椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）
高三数学备课组
椭 圆
1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.
2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的
两个端点.
3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.
4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是
002
2
1x x y y a
b
+
=.
6. 若000(,)P x y 在椭圆
222
2
1x y a
b
+
=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程
是
002
2
1x x y y a
b
+
=.
7. 椭圆
222
2
1x y a
b
+
= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点
角形的面积为1
2
2
tan
2
F P F S b γ
?=.
8. 椭圆
2
2
22
1x
y
a b
+
=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||M F a ex =+,20||M F a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).
9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦
点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.
10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P
和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆
222
2
1x y a
b
+
=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22
O M AB b k k a
?=-
，
即0
2
02
y a x b K AB -
=。
12. 若000(,)P x y 在椭圆222
2
1x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是
2
2
00002
2
2
2
x x y y x y a
b a b
+
=
+
.
13. 若000(,)P x y 在椭圆
222
2
1x y a
b
+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002
2
2
2
x x y y x y a
b
a
b
+
=
+
.
双曲线
1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.
2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长
轴的两个端点.
3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.
4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）
5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是
002
2
1x x y y a
b
-
=.
6. 若000(,)P x y 在双曲线
222
2
1x y
a
b -
=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是002
2
1x x y y a
b
-=.
7. 双曲线
222
2
1x y a
b
-
=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，
则双曲线的焦点角形的面积为1
2
2
t
2
F P F S b co γ
?=.
8. 双曲线
2
2
221x
y
a b
-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c 当00(,)M x y 在右支上时，10||M F ex a =+,20||M F ex a =-.
当00(,)M x y 在左支上时，10||M F ex a =-+,20||M F ex a =--
9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别
交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.
10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于
点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是双曲线
222
2
1x y a
b
-
=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则
2
02y a x b K
K AB
OM =
?，即0
2
02
y a x b K AB =
。
12. 若000(,)P x y 在双曲线
222
2
1x y a
b
-
=（a ＞0,b ＞0）内，则被Po 所平分的中点弦的方程是
2
2
00002
2
2
2
x x
y y x y a
b
a
b
-
=
-
.
13. 若000(,)P x y 在双曲线
222
2
1x y a
b
-
=（a ＞0,b ＞0）内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是
22002
2
2
2
x x y y x y a
b
a
b
-
=
-
.
椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）
高三数学备课组
椭 圆
1. 椭圆
222
2
1x y a
b
+
=（a ＞b ＞o ）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时
A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是222
2
1x y a
b
-
=.
2. 过椭圆
222
2
1x y a
b
+
= (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，
则直线BC 有定向且2
020
BC b x k a y =
（常数）.
3. 若P 为椭圆222
2
1x y a
b
+
=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F
2
是焦点, 12PF F α∠=,
21PF F β∠=，则
tan
t
2
2
a c co a c
α
β
-=+. 4. 设椭圆222
2
1x y a
b
+
=（a ＞b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF 1F 2
中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有
sin sin sin c e a
αβγ
=
=+.
5. 若椭圆
222
2
1x y a
b
+
=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当0＜e
1时，可在
椭圆上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项. 6. P 为椭圆
222
2
1x y a
b
+
=（a ＞b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则
2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.
7. 椭圆
2
2
002
2
()()
1x x y y a
b
--+
=与直线
0A x B y C ++=有公共点的充要条件是
2
2
2
2
2
00()A a B b A x B y C +≥++.
8. 已知椭圆
222
2
1x y a
b
+
=（a ＞b ＞0）
，O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且O P O Q ⊥.（1）2
2
2
2
1111||
||
O P O Q a
b
+
=+
;（2）|OP|2+|OQ|2
的最大值为
222
2
4a b
a b
+;（3）O P Q S ?的最小值是
222
2
a b
a b
+.
9. 过椭圆
222
2
1x y
a
b +
=（a ＞b ＞0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则||
||
2
PF e M N =.
10. 已知椭圆
222
21x y a
b
+=（ a ＞b ＞0） ,A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点
0(,0)P x , 则2
2
22
0a b a b x a a
---
<<
.
11. 设P 点是椭圆222
2
1x y a
b
+
=（ a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则
(1)2
122||||1cos b
PF PF θ=
+.(2) 1
2
2
tan
2
P F F S b γ
?=.
12. 设A 、B 是椭圆222
2
1x y a
b
+
=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB α∠=,
PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)2
2
2
2
2|cos |||s ab P A a c co αγ
=-.(2)
2
tan tan 1e αβ=-.(3) 222
2
2cot PAB a b
S b a
γ?=
-.
13. 已知椭圆222
2
1x y a
b
+
=（ a ＞b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交
于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.
14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线
垂直.
15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). （注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.） 17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.
椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）
高三数学备课组
双曲线
1. 双曲线
222
2
1x y a
b
-
=（a ＞0,b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交双曲线于
P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是222
2
1x y a
b
+
=.
2. 过双曲线
222
2
1x y a
b
-
=（a ＞0,b ＞o ）上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于
B,C 两点，则直线BC 有定向且2
02
BC b x k a y =-
（常数）.
3. 若P 为双曲线222
2
1
x y a
b
-
=（a ＞0,b ＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则
tan
t
2
2
c a co c a
α
β
-=+（或
tan
t
2
2
c a co c a
β
α
-=+）.
4. 设双曲线222
2
1x y a
b
-
=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为双曲线上任意一点，
在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有
sin (sin sin )
c e a
αγβ=
=±-.
5. 若双曲线
222
2
1x y a
b
-
=（a ＞0,b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当1＜e
1
+时，可在双曲线上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项. 6. P 为双曲线
222
2
1x y a
b
-
=（a ＞0,b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为双曲线内一定点，则
21||2||||AF a PA PF -≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线且P 和2,A F 在y 轴同侧时，等号成立.
7. 双曲线
222
2
1x y a
b
-
=（a ＞0,b ＞0）与直线0A x B y C ++=有公共点的充要条件是
2
2
2
2
2
A a
B b
C -≤.
8. 已知双曲线222
2
1x y a
b
-
=（b ＞a ＞0）
，O 为坐标原点，P 、Q 为双曲线上两动点，且O P O Q ⊥. （1）
2
2
2
2
1111||
||
O P O Q a
b
+
=-
;（2）|OP|2+|OQ|2
的最小值为
222
2
4a b
b a
-;（3）O P Q S ?的最小值是
22
2
2
a b
b a
-.
9. 过双曲线
222
2
1x y a
b
-
=（a ＞0,b ＞0）的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N 两点，弦MN 的垂
直平分线交x 轴于P ，则||||
2
PF e M N =.
10. 已知双曲线
222
2
1x y a
b
-
=（a ＞0,b ＞0）,A 、B 是双曲线上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相
交于点0(,0)P x , 则2
2
0a b x a
+≥或22
0a b x a
+≤-
.
11. 设P 点是双曲线
222
21
x y a
b
-
=（a ＞0,b ＞0）上异于实轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2
122||||1cos b PF PF θ
=
-.(2) 1
2
2
cot
2
P F F S b γ
?=.
12. 设A 、B 是双曲线222
2
1x y a
b
-=（a ＞0,b ＞0）的长轴两端点，P 是双曲线上的一点，PAB α∠=,
PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)2
2
2
2
2|cos ||||s |
ab P A a c co αγ=-.
(2) 2
tan tan 1e αβ=-.(3) 222
2
2cot PAB a b
S b a
γ?=+.
13. 已知双曲线
222
2
1x y a
b
-
=（a ＞0,b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过双曲线右焦点F 的直线与
双曲线相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点. 14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线
必与切线垂直.
15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂
直.
16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点). 17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.
18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.
椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论） 高三数学备课组 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积 为122 tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆 准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于 点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则2 2OM AB b k k a ?=-，即0 202y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+. 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端 点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支） 5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b -=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2 的直线方程是00221x x y y a b -=. 7. 双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦 点角形的面积为122 t 2 F PF S b co γ ?=. 8. 双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c 当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-. 当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =-- 9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦 点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和 A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.
椭圆与双曲线性质--（重要结论） 清华附中高三数学备课组 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的 两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是 002 2 1x x y y a b + =. 6. 若000(,)P x y 在椭圆 222 2 1x y a b + =外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程 是 002 2 1x x y y a b + =. 7. 椭圆 222 2 1x y a b + = (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点 角形的面积为1 2 2 tan 2 F P F S b γ ?=. 8. 椭圆 2 2 22 1x y a b + =（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||M F a ex =+,20||M F a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦 点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆 222 2 1x y a b + =的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22 O M AB b k k a ?=- ， 即0 2 02 y a x b K AB - =。 12. 若000(,)P x y 在椭圆222 2 1x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是 2 2 00002 2 2 2 x x y y x y a b a b + = + . 13. 若000(,)P x y 在椭圆 222 2 1x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002 2 2 2 x x y y x y a b a b + = + . 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长 轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支） 5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是 002 2 1x x y y a b - =. 6. 若000(,)P x y 在双曲线 222 2 1x y a b - =（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是002 2 1x x y y a b -=. 7. 双曲线 222 2 1x y a b - =（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=， 则双曲线的焦点角形的面积为1 2 2 t 2 F P F S b co γ ?=. 8. 双曲线 2 2 221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c 当00(,)M x y 在右支上时，10||M F ex a =+,20||M F ex a =-. 当00(,)M x y 在左支上时，10||M F ex a =-+,20||M F ex a =-- 9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别 交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于 点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是双曲线 222 2 1x y a b - =（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 02y a x b K K AB OM = ?，即0 2 02 y a x b K AB = 。 12. 若000(,)P x y 在双曲线 222 2 1x y a b - =（a ＞0,b ＞0）内，则被Po 所平分的中点弦的方程是 2 2 00002 2 2 2 x x y y x y a b a b - = - . 13. 若000(,)P x y 在双曲线 222 2 1x y a b - =（a ＞0,b ＞0）内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是 22002 2 2 2 x x y y x y a b a b - = - .
椭圆的定义、性质及标准方程 高三数学备课组 刘岩老师 1. 椭圆的定义： ⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。 ⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数 )10(<
椭圆与双曲线的对偶性质92条 椭 圆 1．12||||2PF PF a += 2．标准方程：22 221x y a b += 3．11 || 1PF e d =< 4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆切. 8．设A 1、A 2为椭圆的左、右顶点，则△PF 1F 2在边PF 2（或PF 1）上的旁切圆，必与A 1A 2所在的直线切于A 2（或A 1）. 9．椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞o ）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭 圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22 221x y a b -=. 10．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 11．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦 P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 12．AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴且过原点的弦，M 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-. 13．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=，则被Po 所平分的中点弦的方程是 22 00002222x x y y x y a b a b +=+. 14．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+. 15．若PQ 是椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）上对中心直角的弦，则 122222 121111(||,||)r OP r OQ r r a b +=+==. 16．若椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）上中心直角的弦L 所在直线方程为1Ax By +=(0)AB ≠,
第二讲椭圆和双曲线的方程、性质 教学目标：熟练运用椭圆、双曲线定义和性质解题。 1.一圆形纸片的圆心为O ，点Q 是圆内异于O 的一点，点A 在圆周上．把纸片折叠使点 A 与点Q 重合，然后抹平纸片，折痕CD 与OA 交于P 点，当点A 运动时，点P 的轨迹 是 （ ）. 2.已知椭圆22 22:1(0)x y E a b a b +=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交椭圆于,A B 两点.若AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为 （ ） A ． 2214536x y += B ．2213627x y += C ．2212718x y += D ．22 1189x y += 3.椭圆22 :143 x y C +=的左、右顶点分别为12,A A ,点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是[]2,1--,那么直线1PA 斜率的取值范围是（ ） A ．1324 ??????， B ．3384??????， C ．112??????， D ．314?? ???? ， 4.若椭圆1C :1212212=+b y a x (011>>b a )和椭圆2C :122 2 222=+b y a x (022>>b a )的焦 点相同且12a a >.给出如下四个结论: ① 椭圆1C 和椭圆2C 一定没有公共点; ② 11 22 a b a b >; ③ 2 2212221b b a a -=-; ④1212a a b b -<-. 其中,所有正确结论的序号是( ) A.①③ B①③④ C ．①②④ D ．②③④ 5.过椭圆14 162 2=+y x 上一点P 作圆222=+y x 的两条切线，切点为B A ,，过B A ,的直线与两坐标轴的交点为N M ,，则MON ?的面积的最小值为（ ） A. 23 B. 32 C. 2 1 D. 2 6.已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准 线分别交于A , B 两点, O 为原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 的面积
椭圆与双曲线的对偶性质100条 椭 圆 1．12||||2PF PF a += 2．标准方程：22 221x y a b += 3．11 || 1PF e d =< 4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 8．设A 1、A 2为椭圆的左、右顶点，则△PF 1F 2在边PF 2（或PF 1）上的旁切圆，必与A 1A 2所在的直线切于A 2（或A 1）. 9．椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞o ）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线 交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22 221x y a b -=. ☆ 10．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. ☆ 11．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则 切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. ★ 12．AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴且过原点的弦，M 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-. 13．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=，则被Po 所平分的中点弦的方程是 22 00002222x x y y x y a b a b +=+. 14．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=，则过Po 的弦中点的轨迹方程是 22002222x x y y x y a b a b +=+. 16．若椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为 1Ax By +=(0)AB ≠,则(1) 22 2211A B a b +=+ ;(2) L =
椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直 径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切 点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和 A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-， 即0 20 2y a x b K AB -=。 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴 为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.
椭圆的定义、性质及标准方程 1. 椭圆的定义： ⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。 ⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<
1. 椭圆与双曲线的对偶性质 椭 圆 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上，则过0 P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的 直线方程是 00221x x y y a b +=. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭 圆的焦点角形的面积为122 tan 2 F PF S b γ ?=. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则2 2OM AB b k k a ?=-， 即0 20 2y a x b K AB -=。 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是 2200002222x x y y x y a b a b +=+. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是2200222 2x x y y x y a b a b +=+. 双曲线 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除 去长轴的两个端点. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支） 若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是002 21x x y y a b -=. 若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2， 则切点弦P 1P 2的直线方程是 00221x x y y a b -=. 双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=， 则双曲线的焦点角形的面积为122 t 2 F PF S b co γ ?=. 双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c 当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.
椭圆与双曲线的对偶性质--(必背的经典结论) 高三数学备课组 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点Ｐ处的外角. 2. PT 平分△PF 1F ２在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的 两个端点． 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF １为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ,则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是 00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞ｂ>0）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=,则椭圆的焦点 角形的面积为122 tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（ａ＞ｂ＞0）的焦半径公式: 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c -,2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结ＡＰ 和A Ｑ分别交相应于 焦点F 的椭圆准线于M 、Ｎ两点，则M Ｆ⊥NF ． 10. 过椭圆一个焦点Ｆ的直线与椭圆交于两点P 、Q, A １、A 2为椭圆长轴上的顶点,A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和 A １Q 交于点Ｎ,则MF ⊥NF ． 11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，Ｍ),(00y x 为ＡB 的中点，则2 2OM AB b k k a ?=-, 即020 2y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Ｐo 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+． 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+. 双曲线 1. 点P 处的切线ＰT 平分△P Ｆ１F 2在点Ｐ处的内角. 2. P Ｔ平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线ＰT 上的射影Ｈ点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长 轴的两个端点． 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切．(内切：Ｐ在右支；外切:P 在左支) 5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=(ａ>0,b>0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b -=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=(ａ>0，b ＞0)外 ,则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P ２,则切点 弦P 1P ２的直线方程是00221x x y y a b -=. 7. 双曲线22 221x y a b -=(ａ＞０,ｂ>o)的左右焦点分别为F 1，F 2,点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则 双曲线的焦点角形的面积为122 t 2 F PF S b co γ ?=. 8. 双曲线22 221x y a b -=(ａ>0,b ＞o)的焦半径公式：（1(,0)F c -,2(,0)F c 当00(,)M x y 在右支上时,10||MF ex a =+,20||MF ex a =-. 当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =-- 9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 Ｐ、Q 两点,A 为双曲线长轴上一个顶点,连结ＡP 和ＡＱ分别交 相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, Ａ１、A 2为双曲线实轴上的顶点，A １Ｐ和A 2Q 交 于点M,A ２P 和A 1Ｑ交于点Ｎ,则MF ⊥N Ｆ. 11. ＡＢ是双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b>0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点,则 0202y a x b K K AB OM =?，即020 2y a x b K AB =。 12. 若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=(ａ>0,ｂ>0）内,则被P ｏ所平分的中点弦的方程是 22 00002222x x y y x y a b a b -=-. 13. 若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=(ａ>0,ｂ＞0)内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是 22002222x x y y x y a b a b -=-．
椭圆与双曲线的经典性质100条
椭圆与双曲线的对偶性质100条 椭 圆 1．12||||2PF PF a += 2．标准方程：22 221x y a b += 3．11 || 1PF e d =< 4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 8．设A 1、A 2为椭圆的左、右顶点，则△PF 1F 2在边PF 2（或PF 1）上的旁切圆，必与A 1A 2所在的直线切于A 2（或A 1）. 9．椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞o ）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行 的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22 221x y a b -=. ☆ 10．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是 00221x x y y a b +=. ☆ 11．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为 P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. ★ 12．AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴且过原点的弦，M 为AB 的中 点，则2 2OM AB b k k a ?=-. 13．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是 22 00002222x x y y x y a b a b +=+. 14．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是 22002222x x y y x y a b a b +=+.
椭圆与双曲线的对偶性质 (必背的经典结论) 点P 处的切线 PT 平分△ PF 1F 2在点P 处的外角. PT 平分△ PFF 2在点P 处的外角，则焦点在直线 PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的 圆，除去长轴的两个端点 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆 内切. 2 x 若P o (x 0, y 0)在椭圆— a x 2 若P o (X o , y 。) 在椭圆— a P 1P 2的直线方程是X °x 2 椭圆笃 a F 1PF 2 2 椭圆笃 a |MF 1| a a 2 2 y_ b 2 2 y 孑 2 y 孑 y °y X °X 1上，则过P o 的椭圆的切线方程是 2 a 1外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为 1. 1 (a > b > 0)的左右焦点分别为 则椭圆的焦点角形的面积为 S F 1PF 2 YoY 1 P 1、Pa ，则切点弦 F 1, F 2，点P 为椭圆上任意一点 b 2理. 2 y_ b 2 eX o , | MF 2 | a eX o ( F, c,0) , F 2(c,0) M(x 。，y 。) ). 1 (a > b > 0 )的焦半径公式: 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M N 两点，贝U MFL NF. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P 、Q, A 1、A 为椭圆长轴上的顶点, 交于点M AP 和AQ 交于点N,贝U MFL NF. 2 AB 是椭圆令 a b 2 ~2 ， a b 2x 。 a 2y 。 k OM k AB 即K AB AP 和 AQ A 1P 和 AQ 七 1的不平行于对称轴的弦，M (X o ,y 。) 为AB 的 b 若F 0(X 0, y °)在椭 x °x y °y 2 a b 2 2 X 。 2 a 若 F 0(X 0,y o )在 2 x 2 a 中占 I 八、 、?) 芯1内，则被Po 所平分的中点弦的方程 b y 。2 b 2 2 X ~2 a 2 古1内，则过Po 的弦中点的轨迹方程 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13.
1 椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论） 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是0 0221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是0 0221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则2 2OM AB b k k a ?=-， 即0 202y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是