数学二次根式的专项培优练习题(及解析
一、选择题
1.下列各式计算正确的是( )
A B .C =3
D .
2.x 的取值范围是( ) A .x≥2020
B .x≤2020
C .x> 2020
D .x< 2020
3.=
a 、x 、y 是
两两不同的实数,则22
22
3x xy y x xy y
+--+的值是( ) A .3
B .
13
C .2
D .
53
4.实数a ,b ,c ,满足|a |+a =0,|ab |=ab ,|c |-c =0,a +b |+|a -c |-
( )
A .2c -b
B .2c -2a
C .-b
D .b
5.下列各式计算正确的是( )
A B .
C .D
6.若式子
2
(1)
m -有意义,则实数m 的取值范围是( ) A .m >﹣2
B .m >﹣2且m ≠1
C .m ≥﹣2
D .m ≥﹣2且m ≠1
7.下列属于最简二次根式的是( )
A B C
D 8.下列各式计算正确的是( )
A .
2
3= B 5=± C =D .3=
9.下列各式中,一定是二次根式的是( )
A B C D 10.下列运算正确的是( )
A =
B 2=
C =
D 9=
11.古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式,称为海伦﹣秦九韶公式:如果一个三角形的三边长分别是a ,b ,c ,记
2
a b c
p ++=
,那么三角形的面积为S =ABC ?中,A ∠,B ,C ∠所对的边分别记为a ,b ,c ,若5a =,6b =,7c =,则ABC ?的面
积为()
A.66B.3C.18D.19
2 12.下列运算错误的是()
A23=6B
2
2
2
C.22+32=52
D()2
1-212
=
二、填空题
13.能力拓展:
121
21
A=
+232
32
A=
+;3:43
43 A=
+
;
454
A=________.
…
n
A:________.
()1请观察1A,2A,3A的规律,按照规律完成填空.
()2比较大小1A和2A
3221
32
+21
+
3221
()343
-32 76541
n n
+1
n n-
14.22
16422
x x
--=22
164
x x
--=________.15.x y53xy153,则x+y=_______.
16.已知a,b是正整数,若有序数对(a,b)使得11
)
a b
的值也是整数,则称
(a,b)是11
)
a b
的一个“理想数对”,如(1,4)使得
11
2(
a b
=3,所以
(1,4)是11
)
a b
的一个“理想数对”.请写出
11
)
a b
其他所有的“理想数
对”: __________.
17.化简:
18.=_______.
19.3y =
,则2xy 的值为__________.
20.下列各式:③4
是最简二次根式的是:_____(填序号)
三、解答题
21.计算: 21)3)(3--
【答案】. 【解析】 【分析】
先运用完全平方公式、平方差公式进行化简,然后进行计算. 【详解】
解:原式22
22]-4
【点睛】
本题主要考查了二次根式的化简;特别是灵活运用全平方公式、平方差公式是解答本题的关键.
22.已知m ,n 满足m 4n=3+
.
【答案】12015
【解析】 【分析】
由43m n +=2
﹣2)﹣3=0,将
,代入计算即可.
【详解】
解:∵4m n +=3,
)22﹣2)﹣3=0,
即(m+2n)2﹣2(m+2n)﹣3=0,则(m+2n+1)(m+2n﹣3)=0,∴m+2n=﹣1(舍)或m+2n=3,
∴原式=
3-2
3+2012
=
1
2015
.
【点睛】
本题主要考查二次根式的混合运算,解题的关键是熟练掌握完全平方公式的运用及二次根式性质.
23.阅读下列材料,然后解答下列问题:
在进行代数式化简时,我们有时会碰上如5
3
,
2
31
+
这样的式子,其实我们还可以将
其进一步化简:
(一) 55353
3 333
?
==
?
;
(二)
2231)
=31 31(31)(31)
-
=-
++-
(
;
(三)
22
231(3)1(31)(31)
=31 31313131
--+-
===-++++
.
以上这种化简的方法叫分母有理化.
(1)请用不同的方法化简
2
5+3
:
①参照(二)式化简
2
5+3
=__________.
②参照(三)式化简
5+3
=_____________
(2)化简:++++
315+37+599+97
+
.
【答案】见解析.
【分析】
(1)原式各项仿照题目中的分母有理化的方法计算即可得到结果;
(2)原式各项分母有理化,计算即可.
【详解】
解:(1)①;
②
;
(2)原式
故答案为:(1)①;②
【点睛】
此题主要考查了二次根式的有理化,解答此题要认真阅读前面的分析,根据题目的要求选择合适的方法解题.
24.已知x=23,求代数式(7+3x2+(23)x3
【答案】23
【解析】
试题分析:先求出x2,然后代入代数式,根据乘法公式和二次根式的性质,进行计算即可.试题解析:x2=(23)2=7﹣3
则原式=(37﹣3+(3233
=49﹣3
3
25.已知
1
1881,
2
y x x
=--22
x y x y
y x y x
+++-.
【答案】1
【解析】
【分析】
根据已知和二次根式的性质求出x、y的值,把原式根据二次根式的性质进行化简,把x、y的值代入化简后的式子计算即可.
【详解】
1-8x≥0,x≤1 8
8x-1≥0,x≥1
8
,∴x=
1
8
,y=
1
2
,
∴原式259532
-=-==1 44222
.
【点睛】
本题考查的是二次根式的化简求值,把已知条件求出x、y,把要求的代数式进行正确变形
是解题的关键,注意因式分解在化简中的应用.
26.计算下列各题
(1)?÷ ?
(2)2-
【答案】(1)1;(2). 【分析】
(1)先把二次根式化为最简二次根式,然后把括号内合并后进行二次根式的除法运算即可; (2)利用完全平方公式和平方差公式展开,然后再进行合并即可. 【详解】
(1)原式
=1;
(2)原式+2)
. 【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算,熟练掌握二次根式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键.
27.在一个边长为(cm 的正方形的内部挖去一个长为()cm ,
cm 的矩形,求剩余部分图形的面积.
【答案】 【解析】
试题分析:用大正方形的面积减去长方形的面积即可求出剩余部分的面积.
试题解析:剩余部分的面积为:(2﹣()
=()﹣(﹣)
=(cm 2). 考点:二次根式的应用
28.已知x2+2xy+y2的值. 【答案】16 【解析】
分析:(1)根据已知条件先计算出x+y=4,再利用完全平方公式得到
x2+2xy+y2=(x+y )2,然后利用整体代入的方法计算. 本题解析: ∵x2 +2xy+y2 =(x+y)2,
∴当
∴x2+2xy+y2=(x+y)2=(2?=16.
29.计算:(1)()2
21
31)()
2
---+
(2
【答案】(1)12;(2) 【分析】
(1)按照负整数指数幂、0指数幂、乘方的运算法则计算即可; (2)根据二次根式的加减乘除运算法则计算即可. 【详解】
(1)解:原式= 9-1+4=12
(2) 【点睛】
本题考查负整数指数幂、0指数幂、乘方以及二次根式的运算法则,熟练掌握二次根式的化简是关键.
30.02020((1)π-.
【答案】 【分析】
本题根据零次幂,最简二次根式,整数次幂的运算规则求解即可. 【详解】
原式11=-= 【点睛】
本题考查幂的运算与二次根式的综合,需牢记非零常数的零次幂为1,二次根式运算时需化为最简二次根式,其次注意计算仔细.
【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除
一、选择题 1.C 解析:C 【分析】
根据二次根式的化简进行选择即可.
【详解】
A
B、
C,故本选项正确;
D、=18,故本选项错误;
故选:C.
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算,掌握二次根式的化简是解题的关键.
2.A
解析:A
【分析】
先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式,求出x的取值范围即可.
【详解】
∴x-2020≥0,
解得:x≥2020;
故选:A.
【点睛】
本题考查的是二次根式有意义的条件,熟知二次根式中的被开方数是非负数是解答此题的关键.
3.B
解析:B
【分析】
根据根号下的数要是非负数,得到a(x-a)≥0,a(y-a)≥0,x-a≥0,a-y≥0,推出a≥0,
a≤0,得到a=0,代入即可求出y=-x,把y=-x代入原式即可求出答案.
【详解】
由于根号下的数要是非负数,
∴a(x-a)≥0,a(y-a)≥0,x-a≥0,a-y≥0,
a(x-a)≥0和x-a≥0可以得到a≥0,
a(y-a)≥0和a-y≥0可以得到a≤0,
所以a只能等于0,代入等式得
,
所以有x=-y,
即:y=-x,
由于x,y,a是两两不同的实数,
∴x>0,y<0.
将x=-y代入原式得:
原式=
()()
()()
2
2
2
2
31
3
x x x x
x x x x
+---
=
--+-
.
故选B.
【点睛】
本题主要考查对二次根式的化简,算术平方根的非负性,分式的加减、乘除等知识点的理解和掌握,根据算术平方根的非负性求出a、x、y的值和代入求分式的值是解此题的关键.
4.D
解析:D
【解析】
解:
∵|a|+a=0,∴|a|=﹣a,∴﹣a≥0,∴a≤0,∵|ab|=ab,∴ab≥0,∴b≤0,∵|c|﹣c=0,∴| c|=c,∴c≥0,∴原式=﹣b+(a+b)﹣(a﹣c)﹣(c﹣b)=b.故选D.
5.D
解析:D
【解析】
不是同类二次根式,因此不能计算,故不正确.
根据同类二次根式,可知
,故不正确;
根据二次根式的性质,可知,故不正确;
3
==,故正确.
故选D.
6.D
解析:D
【分析】
根据二次根式有意义的条件即可求出答案.
【详解】
由题意可知:
20
10
m
m
+≥
?
?
-≠
?
,
∴m≥﹣2且m≠1,
故选D.
【点睛】
本题考查二次根式有意义的条件,解题的关键是熟练运用二次根式的条件.
7.B
解析:B
【分析】
判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行,或直观地观察被开方数的每一个因数(或因式)的指数都小于根指数2,且被开方数中不含有分母,被开方数是多项式时要先因式分解后再观察.
【详解】
解:A,不符合题意;
B
C=2,不符合题意;
D
故选B.
【点睛】
本题考查了最简二次根式的定义.在判断最简二次根式的过程中要注意:
(1)在二次根式的被开方数中,只要含有分数或小数,就不是最简二次根式;
(2)在二次根式的被开方数中的每一个因式(或因数),如果幂的指数大于或等于2,也不是最简二次根式.
8.A
解析:A
【分析】
根据二次根式的性质和运算法则逐一计算可得.
【详解】
A、2
3
=此选项计算正确,符合题意;
B、5
=此选项计算错误,不符合题意;
C-不是同类二次根式,不能合并,此选项计算错误,不符合题意;
D、-=
故选:A.
【点睛】
本题主要考查了利用二次根式的性质化简以及二次根式的加减运算,准确利用二次根式的性质计算是解题的关键.
9.D
解析:D
【分析】
根据二次根式的意义,如果一定是二次根式,则不论字母取何值,被开方数一定是非负数,逐一判断即可得.
【详解】
解:A,不是二次根式;
B x<0时无意义,不一定是二次根式;
C在-2<a<2时,无意义,不一定是二次根式;
D a2≥0,一定是二次根式;
故选:D.
【点睛】
本题主要考查二次根式的定义,一般地,a≥0)的式子叫做二次根式.10.C
解析:C
【分析】
根据二次根式的减法法则对A进行判断;根据二次根式的加法法则对B进行判断;根据二次根式的乘法则对C进行判断;根据二次根式的除法法则对D进行判断.
【详解】
解:A=,所以A选项错误;
B=B选项错误;
C=C选项正确;
D3
=,所以D选项错误.
故选:C.
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算:先把二次根式化为最简二次根式,然后进行二次根式的乘除运算,再合并即可.
11.A
解析:A
【分析】
利用阅读材料,先计算出p的值,然后根据海伦公式计算ABC
?的面积;
【详解】
7
a=,5
b=,6
c=.
∴
567
9
2
p
++
==,
∴ABC
?的面积S==
故选A.
【点睛】
考查了二次根式的应用,解题的关键是代入后正确的运算,难度不大.
12.D
解析:D
【分析】
根据二次根式的乘法法则对A进行判断;根据分母有理化对B进行判断;根据二次根式的加减法对C进行判断;根据二次根式的性质对D进行判断.
【详解】
A
B
2计算正确,不符合题意;
C 、计算正确,不符合题意;
D 11=≠符合题意;
故选:D . 【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算,正确掌握相关运算法则是解题关键.
二、填空题
13.(1)、;(2);(3) 【解析】 【分析】
(1)观察A1,A2,A3的规律可知将等式的右边乘以分母的有理化分式,即可得到左边的代数式;
(2)先根据不等式的性质等式的两边同时加上或減去一个数,等
解析:(1)
=
;(2),,><<;(3)
,,<<< 【解析】 【分析】
(1)观察A 1,A 2,A 3的规律可知将等式的右边乘以分母的有理化分式,即可得到左边的代数式;
(2)先根据不等式的性质等式的两边同时加上或減去一个数,等式仍成立,求得
>1)的结论解答;
(3)利用(2)的结论进行填空. 【详解】
解:(1)观察A 1,A 2,A 3的规律可知,将等式右边的分式分母有理化,即得等式左边的代数式,所以
=
,
(2>
1>
>,
<
<
(3)由(1)、(2<,
故答案为:
=;(2),,><<;(3),,<<<
【点睛】
主要考查二次根式的有理化.根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化.二次根式有理化主要利用了平方差公式,所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子.即一项符号和绝对值相同,另一项符号相反绝对值相同.
14.3 【解析】
设,则 可化为:, ∴,
两边同时平方得:,即:, ∴,解得:, ∴.
故答案为:.
点睛:本题的解题要点是:设原式中的,从而使原式结构变得简单,这样应用二次根式的相关运算法则化简变形
解析: 【解析】
设24x a -===
=
两边同时平方得:128a a +=++4=, ∴3216a =,解得:12
a =
,
===
故答案为:
点睛:本题的解题要点是:设原式中的24x a -=,从而使原式结构变得简单,这样应用二次根式的相关运算法则化简变形即可求得a 的值,使问题得到解决.
15.8+2
【解析】
根据配方法,由完全平方公式可知x+y==()2-2,然后把+=+,=-整体代入可得原式=(+)2-2(-)=5+3+2-2+2=8+2. 故答案为:8+2.
解析:
【解析】
根据配方法,由完全平方公式可知
x+y=2222+=+-)2
整体代入可得原式=2-2
)
故答案为:
16.(1,1)、(4,1)、(4,4)、(9,36)、(16,16)、(36,9) 【解析】
试题解析:当a=1,=1,要使为整数,=1或时,分别为4和3,得出(1,4)和(1,1)是的“理想数对”,
解析:(1,1)、(4,1)、(4,4)、(9,36)、(16,16)、(36,9) 【解析】
试题解析:当a =1,要使或12时,分
别为4和3,得出(1,4)和(1,1)是的“理想数对”,
当a =412,要使+或12时,分别为3和2,
得出(4,1)和(4,4)是的“理想数对”,
当a =913,要使16时,=1,
得出(9,36)是的“理想数对”,
当a =1614,要使14时,=1,
得出(16,16)是的“理想数对”,
当a =3616,要使13时,=1,
得出(36,9)是的“理想数对”, 即其他所有的“理想数对”:(1,1)、(4,1)、(4,4)、(9,36)、(16,16)、(36,9).
故答案为:(1,1)、(4,1)、(4,4)、(9,36)、(16,16)、(36,9).
17.【解析】
根据二次根式的性质,化简为:-=-=-4;==. 故答案为 ; .
解析: 【解析】
根据二次根式的性质,化简为:
故答案为 ; 18.【分析】
设,将等式的两边平方,然后根据完全平方公式和二次根式的性质化简即可得出结论. 【详解】
解:设,由算术平方根的非负性可得t≥0, 则 .
故答案为:. 【点睛】 此题考查的是二
【分析】
t =,将等式的两边平方,然后根据完全平方公式和二次根式的性质化简即可得出结论.
t=,由算术平方根的非负性可得t≥0,
则244
t=+
8
=+
8
=+
81)
=+
6
=+
2
1)
=
1
t
∴=.
.
【点睛】
此题考查的是二次根式的化简,掌握完全平方公式和二次根式的性质是解题关键.19.【解析】
试题分析:根据二次根式的意义和等式的特点,可知2x-5=0,解得x=,y=-3,代入可得=-2××3=-15.
解析:15
-
【解析】
试题分析:根据二次根式的意义和等式的特点,可知2x-5=0,解得x=5
2
,y=-3,代入可
得2xy=-2×5
2
×3=-15.
20.②③
【分析】
根据最简二次根式的被开方数不含分母;被开方数不含能开得尽方的因数或因式,可得答案.
【详解】
②③是最简二次根式,
故答案为②③.
【点睛】
本题考查最简二次根式的定义,
解析:②③
【分析】
根据最简二次根式的被开方数不含分母;被开方数不含能开得尽方的因数或因式,可得答案.
是最简二次根式,
故答案为②③.
【点睛】
本题考查最简二次根式的定义,最简二次根式必须满足两个条件:被开方数不含分母;被开方数不含能开得尽方的因数或因式.
三、解答题
21.无
22.无
23.无
24.无
25.无
26.无
27.无
28.无
29.无
30.无
1 《二次根式》提高测试 (一)判断题:(每小题1分,共5分) 1.ab 2)2(-=-2ab .…………………( )【提示】 2 )2(-=|-2|=2.【答案】×. 2.3-2的倒数是3+2. ( )【提示】 231-=432 3-+=-(3+2).【答案】×. 3. 2 )1(-x =2)1( -x .…( )【提示】 2 )1(-x =|x -1|,2)1( -x =x -1(x ≥1) .两式相等,必须x ≥1.但等式左边x 可取任何数.【答案】×. 4. ab 、 3 1 b a 3、b a x 2- 是同类二次根式.…( )【提示】 3 1 b a 3、b a x 2- 化成最 简二次根式后再判断.【答案】√. 5. x 8, 3 1,2 9x +都不是最简二次根式.( ) 2 9x +是最简二次根式.【答案】×. (二)填空题:(每小题2分,共20分) 6.当x __________时,式子 3 1 -x 有意义.【提示】x 何时有意义?x ≥0.分式何时有意义?分母不等于零.【答案】x ≥0且x ≠9. 7.化简- 8 15 27102 ÷3 1225a =_.【答案】-2a a . 【点评】注意除法法则和积的算术平方根性质的运用. 8.a - 12-a 的有理化因式是____________. 【提示】(a -12 -a )(________)=a 2-22)1(-a .a +12-a .【答案】a +12 -a . 9.当1<x <4时,|x -4|+122 +-x x =________________. 【提示】x 2-2x +1=( )2,x -1.当1<x <4时,x -4,x -1是正数还是负数? x -4是负数,x -1是正数.【答案】3. 10.方程 2(x -1)=x +1的解是____________.【提示】把方程整理成ax =b 的形式后,a 、b 分别是多少?12-,12+.【答案】x =3+22. 11.已知a 、b 、c 为正数,d 为负数,化简2222d c ab d c ab +-=______.【提示】2 2d c =|cd |=-cd . 【答案】ab +cd .【点评】∵ ab =2 )(ab (ab >0),∴ ab -c 2d 2=(cd ab +)(cd ab -). 12.比较大小:-721_________-3 41 .【提示】27=28,43=48. 【答案】<.【点评】先比较28,48的大小,再比较281,481的大小,最后比较- 28 1 与-48 1的大小. 13.化简:(7-52)2000·(-7-52)2001=______________. 【提示】(-7-52)2001=(-7-52)2000·(_________)[-7-52.] (7-52)·(-7-52)=?[1.]【答案】-7-52. 【点评】注意在化简过程中运用幂的运算法则和平方差公式. 14.若1+x +3-y =0,则(x -1)2+(y +3)2=____________. 【答案】40. 【点评】 1+x ≥0,3-y ≥0.当1+x +3-y =0时,x +1=0,y -3=0. 15.x ,y 分别为8- 11的整数部分和小数部分,则2xy -y 2=____________.
《二次根式》复习 班级: 姓名: 一、 二次根式的有关概念 1. 二次根式: 形如 的式子叫做二次根式,二次根式有意义的条件是被开放数a ≥0. 2. 最简二次根式: (1)被开方数中不含有 . (2)被开方数中不含有开得尽方的因数或因式. 例:二次根式 b a x x ++22,40,2,30,12,2 1 中,是最简二次根式的有____________________ ________. 下列各式中是最简二次根式的是 ( ) (A )a 18 (B ) 2 x (C )22n m + (D )y x 2 3 3. 同类二次根式: 几个二次根式化成最简二次根式后,如果 ,那么这几个二次根式就叫做同类二次根式. 例:下面与2是同类二次根式的是 ( ) (A )3 (B )12 (C )8 (D )12- 下列根式中与a 是同类二次根式的是 ( ) (A )a 2 (B )23a (C ) a 1 (D )4a 二、 二次根式的性质 1. 非负性:二次根式a 中被开方数a ≥0,且a ≥0. 2. () =2 a (a ≥0). 3. ==a a 2 . 三、 二次根式的运算 1. 乘法公式: =?b a (a ≥0,b ≥0). 2. 积的算术平方根: =ab (a ≥0,b ≥0). (a ≥0) (a ﹤0)
3. 除法公式: == ÷b a b a (a ≥0,b ﹥0). 4. 商的算术平方根: =b a (a ≥0,b ﹥0). 5. 二次根式的加减:二次根式加减时,先将二次根式化成 ,再将 合并. 四、 典例研习 【例1】 x 取怎样的数时,下列二次根式有意义? ; . 【变式探究】 1. 1-x 在实数范围内有意义,则x 的取值范围是 . 2.使式子x -4无意义的x 的取值是 . 3.使式子有意义的x 的取值范围是 . 4.能使式子 x x -+ -412有意义的x 的取值范围是 . 5.若()0312 =++-+y y x ,则y x -的值为______________. 6. ()2 11y x x x +=---,则y x -的值为 ( ) (A )1- (B )1 (C )2 (D )3 【例2】若a <1,化简 ()112 --a 等于 ( ) (A )2-a (B )a -2 (C )a (D )a - 【变式探究】 7.计算: ( ) =+-32 32 =+3 . 8.已知a 《二次根式》培优专题一精编版
二次根式培优专题 、【基础知识精讲】 1. 二次根式:形如...a (其中a ______ )的式子叫做二次根式。 2. 最简二次根式:必须同时满足下列条件: ⑴被开方数中不含开方开得尽的_______________ ;⑵被开方数中不含______ ;⑶分母中不含______ 。 3. 同类二次根式: 二次根式化成______________ 后,若 ___________ 相同,则这几个二次根式就是同类二次根式。 4. 二次根式的性质: (1)G.-/a )= ____ (其中a ___ )( 2)a2 = _______ (其中a ___ ) 5. 二次根式的运算: (1)因式的外移和内移:一定要注意根号内隐含的含字母的代数式的符号或根号外含字母的代数式 的符号;如果被开方数是代数和的形式,则先分解因式,变形为积的形式,再移因式到根号外面。 (2)二次根式的加减法:先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式. (3)二次根式的乘除法:二次根式相乘(除),将被开方数相乘(除),所得的积(商)仍作积(商)的被开方数。 JOb= _________ (其中a^_ b ______ );J a= ______________ (其中a—一b ____ ). \ b (4)分母有理化:把分母中的根号化去,就叫分母有理化,方法是分子分母都乘以分母的有理化因 式,两个根式相乘后不再含有根式,这样的两个根式就叫互为有理化因式,如,3的有理化因式就是,3 , .8的有理化因式可以是8也可以是2 , ,b 的有理化因式就是需- Ub . (5)有理数的加法交换律、结合律,乘法交换律及结合律,乘法对加法的分配律以及多项式的乘 法公式,都适用于二次根式的运算. (6)二次根式的加减乘除运算,最后的结果都要化为最简二次根式. 6. 双重二次根式的化简: 二次根号里又含有二次根式,称之为双重二次根式。双重二次根式化简的方法是: 设x 0, y 0, a 0, y 0 ,且x y 二a, xy = b,贝U a 2、 b = (x y) 2、_ xy = C、x)2(、._ y)22 xy = (、x .. y)2
二次根式培优 一、知识的拓广延伸 1、挖掘二次根式中的隐含条件 一般地,我们把形如a a() ≥0 的式子叫做二次根式,其中0 a≥。 根据二次根式的定义,我们知道:被开方数a的取值范围是0 a≥,由此我们判断下列式子有意义的条件: 1 (1; 2 (4); 1 x ++ -+ + 2、 教科书中给出: (0) a a =≥,在此我们可将其拓展为: a a a a a a 2 == ≥ -< ? ? ? || () () (1)、根据二次根式的这个性质进行化简: ①数轴上表示数a 的点在原点的左边,化简 2a ②化简求值: 1 a a= 1 5 ③已知, 1 3 2 m -<< ,化简2m ④______ =; ⑤若为a,b,c ________ =; ___________ =. (2)、根据二次根式的定义和性质求字母的值或取值范围。 ①若1 m=,求m的取值范围。 4x =-,则x的取值范围是___________. ③若a= ④3,2xy 已知求的值。 二.二次根式a的双重非负性质:①被开方数a是非负数,即0 ≥ a
②二次根式a 是非负数,即0≥a 例1. 要使1 21 3-+ -x x 有意义,则x 应满足( ). A .21≤x ≤3 B .x ≤3且x ≠21 C .21<x <3 D .2 1 <x ≤3 例2(1)化简x x -+-11=_______. (2) x +y )2,则x -y 的值为( ) (A)-1. (B)1. (C)2. (D)3. 例3(1)若a 、b 为实数,且满足│a -2│+2b -=0,则b -a 的值为( ) A .2 B .0 C .-2 D .以上都不是 (2)已知y x ,是实数,且2)1(-+y x 与42+-y x 互为相反数,求实数x y 的倒数。 三,如何把根号外的式子移入根号内 我们在化简某些二次根式时,有时会用到将根号外的式子移入根号内的知识,这样式子的化简更为简单。在此我们要特别注意先根据二次根式的意义来判断根号外的式子的符号。如果根号外的式子为非负值,可将其平方后移入根号内,与原被开方数相乘作为新的被开方数,根号前的符号不会发生改变;如果根号外的式子为负值,那么要先将根号前的符号变号,再将其其平方后移入根号内,与原被开方数相乘作为新的被开方数。 (1)、 根据上述法则,我们试着将下列各式根号外的式子移入根号内: ①- ②(a -(2)、利用此方法可比较两个无理数的大小。 (2)2-—3 四,拓展性问题 1、 整数部分与小数部分 要判断一个实数的整数部分与小数部分,应先判断已知实数的取值范围,从而确定其整数部分,再由“小数部分=原数—整数部分”来确定其小数部分。 例:(1)1的整数部分为a ,小数部分为b ,试求ab —b 2的值。 (2)若x 、y 分别为 8-2xy —y 2的值。 (3 a ,小数部分为 b ,求a 2+b 2 的值。 (4)若________a a b a b ==是的小数部分,则。 5a a b -(的整数部分为a ,小数部分为b ,求的值。 2、巧变已知,求多项式的值。 32351 x x x x = +-+(1)、若的值。
《二次根式》培优 一、知识讲解 1.根式中的相关概念 ⑴二次根式:形如)0a ≥的代数式叫做二次根式。 ⑵ n n 次根式.其中若n 为偶数,则必须满足0a ≥。 ⑶最简二次根式:满足以下两个条件的二次根式叫做最简二次根式:①被开方数的因数是整数,因式是整式;②被开方数中不含有能开方的因数或因式。 ⑷同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式之后,如果被开方数相同,则这几个根式叫做同类二次根式。 时,a c +=+ 2. 二次根式的性质 (1 ) ()2 0a a =≥. (2 00 0 0a a a a a a >?? ===??- 当时,当时,当时. 3.二次根式的运算法则: 对于二次更是的加减,先把二次根式化为最简二次根式,然后再合并同类二次根式即可. (1 )( a b =+ (2 )0,0a b ≥≥ (3 ))0,0a b =≥> (4 ) )0m a =≥ (5)若0a b >> >4. 分母有理化 (1)把分母中的根号化去叫做分母有理化. (2)互为有理数因式:两个含有根式的代数式相乘,如果它们的积不含有根式,则这两个代数式互为有理化因式 . 互为有理数因式。分母有理化时,一定要保证有理化因式的值不为0. 二、习题讲解
基础巩固 1.化简: (1 ) (2 (3 (4 ) (5 (6 ) 解:(1 ). (2 3. (3 ) (4 3 . (5 ) 2 32 - . (6 ) 2. 设y = ,求使y 有意义的x 的取值范围. 解:由题知2102010x x x -≥?? -≥??->?,解得1221 x x x ?≥?? ≤??>? ?,所以x 的取值范围为12 2x ≤≤. 3.(1)已知最简二次根式b a = , b = . (2)已知 0=,则2mn n +-的倒数的算术平方根为 . 解:(1)由题知:2 322b a b b a - =??=-+?,解得02a b =??=?. (2)因为0 ≥,2160m -≥0=
数学二次根式的专项培优练习题(含答案 一、选择题 1.下列计算正确的是( ) A .916916+=+ B .2222-= C .() 2 23 6 = D . 1515533 == 2.若3x +在实数范围内有意义,则x 的取值范围是( ) A .x >3 B .x >-3 C .x≥-3 D .x≤-3 3.下列各式中,正确的是( ) A .42=± B .822-= C . () 2 33-=- D .342= 4.要使2020x -有意义,x 的取值范围是( ) A .x≥2020 B .x≤2020 C .x> 2020 D .x< 2020 5.下列各式中正确的是( ) A .36=±6 B .2(2)2--=- C .8=4 D .2(7)-=7 6.下列式子中,为最简二次根式的是( ) A . 1 2 B .7 C .4 D .48 7.已知( )( ) 4 4 2 2 0,24,180x y x y x y x y >+=++-=、.则xy=( ) A .8 B .9 C .10 D .11 8.下列二次根式中,是最简二次根式的是( ). A .2xy B . 2 ab C . 12 D .422x x y + 9.关于代数式1 2 a a + +,有以下几种说法, ①当3a =-时,则1 2 a a ++的值为-4. ②若1 2 a a + +值为2,则3a =. ③若2a >-,则1 2 a a + +存在最小值且最小值为0. 在上述说法中正确的是( ) A .① B .①② C .①③ D .①②③ 10.若a 、b 、c 为有理数,且等式 成立,则2a +999b +1001c 的 值是( ) A .1999 B .2000 C .2001 D .不能确定
二次根式小结与提高 一、基本概念 (一)二次根式 下列式子,哪些是二次根式,、 1x x>0) -1x y +x ≥0,y?≥0). (二)最简二次根式 1(y>0)化为最简二次根式结果是( ). A (y>0) B y>0) C (y>0) D .以上都不对 2.(x ≥0) 3._________. (三)同类二次根式 1.以下二次根式:;是同类二次根式的是( ). A .①和② B .②和③ C .①和④ D .③和④ 2.在、、是同类二次根式的有______ 3.若最简根式3a a 、b 的值. (四) “分母有理化” 1.把下列各式的分母有理化 (1 (2; (3; (4. 二、二次根式有意义的条件:
1.(1)当x 在实数范围内有意义? (2)当x 是多少时, 11x +在实数范围内有意义? (3)当x 是多少时, x +x 2在实数范围内有意义? (4)当__________ (5)当__________时, 有意义。 2. x 有( )个. A .0 B .1 C .2 D .无数 3.已知,求x y 的值. 4. 11m +有意义,则m 的取值范围是 。 5 ). A .2 B .3 C .4 D .1 6.已知111-的整数部分为a ,小数部分为b ,试求()()111++b a 的值 三、二次根式的非负数性 1,求x y 的 2.2440y y -+=,求xy 的值。
四、?????-==a a a a 02 a=0 的应用 1. a ≥0 ). A C .2.先化简再求值:当a=9时,求的值,甲乙两人的解答如下: 甲的解答为:原式(1-a )=1; 乙的解答为:原式(a-1)=2a-1=17. 两种解答中,_______的解答是错误的,错误的原因是__________. 3.化简 ). A ..4.把(a-1a-1)移入根号内得( ). A ..5. 若-3≤x ≤2时,试化简│x-2│ 五、求值问题: 1.当y 求x 2-xy+y 2的值 2.已知a 2b-ab 2 =_________. 3. 已知2310x x -+= a>0 a <0
《二次根式》培优专题之一 ——难点指导及典型例题 【难点指导】 1、如果a 是二次根式,则一定有a ≥0;当a ≥0时,必有a ≥0; 2、当a ≥0时,a 表示a 的算术平方根,因此有 ()a a =2;反过来,也可以将一个非负数写成 ()2a 的形式; 3、()2a 表示a 2的算术平方根,因此有a a =2,a 可以是任意实数; 4、区别()a a =2和a a =2 的不同: ( 2a 中的可以取任意实数,()2a 中的a 只能是一个非负数,否则a 无意义. 5、简化二次根式的被开方数,主要有两个途径: (1)因式的内移:因式内移时,若m <0,则将负号留在根号外.即: x m x m 2-=(m <0). (2)因式外移时,若被开数中字母取值范围未指明时,则要进行讨论.即: 6、二次根式的比较: (1)若,则有;(2)若,则有. 说明:一般情况下,可将根号外的因式都移到根号里面去以后再比较大小. < 【典型例题】 1、概念与性质 2、二次根式的化简与计算