高考正弦定理和余弦定理练习题及答案

高考正弦定理和余弦定理练习题及答案

一、选择题

1. 已知△ABＣ中，ａ=c=2，A＝３0°，则ｂ＝( )

Ａ. ３ B. ２错误!

C.3 3 ??

D. 错误!+1

答案:Ｂ

解析:∵ａ＝c＝2，∴A=C＝30°,∴B=120°.

由余弦定理可得b＝2＼r(3)．

2. △AＢC中,a=＼r（5),b＝3，sin B=错误!,则符合条件的三角形有( )

A．1个???? B. 2个

C. 3个???Ｄ．０个

答案:B

解析:∵a sinＢ＝

10２

，

∴a sｉnＢ

∴符合条件的三角形有2个．

3．(2０10·天津卷)在△ＡBＣ中，内角A，Ｂ，C的对边分别是a,b,ｃ．若a2－ｂ2＝错误! bｃ，sin C=23ｓin B,则Ａ＝( ）

A.3０°?????Ｂ.60°

C．120°?? D.１50°

答案:Ａ

解析:利用正弦定理，sin C＝２错误!sin B可化为c＝２错误!ｂ.

又∵a2－ｂ2=错误!ｂc,

∴a2-b2=错误!b×2错误!b=6b2,即a2＝7b２，a＝错误!b．

在△ABC中,cos A=错误!

=错误!＝错误!，

∴A＝3０°．

4.(2０１０·湖南卷)在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a，b,ｃ，若∠C＝１20°，ｃ＝２a,则( )

A．a>b??B．ａ

Ｃ．a=b ?? D.ａ与b的大小关系不能确定

答案:A

解析：由正弦定理，得＼f（c,ｓin120°)＝＼f（a，sin A),

∴sin A＝错误!＝错误!＞错误!．

∴A>30°．∴Ｂ＝180°-１20°－A＜30°．∴a>b．

５.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（)

A.

５

1８

?????B．错误!

C. 错误!??

D.错误!

答案:D

解析:方法一：设三角形的底边长为a，则周长为5a,

∴腰长为２ａ,由余弦定理知cosα＝＼ｆ((２a)２+(2a)2－ａ2，２×2a×2a）=7８.

方法二:如图,过点A作AD⊥BC于点D,

则AC=２ａ,CD＝a

２

，∴ｓin＼f(α,２）＝＼f(1,４),

∴coｓα=１-2sin2错误!

＝1－2×错误!＝错误!.

6. (2010·泉州模拟)△ＡＢC中,ＡB=错误!，AＣ＝1,∠Ｂ=30°,则△ＡBC的面积等于( )

Ａ.＼f(３）

２???B. 错误!

C. 错误!或错误!?????Ｄ．错误!或错误!

答案：Ｄ

解析:∵错误!=错误!，

∴sin C=＼r（3)·ｓｉn3０°＝错误!.

∴Ｃ=６0°或C=120°.

当C＝60°时,Ａ=90°，S△ABC＝＼f（1，2)×１×错误!＝错误!，

当Ｃ=1２0°时，Ａ＝3０°,Ｓ△ＡBC＝＼f（1，2)×1×＼r(3)ｓin30°＝错误!. 即△ABＣ的面积为错误!或错误!．

二、填空题

7．在△AＢC中,若b=１，ｃ=3，∠C=错误!，则a=________.

答案：１

解析：由正弦定理错误!=错误!，即错误!＝错误!，sin Ｂ＝错误!.

又b

８．(20１0·山东卷)在△A ＢC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为ａ,b ,c .若a ＝＼r(２),b =2,sin B ＋co ｓB ＝错误!,则角A 的大小为_＿___＿__.

答案：错误!

解析:∵ｓin Ｂ+ｃo ｓB =2, ∴si ｎ（B ＋＼f （π,4))=1.

又0

由正弦定理,知错误!=错误!，∴s ｉn A =错误!．

又a

. 9. (２01０·课标全国卷)在△ＡＢＣ中,D 为边ＢC 上一点，BD =1２

D Ｃ，∠ＡD Ｂ＝120°，AD =2.若△ADC 的面积为３－＼r(３）,则∠BA Ｃ＝_＿_＿____.

答案：６０°

解析：S △A ＤＣ=错误!×2×D Ｃ×错误!=3－错误!，

解得D Ｃ=２(3－1），

∴BD ＝3－１,BC ＝3（3-１).

在△ABD 中，AB ２＝4+(＼r （３)-1）２

-2×2×(＼r(3)－1)×cos １20°＝６,

∴AB = 6.

在△A ＣD 中，AC 2＝4＋[2（3－１)]2-2×2×2(错误!-１)×c ｏs60°＝24－１2错误!, ∴A Ｃ=6(3-1）,

则ｃos ∠ＢAC ＝＼ｆ(ＡB ２＋AC 2-BC ２

,２AB ·AC )

＝错误!＝错误!,

∴∠BAC ＝60°．

三、解答题

10. 如图，△ＯAB 是等边三角形,∠AO Ｃ=45°，OC ＝错误!，Ａ、B 、C 三点共线.

(1）求s ｉn ∠ＢO Ｃ的值；

(2）求线段BC 的长．

解：（1)∵△AO Ｂ是等边三角形,∠A ＯC =４5°,

∴∠BOC =４５°+60°,

∴sin ∠BOC =sin(45°＋6０°)

=si ｎ45°c ｏs6０°＋c ｏｓ４５°si ｎ６0°

＝错误!．

(2)在△OB Ｃ中,＼f （OC,sin ∠OBC )=B Ｃsin ∠ＢＯC

， ∴ＢＣ＝ｓin ∠ＢＯC ×错误!

＝错误!×错误!＝1＋错误!.

11. （2010·全国Ⅱ卷）△ABC 中，D 为边BC 上的一点，BD ＝33，si ｎB ＝5１3，cos ∠ＡDC =35,求AD .

解：由co ｓ∠A ＤC ＝35＞0知Ｂ<π2

, 由已知得cos Ｂ＝＼f （１２,13)，s ｉn ∠ADC =＼f （４,5)，

从而sin ∠BA Ｄ=ｓi ｎ(∠ADC －Ｂ)

＝s ｉn ∠ADC cos B -ｃｏs ∠ＡDC ｓｉｎB

=＼f(４，5)×错误!-错误!×错误!＝错误!．

由正弦定理得错误!=错误!，

AD =BD ·si ｎB sin ∠BA Ｄ

＝错误!=２５. 12. (20１0·安徽卷)设△ＡBC 是锐角三角形，ａ,b ，ｃ分别是内角A ,B ,C 所对边长,并且ｓin 2A ＝s ｉn 错误!ｓin 错误!＋sin 2Ｂ.

（１）求角A 的值;

(２)若错误!·错误!=12，a ＝２错误!,求b ，c (其中b

解:(1）因为s ｉｎ2A =错误!

错误!+ｓｉn 2B =错误!ｃｏs ２B -错误!sin ２B +sin 2Ｂ＝错误!，

所以sin A =±错误!.

又Ａ为锐角,所以Ａ=π3

. （2)由错误!·错误!＝12,可得c ｂcos Ａ＝12.①

由(1)知A =错误!,所以cb =24.②

由余弦定理知a 2＝ｃ2+b 2-2cb cos Ａ，将ａ=27及①代入,得c ２＋ｂ2=52,③ ③+②×２，得(c +b )2=1０0,

所以ｃ＋b ＝１０．

因此ｃ，b是一元二次方程ｔ2-10t+24＝0的两个根．解此方程并由c>b知c＝６,b＝4.