当前位置：文档之家› 第四章级数(答案)

第四章级数(答案)

复变函数练习题第四章级数

系专业班姓名学号

§1 复数项级数 §2 幂级数

23521

24221

1(1)1(1)sin ()3!5!(21)!(1)cos 1()

2!4!2!1()

2!!

n n n n n

n z

z z z z z

z z z z z z n z z z z z n z z e z z n +=+++++<--=-+-++<+∞+-=-+-++<+∞=+++++<+∞L L L L L L L L 一些重要的级数

一、选择题：

1．下列级数中绝对收敛的是 [ ]

（Ａ）11(1)n i

n ∞

=+∑ （Ｂ）1(1)[]2n n n i n ∞=-+∑ (Ｃ) 2ln n n i n ∞=∑ （Ｄ）1(1)2n n n n i ∞

=-∑ 2．若幂级数

n n c z

∞

=∑在12z i =+处收敛，那么该级数在2z =处的敛散性为 [ ]

（A ）绝对收敛（B ）条件收敛（C ）发散（D ）不能确定

()

122i Abel +=

>，由定理易得

3．幂级数1

(1)1n n n z n ∞

+=-+∑在||1z <内的和函数为 [ ] （Ａ） ln(1)z + （B ）ln(1)z - （C ） 1ln

1z + （D ） 1

ln 1z

- '

100

'110000(1)1(1)11(1)(1)1=ln(1)111n n n n

n n n n z z n n n n z z n z z z dz dz z n n z ∞∞+==∞∞++==????-=-=?? ?++??????????

--==+ ???+++????

∑∑∑∑?? 二、填空题：

1．设(1)2

n i α-=+，则lim n n α→∞

= 0 。

2．设幂级数

n n c z ∞=∑的收敛半径为R ，那么幂级数0

(21)n n n n c z ∞

=-∑的收敛半径为

3．幂级数

n n

n n z n

∞

=∑的收敛半径是 e 。

4．幂级数1n

p n z n

∞

=∑（p 为正整数）的收敛半径是 1 。

三、解答题：

1．判断下列数列是否收敛？如果有极限，求出它们的极限。

（1）2

n i

n i e n n πα-=++

(1)2,

221

(1)1lim lim 0221lim 0

k n k k k n n i

n k k k k k αα→∞→∞→∞

-==++-==+=当时，由知， 11(1)1

(1)1lim 021lim 0

k n k k n n n k i k k αα++→∞→∞

-+=+=+-+=+=当时，由知，（2）12321(1)12n n

n n

i n

α-=+++

123211

lim lim(1)12lim n n n n n n n n e i

α-→∞→∞→∞=+=+=由可得，

2．判断下列级数的敛散性。若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛。判断绝对收敛的两种方法：（1）绝对级数是否收敛

（2）实部和虚部的绝对级数是否收敛

（1）2

1,n

i i i i ++++++L L

lim n n i →∞

由不存在可知，级数发散

（级数收敛的必要条件）

（2）35

(5)(5)53!5!

i i i -++L 3521

555(53!5!(21)!

n i n +=++++++L L

05(21)!

n n n +∞

=+∑

由级数收敛可知，原级数绝对收敛. （3）

sin 3n

n n in

∞

=∑ ()()

sin ()32323322332n n n

n n n

n n n in n e e n n e e n n

e e -∞

∞==-==-

????

? ???

??? ???

∑

∑由级数及级数

收敛，可得原级数绝对收敛

（4）2

ln n

n i n ∞

=∑

2111

(1)(1)[]ln ln 2ln(21)(1)(1)

ln 2ln(21)n k k

n k k k

k k i i n k k k k ∞

∞

==∞∞==--=++--+∑∑∑

∑由于和为交错级数，由莱布尼兹准则，

ln 2ln(21)k k k k ∞

∞

==+∑∑级数收敛，故原级数收敛。又由和发散，

则原级数条件收敛。

3．求幂级数

(1)(3)

n n n z ∞

+=+-∑的收敛半径，收敛域及和函数，并计算

2∞

=∑n n n

之值。。解：由2

lim

1 1.1

n n R n →∞+==+知，收敛半径

=2(1)(1)31n n z n z ∞+=+--<∑当时，原级数成为，为发散级数，

因而原级数的收敛域为.

12012011

1(3)(3)(3)1(3)

112(3)3(3)(1)(3)1(3)13(1)(3)=(3)=1(3)(4)

7372(1)(3)===2

722(4)2n n

n n n n n n z z z z z z n z z z n z z z z n z n z ∞

+=∞∞

+===+-+-++-+--??=+-+-+++-+??--????-+--??

---??-=+--∑∑∑L L

L L 故当时，

4．求幂级数21

n n z ∞

=∑的和函数，并计算2

12n n n ∞

=∑之值。

220

111'123(1)(1)1n n n n z z z z

z z n z n z z ∞

==+++++-??=++++++=+ ?-??∑L L L L 20

232311''23243(2)(1)(2)(1)11121(1)'''11(1)(1)(1)n n n n

n z z n n z n n z z z z n z z z z z z z z ∞=∞

=??=+?+?+++++=++ ?-????+??????=-=--=- ? ?????-----????????

∑∑L L 故

1=622n

n n z ∞==∑当时，

复变函数练习题第四章级数

系专业班姓名学号

§3 泰勒级数

一、选择题

1．设函数cos z e z 的泰勒展开式为0n n n c z ∞=∑，那么幂级数0

n n c z ∞

=∑的收敛半径R = [ C ]

(A) +∞ (B) 1 (C)

(D) π cos 0()2cos 2z

e z z k k z z πππ?? ? ?=?=+∈?< ???

Z 函数在某点展成的幂级数的收敛半径等于该点和该函数的奇点中最近的距离在内解析 2．函数

z 在1z =-处的泰勒展开式为 [ D ] (A)

1(1)

(1)

(|1|1)n

n n n z z ∞

-=-++<∑ (B) 111(1)(1)(|1|1)n n n n z z ∞

--=-++<∑

(1)

(|1|1)n n n z z ∞

-=-

++<∑ (D) 11

(1)(|1|1)n n n z z ∞

-=++<∑

'22'1111

11111(1)(1)(1)(11)111(1)112(1)(1)n

n z z z z z z z z z z z z n z z -????=--=-??

???????-=-

==+++++++++

L L L L 由，下面先对在点进行展开.注写成求和形式中注意保持第一项是一致的 3.函数sin z 在2

z π=

处的泰勒展开式为 [ B ]

（A ）210(1)()(||)(21)!22n n n z z n ππ∞

+=---<+∞+∑

（B ）20(1)()(||)(2)!22n n n z z n ππ

∞

=---<+∞∑ （C ）1210(1)()(||)(21)!22n n n z z n ππ+∞

+=---<+∞+∑

（D ）120(1)()(||)(2)!

22n n n z z n ππ

+∞

=---<+∞∑ sin =sin()cos()222z z z πππ?

?-+=-

???

4．级数21

n n z n +∞

==∑ [ A ] (A) 2

(1)z z e - (B) 2(1)z

z e

- (C) 2

1z ze - (D) 21z ze -

2121111)!!n n w

n n n z w w z e n n +∞∞∞===??====- ? ? ???

∑令，则 5． 1

1Re()!

n n i n -∞

==∑ [ B ] (A) cos1 (B) sin1 (C) cos1- (D) sin1-

111212311111

1.!111)1()(1)()!2!3!!2!3!!11(1)

!!1(1)(cos11sin1)(cos11)sin1

!n n n n n z

n n n z n n n i n z n z z z z z z z z e z n n z n z z z e n z n z i z i e i i i n i -∞

=--∞=-∞∞==-∞=????=+++++=+++++=-<+∞??????==-???==-=--+=--+?∑∑∑∑∑L L L L 考虑或者2)取，则可得??

????

???

???????

二、填空题

1．函数2

1()(1)f z z =+在0z =处的泰勒展开式为0

()(1)(1)(1)n n

n f z n z z ∞

==--+<∑ '

'''1100011(1)11(1)(1)(1)(1)(1)(1)1n n n n n n n n n n n n z z z z nz n z z z =∞∞∞∞

-===????

=- ? ?++?? ?

????? ???-=--=--=--=-+< ? ??? ?

+??????

∑∑∑∑

2．3

11z +的幂级数展开式为30

(1)n n

n z ∞

=-∑，收敛域为1z < 三、解答题

求收敛半径一般可以采用根值法、比值法。遇到

1．把下列各函数展开成z 的幂级数，并指出它们的收敛半径：（1）

222

10011

1(1)(1)44

42412n

n n n n n n z z z z ∞∞

+==-??=?=-= ?+????

+ ???

∑∑ 12(1)

2221

(1)412(1)4

4n n n n

n n z z z z ++++-=

（在计算仅有奇数项或偶数项类型的级数的收敛半径时，可利用根值法，或者利用上述方法.）（2）

40(1)cos (2)!

n n

n z z n ∞

=-=∑

1(1)(2)!1

lim lim =0(22)!(1)(22)(2+1n n n n n n n n +→∞→∞-?=+-+由知，

）

收敛半径为∞

2．求下列各函数在指定点0z 处的泰勒展开式，并指出它们的收敛半径：（1）

0011

,11

1221111111=11112221

n n n n z z z z z z z z z z ∞∞

==-=+---????=-=-=-=-- ? ?-++-+????+∑∑解：收敛半径R=2

（2）

,143z i z

=+-

()

011

43133(1)

113(1)

1311313(1)13133(1)13n

n n

n n z i z i z i i i

z i i i z i i ∞=∞

+==

-----=?

-------??=??--??=---∑∑

由()

(

1333lim

31313n n n n

n i i i +++→∞

=--

收敛半径R =

（3）0arctan ,0z z =

2422

2420

3521

(arctan )'1(1),(1)1arctan 1(1)(1),(1)

3521

n n z

n n n n z z z z z z

z dz z dz z dz z dz z z z z z n +==-+-+-+<+=-+-+-+-=-+-++<+????L L L L

L L 由于则

（4）

0,2(1)(2)

z z z =++

()211000

21211111

(1)(2)212423231143121211(1)2243323n n n n n n n n n z z z z z z z z z z z z ∞∞∞

++====-=-=?-?

--++++-+-+++--??????=---=--- ? ? ???????∑∑∑

由

第四章级数(答案)

复变函数练习题第四章级数系专业班姓名学号 §1 复数项级数 §2 幂级数 23521 24221 1(1)1(1)sin ()3!5!(21)!(1)cos 1() 2!4!2!1() 2!! n n n n n n z z z z z z z z z z z z n z z z z z n z z e z z n +=+++++<--=-+-++<+∞+-=-+-++<+∞=+++++<+∞ 一些重要的级数一、选择题： 1．下列级数中绝对收敛的是 [ ] （Ａ）11(1)n i n n ∞ =+∑ （Ｂ）1 (1)[]2n n n i n ∞ =-+∑ (Ｃ) 2ln n n i n ∞ =∑ （Ｄ）1(1)2n n n n i ∞ =-∑ 2．若幂级数 n n n c z ∞ =∑在12z i =+处收敛，那么该级数在2z =处的敛散性为 [ ] （A ）绝对收敛（B ）条件收敛（C ）发散（D ）不能确定 () 122i Abel += >，由定理易得 3．幂级数1 (1)1n n n z n ∞ +=-+∑在||1z <内的和函数为 [ ] （Ａ） ln(1)z + （B ）ln(1)z - （C ） 1ln 1z + （D ） 1 ln 1z - ' 100 '110000(1)1(1)11(1)(1)1=ln(1)111n n n n n n n n z z n n n n z z n z z z dz dz z n n z ∞∞+==∞∞++==????-=-=?? ?++?????????? --==+ ???+++???? ∑∑∑∑?? 二、填空题： 1．设(1)2 n n i α-=+，则lim n n α→∞ = 0 。 2．设幂级数 n n n c z ∞=∑的收敛半径为R ，那么幂级数0 (21)n n n n c z ∞ =-∑的收敛半径为 2 R

第四章级数

第四章级数单选题： 1.若0lim ≠+∞ →n n u ，则级数 ∑∞ =1 n n u （）。 A.收敛； B.条件收敛； C.绝对收敛； D.发散。 2.设常数0≠a ，几何级数∑∞ =-1 1 n n aq 收敛，则q 应满足（）。 A.1q 。 3.若级数 ∑∞ =-1 1 1 n p n 发散，则有（）。 A. 0>p ； B.2>p ； C.2≤p ； D.1≤p 。 4.数项级数 ∑∞ =1 41 n n =（）。 A.31； B.4 1 ； C.3； D.4。 5.设幂级数 ∑∞ =0 n n n x a 在2=x 处收敛，则该级数在3=x 处（）。 A.条件收敛； B.发散； C.绝对收敛； D.敛散性不确定。 6.若级数 ∑∞ =0 n n n x a 在2=x 处收敛，则该级数在1-=x 处（）。 A.发散； B.绝对收敛； C.条件收敛； D.敛散性不能确定。 7.设幂级数 ∑∞ =0 n n n x a 在2=x 处发散，则该级数在4=x 处（）。 A.条件收敛； B.发散； C.绝对收敛； D.敛散性不确定。 8.下列级数为绝对收敛的级数是（）。 A.23)1(1++-∑∞ =n n n n ； B.n n n ∑∞ =-1 )1( ； C.211)1(n n n ∑∞=- ； D.n n n 1)1(1 ∑∞=- 。

9. ∑∞ =-+-1 1 1 1 ) 1(n n n 是（）的级数。 A.发散； B.绝对收敛； C.条件收敛； D.敛散性不能确定。 10.若幂级数 ∑∞ =0 n n n x a 的收敛区间为（-2，2），则幂级数 ∑∞ =-0 )3(n n n x a 的收敛区间为( )。 A.（-2，2）； B.(-1,5) ； C.(-5,-1) ； D.(1,5)。 11.∑∞ =+1 ) 11(1n n n 的敛散性为（）。 A.发散； B.收敛； C.敛散性不定； D.以上选项都不对。 12. ∑∞ =-1 1 3 n n n 的敛散性为（）。 A.发散； B.收敛； C.敛散性不定； D.以上选项都不对。 13.幂级数 n n n x ∑∞ =-115的收敛半径为（）。 A .0； B. 5 1 ； C. 5； D.∞+。 14.幂级数∑∞ =1 22n n n x n 的收敛区间为（）。 A.)2,2(-； B.（-3，3）； C. )21 ,21(-； D.)3 1,31(-。 15. ∑ ∞ =1 24 n n n x 的收敛区间为（）。 A. )21,21(-； B. )2,2(-； C. )4 1,41(-； D.)4,4(-。 16.∑∞ =+1 )4(n n n x 的收敛区间为（）。 A.（-1，1）； B. (-5,3) ； C.(3,5) ； D. (-5,-3)。 17.∑∞ =?-1 2)1(n n n n x 的收敛域为（）。 A.（-1，3）； B. )3,1[-； C.]3,1(-； D.]3,1[-。

第十二章无穷级数A同步测试卷教学文案

第十二章无穷级数A 同步测试卷

第十二章无穷级数同步测试A 卷一、单项选择题(每小题3分，共15分) 1．下列级数中，收敛的是（） 2100111111 () 22223++++++++L L L A n 2111111()23100222 ++++++++L L L n B 211111 ()(1)()()2222+++++++L L n C n 2111111 ()(1)()23222++++++++++L L L L n D n 2．设1 ∞ =∑n n u 为数项级数，下列结论中正确的是（） 1 ()lim ,1+→∞=

4. 设常数0>k ，则级数1 21 (1)∞ -=+-∑n n k n n （）. ()A 发散. ()B 条件收敛. ()C 绝对收敛. ()D 收敛性与k 有关. 5. 周期为2π的函数()f x ，在一个周期上的表达式为 (0) ()2(2)πππππ≤≤?=? -≤≤?x f x x x ，设它的傅里叶级数的和函数是()S x ，则(2)π=S （）. () ()()2()02 π ππA B C D 二、填空题(每小题4分，共20分) 6. 级数111 ( )23∞ =+∑n n n 的和为 . 7. 幂级数21 12(3) ∞ -=+-∑ n n n n n x 的收敛半径为 . 8. 已知级数1 211 1 (1)2,5∞ ∞ --==-==∑∑n n n n n u u ，则级数1 ∞ ==∑n n u . 9．将1 ()2= -f x x 展开为x 的幂级数时，其收敛域为 . 10．将()1(0)π=+≤≤f x x x 展开为余弦级数时，0=a . 三、解答题(共65分) 11. （8分）判断下列运算过程是否正确，若不正确，指出错误所在. 因为1 1ln(1)(1) ∞ -=+=-∑n n n x x n ，因此取2=x 得11 2ln 3(1)∞ -==-∑n n n n . 12. （8 分）讨论级数2∞ =n . 13. （8分）求级数2012!∞ =+∑g n n n n x n 的和函数.

第十二章无穷级数复习题

一: 选择题 1.lim 0n n u →∞ =是级数1 n n u ∞ =∑收敛的【 B 】 (A)充分条件（B ）必要条件 (C) 充要条件 (D)既非充分又非必要条件 2.若级数1 n n u ∞ =∑收敛于S ,则级数11 ()n n n u u ∞ +=+∑ 【 C 】 (A)收敛于2S （B ）收敛于12S u + (C) 收敛于12S u - (D)发散 3.级数 111113 35 57 79 + + + +???? 【 B 】 (A)发散（B ）收敛且和为 12 (C) 收敛且和为2 (D) 收敛且和为1 4.设a 为非零常数,且级数1 n n a r ∞ =∑ 收敛,则【 D 】 (A)1r < （B ）1r ≤ (C) r a ≤ (D) 1r > 5.部分和数列{}n s 有界是正项级数1n n u ∞ =∑收敛的【 C 】 (A)充分条件（B ）必要条件 (C) 充要条件 (D)既非充分又非必要条件 6.下列结论正确的是【 A 】 (A)若2 1 n n u ∞ =∑,21 n n v ∞ =∑都收敛,则21 ()n n n u v ∞ =+∑收敛 (B) 若1 n n n u v ∞ =∑收敛,则21 n n u ∞ =∑,2 1 n n v ∞ =∑都收敛 (C) 若正项级数1 n n u ∞ =∑发散,则1n u n ≥ (D) 若1 n n u ∞ =∑收敛,且n n u v ≥,则1 n n v ∞ =∑发散 7.判别交错级数1111112221 2 123 3 3 n n - + - ++ - +- - - 的敛散性时下列说法中正确的是【 D 】 (A)因lim 0n n u →∞ =,故收敛 (B)因lim 0n n u →∞ =,且1n n u u +>,故由莱布尼兹判别法知级数收敛

第12章幂级数与傅里叶级数

第十二章习题二幂级数与傅里叶级数一．选择题 1．若∑∞ =-1)1(n n n x a 在1-=x 处收敛，则此级数在2=x 处（Ｂ）（A ）条件收敛；（B ）绝对收敛；（C ）发散；（D ）不能确定． 2．级数∑∞ =-1)1(n n n x n 的收敛区间为（Ａ）（A ）)1,1(-；（B ）)1,1[-；（C ）]1,1(-；（D ）]1,1[-． 3．若3lim 1 =+∞→n n n a a ，则∑∞=-0)1(n n n x a （ D ）（A ）必在3||>x 时收敛；（B ）必在3||≤x 时发散；（C ）在3-=x 处敛散性不定；（D ）收敛半径为3． 4．当0>p 时，∑∞ =-1)1(n n p n x n 在其收敛区间的右端点处（ D ）（A ）条件收敛；（B ）绝对收敛；（C ）发散；（D ）当1≤p 时条件收敛，当1>p 时绝对收敛． 5．设???≤<+≤<--=π πx x x x f 0,10,1)(2，则其傅氏级数在点π处收敛于（Ｃ）（A ）1-；（B ）21π+；（C ）22π；（D ）2 2 π-．二．填空题 1．若2lim 1=+∞→n n n a a ，则级数∑∞=+012n n n x a 的收敛半径为 22 ． 2．已知幂级数0(2)n n n a x +∞=+∑在0x =处收敛，在4x =-处发散，则幂级数0(3)n n n a x +∞ =-∑的收敛域为________________(1,5] 三．计算题 1．求下列级数的收敛域及和函数：（1）1(1)n n n x ∞ =-∑．解：1=R ，且1|1|=-x 时，即11±=-x 时，级数发散．∴收敛域为)2,0(． 1(1) n n n x ∞=-∑∑∞=---=11)1()1(n n n x n x 消[]∑∞='--=1 )1()1(n n x x

第十二章无穷级数

第十二章无穷级数 1下列无穷级数中发散的无穷级数是（） A.∑ ∞ =+1 n 2 2 1n 3n B. ∑ ∞ =+-1 n n 1n )1( C. ∑ ∞ =--3 n 1 n n ln )1( D. ∑ ∞ =+1 n 1n n 32 2.设幂级数∑∞ --1 )3(n n n x a 在x =1处收敛,则在x =4处该幂级数( ) A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散 D.敛散性不定 3．下列无穷级数中，收敛的无穷级数是（） A ．∑ ∞ =++15312n n n B ．∑ ∞ =--+11)1(1n n n C ．∑ ∞ =-15 1 n n D ．∑ ∞ =--1 1 )1(n n n 4．设正项级数∑∞ =1 n n u 收敛，则下列无穷级数中一定发散的是（） A ．∑∞=+1 100n n u B ．∑∞=++1 1)(n n n u u C ．∑∞ =1 )3(n n u D ．∑∞ =+1 )1(n n u 5.下列无穷级数中，发散的无穷级数为（） A.()∑ ∞ =+11 1 n n n B. ∑ ∞ =??? ??+13101n n C. ∑ ∞ =?? ? ??+12 110 1 n n n D. ∑ ∞ =+11 3 2n n n 6.无穷级数∑∞ =023n n n 的前三项和S 3=( ) A.-2 B. 419 C.8 27 D. 8 65 7.幂级数1! n n x n ∞ =∑的和函数为（） A.1x e - B.x e C.1x e + D.2x e + 8.已知幂级数()n 1 1n n a x ∞ =+∑在x =-3处收敛，则该级数在x =0处是 A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散 D.敛散性不确定 9.无穷级数1 1 !n n ∞ =∑ 的和为______. 10.设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上表达式为1()1 f x -?=?? , , 0x x ππ -≤≤≤＜

第四章解析数的级数表示

第四章解析函数的级数表示 4.1.下列序列是否有极限?如果有极限，求出其极限。（1）1n n z i n =+；（2）!n n n n z i n =（3）n n z z z ?? = ??? ；解：（1）当n →∞时，n i 不存在极限，故n z 的极限不存在。（2） ()! ||0n n n z n n = →→∞,故lim 0n n z →∞=。（3）n n z z z ??= ??? =22||n n z z （令i z re θ =）=222n i n n r e r θ=cos2sin 2n i n θθ+，n →∞时，cos 2,sin 2n n θθ的极限都不存在，故n n z z z ?? = ???无极限。 4.2.下列级数是否收敛？是否绝对收敛？（1）112n n i n ∞ =?? + ???∑；（2）1!n n i n ∞=∑；（3）()0 1n n i ∞ =+∑。解：（1）因1111n n n n ∞ ∞===∑∑发散。故112n n i n ∞=?? + ???∑发散。（2）111 ||!! n n n i n n ∞ ∞ ===∑∑收敛；故（2）绝对收敛。（3）( )4 lim 1lim 0n n i n n n i e π →∞ →∞+=→不成立，故发散。 4.3.试证级数()1 2n n z ∞ =∑当1 ||2 z < 时绝对收敛。证明：当1||2z < 时，令1||2 z r =<， ()|2|2||1n n n z z =<，且()()|2|21n n z r =<。 () 1 2n n r ∞ =∑收敛，故()1 2n n z ∞ =∑绝对收敛。 4.4.试确定下列幂级数的收敛半径。

第十二章数项级数31263

第十二章数项级数 1 级数问题的提出 1.证明：若微分方程"'0xy y xy ++=有多项式解 2012,n n y a a x a x a x =+++ + 则必有0i a i n = ( =1,2, ,) . 2．试确定系数01,, ,, ,n a a a 使0n n n a x ∞ =∑满足勒让德方程 2(1)"2'(1)0.x y xy l l y --++= 2 数项级数的收敛性及其基本性质 1．求下列级数的和： (1) 1 1 ;(54)(51)n n n ∞ =-+∑ (2) 2 11 ;41 n n ∞ =-∑ (3) 1 1 1(1);2 n n n -∞ -=-∑ (4) 1 21 ;2n n n ∞ =-∑ (5) 1sin ,n n r nx ∞ =∑||1;r < (6) 1 cos ,n n r nx ∞ =∑|| 1.r < 2．讨论下列级数的敛散性：

(1) 1;21n n =-∑ (2) 111( );23n n n ∞ =+∑ (3) 1cos ;21n n π ∞ =+∑ (4) 1 1 ;(32)(31)n n n ∞ =-+∑ (5) 1 n ∞ = 3．证明定理10.2. 4．设级数 1 n n u ∞ =∑各项是正的，把级数的项经过组合而得到新级数 1 ,n n U ∞ =∑即 1112,n n n n k k k U u u u ++++=++ +0,1,2, n =，其中001210,.n n k k k k k k +=<<<<<< 若1 n n U ∞ =∑收敛，证明原来的级数也收敛. 3 正项级数 1．判别下列级数的收敛性： (1) n ∞ = (2) 21 11 ;(21)2 n n n ∞ -=-∑ (3) 1n ∞ = (4) 1 sin ;2 n n π ∞ =∑

高等数学第十二章级数

第十二章级数一、本章提要 1．基本概念正项级数，交错级数，幂级数，泰勒级数，麦克劳林级数，傅里叶级数，收敛，发散，绝对收敛，条件收敛，部分和，级数和，和函数，收敛半径，收敛区间，收敛域． 2．基本公式 )1()(x f 在0x x =处的泰勒级数系数：)(00x f a =，! ) (0)(k x f a k k = ； (2)傅里叶系数： ππ ππ11()cos d (0,1,2,),()sin d (1,2,)ππ n n a f x nx x n b f x nx x n --= ===?? ． 3．基本方法比较判别法，比值判别法，交错级数判别定理，直接展开法，间接展开法． 4．定理比较判别定理，比值判别定理，交错级数判别定理，求收敛半径定理，幂级数展开定理，傅里叶级数展开定理．二、要点解析问题1 有限个数相加与无穷个数相加有什么区别和联系？何谓无穷级数的和？解析有限个数相加与无穷个数相加是有本质区别的．为了叙述方便，称前者为有限加法，后者为无限累加．我们知道有限个数相加之和是一个确定的数值，而无穷个数相加只是一种写法，即沿用了有限加法的符号来表示无限累加．我们不可能用有限加法的方法来完成无限累加，尤其是无限累加未必是一个确定的数值．另外，有限加法中的结合律和交换律在无限累加中也不一定成立．但是，无限累加与有限加法又是紧密联系的．我们在研究无限累加时，是以有限加法(部分和)为基础的，即从部分和出发，讨论其极限是否存在．若极限存在，则无限累加有和，也就是无穷级数有和(收敛)，其和等于这个极限值；否则，无限累加无和，当然，无穷级数也无和(发散)．由此看出，级数的收敛与发散，反映了无穷多个数累加的趋势．级数收敛就是无穷多个数累加可以得到一个确定的数值．一般情况下，这个和的数值不易求得，教科书上只就和是否存在，即级数是否收敛给出一些判别法则．例1 我们考察著名的波尔查诺（Bolzano ，B ．）级数的求和问题．设 +-+-=1111x ，则有：解一 0)11()11(=+-+-= x ；解二 1)11()11(1=-----= x ；解三 x x -=+-+--=1)1111(1 ，于是12 x = ．这些矛盾的结果，在历史上曾使人怀疑过数学的精确性不可靠．柯西指出：以上解法犯了墨守成规的错误，即把有限的结合律、交换律以及有限项总存在代数和的观念照搬到无限项的运算之中．柯西的研究，澄清了那个时代对无限运算的糊涂观念，引起了思想解放，其实级数 ∑∞ =--1 1 ) 1(n n 是发散的．

第十二章无穷级数(解题方法归纳)

第十二章解题方法归纳一、正项级数敛散性的判定方法 1. 一般项极限不趋于零则级数发散? 2. 比较审敛法 3. 比较审敛法的极限形式 4. 比值审敛法 5. 根值审敛法 1. 一般项极限不趋于零则级数发散例1判定级数a n s = 1 ? 2s ? 3s ? 「n s *11 (s 0)的敛散性. n 4 『方法技巧』无论是正项级数还是任意项级数，判定其敛散性时一般第步都是验证一般项的极限是否为零. 2. 比较审敛法 n a 2n 1 a 1 ln 3 n 的敛散性. 由于lim n s =邑学0，所以总n s 发散. n =1 00 a n 判定级数二诗 (a 0)的敛散性. 当a 1时, n a 2n 1 a n a 2n 1 a n a '2n a

1 ，则 n 4. 比值审敛法解 lim n u n =lim 也芋=—lim(1 —)n n 存 * f 2n 2 n 、任意项级数敛散性的判定 lim W = lim 山 n ?：V n r‘ U n 二 lim —二 lim x 3 — (3) J ：In n J ：ln x 二 lim 2 x 门：31 n x x 「：：二 lim —— = lim —=::， J 和6 由比较审敛法的极限形式得 1 发散. 例4判定级数 v n!e 的敛散性. n n U n 1 n 1 n (n 1)!e n 解 lim J =lim n 1 F u n F (n +1) 无法断言原级数是否收敛，但 e >1，从而u n 单调递增且5 = e,故m U n 0 n n ：! n 5.根值审敛法例5判定级数二(n 1)n 2n n n 2 的敛散性. (n 1)n 2 故由根值审敛法知二(n 1)n n n 2 nm 2 n 发散. 例6试研究级数曰 a 1 a n (a - 0)是绝对收敛、条件收敛还是发散. oO a 解先考虑级数nd 畀的敛散性.