摘要
本文给出了一种基于小波变换的图像融合方法，并针对小波分解的不同频率域，分别讨论了选择高频系数和低频系数的原则。高频系数反映了图像的细节，其选择规则决定了融合图像对原图像细节的保留程度。本文在选择高频系数时，基于绝对值最大的原则，并对选择结果进行了一致性验证。低频系数反映了图像的轮廓，低频系数的选择决定了融合图像的视觉效果，对融合图像质量的好坏起到非常重要的作用。
MATLAB小波分析工具箱提供了小波分析函数，应用MATLAB进行图像融合仿真，通过突出轮廓部分和弱化细节部分进行融合，使融合后的图象具有了两幅或多幅图象的特征，更符合人或者机器的视觉特性，有利于对图像进行进一步的分析和理解，有利于图像中目标的检测和识别或跟踪。
关键词：小波变换；MATLAB；图象融合
第1章绪论
1.1课题研究的背景及意义
1.1.1 本课题的研究背景
小波分析（wavelet）是在应用数学的基础上发展起来的一门新兴学科，近十几年来得到了飞速的发展．作为一种新的时频分析工具的小波分析，目前已成为国际上极为活跃的研究领域．从纯粹数学的角度看，小波分析是调和分析这一数学领域半个世纪以来工作的结晶；从应用科学和技术科学的角度来看，小波分析又是计算机应用，信号处理，图形分析，非线性科学和工程技术近些年来在方法上的重大突破．由于小波分析的“自适应性”和“数学显微镜”的美誉，使它与我们观察和分析问题的思路十分接近，因而被广泛应用于基础科学，应用科学，尤其是信息科学，信号分析的方方面面[1]．
小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师J.Morlet在1974年首先提出的，通过物理的直观和信号处理的实际需要经验的建立了反演公式，当时未能得到数学家的认可。正如1807年法国的热学工程师J.B.J.Fourier提出任一函数都能展开成三角函数的无穷级数的创新概念未能得到著名数学家https://www.doczj.com/doc/dc17670809.html,grange，https://www.doczj.com/doc/dc17670809.html,place以及A.M.Legendre的认可一样。幸运的是，早在七十年代，A.Calderon表示定理的发现、Hardy空间的原子分解和无条件基的深入研究为小波变换的诞生做了理论上的准备，而且J.O.Stromberg还构造了历史上非常类似于现在的小波基；1986年著名数学家Yammerer偶然构造出一个真正的小波基，并与S.Mallat合作建立了构造小波基的同意方法棗多尺度分析之后，小波分析才开始蓬勃发展起来，其中比利时女数学家I.Daubechies撰写的《小波十讲（Ten Lectures on Wavelets）》对小波的普及起了重要的推动作用。它与Fourier 变换、窗口Fourier变换（Gabor变换）相比，这是一个时间和频率的局域变换，因而能有效的从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行
多尺度细化分析（Multiscale Analysis），解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题，从而小波变化被誉为“数学显微镜”，它是调和分析发展史上里程碑式的进展[1]。
Matlab 是MathWorks 公司于1982年推出的一套高性能的数值计算和可视化软件，它集数值分析、矩阵运算、信号处理和图形显示于一体，构成了一个方便的、界面友好的用户环境。在Matlab环境下，对图像的分析和处理可采用人机交互的方式，用户只需按Matlab的格式要求给出相应的命令，其分析处理结果便以数值或图形方式显示出来。作为一种应用广泛的编程工具，Matlab在图形处理方面有着明显的优势：具有强大的矩阵运算功能，时观察图形的变化；带有丰富的图像处理函数库，其图像处理工具箱(image processing toolbox)几乎涵盖了所有常用的图像处理函数，Matlab在图像处理中的应用都是由相应的Matlab函数来实现[3]。随着计算机性能的不断提高，人们发现工程上的许多问题可以通过计算机强大的计算功能来辅助完成。如此一来，MATLAB软件强大的数值运算核心开始被关注。经过近20年的发展，MATLAB的核心被进一步完善和强化，同时许多工程领域的专业人员也开始用MATLAB构造本领域的专门辅助工具，这些工具后来发展为MATLAB的各种工具箱。特别值得一提的是，MATLAB是一种开放式的软件，任何人经过一定的程序都可以将自己开发的优秀的应用程序集加入到MATLAB工具的行列。这样，许多领域前沿的研究者和科学家都可以将自己的成果集成到MATLAB之中，被全人类继承和利用。因此，我们现在看到的MATLAB才会如此强大和丰富[2]。
1.1.2课题研究的实际意义
小波分析的应用领域十分广泛，它包括：数学领域的许多学科；信号分析、图像处理；量子力学、理论物理；军事电子对抗与武器的智能化；计算机分类与识别；音乐与语言的人工合成；医学成像与诊断；地震勘探数据处理；大型机械的故障诊断等方面；例如，在数学方面，它已用于数值分析、构造快速数值方法、曲线曲面构造、微分方程求解、控制论等。在信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、传递等。在图像处理方面的图像压缩、分类、识别与诊断，去污等。在医学成像方面的减少B超、CT、核磁共振成像的时间，提高分辨率等。
(1)小波分析用于信号与图像融合是小波分析应用的一个重要方面。它的特
点是融合准确度高，融合效果好，融合后能保持信号与图像的总数据量不变，且在传递中可以抗干扰。基于小波分析的融合方法很多，比较成功的有基于多分辨分析的图像融合，应用M allat小波变换算法进行图像数据融合等。
(2)小波在信号分析中的应用也十分广泛。它可以用于边界的处理与滤波、时频分析、信噪分离与提取弱信号、求分形指数、信号的识别与诊断以及多尺度边缘检测等。
(3)在工程技术等方面的应用。包括计算机视觉、计算机图形学、曲线设计、湍流、远程宇宙的研究与生物医学方面[3]。
MATLAB是功能强大地科学及工程计算软件，它不但具有以矩阵计算为基础的强大数学计算和分析功能，而且还具有丰富的可视化图形表现功能和方便的程序设计能力。MATLAB的应用领域极为广泛，除数学计算和分析外，还被应用于自动控制、系统仿真、数字信号领域、图形图像分析、数理统计、人工智能、虚拟现实技术、通信工程、金融系统等领域[4]。
目前小波分析在许多工程领域中都得到了广泛的应用，成为科技工作者经常使用的工具之一。MATLAB作为一种高性能的数值计算和可视化软件，经过各个领域专家的共同努力，现已包含信号处理、图像处理、通信、小波分析、系统辨识、优化以及控制系统等不同应用领域的工具箱。因此，对此次课题的研究有着十分广泛的意义[3]。
1.2本文的主要内容
本文给出了一种基于小波变换的图像融合方法，针对原图像小波分解的不同频率域，分别讨论了高频系数和低频系数的选择原则。高频系数反映了图像的细节，其选择规则决定了融合图像对原图像细节的保留程度。本文在选择高频系数时，基于绝对值最大的原则，并对选择结果进行了一致性验证。低频系数反映了图像的轮廓，低频系数的选择决定了融合图像的视觉效果，对融合图像质量的好坏起到非常重要的作用。
在某些情况下，由于受照明、环境条件、目标状态、目标位置以及传感器固有特性等因素的影响，单一的图像信息不足以用来对目标或场景进行更好的检测、分析和理解，需要多幅图像融合来得到更全面的信息。图像融合是将两幅或
多幅图像融合在一起，帮助理解图像并快速地获取感兴趣的信息。图像融合技术得到的合成图像则可以更全面、更精确地描述所研究的对象，所以在多方面图象融合的意义还是十分的巨大的，这也是我选择此课题的原因。
本文的具体内容如下
第1章绪论
第2章小波分析理论基础
第3章MATLAB小波分析工具箱简介
第4章基于小波分析的图像融合仿真应用
第2章 小波分析理论基础
2.1小波变换
小波分析（Wavelet Analysis ）是在现代调和分析的基础上发展起来的一门新兴学科，其基础理论知识涉及到函数分析、傅立叶分析、信号与系统、数字信号处理等诸方面，同时具有理论深刻和应用十分广泛双重意义。我们只对小波分析的整体思想进行介绍。
2.1.1小波变换的思想
小波变换继承和发展了Gabor 的加窗傅立叶变化的局部化思想，并克服了傅立叶变换窗口大小不能随频率变化的不足，其基本思想来源于可变窗口的伸缩和平移。小波变换利用一个具有快速衰减性和振荡性的函数(成为母子波)，然后将其伸缩和平移得到了一个函数族(称之为小波基函数)，以便在一定的条件下，任一能量有限信号可按其函数族进行时－频分解，基函数在时-频相平面上具有可变的时间-频率窗，以适应不同分辨率的需求[5]。
b1
b2
2ω0ω20ω?
?? ?
?
=21a ()1=a ()
2=a b
ω
图2-1 小波变换的时频平面的划分
Fig. 2-1 Partition of time-frequency plane of wavelet transform
在加窗傅立叶变换中，一旦窗函数选定，在时频相平面中窗口的大小是固定不变的，不随时频位置(t ，f )而变化，所以加窗傅立叶变换的时-频分辨率是固定不变的，小波变换的时频相平面如图2-1所示，窗函数在时频相平面中随中心频
率变换而改变，在高频处时窗变窄，在低频处频窗变窄，因而满足对信号进行时-频分析的要求。它非常适合于分析突变信号和不平稳信号。况且小波变换具有多分辨率分析的特点和带通滤波器的特性，并且可用快速算法实现[5]，因而常用于滤波、降噪、基频提取等。但对平稳信号来说，小波分析的结果不如傅立叶变换直观，而且母小波的不唯一性给实际应用带来了困难[5]。
小波分析属于时频分析[6]的一种。传统的信号分析是建立在傅立叶变换的基础之上的，由于傅立叶分析使用的是一种全局的变换，只提供信号的频域信息，而不提供信号的任何时域信息，因此无法表述信号的时频局域性质，而这性质恰恰是非平稳信号最根本和最关键的性质。
2.1.2 连续小波基函数
小波函数的确切定义[10]为：设)(t φ为一平方可积函数，也即()R L t 2)(∈φ，若其傅立叶变换满足
()
∞<ψ?
ωω
ωd R
2
则称)(t φ为一个基本小波或小波母函数，并称上式为小波函数的可容许性条件。
连续小波基函数)(,t a τφ的定义为：将小波母函数)(t φ进行伸缩和平移，设其伸缩因子(又称尺度因子)为a ，平移因子为τ，令其平移伸缩后的函数为)(,t a τφ，则有
()R a a t a t a ∈>??
?
??-=-ττφφτ,0,2/1, (2-1)
称)(,t a τφ为依赖于参数τ,a 的小波基函数，由于尺度因子a 、平移因子τ是取连续变化的值，因此称)(,t a τφ为连续小波基函数。它们是由同一母函数)(t φ经伸缩和平移后得到的一组函数系列。定义小波母函数)(t φ窗口宽度为t ?，窗口中心为0t ，则相应可求得连续小波)(,t a τφ的窗口中心为ττ+=0,at t a ，窗口宽度为
t a t a ?=?τ,。同样，设()ωψ为)(t φ的傅立叶变换，其频域窗口中心为0ω，窗口宽度为ω?，设)(,t a τφ的傅立叶变换为)(,ωτa ψ，则有
()()ωωωττa e a j a ψ=ψ-2
1, (2-2)
所以，其频域窗口中心为0,1ωωτa
a = 窗口宽度为ωωτ?=
?a
a 1
, 可见，连续小波)(,t a τφ的时、频域窗口中心及宽度均随尺度a 的变化而伸缩，若我们称ω???t 为窗口函数的窗口面积，由于
ωωωττ??=??=??t a
t
a t a a 1
,, (2-3) 所以连续小波基函数的窗口面积不随参数τ,a 而变。这正是海森堡测不准原理证明的：ω??t 大小是相互制约的，乘积2
1≥???ωt ，且只有当)(t φ为Gaussian 函数时，等式才成立。由此可得到如下几点结论：
(1)尺度的倒数
a
1
在一定意义上对应于频率ω，即尺度越小，对应频率越高，尺度越大，对应频率越低。如果我们将尺度理解为时间窗口的话，则小尺度信号为短时间信号，大尺度信号为长时间信号；
(2)在任何τ值上，小波的时、频窗口的大小t ?和ω?都随频率ω(或者a
1)的变化而变化。这是与STFT 的基的不同之处；
(3)在任何尺度a 、时间τ上，窗口面积ω???t 保持不变，也即时间、尺度分辨率是相互制约的不可能同时提的很高；
(4)由于小波母函数在频域具有带通特性，其伸缩和平移系列就可以看作是一组带通滤波器。通常将通带宽度与中心频率的比值称为带通滤波器的品质因数，通过计算可以发现，小波基函数作为带通滤波器，其品质因数不随尺度a 而变化，是一组频率特性等Q 的带通滤波器组[6]。
2.1.3 连续小波变换
将任意()R
L
2空间中的函数)
(t
f在小波基下进行展开，称这种展开为函数
)(t
f的连续小波变换(Continue Wavelet Transform,简记为CWT)，其表达式为
()dt
a
t
t
f
a
t
t
f
a
WT
R
a
f
?
?
?
?
?-
=
=?τ
φ
φ
τ
τ
)(
1
),
(
)
,
(
,
(2-4) 由CWT的定义可知，小波变换同傅立叶变换一样，都是一种积分变换，同傅立叶变换相似，称()τ,a
W T
f
为小波变换系数。由于小波基不同于傅立叶基，因此小波变换和傅立叶变换有许多不同之处。其中最重要的是，小波基具有尺度a、平移τ两个参数。因此，将函数在小波基下展开就意味着将一个时间函数投影到二维的时间-尺度相平面上。并且，由于小波基本身所具有的特点，将函数投影到小波变换域后，有利于提取函数的某些本质特征。
与STFT不同的是，小波变换是一种变分辨率的时频联合分析方法。当分析低频(对应大尺度)信号时，其时间窗很大，而当分析高频(对应小尺度)信号时，其时间窗减小。这恰恰符合实际问题中高频信号的持续时间短、低频信号持续时间较长的规律[7]。
2.1.4离散小波变换
由连续小波的概念知道，在连续变化的尺度a及时间τ值下，小波基函数
)(
,
t
aτ
φ具有很大的相关性，体现在不同点上的CWT系数满足重建核方程，因此信号()t f的连续小波变换系数()τ,a
W T
f
的信息量是冗余的。虽然在某些情况下，其冗余性是有益的(例如在去噪，进行数据恢复及特征提取时，常采用CWT，以牺牲计算量、存储量为代价来获得最好的结果)，但在很多情况下，我们希望在不丢失原信号()t f信息的情况下，尽量减小小波变换系数的冗余度。
减小小波变换系数冗余度的作法是将小波基函数的a、τ限定在一些离散点
上取值。一种最通常的离散方法就是将尺度按幂级数进行离散化，即取m
m
a
a
=(m
为整数，1
≠
a，一般取2
=
a)。
关于位移的离散化，当120==a 时，()()τφφτ-=t t a ,。通常对τ进行均匀离散取值，以覆盖整个时间轴。为了不丢失信息，要求采样间隔τ满足Nyquist 采样定理，即采样频率大于等于该尺度下频率通常的2倍。每当m 增加1，尺度a 增加一倍，对应的频带减小一半，可见采样率可以降低一半，也就是采样间隔可以增大一倍。因此，如果尺度0=m 时τ的间隔为s T ，则在尺度为m 2时，间隔可取为s m T 2。此时()t a τφ,可表示为[7]
()()
n t t m m n m -=--
222
,φφ Z n m ∈, (2-5)
任意函数()t f 的离散小波变换为
()()()dt t t f n m WT n m R
f ,,φ?= (2-6)
2.1.5 二进小波变换
对于尺度及位移均离散变化的小波序列，若取离散栅格的20=a ，0=?τ，即相当于连续小波只在尺度上进行了二进制离散，而位移仍取连续变化，我们称这类小波为二进小波，表示为
??
?
??-=-
k k t k 222
,2τφφτ (2-7)
二进小波介于连续小波和离散小波之间，它只是对尺度参量进行了离散化，而在时间域上的平移量仍保持连续变化，因此二进小波仍具有连续小波变换的时移共变性，这是它较之离散小波变换所具有的独特优点[7]。
2.2 多分辨率分析与离散小波快速算法
2.2.1 多分辨率分析
多分辨率分析(Multi-Resolution Analysis ——MRA)，又称为多尺度分析是建立在函数空间[3]概念上的理论。但其思想的形成来源于工程，其创建者S.mallat 是在研究图像处理问题时建立这套理论。当时研究图像的一种很普遍的方法是将图像在不同尺度下分解，并将结果进行比较，以取得有用的信息。Meyer 正交小
波基的提出，使得Mallat 想到是否用正交小波基的多尺度特性将图像展开，以得到图像不同尺度间的“信息增量”。这种想法导致了多分辨率分析理论的建立。MRA 不仅为正交小波基的构造提供了一种简单的方法，而且为正交小波变换的快速算法提供了理论依据。其思想又同多采样滤波器组不谋而合，可将小波变换同数字滤波器的理论结合起来。因此多分辨率分析在正交小波变换理论中具有非常重要的地位。
若把尺度理解为照相机的镜头的话，当尺度由大到小变化时，就相当于将照相机由远及近的接近目标，在大尺度空间里，对应远镜头下观察到的目标，可观测到目标的细微部分。因此随着尺度由大到小的变化，在各尺度上可以由粗及精的观察目标。这就是多尺度(即多分辨率)的思想。
W 1W 2
W 3V 3
V 0?V 1?V 2?V 3
图2-2 小波空间和尺度空间的包含关系
Fig. 2-2 The relationship of wavelet space and scale space
多分辨率分析是指满足下列性质的一系列闭子空间{}Z j V j ∈,： (1)一致单调性： ????????????--21012V V V V V (2)渐近完全性： {}0=∈j Z
j V ；()R L V j Z
j 2=∈
(3)伸缩规则性： ()
02)(V t f V t f j j ∈?∈ Z j ∈ (4)平移不变性： ()()00V n t f V t f ∈-?∈，对所有Z n ∈
(5)正交基存在性： 存在0V ∈φ，使得(){}z n n t ∈-φ是0V 的正交基，即
(){
}n t s p a n V n
-=φ0，()()n m R
dt m t n t ,δφφ=--? 小波空间和尺度空间的包含关系如图2-2所示[7]。
2.2.2尺度函数和尺度空间
若一个函数()()R L t 2∈φ，它的的整数平移系列()()k t t k -=φφ满足
()()Z k k t t k k k k ∈'='',,,,δφφ (2-8)
则()t φ可定义为尺度函数(scale function)。
定义由()t k φ在()R L 2空间张成的闭子空间为0V 称为零尺度空间：
()Z k t span V k k
∈=,}{0φ (2-9)
则对于任意()0V t f ∈，有
()t a t f k k
k φ∑=)( (2-10)
同小波函数相似，假设尺度函数()t φ在平移的同时又进行了尺度的伸缩，得到了一个尺度和位移均可变化的函数集合：
()
)2(22)(2
,t k t t j k j j
k j ---
=-=φφφ (2-11)
则称每一固定尺度j 上的平移系列()
t j 2φ所张成的空间j V 为尺度为j 的尺度空间： ()
Z k t s p a n V j k k
j ∈=-,}2{φ
对于任意()j V t f ∈，有
()()
()
∑∑-==--
-k
j
k j j
k k
k k t a t a t f 2
2
22
φφ (2-12)
由此，尺度函数()t φ在不同尺度上其平移系列张成了一系列的尺度空间Z j j V ∈}{。由式(2-11)随着尺度j 的增大，函数()t k j ,φ的定义域变大，且实际的平移间隔)2(τ?j 也变大，
则它的线性组合式(2-12)不能表示函数(小于该尺度)的细微变化，因此其张成的尺度空间只能包括大尺度的缓变信号。相反随着尺度j 的减小，线性组合便能表示函数的更细微(小尺度范围)变化，因此其张成的尺度空间所包含的函数增多(包括小尺度信号的大尺度缓变信号)，尺度空间变大。也即随着尺度的减小，其尺度空间增大[6]。
2.2.3 离散小波变换的快速算法
对于任意函数0)(V t f ∈，可以将它分解为细节部分1W 和大尺度逼近部分1V ，然后将大尺度逼近部分1V 进一步分解。如此重复就可以得到任意尺度(或分辨率)上的逼近部分和细节部分。这就是多分辨率分析的框架。
设()t f j
s 为函数)(t f 向尺度空间j V 投影后所得到的j 尺度下的概貌信号
()()
()t c t c t f k
k j k j k
j k k j i s ∑∑Φ=Φ=-,,,2， Z k ∈ (2-13)
其中()(
)t t f c k j k j ,,,Φ=，称为尺度展开系数。
若将函数)(t f 向不同尺度的小波空间j W 投影，则可得到不同尺度下的细节信号()t f j d ：
()()
()Z k t d t d t f k j k
k j j k k
k j j d ∈==∑∑-,2,,,φφ (2-14)
其中(
)t t f d k j k j ,,),(φ=，称为小波展开系数。
若将()()R L t f 2∈按以下空间组合展开：
()j J
j j
V W
R L ⊕=
∑-∞
=2
(2-15)
其中J 为任意设定的尺度，则
()()()t c
t d
t f k j k k
j k j J j k k
j ,,,,Φ+
=
∑∑∑∞
-∞
=-∞=∞
-∞
=φ (2-16)
当∞→J 时，上式变为
()()t d
t f k j j k k
j ,,φ∑∑∞-∞=∞
-∞
==
(2-17)
即对应于1==B A 时的离散小波变换综合公式(或逆小波变换)。1==B A 时的小波框架为正交小波基，所以常称式(2-16)、(2-17)为离散正交小波变换综合公式。
由此可知，离散正交小波变换同多分辨率分析的思想是一致的，多分辨率分析理论为正交小波变换提供了数学上的理论基础[7]。
2.3几种常用的小波
同傅立叶分析不同，小波分析的基（小波函数）不是唯一存在的，所有满足小波条件的函数都可以作为小波函数，那么小波函数的选取就成了十分重要的问题[8]。
1) Haar 小波
A.Haar 于1990年提出一种正交函数系，定义如下：
??
?
??-=011
)(x H ψ 其它12/12/10<≤≤≤x x (2-18)
这是一种最简单的正交小波，即
0)()(=-?
∞
∞
-dx n x t ψψ ,2,1±±=n … (2-19)
2)Daubechies(dbN)小波系
该小波是Daubechies 从两尺度方程系数{}k h 出发设计出来的离散正交小波。一般简写为dbN ，N 是小波的阶数。小波ψ和尺度函数吁中的支撑区为2N-1。?的消失矩为N 。除N ＝1外(Haar 小波)，dbN 不具对称性〔即非线性相位〕；dbN 没有显式表达式(除N ＝1外)。但{}k h 的传递函数的模的平方有显式表达式。假设∑-=+-=1
01)(N k k k N k y C y P ，其中，k N k C +-1为二项式的系数，则有
)2(s i n )2(c o s )(2
22
0ωωωP m N = (2-20) 其中 ∑-=-=120
021)(N k ik k e h m ω
ω
3)Biorthogonal(biorNr.Nd)小波系
Biorthogonal 函数系的主要特征体现在具有线性相位性，它主要应用在信号与图像的重构中。通常的用法是采用一个函数进行分解，用另外一个小波函数进行重构。Biorthogonal 函数系通常表示为biorNr.Nd 的形式：
Nr=1 Nd=1，3，5 Nr=2 Nd=2，4，6，8
Nr=3 Nd=1，3，5，7，9
Nr=4 Nd=4 Nr=5 Nd=5 Nr=6 Nd=8
其中，r 表示重构，d 表示分解。 4)Coiflet(coifN)小波系
coiflet 也是函数由Daubechies 构造的一个小波函数，它具有coifN(N=1，2，3，4，5)这一系列，coiflet 具有比dbN 更好的对称性。从支撑长度的角度看，coifN 具有和db3N 及sym3N 相同的支撑长度；从消失矩的数目来看，coifN 具有和db2N 及sym2N 相同的消失矩数目。
5)SymletsA(symN)小波系
Symlets 函数系是由Daubechies 提出的近似对称的小波函数，它是对db 函数的一种改进。Symlets 函数系通常表示为symN(N=2，3，…，8)的形式。
6)Morlet(morl)小波
Morlet 函数定义为x Ce x x
5cos )(2
/2
-=ψ，它的尺度函数不存在，且不具有正
交性。
7)Mexican Hat(mexh)小波 Mexican Hat 函数为 2/24
/12)1(3
2)(x e x x ---=
ψπ (2-21) 它是Gauss 函数的二阶导数，因为它像墨西哥帽的截面，所以有时称这个函数为墨西哥帽函数。墨西哥帽函数在时间域与频率域都有很好的局部化，并且满足
0)(=?
∞
∞
-dx x ψ (2-22)
由于它的尺度函数不存在，所以不具有正交性。
8)Meyer 函数
Meyer 小波函数ψ和尺度函数?都是在频率域中进行定义的，是具有紧支撑的正交小波。
???
???
??
?--=ψ--0))123(2cos()2())123(2sin()2()(?2/2/12
/2/1ωπυππωπυππωωωj j e e ]
3
8,32[3
8343432ππωπ
ωππωπ?≤
≤≤≤ (2-23) 其中，)(a υ为构造Meyer 小波的辅助函数，且有
??
???
?
?-=--0))123(2cos()2()2()(?2/12
/1ωπυπππωφ 3
434323
2πωπωππω>
≤≤≤
(2-24) 2.4 Mallat 的快速算法
Mallat [9]在Burt 和Adelson 图像分解和重构的拉普拉斯塔形算法的基础上，基于多分辨率框架理论，提出了塔式多分辨分解与综合算法，巧妙的将多分辨分析与小波分析结合在一起，Mallat 塔式算法在小波分析中的地位颇似FFT 在经典傅立叶变换中的地位。
信号序列()n s 的Mallat 塔式分解算法，即序列的离散小波变换算法如图2-3所示，其中2↓表示二次采样(即删掉奇次编号的样本)，如果)(n g )(n h 为共轭镜像滤波器对(QMF)，则实现正交小波变换，此时滤波器组是非线性相位的，如果
)(n g 和)(n h 为线性相位滤波器，则实现双正交小波变换。设()()n s n c =0，则Mallat
塔式算法用下列迭代方程表示：
()()(),...2,1,0,21=-=
∑∞
-∞=+j k n g k c n d k j j
()(),...2,1,0),2(1=-=
∑∞
-∞
=+j k n h k c n c k j
j (2-25)
2↓2
↓2
↓2
↓2↓()n g ()n g ()
n g ()
n h ()
n h ()
n h 2
↓()
n s ()
n c 0()n d 1()n d 2()n d 3()
n c 3()
n c 1()n c 2
图2-3 3阶Mallat 塔式算法(序列的离散小波变换)
Fig.2-3 Three steps Mallat arithmetic
从式(2-25)可以看出，Mallat 塔式算法实际上是通过低通和高通滤波，把信号分解为低频和高频部分。
第3章MATLAB小波分析工具箱简介
MATLAB小波分析工具箱是在MATLAB中实现各种小波变换的基础，本章将对MATLAB小波分析工具箱的小波分析函数、自定义小波函数以及MATLAB小波分析工具箱的面向对象设计方法等方面进行简要介绍。
MATLAB小波分析工具箱提供了大量的小波分析函数，利用这些函数可以实现各种小波变换。按照函数的用途可以对它们进行分类，主要包括小波分析工具箱图形用户接口函数、通用小波变换函数、小波函数、一维连续小波变换函数、一维离散小波变换函数、二维离散小波变换函数、小波包变换函数、离散平稳小波变换函数、提升小波变换函数、Lautent多项式函数、Lautent矩阵函数、信号/图像的压缩和去噪函数、其他的小波应用函数、树管理函数以及其他函数。下面将这些函数的用途进行简单的介绍。
MTALAB小波分析工具箱集成了小波分析的许多研究成果，不仅提供了丰富的工具函数，而且又提供了一个可视化的小波分析工具，是一个很好的算法研究、工程设计与仿真应用平台，特别适合于图像分析、去噪、压缩、融合的研究[10]。
3.1可视化的小波分析工具
首先启动MTAIAB6．5，在Comand Window窗口下键人wavemenu，将在Windows窗口中出现小波工具箱主菜单窗口(waveletToolbox Main Menu)。在窗口中包含有二维离散小波分析(Wavelet 2一D)、二维离散小波包分析(Wavelet Packet 2．D)、二维离散平稳小波分析(SWT De—noising 2一D)和二维离散小波系数选择(Wavelet Coefficient Selection 2一D)等可视化小波分析工具按钮，选择所需的工具按钮并点击即可启动该项分析工具。
在已启动的小波分析工具中，单击菜单栏中【Fik】一【Load Image]菜单命令，选择MTALAB安装目录下的toolbox＼wavelet＼waveden'ltO子目录下的*．*．mat文件，完成图像文件装载。按小波分析工具中提供的功能即可完成基于小波变换的图像处理[10]。
上面装载的图像文件是由MATLAB软件提供的，并且具有MATLAB特定图像文件格式，如果使用小波分析工具处理Windows通用图像文件格式，就必须进行图像格式转换。供MATLAB小波分析工具使用的特定图像文件格式有三点要求：1．图像类型为索引图像；2．图像数据类型为双精度型；3．对图像数据矩阵进行伪彩色编码，并保存为扩展名为mat的文件。
对bmp格式图像数据转换MATLAB源程序
代码：
％图像数据格式转换源程序
[Y，map]=imread( cat．bmp )；％读入图像文件
X=im2double(Y)；％将图像矩阵中无符号整形数据
转换为双精度型数据
nbcol=size(ma p，1)；
x=wcodemat(X，nbcol，ma t ，0)；％对图像矩阵数据
进行伪彩色编码，格式扩展名为mat
save cat x；％按新格式保存图像数据文件
mat格式图像数据文件被保存在MTALAB＼work子目录下，为了便于MTALAB小波分析工具与自编图像处理程序调用cat．mat数据文件，再将cat．mat复制到MTALAB＼toolbox＼wavelet＼wavedemo子目录下保存[5]。
3.2 MATLAB小波分析工具箱的小波分析函数
1.小波分析工具箱图形用户接口函数
小波分析工具箱提供了两种进行信号分析的方法，一种是使用命令行方式，另一种是使用小波分析工具箱图形用户接口方式。图形用户接口方式下，用户无需编写任何程序，只要通过菜单操作和参数设置就可对信号进行小波分析。在命令行窗口中输入wavemenu，即可进入小波分析工具箱用户接口界面。表3-1列举了小波分析工具箱图形用户接口函数[7]。
表3-1 小波分析工具箱图形用户接口函数
函数名说明
wavemenu 启动小波分析工具箱图形用户接口函数
2. 通用小波变换函数
表3-2 通用小波变换函数
函数名说明
biorfilt 双正交小波滤波器组
centfrq 计算小波中心频率
dyaddown 二元采样
dyadup 二元插值
intwave 积分小波函数
orthfilt 正交小波滤波器组
omf 镜像二次滤波器
scal2frq 尺度对应频率
wavefun 尺度函数
wavefun2 二维尺度函数
wavemngr 小波管理
wfilters 小波滤波器组
wmaxlev 最大小波分解尺度MATLAB小波分析工具箱提供的通用小波变换函数如表3-2所示。利用这些函数，用户可以实现计算与小波相关的滤波器组、进行信号的插值和采样、计算小波函数和尺度函数以及小波管理等功能。
3. 小波函数
MATLAB小波分析工具箱提供的小波变换函数如表3-3所示，它们主要用于生产一些基本的小波函数及其相应的滤波器[11]。
表3-3 小波函数
函数名说明
biorwavf 双正交样条小波滤波器
cgauwavf 复gaussian小波
cmorwavf 复morlet小波