫做最简分式. 二、拓展练习 1.填空：(1) x x x 3222+= ()3+x (2) 32386b b a =() 3 3a （3) c a b ++1=()cn an + (4) ()222y x y x +-=() y x - 2.约分： （1）c ab b a 2263 （2）2228mn n m （3）532164xyz yz x - （4）x y y x --3 )(2 3.代数式①2224(2)a b a b -+，②23ab b -，③22x y x y ++，④2222x y x y -+中，是最简分式的是___________________ .（填序号） 1.填空： （1）()2a b ab a b += （2） () 22x xy x y x ++= 2.不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号. (1) 2 33ab y x -- (2) 2317b a --- （3) 2135x a -- (4) m b a 2 )(-- 3.判断下列约分是否正确：
分式方程 一、教学目标 1．知识目标: (1)理解分式方程的意义; (2)了解解分式方程的基本思路和解法; (3)理解解分式方程时可能无解的原因,并掌握分式方程的验根方法. 2.能力目标: 经历“实际问题---分式方程---整式方程”的过程,发展学生分析问题﹑解决问题的能力,渗透数学的转化思想,培养学生的应用意识. 3.情感目标: 在活动中培养学生乐于探究﹑合作学习的习惯,培养学生努力寻找解决问题的进取心,体会数学的应用价值. 二、教学重点和难点 1.重点：解分式方程的基本思路和解法． 2.难点：理解解分式方程时可能无解的原因. 3．疑点及分析和解决办法： 解分式方程的基本思想是将分式方程转化为整式方程(转化思想)，基本方法是去分母(方程左右两边同乘最简公分母)，而正是这一步有可能使方程产生增根．让学生在学习中讨论从而理解、掌握． 三、教学过程 (一)创设情境，导入新课 问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时,它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间, 与以最大航速航行60千米所用时间相等, 江水的流速为多少? (学生依照第31页的分析,完成填空.根据“两次航行所用时间相等”这一相等关系列 出方程 ) 分析：设江水的流速为v 千米/时， 则轮船顺流航行的速度为（20＋v ）千米/时，逆流航行的速度为（20－v ）千米/时，顺流航行100千米所用的时间为v 20100＋小时，逆流航行60千米所用的时间为v 2060－小时。可列方程v 20100＋＝v 2060－ 这个方程和我们以前所见过的方程不同，它的主要特点是：分母中含有未知数，这种方程就是我们今天要研究的分式方程．板书课题: 16.3 分式方 程（1） (二)探究新知: 1.教师提出下列问题让学生探究: (1)方程 与以前所学的整式方程有何不同? v v ?=+206020100
第7课时 分式方程及其应用 【知识梳理】 1．分式方程的概念：分母中含有________的方程叫做分式方程． 2．解分式方程的步骤： (1)两边都乘以各分式的最简公分母，把分式方程转化为_______方程． (2)解这个整式方程． (3)把整式方程的解代入最简公分母或原分式方程各分母中进行检验． 3．－般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应进行如下检验：将整式方程的解代入_______，如果_______，那么整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，是增根． 4．列分式方程解实际问题与列一次方程（组）解实际问题一样，步骤如下：审题，设未知数．列方程，解方程，验根，作答． 【考点例析】 考点一 分式方程根的意义 例1已知关于x 的分式方程3111m x x +=--的解是正数，则m 的取值范围是_______． 提示 首先将分式方程化为整式方程，用含m 的代数式表示出x ，再根据解是正数．求得m 的范围，但要注意，分式方程可能有增根x ＝1，而此时方程无解．因此，要排除x ＝1时m 的值． 例2若关于x 的方程2222x m x x ++=--有增根，则m 的值是_______． 提示 根据分式方程增根的定义可知，当x ＝2时，x －2＝0，因此x ＝2是原分式方程的增根． 考点二 解分式方程 例3 解分式方程： (1) 321 x x =+； (2) 231422x x x x +=++． 提示 (1)中分式方程的最简公分母为x (x ＋1)；(2)中分式方程的最简公分母为x(x ＋ 2)．将这两个方程分别去分母化为整式方程，最后要检验整式方程的解是不是原分式方程的
第五章分式与分式方程 回顾与思考（一） 总体说明 本节是第五章《分式与分式方程》的最后一节，占两个课时，这是第一课时，它主要让学生回顾在学习分式的基本概念与分式的运算时用到的几种法则，熟练掌握分式的运算法则，通过螺旋式上升的认识，让学生运用分逐步熟悉式运算的基本技能，培养学生的代数表达能力，通过本节课的教学使学生对分式的运算能有更深的认识． 一、学生知识状况分析 学生的技能基础：学生已经学习了分式及分式的运算等有关概念，对分式及其运算有了初步的认识，但对技巧性较高的运算题还不熟悉． 学生活动经验基础：在本章内容的学习过程中，学生已经经历了观察、对比、类比、讨论等活动方法，获得了解决实际问题所必须的一些数学活动经验基础，同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力． 二、教学任务分析 在本章的学习中，学生已经掌握了分式的概念与分式加减乘除法的运算，本课时安排让学生对本章内容进行回顾与思考，旨在把学生头脑中零散的知识点用一条线有机地组合起来，从而形成一个知识网络，使学生对这些知识点不再是孤立地看待，而是在应用这些知识时，能顺藤摸瓜地找到对应的及相关的知识点，同时能把这些知识加以灵活运用，因此，本节课的目标是： 知识与技能： （1）使学生进一步熟悉分式的意义及分式的运算； （2）提高学生分式的基本运算技能． 数学能力： （1）提高学生的运算能力，发展学生的合情推理能力； （2）注重学生对分式的理解，提高学生分析问题的能力． 三、教学过程分析 本节课设计了七个教学环节：回顾——想一想——做一做——试一试——再想一想——反馈练习——课后练习．