欢迎阅读●高考明方向
掌握正弦定理、余弦定理，
并能解决一些简单的三角形度量问题．
★备考知考情
1.利用正、余弦定理求三角形中的边、角问题是高考
考查的热点．
2.常与三角恒等变换、平面向量相结合出现在解答题
中，综合考查三角形中的边角关系、三角形形状的
判断等问题．
《名师一号》P63问题探究问题3
判断三角形形状有什么办法？
判断三角形形状的两种途径：
一是化边为角；
二是化角为边，
并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．知识点三三角形中常见的结论
△ABC的面积公式有：
①S＝1
2a·h(h表示a边上的高)；
②S＝1
2ab sin C＝
1
2ac sin B＝
1
2bc sin A＝
abc
4R；
--知两边（或两边的积）及其夹角可求面积
③S＝1
2r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．
(补充)
（
（
（
（
（
(
《
（
4
正弦定理可解决两类问题：
(1)已知两角及任一边，求其它边或角；
(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．
情况(2)中结果可能有一解、二解、无解，
应注意区分．
余弦定理可解决两类问题：
(1)已知两边及夹角或两边及一边对角的问题；
(2)已知三边问题．
(补充)已知两边和其中一边的对角（如,,
a b A）
用正弦定理或余弦定理均可
《名师一号》P63问题探究问题2
选用正、余弦定理的原则是什么？
若式子中含有角的余弦或边的二次式， 要考虑用余弦定理；
若遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时， 则考虑用正弦定理；
以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． 补充:
一、正弦定理推导必修5 证明思路：
转化到特殊情形----直角三角形中 二、余弦定理推导必修5
2011
18. 2b 2c 证明：()(
)
A C A
B A
C A B
-?- 即2
a b =同理可证
cos B ， 则(C b ∴2
|a =
即 2a =同理可证 例1．（1对点自测1
75°，a ＝10，则c 等于( A ．6
D ．5 6
解析 由A ＋B ＋C ＝180°，知C ＝45°，
由正弦定理得：a sin A ＝c
sin C
.
即1032＝c 2
2
. ∴c ＝106
3.
注意：
已知两角及任一边，求其它边或角 ----正弦定理,解唯一 例1．（2）《名师一号》P62 对点自测2
在△ABC 中，若a ＝3，b ＝3，A ＝π
3
，
则C 的大小为________．
解析 由正弦定理可知
sin B ＝b sin A
a ＝3sin
π33＝12
，
所以B ＝π6或5π
6
(舍去)，
(因为a >b 即A ＝π3> B 所以B ＝π
6
)
所以C ＝π－A －B ＝π－π3－π6＝π
2
.
一解!
变式1:
则C 答案:无解! 变式2: 在?解?答案： 或两解!
变式3:注意：
可用 练习:(（2009x f )(（I ）求?的值；
（Ⅱ）在ABC ?中，c b a ,,分别是角A ，B ，C 的对边，已知,2
3
)(,2,1===A f b a 求角C 。 【解析】
（Ⅰ）f(x)＝2sinx
1cos cos sin sin 2
x x ?
?++- ＝sin(x+?).
因为 f(x)在x ＝π时取最小值， 所以 sin(π+?)=-1,故 sin ?=1.
又 0＜?＜π，所以?＝2π， （Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=sin(x+2
π
)=cosx.
因为f(A)=cosA=2
,且A 为△ABC 的角， 所以A ＝
6
π.
由正弦定理得 sinB ＝
sin b A a
, 又b ＞a ，
例2 的?(1)在(2) ((ⅱ)A 为锐角时，解的情况如下：
③运用余弦定理转化为关于一元二次方程 正根个数问题 练习:
已知ABC ?中，若22,2==b a ， 且三角形有两解，求角A 的取值范围。 答案：由条件知b sin A ∴sin A <2 2 ， ∵a ∴A 为锐角，∴0 4 . 例3．（1）《名师一号》P62 对点自测3 在△ABC 中，a ＝3，b ＝1，c ＝2，则A 等于( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．75° 解析 由余弦定理得： cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1＋4－32×1×2＝12 ， ∵0＜A ＜π，∴A ＝60°. 注意： 已知三边，求其它边或角 ---例3．（2) A ．解:即12＝∴ B 当＝1 当＝1 ------例4．（1）《名师一号》P63 高频考点 例1(1) (2014·江西卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若3a ＝2b ，则 2sin 2B －sin 2A sin 2A 的值为( ) A ．－19 B.13 C ．1 D.72 解:∵3a ＝2b ， ∴由正弦定理得a b ＝sin A sin B ＝2 3 . ∴sin 2A sin 2B ＝49 ， ∴2sin2B－sin2A sin2A＝2× sin2B sin2A－1 ＝2×9 4－1＝ 9 2－1＝ 7 2. 例4．（2）《名师一号》P62 对点自测 已知△ABC三边满足a2＋b2＝c2－3ab，则此三角形的最大内角为__________．解析∵a2＋b2－c2＝－3ab， ∴cos C＝a2＋b2－c2 2ab＝－ 3 2， 故C＝150°为三角形的最大内角． （1） （2） 练习: sin C＝23sin 解: --- 例1 BC＝ 所以S＝1 2bc sin A＝ 1 2×4×2×sin60°＝2 3. 故答案为2 3. 注意： 知道两边和其中一边的对角（如，， a b A）解三角形可用正弦定理先求出角B也可用余弦定理先求出边c再求解。两种方法均须注意解的个数！ 本例用余弦求边更快捷. 例1．（2）《名师一号》P63 高频考点例3 (2014·浙江卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a≠b，c＝3，cos2A－cos2B ＝3sin A cos A－3sin B cos B. (1)求角C的大小； (2)若sin A ＝4 5 ，求△ABC 的面积． 解:(1)由题意得1＋cos2A 2－1＋cos2B 2 ＝32sin2A －3 2sin2B ， 即32sin2A －12cos2A ＝32sin2B －1 2 cos2B ， sin ? ????2A －π6＝sin ? ? ? ??2B －π6. 由a ≠b ，得A ≠B ，又A ＋B ∈(0，π)． 得2 即(2)由a 故＝(1)(2)例1C . (1)(2)解2a 2由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 故cos A ＝－1 2 ，∵0 (2)由(1)得 sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ＝3 4 . 又sin B ＋sin C ＝1，解得sin B ＝sin C ＝1 2 . ∵0° ∴△ABC 是等腰钝角三角形． 法二：因为A ＝120°，且A +B ＋C=180° 所以sin B ＋sin C ＝1即sin （60°-C ）＋sin C ＝1 可求得C=30° 例1．(2)(补充) 根据所给条件，判断△ABC 的形状． 1)若a cos A ＝b cos B ，则△ABC 形状为________． 2)若a cos A ＝b cos B ＝c cos C ，则△ABC 形状为________． 解析：(1) 解法一: 由正弦定理得 sinA cos A ＝sinB cos B 即sin2A ＝sin2B 22A B ∴= 或 22A B π=- ∴ 解法二: a ?a 2∴(∴a ∴a (2)即∵A 注意：(1)关于(2)关于 (1)从而判断三角形的形状． (2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论． 《加加练》P9 第6题 已知ABC ?中， 则ABC ?为（ ） A.等边三角形 B.等腰直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 答案：B 《计时双基练》P252 第2题 （四）三角形的综合问题 例1．(补充) 在△ABC 中，sin(C-A)=1,sinB=3 1 . (Ⅰ)求sinA 的值； (Ⅱ)设AC= 6 ，求△ABC 的面积. 解：（Ⅰ）由2C A π-=，且C A B π+=-，∴42 B A π=- ， ∴sin sin()sin )42222 B B B A π=-=-， ∴211 sin (1sin )23 A B =-=，又 sin 0A >，∴sin 3A = ∴BC = 又sin C ∴ABC S ?注意: 例2．(分别为求a +由2 b 28=a c ∴+≤当且仅当a c =时等号成立 又三角形两边之和大于第三边 注：这是一道好题，刚好都能运用 “正余弦定理求解最值问题”的两种主要方法解决。 小结： 借助正弦定理，转化为角的正弦值， 利用三角函数最值求解 借助余弦定理，转化为边的关系， 利用均值不等式求解 余弦定理 注意两数和（差）与这两数的平方和、两数的积 的关系的运用 练习: 《加加练》P11 第11题 已知△ABC 中，外接圆半径是1，且满足 ()()222sin sin sin sin A C A B b -=-， 则△ABC 面积的最大值为 答案： 4 《计时双基练》P251 第6题 (补充)已知向量(sin ,1)A m =-，()2,cos()n B C =+， 2 c +的取值范围 ∴3A π= 讲评： 1、《计时双基练》 P252 基础11---多个三角形问题 (2014·湖南卷)如图，在平面四边形ABCD 中，AD ＝1，CD ＝2，AC ＝7. (1)求cos ∠CAD 的值； (2)若cos ∠BAD ＝－7 14， sin ∠CBA ＝21 6，求BC 的长． 解 (1)由余弦定理可得 cos ∠CAD ＝AD 2＋AC 2－DC 22AD ·AC ＝1＋7－42×1×7 ＝27 7， ∴cos ∠CAD ＝27 7. (2)∵∠BAD 为四边形内角， ∴sin ∠BAD >0且sin ∠CAD >0， 则由正余弦的关系可得 sin ∠BAD ＝1－cos 2 ∠BAD ＝32114， 且sin ∠CAD ＝1－cos 2∠CAD ＝21 7， 由正弦的和差角公式可得 sin ∠BAC ＝sin(∠BAD －∠CAD ) 2、1、f （I 求角C 。 【解析】 （Ⅰ）f(x)＝2sinx 1cos cos sin sin 2 x x ? ?++- ＝sin(x+?). 因为 f(x)在x ＝π时取最小值， 所以 sin(π+?)=-1,故 sin ?=1. 又 0＜?＜π，所以?＝2 π ， （Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=sin(x+ 2 π )=cosx. 因为f(A)=cosA=2 ,且A 为△ABC 的角， 所以A ＝ 6 π. 由正弦定理得 sinB ＝ sin b A a , 又b ＞a ， 当4π=B 时，,12746πππππ=--=--=B A C 2、 3 4AB [解析] 如图，连结AC ，设∠BAC ＝α，则AC ·cos α＝4， AC ·cos(60°－α)＝5， 两式相除得，cos?60°－α?cos α＝5 4， 展开解得，tan α＝3 2 ∵α为锐角，∴cos α＝2 7 ∴AC ＝4 cos α ＝27 解法二：（补充）△ABD 中，由余弦定理得BD = 由∠B ＝∠D ＝90°知AC 为△ABD 的外接圆直径 由正弦定理得sin sin 620BD AC R A ? ==== 5、已知向量(sin ,1)2 A m =-，()2,cos()n B C =+， ,,A B C 为锐角．．ABC ?的内角，其对应边为a ，b ，c . （Ⅰ）当m n ?取得最大值时，求角A 的大小； （Ⅱ）在（Ⅰ）成立的条件下，当a = 求2 2 b c +的取值范围. 解：（Ⅰ） 2 3 )1(sin 21sin 2sin 2cos sin 2)cos(sin 222+--=++-=+=+-=?A A A A A C B A n m 时，m n ?取得最大值， ∴3A π= 课后作业 三、计时双基练P251基础1-6； 课本P63变式思考1 补充练习1、3、例2 四、计时双基练P251基础7-11;培优1-4 课本P63变式思考3 补充练习2 三、课本P63变式思考2 课本P64典例、※对应训练 补充练习4、5预习第七节 余弦定理 余弦定理：三角形中任意一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍。即： 2222cos a b c bc A =+- 2222cos b a c ac B =+- 2222cos c a b ab C =+- 2.利用余弦定理解三角形： （1）已知两边和它们所夹的角： （2）已知三边： 余弦定理 1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝1 3 ，那么AC 等于( )A ．6 B ．2 6 C ．3 6 D ．4 6 3．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋3bc ，则∠A 等于( ) A ．60° B ．45° C ．120° D ．150° 4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝ 3ac ， 则∠B 的值为( ) A.π6 B.π3 C.π6或5π6 D.π3或2π3 5．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加的长度决定 6．已知锐角三角形ABC 中，|AB →|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为3，则AB →·AC →的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．4 D ．－4 7．在△ABC中，b＝3，c＝3，B＝30°，则a为( ) A. 3 B．2 3 C.3或2 3 D．2 8．已知△ABC的三个内角满足2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为________． 9．△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数．10．已知a、b、c是△ABC的三边，S是△ABC的面积，若a＝4，b＝5，S＝53，则边c 的值为________． 11．在△ABC中，a＝32，cos C＝1 3 ，S△ABC＝43，则b＝________. 12．已知△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，AC＝6，则AB→·BC→的值为________． 13．已知△ABC的三边长分别是a、b、c，且面积S＝a2＋b2－c2 4 ，则角C＝________. 14．(2015年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________． 15．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程x2－23x＋2＝0的两根，且2cos(A＋B)＝1，求AB的长． 《必修五 知识点总结》 第一章：解三角形知识要点 一、正弦定理和余弦定理 1、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，，则有 2sin sin sin a b c R C ===A B (R 为C ?AB 的外接圆的半径) 2、正弦定理的变形公式： ①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A = ，sin 2b R B =，sin 2c C R =； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； 3、三角形面积公式：111 sin sin sin 222 C S bc ab C ac ?AB = A == B ． 4、余弦定理：在 C ?AB 中，有2 2 2 2cos a b c bc =+-A ，推论：bc a c b A 2cos 2 22-+= B ac c a b cos 2222-+=，推论： C ab b a c cos 22 2 2 -+=，推论：ab c b a C 2cos 2 22-+= 二、解三角形 处理三角形问题，必须结合三角形全等的判定定理理解斜三角形的四类基本可解型，特别要多角度（几何作图，三角函数定义，正、余弦定理，勾股定理等角度）去理解“边边角”型问题可能有两解、一解、无解的三种情况，根据已知条件判断解的情况，并能正确求解 1、三角形中的边角关系 （1）三角形内角和等于180°； （2）三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边； ac b c a B 2cos 2 22-+= （3）三角形中大边对大角，小边对小角； （4）正弦定理中,a =2R ·sin A , b =2R ·sin B , c =2R ·sin C ，其中R 是△ABC 外接圆半径. （5）在余弦定理中:2bc cos A =222a c b -+. （6）三角形的面积公式有:S = 21ah , S =21ab sin C=21bc sin A=2 1 ac sinB , S =))(()(c P b P a P P --?-其中，h 是BC 边上高，P 是半周长. 2、利用正、余弦定理及三角形面积公式等解任意三角形 （1）已知两角及一边，求其它边角，常选用正弦定理. （2）已知两边及其中一边的对角，求另一边的对角，常选用正弦定理. （3）已知三边，求三个角，常选用余弦定理. （4）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角，常选用余弦定理. （5）已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，常选用正弦定理. 3、利用正、余弦定理判断三角形的形状 常用方法是：①化边为角；②化角为边. 4、三角形中的三角变换 （1）角的变换 因为在△ABC 中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=－cosC ；tan(A+B)=－tanC 。 2 sin 2cos ,2cos 2sin C B A C B A =+=+； （2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。 r 为三角形内切圆半径，p 为周长之半 （3）在△ABC 中，熟记并会证明：∠A ，∠B ，∠C 成等差数列的充分必要条件是∠B=60°；△ABC 是正三角形的充分必要条件是∠A ，∠B ，∠C 成等差数列且a ，b ，c 成等比数列. 正弦定理练习题 1．在△ABC 中，A ＝45°，B ＝60°，a ＝2，则b 等于( ) A.6 B. 2 C. 3 D ．2 6 2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( ) A ．4 2 B ．4 3 C ．4 6 D.323 3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( ) A ．1 B.12 C ．2 D.14 4．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( ) A ．45°或135° B ．135° C ．45° D ．以上答案都不对 5．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( ) A. 6 B ．2 C. 3 D. 2 6．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( ) A ．1∶5∶6 B ．6∶5∶1 C ．6∶1∶5 D ．不确定 7．在△ABC 中，若cos A cos B ＝b a ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形 8．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π3 ，则A ＝________. 9．在△ABC 中，已知a ＝433 ，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________. 10．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________. 11．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解． 12 . 判断满足下列条件的三角形个数 （1）b=39,c=54,? =120C 有________组解 （2）a=20,b=11,?=30B 有________组解 （3）b=26,c=15,?=30C 有________组解 （4）a=2,b=6,?=30A 有________组解 正弦定理 1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( ) A.6 B. 2 C. 3 D ．2 6 解析：选A.应用正弦定理得：a sin A ＝b sin B ，求得b ＝a sin B sin A ＝ 6. 2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( ) A ．4 2 B ．4 3 C ．4 6 D.323 解析：选C.A ＝45°，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝4 6. 3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( ) 二项式定理 一、二项式定理： ()n n n k k n k n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+-- 110（*∈N n ）等号右边的多项式叫做 ()n b a +的二项展开式，其中各项的系数k n C )3,2,1,0(n k ???=叫做二项式系数。 对二项式定理的理解： （1）二项展开式有1+n 项 （2）字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1到0；字母b 按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1到n （3）二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数b a ,，等式都成立，通过对b a ,取不同的特殊值，可为某些问题的解决带来方便。在定理中假设x b a ==，1，则 ()n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x +++++=+- 101（*∈N n ） （4）要注意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式()n b a +展开，得到一个多项式； 另一方面，也可将展开式合并成二项式()n b a + 二、二项展开式的通项：k k n k n k b a C T -+=1 二项展开式的通项k k n k n k b a C T -+=1)3,2,1,0(n k ???=是二项展开式的第1+k 项，它体现了 二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数等方面有广泛应用 对通项k k n k n k b a C T -+=1)3,2,1,0(n k ???=的理解： （1）字母b 的次数和组合数的上标相同 （2）a 与b 的次数之和为n （3）在通项公式中共含有1,,,,+k T k n b a 这5个元素，知道4个元素便可求第5个元素 例1．n n n n n n C C C C 13 21393-++++ 等于 （ ） A ．n 4 B 。n 43? C 。134-n D.3 1 4-n 例2．（1）求7 (12)x +的展开式的第四项的系数； （2）求9 1()x x -的展开式中3 x 的系数及二项式系数 《正弦定理和余弦定理》典型例题透析 类型一：正弦定理的应用： 例1．已知在ABC ?中，10c =，45A = ，30C = ，解三角形. 思路点拨:先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出边a ，然后用三角形内角和求出角B ，最后用正弦定理求出边b . 解析：sin sin a c A C = ， ∴sin 10sin 45sin sin 30c A a C ?=== ∴ 180()105B A C =-+= ， 又sin sin b c B C =， ∴sin 10sin10520sin 7520sin sin 304 c B b C ?====?= 总结升华： 1. 正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题； 2. 数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式. 举一反三： 【变式1】在?ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9a cm =，解三角形。 【答案】根据三角形内角和定理，0180()=-+C A B 000180(32.081.8)=-+066.2=； 根据正弦定理，0 sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ； 根据正弦定理，0 sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A 【变式2】在?ABC 中，已知075B =，0 60C =，5c =，求a 、A . 【答案】00000180()180(7560)45A B C =-+=-+=， 根据正弦定理5sin 45sin 60o o a =，∴a =【变式3】在?ABC 中，已知sin :sin :sin 1:2:3A B C =，求::a b c 【答案】根据正弦定理sin sin sin a b c A B C ==，得::sin :sin :sin 1:2:3a b c A B C ==. 例2．在60,1ABC b B c ?=== 中，，求：a 和A ，C ． 思路点拨: 先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出角C ，然后用三角形内角和求出角A ，最后用正弦定理求出边a . 《解三角形》 一、 正弦定理：sin sin sin a b c A B C ===2R 推论：(1) ::sin :sin :sin a b c A B C = (2) a=2RsinA b=2RsinB c=2RsinC (3) sin =,sin =,sin = 222a b c A B C R R R 1. 在△中，若，则= 2. 在△中，a =b=6, A=300 ,则B= 3. 【2013山东文】在中，若满足，，，则 4.【2010山东高考填空15题】在△ABC 中a ，b=2，sinB+cosB ，则A=？ 5.【2017全国文11】△ABC 中，sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c ，则C =？ 6. 在△ABC 中, C =90o , 角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c.则 a b c +的取值范围是？ 二、余弦定理：222222 2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ?=+-?=+-??=+-? 推论 222 222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ?+-=?? +-?=???+-= ?? 1. 在△ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，求cos C 的值 2. 在△ABC 中，若则A= 3. 【2012上海高考】在中，若，则的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定 4.【2016山东文科】ABC △中角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ，,b c = 22 2(1sin )a b A =-, 则A =? （A ）3π4 （B ）π3 （C ）π4 （D ）π6 学科数学版本人教版大开本、3+x 期数2339 年级高一编稿老师梁文莉审稿教师 【同步教育信息】 一. 本周教学内容： §5.9正弦定理、余弦定理 目标：使学生理解正弦定理、余弦定理的证明和推导过程，初步运用它们解斜三角形。并会利用计算器解决解斜三角形的计算问题。培养学生观察、分析、归纳等思维能力、运算能力、逻辑推理能力，渗透数形结合思想、分类思想、化归思想，以及从特殊到一般、类比等方法，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力。 二. 重点、难点： 重点： 正弦定理、余弦定理的推导及运用。 难点： （1）正弦定理、余弦定理的推导过程； （2）应用正弦定理、余弦定理解斜三角形。 ［学法指导］ 学习本节知识时可采用向量法、等积法（面积相等）等不同方法来推导正弦定理，以加深对定理的理解和记忆，由于已知两边及其中一边的对角，不能唯一确定三角形，此时三角形可能出现两解、一解、无解三种情况，因此解此类三角形时，要注意讨论。 深刻领会向量的三角形法则及平面向量的数量积是用向量法推导余弦定理的关键。注意余弦定理的每一个等式中都包含四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，便可求得第四个量。当有一个角为90°时，即为勾股定理。因此，勾股定理可看作是余弦定理的特例。 正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系。一般地，利用公式a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC（R 为ΔABC外接圆半径），可将边转化为角的三角函数关系，然后利用三角函数知识进行化简，其中往往用到三角形内角和定理A＋B＋C＝π。 可将有关三角形中的角的余弦转化为边的关系，然后充分利用代数知识来解决问题。在三角形中，有一个角的余弦值为负值，该三角形为钝角三角形；有一个角的余弦值为零，便是直角三角形；三个角的余弦值都为正值，便是锐角三角形。 【例题分析】 在△ABC ，已知A ＝60°，B ＝45°，c ＝2，解三角形 [解题过程] 在△ABC 中，C ＝180°－(A ＋B ) ＝180°－(60°＋45°)＝75°. sin 75°＝sin(45°＋30°) ＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30° ＝22×32＋22×12 ＝2(3＋1)4＝6＋24 根据正弦定理： a ＝c sin A sin C ＝2sin 60°sin 75°＝2×3 2 2(3＋1)4＝6(3－1)＝32－ 6， b ＝ c sin B sin C ＝2sin 45° sin 75°＝2× 222(3＋1) 4 ＝2(3－1)． [题后感悟] 已知两角和一边(如A ，B ，c )，求其他角与边的步骤是： (1)C ＝180°－(A ＋B )； (2)用正弦定理，a ＝c sin A sin C ； (3)用正弦定理，b ＝c sin B sin C . , 思路点拨： 已知两边及一边对角，先判断三角形解的情况， ∵a>b ，∴A>B ，B 为锐角，故有一解，先由正弦定理求角B ， 然后由内角和定理求C ，然后再由正弦定理求边 c. 1．(1)已知A ＝45°，B ＝30°，c ＝10.求b . (2)在△ABC 中，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝22，求c . 解析： (1)∵A ＋B ＋C ＝180，∴C ＝105°. 又∵sin 105°＝sin(45°＋60°) ＝sin 45°·cos 60°＋cos 45°·sin 60° ＝2＋64， ∴b ＝c sin B sin C ＝10×sin 30° sin 105°＝10× 122＋64 ＝5(6－2)． (2)∵A ＋B ＋C ＝180°，∴C ＝30°. 又∵b sin B ＝c sin C ， ∴c ＝b sin C sin B ＝22×sin 30°sin 45°＝ 22×12 2 2 ＝2. 在△ABC 中，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，解三角形． 二项式定理知识点总 结 二项式定理 一、二项式定理： ()n n n k k n k n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+--ΛΛ110（*∈N n ）等号右边的多项式 叫做()n b a +的二项展开式，其中各项的系数k n C )3,2,1,0(n k ???=叫做二项式系数。 对二项式定理的理解： （1）二项展开式有1+n 项 （2）字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1到0；字母b 按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1到n （3）二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数b a ,，等式都成立，通过对b a ,取不同的特殊值，可为某些问题的解决带来方便。在定理中假设 x b a ==，1，则()n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x +++++=+-ΛΛ101（*∈N n ） （4）要注意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式()n b a +展开，得到一个多项式；另一方面，也可将展开式合并成二项式()n b a + 二、二项展开式的通项：k k n k n k b a C T -+=1 二项展开式的通项k k n k n k b a C T -+=1)3,2,1,0(n k ???=是二项展开式的第1+k 项，它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数等方面有广泛应用 对通项k k n k n k b a C T -+=1)3,2,1,0(n k ???=的理解： （1）字母b 的次数和组合数的上标相同 （2）a 与b 的次数之和为n （3）在通项公式中共含有1,,,,+k T k n b a 这5个元素，知道4个元素便可求第5个元素 例1．n n n n n n C C C C 13 21393-++++Λ等于 （ ） A ．n 4 B 。n 43? C 。134-n D.314-n 例2．（1）求7(12)x +的展开式的第四项的系数； 正弦定理、余弦定理综合应用 例1.设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =． （Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围． 解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1 sin 2 B = ， 由ABC △为锐角三角形得π6B = ． （Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π?? +=+π-- ?6?? cos sin 6A A π??=++ ???1cos cos 2A A A =++ 3A π? ?=+ ???． 由ABC △为锐角三角形知，22A B ππ->-，2263B ππππ-=-=． 2336 A πππ <+<， 所以1sin 23A π??+< ???． 3A π??<+< ?? ? 所以，cos sin A C +的取值范围为322?? ? ?? ?，． 例2.已知ABC △1，且sin sin A B C +=． （I ）求边AB 的长； （II ）若ABC △的面积为1 sin 6 C ，求角C 的度数． 解：（I ）由题意及正弦定理，得1AB BC AC ++=， BC AC +=， 两式相减，得1AB =． （II ）由ABC △的面积11sin sin 26BC AC C C =g g ，得1 3 BC AC =g ， 由余弦定理，得222cos 2AC BC AB C AC BC +-=g 22()21 22 AC BC AC BC AB AC BC +--= =g g ， 所以60C =o ． 例3.已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝（1,3-），n ＝（cos A ,sin A ）.若m ⊥n ， 且a cos B +b cos A =c sin C ，则角B ＝ 6 π . 例4.设ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c ，且A =60o ，c =3b.求a c 的值； 解：由余弦定理得2222cos a b c b A =+-＝2221117 ()2,3329 c c c c c +-=g g g 故3a c = 例5.在△ABC 中，三个角,,A B C 的对边边长分别为3,4,6a b c ===, 则cos cos cos bc A ca B ab C ++的值为 . 61 2 例6.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若() C a A c b cos cos 3=-， 则=A cos _________________. 3 例7.(2009年广东卷文)已知ABC ?中， C B A ∠∠∠,,的对边分别为,,a b c 若a c ==75A ∠=o ，则b = 【解析】0000000 sin sin 75sin(3045)sin 30cos 45sin 45cos30A ==+=+= 高频考点一 利用正弦定理、余弦定理解三角形 例1、(1)在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝6，A ＝45°，则满足条件的三角形有( ) A ．1个 B ．2个 C ．0个 D ．无法确定 (2)在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ＝2∶1，c 2 ＝b 2 ＋2bc ，则三内角A ，B ，C 的度数依次是________． (3)(2015·广东)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝1 2 ， C ＝π6 ，则b ＝________. 答案 (1)B (2)45°，30°，105° (3)1 解析 (1)∵b sin A ＝6× 2 2 ＝3，∴b sin A 【变式探究】(1)已知在△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，B ＝45°，若三角形有两解，则x 的取值范围是( ) A ．x ＞2 B ．x ＜2 C ．2＜x ＜2 2 D ．2＜x ＜23 (2)在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，则AB ＝________. 答案 (1)C (2)1 解析 (1)若三角形有两解，则必有a ＞b ，∴x ＞2， 又由sin A ＝a b sin B ＝x 2×2 2 ＜1， 可得x ＜22， ∴x 的取值范围是2＜x ＜2 2. (2)∵A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3， 设AB ＝x ，由余弦定理，得 BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos A ， 化简得x 2 －2x ＋1＝0， ∴x ＝1，即AB ＝1. 高频考点二 和三角形面积有关的问题 例2、(2015·浙江)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知A ＝π 4 ， b 2－a 2＝12 c 2. (1)求tan C 的值； (2)若△ABC 的面积为3，求b 的值． 解 (1)由b 2－a 2 ＝12 c 2及正弦定理得 正弦定理 教学重点：正弦定理 教学难点：正弦定理的正确理解和熟练运用,边角转化。多解问题 1.正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等， 即 A a s i n = B b sin =C c sin 2. 三角形面积公式 在任意斜△ABC 当中S △ABC =A bc B ac C ab sin 2 1sin 2 1sin 2 1== 3.正弦定理的推论： A a sin = B b sin =C c sin =2R （R 为△ABC 外接圆半径） 4.正弦定理解三角形 1）已知两角和任意一边，求其它两边和一角； 2）已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。 3）已知a, b 和A, 用正弦定理求B 时的各种情况:（多解情况） ○ 1若A 为锐角时: ??? ?? ? ?≥<<=<)( b a ) ,( b a bsinA )( bsinA a sin 锐角一解一钝一锐二解直角一解无解A b a 已知边a,b 和∠A 有两个解 仅有一个解无解 CH=bsinA 2、ΔABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若sin A=，b=sin B，则a等于 ( D ) A．3B．C． D． 1. 在ABC ?中，若sin 2sin 2A B =，则ABC ?一定是( ) 3.在Rt △ABC 中，C= 2 π ，则B A sin sin 的最大值是_______________. [解析] ∵在Rt △ABC 中，C= 2 π ，∴sin sin sin sin( )2 A B A A π =-sin cos A A = 1sin 22A = ，∵0,2A π<<∴02,A π<<∴4A π=时，B A sin sin 取得最大值12 。 4. 若ABC ?中，10 10 3B cos ,21A tan == ，则角C 的大小是__________ 解析 11 tan ,cos ,sin tan 23A B O B B B π==<<∴=∴= tan tan 3tan tan()tan()1,tan tan 14 A B C A B A B O C C A B π ππ+∴=--=-+= =-<<∴=- 7.在△ABC 中，已知2a b c =+，2 sin sin sin A B C =，试判断△ABC 的形状。 解：由正弦定理 2sin sin sin a b c R A B C ===得：sin 2a A R =，sin 2b B R =， sin 2c C R = 。 所以由2sin sin sin A B C =可得：2()222a b c R R R =?，即：2 a bc =。 又已知2a b c =+，所以224()a b c =+，所以24()bc b c =+，即2()0b c -=， 因而b c =。故由2a b c =+得：22a b b b =+=，a b =。所以a b c ==，△ABC 为等边三角形。 ６．在ABC ?中， b A a B sin sin <是B A >成立的 ( C ) Ａ．必要不充分条件 Ｂ．充分不必要条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 1.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c =2，b =6，B =120°,则 a 等于 （ ） A.6 B.2 C.3 D.2 答案 D 3.下列判断中正确的是 （ ） 二项式定理高考知识点总结 1．求103 )1 (x x -展开式中的常数项 2．已知9)2(x x a -的展开式中3x 的系数为4 9,求常数a 的值 ３.求84)21(x x +展开式中系数最大的项; 4.若n x x )21 (-+的展开式的常数项为－20．求n . ５求当25 (32)x x ++的展开式中x 的一次项的系数? 6.已知n x x )21(4?+ 的展开式前三项中的x 的系数成等差数列. (1)求展开式中所有的x 的有理项； （2)求展开式中系数最大的项. 7. 已知二项式n x x )2(2 -,(n ∈N *)的展开式中第5项的系数与第3项的系数的比是10：１， (1）求展开式中各项的系数和 （2)求展开式中系数最大的项以及二项式系数最大的项 8.求6 998.0的近似值,使误差小于001.0； 9．求证：15151 -能被7整除。 １0．求证:３2n ＋ 2-８n-9能被64整除. 11 求9192除以100的余数. 1２ 求证：C n 0＋21C n 1+31C n 2+…+11+n C n n ＝1 1+n (２n+1－1）. 1３ 计算c C C C n n n n n n n 3)1( (279313) 2 1 -++-+-； 14.求值： １5、已知数列{a n }（n 为正整数)是首项为a 1,公比为q 的等比数列。 （1)求和：;,3 342331320312231220 2 1C a C a C a C a C a C a C a -+-+- (2）由(1）的结果归纳概括出关于正整数n 的一个结论，并加以证明； （３)设q ≠1,S n 是等比数列｛ａn }的前ｎ项和,求: . )1(134231201n n n n n n n n C S C S C S C S C S +-++-+- 16．规定! )1()1(m m x x x C m x +--= ,其中x ∈R ，m 是正整数,且10=x C ，这是组合数m n C （n 、 m 是正整数,且m ≤n )的一种推广. (1) 求3 15-C 的值； (2） 设x >０，当x 为何值时，213)(x x C C 取得最小值？ (3) 组合数的两个性质; ①m n n m n C C -=． ②m n m n m n C C C 11+-=+． ?是否都能推广到m x C (ｘ∈R,m 是正整数)的情形?若能推广,则写出推广的形式并给出证明;若不能,则说明理由． 正弦定理 【基础知识点】 1. 三角形常用公式：A ＋B ＋C ＝π；S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝＝2 1ca sin B ； sin(A+B)=sinC, cos(A+B)=-cosC, sin(A+B)/2=cosC/2, cos(A+B)/2=sinC/2 2．三角形中的边角不等关系: A>B ?a>b,a+b>c,a-b 二项式定理知识点总结 1．二项式定理公式： 011()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈L L ， 2．基本概念： ①二项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =???. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。用1r n r r r n T C a b -+=表示。 3．注意关键点： ①项数：展开式中总共有(1)n +项。 ②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n b a +是不同的。 ③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。 各项的次数和等于n . ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是0 1 2 ,,,,,,. r n n n n n n C C C C C ??????项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。 4．常用的结论： 令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N * +=++++++∈L L 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈L L 5．性质： ①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即 0,n n n C C =·1 k k n n C C -= ②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122r n n n n n n n C C C C C ++++++=L L ， 变形式1221r n n n n n n C C C C +++++=-L L 。 ③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和： 在二项式定理中，令1,1a b ==-，则0123(1)(11)0n n n n n n n n C C C C C -+-++-=-=L ， 从而得到：0242132111222 r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++???++???=++++???= ?=L ④奇数项的系数和与偶数项的系数和： 00112220120120011222021210 01230123()()1, (1)1,(1)n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a x C a x C a x C a x C a x a a x a x a x x a C a x C ax C a x C a x a x a x a x a x a a a a a a x a a a a a a ----+=++++=+++++=++++=++++=++++=+---------=--+-++=-----L L L L n n L n n n L 024135(1)(1),() 2 (1)(1),() 2 n n n n n n a a a a a a a a a a a a ----++-++++=+---+++=n n n n L n n n n n n n n n n L n n n n n n n ⑤二项式系数的最大项： 如果二项式的幂指数n 是偶数时，则中间一项的二项式系数21 2n n n C T +=取得最大值。 1.1．2余弦定理教学设计 一、教学目标 认知目标：在创设的问题情境中，引导学生发现余弦定理的内容，推证余弦定理，并简单运用余弦定理解三角形； 能力目标：引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出余弦定理，培养学生的创新意识和观察与逻辑思维能力，能体会用向量作为数形结合的工具，将几何问题转化为代数问题；情感目标：面向全体学生，创造平等的教学氛围，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，调动学生的主动性和积极性，给学生成功的体验，培养学生学习数学兴趣和热爱科学、勇于创新的精神。 二、教学重难点 重点：探究和证明余弦定理的过程；理解掌握余弦定理的内容；初步对余弦定理进行应用。 难点：利用向量法证明余弦定理的思路；对余弦定理的熟练应用。 探究和证明余弦定理过程既是本节课的重点，也是本节课的难点。学生已经具备了勾股02220定理的知识，即当∠C=90时，有c=a+b。作为一般的情况，当∠C≠90时，三角形的三边满足什么关系呢?学生一时很难找到思路。最容易想到的思路就是构造直角三角形，尝试应用勾股定理去探究这个三角形的边角关系；用向量的数量积证明余弦定理更是学生想不到的，原因是学生很难将向量的知识与解三角形的知识相结合。因而教师在授课时可以适当的点拨、启发，鼓励学生大胆的探索。在教学中引导学生从不同的途径去探索余弦定理的证明，这样既能开拓学生的视野，加强学生对余弦定理的理解，又能培养学生形成良好的思维习惯，激发学生学习兴趣，这是本节课教学的重点，也是难点。 三、学情分析和教学内容分析 本节内容是人教B版普通高中课程标准实验教科书必修5第一章第一节余弦定理的第一课时。余弦定理是关于任意三角形边角之间的另一定理，是解决有关三角形问题与实际应用问题（如测量等）的重要定理，它将三角形的边和角有机的结合起来，实现了“边”和“角”的互化，从而使“三角”与“几何”有机的结合起来，为求与三角形有关的问题提供了理论依据，同时也为判断三角形的形状和证明三角形中的等式提供了重要的依据。教科书首先通过设问的方式，指出了“已知三角形的两边和夹角，无法用正弦定理去解三角形”，进而通过直角三角形中的勾股定理引导学生去探究一般三角形中的边角关系，然后通过构造直角三角形去完成对余弦定理的推证过程，教科书上还进一步的启发学生用向量的方法去证明余弦定理，最后通过3个例题巩固学生对余弦定理的应用。 在学习本节课之前，学生已经学习了正弦定理的内容，初步掌握了正弦定理的证明及应用，并明确了用正弦定理可以来解哪些类型的三角形。在此基础上，教师可以创设一个“已知三角形两边及夹角”来解三角形的实际例子，学生发现不能用上一节所学的知识来解决这一问题，从而引发学生的学习兴趣，引出这一节的内容。在对余弦定理教学中时，考虑到它比正弦定理形式上更加复杂，教师可以有目的的提供一些供研究的素材，并作必要的启发和引导，让学生进行思考，通过类比、联想、质疑、探究等步骤，辅以小组合作学习，建立猜想，获得命题，再想方设法去证明。在用两种不同的方法证明余弦定理时，学生可能会遇到证明思路上的困难，教师可以适当的点拨。 正弦定理和余弦定理知识点与题型归纳 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT- ●高考明方向 掌握正弦定理、余弦定理， 并能解决一些简单的三角形度量问题． ★备考知考情 1.利用正、余弦定理求三角形中的边、角问题是高考 考查的热点． 2.常与三角恒等变换、平面向量相结合出现在解答题 中，综合考查三角形中的边角关系、三角形形状的 判断等问题． 3.三种题型都有可能出现，属中低档题. 一、知识梳理《名师一号》P62 知识点一 正弦定理 (其中R 为△ABC 外接圆的半径) 变形1:2sin ,2sin ,2sin ,===a R A b R B c R C 变形2：sin ,sin ,sin ,222= ==a b c A B C R R R 变形3：∶∶∶∶sinA sinB sinC=a b c 注意：(补充) 关于边的齐次式或关于角的正弦的齐次式 均可利用正弦定理进行边角互化。 知识点二 余弦定理 222 222222222222222cos ,22cos ,2cos ,cos ,22cos .cos .2?+-=??=+-?+-??=+-?=??=+-???+-?=?? b c a A bc a b c bc A a c b b a c ac B B ac c a b ab C a b c C ab 注意：(补充) （1）关于边的二次式或关于角的余弦 均可考虑利用余弦定理进行边角互化。 （2）勾股定理是余弦定理的特例 （3）在?ABC 中，222090?? <+?<
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