等腰三角形分类讨论综合
1.理解等腰三角形的性质和判定定理；
2.能用等腰三角形的判定定理进行相关计算和证明；
3.初步体会等腰三角形中的分类讨论思想；
4.体会在函数动点中寻找某些特殊的点形成的等腰三角形；
5.培养学生进行独立思考，提高独立解决问题的能力。
知识结构
【备注】：
1.此部分知识点梳理，根据第1个图先提问引导学生回顾学过的等腰三角形的性质，可以在黑板上举例让学生画图；
2再根据第2个图引导学生总结出题目中经常出现的一些等腰三角形的题型；
3.和学生一起分析二次函数背景下等腰三角形的基本考点，为后面的例题讲解做好铺垫。建议时间5分钟左右。
一．等腰三角形的性质：
二．等腰三角形常见题型分类：
三．函数背景下的等腰三角形的考点分析：
1.求解相应函数的解析式；
2.根据函数解析式求解某些特殊点的坐标；
3.根据点的位置进行等腰三角形的讨论：分“指定腰长”和“不指定腰长”两大类；
4.根据点的位置和形成的等腰三角形立等式求解。
例1.如图，在Rt △ABC 中，∠BAC = 90°，AB =3，AC =4，AD 是BC 边上的高，点E 、F 分别是AB 边和AC 边上的动点，且∠EDF = 90°．（1）求DE ︰DF 的值；
（2）设直线DF 与直线AB 相交于点G ，△EFG 能否成为等腰三角形？若能，请直接写出线段BE 的长；若不能，请说明理由。（★★★★★）
例1题图 C E F A
备用图1 B C D 备用图2
B C D A A
【参考教法】：
一．你来找一下题目中由哪些不变的量或者是比较特殊的条件，试试看： 1.ABC ?中B C ∠∠、的三角比是否能求解？你求求看。提示：43cos cos 55
B C ==，； 2.题目中有很多垂直，会得到很多角度角相等的，你找找。
提示：B DAC ∠=∠、BAD C ∠=∠、ADE FDC ∠=∠、BDE ADF ∠=∠。 3.题目中是否有相似三角形？找找看。
提示：AED DFC ??∽、BDE ADF ??∽等。
二．求:DE DF ，选择那些条件可以求解？你求一下吧！ 提示：用AED DFC ??∽，在结合C ∠的三角比可求得。
三．当△EFG 为等腰三角形时：
1.会得出什么特殊条件不？ 提示：两边相等，或者是两角相等；
2.需不需要分类讨论？ 提示：题目中没有指定腰，应该需要；
3.如需要分哪几种？提示：根据点G 的不同位置分两大类讨论： ①当点G 在射线AB 上时，如图1。因为90FEG CAB AFE ∠=∠+∠＞ 所以FEG ∠为钝角，则△EFG 为等腰三角形时，EG EF =；
②当点G 在射线BA 上时，如图2。因为90FEG CAB AEF ∠=∠+∠＞ 所以EFG ∠为钝角，则△EFG 为等腰三角形时，FG EF =； 3.怎么计算，你能自己先求解一下看看吗？
4.通过本题的分析求解过程，你对等腰三角形讨论题型有点思路了没？ 【满分解答】：（1）∵∠BAC = 90° ∴∠B +∠C ＝90°，
∵AD 是BC 边上的高 ∴∠DAC +∠C =90° ∴∠B =∠DAC 又∵∠EDF = 90°
∴∠BDE +∠EDA =∠ADF +∠EDA = 90° ∴∠BDE =∠ADF
∴△BED ∽△AFD ∴DE BD
DF AD
= ∵
3
cot 4
BD AB B AD AC === ∴DE ︰DF =34
（2）若△EFG 为等腰三角形，根据点G 的不同位置分两大类讨论：
C
B
C
（图1） （图2）
①当点G 在射线AB 上时，如图1。因为90FEG CAB AFE ∠=∠+∠＞ 所以FEG ∠为钝角，则△EFG 为等腰三角形时，EG EF = ∵EG EF =，ED DF ⊥ ∴D 为GF 中点
则，在直角AGF ?中，2425
GF AD ==， 又∵=G EFG C ∠∠=∠
∴cos =cos G C ∠∠，则
4
5
DG AG AC EG GF BC === 可求得96,325
AG EG == 。 所以：5425BE =
另解：由△EFG 为等腰三角形可得AED GBD ??≌，所以BD DE =，再过点D 作BE 垂
线，利用三角比可求得54
25
BE =。
②当点G 在射线BA 上时，如图2。因为90FEG CAB AEF ∠=∠+∠＞ 所以EFG ∠为钝角，则△EFG 为等腰三角形时，FG EF = ∵FG EF =，AF AE ⊥ ∴A 为EG 中点 ∴=AEG G ∠∠ 又∵=B FED ∠∠
∴=BDE AEF ADF ∠∠=∠ ∴ADF G ∠=∠ ∴125
AE AG AD === 所以：35
BE =
。 综上可得，当△EFG 为等腰三角形时，54
25
BE =或35BE =。
我来试一试！
练习 1.如图1，在△ABC 中，ACB ∠=?90，2AC BC ==，M 是边AC 的中点，
CH BM ⊥于H 。（★★★★★）
（1）试求sin MCH ∠的值； （2）求证：ABM CAH ∠=∠；
（3）若D 是边AB 上的点，且使△AHD 为等腰三角形，请求AD 的长。
【解法点拨】：
1.寻找题目中的特殊条件和不变的量： ①M 是边AC 的中点； ②CH BM ⊥；
③题目中的线段AB BM CH MH AH 、、、、都可求解（让学生自己计算）；⑤④⑥ 2.证明角度相等，回顾证明角度相等的方法后，知本题利用相似角简单，但题目中很多线段的长度都求解，因此利用两边成比例证明△AMH ∽△BMA 即可得ABM CAH ∠=∠； 3.当△AHD 为等腰三角形时，分三个情况讨论：
①当AD DH =时：因为边长不能直接求出，则利用三角比求解，过点D 作DE AH ⊥，
因为MAH ABM ∠=∠，则D
A E C
B M M
C H ∠=∠=∠，所以cos cos DAE MCH ∠=∠；
②当AD AM =时：可直接得AD 的长；
③当AM DM =时：因为边长不能直接求出，则利用三角比求解，过点H 作HQ AD ⊥，
因为MAH ABM ∠=∠，则D A E C B M M C H ∠=∠=∠，所以cos cos DAE MCH ∠=∠。
4.注意利用好等腰三角形的性质：底边上三线合一；通常情况下用“画底边上的高+三角比求解”；
5.注意便讲解边让学生计算求解，加强师生之间的互动性。 【满分解答】：（1）在△MBC 中，∠MCB =?90，BC =2，
又∵M 是边AC 的中点， ∴AM =MC =
2
1
BC =1， ∴MB =52122=+，
又CH ⊥BM 于H ，则∠MHC =?90， ∴∠MCH =∠MBC ，
∴sin ∠MCH =
CM BM =.
（2）在△MHC
中，sin 5
MH CM MCH =?∠=
. ∴AM 2=MC 2=MB MH ?，即MA
MB
MH MA =， 又∵∠AMH =∠BMA ， ∴△AMH ∽△BMA ， ∴∠ABM =∠CAH .
（3
）由前两问可得：AH =
cos MCH ∠=。当△AHD 为等腰三角形时，分以下三个情况讨论：
①当A D D H =时：如图1，过点D 作DE AH ⊥，因为M A H A B M ∠=∠，则D A E C B M M C H ∠=∠=∠，所以cos cos DAE MCH ∠=∠； 所以：
AE CH AD CM =
AD =
，所以AD =； ②当AD AM =时：如图2
，可直接得AD =
； ③当A M D M =时：如图3，过点H 作HQ AD ⊥，因为M A H A B M ∠=∠，则
D A
E C B M M C H ∠=∠=∠，所以cos cos DAE MCH ∠=∠
所以：
AQ CH AH CM =
，即AQ =
，所以25
AD AQ ==； 综上可得，当△AHD 为等腰三角形时，AD 的长为
5102、528、2
2
。
B
D
图1
图2
图3
C 选讲选练题
例2.如图，在ABC ?中，6,5===BC AC AB ，D 、E 分别是边AB 、AC 上的两个动点（D 不与A 、B 重合），且保持BC DE ∥，以DE 为边，在点A 的异侧作正方形DEFG ， 当BDG ?是等腰三角形时，求AD 的长。（★★★★★）
【参考教法】：
一．以提问式，和学生一起分析题目，先寻找题目中的已知条件或特殊条件： 1.题目中有哪些已知量？ 提示：从边、角归类寻找。 ①边：6,5===BC AC AB ，BC DE ∥；
②角:B C ∠=∠；
2.题中有什么特殊的图形没？提示：ABC ?等腰、正方形DEFG 。
3.你能求解一下题目中的其它线段吗？提示：设AD x =，让学生求解ABC ?底边上的高，并用含x 的代数式表示DE 的长。
二．当BDG ?是等腰三角形时：
1.需要讨论吗？提示：需要，分两大情况讨论；
2.怎么讨论？提示：当BDG ?是等腰三角形时，根据点G 的位置分：点G 在ABC ?内部和外面两大类讨论：
（1）当点G 在ABC ?内部时：因为90DGB ∠＞，所以该情况下只可能DG BG =。 但该情况下不能直接求解出，则画底边上的高（点G 作GH AB ⊥）。（如图1） 则：HDG QAB ∠=∠，所以cos cos HDG QAB ∠=∠； （2）当点G 在ABC ?外面时：分以下情况讨论 ①当DB DG =时：直接利用相等计算，即
655
x
x =-； ②当DB DG =时：（如图2）设BC 与DG 交点为M ，则可得：BM DG ⊥且点M 为DG 中点；所以：cos cos HDG QAB ∠=∠； ③当DG BG =，不成立。
3.怎么计算？你会求解吗？提示：见上面求解，可让学生自己计算。
4.通过本题的分析求解后，你觉得等腰三角形的分类讨论题目还难吗？
6.提示学生利用好三角比。
【满分解答】：过点A 作AQ BC ⊥，垂足为点Q 。
∵6,5===BC AC AB ，则34BQ AQ ==、，4
cos 5
QAB ∠=； 设AD x =，则5BD x =-，65
DE DG x ==
。 当BDG ?是等腰三角形时，根据点G 的位置，分以下情况讨论：
（3）当点G 在ABC ?内部时：因为90DGB ∠＞，所以该情况下只可能DG BG =。 但该情况下不能直接求解出，则画底边上的高（点G 作GH AB ⊥）。（如图1）
则：HDG QAB ∠=∠，所以cos cos HDG QAB ∠=∠，即54
2655
x
x -=，解得：12573x =；
（4）当点G 在ABC ?外面时：分以下情况讨论
①当DB DG =时：则655
x
x =-，解得：2511x =；
②当DB DG =时：（如图2）设BC 与DG 交点为M ，则可得：BM DG ⊥且点M 为DG
中点，
所以：cos cos HDG QAB ∠=∠，即：34
555
x
x =-，解得：207x =；
③当DG BG =，不成立。
综合上可得：当BDG ?是等腰三角形时7
20
,1125,73125=
AD 。
B
C
C
（图1） （图2）
【备注】：本部分对前面例题中讲到的解题方法进行归类总结，以引导式总结出，建议时间4分钟左右。
（该部分需要学生在15分钟内独立完成，之后再评分并讲评）
1.已知在梯形ABCD 中，DC AB //，PD AD 2=，PB PC 2=，PCD ADP ∠=∠，4==PC PD ，如图1。（本题满分14分）（★★★★★） （1）求证：BC PD //；
（2）若点Q 在线段PB 上运动，与点P 不重合，联结CQ 并延长交DP 的延长线于点O ， 如图2，设x PQ =，y DO =，求y 与x 的函数关系式，并写出它的定义域； （3）若点M 在线段PA 上运动，与点P 不重合，联结CM 交DP 于点N ，当△PNM 是等腰三角形时，求PM 的值． 【解法点拨】：
一．寻找题目中的已知量或者是比较特殊的条件： 1.边的关系：
①PD AD 2=，PB PC 2=。可得到边成比例：
AD PC
PD PB
= A P D C B 图1 A P D C B 图2
Q O 图形背景下等腰三角形分类讨论的解题方法和策略： 1.先寻找题目中的条件：相等的角、相等的边、相似的三角形等； 2.根据题目中的条件求解相关线段的长度；
3.等腰三角形讨论中，分三步走：分类、画图、计算；
4.等腰讨论中，当不能直接利用边长相等求解时，一般情况下通过“画底边上的高”辅助线，结合三角比计算求解；
5.注意点的位置取舍答案；
6.
根据题目条件，注意快速、正确画图，用好数形结合思想； 7.利用几何定理和性质或者代数方法建立方程求解都是常用方法。
②4==PC PD ,可用来求解某些线段的长度。③ 2.角的关系：PCD ADP ∠=∠。 3.相似三角形：△ADP ∽△CPB 。 二．DC AB //可由角度相等证明；
三．求解函数关系式，寻找相似基本图形。 方法一：由//PQ DC ,可得：
PQ PO DC OD =,进而42
y x
y -=； 方法二：由BC OD //可得：
QB
PQ
BC PO =，进而x x y -=-244。 三．当△PNM 是等腰三角形时，分三个情况讨论： 1.当PN PM =时：得DC PM //，所以
PN
DN
PM DC =，所以DN DC =； 2.当MN MP =时，易证：AD MN //，即：四边形AMCD 是平行四边形； 3.当NP NM =时不存在。 【满分解答】：
（1）证明：∵DC AB //
∴PCD CPB ∠=∠………………1分 ∵PCD ADP ∠=∠
∴CPB ADP ∠=∠………………1分 ∵PD AD 2=，PB PC 2= ∴
PC
AD
PB PD =………………1分 ∴△A D P ∽△C
P B ………1分 ∴B APD ∠=∠
∴BC PD //…………………1分
（2）解： ∵DC AB //，BC PD //
∴四边形PBCD 是平行四边形 ∴BC PD =
∵4==PC PD ∴4=BC ……………………1分 ∵PB PC 2= ∴2=PB ∵BC OD //
∴
QB
PQ
BC PO =………………………1分 ∵x PQ =，y DO = ∴4-=y PO ，x QB -=2
∴
x
x
y -=-244……………………1分 ∴x
y -=28
…………………………1分
定义域是：20< （3）解：①当PN PM =时， ∵DC PM // ∴ PN DN PM DC = ∴DN DC = 由（2）知：4=PD ，2=DC ∴2=-==DN PD PN PM ………………2分 ②当MN MP =时， ∵△A D P ∽△C P B ，4==BC PC 易得：82===PD AD AP 易证：AD MN // 即：四边形AMCD 是平行四边形 ∴2==AM DC ∴6=-=AM AP PM …………………………2分 （ 注：当NP NM =时不存在） A P D C B M N A P D C B M N 2．在Rt △ABC 中，∠A =90°，AB=6，AC=8，点D 为边BC 的中点，DE ⊥BC 交边AC 于点E ，点P 为射线AB 上一动点，点Q 为边AC 上一动点，且∠PDQ =90°． （1）求ED 、EC 的长； （2）若BP=2，求CQ 的长； （3）记线段PQ 与线段DE 的交点为点F ，若△PDF 为等腰三角形，求BP 的长． 25．解：（1）在Rt △ABC 中，∠A =90°，AB=6，AC=8 ∴BC=10……………………（1分） 点D 为BC 的中点 ∴CD =5 可证△ABC ∽△DEC ∴ DE EC CD AB BC AC ==， 即5 6108 DE EC ==………………………………（1分） ∴154DE =，25 4 CE =……………………………………………………（2分） （2）①当点P 在AB 边上时，在Rt △ABC 中，∠B +∠C =90°， 在Rt △EDC 中，∠DEC +∠C =90°， ∴∠DEC=∠B ∵DE ⊥BC ，∠PDQ =90° ∴∠PDQ =∠BDE =90° ∴∠BDP =∠EDQ ∴△BPD ∽△EQD ……………………………………………………………（1分） ∴EQ DE BP BD =， 即154 25 EQ =， ∴3 2 EQ = ………………………………………………………………………（2分） ∴CQ=EC -EQ 19 4 =……………………………………………………………（1分） ②当点P 在AB 的延长线上时，同理可得：3 2 EQ =， ∴CQ=EC +EQ 31 4 = …………………………………………………………（1分） （3）∵线段PQ 与线段DE 的交点为点F ，∴点P 在边AB 上 ∵△BPD ∽△EQD ∴ 4 3BP BD PD EQ ED QD === 若设BP =x ，则34E Q x =，25344CQ x =- …………………………………（1分） 可得4 cot cot 3 QPD C ∠== ∴∠QPD =∠C 又可证∠PDE =∠CDQ ∴△PDF ∽△CDQ ∵△PDF 为等腰三角形 ∴△CDQ 为等腰三角形………………………（1分） A B E C D A B C E D 第25题图 （备用图） ①当CQ=CD时，可得：253 5 44 x -=解得： 5 3 x=………………………（1分） ②当QC=QD时，过点Q作QM⊥CB于M， ∴ 15 22 CM CD ==， 5525 248 CQ=?= ∴25325 448 x -=，解得 25 6 x=……………………………………………（1分） ③当DC=DQ时，过点D作DN⊥CQ于N， ∴ 4 54 5 CN=?=，28 CQ CN == ∴253 8 44 x -=，解得 7 3 x=-(不合题意，舍去)…………………………（1分） ∴综上所述， 5 3 BP=或 25 6 . 批注：学生完成测试后，教师批改给出得分，并进行点评总结.建议时间2-3分钟。 【说明】：本部分为“专题小结”，由“专题知识点或是方法回顾+教师寄语”组成。先让学生说说本节课的收获，之后是教师寄语。教师寄语可以是：需要完成的作业、需要总结的知识点、名言名句、提醒学生需要做的事情等等。 教师：本专题你有哪些收获和感悟？ 最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word文本 --------------------- 方便更改 三角形章节复习 全章知识点梳理： 一、三角形基本概念 1. 三角形的概念 由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。 2. 三角形的任意两边之和大于第三边。 三角形的任意两边之差小于第三边。（这两个条件满足其中一个即可） 用数学表达式表达就是：记三角形三边长分别是a，b，c，则a＋b＞c或c－b＜a。 已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b 解题方法： ①数三角形的个数方法：分类，不要重复或者多余。 ②给出三条线段的长度或者三条线段的比值，要求判断这三条线段能否组成三角形方法：最小边＋较小边＞最大边不用比较三遍，只需比较一遍即可 ③给出多条线段的长度，要求从中选择三条线段能够组成三角形 方法：从所给线段的最大边入手，依次寻找较小边和最小边；直到找完为止，注意不要找重，也不要漏掉。 ④已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围 方法：第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b ⑤给出等腰三角形的两边长度，要求等腰三角形的底边和腰的长 方法：因为不知道这两边哪条边是底边，哪条边是腰，所以要分类讨论，讨论完后要写“综上”，将上面讨论的结果做个总结。 二、三角形的高、中线与角平分线 1. 三角形的高 从△ABC的顶点向它的对边BC所在的直线画垂线，垂足为D，那么线段AD叫做△ABC的边BC上的高。 三角形的三条高的交于一点，这一点叫做“三角形的垂心”。 2. 三角形的中线 连接△ABC的顶点A和它所对的对边BC的中点D，所得的线段AD叫做△ABC的边BC上的中线。 三角形三条中线的交于一点，这一点叫做“三角形的重心”。 三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形。 3. 三角形的角平分线 ∠A的平分线与对边BC交于点D，那么线段AD叫做三角形的角平分线。 要区分三角形的“角平分线”与“角的平分线”，其区别是：三角形的角平分线是条线段；角的平分线是条射线。 三角形三条角平分线的交于一点，这一点叫做“三角形的内心”。 要求会的题型： ①已知三角形中两条高和其所对的底边中的三个长度，求其中未知的高或者底边的长度方法：利用“等积法”，将三角形的面积用两种方式表达，求出未知量。 三、三角形的稳定性 1. 三角形具有稳定性 2. 四边形及多边形不具有稳定性 要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具有稳定性了。 四、与三角形有关的角 关于等腰三角形中分类讨论问题的探讨所谓分类讨论思想，就是在解答数学题时有时无法用同一种形式去解决，而需要选定一个标准，根据这个标准将问题划分成几个能用不同形式去解决的小问题，将这些小问题一一解决，从而使问题得到解决，这就是分类讨论的思想。 对于分类讨论问题，初中教学阶段虽然没有对此方面的教学要求，但是需要用分类讨论的思想去解决的问题却经常遇见，华东师大版七年级下册教材中典型的分类讨论问题是在“等腰三角形”一节中，主要有由于几何图形性质不明确而需分类讨论的问题和几何图形之间的位置关系不明确而需分类讨论的问题。下面举例简要论述这两类问题： 一、当腰长或底边长不能确定时，必须进行分类讨论 例1、（1）已知等腰三角形的两边长分别为8cm和10cm，求周长。 （2）等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm，求周长。 分析：由等腰三角形的性质可知我们在解此题前，必须明确所给的边的定义，在这里哪条边是“腰”，哪条边是“底”不明确，而且还要考虑到三条线段能够构成三角形的前提，因此必须进行分类讨论。 解（1）因为8+8>10，10+10>8，则在这两种情况下都能构成三角形； 当腰长为8时，周长为8+8+10=26； 当腰长为10时，周长为10+10+8=28； 故这个三角形的周长为26cm或28cm。 解（2）当腰长为3时，因为3+3<7，所以此时不能构成三角形； 当腰长为7时，因为7+7>3，所以此时能构成三角形，因此三角形的周 长为：7+7+3=17； 故这个三角形的周长为17cm。 注意：对于此类题目在进行分类讨论时，必须运用三角形的三边关系来验证是否能构成三角形。 二、当顶角或底角不能确定时，必须进行分类讨论 例2、等腰三角形的一个角是另一个角的4倍，求它的各个内角的度数； 分析：题目没有指明“顶角是底角的4倍”，还是“底角是顶角的4倍”因此必须进行分类讨论。 等腰三角形的性质与判定 知识梳理 1．等腰三角形的概念： 有 相等的三角形，叫做等腰三角形， 叫做腰，另一条边叫做 ．两腰所夹的角叫做 ，底边与腰所夹的角叫做 ． 2．等腰三角形性质定理： (1)等腰三角形的两个 相等，也可以说成 ． (2) 三线合一：即 ． (3)等腰三角形是 图形． 3．等腰三角形的判定： (1)有 相等的三角形是等腰三角形． (2)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角 也相等．简写成 ． 例题讲解 例1等腰三角形ABC 中，AB =AC ，一腰上的中线BD ?将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长． 例2如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠ABD =∠ACD ．求证：△DBC 是等腰三角形． 例3 如图，AB =AE ，BC =ED ， ∠B =∠E ．求证：∠C =∠D ． 例4如图，AB =AC ，BD ⊥AC 于D ． 求证：∠BAC =2∠DBC ． 例5 有关等腰三角形的基本图形． （1）如图3，若OD 平分∠AOB ，DE ∥OB 交OA 于E ．求证：EO ＝ED ．提问：这个结论的逆命题是否正确？ （2）如图 3，若 OD 平分∠AOB ， EO ＝ED ，求证： DE ∥OB ． （3）如图 3，若 DE ∥OB 交OA 于E ， EO ＝ED ，求证： OD 平分∠AOB ． 有关的题组练习． （1）如图4，AD ∥BC ， BD 平分∠ABC ．求证： AB ＝AD ． （2）已知：如图5（a ），AB ＝AC ，BD 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB ．问：①图中有几个等腰三角形？②如图5（b ），若过D 作EF ∥BC 交AB 于E ，交AC 于F ，图中又增加了几个等腰三角形？ （3）如图5（c ），若将第（2）题中的△ABC 改为不等边三角形，其它条件不变，情况会如何？还可证出哪些线段的和差关系？ D C B A E D C B A D C B A D C B A 等腰三角形中的分类讨论（A层）教案 华舍中学盛金华 【教学目标】 1、知识目标：了解“分类讨论思想”的意义；理解分类讨论的步骤以及分类讨论法解题必须遵循总的原则；感受“分类讨论思想”在解决特殊三角形问题中的作用。 2、能力目标：通过“情景—感知—概括—运用—反思”的途径培养学生的观察、发现、类比、归纳、概括、发散以及进行合情推理的能力； 3、情感目标：体验数学学习活动中的成功与快乐，增强他们的求知欲及学好数学的信心；又通过联系与发展、对立与统一的思考方法向学生渗透辩证唯物主义认识论的思想。 【重点】让学生逐步领会等腰三角形中分类讨论思想的应用，建构用分类讨论思想解决问题的模型。 【难点】概括得到用分类讨论思想解决问题的步骤，及提高练习。 【教学手段】多媒体 【教学过程】 一、创设情境，引出分类 1、已知等腰三角形的一个内角为80°，则另两个角的度数是 2、等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么它的底边为 3、等腰三角形的顶角为80°，则它的底角是 设计说明：用简单的中考题引出本节课的主题，让学生能在这些题中初步回忆并感受分类讨论思想。 二、观察分析，探究分类 例1 关于角的分类 一个等腰三角形的一个外角等于110 ，则这个三角形的三个角应该为。设计说明：本节课例题主要是围绕两条主线，一是关于角的分类，二是关于边的分类，因为平时接触到的角的分类都比较简单，边的分类则比较复杂，所以重心放在边的分类上面。 变式1：等腰三角形的一个内角为140o，则等腰三角形的底角为 变式2：等腰三角形的一个外角为40o，则等腰三角形的顶角为 变式3：等腰三角形ABC，∠A=40o，则∠B= 例2 关于边的分类 1、已知实数x=4，y=8，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（） A． 20或16 B． 20 C． 16 D．以上答案均不对 2、等腰三角形一腰上的中线把周长分成15和11两部分，则它的底边长等于 小结解分类讨论问题的步骤： (1)分类的原因（为何分类）：条件不确定时 (2)分类的标准（如何分类）：对不确定的条件进行合理分类 (3)逐类讨论：对各类问题详细讨论，逐步解决． (4)检验总结：将各类情况总结归纳。 等腰三角形分类讨论综合 1.理解等腰三角形的性质和判定定理； 2.能用等腰三角形的判定定理进行相关计算和证明； 3.初步体会等腰三角形中的分类讨论思想； 4.体会在函数动点中寻找某些特殊的点形成的等腰三角形； 5.培养学生进行独立思考，提高独立解决问题的能力。 知识结构 【备注】： 1.此部分知识点梳理，根据第1个图先提问引导学生回顾学过的等腰三角形的性质，可以在黑板上举例让学生画图； 2再根据第2个图引导学生总结出题目中经常出现的一些等腰三角形的题型； 3.和学生一起分析二次函数背景下等腰三角形的基本考点，为后面的例题讲解做好铺垫。建议时间5分钟左右。 一．等腰三角形的性质： 二．等腰三角形常见题型分类： 三．函数背景下的等腰三角形的考点分析： 1.求解相应函数的解析式； 2.根据函数解析式求解某些特殊点的坐标； 3.根据点的位置进行等腰三角形的讨论：分“指定腰长”和“不指定腰长”两大类； 4.根据点的位置和形成的等腰三角形立等式求解。 【备注】： 1.以下每题教法建议，请老师根据学生实际情况参考； 2.在讲解时：不宜采用灌输的方法，应采用启发、诱导的策略，并在读 题时引导学生发现一些题目中的条件（相等的量、不变的量、隐藏的量 等等），使学生在复杂的背景下自己发现、领悟题目的意思；Array 3.可以根据各题的“参考教法”引导学生逐步解题，并采用讲练结合； 注意边讲解边让学生计算，加强师生之间的互动性，让学生参与到例题 的分析中来； 4.例题讲解，可以根据“教法指导”中的问题引导学生分析题目，边讲 边让学生书写，每个问题后面有答案提示； 5.引导的技巧：直接提醒，问题式引导，类比式引导等等； 6.部分例题可以先让学生自己试一试，之后再结合学生做的情况讲评； 7.每个题目的讲解时间根据实际情况处理，建议每题7分钟，选讲例题 在时间足够的情况下讲解。 等腰三角形中的分类讨论问题 关于等腰三角形中分类讨论问题的探讨所谓分类讨论思想，就是在解答数学题时有时无法用同一种形式去解决，而需要选定一个标准，根据这个标准将问题划分成几个能用不同形式去解决的小问题，将这些小问题一一解决，从而使问题得到解决，这就是分类讨论的思想。 对于分类讨论问题，初中教学阶段虽然没有对此方面的教学要求，但是需要用分类讨论的思想去解决的问题却经常遇见，华东师大版七年级下册教材中典型的分类讨论问题是在“等腰三角形”一节中，主要有由于几何图形性质不明确而需分类讨论的问题和几何图形之间的位置关系不明确而需分类讨论的问题。下面举例简要论述这两类问题： 一、当腰长或底边长不能确定时，必须进行分类讨论 例1、（1）已知等腰三角形的两边长分别为8cm 和10cm，求周长。 （2）等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm，求周长。 分析：由等腰三角形的性质可知我们在解此题前，必须明确所给的边的定义，在这里哪条边是“腰”，哪条边是“底”不明确，而且还要考虑到三条线段能够构成三角形的前提，因此必须进行分类讨论。 解（1）因为8+8>10，10+10>8，则在这两种情况下都能构成三角形； 当腰长为8时，周长为8+8+10=26； 当腰长为10时，周长为10+10+8=28； 故这个三角形的周长为26cm或28cm。 解（2）当腰长为3时，因为3+3<7，所以此时不能构成三角形； 当腰长为7时，因为7+7>3，所以此时能构成三角形，因此三角 形的周长为：7+7+3=17； 故这个三角形的周长为17cm。 注意：对于此类题目在进行分类讨论时，必须运用三角形的三边关系来验证是 否能构成三角形。 二、当顶角或底角不能确定时，必须进行分类讨论 例2、等腰三角形的一个角是另一个角的4倍，求它的各个内角的度数； 分析：题目没有指明“顶角是底角的4倍”，还是“底角是顶角的4倍”因此必 须进行分类讨论。 解：（1）当底角是顶角的4倍时，设顶角为x，则底角为4x， ∴ 4x+4x+x=1800，∴ x=200，∴ 4x=800， 于是三角形的各个内角的度数为：200，800，800。 （2）当顶角是底角的4倍时，设底角为x，则顶角为4x， ∴ x+x+4x=1800，∴ x=300，∴ 4x=1200， 于是三角形的各个内角的度数为：300，300，1200。 故三角形各个内角的度数为200，800，800或300，300，1200。 例3、已知等腰三角形的一个外角等于1500，求它的各个内角。 分析：已知等腰三角形的一个外角等于1500，有两种情况：与一个底角相邻的 外角等于1500；与顶角相邻的外角等于1500。因此需要分类讨论； 解：（1）当顶角的外角等于1500时，则顶角=1800-1500=300， ∴每个底角=（1800-顶角）÷2=750； （2）当底角的外角等于1500时，则每个底角=1800-1500=300； ∴顶角=1800-底角?2=1800-300?2=1200； 故三角形各个内角的度数为300，750，750或1200，300，300。 三、当高的位置关系不确定时，必须分类讨论 例4、等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为250，求这个三角形的各个内角 的度数。 分析：由于题目中的“另一边”没有指明是“腰”还是“底边”，因此必须进行 分类讨论，另外，还要结合图形，分高在三角形内还是在三角形外。 解：设AB=AC，BD⊥AC； A （1）高与底边的夹角为250时，高一定在△ABC的内部， 如图1，∵∠DBC=250，∴∠C=900-∠DBC=900-250=650， D B C 【中考数学必备专题】分类讨论专题：三 角形中的分类讨论 一、单选题(共1道，每道20分) 1.若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为（） A.75°或15° B.36°或60° C.75° D.30° 答案：A 解题思路：①当等腰三角形是锐角三角形时，腰上的高在三角形内部， ②当等腰三角形是钝角三角形时，腰上的高在三角形外部， 试题难度：三颗星知识点：分类讨论 二、填空题(共5道，每道20分) 1.（2011四川凉山）已知菱形ABCD的边长是8，点E在直线AD上，若 DE=3，连接BE与对角线AC相交于点M，则的值是_______． 答案：或 解题思路：首先根据题意作图，注意分为：E在线段AD上与E在AD的延长线上，然后由菱形的性质可得AD∥BC，则可证得△MAE∽△MCB，根据相似三角形的对应边成比例即可求得答案． 试题难度：三颗星知识点：分类讨论 2.在平面直角坐标系中，若点M（1，3）与点N（x，3）之间的距离是5，则x的值是________. 答案：-4或6 解题思路：点M、N的纵坐标相等，则直线MN在平行于x轴的直线上，根据两点间的距离，可列出等式|x-1|=5，从而解得x的值． 试题难度：三颗星知识点：分类讨论 3.如图，Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠B＝50°，点D在边BC上，BD＝ 2CD．把△ABC绕着点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，那么m＝______． 答案：80或120 解题思路：本题可以图形的旋转问题转化为点B绕D点逆时针旋转的问 题，故可以D点为圆心，DB长为半径画弧，第一次与原三角形交于斜边AB上的一点B?，第二次交直角边AC于B?，此时DB?=DB，DB?=DB=2CD，由等腰三角形的性质求旋转角∠BDB?的度数，在Rt△B?CD中，解直角三角形求∠CDB?，可得旋转角∠BDB?的度数． 试题难度：三颗星知识点：分类讨论 4.腰长为5，一条高为4的等腰三角形的底边长为______． 答案：6或2或4 解题思路：分为①底边上的高，②腰上的高——在内部，③腰上的高——在外部； 试题难度：三颗星知识点：勾股定理 5.已知：在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，O为边BC的中点，把△ABC绕点O顺时针旋转m（0＜m＜180）度后，如果点B恰好落在初始△ABC的边上，那么m=________, 答案：40或140 解题思路：分为点B落在AB上，点B落在AC上两种情况，根据等腰三角形的性质分别求m的值． ①当△ABC绕O点旋转到△A?B?C?位置时，B?落在AB上， 则OB=OB?，旋转角∠BOB?=m=180°-2∠B=40°， ②当△ABC绕O点旋转到△A?B?C?位置时，B?落在AC上， 等腰三角形、等边三角形题型分类 【例题讲解】 一、利用等腰三角形的性质求角度 例1、等腰三角形一腰上的高与另一腰所在直线的夹角为30°，则这个等腰三角 形的顶角为（ ） A ．60°或120° B ．30°或150° C ．30°或120° D ．60° 例2、 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB.求∠A 的度数 例3、如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上，AB 于⊥AB 于E ，DF ⊥BC 交AC 于点F ，若∠EDF=70°，求∠AFD 的度数 二、利用等腰三角形的性质证明线段关系 例1、已知：如图，△ABC 中，AB=AC ，BD 和CE 是△ABC 的角平分线，求证：BD=CE. A B C D E A B C D F E 例2、如图：已知AB=AE，BC＝ED，∠B＝∠E，AF⊥CD，F为垂足, 求证: ① AC＝AD；②CF＝DF。 三、等腰三角形的判定 例1、如图，AB=DC，BD=CA，BD 与CA相交于点E，求证：△AED 是等腰三角形. 例2、在△ABC中,∠BAC=90°,∠B=45°,D为BC上一点,BD=AB,DE⊥BC交AC于点E. (1)求证:△ADE是等腰三角形; (2)图中除△ADE是等腰三角形外,还有没有等腰三角形?若有,请一一写出来(不要求证明);若没有,请说明理由. 四、等腰三角形及等边三角形中的动点问题 例1、已知，△ABC 是边长3cm 的等边三角形.（1）动点P 以1cm/s 的速度从点A 出发，沿线段AB 向点B 运动.设点P 的运动时间为（s ），那么t 为何值时，△PBC 是直角三角形？ （2）动点P 从点A 出发，沿AB 向点B 运动，动点Q 从点B 出发，沿BC 向点C 运动，如果动点P 、Q 都以1cm/s 的速度同时出发. 设运动时间为t （s ），那么t 为何值时，△PBQ 是直角三角形? （3） 动点P 从点A 出发，沿AB 向点B 运动，动点Q 从点C 出发，沿射线BC 方向运动. 连接PQ 交AC 于D. 如果动点P 、Q 都以1cm/s 的速度同时出发.设运动时间为t （s ），那么 当t 为何值时，△DCQ 是等腰三角形? （4）动点P 从点A 出发，沿AB 向点B 运动，动点Q 从点C 出发，沿射线BC 方向运动. 连接PQ 交AC 于D. 如果动点P 、Q 都以1cm/s 的速度同时出发. 设运动时间为t （s ），连接PC. 请探究：在点P 、Q 的运动过程中△PCD 和△QCD 的面积是否相等？ （1） （2） （3） （4） C Q B P A Q D B C P A Q D B C P A B C P A 等腰三角形分类讨论专题复习 日期：第页姓名： 一、等腰三角形的分类 1、边分类 2、角分类 3、外角分类 4、一腰上的高与另一腰的夹角 5、一腰上的中线分三角形的周长为两部分 6、一腰上的中垂线与另一腰的夹角 思考：在A B C三边所在的直线上找一点D，使得A B D为等腰三角形，画图说明点D所在的位置 B B B B B B 二、练习姓名： 1、如果一个等腰三角形的一个外角等于100°，则该等腰三角形的底角的度数是． 2、已知等腰三角形的一边等于3，一边等于6，那么它的周长等于 3、已知等腰三角形的一边等于5，周长为12，则一边等于 4、已知△ABC的周长为24，AB＝AC，AD⊥BC于D，若△ABD的周长为20，则AD的长为 5、等腰三角形的底边长为6cm，一腰上的中线把这个三角形的周长分为两部分，这两部分之差是3cm，求这个等腰三角形的腰长 6、在等腰三角形中，AB的长是BC的2倍，周长为40，则AB的长为 7、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30o，则顶角的度数为 8、等腰三角形中，两条边的长分别为4和9，则它的周长是． 9、若一个等腰三角形有一个角为100o，则另两个角为 10、一等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成15cm和18cm两部分，求这个等腰三角形的底边长 11、一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的2倍少30o，求这个三角形的三个内角的度数 12、(1)等腰三角形的顶角和一个底角的度数的比是4:1，则这个三角形三个内角的度数分别为________，_______，______________. (2)在等腰三角形ABC中，AB的长是AC的2倍，三角形的周长是40，则AB的长等于_______________. 13、等腰三角形一腰上的中垂线与另一腰的夹角为50o，求底角为 14、若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm和12cm两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。 15、在ΔABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，则底角 ∠B=____________ 16、等腰三角形的一个角是另一个角的4倍，求它的各个内角的度数； 17、在三角形ABC中，AB=AC，AB边上的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为400，求底角B的度数。 18、等腰三角形的两边长分别为5cm和11cm，则周长。 等腰三角形 一、选择题 1. （2014?广东，第9题3分）一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（）A．17 B．15 C．13 D．13或17 考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系． 分析：由于未说明两边哪个是腰哪个是底，故需分：（1）当等腰三角形的腰为3；（2）当等腰三角形的腰为7；两种情况讨论，从而得到其周长． 解答：解：①当等腰三角形的腰为3，底为7时，3+3＜7不能构成三角形； ②当等腰三角形的腰为7，底为3时，周长为3+7+7=17． 故这个等腰三角形的周长是17． 故选A． 点评：本题考查的是等腰三角形的性质，在解答此题时要注意进行分类讨论． 2. （2014?广西玉林市、防城港市，第10题3分）在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为20cm，则AB边的取值范围是（） A．1cm＜AB＜4cm B．5cm＜AB＜10cm C．4cm＜AB＜8cm D．4cm＜AB＜10cm 考点：等腰三角形的性质；解一元一次不等式组；三角形三边关系． 分析：设AB=AC=x，则BC=20﹣2x，根据三角形的三边关系即可得出结论． 解答：解：∵在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为20cm， ∴设AB=AC=xcm，则BC=（20﹣2x）cm， ∴， 解得5cm＜x＜10cm． 故选B． 点评：本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的两腰相等是解答此题的关键．3．（2014·浙江金华，第8题4分）如图，将Rt△ABC绕直角顶点顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连结AA′，若∠1=20°，则∠B的度数是【】 A．70°B．65°C．60°D．55° 【答案】B． 【解析】 4. （2014?扬州，第7题，3分）如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=（） （第1题图） A．3B．4C．5D．6 考点：含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质 分析：过P作PD⊥OB，交OB于点D，在直角三角形POD中，利用锐角三角函数定义求出OD的长，再由PM=PN，利用三线合一得到D为MN中点，根据MN求出MD的长，由OD﹣MD即可求出OM的长． 关于等腰三角形中分类讨论问题的探讨 所谓分类讨论思想，就是在解答数学题时有时无法用同一种形式去解决，而需要选定一个标准，根据这个标准将问题划分成几个能用不同形式去解决的小问题，将这些小问题一一解决，从而使问题得到解决，这就是分类讨论的思想。 对于分类讨论问题，初中教学阶段虽然没有对此方面的教学要求，但是需要用分类讨论的思想去解决的问题却经常遇见，华东师大版七年级下册教材中典型的分类讨论问题是在“等腰三角形” 一节中，主要有由于几何图形性质不明确而需分类讨论的问题和几何图形之间的位置关系不明确而需分类讨论的问题。下面举例简要论述这两类问题： 、当腰长或底边长不能确定时，必须进行分类讨论 例1、（1）已知等腰三角形的两边长分别为8cm和10cm,求周长。 （2）等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm,求周长。 分析：由等腰三角形的性质可知我们在解此题前，必须明确所给的边的定义，在这里哪条边是“腰”，哪条边是“底”不明确，而且还要考虑到三条线段能够构成三角形的前提，因此必须进行分类讨论。 解（1）因为8+8>10，10+10>8，则在这两种情况下都能构成三角形； 当腰长为8 时，周长为8+8+10=26； 当腰长为10 时，周长为10+10+8=28； 故这个三角形的周长为26cm或28cn。 解（2）当腰长为3 时，因为3+3<7，所以此时不能构成三角形； 当腰长为7 时，因为7+7>3，所以此时能构成三角形，因此三角形的周 长为：7+7+3=17； 故这个三角形的周长为17cm。 注意：对于此类题目在进行分类讨论时，必须运用三角形的三边关系来验证是否能构成三角形。 二、当顶角或底角不能确定时，必须进行分类讨论例2、等腰三角形的一个角是另一个角的4 倍，求它的各个内角的度数；分析：题目没有指明“顶角是底角的4 倍”，还是“底角是顶角的4 倍”因此必须进行分类讨论。 P y 中考专题复习等腰三角形的分类讨论 一、遇角需讨论 1、已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为( A. 30° B. 75° C. 105° D. 30°或75° 二、遇边需讨论 2、(1一个等腰三角形两边长分别为4和5,则它的周长等于_________。 (2一个等腰三角形的两边长分别为3和7,则它的周长等于。 3、(1如果一个等腰三角形的周长为24,一边长为10,则另两边长为。 (2如果一个等腰三角形的周长为24,一边长为6,则另两边长为。 三、遇中线需讨论 4、若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm 和12cm 两部分,求这个等腰三角形的底和腰的长。 四、遇高需讨论 5、等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°,求这个等腰三角形的顶角的度数。 5、为美化环境,计划在某小区内用2 30m 的草皮铺设一块一边长为10m 的等腰三角形绿地,请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长。 五、遇中垂线需讨论 7、在ΔABC 中,AB=AC ,AB 的中垂线与AC 所在直线相交所得的锐角为50°,则底角∠B=____________。 六、动点与等腰三角形(重点,考点 类型之一:三角形中已经有一边确定 8、在直角坐标系中,O 为坐标原点,A (1,1;在坐标轴上确定一点P ,使ΔAOP 为等腰三角形,则符合条件的点P 共有( A 、4个 B 、6个 C 、8个 D 、1个 9、已知:O 为坐标原点,四边形OABC 为矩形,A (10,0,C (0,4,点D 是OA 的中点,点P 在BC 上运动,当ΔODP 是腰长为5的等腰三角形时,点P 的坐标为。 10、如图,直线33+=x y 交x 轴于A 点,交y 轴于B 点,过A 、B 两点的抛物线交x 轴于另一点C (3,0. 《等腰三角形的判定》教学设计 重点与难点分析： 本节内容的重点是等腰三角形的判定定理.本定理是证明两条线段相等的重要定理，它是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，此定理为证明线段相等提供了又一种方法，这是本节的重点.推论1、2提供证明等边三角形的方法，推论3是直角三角形的一条重要性质，在直角三角形中找边和角的等量关系经常用到此推论. 本节内容的难点是性质与判定的区别。等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理，题设与结论正好相反.学生在应用它们的时候，经常混淆，帮助学生认识判定与性质的区别，这是本节的难点.另外本节的文字叙述题也是难点之一，和上节结合让学生逐步掌握解题的思路方法.由于知识点的增加，题目的复杂程度也提高，一定要学生真正理解定理和推论，才能在解题时从条件得到用哪个定理及如何用. 教法建议: 本节课教学方法主要是“以学生为主体的讨论探索法”。在数学教学中要避免过多告诉学生现成结论。提倡教师鼓励学生讨论解决问题的方法，引导他们探索数学的内在规律。具体说明如下：（1）参与探索发现，领略知识形成过程 学生学习过互逆命题和互逆定理的概念，首先提出问题：等腰三角形性质定理的逆命题的什么？找一名学生口述完了，接下来问：此命题是否为真命？等同学们证明完了，找一名学生代表发言.最后找一名学生用文字口述定理的内容。这样很自然就得到了等腰三角形的判定定理.这样让学生亲自动手实践，积极参与发现，满打满算了学生的认识冲突，使学生克服思维和探求的惰性，获得锻炼机会，对定理的产生过程，真正做到心领神会。 （2）采用“类比”的学习方法，获取知识。 由性质定理的学习，我们得到了几个推论，自然想到：根据等腰三角形的判定定理，我们能得到哪些特殊的结论或者说哪些推论呢？这里先让学生发表意见，然后大家共同分析讨论，把一些有价值的、甚至就是教材中的推论板书出来。如果学生提到的不完整，教师可以做适当的点拨引导。 （3）总结，形成知识结构 为了使学生对本节课有一个完整的认识，便于今后的应用，教师提出如下问题，让学生思考回答：（1）怎样判定一个三角形是等腰三角形？有哪些定理依据？（2）怎样判定一个三角形是等边三角形？ 一．教学目标： 1．使学生掌握等腰三角形的判定定理及其推论； 2．掌握等腰三角形判定定理的运用； 3．通过例题的学习，提高学生的逻辑思维能力及分析问题解决问题的能力； 4．通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受； 5．通过知识的纵横迁移感受数学的辩证特征. 二．教学重点：等腰三角形的判定定理 三．教学难点：性质与判定的区别 四．教学用具：直尺，微机 五．教学方法：以学生为主体的讨论探索法 六．教学过程： 1、新课背景知识复习 （1）请同学们说出互逆命题和互逆定理的概念 估计学生能用自己的语言说出，这里重点复习怎样分清题设和结论。 （2）等腰三角形的性质定理的内容是什么？并检验它的逆命题是否为真命题？ 启发学生用自己的语言叙述上述结论，教师稍加整理后给出规范叙述： 1．等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等. 初中数学等腰三角形的分类讨论 等腰三角形是一种特殊而又十分重要的三角形，就是因为这种特殊性，在具体处理问题时往往又会出现错误，因此，在求解有关等腰三角形的问题时一定要注意分类讨论。那么在什么情况下应该分类讨论呢？本文分以下几种情形讲述。 一. 遇角需讨论 例1. 已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为（ ） A. 30° B. 75° C. 105° D. 30°或75° 简析：75°角可能是顶角，也可能是底角。当75°是底角时，则顶角的度数为 180°－75°×2=30°；当75°角是顶角时，则顶角的度数就等于75°。所以这个等腰三角形的顶角为30°或75°。故应选D 。 说明：对于一个等腰三角形，若条件中并没有确定顶角或底角时，应注意分情况讨论，先确定这个已知角是顶角还是底角，再运用三角形内角和定理求解。 二. 遇边需讨论 例2. 已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于_________。 简析：已知条件中并没有指明5和6谁是腰长谁是底边的长，因此应由三角形的三边关系进行分类讨论。当5是等腰三角形的腰长时，这个等腰三角形的底边长就是6，则此时等腰三角形的周长等于16；当6是腰长时，这个三角形的底边长就是5，则此时周长等于17。故这个等腰三角形的周长等于16或17。 说明：对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪是底哪是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论。 三. 遇中线需讨论 例3. 若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm 和12cm 两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。 简析：已知条件并没有指明哪一部分是9cm ，哪一部分是12cm ，因此，应有两种情形。 若设这个等腰三角形的腰长是x cm ，底边长为y cm ，可得???????=+=+,1221,921y x x x 或???????=+=+.92 1,1221y x x x 解 初中数学等腰三角形的分类讨论 等腰三角形是一种特殊而又十分重要的三角形，就是因为这种特殊性，在具体处理问题时往往又会出现错误，因此，同学们在求解有关等腰三角形的问题时一定要注意分类讨论。那么在什么情况下应该分类讨论呢？本文分以下几种情形讲述。 一、遇角需讨论 例1. 已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为（ ） A. 30° B. 75° C. 105° D. 30°或75° 简析：75°角可能是顶角，也可能是底角。当75°是底角时，则顶角的度数为 180°－75°×2=30°；当75°角是顶角时，则顶角的度数就等于75°。所以这个等腰三角形的顶角为30°或75°。故应选D 。 说明：对于一个等腰三角形，若条件中并没有确定顶角或底角时，应注意分情况讨论，先确定这个已知角是顶角还是底角，再运用三角形内角和定理求解。 二、遇边需讨论 例2. 已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于_________。 简析：已知条件中并没有指明5和6谁是腰长谁是底边的长，因此应由三角形的三边关系进行分类讨论。当5是等腰三角形的腰长时，这个等腰三角形的底边长就是6，则此时等腰三角形的周长等于16；当6是腰长时，这个三角形的底边长就是5，则此时周长等于17。故这个等腰三角形的周长等于16或17。 说明：对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪是底哪是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论。 三、遇中线需讨论 例3. 若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm 和12cm 两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。 简析：已知条件并没有指明哪一部分是9cm ，哪一部分是12cm ，因此，应有两种情形。 若设这个等腰三角形的腰长是x cm ，底边长为y cm ，可得???????=+=+,1221,921y x x x 或???????=+=+.92 1,1221y x x x 解得???==,9, 6y x 或???==.5, 8y x 即当腰长是6cm 时，底边长是9cm ；当腰长是8cm 时，底边长是5cm 。 说明：这里求出来的解应满足三角形三边关系定理。 八年级上册第二章 特殊三角形 一、将军饮马 例1 如图，在正方形ABCD 中，AB=9，点E 在CD 边上，且DE=2CE ，点P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PD 的最小值是（ ） A 、3 B 、10 C 、9 D 、9 【变式训练】 1、如图，在矩形ABCD 中，AD=4，∠DAC=30°，点P 、E 分别在AC 、AD 上，则PE+PD 的最小值是（ ） A 、2 B 、2 C 、4 D 、 2、如图，∠AOB=30°，P 是∠AOB 内一定点，PO=10，C ，D 分别是 OA ，OB 上的动点，则△PCD 周长的最小值为 3、如图，∠AOB=30°，C ，D 分别在OA ，OB 上，且OC=2， OD=6，点 C D 分别是AO ，BO 上的动点，则CM+MN+DN 最小值为 4、如图，C 为线段BD 作AB ⊥BD ，DE ⊥BD ，连结AC ，CE ． （1，BD=12，设CD=x ．用含x 的代数式表示AC+CE 的长； （2）请问点C 满足什么条件时，AC+CE 的值最小并求出它的最小值； （3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式 的最小值 二、等腰三角形中的分类讨论 例2（1）已知等腰三角形的两边长分别为8cm 和10cm ，则它的周长为 （2）已知等腰三角形的两边长分别为8cm 和10cm ，则它的腰长为 （3）已知等腰三角形的周长为28cm 和8cm ，则它的底边为 【变式训练】 1、已知等腰三角形的两边长分别为3cm 和7cm ，则周长为 2、已知等腰三角形的一个角是另一个角的4倍，则它的各个内角的度数为 3、已知等腰三角形的一个外角等于150°，则它的各个内角的度数为 4、已知等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°，则它的各个内角的度数 5、已知等腰三角形底边为5cm ，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm ，则腰长为 6、在三角形ABC 中，AB=AC ，AB 边上的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得的锐角为40°，则底角∠B 的度数为 7、如图，A 、B 是4×5的网格中的格点，网格中每个小正方形的边长都是单位1，请在图中清晰地标出使以A 、B 、C 为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点C 的位置 三、两圆一线定等腰 例3在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （2，3），在坐标轴上找一点P ， 使得△AOP 是等腰三角形，则这样的点P 共有 个 【变式训练】 E B C A D P 第2题 B O A P C D 第1题 B O A C N 第3题 A B x y O E C 等腰三角形的判定 教学目标：知识与能力：1、学会如何判断一个三角形是不是等腰三角形 2、了解等边三角形和等腰直角三角形 过程与方法：探索并掌握一个三角形是等腰三角形的条件，能运用识 别方法进行相关的计算和推理 情感态度与价值观：通过对等腰三角形判定的学习，使学生能从正反 两个方面认识等腰三角形，养成科学的思维习惯教学重难点：重点：等腰三角形“等角对等边”的结论的理解和掌握 难点：如何对等腰三角形“等角对等边”的结论进行一定的实际应用教学过程 一、复习引入 等腰三角形具有哪些性质? 1．等腰三角形的两腰相等； 2．等腰三角形的两底角相等， 3.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合。（简称“三线合一”） 4．等腰三角形是轴对称图形,对称轴是底边的中垂线。 二、动手操作，探究新知 对于一个三角形，怎样识别它是不是等腰三角形呢?我们已经知道的方法是看它是否有两条边相等。这一节，我们再学习另一种识别方法。 我们已学过，等腰三角形的两个底角相等，反过来，在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它是等腰三角形吗? 为了回答这个问题，请同学们分别拿出一张半透明纸，做一个实验，按以下方法进行操作： 1．在半透明纸上画一个线段BC。 2．以BC为始边，分别以点B和点C为顶点，用量角器画两个相等的角，两角终边的交点为A。 3．通过用圆规截取AB、AC，来比较AB、AC的大小。 问题1：AB与AC是否相等? 问题2：本实验的条件与结论如何用文字语言加以叙述? 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。简写成“等 角对等边”。 也就是说，如果一个三角形中有两个角相等，那么它就是等腰三角形。一个三角形是等腰三角形的条件，可以用来判定一个三角形是否为等腰三角形。 例1．在△ABC中，已知∠A＝40°，∠B＝70°，判断△ABC是什么三角形，为什么? 答: △ABC是等腰三角形 证明：（略） 问题3：三个角都是60°的三角形是等边三角形吗?你能说明理由吗? 等腰直角三角形：顶角是直角的等腰三角形是等腰直角三角形。 问题4：你能说出等腰直角三角形各角的大小吗? 问题5：请你画一个等腰直角三角形，使∠C＝90°，CD是底边上的高，数一数图中共有几个等腰直角三角形? 三、随堂训练： 1、如果有个三角形的两个内角为80°和50°，则这是一个_等腰__三角形。 2、如果一个三角形有两个内角等于60°，那么这是一个__等边__三角形。 3、底角是顶角一半的等腰三角形是___等腰直角___三角形。 4、如果一个三角形三个外角的比是3：3：2，则这是一个（ D ） A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 5、如图，线段OD的一个端点在直线AB上，以OD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点也在AB上，则这样的三角形有（ D ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 四、拓展延伸 例2．如图，已知AE平分∠DAC，AE∥BC，那么△ABC是等腰三角形吗？请简要说明理由。（角平分线+平行线= 等腰三角形） 等腰三角形三线合一专题训练 姓名 例1：如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。 求证：BC=AB+DC。 变1：如图，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝2，BC＝3，CD＝1，E 是AD边中点。求证：CE⊥BE。 变2：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD上一点，且AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC. （1）求证：AE⊥BE；（2）求证：E是CD的中点；（3）求证：AD+BC=AB. 变3：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°,AB=AC.⑴若D为BC的中点，过D作DM⊥DN分别交AB、AC于M、N，求证：（1）DM＝DN。 ⑵若DM⊥DN分别和BA、AC延长线交于M、N。问DM和DN有何数量关系。 (1)已知：如图，AB=AC，E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且BE=CF，EF交BC于点D． 求证：DE=DF． D C A E (2)已知：如图，AB=AC，E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且，EF交BC于点D，且D为EF B C E A D M N D C B A M N D C B A 的中点．求证：BE=CF． D B C F A E 利用面积法证明线段之间的和差关系 1、如图，在△ABC中，AB=AC，P为底边BC上的一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，?CF⊥AB于F，那么PD+PE与CF相等吗？ 变1：若P点在直线BC上运动，其他条件不变，则PD 、PE与CF的关系又怎样，请你作图，证明。 Ｆ Ｆ 1、已知等腰三角形的两边长分别为4、9，则它的周长为（） A 17 B 22 C 17或22 D 13 根据等腰三角形的性质寻求规律 例1．在△ABC 中，AB=AC ，∠1= 12∠ABC ，∠2=12∠ACB ，BD 与CE 相交于点O ，如图，∠BOC 的大小与∠A 的大小有什么关系？ 若∠1=13∠ABC ，∠2=13 ∠ACB ，则∠BOC 与∠A 大小关系如何？ 若∠1=1n ∠ABC ，∠2=1n ∠ACB ，则∠BOC 与∠A 大小关系如何？ 会用等腰三角形的判定和性质计算与证明 例2．如图，等腰三角形ABC 中，AB=AC ，一腰上的中线BD?将这个 等腰三角形周长分成15和6两部分， 求这个三角形的腰长及底边长． 利用等腰三角形的性质证线段相等 例3．如图，P 是等边三角形ABC 内的一 点，连结PA 、PB 、PC ，?以BP 为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP ，连结CQ ． （1）观察并猜想AP 与CQ 之间的 大小关系，并证明你的结论． （2）若PA ：PB ：PC=3：4：5，连结PQ ，试判断△PQC 的形状，并说明理由． 例1、等腰三角形底边长为5cm ，腰上的中线把三角形周长分为差是3cm 的两部分，则腰长为（ ） A 、2cm B 、8cm C 、2cm 或8cm D 、不能确定 例2、已知AD 为△ABC 的高，AB=AC ，△ABC 周长为20cm ，△ADC 的周长为14cm ，求AD 的长。 例3、如图，已知BC=3， ∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，OE ∥AB ，OF ∥AC ，求△OEF 的周长。 例4、如图，已知等边 △ABC 中，D 为AC 上中点，延长BC 到E ，使CE=CD ，连接DE ，试说明 DB=DE 。 A C A D A B F C O E三角形(知识点+题型分类练习)(优选.)
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