第四章 解析函数的级数表示
4.1.下列序列是否有极限?如果有极限，求出其极限。
（1）1n
n z i n =+；（2）!n n n n z i n =（3）n
n z z z ??
= ???
；
解：
（1）当n →∞时，n i 不存在极限，故n z 的极限不存在。 （2） ()!
||0n n
n z n n =
→→∞,故lim 0n n z →∞=。
（3）n
n z z z ??= ???
=22||n n z z （令i z re θ
=）=222n i n n
r e r θ=cos2sin 2n i n θθ+，n →∞时，cos 2,sin 2n n θθ的极限都不存在，故n
n z z z ??
= ???无极限。
4.2.下列级数是否收敛？是否绝对收敛？
（1）112n n i n ∞
=??
+ ???∑；（2）1!n n i n ∞=∑；（3）()0
1n n i ∞
=+∑。
解：
（1）因1111n n n n ∞
∞===∑∑发散。故112n n i n ∞=??
+ ???∑发散。
（2）111
||!!
n n n i n n ∞
∞
===∑∑收敛；故（2）绝对收敛。
（3）(
)4
lim 1lim
0n n
i n
n n i e
π
→∞
→∞+=→不成立，故发散。
4.3.试证级数()1
2n
n z ∞
=∑当1
||2
z <
时绝对收敛。 证明： 当1||2z <
时，令1||2
z r =<， ()|2|2||1n
n n z z =<，且()()|2|21n
n
z r =<。
()
1
2n
n r ∞
=∑收敛，故()1
2n
n z ∞
=∑绝对收敛。
4.4.试确定下列幂级数的收敛半径。
（1）1
1n n nz ∞
-=∑；（2）2111n n n z n ∞
=??+ ???∑；（3）()1
1!n
n n z n ∞
=-∑
。 解： （1）11
lim |
|lim 1n n n n c n c n
+→∞
→∞+==，故1R =。 （2
）1lim 1,n
n n n e n →∞??
==+= ???
故1R e =。 （3）()1!1
lim |
|lim lim 01!
1n n n n n c n c n n +→∞
→∞→∞===++，故R =∞。 4.5.将下列各函数展开为z 的幂级数，并指出其收敛区域。
（1）3
1
1z +；（2）1(0,0)()()a b z a z b ≠≠--；（3）()
2211z +；（4）chz ；（5）2sin z ；（6）1
z
z e -。
解：
（1）311z +=()311z --=()()3300
1n
n n n n z z ∞∞
==-=-∑∑，原点到所有奇点的距离最小值为1，故||1z <. (2)
1111()()z a z b a b z a z b ??=- ?-----??()a b ≠=111b a a z b z ??
- ?---??
=
111
11z z b a a b a b ??
? ?--???? ?-- ? ? ?
??????=11001n n n n n n z z b a a b ∞∞
++==??- ?-??∑∑,||1z a <,且||1z b <， 即||min{||,||}z a b <。 若a b =则
1
()()
z a z b --
()
2
1
11z a a z z a ''????=
=-= ? ?--????
-=
()11111
1/n n n n n n z z a z a a a ∞∞++=='''??????== ? ? ? ?-????
??∑∑=
1
1
1,||||.n n n nz z a a
-∞
+=<∑
（3）
()
2
21
1z +
()220111212n n z z z z ∞=''????=-=-- ? ?+????
∑()21
11122n n n nz z ∞-==--∑()12211,|| 1.n n n nz z ∞
--==-<∑ （4）101()22!!z z n n n n e e z z chz n n -∞∞==??+-==+ ???∑∑()21,||.2!
n n z z n ∞==<∞∑ （5）()()()2
0211cos 211sin 2222!n
n
n z z z n ∞=--=
=-∑()()1121,||22!
n
n n
n z
z n ∞=-=-<∞∑ （6） 令()1
,(0)1,z
z f z e
f -==
()1
1
211(1)z z z z z f z e
e z z --'????'==- ? ?--????()
()()2
1,011f z f z '=-=-- ()()
()()
()
()3
4
2
,011f z f z f z f z z '''''=-=--- 1 ()()
()()
()
()
()
4
3
2
46
111f z f z f z f z z z z '''-'''=
+
-
---，()01f '''=
M
()23
1.2!3!
z z f z z =----L
1为()f z 的唯一奇点，原点到1的距离为1，故收敛半径 1.R < 4.6.证明对任意的z ，有|||||1|1||.z z z e e z e -≤-≤
证明： 因为0,||!n z
n z e z n ∞
==<+∞∑所以||011|||1||1|||1!!!
n n n z
z n n n z z z e e n n n ∞∞∞
===-=-=≤=-∑∑∑
又因为：
||11
1||||||2!!
z n e z z z n -=+
+++L L =111||1||||2!!n z z z n -?
?
++++ ???
L L
21||1||||2!z z z ?
?≤+++ ??
?
L
=||
||.z z e
所以
|||||1|1||z z z e e z e -≤-≤
4.7 求下列函数在指定点处的泰勒展式。 解： （1）
2
1
Z , 01Z =
2
11()Z Z
'=- 1()11Z '=-+-()()0
[11]n n
n z ∞
='=---∑
()()
1
1
11n n n n z ∞
-==--?-∑
=()
()()0
111n
n
n n z ∞
=-?+-∑
, |1|1Z -<
(2)sin z ,01z =; sin sin(11)z z =-+
cos1sin(1)sin1cos(1)z z =-+-
()()
()()()
()2120
1111cos1sin121!2!n n
n n
n n z z n n +∞
∞
==----=++∑
∑
,
|1|Z -<∞
.
(3)
1
43z
-,01z i =+；
1
43z -=00143()3z z z ---=01133()
i z z --- =
113i -.()013113z z
i
--- =
1
13i
-()00
313n
n z z i ∞
=??
-??-??
∑
=()01
3(13)
n n n n z z i ∞
+=--∑
|(1)|3
z i -+<
(4)tan z , 04
z π
=
()tan f z z =, 00()tan 1f z z ==；
22022sin cos sin 1
()(tan )(
),()2cos cos cos z z z f z z f z z z z
+''''===== ''232122tan ()()(sin )cos cos cos ,z f z z z z z -'==-= ''()44
f π=
'''
2()()()cos zf z f z z '=='242()cos 2()2cos (sin )cos f z z f z z z z ?-- '''()164
f π=
23
8tan 12()24434z z z z π
ππ?
???=+-+-+-+ ? ??
???L
4.8 将下列各函数在指定圆环内展为洛朗级数。
解：
(1)
()
2
1
,1z z z +- 0||1,1||z z <<<<∞; 0||1z <<,
(),
22220
11212111n n z z z z z z z z ∞=+??=-=- ?--??∑
1||z <<∞，1
0|
|1z
<<
()222
112121
1(1)1111/z z z z z z z z
+??=+=+? ?---?? =23230012112n
n n n z z z z z ∞∞+==??+=+ ???∑∑
(2) 1
2,
z z e
0||z <<∞;
=22001/!!
n
n
n n z z n z n -∞
∞
==??
= ???∑∑
(3)
()()
2
225
,21
z z z z
-+-+1||2z <<;
=
2
12
21
z z --+ 2
2
12121112
z z z
=-?-?-+
1122,00
2
(1)2n n n n n n z z ∞
∞
+++===-+-∑∑, 1||2z <<,
(4)cos
1i
z
-, 0|1|z <-<∞ =
11112
z
z
e
e ---+=1/200
11111/2!!n n
n n z z n n ∞∞==????- ? ?--????+∑∑ =()
()()()
220
011
2!2!1n
n
n n z n n z -∞
∞
==-=-∑
∑
4.9 解：
将21
32z z -+在1z =处展开洛朗级数 ()()
1
11
()2121
f z z z z z =
=
----- 的奇点为21,2z z ==。 ()f z 在0|1|1z <-<与|1|1z ->解析
当0|1|1z <-<,时， 1111
()2111(1)
f z z z z z =
-=------- ()0
1
11n
n z z ∞
==----∑
()
1
1n n z -∞
==--∑,
当|1|1z ->时， 1
0|
|11
z <<-,
11111()1
2111
11
f z z z z z z =
-=-+?-----
-
1
01111n n z z +∞
=??
=-+ ?
--??
∑=2
1
(1)n n z ∞
+=-∑
4.10 将22
1
()(1)
f z z =
+在z i =的去心邻域内展开成洛朗级数。 解：()f z 的孤立奇点为i ±。()f z 在最大的去心邻域02z i <-<内解析。 当02z i <-<时，
()()()'
22222
11111()(1)f z z z i z i z i z i ??
===- ?++??
-+-g g ()()()'
22
011111122212n
n n z i z i i i i z i z i i ∞=????
?-??=-=--?? ? ?-??--?? ???+??∑g g g g ()()()
1
3
1
2
1
1
1
1
1()()
112(2)(2)n n n
n n n n n z i z i n n
i i i z i --∞∞
++==--=--=--∑∑g g g g g
()()2
2
()
11(2)n n
n n z i n i -∞
+=-=-+∑g 。
上式即为()f z 在z i =的去心邻域内的洛朗级数。
Ch 13 函数列与函数项级数 （ 1 2 时 ） § 1 一致收敛性（ 6 时 ） 一． 函数列及极限函数：对定义在区间I 上的函数列)}({x f n ，介绍概念： 收敛点，收敛域（ 注意定义域与收敛域的区别 ），极限函数等概念. 逐点收敛 ( 或称为“点态收敛” )的“N -ε”定义. 例1 对定义在) , (∞+∞-内的等比函数列)(x f n =n x , 用“N -ε”定义 验证其收敛域为] 1 , 1 (-, 且 ∞→n lim )(x f n = ∞→n lim n x =? ??=<. 1 , 1 , 1 || , 0 x x 例2 )(x f n =n nx sin . 用“N -ε”定义验证在) , (∞+∞-内∞→n lim )(x f n =0. 例3 考查以下函数列的收敛域与极限函数: ) (∞→n . ⑴ )(x f n =x x x x n n n n --+-. )(x f n →,sgn x R ∈x . ⑵ )(x f n =1 21+n x . )(x f n →,sgn x R ∈x . ⑶ 设 ,,,,21n r r r 为区间] 1 , 0 [上的全体有理数所成数列. 令 )(x f n =???≠∈=. ,,, ] 1 , 0 [ , 0, ,,, , 12121n n r r r x x r r r x 且 )(x f n →)(x D , ∈x ] 1 , 0 [. ⑷ )(x f n =2 22 2x n xe n -. )(x f n →0, R ∈x .
156 ⑸ )(x f n =?? ? ? ? ? ???≤≤<≤-<≤--+ . 121 , 0 ,2121 ,42,210 ,41 11x x x x x n n n n n n n 有)(x f n →0, ∈x ] 1 , 0 [, ) (∞→n . （ 注意 ? ≡1 1)(dx x f n .） 二. 函数列的一致收敛性: 问题: 若在数集D 上 )(x f n →)(x f , ) (∞→n . 试问: 通项)(x f n 的解析性质是否必遗传给极限函数)(x f ? 答案是否定的. 上述例1、例3⑴⑵说明连续性未能遗传,而例3⑶说明可积性未能遗传. 例3⑷⑸说明虽然可积性得到遗传, 但 ∞ →n lim () ? ?∞ →≠1 1 0)(lim )(dx x f dx x f n n n . 用函数列的极限表示函数是函数表达的一种重要手段. 特别是表达非初等函数的一 种手段. 对这种函数, ∞ →n lim )(x f n 就是其表达式.于是,由通项函数的解析性质研究极限 函数的解析性质就显得十分重要. 那末, 在什么条件下通项函数的解析性质能遗传给极 限函数呢? 一个充分条件就是所谓“一致收敛”. 一致收敛是把逐点收敛加强为所谓 “整体收敛”的结果. 定义 ( 一致收敛 ) 一致收敛的几何意义. Th1 (一致收敛的Cauchy 准则 ) 函数列}{n f 在数集D 上一致收敛,? N , 0?>?ε, , , N n m >?? ε<-n m f f . ( 介绍另一种形式ε<-+n p n f f .) 证 )? ( 利用式 .f f f f f f n m n m -+-≤-)
第十二章 数项级数 1 级数问题的提出 1.证明：若微分方程"'0xy y xy ++=有多项式解 2012,n n y a a x a x a x =+++ + 则必有0i a i n = ( =1,2, ,) . 2．试确定系数01,, ,, ,n a a a 使0n n n a x ∞ =∑满足勒让德方程 2(1)"2'(1)0.x y xy l l y --++= 2 数项级数的收敛性及其基本性质 1．求下列级数的和： (1) 1 1 ;(54)(51)n n n ∞ =-+∑ (2) 2 11 ;41 n n ∞ =-∑ (3) 1 1 1(1);2 n n n -∞ -=-∑ (4) 1 21 ;2n n n ∞ =-∑ (5) 1sin ,n n r nx ∞ =∑||1;r < (6) 1 cos ,n n r nx ∞ =∑|| 1.r < 2．讨论下列级数的敛散性：
(1) 1;21n n =-∑ (2) 111( );23n n n ∞ =+∑ (3) 1cos ;21n n π ∞ =+∑ (4) 1 1 ;(32)(31)n n n ∞ =-+∑ (5) 1 n ∞ = 3．证明定理10.2. 4．设级数 1 n n u ∞ =∑各项是正的，把级数的项经过组合而得到新级数 1 ,n n U ∞ =∑即 1112,n n n n k k k U u u u ++++=++ +0,1,2, n =， 其中001210,.n n k k k k k k +=<<<<<< 若1 n n U ∞ =∑收敛，证明原来的级数也收敛. 3 正项级数 1．判别下列级数的收敛性： (1) n ∞ = (2) 21 11 ;(21)2 n n n ∞ -=-∑ (3) 1n ∞ = (4) 1 sin ;2 n n π ∞ =∑
第十三章 函数列与函数项级数 目的与要求：1.掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义,函数列与函数项级数一致收敛性判别的柯西收敛准则,函数项级数一致收敛性的判别法. 2. 掌握一致收敛函数序列与函数项级数的连续性、可积性、可微性的结论． 重点与难点：本章重点是函数序列与函数项级数一致收敛性的定义,判别法和性质；难点则是利克雷判别法和阿贝尔判别法. 第一节 一致收敛性 我们知道,可以用收敛数列（或级数）来表示或定义一个数,在此,将讨论如何用函数列（或函数项级数）来表示或定义一个函数. 一 函数列及其一致收敛性 设 ,,,,21n f f f (1) 是一列定义在同一数集E 上的函数,称为定义在E 上的函数列.也可简记为： }{n f 或 n f , ,2,1=n . 设E x ∈0,将0x 代入 ,,,,21n f f f 得到数列 ),(,),(),(00201x f x f x f n (2) 若数列(2)收敛,则称函数列(1)在点0x 收敛,0x 称为函数列(1)的收敛点. 若数列(2)发散,则称函数列(2)在点0x 发散. 若函数列}{n f 在数集E D ?上每一点都收敛,则称}{n f 在数集D 上收敛.
这时对于D x ∈?,都有数列)}({x f n 的一个极限值与之对应,由这个对应法则就确定了D 上的一个函数,称它为函数列}{n f 的极限函数.记作f .于是有 )()(lim x f x f n n =∞ →, D x ∈,或 )()(x f x f n →)(∞→n ,D x ∈. 函数列极限的N -ε定义是： 对每一个固定的D x ∈,对0>?ε,0>?N （注意：一般说来N 值的确定与ε和x 的值都有关）,使得当N n >时,总有 ε<-)()(x f x f n . 使函数列}{n f 收敛的全体收敛点的集合,称为函数列}{n f 的收敛域. 例1 设n n x x f =)(, ,2,1=n 为定义在),(∞-∞上的函数列,证明它的收敛域是]1,1(-,且有极限函数 ? ??=<=1,11 ,0)(x x x f (3) 证明：因为定义域为),(∞-∞,所以根据数列收敛的定义可以将),(∞-∞分为四部分 (i) 10<
基本要求 1． 正确理解级数收敛、发散等概念，了解无穷级数收敛的充分必要条件。 2． 了解绝对收敛及条件收敛的概念及其关系。 3． 掌握简单幂级数的收敛半径和收敛区域的求法。 4． 清楚地知道幂级数的收敛范围是圆域以及它在收敛圆内的性质、有理运算与分析运算。 5． 要求会把比较简单的解析函数用适当的方法展开成泰勒级数，并指出其收敛半径，要记住几个主要的初等函数的泰勒展开式。 6． 要求会把比较简单的函数环绕它的孤立奇点用适当的方法展开成洛朗级数。 一、填空题 1．函数131()z f z e z i -=-在0z =处泰勒展开式的收敛半径为（ 1 ）； 2．311z +的幂级数展开式为（ 30(1)n n n z ∞=-∑ ），收敛域为（ ||1z < ）； 3．函数21 ()(1)f z z =+展开成z 的幂级数，有()f z = （ 211123(1),||1n n z z nz z ---+-+-+< ）； 4．设C 为单位圆周||1z =内包围原点的任一条正向简单闭曲线，则 2()n C n z dz ∞=-=∑? （ 2i π ）； 5．若幂级数0n n n c z ∞=∑在1(1)2z = +处收敛，那么该级数在45 z i =处的敛散性为（ 绝对收敛 ）。 二、计算下列各题 1． 求1()1z f z e z =-在区域（1）||1z <，（2）0|1|z <-<+∞的幂级数展开式。 解：（1）211,||11n z z z z z =++++<- ，21,2!! n z z z e z n =++++ 22()(1)(1)2!!n n z z f z z z z z n ?=+++++++++ 21111111(1)(1)(1)1!1!2!1!2!! n z z z n =++++++++++++
第十二讲函数列与函数项级数 12 . 1 函数列与函数项级数的收敛与一致收敛 一、函数列 （一）函数列的收敛与一致收敛 1 ．逐点收敛 函数列(){}I x x f n ∈,，若对I x ∈?，数列(){}x f n 都收敛，则称函数列在区间 I 上逐点收敛，记 ()()I x x f x f n n ∈=∞ →,lim ，称()x f 为(){}x f n 的极限函数．简记为 ()()()I x n x f x f n ∈∞→→, 2 ．逐点收敛的N -ε定义 对I x ∈? ，及 0>?ε，()0,>=?εx N N ，当N n > 时，恒有()()ε<-x f x f n 3 ．一致收敛 若函数列(){}x f n 与函数()x f 都定义在区间 I 上，对 0,0>?>?N ε，当N n > 时，对一切I x ∈恒有()()ε<-x f x f n ，则称函数列(){}x f n 在区间 I 上一致收敛于()x f ．记为()()()I x n x f x f n ∈∞→?, . 4 ．非一致收敛 00>?ε，对N n N >?>?0,0，及I x ∈?0，使得 ()()0000ε≥-x f x f n 例 12 . 1 证明()n n x x f =在[]1,0逐点收敛，但不一致收敛． 证明：当[]1,0∈x 时，()0lim lim ==∞ →∞ →n x n n x x f ，当1=x 时，()11lim =∞ →n n f ，即极限函数 为()[)???=∈=1 ,11,0,0x x x f ．但 ()x f n 非一致收敛，事实上，取031 0>=ε。对0>?N ，取 N N n >+=10，取()1,02101 0∈? ? ? ??=n x · 此时()()00002100ε>==-n x x f x f n ， 即()()()[]1,0,∈∞→≠>x n x f x f n 5 ．一致收敛的柯西准则 函数列(){}x f n 在 I 上一致收敛?对 0,0>?>?N ε，当 n , m > N 时，对一切I x ∈，
第四章 解析函数的级数表示 §1. 复数项级数 一. 复数序列的极限 定义： 设{}n z 为一个复数序列，其中n n n y i x z +=， 又设000y i x z +=为一个复定值. 若 ,0,0>?>?N ε使得,N n >?有不等式 ε<-0z z n 恒成立，则称复数序列{}n z 收敛于0z ，或称 {}n z 以0z 为极限，记作 0lim z z n n =∞ → 或()∞→→n z z n 0. 如果对于任意复数0z ，上式均不成立，则称复数序列{}n z 不收敛或发散. 定理1 设000y i x z +=，n n n y i x z +=，则 ?????==?=∞ →∞→∞→.lim ,lim lim 000y y x x z z n n n n n n 定理1说明: 可将复数列的敛散性转化为判别两 个实数列的敛散性.
二. 复数项级数 定义： 设{}n z 为一个复数序列，表达式 +++++n z z z z 321 称为复数项无穷级数.如果它们的部分和序列 () 2,1321=++++=n z z z z S n n 有极限S S n n =∞ →lim （有限复数），则称级数是收敛的，S 称为级数的和；如果{}n S 没有极限，则称级数是发散的. 例1. 当1 第十三章 函数列与函数项级数 §1 一致收敛性 (一) 教学目的： 掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法． (二) 教学内容： 函数序列与函数项级数一致收敛性的定义；函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则；函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法． 基本要求： 1）掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致 收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法． (2) 较高要求：掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法． (三) 教学建议： (1) 要求学生必须掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项 级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法． (2) 对较好学生可要求他们掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法． ———————————————————— 一 函数列及其一致收敛性 对定义在区间I 上的函数列E x x f n ∈},)({，设 E x ∈0，若数列 })({0x f n 收敛，则称函数列})({x f n 在点0x 收敛，0x 称为函数列})({x f n 收敛点；若数列 })({0x f n 发散，则称函数列})({x f n 在点0x 发散。 使函数列})({x f n 收敛的全体收敛点集合称为函数列})({x f n 收敛域（ 注意定义域与收敛域的区别 ）。 若函数列})({x f n 在数集E D ?上每一点都收敛，则称函数列})({x f n 在数集D 上收敛，这时D 上每一点x ，都有函数列的一个极限值 第四章 解析函数的幂级数表示方法 第一节 级数和序列的基本性质 1、复数项级数和复数序列： 复数序列就是： 111222,,...,,...n n n z a ib z a ib z a ib =+=+=+在这里，n z 是复数， ,Im ,Re n n n n b z a z ==一般简单记为}{n z 。按照|}{|n z 是有界或无界序列， 我们也称}{n z 为有界或无界序列。 设0z 是一个复常数。如果任给0ε>，可以找到一个正数N ，使得当 n>N 时 ε<-||0z z n , 那么我们说{}n z 收敛或有极限0z ，或者说{}n z 是收敛序列，并且收敛于0z ，记作 0lim z z n n =+∞ →。 如果序列{}n z 不收敛，则称{}n z 发散，或者说它是发散序列。 令0z a ib =+，其中a 和b 是实数。由不等式 0||||||||||n n n n n a a b b z z a a b b --≤-≤-+-及 容易看出，0lim z z n n =+∞ →等价于下列两极限式： ,lim ,lim b b a a n n n n ==+∞ →+∞ → 因此，有下面的注解： 注1、序列{}n z 收敛（于0z ）的必要与充分条件是：序列{}n a 收敛（于a ）以及序列{}n b 收敛（于b ）。 注2、复数序列也可以解释为复平面上的点列，于是点列{}n z 收敛于 0z ，或者说有极限点0z 的定义用几何语言可以叙述为：任给0z 的一个 邻域，相应地可以找到一个正整数N ，使得当n N >时，n z 在这个邻域内。 注3、利用两个实数序列的相应的结果，我们可以证明，两个收敛复数序列的和、差、积、商仍收敛，并且其极限是相应极限的和、差积、商。 定义4.1复数项级数就是 12......n z z z ++++ 或记为1 n n z +∞ =∑，或n z ∑，其中n z 是复数。定义其部分和序列为： 12...n n z z z σ=+++ 如果序列{}n σ收敛，那么我们说级数n z ∑收敛；如果{}n σ的极限是 σ，那么说n z ∑的和是σ，或者说n z ∑收敛于σ，记作 1 n n z σ+∞ ==∑， 如果序列{}n σ发散，那么我们说级数n z ∑发散。 注1、对于一个复数序列{}n z ，我们可以作一个复数项级数如下 121321()()...()...n n z z z z z z z -+-+-++-+ 则序列{}n z 的敛散性和此级数的敛散性相同。 注2级数 n z ∑收敛于σ的N ε-定义可以叙述为： 0,0,,N n N ε?>?>>使得当时有 1 ||n k k z σε=-<∑， 注3如果级数n z ∑收敛，那么 级数审敛法小结 不好意思，又要打扰大家一下了，针对本学期期中考试而言，大致分为两大部分：级数，常微分方程。其中级数(应该都已经讲完了)占得比重相对少些大概有45%左右，还希望大家能抽空复习一下，毕竟这一章的内容有些难度.下面的内容是从一些资料书中总结的一些小内容,希望大家能抽空看一下,谢谢. 首先:针对常数项级数而言要明白它的分类:正项级数,任意项级数(其中,包含特殊的交错级数).对于不同的级数,他们有不同的审敛法. 第一节:正项级数 (当然我们有时也会遇到一些负项级数,他们的判断敛散性的方法和正项级数相同,只是需要我们在运用前,把他们所有的项全部变成正的就可以了) (注意以下方法要求大家在判断出Un的极限为0的时候用哦，若Un的极限不为0，级数发散。) A.定义法(注意这个方法适用于所有的级数,但不一定解得出.): 首先,了解一个充要条件:∑∞ Un收敛?部分和数列{Sn}有界，针对 n =1 这个东西，用的地方不多后面会有介绍。 B.比较审敛法：（这里首先强调一下这里介绍的方法完全是针对 正项级数而言，不能滥用）。对于比较审敛法，也许不要按书上的用起来会更方便一点。简单一句话：我们的目的就是要 找要判断的级数的等价无穷小，或是证明这个级数是一个已知收敛级数的高阶无穷小也可。（当然这是证明级数收敛时用的，这里就要求我们要有能一眼猜出级数敛散性的能力，下面会教大家如何第一眼就可以看出绝大多数级数的敛散性） 例1：设k ，m 为正整数，.0,000 >>b a （这里主要是保证以下的 多项式恒为正）是推导出级数 ∑ ∞ =--++++++1 1 10110......n k k k m m m b n b n b a n a n a 收敛的充要条件。 解：设k k k m m m n b n b n b a n a n a u (1) 101 10+++++= --。取m k n n v -= 1，因为0 0lim b a v u n n n = ∞ →，所以 ∑∑∞ =∞ =1 1 ,n n n n v u 具有相同的敛散性，由Vn 收敛的充要条件是k-m>1， 所以所求级数的收敛的充要条件是k-m>1. （这是一个简单的例题，可是他说明了两个问题：1，凡是一般项Un 是有理分式的，我们一眼就能看出级数是否收敛例如级数 ∑ ∞ =---+1 3 2 3 5 5 23) ()12()1(n n n n n n 是收敛的，这因为分子的最高次幂是13，分母 的是15,15-13=2>1 ,故收敛。（至于解题时，我们可以模仿本 题构造Vn 去做）2，这个例题的解法具有一般性。设0→n u ，我 们只需要找到Un 的一个同阶无穷小或是等价无穷小Vn ，如果Vn 的敛散性我们已经掌握，问题解决。 大家可以试着用等价无穷小的方法接一下以下几题： （1）);1tan( )3(,,)cos 1(),2(,,sin )1(13 2 2 2112-+??? ? ??-??? ??∑∑∑∞ =∞=∞ =n N n n a n n a n a n 数学分析：第章数项级数 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020 第十二章 数 项 级 数 目的与要求：1.使学生掌握数项级数收敛性的定义和收敛级数的性质,掌握等比级数与调和级数的敛散性；2. 掌握判别正项级数敛散性的各种方法，包括比较判别法，比式判别法，根式判别法和积分判别法． 重点与难点：本章重点是数项级数收敛性的定义,基本性质和判别正项级数敛散性的各种方法；难点则是应用柯西收敛准则判别级数的敛散性. 第一节 级数的收敛性 一 级数的概念 在初等数学中，我们知道：任意有限个实数n u u u ,,,21 相加，其结果仍是一个实数，在本章将讨论无限多个实数相加所可能出现的情形及特征.如 +++++n 2 1 21212132 从直观上可知，其和为1. 又如， +-++-+)1(1)1(1. 其和无意义； 若将其改写为： +-+-+-)11()11()11( 则其和为：0； 若写为： ++-++-+]1)1[(]1)1[(1 则和为：1.（其结果完全不同）. 问题：无限多个实数相加是否存在和； 如果存在，和等于什么. 1 级数的概念 定义1 给定一个数列{}n u ，将它的各项依次用加号“+”连接起来的表达式 +++++n u u u u 321 （1） 称为数项级数或无穷级数（简称级数），其中n u 称为级数（1）的通项. 级数（1）简记为：∑∞ =1n n u ，或∑n u . 2 级数的部分和 n n k k n u u u u S +++==∑= 211 称之为级数∑∞ =1 n n u 的第n 个部分和，简称部分和. 3 级数的收敛性 定义2 若数项级数∑∞ =1n n u 的部分和数列{}n S 收敛于S （即S S n n =∞ →lim ），则称数项 级数∑∞=1 n n u 收敛 ，称S 为数项级数∑∞ =1 n n u 的和，记作 =S ∑∞ =1 n n u = +++++n u u u u 321. 若部分和数列{}n S 发散，则称数项级数∑∞ =1 n n u 发散. 例1 试讨论等比级数（几何级数） ∑∞ =--+++++=1121n n n aq aq aq a aq ，)0(≠a 的收敛性. 解：见P2. 例2 讨论级数 ++++?+?+?) 1(1431321211n n 第十三章函数列与函数项级数 教学目的：1.使学生理解怎样用函数列（或函数项级数）来定义一个函数；2.掌握如何利用函数列（或函数项级数）来研究被它表示的函数的性质。 教学重点难点：本章的重点是函数列一致收敛的概念、性质；难点是一致收敛的概念、判别及应用。 教学时数：20学时 § 1 一致收敛性 一． 函数列及极限函数：对定义在区间I上的函数列，介绍概念：收敛点，收敛域（注意定义域与收敛域的区别），极限函数等概念. 逐点收敛 ( 或称为“点态收敛” )的“ ”定义. 例1 对定义在 内的等比函数列, 用“”定义验证其收敛域为 , 且 例2 .用“”定义验证在内. 例3 考查以下函数列的收敛域与极限函数: . ⑴. . ⑵. . ⑶设 为区间上的全体有理数所成数列. 令 , . ⑷. , . ⑸ 有 , , . （注意.） 二. 函数列的一致收敛性: 问题: 若在数集D上, . 试问: 通项 的解析性质是否必遗传给极限函数 ? 答案是否定的. 上述例1、例3⑴⑵说明连续性未能遗传,而例3⑶说明可积性未能遗传. 例3⑷⑸说明虽然可积性得到遗传, 但 . 用函数列的极限表示函数是函数表达的一种重要手段. 特别是表达非初等 函数的一种手段. 对这种函数, 就是其表达式.于是,由通项函数的解 析性质研究极限函数的解析性质就显得十分重要. 那末, 在什么条件下通项函 数的解析性质能遗传给极限函数呢? 一个充分条件就是所谓“一致收敛”. 一致收敛是把逐点收敛加强为所谓“整体收敛”的结果. 定义( 一致收敛 ) 一致收敛的几何意义. Th1 (一致收敛的Cauchy准则 ) 函数列 在数集D上一致收敛, , . ( 介绍另一种形式.) 证 ( 利用式) ,……,有 易见逐点收敛. 设 , 对D成立, . 令 , ，D. 即 推论1 在D上 , ，. D , 推论2 设在数集D上, . 若存在数列 使, 则函数列 在数集D上非一致收敛时, 常选为函数 ―在数集D上的最值点. . 证明函数列在R内一致收敛. 例4 第四章解析函数的幂级数表示法 §1、复级数的基本性质 1、(定理4、1)复级数收敛的充要条件:实部虚部分别收敛。 2、(定理4、2)复级数收敛的充要条件(用定义):对任给的>0,存在正整数N(),当n>N 且p为任何正整数时, 注1:收敛级数通项必趋近于零; 注2:收敛级数各项必有界; 注3:级数省略有限个项不改变敛散性。 3、(定理 4、3)收敛 4、(定理4、4) (1)绝对收敛的复级数可任意重排,不改变收敛性,不改变与; (2)两个绝对收敛的复级数可按对角线方法得出乘积(柯西积)级数,也绝对收敛于。 5、一致收敛的定义:对任给的>0以及给定的,存在正整数N=N(,z),当n>N时,有 式中 6、不一致收敛的定义 7、(定理4、5 柯西一致收敛准则):级数收敛的充要条件就是:任给>0,存在正整数N=N(),使当n>N时,对一切,均有 8、(定理4、5’不一致收敛准则): 9、(优级数准则):如果有正数列,使对一切,有|)|≤,且正项级数 收敛复级数在集E上绝对收敛且一致收敛。 10、优级数定义:称为的优级数。 11、(定理4、6)级数各项在点集E上连续,且一致收敛于f(z),则与函数 也在E上连续。 12、(定理4、7 积分求与符号可交换)级数的各项在曲线C上连续,且一致收敛于f(z),则沿C可逐项积分 13、内闭一致收敛:有界闭集上一致收敛 14、(定理4、8)在圆K:|z-a| 15、(定理4、9 魏尔斯特拉斯定理):设(1)函数在区域D内解 析;(2)在D内内闭一致收敛于函数f(z): 则: (1)f(z)在D内解析; (2) (3)在D内内闭一致收敛于 §2、幂级数 1、(定理4、10 阿贝尔定理):幂级数在某点(≠a)收敛它必在 圆K:|z-a|<|-a|(以a为圆心,圆周通过的圆)内绝对收敛且内闭一致收敛。 2、(推论4、11):幂级数在某点(≠a)发散在以a为圆心,圆周通过的圆周外发散。 3、收敛半径:圆周内部绝对收敛,圆周外部发散。 4、(定理4、12 收敛半径R的求法柯西-阿达马公式):(不能缺项)如果幂级数 的系数满足: 或 第一讲 数列的极限 一、内容提要 1.数列极限的定义 N n N a x n n >?N ∈?>??=∞ →,,0lim ε,有ε<-a x n . 注1 ε的双重性．一方面,正数ε具有绝对的任意性,这样才能有 {}n x 无限趋近于)(N n a x a n ><-?ε 另一方面,正数ε又具有相对的固定性,从而使不等式ε<-a x n .还表明数列{}n x 无限趋近于a 的渐近过程的不同程度,进而能估算{}n x 趋近于a 的近似程度． 注 2 若n n x ∞ →lim 存在,则对于每一个正数ε,总存在一正整数N 与之对应,但这种N 不是唯一 的，若N 满足定义中的要求，则取 ,2,1++N N ，作为定义中的新的一个N 也必须满足极限定义中的要求,故若存在一个N 则必存在无穷多个正整数可作为定义中的N ． 注3 a x n →)(∞→n 的几何意义是:对a 的预先给定的任意-ε邻域),(εa U ,在{}n x 中至多除去有限项,其余的无穷多项将全部进入),(εa U . 注4 N n N a x n n >?N ∈?>??≠∞ →00,, 0lim ε，有00ε≥-a x n . 2． 子列的定义 在数列{}n x 中,保持原来次序自左往右任意选取无穷多个项所得的数列称为{}n x 的子列，记为{} k n x ,其中k n 表示k n x 在原数列中的项数,k 表示它在子列中的项数. 注１ 对每一个k ,有k n k ≥． 注２ 对任意两个正整数k h ,，如果k h ≥，则k h n n ≥.反之，若k h n n ≤，则k h ≤. 注3 K k K a x k n n >?N ∈?>??=∞→,, 0lim ε，有ε<-a x k n ． 注４ ?=∞ →a x n n lim {}n x 的任一子列{} k n x 收敛于a . 3.数列有界 对数列{}n x ，若0>?M ,使得对N n >?，有M x n ≤，则称数列{}n x 为有界数列． 4.无穷大量 对数列{}n x ，如果0>?G ，N n N >?N ∈?, ,有G x n >，则称{}n x 为无穷大量，记 第十二章 无穷级数 一. 常数级数的审敛，常数级数的性质 收敛： 12.3下列级数中收敛的是( )； A ． ( ) ∑∞=-+1 1n n n B ．∑ ∞ =+11 1n n C ．n n n n ∑∞ =?? ? ??+123 D ．∑∞ =??? ??+1211n n 1 2(1)n =≥≥+，所以( ) ∑∞ =-+11n n n 发散； ∑∞ =+111n n 发散，因为11n ∞=∑发散，所以∑∞ =??? ? ? +1211n n 发散，因此选C 。 12.7 下列级数中收敛的是( ) A. ∑ ∞ =+1 121n n B.∑∞ =+11 3n n n C.)1|(|1001<∑∞=q q n n D.∑∞=-1132n n n 解： 121n ≥+，∑∞=+1121n n 发散；1 lim 313n n n →∞=+，∑∞ =+1 13n n n 发散；||1q <时，100lim n n q →∞=∞，)1|(|1001<∑∞=q q n n 发散；2 13n =<，∑∞ =-1132n n n 收敛，所以选D 。 12.11 下列级数中收敛的是( )； A ．∑∞ =-1121n n B ．∑∞=122n n n C ．11ln(1)n n ∞=+∑ D ．∑∞ =??? ? ? +1311n n 解：1121lim 12n n n →∞-=，∑∞=-1121n n 发散； 2 12(1)12lim 122n n n n n +→∞+=<，∑∞=122 n n n 收敛；1ln(1)lim 11n n n →∞+=，11ln(1)n n ∞ =+∑发散；11n ∞=∑发散，∑∞=??? ??+1311n n 发散。所以选B 。 12.15 下列正项级数中收敛的是( )； A ．∑∞ =-112n n n B ．∑∞=12n n n C ．)11ln(1 ∑∞=+n n D ．∑∞=+1)1(2n n n n 内容要点 一， 概念与性质 （一） 概念由数列 u 1,u 2, ,u n , 构成的式子 称为无穷级数，简称为级数 . u n 称为级数的一般项， s n 级数的部分和 二）性质 3, 级数增减或改变有限项，不改变其敛散性 . 4, 若级数收敛，则任意加括号后所成的级数仍收敛 5（收敛的必要条件 ）, 若 u n 收敛，则 lim u n 0. n 1 n 注意：若 l n im u n 0.则 u n 必发散. 而若 u n 发散, n n n 1 n n 1 n lim u n 0. n （三） 两个常用级数 1, 等比级数 1, 若 u n 收敛，则 ku n 1 n 1 k u n . n1 2, 若 u n , v n 收敛，则 n1 n 1 u n v n1 u n1 v n . n1 n u i 称为 i1 如果 lim s n s , 则称级数 u n 收敛， s 称为该级数的 和 n1 . 此时记 u n n1 s . 否则称级数发散 则不一定 2, p 级数 二，正项级数敛散性判别法 （ 一 ） 比较判别法 设 u n , v n 均为正项级数，且 u n v n （n 1,2, ）, 则 n 1 n1 v n 收敛 u n 收敛； n1 n 1 u n 发散 v n 发散 n1 n 1 （ 二） 极限判别法 如果对 p 1, l n im n p u n l(0 l ), 则 n1u n 则收敛 . （ 三 ） 比值判别法 设 u n 为正项级数，若 n1 二， 交错级数收敛性判别法 莱布尼兹判别法：设 1n 1u n （u n 0）为交错级数，如果满足： n1 1, u n u n 1（n 1,2, ）2, lim u n n 则此交错级数收敛 . 三， 任意项级数与绝对收敛 （一） 绝对收敛如果 u n 收敛，则称 u n 绝对收敛 . n 1 n 1 二） 条件收敛如果 u n 收敛，但 u n 发散,则称 u n 条件收 n 1 n 1 n 1 敛. （三） 定理若级数绝对收敛，则该级数必收敛 . 函数项级数 一、主要内容 1、基本概念 函数列（函数项级数）的点收敛、一致收敛、内闭 如果 lim nu n l(0 l n ）,则 u n 发散； n1 第四章解析函数的级数表示 (The representation of power series of analytic function) 第一讲 授课题目：§4.1复数项级数 §4.2复变函数项级数 教学内容：复数序列的极限、复数项级数及其敛散性、复变函数项级数、幂级数、幂级数收敛半径的求法、幂级 数和函数的解析性. 学时安排：2学时 教学目标：1、正确理解条件收敛与绝对收敛 2、掌握幂级数的收敛圆的概念，会求幂级数的收敛 半径，了解幂级数的运算和性质. 3、正确掌握幂级数和函数的解析性 教学重点：复数项级数 教学难点：幂级数和函数的解析性 教学方式：多媒体与板书相结合 P思考题：1、2、习题三：1-5 作业布置： 100 101 板书设计：一、幂级数 二、幂级数收敛半径R的求法 三、幂级数和函数的解析性 参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育 出版社. 2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高 等教育出版. 3、《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）2005年5月. 4、《复变函数与积分变换》苏变萍 陈东立编，高等教育出版社，2008年4月. 课后记事：1、会熟练求幂级数的收敛半径 2、基本掌握幂级数和函数的解析性 3、课后要答疑 教学过程： §4.1 复数项级数 (Series of complex terms) 一、复数序列的极限（Limit of the plural array ） 设}{n z () ,2,1=n 为一复数序列，其中 ,... ,...,,222111n n n ib a z ib a z ib a z +=+=+=按照 |}{|n z 是有界或无界序列，来定义}{n z 为有界或无界序列. 设0z 是一个复常数.如果任给0>ε，可以找到一个正数N ，使得当N n >时，有 ε<-||0z z n , 那么我们说}{n z 收敛或有极限0z ，或者说}{n z 是收敛序列，并且 第十二章 无穷级数 (一) 1．解：∵( ) ∑ =∞→-+=+-+=n k n n k k S 12212，(∞→n ),∴原级数 发散。 2．解：∵() ∑∑==→??? ??+-=??? ??+-=+=n k n k n n k k k k S 1141 221212122121212221， (∞→n )，∴原级数收敛且和为 4 1。 3．解：∵41 215 11511513113113151315131 111+→-? ?? ?? -+-??? ??-= +=??? ??+=∑∑∑===n n n k k n k n k k k k n S 4 3= ，(∞→n )，∴原级数收敛且和为43。 4．解：∵()∞=++=∞→+∞→+∞→1001 lim !100100!1lim lim 11n n n U U n n n n n n n ，∴由比值判别法知原级 数发散。 5．解：∵()11 11lim 1lim lim 11<=??? ??+=+=∞→+∞→+∞→e n n e n e e n U U e n e n n e n n n n ，∴由比值判别法知，原级数收敛。 6．解：∵02 1 21lim lim ≠=+=∞ →∞ →n n U n n n ，∴原级数发散。 7．解：∵()()2332lim 1lim =++=∞→∞→n n n n n U n n n ，而∑∞ =11 n n 发散，∴由比较判别法知原级数发散。 8．解：∵13113lim 13lim lim <=+=?? ? ??+=∞→∞→∞→n n n n U n n n n n n n ，∴由比值判别法知，原级数收敛。 9．解：∑ ∑∞ =-∞ ==1 1 1 2 ||n n n n n U ，由正项级数的比值判别可知，此级数收敛，故原 级数绝对收敛。 第四章 解析函数的幂级数表示法 本章将介绍复数项级数及复函数项级数一些相关性质，此章学习要注意和实数项级数和实函数项级数概念性质做类比，这里很多内容与数学分析是一致的。 第一节 复级数的基本性质 1、复数项级数和复数序列： 复数序列就是： 111222,,n n n z a ib z a ib z a ib =+=+=+ 在这里，z n 是复数，Re ,Im n n n n z a z b ==一般简单记为{z n }。按照{| z n | }是有界或无界序列，我们也称{z n }为有界或无界序列。 设z 0是一个复常数。如果任给0>ε，可以找到一个正数N ，使得当n>N 时 ε<-||0z z n , 那么我们说{z n }收敛或有极限0z ，或者说{z n }是收敛序列，并且收敛于0z ，记作 lim z z n n =+∞ →。 如果序列}{n z 不收敛，则称{z n }发散，或者说它是发散序列。 令z 0=a+ib ，其中a 和b 是实数。由不等式 0||||||||n n n n b b z z a a b b -≤-≤-+- 容易看出，0lim n n z z →+∞ =等价于下列两极限式： , lim ,lim b b a a n n n n ==+∞ →+∞ → 因此，有下面的注解： 注1、序列{z n }收敛的充分必要条件是：序列{a n }收敛（于a ）以及序列{b n }收敛（于b ），即复数列可转化成实数列研究。 注2、复数序列也可以解释为复平面上的点列，于是点列{z n }收敛于z 0，或者说有极限点0z 的定义用几何语言可以叙述为：任给z 0的一个邻域，相应地可以找到一个正整数N ，使得当n>N 时，z n 在这个邻域内。 注3、两个收敛复数序列的和、差、积、商仍收敛，并且其极限是相应极限的和、差积、商。 复数项级数就是 第十一章练习题 一、 填空题 1．级数 )21)1(1(1 n n n n -+∑∞ =的和为（ ） ． 2．若∑∞ =1 n n u 为正项级数，且其部分和数列为{}n s ，则∑∞ =1 n n u 收敛的充要条件是（ ）． 3.级数∑∞ =1 22 sin 2n n n π 的敛散性为（ ）． 4.幂级数n n x n )3 2(11 -∑ ∞ =的收敛区间为（ ）． 5.幂级数∑∞ =-1 22) 1(n n n n x 的收敛域为（ ）． 6.将函数 2 ) 1(1x +展开成x 的幂级数为（ ）． 7．)(x f 满足收敛的条件，其傅立叶级数的和函数为S(x)，已知f (x )在x=0处左连续，且)(lim ,2)0(,1)0(0 x f S f x +→=-=则=（ ） ． 8．设)(x f 是周期为２π的函数，在一个周期上可积．当)(x f 是奇函数时，它的傅里叶系数为 =n a （ ），=n b （ ）． 二、 单项选择题 1. 若级数∑∞ =1 n n a 条件收敛，则下列结论不正确的是（ ）. A. 交换律成立； B.结合律成立； C.分配律成立； D.以上都不成立。 2．在下面级数中，绝对收敛的级数是（ ）． A. ∑ ∞ =+1121n n ； Ｂ．n n n )2 3()1(1 ∑∞ =-； Ｃ． 3 1 1) 1(n n n ∑ ∞ =-； Ｄ．n n n n 1) 1(1 --∑∞ =． 3. 在下列级数中，条件收敛的级数是（ ）. A. ∑∞ =+-1 1 ) 1(n n n n ；Ｂ．∑∞ =-1 1) 1(n n n ；Ｃ．∑∞ =-1 2 1) 1(n n n ；Ｄ．∑∞ =+-1 ) 1(1)1(n n n n 4. 已知级数∑∑∞ =∞ =--==-1 1 1 21 5, 2) 1(n n n n n a a ，则级数∑∞ ==1 n n a （ ） A. 3 ； Ｂ． 7 ； Ｃ． 8 ； Ｄ． 9 5．幂级数n x n n ∑ ∞ =1 的和函数是（ ）． Ａ．)1ln(x --； Ｂ． )1ln(x -； Ｃ．)1ln(x +; Ｄ． )1ln(x +- 6. 函数2 )(x e x f -=展开成x 的幂级数为（ ）. A. ∑ ∞ =0 2! n n n x Ｂ．∑ ∞ =?-0 2! )1(n n n n x Ｃ．∑ ∞ =0 ! n n n x Ｄ．∑ ∞ =?-0 ! )1(n n n n x 7. 若∑∞ =-1 )1(n n n x a 在1-=x 处收敛，则此级数在2=x 处（ ）. A.条件收敛；Ｂ．绝对收敛；Ｃ．发散；Ｄ．收敛性不能确定。 8.已知级数∑∞ =1 2n n a 收敛，常数λ>0,则级数∑∞ =+-1 2 ) 1(n n n n a λ （ ）. A. 发散 ； Ｂ．条件收敛； Ｃ．绝对收敛； Ｄ．收敛性与λ有关。 9.设),3,2,1(0 =≠n u n ，且1lim =∞ →n n u n ，则级数∑∞ =+++ -1 1 1 )11( ) 1(n n n n u u （ ）. A.发散。Ｂ．绝对收敛。Ｃ．条件收敛。Ｄ．收敛性根据所给条件不能判定。 三、计算题 1. 判定下列级数的收敛性。 (1) ∑ ∞ =+1 3 2 ) 1(3cos n n n n λ, (2) )sin ( 1 ∑ ∞ =-n n n π π ; (3) ∑ ∞ =--1 1 2) 1 3( n n n n 2．讨论下列级数的敛散性 （1）∑ ? ∞ =+1 1 2 1n n dx x x （2）∑∞ =+ -1 )]11ln(1[ n n n 3．求幂级数∑ ∞ =1 22 n n n x n 的收敛域。函数列与函数项级数
第四章 解析函数的幂级数表示方法
级数审敛法小结
数学分析：第章数项级数
函数列与函数项级数
复变函数第四章解析函数的幂级数表示法知识点总结
3第一讲__数列的极限典型例题
第十二章-无穷级数(整理解答)
考研级数典型例题完美版讲析
第四章 解析函数的级数表示
第十二章 无穷级数(答案)
第4章、解析函数的幂级数表示法
第十二章无穷级数自测题(含答案)
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