九年级上册旋转几何综合专题练习（word 版
一、初三数学 旋转易错题压轴题（难）
1．已知：如图①，在矩形ABCD 中，3,4,AB AD AE BD ==⊥，垂足是E .点F 是点
E 关于AB 的对称点，连接A
F 、BF ．
（1）求AF 和BE 的长；
（2）若将ABF 沿着射线BD 方向平移，设平移的距离为m (平移距离指点B 沿BD 方向所经过的线段长度)．当点F 分别平移到线段AB AD 、上时，直接写出相应的m 的值． （3）如图②，将ABF 绕点B 顺时针旋转一个角1(080)a a ?<
''A BF ，在旋转过程中，设''A F 所在的直线与直线AD 交于点P ，与直线BD 交于点Q ．是否存在这样的P Q 、两点，使DPQ 为等腰三角形？若存在，求出此时DQ 的
长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）129,55AF BF =
=；（2）95
m =或16
5m =；（3）存在4组符合条件的点
P 、点Q ，使DPQ 为等腰三角形； DQ 的长度分别为2或
258
9
1055或3
5105 【解析】 【分析】
（1）利用矩形性质、勾股定理及三角形面积公式求解；
（2）依题意画出图形，如图①-1所示．利用平移性质，确定图形中的等腰三角形，分别求出m 的值；
（3）在旋转过程中，等腰△DPQ 有4种情形，分别画出图形，对于各种情形分别进行计算即可． 【详解】
（1）∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠BAD=90°，
在Rt △ABD 中，AB=3，AD=4， 由勾股定理得：2222345AB AD +=+=，
∵S △ABD 12=
BD?AE=1
2
AB?AD ，
∴AE=AB AD3412 BD55
??
==，
∵点F是点E关于AB的对称点，
∴AF=AE
12
5
=，BF=BE，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB=90°，
在Rt△ABE中，AB=3，AE
12
5 =，
由勾股定理得：BE
2
222
129
3
55 AB AE
??
=-=-=
?
??
；
（2）设平移中的三角形为△A′B′F′，如图①-1所示：
由对称点性质可知，∠1=∠2．BF=BE
9
5 =，
由平移性质可知，AB∥A′B′，∠4=∠1，BF=B′F′
9
5 =，
①当点F′落在AB上时，
∵AB∥A′B′，
∴∠3=∠4，
根据平移的性质知：∠1=∠4，∴∠3=∠2，
∴BB′=B′F′
9
5
=，即
9
5
m=；
②当点F′落在AD上时，∵AB∥A′B′，AB⊥AD，
∴∠6=∠2，A′B′⊥AD，∵∠1=∠2，∠5=∠1，
∴∠5=∠6，
又知A′B′⊥AD，
∴△B′F′D为等腰三角形，
∴B′D=B′F′
9
5 =，
∴BB′=BD-B′D=5-916
55
=，即m
16
5
=；
（3）存在．理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB=90°，
∠2+∠ABD=90°，∠BAE+∠ABD=90°，
∴∠2=∠BAE，
∵点F是点E关于AB的对称点，
∴∠1=∠BAE，
∴∠1=∠2，
在旋转过程中，等腰△DPQ依次有以下4种情形：
①如图③-1所示，点Q落在BD延长线上，且PD=DQ，
则∠Q=∠DPQ，
∴∠2=∠Q+∠DPQ=2∠Q，
∵∠1=∠3+∠Q，∠1=∠2，
∴∠3=∠Q，
∴A′Q=A′B=3，
∴F′Q=F′A′+A′Q=1227
3
55
+=，
在Rt△BF′Q中，由勾股定理得：
22
22
927910 BF F Q
555
????
+=+=
? ?
????
''，
∴DQ=BQ-BD=910
5 5
-；
②如图③-2所示，点Q落在BD上，且PQ=DQ，
则∠2=∠P，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠P，
∴BA′∥PD，
则此时点A′落在BC边上．
∵∠3=∠2，
∴∠3=∠1，
∴BQ=A′Q，
∴F′Q=F′A′-A′Q=12
5
-BQ，
在Rt△BQF′中，由勾股定理得：BF′2+F′Q2=BQ2，
即：
22
2 912
55
BQ BQ
????
+-=
? ?
????
，
解得：
15
8 BQ=，
∴DQ= BD-BQ=5-1525 88
=；
③如图③-3所示，点Q落在BD上，且PD=DQ，
则∠3=∠4．
∵∠2+∠3+∠4=180°，∠3=∠4，
∴∠4=90°-1
2
∠2．
∵∠1=∠2，
∴∠4=90°-1
2
∠1，
∴∠A′QB=∠4=90°-1
2
∠1，
∴∠A′QB=∠A′BQ，∴A′Q=A′B=3，
∴F′Q=A′Q-A′F′=3-123 55
=，
在Rt△BF′Q中，由勾股定理得：BQ=
22
22
93310 BF F Q
555
????
+=+=
? ?
????
''，
∴DQ=BQ-BD=
310
5-；
④如图④-4所示，点Q落在BD上，且PQ=PD，
则∠2=∠3．
∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠2=∠3，
∴∠1=∠4，
∴BQ=BA′=3，
∴DQ=BD-BQ=5-3=2．
综上所述，存在4组符合条件的点P、点Q，使△DPQ为等腰三角形，DQ的长度分别为：
2或25
8
9
105
5
或
3
510
5
【点睛】
本题是四边形综合题目，主要考查了矩形的性质、轴对称的性质、平移的性质、旋转的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点；第（3）问难度很大，解题关键是画出各种旋转图形，依题意进行分类讨论．
2．已知抛物线y=ax2+bx-3a-5经过点A(2，5)
（1）求出a 和b 之间的数量关系．
（2）已知抛物线的顶点为D 点，直线AD 与y 轴交于(0，-7) ①求出此时抛物线的解析式；
②点B 为y 轴上任意一点且在直线y=5和直线y=-13之间，连接BD 绕点B 逆时针旋转90°，得到线段BC ，连接AB 、AC ，将AB 绕点B 顺时针旋转90°，得到线段BH ．截取BC 的中点F 和DH 的中点G ．当点D 、点H 、点C 三点共线时，分别求出点F 和点G 的坐标．
【答案】（1）a+2b=10；（2）①y= 2x 2+4x-11，②G 1(478，91-8
+)，
F 1(-
8，33-4+)，G 2(8，-8
)，F 2(218，-4) 【解析】 【分析】
（1）把点A 坐标代入抛物线y=ax 2+bx-3a-5即可得到a 和b 之间的数量关系；
（2）①求出直线AD 的解析式，与抛物线y=ax 2+bx-3a-5联立方程组，根据直线与抛物线有两个交点，结合韦达定理求出a ，b ，即可求出解析式；
②作AI ⊥y 轴于点I ，HJ ⊥y 轴于点J.设B （0，t ），根据旋转性质表示粗H 、D 、C 坐标，应含t 式子表示直线AD 的解析式，根据D 、H 、C 三点共线，把点C 坐标代入求出
1t =，2t =，分两类讨论，分别求出G 、F 坐标。
【详解】
解：（1）把A （2,5）代入y=ax 2+bx-3a-5得4a+2b-3a-5=5 ∴a+2b=10
∴a 和b 之间的数量关系是a+2b=10 （2）①设直线AD 的解析式为y=kx+c ∵直线AD 与y 轴交于（0，-7），A （2,5） ∴2k c 5{
c -7+==解得k 6{c -7
==即直线AD 的解析式为y=6x-7
联立抛物线y=ax 2
+bx-3a-5与直线AD ：y=6x-7 得2y ax +bx-3a-5{y 6x-7
==
消去y 得ax 2+（b-6）x-3a+2=0 ∵抛物线与直线AD 有两个交点 ∴由韦达定理可得：x A +x D =b-6-a =2a 2a +，x A x D =-3a 2
a
+ ∵A （2,5）∴x A =2即x D =
2a -22a +∵x D =b -2a =a-104a
∴
2a
-2
2a
+
=
a-10
4a
解得a=2∴b=
10-a
2
= 4
∴此时抛物线的解析式为y= 2x2+4x-11
②如图所示：作AI⊥y轴于点I，HJ⊥y轴于点J.设B（0，t）
∵A（2，5），∴AI=2，BJ=5-t
∵AB绕点B顺时针旋转90°，得到线段BH
∴AB=BH，∠ABH=90°，∠AIB=∠BJH=90°
∵∠IAB+∠IBA=90°，∠ABH+∠IBA+∠JBH=180°
∴∠IBA+∠JBH=90°即∠IAB=∠JBH
∴△AJB≌△BJH即AI=BJ=2，BI=IH=5-t
∴H（5-t，t-2）
∵D（-1，-13）∴y B-y D=t+13
同理可得：C（t+13，t-1）
设DH的解析式为y=k1x+b1
∴11
11
-k b-13
{
5-t k b t-2
+=
+=
（）
解得
1
1
t11
k
6-t
{
t11
b-13-
t-6
+
=
+
=
即直线AD的解析式为
t1111
y x-13-
66
t
t t
++
=
--
∵D、H、C三点共线
∴把C（t+13，t-1）代入
AD
t1111
y x-13-
66
t
t t
++
=
--
得：
t1111
t-1t13-13-
66
t
t t
++
=+
--
（）
整理得2t2+31t+82=0解得
1
31305
t
+
=，
2
31-305
t=
由图可知：①当131305
t -4
+=如图1所示： 此时H （
51305+，39305-+） ，C （305-21-，35305
-+）
∵点G 为DH 中点，点F 为BC 中点 ∴G 1（
473058+，91305-8+） ，F 1（305-21-8，33305
-4
+）
由图可知：当231-305
t -=如图2所示： 此时H （
51-305，39-305-） ，C （30521+，35-305
-）
∵点G 为DH 中点，点F 为BC 中点 ∴G 2（
47-3058，91-305
-8
） ，F 2（305218+，33-305-4） （14分）
∴综上所述：G 1（47305+，91305-+） ，F 1（305-21-，33305
-+）
G 2（
47-305，91-305
-） ，F 2（30521+，33-305-）。
【点睛】
本题为含参数的二次函数问题，综合性强，难度较大，解题关键在于根据旋转性质，用含参数式子分别表示点的坐标，函数关系式，结合韦达定理，分类讨论求解。
3．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6．
（1）如图1，若将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BD，连接AD，则△ABD的面积为．
（2）如图2，点P为CA延长线上一个动点，连接BP，以P为直角顶点，BP为直角边作等腰直角△BPQ，连接AQ，求证：AB⊥AQ；
（3）如图3，点E，F为线段BC上两点，且∠CAF＝∠EAF＝∠BAE，点M是线段AF上一个动点，点N是线段AC上一个动点，是否存在点M，N，使CM+NM的值最小，若存在，求出最小值：若不存在，说明理由．
【答案】（1）36；（2）详见解析；（3）存在，最小值为3．
【解析】
【分析】
（1）根据旋转的性质得到△ABD是等腰直角三角形，求得AD＝2BC＝12，根据三角形的面积公式即可得到结论；
（2）如图2，过Q作QH⊥CA交CA的延长线于H，根据等腰直角三角形的性质，得到PQ ＝PB，∠BPQ＝90°，根据全等三角形的性质得到PH＝BC，QH＝CP，求得CP＝AH，得到∠HAQ＝45°，于是得到∠BAQ＝180°﹣45°﹣45°＝90°，即可得到结论；
（3）根据已知条件得到∠CAF＝∠EAF＝∠BAE＝15°，求得∠EAC＝30°，如图3，作点C关于AF的对称点D，过D作DN⊥AC于N交AF于M，则此时，CM+NM的值最小，且最小值＝DN，求得AD＝AC＝6，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：（1）∵将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BD，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∵∠ACB＝90°，
∴BC⊥AD，
∴AD＝2BC＝12，
∴△ABD的面积＝1
2
AD?BC＝
1
2
12×6＝36，
故答案为：36；
（2）如图，过Q作QH⊥CA交CA的延长线于H，
∴∠H＝∠C＝90°，
∵△BPQ是等腰直角三角形，
∴PQ＝PB，∠BPQ＝90°，
∴∠HPQ+∠BPC＝∠QPH+∠PQH＝90°，
∴∠PQH＝∠BPC，
∴△PQH≌△BPC（AAS），
∴PH＝BC，QH＝CP，
∵AC＝BC，
∴PH＝AC，
∴CP＝AH，
∴QH＝AH，
∴∠HAQ＝45°，
∵∠BAC＝45°，
∴∠BAQ＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴AB⊥AQ；
（3）如图，作点C关于AF的对称点D，过D作DN⊥AC于N交AF于M，
∵∠CAF ＝∠EAF ＝∠BAE ，∠BAC ＝45°， ∴∠CAF ＝∠EAF ＝∠BAE ＝15°， ∴∠EAC ＝30°，
则此时，CM +NM 的值最小，且最小值＝DN ， ∵点C 和点D 关于AF 对称， ∴AD ＝AC ＝6， ∵∠AND ＝90°， ∴DN ＝
1
2AD ＝12
?6＝3， ∴CM +NM 最小值为3． 【点睛】
本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，正确的作出作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
4．已知如图1，在ABC 中，90ABC ∠=?，BC AB =，点D 在AC 上，DF AC ⊥交BC 于F ，点E 是AF 的中点．
（1）写出线段ED 与线段EB 的关系并证明；
（2）如图2，将CDF 绕点C 逆时针旋转(
)
090a α?
<
（3）将CDF 绕点C 逆时针旋转一周，如果6BC =，32CF =，直接写出线段CE 的范围．
【答案】（1）ED EB =，DE BE ⊥，证明见解析；（2）结论不变，理由见解析；（3）最大值92= 最小值32
=． 【解析】 【分析】
（1）在Rt △ADF 中，可得DE=AE=EF ，在Rt △ABF 中，可得BE=EF=EA ，得证ED=EB ；然后利用等腰三角形的性质以及四边形ADFB 的内角和为180°，可推导得出∠DEB=90°； （2）如下图，先证四边形MFBA 是平行四边形，再证△DCB ≌△DFM ，从而推导出△DMB 是等腰直角三角形，最后得出结论；
（3）如下图，当点F 在AC 上时，CE 有最大值；当点F 在AC 延长线上时，CE 有最小值． 【详解】
（1）∵DF ⊥AC ，点E 是AF 的中点 ∴DE=AE=EF ，∠EDF=∠DFE ∵∠ABC=90°，点E 是AF 的中点 ∴BE=AE=EF ，∠EFB=∠EBF ∴DE=EB ∵AB=BC ， ∴∠DAB=45°
∴在四边形ABFD 中，∠DFB=360°－90°－45°－90°=135°
∠DEB=∠DEF+∠FEB=180°－2∠EFD+180°－2∠EFB=360°－2(∠EFD+∠EFB) =360°－2×135°=90° ∴DE ⊥EB
（2）如下图，延长BE 至点M 处，使得ME=EB ，连接MA 、ME 、MF 、MD 、FB 、DB ，延长MF 交CB 于点H
∵ME=EB ，点E 是AF 的中点 ∴四边形MFBA 是平行四边形 ∴MF ∥AB ，MF=AB
∴∠MHB=180°－∠ABC=90°
∵∠DCA=∠FCB=a
∴∠DCB=45°+a，∠CFH=90°－a
∵∠DCF=45°，∠CDF=90°
∴∠DFC=45°，△DCF是等腰直角三角形
∴∠DFM=180°－∠DFC－∠CFH=45°+a
∴∠DCB=∠DFM
∵△ABC和△CDF都是等腰直角三角形
∴DC=DF，BC=AB=MF
∴△DCB≌△DFM(SAS)
∴∠MDF=∠BDC，DB=DM
∴∠MDF+∠FDB=∠BDC+∠FDB=90°
∴△DMB是等腰直角三角形
∵点E是MB的中点
∴DE=EB，DE⊥EB
（3）当点F在AC上时，CF有最大值，图形如下：
∵BC=6，∴在等腰直角△ABC中，2
∵2，∴2
∴CE=CF+FE=CF+1
2AF92
当点F在AC延长线上时，CE有最小值，图形如下：
同理，CE=EF －CF 32
= 【点睛】
本题考查三角形的旋转变换，用到了等腰直角三角形的性质和平行四边形的性质，解题关键是构造并证明△BDM 是等腰直角三角形．
5．综合与探究：
如图1，Rt AOB 的直角顶点O 在坐标原点，点A 在y 轴正半轴上，点B 在x 轴正半轴上，4OA =，2OB =，将线段AB 绕点B 顺时针旋转90?得到线段BC ，过点C 作
CD x ⊥轴于点D ，抛物线23y ax x c =++经过点C ，与y 轴交于点(0,2)E ，直线AC 与x 轴交于点H ．
（1）求点C 的坐标及抛物线的表达式；
（2）如图2，已知点G 是线段AH 上的一个动点，过点G 作AH 的垂线交抛物线于点F （点F 在第一象限），设点G 的横坐标为m ． ①点G 的纵坐标用含m 的代数式表示为________；
②如图3，当直线FG 经过点B 时，求点F 的坐标，判断四边形ABCF 的形状并证明结论；
③在②的前提下，连接FH ，点N 是坐标平面内的点，若以F ，H ，N 为顶点的三角形与FHC 全等，请直接写出点N 的坐标．
【答案】（1）点C 的坐标为(6,2)，21322y x x =-
++；（2）①1
43
m -+；②点F 的坐标为(4,6)，四边形ABCF 为正方形，证明见解析；③点N 的坐标为(10,4)或
4226,55?? ???或384,55?? ???
． 【解析】 【分析】
（1）根据已知条件与旋转的性质证明ABO BCD ≌，根据全等三角形的性质得出点C 的坐标，结合点E 的坐标，根据待定系数法求出抛物线的表达式；
（2）①设直线AC 的表达式为y kx b =+，由点A 、C 的坐标求出直线AC 的表达式，进而得解；
②过点G 作GM x ⊥轴于点M ，过点F 作FP y ⊥轴，垂足为点P ，PF 的延长线与
DC 的延长线交于点Q ，根据等腰三角形三线合一得出AG CG =，结合①由平行线分线
段成比例得出点G 的坐标，根据待定系数法求出直线BG 的表达式，结合抛物线的表达式求出点F ；利用勾股定理求出AB BC CF FA ===，结合90ABC ?∠=可得出结论； ③根据直线AC 的表达式求出点H 的坐标，设点N 坐标为(,)s t ，根据勾股定理分别求出
2FC ，2CH ，2FN ，2NH ，然后分两种情况考虑：若△FHC ≌△FHN ，则FN ＝FC ，NH
＝CH ，若△FHC ≌△HFN ，则FN ＝CH ，NH ＝FC ，分别列式求解即可． 【详解】 解：（1）
4=OA ，2OB =，
∴点A 的坐标为(0,4)，点B 的坐标为(2,0)，
线段AB 绕点B 顺时针旋转90?得到线段BC ， AB BC ∴=，90ABC ?∠=，
90ABO DBC ?∴∠+∠=，
在Rt AOB 中，90ABO OAB ?∴∠+∠=，
=OAB DBC ∴∠∠，
CD x ⊥轴于点D ，
90BDC ?∴∠=， 90AOB BDC ?∴∠=∠=．
AB BC =，
ABO BCD ∴△≌△，
2CD OB ∴==，4BD OA ==， 6OB BD ∴+=，
∴点C 的坐标为(6,2)，
∵抛物线2
3y ax x c =++的图象经过点C ，与y 轴交于点(0,2)E ，
236182c a c =?∴?++=?
， 解得，122
a c ?
=-?
??=?，
∴抛物线的表达式为2
1322
y x x =-
++； （2）①设直线AC 的表达式为y kx b =+， ∵直线AC 经过点()6,2C ，(0,4)A ，
∴624k b b +=??=?
，
解得，134k b ?
=-?
??=?
，即143y x =-+，
∴点G 的纵坐标用含m 的代数式表示为：1
43
m -+，
故答案为：143
m -+．
②过点G 作GM x ⊥轴于点M ，
OM m ∴=，1
43
GM m =-+，
AB BC =，BG AC ⊥， AG CG ∴=，
90AOB GMH CDH ?∠=∠=∠=，
OA GM CD ∴，
1OM AG
MD GC
∴
==， 1
32OM MD OD ∴===，
3m ∴=，1433
m -+=，
∴点G 为(3,3)，
设直线BG 的表达式为y kx b =+，将(3,3)G 和(2,0)B 代入表达式得，20
33k b k b +=??
+=?
，
3
6k b =?∴?=-?
，即表达式为36y x =-， 点F 为直线BG 和抛物线的交点，
∴
得2
132362
x x x -
++=-， 14x ∴=，24x =-（舍去）， ∴点F 的坐标为(4,6)，
过点F 作FP y ⊥轴，垂足为点P ，PF 的延长线与DC 的延长线交于点Q ，
4PF ∴=，2AP =，2FQ =，4CQ =，
在Rt AFP △中和Rt FCQ △中，根据勾股定理，得25AF FC ==， 同理可得25AB BC ==，
AB BC CF FA ∴===， ∴四边形ABCF 为菱形， 90ABC ?∠=， ∴菱形ABCF 为正方形；
③∵直线AC ：1
43
y x =-
+与x 轴交于点H ， ∴1
403
x -
+=， 解得，x ＝12， ∴(12,0)H ，
∴2
2
2
(64)(26)20FC =-+-=，2
2
2
(126)(02)40CH =-+-=， 设点N 坐标为(,)s t ，
∴2
2
2
(4)(6)FN s t =-+-，2
2
2
(12)(0)NH s t =-+-， 第一种情况：若△FHC ≌△FHN ，则FN ＝FC ，NH ＝CH ，
∴2222
(4)(6)20(12)40s t s t ?-+-=?-+=?
， 解得，11425265s t ?
=????=??
，226
2s t =??=?（即点C ），
∴4226,55N ??
??
?； 第二种情况：若△FHC ≌△HFN ，则FN ＝CH ，NH ＝FC ，
∴
22
22 (4)
(6)40
(12)20
s t
s t
?-+-=
?
-+=
?
，
解得，
1
1
38
5
4
5
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或(10,4)
N，
综上所述，以F，H，N为顶点的三角形与△FHC全等时，点N坐标为(10,4)或
4226
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55
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??或
384
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55
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．
【点睛】
本题是函数与几何的综合题，考查了待定系数法求函数的表达式，全等三角形的判定与性质，菱形与正方形的判定，旋转的性质，勾股定理等知识，其中对全等三角形存在性的分析，因有一条公共边，可对另外两边进行分类讨论，本题有一定的难度，是中考压轴题．
6．综合与实践
问题情境
在一节数学活动课上，老师带领同学们借助几何画板对以下题目进行了研究.如图1，
MN是过点A的直线，点C为直线MN外一点，连接AC，作∠ACD=60°，使AC=DC，在MN上取一点B，使∠DBN=60°．
观察发现
（1）根据图1中的数据，猜想线段AB、DB、CB之间满足的数量关系是；
（2）希望小组认真思考后提出一种证明方法：将CB所在的直线以点C为旋转中心，逆时针旋转60°，与直线MN交于点E，即可证明（1）中的结论. 请你在图1中作出线段CE，并根据此方法写出证明过程；
实践探究
（3）奋进小组在继续探究的过程中，将点C绕点A逆时针旋转，他们发现当旋转到图2和图3的位置时，∠DBN=120°，线段AB、BD、CB的大小发生了变化，但是仍然满足一定的数量关系，请你直接写出这两种关系：
在图2中，线段AB、DB、CB之间满足的数量关系是；
在图3中，线段AB、DB、CB之间满足的数量关系是；
提出问题
（4）智慧小组提出一个问题：若图3中BC⊥CD于点C时，BC=2，则AC为多长？请你解答此问题.
【答案】（1）AB+DB=CB；（2）见解析；（3）AB－DB=CB；DB－AB=CB；（4）23【解析】
【分析】
（1）根据图中数据直接猜想AB+DB=CB
（2）在射线AM上一点E，使得∠ECB=60°，证明△ACE≌△DCB，推出EB=CB从而得出（1）中的结论；
（3）利用旋转的性质和线段的和差关系以及全等三角形的性质得出线段关系；
（4）过点C作∠BCE=60o，边CE与直线MN交于点E，设AC与BD交于点F.证明
△ACE≌△DCB，得出BC=EC，结合△ECB为等边三角形，得出∠ECA=90°，在
Rt△AEC中根据边长计算出AC的长度.
【详解】
综合与实践
（1）AB+DB=CB
（2）线段CE如图所示.
证明：∵∠ECB=∠ACD=60o，
∴∠2+∠ACB=∠1+∠ACB，
∴∠2=∠1.
∵∠ACD=∠DBN=60o, ∠ABD+∠DBN=180o，
∴∠ABD+∠ACD=180o，
∴在四边形ACDB中，∠CAB+∠3=180o.
∵∠CAB+∠4=180o，
∴∠4=∠3.
又∵AC=DC，
∴△ACE≌△DCB（ASA）
∴EA=BD，EC=BC.
又∵∠ECB=60°，
∴△ECB为等边三角形,
∴EB=CB.
而EB=EA+AB=DB+AB,
∴CB=DB+AB.
（3） AB－DB=CB；DB－AB=CB；
（4）证明：如图，过点C作∠BCE=60o，边CE与直线MN交于点E，设AC与BD交于点F.∵∠DCA=60o
∴∠ECB+∠BCA=∠DCA+∠BCA
即∠ECA=∠BCD
∵∠DBN=120o
九年级数学旋转几何综合专题练习（解析版） 一、初三数学旋转易错题压轴题（难） 1．探究：如图①和②，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在BC、CD 上，∠EAF=45°． （1）如图①，若∠B、∠ADC都是直角，把ABE △绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，则能得EF=BE+DF，请写出推理过程； （2）如图②，若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足数量关系时，仍有 EF=BE+DF； （3）拓展：如图③，在ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=22，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．若BD=1，求DE的长． 【答案】（1）见解析；（2）∠B+∠D=180°；（3）5 3 【解析】 【分析】 （1）根据已知条件证明△EAF≌△GAF，进而得到EF=FG，即可得到答案； （2）先作辅助线，把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合，根据（1），要使EF=BE+DF，需证明△EAF≌△GAF，因此需证明F、D、G在一条直线上，即 180 ADG ADF ∠+∠=?，即180 B D ∠+∠=?； （3）先作辅助线，把△AEC绕A点旋转到△AFB，使AB和AC重合，连接DF，根据已知条件证明△FAD≌△EAD，设DE=x，则DF=x，BF=CE=3﹣x，然后再Rt BDF中根据勾股定理即可求出x的值，即DE的长． 【详解】 （1）解：如图， ∵把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合， ∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，BE=DG， ∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°， ∴∠DAG+∠DAF=45°， 即∠EAF=∠GAF=45°， 在△EAF和△GAF中 AF AF EAF GAF AE AG = ? ? ∠=∠ ? ?= ? ∴△EAF≌△GAF（SAS）， ∴EF=GF， ∵BE=DG， ∴EF=GF=BE+DF； （2）解：∠B+∠D=180°， 理由是： 如图，把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合，则AE=AG，∠B=∠ADG，∠BAE=∠DAG， ∵∠B+∠ADC=180°， ∴∠ADC+∠ADG=180°， ∴F、D、G在一条直线上， 和（1）类似，∠EAF=∠GAF=45°， 在△EAF和△GAF中 AF AF EAF GAF AE AG = ? ? ∠=∠ ? ?= ? ∴△EAF≌△GAF（SAS）， ∴EF=GF， ∵BE=DG， ∴EF=GF=BE+DF； 故答案为：∠B+∠D=180°； （3）解：∵△ABC中，2BAC=90°， ∴∠ABC=∠C=45°，由勾股定理得：22 AB AC +，
中考数学几何旋转压轴 题 LG GROUP system office room 【LGA16H-LGYY-LGUA8Q8-LGA162】
中考数学几何旋转综合题 1、已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF ⊥BD 交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG ，CG ． （1）求证：EG =CG ； （2）将图①中△BEF 绕B 点逆时针旋转45o ，如图②所示，取DF 中点G ，连接EG ，CG ．问（1）中的结论是否仍然成立若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． （3）将图①中△BEF 绕B 点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明） 2. 在△ABC 中，＝BC ＝2，∠ABC ＝120°，将△ABC 绕点B 顺时针旋转角(0°＜＜90°)得△A 1BC 1，A 1交AC 于点E ，A 1C 1分别交AC ，BC 于D ，F 两点． (1)如图22－4(a)，观察并猜想，在旋转过程中，线段EA 1与FC 是怎样的数量关系?并证明你的结论； 图23－4(a) (2)如图23－4(b)，当＝30°时，试判断四边形BC 1DA 的形状，并说明理由； 图23－4(b) (3)在(2)的情况下，求ED 的长． 3. 如图23－8(a)，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，M ，N 分别为EB ，CD 的中点，易证：CD ＝BE ，△AMN 是等边三角形． 图23－8 (1)当把△ADE 绕A 点旋转到图23－8(b)的位置时，D ，E ，B 三点共线，CD ＝BE 是否仍然成立?若成立请证明；若不成立请说明理由； (2)当△ADE 绕A 点旋转到图23－8(c)的位置时，D ，E ，B 三点不共线，△AMN 是否还是等边三角形?若是，请给出证明；并求出当AB ＝2AD 时，△ADE 与△ABC 及△AMN 的面积之比；若不是，请说明理由． 4. 如图23－9(a)，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(－8，0)，直线BC 经过点B (－8，6)，C (0，6)，将四边形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转得到四边形OA ′B ′C ′，此时直线OA ′，直线B ′C ′分别与直线BC 相交于点P ，Q ． 图23－9 (1)四边形OABC 的形状是______， 当＝90°时， BQ BP 的值是______； (2)①如图23－9(b)，当四边形OA ′B ′C ′的顶点B ′落在y 轴的正半轴上时，求 BQ BP 的值； A D E G D F A D C E G F A C E
最新初中数学几何专题讲解训练----几何旋转题型 一．半角模型 “半角”旋转模型，经常会出现在等腰直角三角形、正方形中，在一般的等腰三角形中也会有涉 及． 二．等腰三角形旋转模型 等腰三角形的旋转模型比较多，此模型需要注意的是利用“全等三角形”的性质进行边与角的转化，证明的基本思想“SAS”． 1．一般等腰三角形的旋转 共顶点等腰三角形的旋转 2．等边三角形的旋转
共顶点等边三角形的旋转3．等腰直角三角形的旋转 共顶点等腰直角三角形的旋转 三．对角互补模型 四边形对角互补模型 多数题目给出的条件会以四边形或三角形等旋转为载体． 四．旋转相似模型 共顶点相似的一般三角形模型：
如图，图中ABD ACE ∽，得到AB AD BD AC AE CE ，ABD ACE ，ADB AEC ，BAD CAE ，则有ABC ADE ∽． 一．考点： 1．旋转全等模型； 2．旋转相似模型； 3．旋转中的轨迹与最值问题； 二．重难点： 1．这类题的关键是找到题目中所给的特殊条件，结合问题所要证明或者求解的边长角度问题，再 去选择是要构造旋转全等还是通过已经得到的旋转全等的性质进一步证明． 2．观察图形发现旋转得到的相似； 3．通过添加辅助线构造旋转相似或者去挖掘隐含的相似图形． 三．易错点： 1．在利用旋转构造全等的时候注意辅助线的做法问题； 2．构造旋转全等时候一定要有相等边长的条件． 3．全等是相似的一个特例，旋转有时候也会出现全等，注意和旋转全等的区别和联系． 题模一：旋转与全等 例1.1.1已知四边形ABCD 中，AB=BC ，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN 绕B 点旋转，它的两边分别交AD ，DC （或它们的延长线）于E ，F ．
几何变换的三种模型手拉手、半角、对角互补 ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ?? 等腰三角形 手拉手模型等腰直角三角形（包含正方形） 等边三角形（包含费马点） 特殊角 旋转变换对角互补模型 一般角 特殊角 角含半角模型 一般角 等线段变换（与圆相关） 【练1】（2013北京中考）在ABC △中，AB AC =，BACα ∠=（060 α ?<
【练2】 （2012年北京中考）在ABC △中，BA BC BAC α=∠=， ，M 是AC 的中点，P 是线段上的动点，将线段PA 绕点P 顺时针旋转2α得到线段PQ ． （1）若α=60?且点P 与点M 重合（如图1），线段CQ 的延长线交射线BM 于点D ，请补全图形，并写出CDB ∠的度数； （2）在图2中，点P 不与点B M ，重合，线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，猜 想CDB ∠的大小（用含α的代数式表示），并加以证明； （3）对于适当大小的α，当点P 在线段BM 上运动到某一位置（不与点B ，M 重合）时，能使得线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，且PQ QD =，请直接写出α的范围．
考点1：手拉手模型：全等和相似 包含： 等腰三角形、等腰直角三角形（正方形）、等边三角形伴随旋转出全等，处于各种 位置的旋转模型，及残缺的旋转模型都要能很快看出来 （1）等腰三角形旋转模型图（共顶点旋转等腰出伴随全等） （2）等边三角形旋转模型图（共顶点旋转等边出伴随全等） （3）等腰直角旋转模型图（共顶点旋转等腰直角出伴随全等） （4）不等边旋转模型图（共顶点旋转不等腰出伴随相似） 例题精讲
旋转专题 1．如图，用一个半径为5cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了108°，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（） A．πcm B．2πcm C．3πcm D．5πcm 2．如图，已知菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为（） A．（1，﹣1）B．（﹣1，﹣1）C．（，0）D．（0，﹣） 3．如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则∠C′BA的度数为（） A．15°B．20°C．30°D．45° 4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，将Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后 得到Rt△ADE，点B经过的路径为BD，则图中阴影部分的面积是（）
A．B．C．D． 5．如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，将△ABC绕点A顺时针旋转后得到△ADE（点B的对应点是点D，点C的对应点是点E），当点E在BC边上时，连接BD，则∠BDE的大小为（） A．15°B．20°C．25°D．30° 6．如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=3，现将△ABC绕B逆时针旋转一定角度，点C′恰好落在边BC上的高所在的直线上，则阴影部分的面积为（） A．πB．C．D．3π 7．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺指针旋转到△AB1C1的位置，点B、O 分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上， 依次进行下去…，若点A（，0），B（0，4），则点B2016的横坐标为（） A．5 B．12 C．10070 D．10080 8．如图，在平面直角坐标系中将△ABC绕点C（0，﹣1）旋转180°得到△A1B1C1，设点A1的坐标为（m，n），则点A的坐标为（）
九年级上数学《旋转》复习专题 班级：姓名： 【知识点梳理】 1、旋转：在平面内，将一个图形绕一个图形按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。这个定点叫做，转动的角度叫做。 练习1： 在右边四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（） A．①②③④ B．③ C．①③ D．①③④ 练习2： 如图，该图形围绕自己的旋转中心，按下列角度旋转后，不能 ．．与其自身重合的是（） A.72° B.108° C.144° D.216° 练习 3： 如图,将正方形图案绕中心O旋转180°后,得到的图案是( ) 2、旋转的性质 （1）对应点到的距离相等。 （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于。 ）旋转前后两个图形 练习4： 如图1，P是正△ABC内的一点，若将△PBC绕点B旋转到△P’BA，则∠PBP’的度数是（） B．60° C．90° D．120° 练习5： ABCD是正方形，△ADE旋转后能与△ABF重合．则旋转中心是，旋转角等于度，如果连接EF，那么△AEF是
3 3 2 3、中心对称图形与中心对称： （1）中心对称图形：如果把一个图形绕着某一点旋转度后能与自身重合，那么我们就说，这个图形成中心对称图形。 （2）中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转度后能与重合，那么我们就说，这两个图形成中心对称。 注意：中心对称和中心对称图形的区别 （3）中心对称的性质： 关于中心对称的两个图形。 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过心，并且被心平分。关于中心对称的两个图形，对应线段（或者在同一直线上）且。 练习6：如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C=90°，∠B=30°，BC=1，则BB’的长为（） A．4 B． C． D． 3 3 4 4、坐标系中对称点的特征 （1）关于原点对称的点的特征 两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号，即点P（x，y）关于原点的对称点为P’（，） （2）关于x轴对称的点的特征 两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x，y的符号，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P’（） （3）关于y轴对称的点的特征 两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y,，x的符号，即点）关于y轴的对称点为P’（） 练习7：在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣6，8），则点A关于x轴对称的点的坐标是，点A关于y轴对称的点的坐标是，点A关于原点对称的点的坐标是．【巩固练习】 一、选择题： 1、下列图形中，中心对称图形的是（） A. B. C. D. 2、下列图形中，是轴对称图形而不是中心对称图形的是（） A.等边三角形 B.矩形 C.平行四边形 D.菱形 3、将方格纸中的图形（如图所示）绕点O沿顺时针方向旋转90°后，得到的图形是 30° A C B’ B C’ 3 3
例1．有公共顶点C 的△ABC 和△CDE 都是等边三角形. （1）求证：AD=BE ； （2）如果将△CDE 绕点C 沿顺时针方向旋转一个任意角，AD=BE 还成立吗？ 推广：四边形ABDE 和ACFG 都是正方形，连结EC,BG ，如果将ABDE 绕点A 旋转一个任意角，问EC 与BG 有何关系. 例2.课本例题推广： （1）如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD=∠BCD=90°，且四边形ABCD 的面积36，求线段BC 与CD 的和. （2）已知：在五边形ABCDE 中，AB ＝AE ，BC ＋DE ＝CD ，∠ABC ＋∠AED ＝180°． 求证：AD 是∠CDE 的平分线． （3）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且BC ＞AD ；∠D ＝90°，BC ＝CD ＝12，∠ABE ＝45°．若AE ＝10，求CE 的长． 例3．已 知E 、F 分别在正方形ABCD 边AB 和BC 上，AB=1，∠EDF=45°.求 △BEF 的周长. 例4.已知：在△ACB 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，D 、E 在AB 边上，且使得∠DCE ＝45°．求证：AD 、DE 、EB 三条线段确定的数 量关系 练习： 1． 在△ABC 中，AB=AC ，如图，∠BAC=90°，∠DAE=45°，BD=2，CE=3 . 求DE 的长. 拓展：如图，在等腰三角形ABC 中，AB=AC ， （1）P 是三角形内的一点，且∠APB=∠APC ．求证：PB=PC ． （2）D 是三角形内一点，若∠ADB ＞∠ADC ．求证∠DBC ＞∠DCB ． （3）若P 为正方形ABCD 内一点，PA ∶PB ∶PC=1∶2∶3．试证∠APB=135° P C B A D C B A F E D C B A 2．（正方形中的三角形旋转）已知：如图，E 是正方形ABCD 边BC 上任意一点，AF 平分∠EAD 交CD 于F ， F C M A E D C B A
一、旋转 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．平面上，Rt △ABC 与直径为CE 的半圆O 如图1摆放，∠B ＝90°，AC ＝2CE ＝m ，BC ＝n ，半圆O 交BC 边于点D ，将半圆O 绕点C 按逆时针方向旋转，点D 随半圆O 旋转且∠ECD 始终等于∠ACB ，旋转角记为α（0°≤α≤180°） （1）当α＝0°时，连接DE ，则∠CDE ＝ °，CD ＝ ； （2）试判断：旋转过程中 BD AE 的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明； （3）若m ＝10，n ＝8，当α＝∠ACB 时，求线段BD 的长； （4）若m ＝6，n ＝2，当半圆O 旋转至与△ABC 的边相切时，直接写出线段BD 的长． 【答案】（1）90°，2n ；（2）无变化；（3125；（4）BD=102114． 【解析】 试题分析：（1）①根据直径的性质，由DE ∥AB 得CD CE CB CA =即可解决问题．②求出BD 、AE 即可解决问题． （2）只要证明△ACE ∽△BCD 即可． （3）求出AB 、AE ，利用△ACE ∽△BCD 即可解决问题． （4）分类讨论：①如图5中，当α=90°时，半圆与AC 相切，②如图6中，当α=90°+∠ACB 时，半圆与BC 相切，分别求出BD 即可． 试题解析：（1）解：①如图1中，当α=0时，连接DE ，则∠CDE =90°．∵∠CDE =∠B =90°，∴DE ∥AB ，∴CE CD AC CB ==12．∵BC =n ，∴CD =1 2 n ．故答案为90°， 1 2 n ． ②如图2中，当α=180°时，BD =BC +CD = 32n ，AE =AC +CE =32m ，∴BD AE =n m ．故答案为n m ． （2）如图3中，∵∠ACB =∠DCE ，∴∠ACE =∠BCD ．∵ CD BC n CE AC m ==，
D B 旋转 1、旋转的定义：把一个平面图形绕平面内 转动 就叫做图形的旋转。 旋转的三要素：旋转 ；旋转 ；旋转 旋转的基本性质： （1）对应点到 的距离相等。 （2）每一组对应点与旋转中心所连线段的夹角相等都等于 （3）旋转前后的两个图形是 2、 旋转作图基本步骤： ○ 1明确旋转三要素：______________、______________、_______________ ○ 2找出原图形中的各顶点在新图形中的对应点的位置。 ○ 3按原图形中各顶点的排列规律，将这些对应点连成一个新的图形。 3、中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转?180，如果它能够与 重合， 那么就说 关于这个点对称或中心对称。这个点叫做对称中心。 性质：（1）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过 ，而且被对称中心 。 （2）中心对称的两个图形是 图形。 4、中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转?180，如果旋转后的图形能够与 完全重合，那么这个图形叫做中心对称图形。 中心对称、中心对称图形是两个不同的概念，它们既有区别又有联系。 区别：中心对称是针对 图形而言的，而中心对称图形指是 图形。 联系：把中心对称的两个图形看成一个“整体”，则成为 。把中心对称图形的两个部分看成“两个图形”，则它们 。 5、 利用尺规作关于中心对称的图形： ○ 1明确对称中心的位置 ○ 2利用“对应点的连线被对称中心平分”的特性，分别找出原图形中各个关键点的对应点 ○ 3按原图形中各点的次序，将各对应点连接起来 6、点（x ，y ）关于x 轴对称后是（ , ）
点（ , ）关于y 轴对称后是（-x ，y ） 点（x ，y ）关于原点对称后是（ ， ） 第二部分：例题剖析 例题1、如图，根据要求画图． （1）把△ABC 向右平移5个方格，画出平移的图形． （2）以点B 为旋转中心，把△ABC 顺时针方向旋转90 度，画出旋转后的图形． 例题2、如图，已知P 是正方形ABCD 内一点，PA=1，PB=2， PC=3，以点B 为旋转中心，将△ABP 沿顺时针方向旋转， 使点A 与点C 重合，这时P 点旋转到G 点． （1）请画出旋转后的图形，并说明此时△ABP 以点B 为旋转中心旋转了多少度？ （2）求出PG 的长度； （3）请你猜想△PGC 的形状，并说明理由． 第三部分：典型例题 例题1、如图，在画有方格图的平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点均 在格点上． （1）填空：△ABC 是 ________三角形，它的面积等于_______平方单 位； （2）将△ACB 绕点B 顺时针方向旋转90°，在方格图中用直尺画出旋转 后对应的△A′C′B ，则A′点的坐标是（， ），C′点的坐标是（ ， ）． 【变式练习】 1、如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为A （-2，-1）、 B （-1，1）、 C （0，-2）． （1）点B 关于坐标原点O 对称的点的坐标为_______ （2）将△ABC 绕点C 顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A 1B 1C ； （3）求过点B 1的反比例函数的解析式． 2、如图，在由边长为1的小正方形组成的方格纸中，有两个全等的 三角形，即111A B C △和222A B C △． （1）请你指出在方格纸内如何运用平移、旋转变换，将111A B C △重 合到222A B C △上； （2）在方格纸中将111A B C △经过怎样的变换后可以与222A B C △成 中心对称图形？画出变换后的三角形并标出对称中心． 例题2、如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，点D 在BC 的延长线上，且BD=AB ，过点B 作BE ⊥AC ，
初中数学几何专题——旋转 一．选择题（共5小题） 1．如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B，∠D，使AD，BC边与对角线AC重叠，且顶点B，D恰好落在同一点O上，折痕分别是CE，AF，则等于（） A．B．2 C．D． 2．下列轴对称图形中，只用一把无刻度的直尺不能画出对称轴的是（）A．菱形B．矩形C．等腰梯形D．正五边形 3．如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0）．将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x﹣6上时，线段BC扫过的面积为（） A．4 B．8 C．16 D．8 4．如图，P是等腰直角△ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，已知∠AP′B=135°，P′A：P′C=1：3，则P′A：PB=（） A．1： B．1：2 C．：2 D．1： 5．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则它们的公共部分的面积等于（） A．1﹣ B．1﹣ C．D． 二．填空题（共5小题） 6．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，E为CD的中点，点P、Q为BC上两个动点，且PQ=3，当CQ= 时，四边形APQE的周长最小． 7．如图，在平面直角坐标系中有一矩形ABCD，其中A（0，0），B （8，0），D （0，4），若将△ABC沿AC所在直线翻折，点B落在点E处．则E点的坐标是．
8．如图，将等边△ABC沿BC方向平移得到△A 1B 1 C 1 ．若BC=3，，则BB 1 = ． 9．已知一个直角三角板PMN，∠MPN=30°，MN=2，使它的一边PN与正方形ABCD 的一边AD重合（如图放置在正方形内）把三角板绕点P旋转，使点M落在直线BC上一点F处，则CF的长为． 10．如图，在矩形ABCD中，AB=9，AD=3，E为对角线BD上一点，且DE=2BE，过E作FG⊥BD，分别交AB、CD于F、G．将四边形BCGF绕点B旋转180°，在此过程中，设直线GF分别与直线CD、BD交于点M、N，当△DMN是以∠MDN为底角的等腰三角形时，则DN的长是． 三．解答题（共6小题） 14．已知，直角三角形ABC中，∠C=90°，点D、E分别是边AC、AB的中点，BC=6．（1）如图1，动点P从点E出发，沿直线DE方向向右运动，则当EP= 时，四边形BCDP是矩形； （2）将点B绕点E逆时针旋转． ①如图2，旋转到点F处，连接AF、BF、EF．设∠BEF=α°，求证：△ABF是直角三角形； ②如图3，旋转到点G处，连接DG、EG．已知∠BEG=90°，求△DEG的面积． 15．问题发现：如图1，△ABC是等边三角形，点D是边AD上的一点，过点D 作DE∥AC交AC于E，则线段BD与CE有何数量关系 拓展探究：如图2，将△ADE绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜360°），上面的结论是否仍然成立如果成立，请就图中给出的情况加以证明． 问题解决：如果△ABC的边长等于2，AD=2，直接写出当△ADE旋转到DE与AC 所在的直线垂直时BD的长． 16．如图，正方形ABCD的面积为4，对角线交于点O，点O是正方形A 1B 1 C 1 O的
几何旋转综合题练习 1、如图，已知 ABC 是等边三角形. （1）如图（1），点E 在线段 A B 上，点 D 在射线 C B 上，且 ED=EC.将 BCE 绕点 C 顺时针旋转60° 至 ACF , 连接 E F.猜想线段 A B,DB,AF 之间的数量关系; （2）点 E 在线段 BA 的延长线上，其它条件与（1）中一致，请在图（2）的基础上将图形补充完整， 并猜想线段 AB,DB,AF 之间的数量关系; （3）请选择（1）或（2）中的一个猜想进行证明. 第 1 题图(1) 第 1 题图(2) 2、如图 1 △，△ ACB △、△ AED 都为等腰直角三角形，∠ AED ＝∠ ACB ＝90°，点 D 在 AB 上，连CE ，M 、N 分 别为
BD、CE 的中点 (1)求证：MN⊥CE (2)如图2将△AED 绕A点逆时针旋转30°，求证：CE＝2MN
3、在等腰R t△ABC和等腰R△t△A1B 1 C1中,斜边B1C1中点O也是BC的中点。 (1)如图1，则AA1与C C1的数量关系是；位置关系是。 (2)如图2，△将△ A1B1C1 绕点O顺时针旋转一定角度，上述结论是否仍然成立，请证明你的结论。 (3)如图3，在（2）的基础上，直线AA1、CC1交于点P，设AB=4，则PB长的最小值是。 A A A P B B A O 图1 1 C C B B 1 O 图2C A 1C B A 图3 1 C 1 O C 1 B 4、已知，正方形A BCD的边长为4，点E是对角线B D延长线上一点，AE＝BD．△将△ABE绕点A顺时针旋转α度 （0°＜α＜360°）得△到△AB′E′，点B、E的对应点分别为B′、E′ (1) (1) (2)如图1，当α＝30°时，求证：B′C＝DE 连接B′E、DE′，当B′E＝DE′时，请用图2求α的值 如图3，点P为AB的中点，点Q为线段B′E′上任意一点，试探究，在此旋转过程中，线段PQ长度的1 1 1
（1)如图1，在矩形ABCD 中，AB=2BC ，M 是AB 的中点．直接写出∠BMD 与∠ADM 的倍数关系； (2）如图2，若四边形ABCD 是平行四边形, AB=2BC ，M 是AB 的中点，过C 作CE ⊥AD 与AD 所在直线交于点E ． 若∠A 为锐角，则∠BME 与∠AEM 有怎样的倍数关系，并证明你的结论； （1)∠BMD= 3 ∠ADM (2) 分 (2)联结CM,取CE 的中点F ，联结MF ，交DC 于N ∵M 是AB 的中点,∴MF ∥AE ∥BC ， ∴∠AEM=∠1,∠2=∠4， ……… 3分 ∵AB=2BC ，∴BM=BC ，∴∠3=∠4. ∵CE ⊥AE,∴MF ⊥EC ，又∵F 是EC 的中点， ∴ME=MC ，∴∠1=∠2. ………。4分 ∴∠1=∠2=∠3。 ∴∠BME =3∠AEM. ………. 5分 【斜边中线+倍长中线例题】已知：△ABC 和△ADE 是两个不全等的等腰直角三角形，其中 BA =BC ,DA =DE ,联结EC ，取EC 的中点M ，联结BM 和DM ． （1）如图1，如果点D 、E 分别在边AC 、AB 上，那么BM 、DM 的数量关系与位置关系 是 ； （2）将图1中的△ADE 绕点A 旋转到图2的位置时,判断（1）中的结论是否仍然成立,并说明理由． 。解:(1）BM =DM 且BM ⊥DM ． ………2分 （2）成立． ……………3分 理由如下：延长DM 至点F ，使MF =MD ,联结CF 、BF 、BD ． 易证△EMD ≌△CMF ．………4分 ∴ED =CF ，∠DEM =∠1． ∵AB =BC ,AD =DE ,且∠ADE =∠ABC =90°， ∴∠2=∠3=45°, ∠4=∠5=45°． M D B A C E A D M B C 图1 图2 F A M B C E D 4 3 2 1D C B A E M M E A B C D 9
旋转及综合专题 一、旋转相关定义 1、定义：把一个图形绕着某一点 O 转动一个角度的图形变换叫做旋转，点 O 叫做旋转中心，转 动的角叫做旋转角。 2、如果图形上的点 P 经过旋转变为 P 1 ，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。 3、（1）对应点到旋转中心的距离相等，即旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上； （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； （3）旋转前、后图形全等。 4、把一个图形绕着某一点旋转180? ，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于 这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。这两个图形的对称点叫做关于中心的对称点。 5、（1）关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分； （2）关于中心对称的两个图形是全等图形。 6、把一个图形绕着某一点旋转180? ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形 叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。 二、旋转相关结论 如 图 ， 将 ?ABC 绕 点 A 逆 时 针 旋 转 α 角 到 ?AB 1C 1 。点 B 和点 B 1 为对应点，点 C 和C 1 为对 应点。 结论 1：旋转中心为对应点所连线段垂直平分 线的交点，也即对应点所连线段的垂直平分线 均经过旋转中心。如图，线段 BB 1 的垂直平分 线l 1 、线段CC 1 的垂直平分线l 2 都经过旋转中心 点 A 。利用这个结论我们可以利用对应点坐标 求出旋转中心的坐标。由于对应点所连线段的 垂直平分线均经过旋转中心，因此只需求出两 组对应点所连线段的垂直平分线解析式，然后 联立即可求出旋转中心坐标。 结论 2：对应点与旋转中心所构成的三角形均为等腰三角线，且等腰三角形顶角均等于旋转角α。 如图， ?ABB 1 和 ?ACC 1 均为等腰三角形， ∠BAB 1 = ∠CAC 1 = α。
旋转基础练习一 一、选择题 1．在26 个英文大写字母中，通过旋转180°后能与原字母重合的有（）A．6 个B．7 个C．8 个D．9 个 2．从 5 点15 分到 5 点20 分，分针旋转的度数为（）A．20°B．26°C．30°D．36° 3．如图1，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=40°，以直角顶点 C 为旋转中心，将△ABC 旋转到△A′B′的C位置，其中A′、B′分别是A、B 的对应点，且点 B 在斜边A′B上′，直角边CA′交AB 于D，则旋转角等于（）A．70°B．80°C．60°D．50° (图1) (图2) (图3) 二、填空题． 1．在平面内，将一个图形绕一个定点沿着某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为________，这个定点称为________，转动的角为________． 2．如图2，△ABC 与△ADE 都是等腰直角三角形，∠ C 和∠AED 都是直角，点 E 在AB 上，如果△ABC 经旋转后能与△ADE 重合，那么旋转中心是点_________；旋转的度数是__________． 3．如图3，△ABC 为等边三角形， D 为△ABC 内一点，△ABD 经过旋转后到达△ACP 的位置，则，（1）旋转中心是________；（2）旋转角度是________；（3）△ADP 是________ 三角形． 三、解答题． 1．阅读下面材料： 如图4，把△ABC 沿直线BC 平行移动线段BC 的长度，可以变到△ECD 的位置． 如图5，以BC 为轴把△ABC 翻折180°，可以变到△DBC 的位置． (图4) (图5) (图6) (图7) 如图6，以A 点为中心，把△ABC 旋转90°，可以变到△AED 的位置，像这样，其中 一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻折、旋转等方法变成的，这种只改变位置， 不改变形状和大小的图形变换，叫做三角形的全等变换．
旋转典型题专题训练 一、作图题 1．如下左图，在边长为1的正方网格内有一个三角形ABC． （1）把△ABC沿着x轴向右平移5个单位得到△A1B1C1，请你画出△A1B1C1； （2）请你以O点为旋转中心画出△ABC的中心对称图形△A2B2C2； （3）请你以O点为旋转中心画出△ABC顺时针旋转90度后的图形△A3B3C3． 2．如 上右 图，△ ABC 三个 顶点 的坐 标分 别为 A（1，1），B（4，2），C（3，4） （1）请画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的图形△A1B1C1； （2）请画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A2B2C2； （3）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标． 3．如图，正方形ABCD于正方形A1B1C1D1关于某点中心对称，已知A，D1，D三点的坐标分别是（0，4），（0，3），（0，2）． （1）求对称中心的坐标． （2）写出顶点B，C，B1，C1的坐标． 4．如图，由正方形ABCD通过一次旋转得到正方形BCFE，其可能的旋转中心有个．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，△A′B′C′由△ABC绕点P旋转得到，则点P的坐标为． 二、与角度有关的计算 6．如图，在△ABC中，∠CAB=70°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE的位置，连接EC，满足EC∥AB，则∠BAD的度数为（）
A．30°B．35°C．40°D．50° 7．如上中图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定的角度后，得到△ADE，且点B的对应点D恰好落在BC边上，若∠B=70°，则∠CAE的度数是（） A．70°B．50°C．40°D．30° 8．如上右图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE，若∠CAE=65°，∠E=70°，且AD⊥BC，则∠BAC的度数为（） A．60°B．85°C．75°D．90° 9．如下左图，△0AB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD，若∠A=110°，∠D=40°，则∠AOD 的度数为． 10．如上右 图，△ABC 和△BED 是等边三 角形，则图中三角形ABE绕B点旋转度能够与三角形重合． 三、与长度、面积有关的计算 11．如图，三角板ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=16cm，将三角板ABC绕直角顶点C逆时针旋转，当起始位置时的点B恰好落在边A1B1上时，BB1的长是cm． 12．如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，如果AP=3，那么PP′的长等于（） A． B． C． D． 13．将直角边长为5cm的等腰直角△ABC绕点A逆时针旋转15°后，得到△AB′C′，则图中阴影部分的面积是cm2． 14．如下左图，三角板ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=6．三角板绕直角顶点C逆时针旋转，当点A的对应点A′落在AB边的起始位置上时即停止转动，则点B转过的路径长为（结果保留π）．
九年级旋转专题复习 1．下列图案既是中心对称，又是轴对称的是（ ） A B C D 2．已知点A 的坐标为()a b ，，O 为坐标原点，连结OA ，将线段OA 绕点O 按逆时针方向旋转90得1OA ，则点1A 的坐标为（ ） A ．()a b -， B ．()a b -， C ．()b a -， D ．()b a -， 3．下面图形：四边形，三角形，正方形，梯形，平行四边形，圆，从中任取一个图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为 ． 4．如图，把面积为1的正方形纸片ABCD 放在平面直角坐标系中， 点B 、C 在x 轴上，A 、D 关于y 轴对称，将C 点折叠到y 轴上的C′，折痕BP ，则经过P 点反比例函数的解析式为 ． 5．（1）点（2，4）绕点（0，2）顺时针旋转90°得到的点的坐标是 . （2）直线y=2x 绕点（0，2）顺时针旋转90°得到的直线解析式是 . (3) 求直线y=2x+2绕点（0，2）顺时针旋转90°得到的直线的解析式是 . 6．如图，已知ABC △: （1）AC 的长等于_______． （2）若将ABC △向右平移2个单位得到A B C '''△， 则A 点的对应点A '的坐标是_____； （3）若将ABC △绕点C 按顺时针方向旋转90后得到 ?A 1B 1C 1，则A 点对应点A 1的坐标是_________． 7. 正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O ，Q 为CD 上任意一点， AQ 交BD 于M ，过M 作MN ⊥AM 交BC 于N ，连AN 、QN. 下列结论：①MA ＝MN ；②∠AQD ＝∠AQN ； ③ABNQD AQN S S 五边形2 1 = ?； ④AQ.MN=QN.CD 。其中正确的结论有（ ） （A ）①②③④. （B ）只有①③④. （C ）只有②③④. （D ）只有①②. 8．如图，在Rt △ABC 中，AB AC =，D 、E 是斜边BC 上两点，且∠DAE =45°， 将△ADC 绕点A 顺时针旋转90?后，得到△AFB ，连接EF ，下列结论： ①△AED ≌△AEF ； ②△ABE ≌△ACD ； ③BE DC DE +=； ④2 22BE DC DE += 其中正确的是 【 】 (第8题图） A B C D E F 12题 Q N M D O C B A
巧用旋转法解几何题 将一个图形绕着某一点旋转一个角度的图形变换叫做旋转，由旋转的性质可知旋转前后的 图形全 等，对应点到旋转中心的连线所组成的夹角等于旋转角。旋转法是在图形具有公共端点的相 等的线段特征时，可以把图形的某部分绕相等的线段的公共端点， 旋转另一位置的引辅助线的方法, 主要用途是把分散的元素通过旋转集中起来，从而为证题创造必要的条件。旋转方法常用于等腰三 角形、等边三角形及正方形等图形中。现就旋转法在几何证题中的应用举例加以说明，供同学们参 考。 例1.如图，在Rt △ ABC 中，/ C=90°, D 是AB 的中点，E , F 分别 AC 和BC 上，且 DEL DF, 求证：EF 2=A ^+B F" 分析：从 所证的结论来看，令人联想到勾股定理，但注意到 EF , AE BF 三条线段不在同一个三角 形中，由于D 是中点，我们可以考虑以 D 为旋转中心，将 BF 旋转到和AE 相邻的位置，构造一个直 角三角形，问题便迎刃而解。 证明：延长 FD 到G 使DG=DF 连接AG EG ?/ AD=DB / ADG=/ BDF ???" ADd " BDF ( SAS ???/ DAG=/ DBF BF=AG ? AG// BC ???/ C=90°A Z EAG=90 ? EG=Ah+AG=AE+BF ?/ DEI DF ? EG=EF 2 2 2 ? EF=AE+BF 例 2,如图 2,在"ABC 中，/ ACB=90 , AC=BC P 是"ABC 内一点，且 PA=3 PB=1, PC=2 求/ BPC 的度数. 分析：题目已知条件中给出了三条线段的长度和一个直角，但已知的三条线段不在同一三角形中， 故可考虑通过旋转变换移至一个三角形中，由于" ACB 是等腰直角三角形，宜以直角顶点 C 为旋转 中心。 解：作 MC L CP,使 MC=CP 连接 PM , BM F E A
3C． 3 D．1 【中考专研】图形的旋转专题提高训练 1、如图，直角梯形ABCD中，∠BCD＝90°，AD∥BC，BC＝CD，E为梯形内一点，且∠BEC＝90°，将△BEC绕C点旋转90°使BC与DC重合，得到△DCF，连EF交CD于M．已知BC＝5， CF＝3，则DM:MC的值为（） A.5:3 B.3:5 C.4:3 D.3:4 A D E M F B 第一题 C 2、如图，已知Rt△ABC≌Rt△DEC，∠E＝30°，D为AB的中点，AC＝1，若△DEC绕 点D顺时针旋转，使ED、CD分别与Rt△ABC的直角边BC相交于M、N，则当△DMN 为等边三角形时，AM的值为（） A．3B．233 3、将直角边长为5cm的等腰直角ΔABC绕点A逆时针旋转15°后,得到ΔAB’C’,则图中阴 影部分的面积是cm2 4、在矩形ABCD中，AD2A B，E是AD的中点，一块三角板的直角顶点与点E重合， 将三角板绕点E按顺时针方向旋转．当三角板的两直角边与AB，BC分别交于点M，N时，观察或测量BM与CN的长度，你能得到什么结论？并证明你的结论． A E D M B F N C （4题图） 5、在矩形ABCD中，AB=2，AD=3．
（1）在边CD上找一点E，使EB平分∠AEC，并加以说明；（3分） ． （2）若P为BC边上一点，且BP=2CP，连接EP并延长交AB的延长线于F． ①求证：点B平分线段AF；（3分） ②△P AE能否由△PFB绕P点按顺时针方向旋转而得到，若能，加以证明，并求出旋转度 数；若不能，请说明理由．（4分） 6、含30°角的直角三角板ABC（∠B=30°）绕直角顶点C沿逆时针方向旋转角α（∠α<90），再沿∠A的对边翻折得到△A'B'C，AB与B'C交于点M，A'B'与BC交于点N，A'B'与AB相交于点E． （1）求证：△A CM≌△A'CN． （2）当∠α=30时，找出ME与MB'的数量关系，并加以说明． A B' M C E N B A' 7、如图①，已知在△ABC中，AB=AC，P△是ABC内部任意一点，将AP绕A顺时针旋 转至AQ，使∠QAP=∠BAC，连接BQ、CP，
人教版九年级上册数学 旋转几何综合专题练习（word 版 一、初三数学 旋转易错题压轴题（难） 1．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线2 y ax bx c =++的顶点是A(1，3)，将OA 绕点O 顺时针旋转90?后得到OB ，点B 恰好在抛物线上，OB 与抛物线的对称轴交于点C ． （1）求抛物线的解析式； （2）P 是线段AC 上一动点，且不与点A ，C 重合，过点P 作平行于x 轴的直线，与 OAB ?的边分别交于M ，N 两点，将AMN ?以直线MN 为对称轴翻折，得到A MN '?． 设点P 的纵坐标为m ． ①当A MN '?在OAB ?内部时，求m 的取值范围； ②是否存在点P ，使' 5 6 A MN OA B S S ?'?=,若存在，求出满足m 的值；若不存在，请说明理 由． 【答案】()2 1y x 22x =-++；（2）①433 m <<；②存在，满足m 的值为619-或 639 -． 【解析】 【分析】 （1）作AD ⊥y 轴于点D ，作BE ⊥x 轴于点E ，然后证明△AOD ≌△BOE ，则AD=BE ，OD=OE ，即可得到点B 的坐标，然后利用待定系数法，即可求出解析式； （2）①由点P 为线段AC 上的动点，则讨论动点的位置是解题的突破口，有点P 与点A 重合时；点P 与点C 重合时，两种情况进行分析计算，即可得到答案； ②根据题意，可分为两种情况进行分析：当点M 在线段OA 上，点N 在AB 上时；当点M 在线段OB 上，点N 在AB 上时；先求出直线OA 和直线AB 的解析式，然后利用m 的式子表示出两个三角形的面积，根据等量关系列出方程，解方程即可求出m 的值． 【详解】