第3讲 数列不等式的证明问题(选用)
高考定位 1.数列中不等式的证明是浙江高考数学试题的压轴题；2.主要考查数学归纳法、放缩法、反证法等数列不等式的证明方法，以及不等式的性质；3.重点考查学生逻辑推理能力和创新意识.
真 题 感 悟
(2017·浙江卷)已知数列{x n }满足：x 1＝1，x n ＝x n ＋1＋ln(1＋x n ＋1)(n ∈N *
). 证明：当n ∈N *
时， (1)0＜x n ＋1＜x n ； (2)2x n ＋1－x n ≤
x n x n ＋1
2
；
(3)12≤x n ≤12
. 证明 (1)用数学归纳法证明：x n ＞0. 当n ＝1时，x 1＝1＞0.
假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *
)时，x k ＞0，
那么n ＝k ＋1时，若x k ＋1≤0，则0＜x k ＝x k ＋1＋ln(1＋x k ＋1)≤0，矛盾，故x k ＋1＞0， 因此x n ＞0(n ∈N *
).
所以x n ＝x n ＋1＋ln(1＋x n ＋1)＞x n ＋1， 因此0＜x n ＋1＜x n (x ∈N *
). (2)由x n ＝x n ＋1＋ln(1＋x n ＋1)得，
x n x n ＋1－4x n ＋1＋2x n ＝x 2n ＋1－2x n ＋1＋(x n ＋1＋2)ln(1＋x n ＋1).
记函数f (x )＝x 2
－2x ＋(x ＋2)ln(1＋x )(x ≥0). f ′(x )＝2x 2
＋x x ＋1
＋ln ()1＋x ＞0(x ＞0)，
函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，所以f (x )≥f (0)＝0， 因此x 2
n ＋1－2x n ＋1＋(x n ＋1＋2)ln(1＋x n ＋1)＝f (x n ＋1)≥0， 故2x n ＋1－x n ≤
x n x n ＋1
2
(n ∈N *
).
(3)因为x n ＝x n ＋1＋ln(1＋x n ＋1)≤x n ＋1＋x n ＋1＝2x n ＋1， 所以x n ≥12x n －1≥122x n －2≥…≥12n －1x 1＝1
2
n －1.
故x n ≥1
2n －1.
由
x n x n ＋1
2
≥2x n ＋1－x n 得
1
x n ＋1－12≥2? ????
1x n －12＞0， 所以1x n －12≥2? ????
1x n －1－12≥…≥2n －1? ????1x 1－12＝2n －2， 故x n ≤1
2
n －2.
综上，12n －1≤x n ≤12
n －2(n ∈N *
).
考 点 整 合
1.数学归纳法
证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *
)时命题成立；
(2)(归纳递推)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *
)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立. 2.反证法
一般地，由证明p q 转向证明：綈q r … t ，t 与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定綈q 为假，推出q 为真的方法，叫做反证法. 3.放缩法
放缩法是利用不等式的传递性，证明不等式的方法，要证A
热点一 数学归纳法证明数列不等式
【例1】 (2017·金丽衢联考)设数列{a n }满足：a 1＝a ，a n ＋1＝2a n a 2
n ＋1
(a >0且a ≠1，n ∈N *
). (1)证明：当n ≥2时，a n (2)若b ∈(a 2，1)，求证：当整数k ≥（b －a 2）（b ＋1）a 2（1－b ）＋1时，a k ＋1>b . 证明 (1)由a n ＋1＝ 2a n a 2n ＋1 知，a n 与a 1的符号相同， 而a 1＝a >0，所以a n >0， 所以a n ＋1＝ 2a n ＋ 1 a n ≤1，当且仅当a n ＝1时，a n ＋1＝1， 下面用数学归纳法证明： ①因为a >0且a ≠1，所以a 2<1， a 3a 2＝2a 22＋1 >1，即有a 2 )时，有a k 2a k ＋1 a 2k ＋1＋1 ＝ 2a k ＋1＋ 1a k ＋1 <1， 且 a k ＋2a k ＋1＝2 a 2k ＋1＋1 >1，即a k ＋1 (2)若a k ≥b ，则由(1)知当k ≥2时，1>a k ＋1>a k ≥b ； 若a k ≥1＋nx ， 而a 2 k ＋1 ＋1 a k ＋1 a k ＝a 2·2k －1 （1＋a 22）（1＋a 23）…（1＋a 2 k ）>a 2? ?? ??21＋b 2k －1> a 2? ?? ??21＋b k －1 ＝a 2? ?? ??1＋1－b 1＋b k －1 ≥a 2???? ? ?1＋1－b 1＋b （k －1）. 因为k ≥（b －a 2）（b ＋1） a 2（1－ b ）＋1， 所以1－b 1＋b (k －1)＋1≥b －a 2a 2＋1＝b a 2， 所以 a k ＋1>b . 探究提高 数学归纳法是解决和正整数有关命题的证明方法，可以借助递推公式，证明由特殊到一般的结论成立问题.因此，可以在数列不等式的证明中大显身手.在本例中，(1)首先根据条件等式的结构特征推出a n >0，然后用数学归纳法证明即可；(2)首先由(1)知当k ≥2时，1>a k ＋1>a k ≥b ，然后利用数列的递推公式证明即可. 热点二 反证法证明数列不等式 【例2】 (2018·温州调考)已知数列{a n }满足：a n >0，a n ＋1＋1a n <2(n ∈N * ). (1)求证：a n ＋2 )； (2)求证：a n >1(n ∈N * ). 证明 (1)由a n >0，a n ＋1＋1 a n <2， 得a n ＋1<2－1 a n <2. 因为2>a n ＋2＋ 1 a n ＋1 >2 a n ＋2 a n ＋1 (由题知a n ＋1≠a n ＋2)， 所以a n ＋2 (2)法一 假设存在a N ≤1(N ≥1，N ∈N * )， 由(1)可得当n >N 时，a n ≤a N ＋1<1. 根据a n ＋1－1<1－1a n ＝a n －1 a n <0，而a n <1， 所以1a n ＋1－1>a n a n －1＝1＋1 a n －1， 于是 1a N ＋2－1>1＋1 a N ＋1－1 ， …… 1a N ＋n －1>1＋1a N ＋n －1－1. 累加可得 1a N ＋n －1>n －1＋1 a N ＋1－1 .(*) 由假设可得a N ＋n －1<0， 而当n >－1a N ＋1－1＋1时，显然有n －1＋1 a N ＋1－1 >0， 因此有 1a N ＋n －1 a N ＋1－1 ， 这显然与(*)矛盾. 所以a n >1(n ∈N * ). 法二 假设存在a N ≤1(N ≥1，N ∈N * )， 由(1)可得当n >N 时，0 <0，而a n <1， 所以11－a n ＋1 所以1－a n ＋11－a n >1a n ≥1a N ＋1 >1. 于是1－a n >(1－a n －1)? ?? ??1a N ＋1， 1－a n －1>(1－a n －2)? ????1a N ＋1， …… 1－a N ＋2>(1－a N ＋1)? ?? ??1a N ＋1. 累乘可得1－a n >(1－a N ＋1)? ?? ??1a N ＋1n －N －1 ，(*) 由(1)可得1－a n <1， 而当n >log 1a N ＋1? ? ? ??11－a N ＋1＋N ＋1时， 则有(1－a N ＋1)? ?? ??1a N ＋1n －N －1 >1， 这显然与(*)矛盾. 所以a n >1(n ∈N * ). 探究提高 数列不等式需要对数列的范围及变化趋势进行探究，而条件又少，因此，反证法就成为解决这类问题的利器.在本例中，(1)首先根据已知不等式由a n ＋1＜2－1 a n <2证明不等 式的右边，再根据已知不等式利用基本不等式，可证明不等式的左边；(2)考虑反证法，即假设存在a N ≤1，利用条件和(1)，并结合放缩法逐步推出矛盾.进而证明不等式成立. 热点三 放缩法证明数列不等式 [考法1] 放缩为等比数列 【例3－1】 (2018·宁波调研)已知数列{a n }满足a 1＝25，a n ＋1＝2a n 3－a n ，n ∈N * . (1)求a 2； (2)求???? ?? 1a n 的通项公式； (3)设{a n }的前n 项的和为S n ，求证：65? ????1－? ????23n ≤S n <21 13. (1)解 由条件可知a 2＝2a 13－a 1＝4 13. (2)解 由a n ＋1＝2a n 3－a n 得1a n ＋1＝32·1a n －1 2， 即 1 a n ＋1－1＝32? ????1a n －1， 所以???? ?? 1a n －1是等比数列， 又1 a 1－1＝32，则1a n －1＝32×? ????32n －1＝? ????32n ， 所以1 a n ＝? ?? ??32n ＋1. (3)证明 由(2)可得 a n ＝1 ? ????32n ＋1≥1 ? ????32n ＋? ?? ?? 32n －1＝25? ????23n －1 . 所以S n ≥25＋25·? ????231＋…＋25·? ????23n －1 ＝65? ?? ?? 1－? ????23n ， 故S n ≥65? ?? ?? 1－? ????23n 成立. 另一方面a n ＝1 ? ????32n ＋1<1 ? ?? ??32n ＝? ????23n ， 所以S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n <25＋413＋? ????233＋? ????234＋…＋? ????23n ＝4665＋89－89·? ????23n －2<4665＋89<2113，n ≥3， 又S 1＝25<2113，S 2＝4665<2113，因此S n <2113. 所以65? ????1－? ????23n ≤S n <21 13. [考法2] 放缩为裂项求和 【例3－2】 (2018·金华联考)已知数列{a n }中，a 1＝3，2a n ＋1＝a 2 n －2a n ＋4. (1)证明：a n ＋1>a n ； (2)证明：a n ≥2＋? ?? ? ?32n －1 ； (3)设数列???? ??1a n 的前n 项和为S n ，求证：1－? ????23n ≤S n <1. 证明 (1)∵2a n ＋1－2a n ＝a 2n －4a n ＋4＝(a n －2)2 ≥0， ∴a n ＋1≥a n ≥3，∴(a n －2)2 >0， ∴a n ＋1>a n . (2)∵2a n ＋1－4＝a 2 n －2a n ＝a n (a n －2)， ∴ a n ＋1－2a n －2＝a n 2≥3 2 ， ∴a n －2≥32(a n －1－2)≥? ????322(a n －2－2)≥…≥? ????32n －1(a 1－2)＝? ?? ??32n －1， ∴a n ≥2＋? ?? ??32n －1 . (3)∵2(a n ＋1－2)＝a n (a n －2)， ∴1 2（a n ＋1－2）＝1a n （a n －2）＝12? ????1 a n －2－1a n ， ∴ 1a n ＋1－2＝1a n －2－1a n ，∴1a n ＝1a n －2－1 a n ＋1－2 ， ∴S n ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝1a 1－2－1a 2－2＋1a 2－2－1a 3－2＋…＋1a n －2－1a n ＋1－2 ＝ 1a 1－2－1 a n ＋1－2 ＝1－ 1 a n ＋1－2 . ∵a n ＋1－2≥? ????32n ，∴0<1a n ＋1－2≤? ????23n ， ∴1－? ?? ??23n ≤S n ＝1－1a n ＋1－2<1. 探究提高 数列中不等式的证明本身就是放缩的结果，在证明过程中，要善于观察数列通项的特点，结合不等式的结构合理地选择放大与缩小，常见的两种放缩方式是：①放缩成等比数列求和形式；②放缩成裂项求和形式. 数列、不等式是高中数学的重点内容之一，也是初等数学与高等数学的衔接点之一.命题方式灵活，对学生的数学思维要求较高，具有良好的高考选拔功能.数列中不等式的证明，是浙江省高考数学试题的特色，解决问题方法独特，需要综合运用分析法、放缩法、反证法、数学归纳法、以及构造函数借助导数的工具、不等式的性质等解决问题. 1.(2016·浙江卷)设数列{a n }满足|a n －a n ＋1 2 |≤1，n ∈N * . (1)证明：|a n |≥2 n －1 (|a 1|－2)，n ∈N * ； (2)若|a n |≤? ?? ??32n ，n ∈N *，证明：|a n |≤2，n ∈N * . 证明 (1)由? ??? ?? a n － a n ＋12≤1得|a n |－1 2|a n ＋1|≤1， 故|a n |2n －|a n ＋1|2n ＋1≤12n ，n ∈N * ， 所以|a 1|21－|a n |2n ＝? ????|a 1|21－|a 2|22＋? ????|a 2|22－|a 3|23＋…＋? ????|a n －1|2 n －1－|a n |2n ≤121＋122＋…＋12n －1＝1－12 n －1 ＜1， 因此|a n |≥2n －1 (|a 1|－2). (2)任取n ∈N * ，由(1)知，对于任意m ＞n ， |a n |2n －|a m |2m ＝? ????|a n |2n －|a n ＋1|2n ＋1＋? ????|a n ＋1|2n ＋1－|a n ＋2|2n ＋2＋…＋? ????|a m －1|2m －1－|a m |2m ≤12n ＋12n ＋1＋…＋12m －1＝12n －1? ? ???1－12m －n ＜ 12 n －1 ， 故|a n |＜? ????12n －1＋|a m |2m ·2n ≤??????12 n －1＋12m ·? ????32m ·2n ＝2＋? ????34m ·2n . 从而对于任意m ＞n ，均有|a n |＜2＋? ?? ??34m ·2n .① 由m 的任意性得|a n |≤2. 否则，存在n 0∈N * ， 与①式矛盾.综上，对于任意n ∈N * ，均有|a n |≤2. 2.(2018·学军中学月考)已知数列{a n }满足，a 1＝1，a n ＝1 a n ＋1－12. (1)求证：2 3 ≤a n ≤1； (2)求证：|a n ＋1－a n |≤1 3； (3)求证：|a 2n －a n |≤10 27. 证明 (1)用数学归纳法证明. ①当n ＝1时，命题显然成立； ②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N * )时，有23≤a k ≤1成立， 则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝ 1 a k ＋12≤123＋ 12<1， a k ＋1＝1a k ＋12 ≥11＋ 12 ＝2 3，即当n ＝k ＋1时也成立， 所以对任意n ∈N * ，都有23≤a n ≤1. (2)当n ＝1时，|a 2－a 1|＝1 3 ， 当n ≥2时，∵? ????a n ＋12? ????a n －1＋12＝? ????a n ＋12·1a n ＝1＋12a n ≥1＋12＝32， ∴|a n ＋1－a n |＝? ?? ??? ??1a n ＋12－1a n －1＋12 ＝ |a n －a n －1|? ????a n ＋12? ????a n －1＋12 ≤23|a n －a n －1|≤…≤? ????23n －1|a 2－a 1| ＝13·? ????23n －1<13. 综上所述，|a n ＋1－a n |≤13 . (3)当n ＝1时，|a 2－a 1|＝13＝927<10 27； 当n ≥2时，由(2)知 |a 2n －a n |≤|a 2n －a 2n － 1 |＋|a 2n －1 －a 2n －2 |＋…＋|a n ＋1 －a n |≤ 13 ???? ??? ????232n －2＋? ????232n －3＋…＋? ??? ?23n －1 ＝? ?? ??23n －1 －? ?? ??232n －1≤23－? ????233＝10 27 . 综上所述，|a 2n －a n |≤10 27 . 3.(2018·浙东北大联盟考试)已知数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝a n －a 2 n n （n ＋1），数列?? ?? ??a n ＋1a n 的前n 项和为S n .证明：当n ∈N * 时， (1)0 3n －1； (3)S n >n －1 2 . 证明 (1)由于a n ＋1－a n ＝－a 2n n （n ＋1） ≤0， 则a n ＋1≤a n . 若a n ＋1＝a n ，则a n ＝0，与a 1＝1 2矛盾， 故a n ≠0，从而a n ＋1 a 1＝12 >a 2>a 3>…>a n . 又 a n ＋1a n ＝1－a n n （n ＋1）≥1－1 2n （n ＋1） >0， 则a n ＋1与a n 同号. 又a 1＝1 2>0，则a n ＋1>0，故0 (2)由于0 则a n ＋1＝a n －a 2n n （n ＋1） ， 即1a n －1 a n ＋1 <－ 1n （n ＋1）＝1n ＋1－1 n ， 1 a n ＋1－1a n >1n －1n ＋1