椭圆与双曲线的对偶性质--(必背的经典结论)

1 椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论） 椭 圆

1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.

2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.

3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.

4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是0

0221x x y y a b

+=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22

221x y a b

+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是0

0221x x y y a b

+=. 7. 椭圆22

221x y a b

+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ?=.

8. 椭圆22

221x y a b

+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).

9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.

10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.

11. AB 是椭圆22

221x y a b

+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则2

2OM AB b k k a

?=-， 即0

202y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22

221x y a b

+=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b

+=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22

221x y a b

+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是

椭圆与双曲线的必背的经典结论

椭圆与双曲线的必背的经典结论 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径 的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 22 1x y a b +=上，则过0 P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ， 则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-，即0202y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是22 00002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆 22 22 1x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+.

圆锥曲线知识点整理

高二数学圆锥曲线知识整理 解析几何的基本问题之一：如何求曲线（点的轨迹）方程。它一般分为两类基本题型：一是已知轨迹类型求其方程，常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未知轨迹类型，此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外，通常设法利用已知轨迹的定义解题，化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。因此在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程（等量关系），侧重于数的运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用。 在基本轨迹中，除了直线、圆外，还有三种圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线。 1、三种圆锥曲线的研究 （1）统一定义，三种圆锥曲线均可看成是这样的点集：? ?????>=0e ,e d |PF ||P ，其中 F 为定点，d 为P 到定直线的距离，如图。 因为三者有统一定义，所以，它们的一些性质，研究它们的一些方法都具有规律性。 当01时，点P 轨迹是双曲线；当e=1时，点P 轨迹是抛物线。 （2）椭圆及双曲线几何定义：椭圆：{P||PF 1|+|PF 2|=2a ，2a>|F 1F 2|>0，F 1、F 2为定点}，双曲线{P|||PF 1|-|PF 2||=2a ，|F 1F 2|>2a>0，F 1，F 2为定点}。 （3）圆锥曲线的几何性质：几何性质是圆锥曲线内在的，固有的性质，不因为位置的改变而改变。 定性：焦点在与准线垂直的对称轴上 椭圆及双曲线中：中心为两焦点中点，两准线关于中心对称；椭圆及双曲线关于长轴、短轴或实轴、虚轴成轴对称，关于中心成中心对称。 （4）圆锥曲线的标准方程及解析量（随坐标改变而变） 举焦点在x 轴上的方程如下： 椭 圆 双 曲 线 抛 物 线 标准方程 1b y a x 2 22 2=+ （a>b>0） 1b y a x 2 22 2=- （a>0，b>0） y 2=2px （p>0） 顶 点 （±a ，0） （0，±b ） （±a ，0） （0，0） 焦 点 （±c ，0） （ 2 p ，0） 准 线 X=±c a 2 x=2 p - 中 心 （0，0） 焦半径 P(x 0，y 0)为圆锥曲线上一点，F 1、F 2分别为左、右焦点 |PF 1|=a+ex 0 |PF 2|=a-ex 0 P 在右支时： |PF 1|=a+ex 0 |PF 2|=-a+ex 0 P 在左支时： |PF 1|=-a-ex 0 |PF 2|=a-ex 0 |PF|=x 0+ 2 p

圆锥曲线对偶的性质100条

椭圆与双曲线的对偶性质100条 杨志明 湖北省黄石二中 435003 椭 圆 1． 2．标准方程： 3． 4．点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角. 5．PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 6．以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离. 7．以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 8．设A1、A2为椭圆的左、右顶点，则△PF1F2在边PF2（或PF1）上的旁切圆，必与A1A2所在的直线切于A2（或A1）. 9．椭圆（a＞b＞o）的两个顶点为,，与y轴平行的直线交椭圆于 P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是. 10．若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是. 11．若在椭圆外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是. 12．AB是椭圆的不平行于对称轴且过原点的弦，M为AB的中点，则. 13．若在椭圆内，则被Po所平分的中点弦的方程是. 14．若在椭圆内，则过Po的弦中点的轨迹方程是. 15．若PQ是椭圆（a＞b＞0）上对中心张直角的弦，则. 16．若椭圆（a＞b＞0）上中心张直角的弦L所在直线方程为,则(1) ; (2) . 17．给定椭圆：（a＞b＞0）, ：,则(i)对上任意给定的点,它的任一直角弦必须经过上一定点M(. (ii)对上任一点在上存在唯一的点,使得的任一直角弦都经过点. 18．设为椭圆（或圆）C: (a＞0,. b＞0)上一点，P1P2为曲线C的动弦,且弦P0P1, P0P2斜率存在，记为k1, k2, 则直线P1P2通过定点的充要条件是. 19．过椭圆(a＞0, b＞0)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭

椭圆与双曲线的对偶性质92条

椭圆与双曲线的对偶性质92条 椭 圆 1．12||||2PF PF a += 2．标准方程：22 221x y a b += 3．11 || 1PF e d =< 4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆切. 8．设A 1、A 2为椭圆的左、右顶点，则△PF 1F 2在边PF 2（或PF 1）上的旁切圆，必与A 1A 2所在的直线切于A 2（或A 1）. 9．椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞o ）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭 圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22 221x y a b -=. 10．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 11．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦 P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 12．AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴且过原点的弦，M 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-. 13．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=，则被Po 所平分的中点弦的方程是 22 00002222x x y y x y a b a b +=+. 14．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+. 15．若PQ 是椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）上对中心直角的弦，则 122222 121111(||,||)r OP r OQ r r a b +=+==. 16．若椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）上中心直角的弦L 所在直线方程为1Ax By +=(0)AB ≠,

圆锥曲线经典性质总结材料及证明

圆锥曲线的经典结论 一、椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.（椭圆的光学性质） 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径 的圆，除去长轴的两个端点.（中位线） 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直 径的圆切.（第二定义） 4. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.（求 导） 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点 弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=.（结合4） 6. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=.（余弦定理+面积公式+ 半角公式） 7. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).（第二定义） 8. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF

9. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. MN 其实就在准线上，下面证明他在准线上 根据第8条，证毕 10. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-， 即0 20 2y a x b K AB -=。（点差法）

高中数学【椭圆与双曲线】知识点总结

高中数学【椭圆与双曲线】知识点总结 姓名： （一）椭圆 1.椭圆的定义 如果平面内一动点到两定点距离之和等于正的常数（大于两定点的距离），则动点的规迹是椭圆 即|PF1|+|PF2|=2a 其中P是动点，F1,F2是定点且|F1F2|=2C 当a>c时表示 当a=c时表示 当a

标准方程 x,y的范围 顶点焦点对称轴对称中心 长半轴的长短半轴的长焦距 离心率e= 范围e越大椭圆越e越小椭圆越 准线焦半径公式|PF1|= |PF2|= (F1，F2分别为椭圆的下上两焦点，P为椭圆上的一点) 4.椭圆系 （1）共焦点的椭圆系方程为 22 2 1 x y k k c += - (其中k>c2,c为半焦距) （2 ）具有相同离心率的标准椭圆系的方程 22 22 (0) x y a b λλ +=> (二) 双曲线 1.双曲线的定义 如果平面内一个动点到两定点距离之差的绝对值等于正的常数（小于两定点间的距离），那么动点的轨迹是双曲线 若一个动点到两定点距离之差等于一个常数，常数的绝对值小于两定点间的距离，那么动点的轨迹是双曲线的一支 F1，F2为两定点，P为一动点，(1)若||PF1|-|PF2||=2a ①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是 ②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是 ③2a=0则动点P的轨迹是 (2) 若|P F1|-|PF2|=2a ①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是 ②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是 ③2a=0则动点P的轨迹是 2.双曲线的标准方程

高考数学圆锥曲线的经典性质50条

For pers onal use only in study and research; not for commercial use 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8 . For pers onal use only in study and research; not for commercial use 椭圆与双曲线的对偶性质--(必背的经典结论) 椭圆 点P处的切线PT平分△ PF1F2在点P处的外角. PT平分△ PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 若 F0(X 若 P0(X0 2 x ,y0)在椭圆一亍 a 2 、x ,y0)在椭圆一2 a 2 2 2 2 y - b y - b =1上，则过P0的椭圆的切线方程是一0厂?辔=1. a b =1外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2,则切点弦 2 x 椭圆 一2 a 2 x 椭圆一 2 a 2 2 2 2 y b y - b =1 (a>b> 0)的左右焦点分别为F1, F2,点P为椭圆上任意一点一RPF2 - =1 ( a > b> 0)的焦半径公式： P1P2的直线方程是°2 - =1. a b 戈，则椭圆的焦点角形的面积为S A：1PF2 = b2 tan—

|MF i |=a ex o ,|MF 2p a-( Fj-c,0) , F 2(c,0) M (心 y °)). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M 、N 两点，贝U MF 丄NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点 P 、Q, A i 、A 2为椭圆长轴上的顶点， A i P 和A 2Q 交于点M , A 2P 和A i Q 交于点N ，则MF 丄NF. 2 2 2 2 -2 y ^ = 1内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是一2 y^ - ―02 - a b a b a b 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△ PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△ PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线 相交. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆 相切.(内切：P 在右支；外切：P 在左支) 2 2 5. 若F 0(x 0, y 0)在双曲线 令-占=1( a > 0,b > 0)上，则过F 0的双曲线的切线方程是 彎一呼 =1. a b a b 2 2 6. 若i =0(x 0, y 0)在双曲线—~2 ^2 -1(a >0,b >0)外，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦 P 1P 2的直线方程是■X 0，__y°y = 11. AB 是椭圆 即 K AB 2 2 a 2 b 2 b 2X 0 —2 。 a y ° =1的不平行于对称轴的弦， M (x 0, y 0)为AB 的中点，_则k OM k AB = b 2 ~2 ， a 12. F 0(X o ， y o )在椭圆 2 2 7占=1内，则被Po 所平分的中点弦的方程是翠晋色 止 a 2 b 2 13. F 0(x 0,y °)在椭圆

椭圆与双曲线的经典结论

椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论） 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直 径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切 点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-， 即020 2y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是 22 00002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是

(完整版)双曲线经典知识点总结

双曲线知识点总结班级姓名 知识点一：双曲线的定义在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0 且）的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距. 注意：1. 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； 4．若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； 5．若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。 知识点二：双曲线的标准方程 1．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中； 2．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中. 注意：1．只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到双曲线的标准方程； 2．在双曲线的两种标准方程中，都有； 3．双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.当的系数为正时，焦点在轴上， 双曲线的焦点坐标为，；当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为， . 知识点三：双曲线的简单几何性质 双曲线（a＞0，b＞0）的简单几何性质 （1）对称性：对于双曲线标准方程（a＞0，b＞0），把x换成― x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、―y，方程都不变，所以双曲线（a＞0，b ＞0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。 （2）范围：双曲线上所有的点都在两条平行直线x=―a和x=a的两侧，是无限延伸的。因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a或x≥a。（3）顶点：①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。 ②双曲线（a＞0，b＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A1（―a，0），A2（a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。 ③两个顶点间的线段A1A2叫作双曲线的实轴；设B1（0，―b），B2（0，b）为y轴上的两个点，则线段B1B2叫做双曲线的虚轴。实轴和虚轴的长度分别为|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长。 注意：①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆。 ②双曲线的焦点总在实轴上。③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。 （4）离心率：①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作。 ②因为c＞a＞0，所以双曲线的离心率。由c2=a2+b2，可得， 所以决定双曲线的开口大小，越大，e也越大，双曲线开口就越开阔。所以离心率可以用来表示 双曲线开口的大小程度。③等轴双曲线，所以离心率。 （5）渐近线：经过点A2、A1作y轴的平行线x=±a，经过点B1、B2作x轴的平行线y=±b，四条直线 围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是，我们把直线叫做双曲线的渐近线。 注意：双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交。 标准方程 图形 性质 焦点，， 焦距 范围，，

双曲线中常见结论

双曲线中常见结论： 1、离心率e=a c =21）（a b 2、焦半径 3、通径及通径长a b 2 2 4、焦点到准线的距离c b 2，中心到准线的距离c a 2

8、双曲线λ=-2222b y a x (λ≠0)和122 22=-b y a x 有相同的渐近线和相同的离心率。 9、P 为双曲线上一点，则21F PF ?的面积为S= θsin b 2 121212线的离心率为e= α ββαsin sin sin -+） （

例（湖南卷）已知双曲线22a x －22 b y ＝1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，右准线与一条渐近线 交于点A ，△OAF 的面积为2 2 a （O 为原点），则两条渐近线的夹角为 （D ） A ．30o B ．45o C ．60o D ．90o 例双曲线）（0122≠=-m n n y m x 的离心率为2，则n m 的值为（ ） A ．3 B ． 3 1 C ．3或 3 1 D ．以上都不对

椭圆的几何性质 一、教学目标 (一)知识教学点 通过椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，能正确地画出椭圆的图形，并了解椭圆的一些实际应用． (二)能力训练点 通过对椭圆的几何性质的教学，培养学生分析问题和解决实际问题的能力． (三)学科渗透点 使学生掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解，这样才能解决随之而来的一些问题，如弦、最值问题等． 二、教材分析 1．重点：椭圆的几何性质及初步运用． (解决办法：引导学生利用方程研究曲线的性质，最后进行归纳小结．) 2．难点：椭圆离心率的概念的理解． (解决办法：先介绍椭圆离心率的定义，再分析离心率的大小对椭圆形状的影响，最后通过椭圆的第二定义讲清离心率e的几何意义．) 3．疑点：椭圆的几何性质是椭圆自身所具有的性质，与坐标系选择无关，即不随坐标系的改变而改变． (解决办法：利用方程分析椭圆性质之前就先给学生说明．) 三、活动设计 提问、讲解、阅读后重点讲解、再讲解、演板、讲解后归纳、小结． 四、教学过程 (一)复习提问 1．椭圆的定义是什么？

双曲线知识点归纳总结.

第二章 2.3 双曲线 双曲线 标准方程（焦点在x 轴） )0,0(122 22>>=-b a b y a x 标准方程（焦点在y 轴） )0,0(122 22>>=-b a b x a y 定义 第一定义：平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值是常数（小于12F F ）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。 {}a MF MF M 22 1 =-()212F F a < 第二定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离的比是常数e ，当1e >时，动点的轨迹是双曲线。定点F 叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e （1e >）叫做双曲线的离心率。 范围 x a ≥，y R ∈ y a ≥，x R ∈ 对称轴 x 轴 ，y 轴；实轴长为2a ,虚轴长为2b 对称中 心 原点(0,0)O 焦点坐标 1(,0)F c - 2(,0)F c 1(0,)F c - 2(0,)F c 焦点在实轴上，22c a b =+；焦距：122F F c = 顶点坐标 （a -,0） (a ,0) (0, a -,) (0，a ) x y P 1 F 2 F x y P x y P 1F 2F x y x y P 1 F 2 F x y x y P 1F 2F x y P

离心率 e a c e (= >1) 准线方 程 c a x 2 ± = c a y 2 ± = 准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离：c a 2 2 顶点到准线的 距离 顶点1A （2A ）到准线1l （2l ）的距离为c a a 2 - 顶点1 A （2A ）到准线2l （1l ）的距离为a c a +2 焦点到准线的 距离 焦点1F （2F ）到准线1l （2l ）的距离为c a c 2 - 焦点1F （2F ）到准线2l （1l ）的距离为c c a +2 渐近线 方程 x a b y ±= x b a y ±= 共渐近 线的双曲线系 方程 k b y a x =-2222（0k ≠） k b x a y =-22 2 2（0k ≠） 1. 双曲线的定义 ① 当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，则表示点M 在双曲线右支上； 当a MF MF 212=-时，则表示点M 在双曲线左支上； ② 注意定义中的“（小于12F F ）”这一限制条件，其根据是“三角形两边之和之差小于第三边”。 若2a =2c 时，即2 12 1F F MF MF =-,当2121F F MF MF =-，动点轨迹是以2F 为端点向 右延伸的一条射线；当2112F F MF MF =-时，动点轨迹是以1F 为端点向左延伸的一条射线； 若2a ＞2c 时，动点轨迹不存在. 2. 双曲线的标准方程判别方法是： 如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上； 如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上. 对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. 3. 双曲线的内外部 (1)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ?->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b ?-<.

圆锥曲线经典性质总结及证明!!!

Gandongle 椭圆双曲线的经典结论 一、椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.（椭圆的光学性质） 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径 的圆，除去长轴的两个端点.（中位线） 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直 径的圆内切.（第二定义） 4. 若000(,)P x y 在椭圆22 22 1x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.（求导） 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点 弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=.（结合4） 6. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=.（余弦定理+面积公式+ 半角公式） 7. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).（第二定义） 8. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF

双曲线方程圆锥方程与椭圆方程基本知识点

数学概念、方法、题型、易误点技巧总结——圆锥曲线（一） 省市安乡县第五中学龚光勇收集整理 1.圆锥曲线的两个定义： （1）第一定义中要重视“括号”的限制条件：椭圆中，与两个定点F，F的距离的和等于常数，且此常数一定要大于，当常数等于时，轨迹是线段FF，当常数小于时，无轨迹；双曲线中，与两定点F，F的距离的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小于|FF|，定义中的“绝对值”与＜|FF|不可忽视。若＝|FF|，则轨迹是以F，F为端点的两条射线，若﹥|FF|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。比如： ①已知定点，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是 A．B． C．D．（答：C）； ②方程表示的曲线是_____（答：双曲线的左支） （2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。 如已知点及抛物线上一动点P（x,y）,则y+|PQ|的最小值是_____（答：2） 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在轴上时（）（参数方程，其中为参数），焦点在轴上时＝1（）。方程表示椭圆的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B）。比如： ①已知方程表示椭圆，则的取值围为____（答：）； ②若，且，则的最大值是____，的最小值是___（答：） （2）双曲线：焦点在轴上： =1，焦点在轴上：＝1（）。方程表示双曲线的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B异号）。比如： ①双曲线的离心率等于，且与椭圆有公共焦点，则该双曲线的方程_______（答：）； ②设中心在坐标原点，焦点、在坐标轴上，离心率的双曲线C过点，则C的方程为_______

对偶性质

对偶理论的性质及证明 性质1(对称性) 对偶问题的对偶问题是原问题 证明 设原问题为 max z ..0CX AX b s t X =≤??≥? (1) 对偶问题为 min ..0w Yb YA C s t X =≥??≥? (2) 对偶问题的对偶问题为 max ..0CU AU b s t U ?=≤??≥? (3) 比较式(1)和式(3), 显然二者是等价的, 命题得证. 性质2(弱对偶性) 设原问题为式(1),对偶问题为式(2),X 是原问题的任意一个可 行解,Y 是对偶问题的任意一个可行解,那么总有 CX Yb ≤ (4) 证明 根据式(1), 由于AX b ≤, 又由于0Y ≥, 从而必有 YAX Yb ≤ (5) 根据式(2), 由于YA c ≥, 又由于0X ≥, 从而必有 YAX CX ≥ (6) 结合式(5)和式(6), 立即可得CX Yb ≤,命题得证. 性质3(最优性) 设*X 原问题式(1)的可行解,*Y 是对偶问题式(2)的可行解,当是 **CX Y b =时,*X 是原问题式(1)的最优解,*Y 是对偶问题式(2)的最优解. 证明 设X 是式(1)的最优解, 那么有 *CX CX ≥ (7) 由于**CX Y b =,那么 *CX Y b ≥ (8) 根据弱对偶性质, 又有 *CX Y b ≤ (9)

从而*CX CX =, 也就是*X 是原问题式(1)的最优解。 同理，也可证明*Y 是对偶问题式(2)的最优解。 性质4(无界性) 设原问题为无界解，则对偶问题无解。 证明 用反证法证明。 设原问题为式(1)，对偶问题为式(2)。 假定对偶问题有解，那么存在一个可行解为Y 。这时对偶问题的目标函数值为Yb T =。 由于原问题为无界解，那么一定存在一个可行解X 满足CX T >，因此CX Yb >。 而根据弱对偶性，又有CX Yb ≤，发生矛盾。从而对偶问题没有可行解。 性质5(强对偶性、对偶性定理) 若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解，且最优目标函数值相等。（复习矩阵算法） 证明 设B 为原问题式(1)的最优基，那么当基（1）实地访谈。选择不同地区、不同行业、不同发展规模、不同历史、不同风 格的企业高层管理人员或技术部门负责人，进行半结构化的访谈，进一步收集信息 并完善研究思路。 （2）协同学方法。运用协同学方法对装备制造业突破性创新系统的演进进行仿 真研究，通过对系统演化的轨迹及过程进行分析，从产业生命周期的四阶段提出装 备制造业突破性创新机制系统根据生命周期发展过程的不同策略。 （3）结构方程模型。通过规范的问卷调查程序和数据处理方法，建立起合乎研 究要求的数据库，再通过对获得的数据采用结构方程模型(SEM)等统计分析方法， 以验证提出的概念模型与假设是否成立。为B 时的检验数为1B C C B A --，其中B C 为由基变量的价值系数组成的价值向量。 既然B 为原问题式(1)的最优基，那么有10B C C B A --≤。 令1B Y C B -=，那么有0C YA YA C -≤?≥，从而1B Y C B -=是对偶问题式(2)的可行解。 这样一来，1B Y C B -=是对偶问题的可行解，1B X B b -=是原问题的最优基可行解。 由于1B B N N B CX C X C X C B b -=+=，而1B Y b C B b -=，从而有CX Yb =。根据性质3，命 题得证。 性质6(对偶松弛定理、松弛性) 若??, X Y 分别是原问题和对偶问题的可行解，那么?0s YX =和?0s Y X =，当且仅当??, X Y 为最优解。 证明 设原问题和对偶问题的标准型是 原问题 对偶问题

椭圆与双曲线的必背的经典结论

椭圆与双曲线的必背的经典结论 案场各岗位服务流程 销售大厅服务岗： 1、销售大厅服务岗岗位职责： 1)为来访客户提供全程的休息区域及饮品; 2)保持销售区域台面整洁; 3)及时补足销售大厅物资,如糖果或杂志等; 4)收集客户意见、建议及现场问题点； 2、销售大厅服务岗工作及服务流程 阶段工作及服务流程 班前阶段1）自检仪容仪表以饱满的精神面貌进入工作区域 2）检查使用工具及销售大厅物资情况，异常情况及时登记并报告上级。 班中工作程序服务 流程 行为 规范 迎接 指引 递阅 资料 上饮品 （糕点） 添加茶水工作1）眼神关注客人，当客人距3米距离侯客迎询问客户送客户

注意事项 15度鞠躬微笑问候：“您好！欢迎光临！”2）在客人前方1-2米距离领位，指引请客人向休息区，在客人入座后问客人对座位是否满意：“您好！请问坐这儿可以吗？”得到同意后为客人拉椅入座“好的，请入座！” 3）若客人无置业顾问陪同，可询问：请问您有专属的置业顾问吗？，为客人取阅项目资料，并礼貌的告知请客人稍等，置业顾问会很快过来介绍，同时请置业顾问关注该客人； 4）问候的起始语应为“先生-小姐-女士早上好，这里是XX销售中心，这边请”5）问候时间段为8:30-11:30 早上好11:30-14:30 中午好 14:30-18:00下午好 6）关注客人物品，如物品较多，则主动询问是否需要帮助（如拾到物品须两名人员在场方能打开，提示客人注意贵重物品）； 7）在满座位的情况下，须先向客人致

待； 阶段工作及服务流程 班中工作程序工作 要求 注意 事项 饮料（糕点服务） 1）在所有饮料（糕点）服务中必须使用 托盘； 2）所有饮料服务均已“对不起，打扰一 下，请问您需要什么饮品”为起始； 3）服务方向：从客人的右面服务； 4）当客人的饮料杯中只剩三分之一时， 必须询问客人是否需要再添一杯，在二 次服务中特别注意瓶口绝对不可以与 客人使用的杯子接触； 5）在客人再次需要饮料时必须更换杯 子； 下班程 序1）检查使用的工具及销售案场物资情况，异常情况及时记录并报告上级领导； 2）填写物资领用申请表并整理客户意见；3）参加班后总结会； 4）积极配合销售人员的接待工作，如果下班

圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)知识点总结

双曲线知识点 一、 双曲线的定义： 1. 第一定义： 到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点． 要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a ＜|F 1F 2|. 当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支； 当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线； 当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在. 2. 第二定义： 动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线 二、 双曲线的标准方程：

122 22=-b y a x （a ＞0，b ＞0）(焦点在x 轴上)； 122 22=-b x a y （a ＞0，b ＞0）(焦点在y 轴上)； 1. 如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上. a 不一定大于b. 2. 与双曲线12222=-b y a x 共焦点的双曲线系方程是122 2 2=--+k b y k a x 3. 双曲线方程也可设为：22 1(0)x y mn m n - => 例题：已知双曲线C 和椭圆22 1169 x y +=有相同的焦点，且过(3,4)P 点，求双曲线C 的 轨迹方程。 三、 点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系： 1 点与双曲线： 点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ?-> 点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b ?-< 点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>上22 0022-=1x y a b ? 2 直线与双曲线： （代数法） 设直线:l y kx m =+，双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 联立解得 02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b 1) 0m =时，b b k a a -<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； b k a ≥，b k a ≤-，或k 不存在时直线与双曲线没有交点； 2) 0m ≠时， k 存在时， 若0222=-k a b a b k ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若2220b a k -≠，222222222(2)4()()a mk b a k a m a b ?=----- 222222 4()a b m b a k =+-

江苏高考数学圆锥曲线性质总结

高考数学圆锥曲线性质总结 椭圆与双曲线的对偶性质 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为 122tan 2 F PF S b γ ?=.

8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线 于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ， 则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则2 2OM AB b k k a ?=-， 即020 2y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+. 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的角.