专题01 “确”有其事——由确定性带来的延展式思考
【专题解读】确定一条直线需要2个要素，若缺其一，则会形成一个直线系或一簇直线；同样的道理，确定三角形时，也是需要3个要素且有关联性，若缺其一，则图形不定，而当图形确定时，一定是可解析的，当图形不确定时，多会产生多解或最值情形。这也是审计划规模环节时的一个方向性思考，即先从试题的结构性，一致性上选择破题之道， 对试题有一个整体性的把控。本专题便从“定”与“不定”两个方面来解读．
【思维索引】 例1．（1）在平面直角坐标系xOy 中，已知P (a ,a +2)，求OP 的最小值．
（2）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2221y x mx m m =-++-（m 是常数）的顶点为Q ，
求OQ 的最小值．
例2．已知，如图ABC ?中，90C ∠=?．
（1）用没有刻度的直尺和圆规求作点P ，使得经过点C 的P 与直线AB 相切于点A ； （2）在（1）的条件下，若10AB =，8BC =，求P 的半径．
例3.如图，ACB ?和ECD ?都是等腰直角三角形，CA CB =，CE CD =，CD 与AB 交于点F ，ACB ?
的顶点A 在ECD ?的斜边DE
上，若AE =
AD =
初中数学满分必学难题模型培优讲义
【变式】
在ABC ?和DCE ?中，CA =CB ，CE =CD ，90ACB DCE ∠=∠=?，3BC =，4CD =CED ?绕着点C 逆时针旋转．
（1）如图1，求当点A 落在ED 上时，AC 、AD 、CD 围成的图形的面积．
（2）如图，若P 是AB 的中点，Q 是DE 上任意一点，求PQ 的最大值与最小值的差．
例4．已知二次函数()2
20y ax ax c a =-+>的图像与x 轴的负半轴和正半轴分别交于A 、B 两点，与y
轴交于点C ，它的顶点为P ，直线CP 与过点B 且垂直于x 轴的直线交于点D ，且:2:3CP PD =． （1）求A 、B 两点的坐标；
（2）若3a ≤，求这个二次函数上最低点的坐标（用含a 的代数式表示）； （3）若5
tan 4
PDB ∠=，求这个二次函数的关系式．
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【素养提升】
1．半径为5的O 中有一点P ，4OP =，则经过点P 且垂直于OP 的弦CD 的长为 （ ）
A.3
B.4
C.5
D.6
2．半径为5的O 中有一点P ，4OP =，则经过点P 且长度为整数的弦的数量有 （ ） A.1条
B.5条
C.8条
D.10条 3．如图，平面直角坐标系中，点()9,6A ，AB y ⊥轴，垂足为B ，点P 从原点O 出发向x 轴正方形运动，同时，点Q 从点A 出发向B 运动，当点Q 到达B 时，整个运动停止，若点P 与点Q 的速度之比为1:2，
则下列说法正确的是 （ ） A.线段PQ 始终经过点（2，3） B.线段PQ 始终经过点（3，2） C.线段PQ 始终经过点（2，2） D.线段PQ 不可能始终经过某一点
(第3题图) ( 第4题图)
4．如图，ABC ?是等边三角形，12AB =，E 是AC 中点，D 是直线BC 上一动点，线段ED 绕点E 逆时针旋转90?，得到线段EF ，当点D 运动时，则线段AF 的最小值为 （ ）
A.
B.6+
C.3
D.6
5．对于二次函数()()2
2110y ax a x a a =--+-≠，有下列结论中正确的结论是 （ ）
①其图象与x 轴一定相交；
②若0a <，函数在1x >时，y 随x 的增大而减小；
③无论a 取何值，抛物线的顶点始终在同一条直线上； ④无论a 取何值，函数图象都经过同一个点． A.①②③ B.①③④ C.①②④ D.①②③④
6．已知，如图，AB 是O 直径，C 为圆上一点，若6AC =，8BC =，D 为半圆弧AB 的中点，则CD 的值为____ __．
7．已知，如图，AB 是O 直径，C ，D 都为圆上的一点，若6AC =，8BC =，且ABD ?是等腰直角三角形，则CD 的值为____ __．
8．已知二次函数2
1y x mx m =----经过的定点的坐标为__ ____．
9．如图，矩形ABCD 中，AB =4，BC =6，E 为BC 上一点，将ABE ?沿着AE 折叠，点B 的对应为P ．
（1）连接CP ，则线段CP 的最小值为____ __；
（2）连接DP ，若2DP =，则EDP ?的面积为____ __．
10．如图，平面直角坐标系中，()7,0A ，()5,2B ，()0,2C ，一条动直线l 分别与BC ，OA 交于点E 、
F ，且将四边形OABC 的面积分成相等的两部分，则点C 到动直线l 的距离的最大值为__________． 11．如图，ABC ?中，4AB =，3AC =，90BAC ∠=?，将ABC ?绕点A 旋转得到ADE ?（其中B 旋
转后得到D ，C 旋转后得到E ），若DE 恰好经过点C ，求此时BD 的长．
12．如图，6AB =，60ABC ∠=?，将AC 绕点A 旋转60?得到AD ，求ABD ?的面积．
13．已知：如图，AB 是O 的直径，3AC =，4BC =，P 是AB 下方半圆上一动点，CQ PC ⊥交PB
的延长线于点Q ．
（1）若P 在弧AB 的中点，求CQ 的长； （2）若CQ 最大，求最大的CQ 的长．
14．如图，二次函数()2
20y ax ax c a =-++>的图像交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，过A 的直线
()20y kx k k =+≠与这个二次函数图象交于另一点F ，与其对称轴交于点E ，与y 轴交于点D ，
DE EF =．
（1）求A 点坐标；
（2）若BDF ?的面积为12，求此二次函数的表达式；
（3）若二次函数图象顶点为P ，连接PF ，PC ，2CPF DAB ∠=∠，求此二次函数的表达式．
15．如图，在ABC ?中，已知10cm AB AC ==，16cm BC =，AD BC ⊥于D ，点E 、F 分别从B 、
C 两点同时出发，其中点E 沿BC 向终点C 运动，速度为4cm/s ；点F 沿CA 、AB 向终点B 运动，速度为5cm/s ，设它们运动的时间为x （s ）. （1）求x 为何值时，EFC ?和AC
D ?相似；
（2）是否存在某一时刻，使得EFD ?被AD 分得的两部分面积之比为3:5，若存在，求出x 的值，
若不存在，请说明理由；
（3）当2x ≤时，若以EF 为直径的圆与线段AC 只有一个公共点，求出相应x 的取值范围．
16．如图①，()8,6A ，AB y ⊥轴于B 点，点R 从原点O 出发，沿y 轴正方向匀速运动，同时点Q 从点
A 出发，沿线段A
B 向点B 以相同的速度匀速运动，当点Q 到达点B 时，两点同时停止运动，设运
动的时间为t 秒．
（1）点B 的坐标为______；
（2）过R 点作RP OA ⊥交x 轴于点P ，当点R 在OB 上运动时，BRQ ?的面积S （平方单位）与
时间t （秒）之间的函数图像为抛物线的一部分，如图②，求点R 的运动速度； （3）如果点R 、Q 保持（2）中的速度不变，当25
7
t ≤
时，设PRQ ?与OAB ?的重叠部分的面积为y ，请求出y 关于t 的函数关系式．
专题02 “参”透机关——由参数带来的指向性思维
【专题解读】参数，实际上是一个变量，一个代数式。若在题目给出的表达式中有了参数，从形式上看是变复杂了，一般只要能从变化中找到不变的量，通过“转化”这个常规武器，就能找到试题的切入口，再充分挖掘题目中的隐藏条件，破题也就水到渠成了！本节从点参（定图），线参（定k 平行线，定b 旋转线）两个方面着手分析（含参的二次函数后续有单独专题加以解读）．
【思维索引】
例1.（1）不论a 取什么实数，点()1,34A a a --都在直线l 上，若(),B m n 也是直线l 上的点，
则3m n +=___ ___；
（2）在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为（0，4），(),
M ab ，且3412a b -=，则线段PM 长
的最小值为__ ____.
（3）在平面直角坐标系xOy 中，()3,0A 、(),2B a 、()0,C m 、(),0D n ，且224m n +=. 若E 为
CD 中点. 则AB BE +的最小值为______.
例2.在平面直角坐标系xOy 中，()8,6A --、3,
34B m m ??- ???
， （1）求AB 的最小值；
（2）若C 为平面内一点，且四边形OBAC 为平行四边形，求□OBAC 的面积.
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例3.探究一次函数2y kx k =++（k 是不为0常数）图象的共性特点.
【探究过程】小明尝试把1x =-代入时，发现可以消去k ，竟然求出了2y =. 老师问：结合一次函数图象，这说明了什么？
小组讨论得出：无论k 取何值，一次函数2y kx k =++的图象一定经过定点()1,2-，
老师：如果一次函数的图象是经过某一个定点的直线，那么我们把像这样的一次函数的图象定义为“点
旋转直线”.
若一次函数()()31y k x k =++-的图象是“点旋转直线”.
（1）一次函数()()31y k x k =++-的图象经过的定点P 的坐标是___ ___. （2）已知一次函数()()31y k x k =++-的图象与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B .
①若OBP ?的面积为3，求k 值； ②若AOB ?的面积为1，求k 值.
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例4．如图1，在平面直角坐标系中，已知点A 、B 的坐标分别为()4,0A 、()0,2B ，点(),C x y 在线段
AB 上，计算1
()2
x y -的最大值.
小明的想法是：这里有两个变量x 、y ，若最大值存在，设最大值为m ，则有函数关系式1
2
y x m =
-，由一次函数的图像可知，当该直线与y 轴交点最低时，就是m 的最大值，故1()2
x y -的最大值为__ . 请你用小明的想法解决下面问题：
如图2，以（1）中的AB 为斜边在右上方作Rt ABQ ?.设点Q 坐标为(),x y ，求1()2
x y -的最小值.
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【素养提升】
1.点(),2P a a +不在第______象限． （ ） A.一
B.二
C.三
D.四
2.平面直角坐标系中，ABC ?的顶点坐标分别是()3,1A -，()1,1B -，()2,2C -，当直线1
2
y x b =-
+与ABC ?有公共点时，b 的取值范围是 （ ）
A.112b -≤≤
B.11b -≤≤
C.112
b -≤≤ D.11
22b -≤≤ 3.在平面直角坐标系中，点P 的坐标为()0,2，点M 的坐标为3
(,3)4
m m --（其中m 为实数），当PM 的
长最小时，m 的值为 （ ） A. 2.4-
B. 3.4-
C.3-
D.4-
4.直线:1l y mx m =-+（m 为常数，且0m ≠）与坐标轴交于点A 、B 两点，若AOB ?（O 是原点）的面积恰好为2，则符合条件的直线l 有 （ ） A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
5.在平面直角坐标系中，点(A a 是直线y =上一点，以A 为圆心，2为半径作A ，若(),P x y
是第一象限内
A 上任意一点，则
y
x
的最小值为 （ ）
A.1
1
6.一次函数()()321y k x k =++-的图像经过定点P 的坐标是__ ____.
7.在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 的坐标分别为()3,m 、()3,2m +，直线2y x b =+与线段AB 有公共点，则b 的取值范围为____ __（用含m 的代数式表示）.
8.一次函数y x b =-的图像，沿过点()1,0且垂直于x 轴的直线翻折后经过点()4,1，则b =______.
9.在平面直角坐标系中，点()4,0A ，点(,)B m ，
点C 为线段OA 上一点（点O 为原点），则AB BC + 的最小值为__ ____.
10.在一次函数y x k =-+的图象上取点P ，作P A x ⊥轴，作PB y ⊥轴，垂足分别为A ，B ，
且矩形OAPB 的面积为2，则这样的点有3个，则k =______.
11.平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为()1,1m m +-，一次函数1
32
y x =-+的图象与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，若点P 在AOB ?的内部，求m 的取值范围.
12.（1）在平面直角坐标系中，若平行四边形ABCD 的点()0,2A -、点()()3,411B m m m +≠-，
点()6,2C ，求对角线BD 的最小值.
（2）已知点D 与点()8,0A ，()0,6B ，(),C a a -是一平行四边形的四个顶点，求CD 长的最小值.
13.（1）已知平面上点()0,0O ，()3,2A ，()4,0B ，直线32y mx m =-+将OAB ?分成面积相等的两
部分，求m 的值.
（2）在平面直角坐标系中，已知A 、B 、C 、D 四点的坐标依次为()0,0、()6,2、()8,8、()2,6，
若一次函数()620y mx m m =-+≠的图像将四边形ABCD 的面积分为1:3两部分，求m 的值.
14．已知点()4,3A m m ，且0m >，点B 为x 轴正半轴上一点，点P 为AOB ∠内一点，5OP =，
求PAB ?周长的最小值．
15．如图，矩形ABCD ，2AB =，10BC =，点E 为AD 上一点，且AE AB =，点F 从点E 出发，向
终点D 运动，速度为1cm/s ，以BF 为斜边在BF 上方作等腰直角BFG ?，以BG ，BF 为邻边作 □BFHG ，连接AG .设点F 的运动时间为t 秒． （1）试说明：ABG EBF ??∽；
（2）当点H 落在直线CD 上时，求t 的值；
（3）点F 从E 运动到D 的过程中，直接写出HC 的最小值．
专题03 一“线”生机——由特征线带来的演绎式思索
【专题解读】角平分线和垂直平分线是轴对称图形中最为重要的两条线。角平分线的常规的图形结构是“双垂筝型”，而“垂直+角平分线型”和“平行+角平分线型”是一种演绎；垂直平分线的常规的图形结构是“小雨伞”，而“翻折”类则是它和角平分线共存的另一种演绎. “中线”通过“倍长中线”能演绎到中心对称图形，通过对特征线的发散性联想，结合结论的收敛性的有序演绎，必将成功的解决问题．
【思维索引】
例1.在ABC ?中，AD 既是BAC ∠的平分线，又是BC 的中线.
（1）求证：AB AC =；
（2）若5AB =，6BC =，求ABC ?外接圆半径的长.
例2.（1）如图，在△ABC 中，45ABC ∠=?，
CA ⊥AB 于A ，BD 平分∠ABC ，且CD ⊥BE 于D ，连接AD ， 求证：①45ADB ∠=?；
②2BE CD =．（思考：若10BE =，求AD 的长．）
（2）如图所示，在ABC ?中，6BC =，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，动点P 在射线EF 上，BP
交CE 于D ，CBP ∠的平分线交CE 于Q ，当2
5
CQ CE =
时，求EP BP +的值．
例3.（1）如图1，在ABC ?中，D 在BC 边上，将ABC ?折叠，使A 与D 重合，折痕分别与边AB 、AC
相交于点E 、F ，连接DE 、DF .
①若4AB AC ==，3BC =，设BD x =，试用x 的代数式表示BDE ?和CDF ?的周长； ②如图2，若ABC ?是等边三角形，::BD CD m n =，求:AE AF .
（2）如图3，在Rt ABC ?中，AC =30A ∠=?，点D 在斜边AB 上，点D 关于AC 、BC 的
对称点为E 、F ，则EF 的最小值是___ __.
（3）如图4，30AOB ∠=?，点M 、N 分别在边OA 、OB 上，且1OM =，3ON =，点P 、Q 分别在边OB 、OA 上，则MP +PQ +QN 的最小值是___ ___.
例4.（1）如图1，直角ABC ?中，90C ∠=?.请利用没有刻度的直尺和圆规，在AB 上找一点F ，使得点
F 到边AC 的距离等于FB （注：不写做法，保留作图痕迹，对图中涉及到的点用字母进行标注）. （2）O 是正方形ABCD 的中点，E 为CD 边上一点，F 为AD 边上一点，且EDF ?的周长等于AD
的长.在图2中作出EDF ?，有适当的文字说明，并求出EOF ∠的度数.
【素养提升】 1.如图，90B C ∠=∠=?，M 是BC 的中点，DM 平分ADC ∠，且110ADC ∠=?，则M A B ∠等于（ ） A.30? B.35? C.45? D.60?
2.如图，已知BAC ∠的平分线与BC 的垂直平分线相交于点D ，DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别为E 、F ，6AB =，3AC =，则BE 等于 （ ） A.6 B.3 C.2 D.1.5
3.如图，在等腰直角ABC ?中，90C ∠=?，D 为BC 的中点，将ABC ?折叠，使点A 与点D 重合，EF 为抓痕，则sin BED ∠的值是 （ ）
B.
35
C.
2
D.
23
4.如图，AD 、BE 分别是ABC ?的中线和角平分线，AD BE ⊥，4AD BE ==，则AC 的长等于（ ）
A.7
B.
C.
D.6.5
5.如图，在O 的内接四边形ABCD 中，3AB =，5AD =，60BAD ∠=?，点C 为弧BD 的中点，则AC 的长是 （ ）
A .4
B .4.8
C .
D 6.如图所示，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，C
E 是BCD ∠的平分线，且CE AB ⊥，E 为垂足，2BE AE =，若四边形AECD 的面积为1，则四边形ABCD 的面积为___ ___.
7.如图，已知点()1,2A 、()4,1B 、()8,3C . 则ABC ?外心的坐标__ ___.
8．如图，在边长为5cm 的正方形纸片ABCD 中，点F 在边BC 上，已知2cm FB =.如果将纸折起，使点A 落在点F 上，则tan GEA ∠=____ __.
9．如图，点P 是等边ABC ?的边BC 上一动点，分别过点P 作关于AB 、BC 的对称点E 、F ，若等边三角形的边长为2.则EF 的取值范围是____ __. 10．如图，ABC ?中，D 是AB 的中点，DE AB ⊥，180ACE BCE ∠+∠=?，EF AC ⊥交AC 于F ，
12AC =，8BC =，则AF =___ ___.
11.（1）如图1，已知扇形AOB ，将此扇形折叠使O 点落在弧AB 上的P 点，且折痕恰好经过B 点；
（保留作图痕迹，不必说明作法和理由）
（2）如图2，矩形A B C D ''''是由矩形ABCD 旋转而成，请作出旋转中心点O .
（保留作图痕迹，不必说明作法和理由）
12．如图所示，在四边形ABCD 中，DC AB ∥，90DAB ∠=?，AC BC ⊥，AC BC =，ABC ∠的
平分线交AD ，AC 于点E 、F ，求
BF
EF
的值．
13.如图，在ABC ?中，90C ∠=?，D 是BC 边上一点，以DB 为直径的O 经过AB 的中点E ，交AD
的延长线于点F ，连结EF . （1）求证：1F ∠=∠.
（2）若sin 5
B =
，EF =，求CD 的长.
14.如图，在平面直角坐标系中，直线4
43
y x =-
+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点P 从点O 出发沿OA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AO 返回；点Q 从A 出发沿AB 以每秒1个单位长度的速度向点B 匀速运动，当点P 、Q 运动时，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB-BQ-OP 于点. 点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止，设点P 、Q 运动的时间为t 秒（0t >）. （1）点Q 的坐标是（______，______）（用含t 的代数式表示）； （2）当t 为何值时，直线DE 经过点O .
15.已知抛物线()2
0y ax bx c a =++<与x 轴交于点()8,0A 和()12,0B -，与y 轴交于点()0,6C .
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点D 在线段AB 上且AD AC =，若动点M 从A 出发沿线段AB 以每秒1个单位长度的速度匀速
运动，同时另一动点N 以某一速度从B 出发沿线段BC 匀速运动，问是否存在某一时刻t （秒），使线段MN 被直线CD 垂直平分？若存在，请求出此时的时间t 和点N 的运动速度；若不存在，请说明理由.
专题04 “平”步青云——“平移”那些事儿
【专题解读】本节从数形结合的视角进行解读，其一是从点、线、形的“显性”平移产生的图形变
化 及由此带来的线段、角、面积等计算问题，其二是应用“隐性”平移的手段来解决诸如平行四边形存在性、夹定角的函数值、等积转化等问题.
【思维索引】
例1.（1）如图1，把
Rt ABC ?放在直角坐标系内，其中90CAB ∠=?，5BC =，点A ，B 的坐标分
别为()()1,04,0，，将ABC ?沿x 轴向左平移，当点C 落在抛物线24y x x =-上时，线段BC 扫过的面积为___ ____.
（2）如图2，将ABC ?沿BC 边上中中线AD 平移到A B C '''?的位置，已知ABC ?的面积为9，阴影
部分三角形的面积为4，若=1A A '，则=A D '____ _.
例2.（1）如图1，平面直角坐标系中，ABC ?的顶点坐标分别是()3,1A -，
()()1,12,2B --，C ，当直线1
2
y x b =
+与ABC ?有公共点时，b 的取值范围是___ ___.
（2）在如图2的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A ，B ，C ，D 都在格点处，
AB 与CD 相交于O ，则tan BOD ∠的值等于___ _.
（3）如图3，ABC ?中，90C ∠=?，8AC cm =，6BC cm =，点E 、F 分别从C 点同时出发，
点E 在边CA 上以4/cm s 的速度向A 点运动，点F 在CB 上以及3/cm s 的速度向B 点运动，点G 是AB 边上的一个动点，则顺次连接E 、F 、G 三点，EFG ?面积的最大值为_____ __.
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八年级数学讲义目录
专题01 整式的乘除 阅读与思考 指数运算律是整式乘除的基础，有以下5个公式：m n m n a a a +?=， ()m n mn a a =，()n n n ab a b =， (0)m n m n a a a a -÷=≠，01(0)a a =≠，1 (0)p p a a a -= ≠． 学习指数运算律应注意： 1．运算律成立的条件； 2．运算律中字母的意义：既可以表示一个数，也可以表示一个单项式或者多项式； 3．运算律的正向运用、逆向运用、综合运用． 多项式除以多项式是整式除法的延拓与发展，方法与多位数除以多位数的演算方法相似，基本步骤是： 1．将被除式和除式按照某字母的降幂排列，如有缺项，要留空位； 2．确定商式，竖式演算式，同类项上下对齐； 3．演算到余式为零或余式的次数小于除式的次数为止． 例题与求解 【例1】（1）若n 为不等式200 3006n >的解，则n 的最小正整数的值为 ． （“华罗庚杯”香港中学竞赛试题） （2）已知21x x +=，那么432 222005x x x x +--+= ． （“华杯赛”试题） （3）把26 (1)x x -+展开后得121121211210a x a x a x a x a +++++L ，则 121086420a a a a a a a ++++++= ． （“祖冲之杯”邀请赛试题） （4）若5 4 3 2 37629()()()()()x x x x x x a x b x c x d x e -+-++=-----则 ab ac ad ae bc bd be cd ce de +++++++++= ． （创新杯训练试题） 解题思路：对于（1），从幂的乘方逆用入手；对于（2），目前无法求x 值，可考虑高次多项式用低次多项式表示；对于（3），它是一个恒等式，即在x 允许取值范围内取任何一个值代入计算，故可考虑赋值法；对于（4），可考虑比较系数法．
初中数学九年级培优目录 第1讲二次根式的性质和运算(P2----7) 第2讲二次根式的化简与求值(P7----12) 第3讲一元二次方程的解法(P13----16) 第4讲根的判别式及根与系数的关系(P16----22) 第5讲一元二次方程的应用(P23----26) 第6讲一元二次方程的整数根(P27----30) 第7讲旋转和旋转变换（一）(P30----38) 第8讲旋转和旋转变换（二）(P38----46) 第9讲圆的基本性质(P47----51) 第10讲圆心角和圆周角(P52----61) 第11讲直线与圆的位置关系（P62----69） 第12讲圆等积证明及变换((P70----76) 第13讲弧长和扇形面积(P76----78) 第14讲概率初步(P78----85) 第15讲二次函数的图像和性质(P85----91) 第16讲二次函数的解析式和综合应用(P92----98) 第17讲二次函数的应用(P99----108) 第18讲相似三角形的性质(P109----117) 第19讲相似三角形的判定(P118-----124) 第20讲相似三角形的综合应用(P124-----130) 每天进步一点点！ 坚持就是胜利！
第1讲 二次根式的性质和运算 考点·方法·破译 1．了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义，能准确进行辨析； 2．掌握二次根式有关性质，并能熟练运用性质进行化简； 3．会根据二次根式的性质挖掘题中隐含条件，求参数的值（或取值围）. 经典·考题·赏析 【例１】 （荆州）下列根式中属最简二次根式的是（ ） A. 【解法指导】判断式子是否为最简二次根式的条件有两点：①被开方式中不能含分母；②被开方式中不能有可开尽方的数或式子. B 中含分母，C 、D 含开方数4、9，故选A. 【变式题组】 1．⑴（）下列根式中不是最简二次根式的是（ ） A. 【例２】(黔东南)方程480x -=，当y ＞0时，m 的取值围是（ ） A ．0＜m ＜1 B ．m ≥2 C ．m ＜2 D ．m ≤2 【解法指导】本题属于两个非负数的代数和问题，隐含两个代数式均为0的结论.由题意得4x －8＝0，x －y －m ＝0.化为y ＝2－m ，则2－m ＞0，故选C. 【变式题组】 2．（）若实数x 、y 2 (0y -=，则xy 的值是__________. 3．2()x y =+，则x －y 的值为（ ） A ．－ 1 B ．1 C ．2 D ．3 4．（）使代数式4 x -有意义的x 的取值围是（ ） A ．x ＞3 B ．x ≥3 C ．x ＞4 D ．x ≥3且x ≠4 5.（）2 2(4)0a c --=，则a －b －c ＝________. 是同类二次根式的是（ ） A B C D
九年级讲义目录
专题01 二次根式的化简与求值 阅读与思考 二次根式的化简与求值问题常涉及最简根式、同类根式，分母有理化等概念，常用到分解、分拆、换元等技巧. 有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点，也是难点，这类问题包含了整式、分式、二次根式等众多知识，又联系着分解变形、整体代换、一般化等重要的思想方法，解题的基本思路是： 1、直接代入 直接将已知条件代入待化简求值的式子. 2、变形代入 适当地变条件、适当地变结论，同时变条件与结论，再代入求值. 数学思想： 数学中充满了矛盾，如正与负，加与减，乘与除，数与形，有理数与无理数，常量与变量、有理式与无理式，相等与不等，正面与反面、有限与无限，分解与合并，特殊与一般，存在与不存在等，数学就是在矛盾中产生，又在矛盾中发展. =x , y , n 都是正整数） 例题与求解 【例1】 当x = 时，代数式32003 (420052001)x x --的值是（ ） A 、0 B 、－1 C 、1 D 、2003 2- （绍兴市竞赛试题） 【例2】 化简 （1(b a b ab b -÷-- （黄冈市中考试题） （2 （五城市联赛试题）
（3 （北京市竞赛试题） （4 （陕西省竞赛试题） 解题思路：若一开始把分母有理化，则计算必定繁难，仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通过分解、分析等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解. 思想精髓：因式分解是针对多项式而言的，在整式，分母中应用非常广泛，但是因式分解的思想也广泛应用于解二次根式的问题中，恰当地作类似于因式分解的变形，可降低一些二次根式问题的难度. 【例3】比6大的最小整数是多少？ （西安交大少年班入学试题） 解题思路：直接展开，计算较繁，可引入有理化因式辅助解题，即设x y == 想一想：设x=求 432 32 621823 7515 x x x x x x x --++ -++ 的值. （“祖冲之杯”邀请赛试题） 的根式为复合二次根式，常用配方，引入参数等方法来化简复合二次根式.
初中数学培优补差计划 一.指导思想 为顺利完成本学年的教学任务，提高本学期的教育教学质量，根据我班学生的实际情况，围绕教学目标，除了认真备课、上课、批改作业、定期评定学生成绩、优质完成每一节课的教学外，应采取课内外培优措施，争取让好的吃的饱，让差的吃的着。 二.差原因分析 1、不良的学习习惯：学习困难学生通常没有良好的学习习惯，对学习缺乏兴趣，把学习当作完成父母教师交给的差事。他们一般贪玩，上课注意力不集中，自控能力差，较随便，上课不听讲，练习不完成，课前不预习，课后不复习，作业不能独立完成,甚至抄袭作业，拖拉作业常有发生，即使有不懂的问题也很少请教他人。不能用正常的逻辑思维和合理的推理分析来对待学习。他们对自己要求不高，甚至单纯为应付老师家长，学习并没有变成他们内在的需要。 2、环境因素，其中家庭教育因素是造成学生学习困难的一个突出因素。父母的文化程度较低，期望水平低，他们大多缺乏辅导能力。有的家长对子女的教育方式简单粗暴，缺乏耐心；有的缺乏教育，缺少关心，放纵孩子，甚至认为读书无所谓，有的说：“我不识字不也过得很好。”这大大挫伤了孩子的上进心。
有的家长长年在外打工，孩子在家无人管束……总之，家庭的文化氛围差，使学生的学习受到了干扰，造成了学习上的困难。 三.采取措施 1、培养良好的学习态度 正确的学习态度是提高学习成绩的重要因素。学习态度端正的学生一般学习较为持久、认真，即使是自己不感兴趣的科目和内容，他也可以对它持比较积极的态度，克服困难，坚持学习。所以在激发学生兴趣的同时，要注重学生学习态度的培养。 2、优化课堂教学的手段 学习困难学生的形成有一个过程。因此他们的转变也只能是逐步进行的，这是一个渐变的过程。教学由易到难，使学生层层有进展，处于积极学习状态。师生活动交替进行，多为学生提供自我表现的机会，对学生进步及时鼓励，发现问题即刻纠正。对待不同的学生采用不同的教学方法。 3、教育他们学会如何学习。 从某种意义上说，学习困难学生的最大困难是不知道如何学习，帮助他们学会如何学习的关键应该是掌握学习策略。应结合语文学科的知识特点，帮助他们掌握控制自己知觉、注意、记忆和思维活动的普通认知策略、解决本学科问题的特殊策略、反省认知策略和学习努力程度调控策略等，对学习困难学生改进学习肯定是有益的。
2017年秋期七 (6)班数学学科培优补差方案 一、培优补差意义： 初中数学新课标”要求数学教育面向全体学生”，通过数学学习使学生入人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”，数学教学要关注学生的个体差异，有效地实现有差异的教学，使学生都得到充分的发 展”。但是由于诸多原因，学生在数学学习基础、学习能力、兴越爱好等方面均存在较大差异，数学学业发展参差不齐，因此培优补差工作就显得尤其重要。 数学培优补差以课堂教学为主要途径，课外辅导为有效补充，对成绩突出、学有余力的学生，通过针对性指导，让他们成绩更优秀，专长得发展，对学习有困难、学习能力差的学生，激发学习兴趣，提高学习能力，使他们学业得以进步。重视培优补差不但能促使优生数学素养提升，差生学习兴趣、能力提高，还能促使教师不断研究改进教学，整体提高数学教学质量。 二、培优补差措施： 利用课余时间，因材施教、对症下药”，根据学生的素质采取相应的方法辅导。具体方法如下： 1、课上后进生板演，中等生订正，优等生解决难题。 2、课堂练习分成三个层次： 第一层必做题”建础题，第二层： 选做题”彳等题，第三层思、考题”--拓广题。满足不同层次学生的需要。 3、课外辅导，利用课余时间，组织学生加以辅导训练。 4、培优补差过程必须优化备课，功在课前，效在课上，成果巩固在课后培优补差。 5、每单元进行简单测评，了解学生情况，建立学生学习档案。
三、培优对象： 孙元奇、凌巧、李英凯、曾晴、查宇航、刚亚鹏、xxxx、xx、xx、xx、xx 四、补差对象： xx、xx、xx 航、xx、xx、 xx 彤、xx、xxxx、xx、xx 淼
第1讲 与有理数有关的概念 考点·方法·破译 1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量. 2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想. 3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数. 经典·考题·赏析 【例1】写出下列各语句的实际意义 ⑴向前－7米⑵收人－50元⑶体重增加－3千克 【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等” 解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克. 【变式题组】 01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（ ） A ． －18% B ． －8% C ． ＋2% D ． ＋8% 02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( ) A ． －5吨 B ． ＋5吨 C ． －3吨 D ． ＋3吨 03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京时间l5：00，纽约时问是____ 【例２】在－227 ，π，0.033. 3这四个数中有理数的个数（ ) A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个 【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0 ??????????????? 正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数；按整数、分数分类，有理数?????????????????正整数整数0负整数正分数分数负分数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝3.1415926… 是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－227 是分数0.033.3是无限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C ． 【变式题组】
全国初中数学竟赛辅导讲义修订(2) 三角形的边角性质 内容提要 三角形边角性质主要的有： 1. 边与边的关系是：任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三边，反过来要使三条线 段能组成一个三角形，必须任意两条线段的和都大于第三条线段，即最长边必须小于其 他两边和。用式子表示如下： a,b,c 是△ABC 的边长b a c b a b a c a c b c b a +<-??? ????????>+>+>+?＜ 推广到任意多边形：任意一边都小于其他各边的和 2. 角与角的关系是：三角形三个内角和等于180 ；任意一个外角等于和它不相邻的两个 内角和。 推广到任意多边形：四边形内角和=2×180 ， 五边形内角和=3×180 六边形内角和=4×180 n 边形内角和=(n －2) 180 3. 边与角的关系 ① 在一个三角形中，等边对等角，等角对等边； 大边对大角，大角对大边。 ② 在直角三角形中， △ABC 中∠C=Rt ∠2 22c b a =+?(勾股定理及逆定理) △ABC 中?? ??=∠∠=∠ 30A Rt C a ：b ：c=1：3：2 △ABC 中?? ??=∠∠=∠ 45A Rt C a ：b ：c=1：1：2 例题 例1.要使三条线段3a －1,4a+1,12－a 能组成一个三角形求a 的取值范围。 (1988年泉州市初二数 学双基赛题) 解：根据三角形任意两边和大于第三边，得不等式组 ?????+>-+-->-++->++-141312131214121413a a a a a a a a a 解得?? ???<->>51135.1a a ∴1.5 初中数学培优补差计划 初中数学备课组 2011年2月 初中数学培优补差计划 一.指导思想 为顺利完成本学年的教学任务,提高本学期的教育教学质量,根据我班学生的 实际情况,围绕教学目标,除了认真备课、上课、批改作业、定期评定学生成绩、优质完成每一节课的教学外,应采取课内外培优措施,争取让好的吃的饱,让差的吃的着。 二.差原因分析 1、不良的学习习惯:学习困难学生通常没有良好的学习习惯,对学习缺乏兴趣,把学习当作完成父母教师交给的差事。他们一般贪玩,上课注意力不集中,自控能力差,较随便,上课不听讲,练习不完成,课前不预习,课后不复习,作业不能独立完成,甚至抄袭作业,拖拉作业常有发生,即使有不懂的问题也很少请教他人。不能用正常的逻辑思维和合理的推理分析来对待学习。他们对自己要求不高,甚至单纯为应付老师家长,学习并没有变成他们内在的需要。 2、环境因素,其中家庭教育因素是造成学生学习困难的一个突出因素。父母 的文化程度较低,期望水平低,他们大多缺乏辅导能力。有的家长对子女的教育方式简单粗暴,缺乏耐心;有的缺乏教育,缺少关心,放纵孩子,甚至认为读书无所谓,有的说:“我不识字不也过得很好。”这大大挫伤了孩子的上进心。有的 家长长年在外打工,孩子在家无人管束……总之,家庭的文化氛围差,使学生的学习受到了干扰,造成了学习上的困难。 三.采取措施 1、培养良好的学习态度 正确的学习态度是提高学习成绩的重要因素。学习态度端正的学生一般学习较为持久、认真,即使是自己不感兴趣的科目和内容,他也可以对它持比较积极的态度,克服困难,坚持学习。所以在激发学生兴趣的同时,要注重学生学习态度的培养。 2、优化课堂教学的手段 学习困难学生的形成有一个过程。因此他们的转变也只能是逐步进行的,这是一个渐变的过程。教学由易到难,使学生层层有进展,处于积极学习状态。师生活动交替进行,多为学生提供自我表现的机会,对学生进步及时鼓励,发现问题即刻纠正。对待不同的学生采用不同的教学方法。 3、教育他们学会如何学习。 从某种意义上说,学习困难学生的最大困难是不知道如何学习,帮助他们学会如何学习的关键应该是掌握学习策略。应结合语文学科的知识特点,帮助他们掌握控制自己知觉、注意、记忆和思维活动的普通认知策略、解决本学科问题的特殊策略、反省认知策略和学习努力程度调控策略等,对学习困难学生改进学习肯定是有益的。 4、激发好奇心,引发求知欲。 在讲授教学内容之前,先提出一些与教学内容相关的实际生活问题,引起他们的好奇心。为学习困难学生创设问题情境,问题要小而具体,新颖有趣,有启发性,并有适当的难度,使他们“跳一跳摘到桃子”。引发学习困难学生的求知欲,也要注意 初中数学竞赛辅导资料 二元一次方程组解的讨论 甲内容提要 1． 二元一次方程组???=+=+222 111c y b x a c y b x a 的解的情况有以下三种： ① 当2 12121c c b b a a ==时，方程组有无数多解。（∵两个方程等效） ② 当2 12121c c b b a a ≠=时，方程组无解。（∵两个方程是矛盾的） ③ 当 2121b b a a ≠（即a 1b 2－a 2b 1≠0）时，方程组有唯一的解： ??? ????--=--=12212 11212211221b a b a a c a c y b a b a b c b c x （这个解可用加减消元法求得） 2． 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。 3． 求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论。（见例2、3） 乙例题 例1. 选择一组a,c 值使方程组???=+=+c y ax y x 275 ① 有无数多解， ②无解， ③有唯一的解 解： ①当 5∶a=1∶2=7∶c 时，方程组有无数多解 解比例得a=10, c=14。 ② 当 5∶a ＝1∶2≠7∶c 时，方程组无解。 解得a=10, c ≠14。 ③当 5∶a ≠1∶2时，方程组有唯一的解， 即当a ≠10时，c 不论取什么值，原方程组都有唯一的解。 例2. a 取什么值时，方程组? ??=+=+3135y x a y x 的解是正数？ 解：把a 作为已知数，解这个方程组 得???????-=-=23152331a y a x ∵???>>00y x ∴???????>->-02 31502331a a 解不等式组得??? ????><531331a a 解集是6311051<>+->-07020200027300k k k 解得??? ????>><0.10.9100k k k （k 是整数） 2017年秋期七（6）班数学学科培优补差方案 一、培优补差意义： 初中数学“新课标”要求“数学教育面向全体学生”，通过数学学习使学生“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”，数学教学要“关注学生的个体差异，有效地实现有差异的教学，使学生都得到充分的发展”。但是由于诸多原因，学生在数学学习基础、学习能力、兴越爱好等方面均存在较大差异，数学学业发展参差不齐，因此培优补差工作就显得尤其重要。 数学培优补差以课堂教学为主要途径，课外辅导为有效补充，对成绩突出、学有余力的学生，通过针对性指导，让他们成绩更优秀，专长得发展，对学习有困难、学习能力差的学生，激发学习兴趣，提高学习能力，使他们学业得以进步。重视培优补差不但能促使优生数学素养提升，差生学习兴趣、能力提高，还能促使教师不断研究改进教学，整体提高数学教学质量。 二、培优补差措施： 利用课余时间，“因材施教、对症下药”，根据学生的素质采取相应的方法辅导。具体方法如下： 1、课上后进生板演，中等生订正，优等生解决难题。 2、课堂练习分成三个层次：第一层“必做题”—基础题，第二层：“选做题”—中等题，第三层“思考题” --拓广题。满足不同层次学生的需要。 3、课外辅导，利用课余时间，组织学生加以辅导训练。 4、培优补差过程必须优化备课，功在课前，效在课上，成果巩固在课后培优补差。 5、每单元进行简单测评，了解学生情况，建立学生学习档案。 三、培优对象： 孙元奇、凌巧、李英凯、曾晴、查宇航、刚亚鹏、 刘恩赐、邓键、詹雅轲、王孟媛、马彦冰 四、补差对象： 李正彦、栗浩、张凯航、蒋孟昊、朱心瑶、 王子彤、王安定、程玉坤、张阳、闫淼 初中数学竟赛辅导资料(1) 数的整除（一） 内容提要： 如果整数A 除以整数B(B ≠0)所得的商A/B 是整数,那么叫做A 被B 整除. 0能被所有非零的整数整除. 能被7整除的数的特征： ①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。 如 1001 100－2＝98（能被7整除） 又如7007 700－14＝686， 68－12＝56（能被7整除） 能被11整除的数的特征： ①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除 如 1001 100－1＝99（能11整除） 又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除） 例1已知两个三位数328和92x 的和仍是三位数75y 且能被9整除。求x,y 解：x,y 都是0到9的整数，∵75y 能被9整除，∴y=6. ∵328＋92x ＝567，∴x=3 例2己知五位数x 1234能被12整除， 求X 解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除， 当1＋2＋3＋4＋X 能被3整除时，x=2，5，8 当末两位X 4能被4整除时，X ＝0，4，8 ∴X ＝8 例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数 解：五位数字都不相同的最小五位数是10234， 但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行 调整末两位数为30，41，52，63，均可， ∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。 练习 １．分解质因数：（写成质因数为底的幂的連乘积） ①593②1859③1287④3276⑤10101⑥10296 987能被3整除，那么a=_______________ 2．若四位数a 12X能被11整除，那么X＝__________- 3．若五位数34 35m能被25整除 4．当m=_________时，5 9610能被7整除 5．当n=__________时，n 6．能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________ 7．能被4整除的最大四位数是____________，能被8整除的最小四位数是_________ 8．8个数：①125，②756，③1011，④2457，⑤7855，⑥8104，⑦9152，⑧70972中，能被下列各数整除的有（填上编号）：6________,8__________,9_________,11__________ 9．从1到100这100个自然数中，能同时被2和3整除的共_____个， 能被3整除但不是5的倍数的共______个。 10．由1，2，3，4，5这五个自然数，任意调换位置而组成的五位数中，不能被3整除的数共有几个？为什么？ 1234能被15整除，试求A的值。 11．己知五位数A 12．求能被9整除且各位数字都不相同的最小五位数。 13．在十进制中，各位数码是0或1，并能被225整除的最小正整数是＿＿＿＿（1989年全国初中联赛题） 初中数学练习册七年级（上）人教版 目录： 第一章有理数 1.1 有理数的概念 1.2 有理数的运算 1.3 近似数与科学计数法 1.4 单元测试 第二章整式加减 2.1 整式的加减 2.2 单元测试 第三章一元一次方程 3.1 解一元一次方程 3.2 列方程解应用题（一） 3.3 列方程解应用题（二） 3.4 单元测试 第四章图形认识初步 4.1 多姿多彩的图形 4.2 平面图形 4.3 单元测试 期末模拟试卷（一） 期末模拟试卷（二） 期末模拟试卷（三） 有理数 知识清单第一章有理数 一、全章知识结构 二、回顾正数、负数的意义及表示方法 1、正数的表示方法：a>0， 2、负数的表示方法：a<0 三、有理数的分类 定义：整数和分数统称为有理数 有限小数和无限循环小数都是有理数而无限不循环小数却不是有理数 1、按整数分数分类 2、按数的正负性分类?????? ???????????????负分数负整数负数零 正分数正整数正数有理数. 3、在数轴上分类 数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫做数轴。 数轴的作用： （1）用数轴上的点表示有理数； （2）在数轴上比较有理数的大小； （3）可用数轴揭示一个数的绝对值和互为相反数的几何意义； （4）在数轴上可求任意两点间的距离：两点间的距离=|x －y|=|y －x| 四、有理数中具有特殊意义的数：相反数、倒数、绝对值、非负数 1、相反数： （1）几何意义：在数轴上表示一对相反数的两个点与原点的距离相等。 （2）代数意义：只有符号不同的两个数。 （3）互为相反数的特性：a+b=0，0的相反数是0。 （4）会求一个数的相反数： 初中数学勾股定理培优教材 一、探索勾股定理 【知识点1】勾股定理 定理内容：在RT△中， 勾股定理的应用：在RT△中，知两边求第三边，关键 在于确定斜边或直角 典型题型 1、对勾股定理的理解 （1）已知直角三角形的两条直角边长分别为a, b，斜边长 c，则下列关于a,b,c 的关系不成立的是（） A、 c2- a2=b2 B、c2- b2=a2 C、a2- c2=b2 D、 a2+b2= c2 （2）在直角三角形中，∠ A=90°，则下列各式中不成 立的是（） A、 BC2- AB2=AC2 B、 BC2- AC2=AB2 C、AB2+AC2= BC2 D、AC2+BC2= AB2 2、应用勾股定理求边长 （3）已知在直角三角形ABC中， AB=10 cm,BC=8 cm, 求 AC的长 . （4）在直角△中，若两直角边长为a、b，且满足，则 该直角三角形的斜边长为． 3、利用勾股定理求面积 （5）已知以直角△的三边为直径作半圆，其中两个半圆 的面积为 25π， 16π，求另一个半圆的面积。 （ 6）如图（ 1），图中的数字代表正方形的面积，则正 方形 A 的面积为。 （7）如图（ 2），三角形中未知边x 与 y 的长度分别是 x=,y=。 （8）在 Rt△ABC 中，∠ C＝90°，若 AC＝6， BC＝ 8，则 AB 的长为（） A、 6 B、8 C、 10 D、 12 （9）在直线l上依次摆放着七个正方形（如图 4 所示）。已知斜放置的三个正方形的面积分别是 1、 2、 3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、 S3、 S4，则 S1 S2S3S4=_____________。 【知识点2】勾股定理的验证 推导勾股定理的关键在于找面积相等，由面积之间的等量关系并结合图形利用代数式恒等变形进行推导。（等积法） 拼图法推导一般步骤：拼出图形 ---找出图形面积的表 达式 ---恒等变形—推出勾股定理。 （10）用四个相同的直角三角形（直角边为 a、b，斜边为c）按图拼法。 问题：你能用两种方法表示下 图的面积吗？对比两种不同的表 示方法，你发现了什么？ （11）用两个完全相同的直角三角形（直角边为 a、b，斜边为 c）按下图拼法， 论证勾股定理： a 2b2 c 2 3、运用勾股定理进行 计算（重难点） （12）如图 ,一根旗杆在离地面 9 米处折断倒下 ,旗杆顶部 落在离旗杆底部 12 米 处 ,旗杆折断前有多高？ 2013－2014上学期八年级一班数学培优辅差计划 乔帅超 光阴似箭，日月如梭，新的学期又要开始了。随着素质教育的深入开展，教育形势趆来趆好，社会对合格人才的要求也趆来趆严格，这就要求我们必须大面积提高教学质量，促进全体学生的德、智、体、美、劳等方面全面发展。因此，培优补差工作就显得非常重要示，根据本班实际，经研究，特制订培优补差工作计划如下： 一、指导思想： 提高优生的自主和自觉学习能力，进一步巩固并提高中等生的学习成绩，帮助差生取得适当进步，让差生在教师的辅导和优生的帮助下，逐步提高学习成绩，并培养较好的学习习惯，形成基本能力。培化计划要落到实处，发掘并培养一批尖子，挖掘他们的潜能，从培养能力入手，训练良好学习习惯，从而形成较扎实基础，并能协助老师进行辅差活动，提高整个班级的素养和成绩。 二、学生情况分析 本班共有学生55人，从上学期的学习情况及知识技能掌握情况看，大部分学生学习积极性高，学习目的明确，上课认真，各科作业能按时按量完成，且质量较好，如乔岩、孙梓滢等，且担任班干部能起到较好的模范带头作用，但也有少部分学生如张浩楠、丁永佳等，基础知识薄弱，学习态度欠端正，书写较潦草，作业有时不能及时完成，因此本学期除在教学过程中要注重学生的个体差异外，我准备在提高学生学习兴趣上下功夫，通过培优辅潜的方式使优秀学生得到更 好的发展，潜能生得到较大进步。 三、具体措施 1、认真备好每一次培优辅潜教案，努力做好学习过程的趣味性和知识性相结合。 2、加强交流，了解潜能生、优异生的家庭、学习的具体情况，尽量排除学习上遇到的困难。 3、搞好家访工作，及时了解学生家庭情况，交流、听取建议意见。 4、沟通思想，切实解决潜能生在学习上的困难。 5、坚持辅潜工作，每周不少于一次。 6、根据学生的个体差异，安排不同的作业。 7．采用一优生带一差生的一帮一行动。 8．请优生介绍学习经验，差生加以学习。 9．课堂上创造机会，用优生学习思维、方法来影响差生。对差生实施多做多练措施。优生适当增加题目难度，不断提高做题能力。 10．采用激励机制，对差生的每一点进步都给予肯定，并鼓励其继续进取，在优生中树立榜样，给机会表现，调动他们的学习积极性和成功感。充分了解差生现行学习方法，给予正确引导，朝正确方向发展，保证差生改善目前学习差的状况，提高学习成绩。 2013.09.08 初中数学培优教材 第一讲 一元二次方程 【学习目标】 1、学会根据具体问题列出一元二次方程，培养把文字叙述的问题转换成数学语言的能力。 2、了解一元二次方程的解或近似解。 3、增进对方程解的认识，发展估算意识和能力。 【知识要点】 1、一元二次方程的定义：只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为02=++c bx ax （a 、b 、c 、为常数，0a ≠）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。 （1）定义解释：①一元二次方程是一个整式方程；②只含有一个未知数；③并且未知数的最高次数是2。这三个条件必须同时满足，缺一不可。 （2）02=++c bx ax （a 、b 、c 、为常数，0a ≠）叫一元二次方程的一般形式，也叫标准形式。 （3）在02=++c bx ax （0a ≠）中，a ，b ，c 通常表示已知数。 2、一元二次方程的解：当某一x 的取值使得这个方程中的c bx ax ++2的值为0，x 的值即是一元二次方程02=++c bx ax 的解。 3、一元二次方程解的估算：当某一x 的取值使得这个方程中的c bx ax ++2的值无限接近0时，x 的值即可看做一元二次方程02=++c bx ax 的解。 【经典例题】 例1、下列方程中，是一元二次方程的是 ①042=-y y ； ②0322=--x x ； ③312=x ； ④bx ax =2；⑤x x 322+=； ⑥043=+-x x ； ⑦22=t ； ⑧0332=-+x x x ；⑨22=-x x ；⑩)0(2≠=a bx ax 例2、（1）关于x 的方程(m －4)x 2+(m+4)x+2m+3=0，当m__________时，是一元二次方程，当m__________时，是一元一次方程. （2）如果方程ax 2+5=(x+2)(x －1)是关于x 的一元二次方程，则a__________. （3）关于x 的方程135)32(12=+-++x x m m m 是一元二次方程吗?为什么？ 例3、把下列方程先化为一般式，再指出下列方程的二次项系数，一次项系数及常数项。 第12讲 与相交有关概念及平行线的判定 考点·方法·破译 1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行. 2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们. 3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系. 经典·考题·赏析 【例1】如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，一共构成哪几对对顶角？一共构成哪几对邻补角？ 【解法指导】 ⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角. ⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两 边的反向延长线. ⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线. 有6对对顶角. 12对邻补角. 【变式题组】 01．如右图所示，直线AB 、CD 、EF 相交于P 、Q 、R ，则： ⑴∠ARC 的对顶角是 . 邻补角 是 .⑵中有几对对顶角，几对邻补角？ 02．当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角； 当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角； 当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角. 问：当有100条直线相交于一点时共有 对顶角. 【例２】如图所示，点O 是直线AB 上一点，OE 、OF 分别平分∠BOC 、 ∠AOC ． ⑴求∠EOF 的度数； ⑵写出∠BOE 的余角及补角. 【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解； 【解】⑴∵OE 、OF 平分∠BOC 、∠AOC ∴∠EOC ＝2 1 ∠BOC ，∠FOC ＝ 21∠AOC ∴∠EOF ＝∠EOC ＋∠FOC ＝21∠BOC ＋2 1∠AOC ＝()AOC BOC ∠+∠21 又∵∠BOC ＋∠AOC ＝180° ∴∠EOF ＝2 1×180°＝90° ⑵∠BOE 的余角是：∠COF 、∠AOF ；∠BOE 的补角是：∠AOE . 【变式题组】 01．如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ，且∠EOC ＝100°，则∠BOD 的度数是（ ） A ．20° B ． 40° C ．50° D ．80° 02．（杭州）已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，则∠4＝ . 【例３】如图，直线l 1、l 2相交于点O ，A 、B 分别是l 1、l 2上 的点，试用三角尺完成下列作图： ⑴经过点A 画直线l 2的垂线. ⑵画出表示点B 到直线l 1的垂线 段. 【解法指导】垂线是一条直线，垂线段是一条线段. 【变式题组】 01．P 为直线l 外一点，A 、B 、C 是直线l 上三点，且PA ＝4cm ，PB ＝5cm ，PC ＝6cm ，则点P 到直线l 的距离为（ ） A ．4cm B ． 5cm C ．不大于4cm D ．不小于6cm A B C D E F A B C D E F P Q R A B C E F E A A C D O （第1题图） 1 4 3 2 （第2题图） l 2 第1讲 与相交有关概念及平行线的判定 考点·方法·破译 1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行. 2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们. 3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系. 经典·考题·赏析 【例1】如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，一共构成哪几对对顶角？一共构成哪几对邻补角？ 【解法指导】 ⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角. ⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的 反向延长线. ⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线. 有6对对顶角. 12对邻补角. 【变式题组】 01．如右图所示，直线AB 、CD 、EF 相交于P 、Q 、R ，则： ⑴∠ARC 的对顶角是 . 邻补角是 .⑵中有几对对顶角，几对邻补角？ 02．当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角； 当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角； 当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角. 问：当有100条直线相交于一点时共有 对顶角. 【例２】如图所示，点O 是直线AB 上一点，OE 、OF 分别平分∠BOC 、 ∠AOC ． ⑴求∠EOF 的度数； ⑵写出∠BOE 的余角及补角. 【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的定义， 以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解； 【解】⑴∵OE 、OF 平分∠BOC 、∠AOC ∴∠EOC ＝21 ∠BOC ， ∠FOC ＝21∠AOC ∴∠EOF ＝∠EOC ＋∠FOC ＝21∠BOC ＋21 ∠AOC ＝()AOC BOC ∠+∠21 又∵∠BOC ＋∠AOC ＝180° ∴∠EOF ＝21×180°＝90° ⑵∠BOE 的余角是：∠COF 、∠AOF ；∠BOE 的补角是：∠AOE. 【变式题组】 01．如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ，且∠EOC ＝100°， 则∠BOD 的度数是（ ） A ．20° B ． 40° C ．50° D ．80° 02．（杭州）已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，则∠4＝ . 【例３】如图，直线l1、l2相交于点O ，A 、B 分别是l1、l2上的点，试用三角尺完成下列作图： ⑴经过点A 画直线l2的垂线. ⑵画出表示点B 到直线l1的垂线段. 【解法指导】垂线是一条直线，垂线 段是一条线段. 【变式题组】 01．P 为直线l 外一点，A 、B 、C 是直线l 上三点，且PA ＝4cm ，PB ＝5cm ，PC ＝6cm ，则点P 到直线l 的距离为（ ） A ．4cm B ． 5cm C ．不大于4cm D ．不小于6cm 02 如图，一辆汽车在直线形的公路AB 上由A 向B 行驶，M 、 N 为位于公路两侧的村庄； ⑴设汽车行驶到路AB 上点P 的位置时距离村庄M 最近.行 驶到AB 上点Q 的位置时，距离村庄N 最近，请在图中的公路上分别画出点P 、 A B C D E F A B C D E F P Q R C E F E A A C D O （第1题图） 1 4 3 2 （第2题图） l 2 九年级数学培优辅导资料 第1、2讲 一元一次方程与二元一次方程组 一、目标要求： 1．了解等式、方程、一元一次方程和二元一次方程(组)的概念，掌握等式的基本性质． 2．掌握一元一次方程的标准形式，熟练掌握一元一次方程和二元一次方程组的解法． 3．会列方程(组)解决实际问题. 二、课前热身 1．方程2x-5=3的解是（ ） A ．x=4 B ．x=-4 C ．x=1 D ．x=-1 2．某文具店一支铅笔的售价为1.2元，一支圆珠笔的售价为2元．该店在“6?1儿童节”举行文具优惠售卖活动，铅笔按原价打8折出售，圆珠笔按原价打9折出售，结果两种笔共卖出60支，卖得金额87元．若设铅笔卖出x 支，则依题意可列得的一元一次方程为（ ） A.1.2×0.8x+2×0.9（60+x ）=87 B.1.2×0.8x+2×0.9（60﹣x ）=87 C.2×0.9x+1.2×0.8（60+x ）=87 D.2×0.9x+1.2×0.8（60﹣x ）=87 3．某单位组织34人分别到井冈山和瑞金进行革命传统教育，到井冈山的人数是瑞金的人数的2倍多1人，求到两地的人数各是多少？设到井冈山的人数为x 人，到瑞金的人数为y 人．下面所列的方程组正确的是（ ） A ．3412x y x y +=??+=? B ．3421x y x y +=??=+? C ．3421x y x y +=??=+? D ．23421x y x y +=??=+? 4．方程组525 x y x y =+??-=?的解满足方程x ＋y －a=0，那么a 的值是（ ） A ．5 B ．－5 C ．3 D ．－3 5．方程组的解是（ ） A ． B ． C ． D ． 三、【基础知识重温】 1．等式及其性质 ⑴ 等式：用等号“=”来表示 关系的式子叫等式. ⑵ 性质：① 如果b a =，那么=±c a ； ② 如果b a =，那么=ac ；如果b a =()0≠c ，那么 =c a . 2. 方程、一元一次方程的概念 ⑴ 方程：含有未知数的 叫做方程；使方程左右两边值相等的 ，叫做方程的解；求方程解的 叫做解方程. 方程的解与解方程不同. ⑵ 一元一次方程：在整式方程中，只含有 个未知数，并且未知数的次数是 ，系数不等于0的方程叫做一元一次方程；它的一般形式为 ()0≠a . 3. 解一元一次方程的步骤： ①去 ；②去 ；③移 ；④合并 ；⑤系数化为1. x y 60 x 2y 30+=??-=? x 70y 10=??=-?x 90y 30=??=-? x 50y 10=??=?x 30 y 30=??=?初中数学培优补差计划
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