15．3． 分式方程（一）导学案
【学习目标】
1．了解分式方程的概念, 和产生增根的原因.
2．掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根. 学习重点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根.
学习难点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根.
学习过程
一，复习引入
1，回忆一元一次方程的解法，并且解方程163242=--+x x
2，一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？
分析：设江水的流速为v 千米/时，根据“两次航行所用时间相同”这一等量关系，得到方程v v -=
+206020100.
二、探索新知
1，分析方程v v -=
+206020100的特征，然后概括出分式方程的概念；像这样__________________ 分式方程与整式方程的区别是_______________________________ _
练习：下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？ (1)322x x =- (2) 734=+y x (3) x x 321=- (4) 1)1(-=-x x x (5)23x x
=-π (6) 10512=-+x x (7)21=-x x (8) 1312=++x x x
2，解方程；v v -=
+206020100
方程两边同时乘以（20+v ）（20-v ）得
解得：v= 检验： 将v= 代入分式方程，
所以v= 是原分式方程的根.
解分式方程的基本思想：
在方程的两边同乘最简公分母，就可约去分母，化成整式方程，解分式方程的解的两种情况：
①所得的根是原方程的根、②所得的根不是原方程的根
原方程的增根：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根
产生增根的原因：在把分式方程转化为整式方程时，分式的两边同时乘以了零
验根： 。
解分式方程的一般步骤：1 2 3
例1，解方程：（1）
x x 332=- （2）)2)(1(311+-=--x x x x
三、巩固练习
1， 课本练习
2，解方程 (1)623-=x x
（2）1613122-=-++x x x
（3）114112=---+x x x （4）22122=-+-x x x x
(5) 01152=+-+x x (6) x x x 387418
36---=-
(7)01432222=---++x x x x x (8) 432
2511-=+-+x x
四、课堂小结
1、本节课你的收获是什么？
分式方程 应用题专题 1、温（州）--福（州）铁路全长298千米．将于2009年6月通车，通车后，预计 从福州直达温州的火车行驶时间比目前高速公路上汽车的行驶时间缩短2小时．已知福州至温州的高速公路长331千米，火车的设计时速是现行高速公路上汽车行驶时速的2倍．求通车后火车从福州直达温州所用的时间（结果精确到0.01小时）． 2、某商店在“端午节”到来之际，以2400元购进一批盒装粽子，节日期间每盒按进 价增加20%作为售价，售出了50盒；节日过后每盒以低于进价5元作为售价，售完余下的粽子，整个买卖过程共盈利350元，求每盒粽子的进价． 3、甲、乙两个清洁队共同参与了城中垃圾场的清运工作．甲队单独工作2天完成 总量的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了1天，总量全部完成．那么乙队单独完成总量需要（ ） Ａ．6天 Ｂ．4天 Ｃ．3天 Ｄ．2天 4、炎炎夏日，甲安装队为A 小区安装66台空调，乙安装队为B 小区安装60台空 调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装2台．设乙队每天安装x 台，根据题意，下面所列方程中正确的是（ ） A ．66602x x =- B ．66602x x =- C ．66602x x =+ D ．66602x x =+ 5、张明与李强共同清点一批图书，已知张明清点完200本图书所用的时间与李强 清点完300本图书所用的时间相同，且李强平均每分钟比张明多清点10本，求张明平均每分钟清点图书的数量． 6.（2008西宁）“5·12”汶川大地震导致某铁路隧道被严重破坏．为抢修其中一 段120米的铁路，施工队每天比原计划多修5米，结果提前4天开通了列车．问原计划每天修多少米？某原计划每天修x 米，所列方程正确的是（ ） A ．12012045x x -=+ B ．12012045 x x -=+ C ．12012045x x -=- D ．12012045 x x -=-
分式应用题 1、甲、乙两人准备整理一批新到的实验器材，甲单独整理需要40分完工；若甲、乙共同整理20分钟后，乙需要再单独整理20分才能完工。问：乙单独整理需多少分钟完工？ 2、有两块面积相同的试验田，分别收获蔬菜900千克和1500千克，已知第一块试验田每亩收获蔬菜比第二块少300千克，求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克？ 3、甲、乙两地相距19千米，某人从甲地去乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，共用了2小时到达乙地。已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍。求步行的速度和骑自行车的速度。 4、小兰的妈妈在供销大厦用12.50元买了若干瓶酸奶，但她在百货商场食品自选室发现，同样的酸奶，这里要比供销大厦每瓶便宜0.2元，因此，当第二次买酸奶时，便到百货商场去买，结果用去18.40元钱，买的瓶数比第一次买的瓶数多，问：她第一次在供销大厦买了几瓶酸奶？ 5、某商店经销一种纪念品，4月份的营业额为2000元，为扩大销售，5月份该商店对这种纪念品打九折销售，结果销售量增加20件，营业额增加700元。 ⑴求这种纪念品4月份的销售价格。 ⑵若4月份销售这种纪念品获利800元，问：5月份销售这种纪念品获利多少元？ 6、王明和李刚各自加工15个零件，王明每小时比李刚多加工1个，结果比李刚少用半小时完成任务，问：两人每小时各加工多少个零件？ 7、某一项工程在招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，施工一天，需付甲工程队款1.5万元，乙工程队款1.1万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案： 方案一：甲队单独完成这项工程刚好如期完成； 方案二：乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天； 方案三：若甲、乙两队合做4天，余下的工程由乙队单独完成，也正好如期完成。 试问：在不耽误工期的情况下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由。 8、一个分数的分母比分子大7，如果把此分数的分子加17，分母减4，所得新分数是原分数的倒数，求原分数。 9、今年某市遇到百年一遇的大旱，全市人民齐心协力积极抗旱。某校师生也行动起来捐款打井抗旱，已知第一天捐款4800元，第二天捐款6000元，第二天捐款人数比第一天捐款人数多50人，且两天人均捐款数相等，那么两天共参加捐款的人数是多少？ 10、某超市用5000元购进一批新品种的苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨11000元资金购进该品种苹果，但这次的进价比试销时的进价每千克多了0.5元，购进苹果数量是试销时的2倍。
第十五章 分式 15.3 分式方程 第2课时 分式方程的应用 学习目标：1.理解实际问题中的数量关系. 2.在不同的实际问题中能审明题意设未知数，列分式方程解决实际问题. 重点：能通过列分式方程解决实际问题. 难点：找出实际问题中的数量关系，并列出方程. 一、知识链接 1.解方程： 2.列方程（组）解应用题的一般步骤是什么？ （1） ；（2） ；（3）解所列方程； （4）检验所列方程的解是否符合题意；（5）写出完整的答案. 3.列方程（组）解应用题的关键是什么？ 二、新知预习 4.完成下面解题过程： 小红和小丽分别将9000字和7500字的两篇文稿录入计算机，所用时间相同.已知两人每分钟录入计算机字数的和是220字.两人每分钟各录入多少字？ （1）请找出上述问题中的等量关系； 答：________________________________________________________________________. （2）试列出方程，并求方程的解； 解：设小红每分钟录入x 字，则小丽每分钟录入______字.根据题意，得 _________________________. 解这个方程得_____________________. 经检验，__________________________. 答：_____________________________________________________________. 要点归纳：根据4中的解题步骤，归纳用分式方程解决实际问题的一般步骤为： 第一步，审清题意； 第二步，根据题意设未知数； 第三步，根据题目中的数量关系列出式子，并找准等量关系，列出方程； 第四步，解方程，并验根，还要看方程的解______________； 第五步，作答． 三、自学自测 1.八年级(1)班全体师生义务植树300棵．原计划每小时植树x 棵，但由于参加植树的全体师生植树的积极性高涨，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，结果提前20分钟完成任务．则下面所列方程中，正确的是( ) A.300x －2060＝3001.2x B.300x －3001.2x ＝20 自主学习 教学备注 学生在课前完成自主学习部分 241122x x x x += --
分式方程应用题总汇及答案 1、A、B两地的距离是80公里，一辆公共汽车从A地驶出3小时后，一辆小汽车也从A地出发，它的速度是公共汽车的3倍，已知小汽车比公共汽车迟20分钟到达B地，求两车的速度。 【提示】设共交车速度为x，小汽车速度为3x，列方程得：80/(3x) +3=80/x +20/60 2、为加快西部大开发，某自治区决定新修一条公路，甲、乙两工程队承包此项工程。如果甲工程队单独施工，则刚好如期完成；如果乙工程队单独施工就要超过6个月才能完成，现在甲、乙两队先共同施工4个月，剩下的由乙队单独施工，则刚好如期完成。问原来规定修好这条公路需多长时间？ 【提示】设时间为x个月，列方程得：[1/x+1/(x+6)]*4+(x-4)/(x+6)=1 3、某工人原计划在规定时间内恰好加工1500个零件，改进了工具和操作方法后，工作效率提高为原来的2倍，因此加工1500个零件时，比原计划提前了五小时，问原计划每小时加工多少个零件？ 【提示】设原计划每小时加工x个零件，列方程得：1500/2x +5=1500/x 4、甲、乙两组学生去距学校4.5千米的敬老院打扫卫生，甲组学生步行出发半小时后，乙组学生骑自行车开始出发，结果两组学生同时到达敬老院，如果步行的速度是骑自行车的速度的1/3，求步行和骑自行车的速度各是多少？ 【提示】设步行的速度是每小时x千米，则4.5/3x +0.5=4.5/x 5、某质检部门抽取甲、乙两个相同数量的产品进行质量检测，结果甲厂有48件合格产品，乙厂有45件合格产品，甲厂合格率比乙厂高5%，求抽取检验的产品数量及甲厂的合格率。 【提示】设抽取检验的产品数量为x，则(48/x -45/x)*100％=5％ 6、某车间加工1200个零件后，采用了新工艺，工效提高50%，这样加工同样多的零件就少用10小时，采用新工艺前后每小时分别加工多少个零件？
青松岭中学八年级（上）数学学案 编号： 课题: 《分式和分式方程》复习1 课型：复习课 编制人：刘玉良 项 欣 编制日期： 使用日期： 学习目标： 1、进一步理解分式意义，熟练掌握分式的基本性质、分式运算法则； 2、能熟练准确地进行分式的运算； 3、通过对例题的学习，进一步提高分析问题，解决问题的能力。 本章知识结构图 一、知识链接 考点1：分式的概念 分式的概念：分式的形式⑴形如：________； ⑵分母B 中含有__________；⑶ A 、B 为整式且B ____________. 2、形如B A ： 考点2：分式的性质 分式的基本性质用字母表示为______________________ 。 约分：要找出分子、分母的 .方法：系数的 ，相同字母的 . 通分：要找出各分母的 .方法：系数的 ，所有字母的 . 分式 的最简公分母是_________. 考点3：分式的运算 1. 分式的乘除法则： a c b d ?=_______；a c b d ÷=______ = . 2. 分式的乘方：( b a )n = (n 为正整数) .计算 b a .2b a = ；2 2y 1-x .1y +x = . 2．分式的加减法则：同分母：a b c c ± = ；异分母→同分母 a c b d ±=________． 3、混合运算：运算顺序是 考点4：分式条件求值 先将分式进行化简，然后代入求值，这是最基本的解题方法． 先化简代数式：（ 2 x x 2x x +- -）÷2x x 4-，然后从0，1，2，-1，-2中选取一个你喜欢的x 值代入求值． 二、强化训练 1、当x=________时，分式 0) 1x )(3x (3 |x |=+-- 2、下列运算中正确的是（ ） b a 1b 1a A =++、 b a b b b a B =?÷1、 b a a 1b 1C -=-、 01x x 1x 11x D =-----、 3、化简求值 )21 (12 --?-x x x x 其中x = 2 4、 有意义 无意义 值为零 ab 4c ,a 3b ,b 2a 2 1 1 1 4x 2–9y 2 2x+3y 2x –3y ÷ + ( )
归纳：15.3 分式方程 15.3.1 分式方程及其解法 学习目标： 1.知道分式方程的概念； 2.会解分式方程。 重点：分式方程及其解法. 难点：分式方程产生增根的原因. 学习过程： 一、复习回顾： 1.什么是一元一次方程？ 2.怎么解一元一次方程？ 二、新课导入： 问题：一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行90千米所用的时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？ 设：江水流速为v 千米/时，可得方程： 总结： 分式方程：______中含有___________的方程叫做分式方程. 练一练：下列方程哪些是分式方程？哪些是整式方程？ ⑴1=+y x ； ⑵3252z y x -=+； ⑶21-x ； ⑷053=+-x y ； ⑸11=+x x ； ⑹5 23x x +=-π 探究：怎样解上面问题中的方程呢？ 例1 解方程： ⑴ 233x x =- ⑵11 4112=---+x x x 解分式方程的基本思路： 把分式方程“转化”为___________，再利用________和解法求解。 解分式方程的方法： 在方程的两边同乘___________，就可约去___________，化成__________________。 总结： 解分式方程的基本步骤： 1._____________________________________ 2._____________________________________ 3._____________________________________
三、课堂达标检测： 解下列方程： ⑴x x 132=- ⑵x x 527=- ⑶31 2=-x x 四、课堂小结： 解分式方程的一般步骤是： 1.“化”在方程两边同乘以最简公分母，化成____________方程。 2.“解”即这个____________方程。 3.“验”即把方程的根代入____________，如果值____________，就是原方程的根；如果值____________，就是增根，应当____________。 五、课后检测： 1.下列方程是分式方程的是（ ） A. 2513x x =+- B.315226y y -+=- C.212302x x +-= D.81257x x +-= 2.若分式43+-x x 的值为0，则x 的值是（ ） A.x =3 B.x =0 C.x =﹣3 D.x =﹣4 3.把分式方程x x 142=+转化为一元一次方程时，方程两边需同乘以（ ） A.x B.2x C.x +4 D.x （x +4） 4.解下列方程： ⑴1 2511+=-x x ⑵112x =- ⑶x x 325=- ⑷ 3121 x x =- 15.3.2 解分式方程 教学目标： 1.了解分式方程的基本思路和解法. 2.理解分式方程可能无解的原因,并掌握解分式方程的验根的方法. 重点：解分式方程的基本思路和解法. 难点：理解解分式方程可能无解的原因，及增根的含义.
八年级数学下册 16.3.1 可化为一元一次方程的分式方程导学案（新版）华东师大版 16、3、1 可化为一元一次方程的分式方程 【学情分析】 学生在初一年已经学习了一元一次方程的解法，并且在本章前面的学习中也学习分式有意义的条件，为本节的学习打下了基础，本节的关键是把分式方程化为整式方程来解。 【学习内容分析】 本节内容通过一个实际应用题来引入分式方程的概念，然后引导、概括分式方程的解法及检验的原因，再结合练习巩固。 【学习目标】 （1）理解分式方程的概念（2）掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法（3）懂得解分式方程可能产生增根，理解检验的必要性并会进行检验。 【重难点预测】 教学重点: 掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法教学难点: 理解解分式方程时产生增根的原因，并会进行检验。 【学习过程】 + 【学法指导】
基本环节：自学展示—反馈 一、课前展示：（4分钟） 1、上节课典错展示、分析； 2、问题导入：P12 “问题” 二、明确目标、自学指导（2分钟） 【自学指导】 认真看P12---15页的“例2”的内容，思考： 1、分式方程的特点： 2、去分母时，方程两边每一项同乘以各分母的，其根据是_____________ 3、什么叫增根？为什么要验根？如何快速验根？5分钟后，比谁能正确地做出相关练习。 三、自主学习，检测练习。（8分钟） 1、学生看书，教师巡视，确保人人紧张看书。 2、学生练习：P16练习2 、 四、组内交流、准备汇报 （5分钟）讨论分工如下：4个小组： 练习2（1）5个小组：练习2（2） 五、组间展示点评，达成共识（7分钟）小组代表展示，小组代表点评、质疑，教师点拨、拓展，控制秩序。共识： 1、分式方程的概念； 2、分式方程的解法；
分式方程应用题专题 1、我国“八纵八横”铁路骨干网的第八纵通道——温（州）福（州） 铁路全长298千米．将于2009年6月通车，通车后，预计从福州直达温州的火车行驶时间比目前高速公路上汽车的行驶时间 缩短2小时．已知福州至温州的高速公路长331千米，火车的设计时速是现行高速公路上汽车行驶时速的2倍．求通车后火车从福州直达温州所用的时间（结果精确到0.01小时）． 2、某商店在“端午节”到来之际，以2400元购进一批盒装粽子，节 日期间每盒按进价增加20%作为售价，售出了50盒；节日过后每盒以低于进价5元作为售价，售完余下的粽子，整个买卖过程共盈利350元，求每盒粽子的进价． 3、南宁市2006年的污水处理量为10万吨/天，2007年的污水处理 量为34万吨/天，2007年平均每天的污水排放量是2006年平均每天污水排放量的1.05倍，若2007年每天的污水处理率比2006年每天的污水处理率提高40%（污水处理率 污水处理量 ）． 污水排放量 （1）求南宁市2006年、2007年平均每天的污水排放量分别是多少万吨？（结果保留整数） （2）预计我市2010年平均每天的污水排放量比2007年平均每天污水排放量增加20%，按照国家要求“2010年省会城市的污水处理 率不低于 ．．．70%”，那么我市2010年每天污水处理量在2007年每天 污水处理量的基础上至少 ．．还需要增加多少万吨，才能符合国家规定的要求？
4、甲、乙两个清洁队共同参与了城中垃圾场的清运工作．甲队单独 工作2天完成总量的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了1天，总量全部完成．那么乙队单独完成总量需要（ ） Ａ．6天 Ｂ．4天 Ｃ．3天 Ｄ．2天 5、炎炎夏日，甲安装队为A 小区安装66台空调，乙安装队为B 小区 安装60台空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装2台．设乙队每天安装x 台，根据题意，下面所列方程中正确的是（ ） A ．66602x x =- B ．66602x x =- C ．66602x x =+ D ．66602x x =+ 6、张明与李强共同清点一批图书，已知张明清点完200本图书所用 的时间与李强清点完300本图书所用的时间相同，且李强平均每分钟比张明多清点10本，求张明平均每分钟清点图书的数量． 7、有两块面积相同的试验田，分别收获蔬菜900kg 和1500kg ，已知 第一块试验田每亩收获蔬菜比第二块少300kg ，求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克．设一块试验田每亩收获蔬菜x kg ，根据题意，可得方程（ ） A ．9001500300x x =+ B ．9001500300x x =- C ．9001500300x x =+ D ．9001500300x x =-
分式和分式方程的计算 《学案》 学习目标 1．了解分式的概念，能说出分式加减，乘除的法则． 会用这些法则 进行简单的加减乘除混合运算。 2．了解分式方程的概念，知道分式方程每一步的解法依据，从而使 学生会解分式方程。 3. 通过分式与分数计算的类比，分式解法与分式方程解法的类比， 使学生理解他们的异同。从而培养学生总结概括的能力。 学习重点和难点 分式的基本性质和等式基本性质的应用； 难点是分式计算与解分式方程的异同. 学习过程 一、 完成下列预习作业： 1、分解因式： ① 2x-6= ; ② x 3-4x 2+4x= ； ③1-2x+x 2= ; ④ x 2-9y 2= ; 2、计算 ；=+7372 =-7372 依据 ==+5432；==-5432 依据 3、计算 x x y ++y y x +=________= ；32b a -32a a =________= = 依据是 32ab +2 14a =________= ；a-b+22b a b += = 依据 4、填出下列各等式中未知的分子或分母。 ()22y x y x y x -=+-()y x ≠； ()b a ab ab a -=-2
()1)3(3=--x x x ； ()1122-=-+x x x x 依据是 __________________________________________________________ 5、=÷= ?5432,5432 依据： __________________________________________________________ （1） 3234y x x y ? = （2） cd b a c ab 4322222-÷ 依据： __________________________________________________________ 二、自学、合作探究 例1： 2221x x x x x -+÷ （写出步骤及依据） 例2： x x x x x x 34292222--?+- （写出步骤及依据） 例3： 22111x x x --- （写出步骤及依据） 例4：a a a a a 21)242(22+?---
第16章复习与小结 【学习目标】 1．让学生进一步熟悉分式的基本性质与分式的运算，解分式方程及分式方程应用题． 2．让学生进一步熟悉零指数幂与负整数指数幂及科学记数法． 【学习重点】 分式的性质、运算、分式方程、应用题、零指数幂与负整数指数幂． 【学习难点】 分式的运算、应用题与整数指数幂． 行为提示：知识结构图及相关知识可以让学生自主完成，有不熟悉的可让学生之间互相辅导． 知识链接： 1．分式A B ＝0?? ????A ＝0，B ≠0. 2．分式A B 有意义?B ≠0；反之，无意义时，B ＝0. 3．分式通分、约分的依据：分式的基本性质． 4．分式的运算顺序与实数的运算顺序一样． 方法指导：针对每一道数学题，都应认真读题，明确已知条件和隐含条件，特别是分式 的基本性质、解分式方程，处处都是陷阱，还有0与负整数指数幂的运算，都应小心．情景 导入 生成问题 知识结构图 自学互研 生成能力 知识模块一 分式的基本性质与运算 【合作探究】 范例1：下列有理式：2a π，x 23x ，12a ＋23b ，x －y x 2＋y 2，－x －2，y x ，其中是分式的有( D ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 分析：分式的两个特点：(1)分母是整式且不为0；(2)分母含有字母(π除外)． 范例2：下列式子从左到右的变形一定正确的是( D ) A .A B ＝A ·M B ·M B .A B ＝A ÷M B ÷M C .b a ＝b ＋1a ＋1 D .2a －b ＝84a －4b
分析：分式的基本性质：分式的分子、分母都乘以(或都除以)同一个不等于0的整式， 分式的值不变． 注意：左边约去的整式是隐含条件，成立；右边约去的整式没有限制条件，不成立． 范例3：下列分式：xy 22a 2b ，a 2－b 2a ＋b ，x －1x 2＋1，1－x x ，其中是最简分式的有( C ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 分析：最简分式是指分子与分母没有公因式的分式． 范例4：(2016·烟台中考)先化简，再求值：????x 2－y x －x －1÷x 2－y 2x 2－2xy ＋y 2，其中x ＝2， y ＝ 6. 分析：分式的混合运算应注意运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后得出结果， 分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式．同时注意符号的变化．
1.2分式的乘除法 1.会进行分式的乘除法的运算； 类比分数乘除法的运算法则.探索分式乘除法的运算法则 培养学生的创新意识和应用数学的意识. 会进行分式的乘除运算 灵活运用所学的知识解题 小组合作交流，精讲多练 一.创设情境，引入新课 上节课，我们学习了分式的基本性质，我们可以发现它与分数的基本性质类似，那么分式的运算是否也和分数的运算类似呢？ 下面我们观察下列算式：——探索、交流 32×54=5342??,75×92=9 72 5??, 32÷54=32×45=4352??,75÷92=75×29=2 795??. 猜一猜a b ×c d = a b ÷c d = 与同伴交流. 观察上面运算，可知： 两个分数相乘，把 作为积的分子，把 作为积的分母； 两个分数相除， 。 即 a b ×c d =ac bd ; a b ÷c d =a b ×d c =ad bc . 这里字母a ,b ,c ,d 都是整数，但a ,c ,d 不为零. 如果让字母代表整式，那么就得到类似于分数的分式的乘除法. 二．探究新知 1.分式的乘除法法则 分式的乘除法法则与分数的乘除法法则类似： 两个分式相乘， 两个分式相除， 2.例题讲解 ［例1］计算：（1）y a 86·2232a y ;（2）c ab 42·(-b a c 2 32). 分析：（1）将算式对照乘除法运算法则，进行运算；（2）强调运算结果如不是最简分式时，一 定要进行约分，使运算结果化为最简分式. ［例2］计算：（1）3xy 2÷x y 2 6;（2）(b a 2-)÷(2 )b a 分析：（1）将算式对照分式的除法运算法则，进行运算；（2）当分子、分母是多项式时，一般应先分解因式，并在运算过程中约分，可以使运算简化，避免走弯路. 巩固练习 (1)2 2 543()512y x y x xy ? ?- (2)322 26()y x x y x x y ÷-?÷ (3) 222522223111212()()()6189a b a y ay cx c x b x -÷-?- 想一想 （1）你会计算 22-+a a ·a a 21 2+吗？ （2）两个分式相乘时，如果分子或分母是多项式，应当先怎样进行？ 3.做一做
分式方程的解法及应用（提高) 【学习目标】 1. 了解分式方程的概念和检验根的意义,会解可化为一元一次方程的分式方程． 2. 会列出分式方程解简单的应用问题． 【要点梳理】 要点一、分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫分式方程. 要点诠释:（１)分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数． (2)分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数(不是一般的字母 系数）．分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的 方程是整式方程. （3)分式方程和整式方程的联系:分式方程可以转化为整式方程. 要点二、分式方程的解法 解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根. 解分式方程的一般步骤： (１）方程两边都乘以最简公分母,去掉分母，化成整式方程（注意:当分母是多项式时,先分解因式,再找出最简公分母); (２)解这个整式方程,求出整式方程的解； (3)检验:将求得的解代入最简公分母,若最简公分母不等于0,则这个解是原分式方程的解,若最简公分母等于０,则这个解不是原分式方程的解,原分式方程无解. 要点三、解分式方程产生增根的原因 方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根． 产生增根的原因:去分母时,方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子,这个式子有可能为零，对于整式方程来说,求出的根成立,而对于原分式方程来说,分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根. 要点诠释：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理,方程的两边都乘以(或除以）同一个不为0的数,所得方程是原方程 的同解方程．如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程 不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根. （２）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解 方程过程中是否有错误,而是检验是否出现增根,它是在解方程的过程 中没有错误的前提下进行的． 要点四、分式方程的应用 分式方程的应用主要就是列方程解应用题. 列分式方程解应用题按下列步骤进行: （1)审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系; (２）设未知数; （3)找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程; （4)解这个分式方程； （5)验根，检验是否是增根; （6)写出答案.
八年级数学下分式方程应用练习 1、甲、乙两人准备整理一批新到的实验器材，甲单独整理需要40 分完工；若甲、乙共同整理20分钟后，乙需要再单独整理20 分才能完工。问：乙单独整理需多少分钟完工？ 2、有两块面积相同的试验田，分别收获蔬菜 900 千克和 1500 千克，已知第一块试验田每亩收获蔬 菜比第二块少 300 千克，求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克？ 3、甲、乙两地相距19 千米，某人从甲地去乙地，先步行7 千米，然后改骑自行车，共用了 2 小时到达乙地。已知这个人骑自行车的速度是步行速度的 4 倍。求步行的速度和骑自行车的速度。 4、小兰的妈妈在供销大厦用12.50 元买了若干瓶酸奶，但她在百货商场食品自选室发现，同样的 酸奶，这里要比供销大厦每瓶便宜0.2 元，因此，当第二次买酸奶时，便到百货商场去买，结果 用去 18.40 元钱，买的瓶数比第一次买的瓶数多，问：她第一次在供销大厦买了几瓶酸奶？ 5、某商店经销一种纪念品， 4 月份的营业额为2000 元，为扩大销售， 5 月份该商店对这种纪念品打九折销售，结果销售量增加20 件，营业额增加700 元。 ⑴求这种纪念品 4 月份的销售价格。 ⑵若 4 月份销售这种纪念品获利800 元，问： 5 月份销售这种纪念品获利多少元？
6、、某一项工程在招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，施工一天，需付甲工程队款 1.5 万元，乙工程队款 1.1 万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案： 方案一：甲队单独完成这项工程刚好如期完成； 方案二：乙队单独完成这项工程要比规定日期多用 5 天； 方案三：若甲、乙两队合做 4 天，余下的工程由乙队单独完成，也正好如期完成。 试问：在不耽误工期的情况下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由。 7、一个分数的分母比分子大7，如果把此分数的分子加17，分母减 4，所得新分数是原分数的倒数，求原分数。 8、今年某市遇到百年一遇的大旱，全市人民齐心协力积极抗旱。某校师生也行动起来捐款打井抗 旱，已知第一天捐款4800 元，第二天捐款6000 元，第二天捐款人数比第一天捐款人数多50 人，且两天人均捐款数相等，那么两天共参加捐款的人数是多少？ 9、、某超市用 5000 元购进一批新品种的苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨11000 元资金购进该品种苹果，但这次的进价比试销时的进价每千克多了0.5 元，购进苹果数量是试销时的 2 倍。⑴ 试销时该品种苹果的进价是每千克多少元？ ⑵如果超市将该品种苹果按每千克7 元的定价出售，当大部分苹果售出后，余下的400 千克按定价的七折售完，那么超市在这两次苹果销售中共盈利多少元？
第2页 共3页 课题：5.2分式的乘除法 主编：江雪梅 审核：初二备课组 班级____ __ 姓名________小组______ 家长签名________ 【学习目标】 1、分式的乘除运算法则 2、会进行简单的分式的乘除法运算 一、【课前预习】阅读课本P114 – P115，完成下列填空： 1. 把下列各式分解因式: (1) 6a 2-2a (2)x 2-4 2.当x_________时,分式152--x x 有意义; 当x_________时,分式1 52--x x 的值为0、 3.分式乘除法的法则 ：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的______,把分母相乘的积作为积的______, 两个分式相除，把除式的分子的分母颠倒_______后再与被除式________. 4.化简:（1）b a a b 22 2015 （2）222)(y x y x -- 二、【探究新知】 活动(一)：分式的乘除运算法则： 观察下列运算 活动（二）：例1 计算 活动（三） 练习一： 计算: 22 3286)1(a y y a ?a a a a 2122)2(2+? -+
第2页 共3页 （1） c b a a bc 222? (2) b b a a b -+?-2239 活动（四）：例２ 计算 活动（五）：练习一： 计算: （1） a a a a 1)(2 -÷- （2） )4(2442222y x y x y xy x -÷++- 活动（六）：课堂小测 计算：(1) 25415a b b a ? （2） 324(2)a b a b x ÷- （3） 2)(b a b b a a -?- (4) )(12a a a a -÷- 三、【小结】 你的收获是： 。 四、【作业】 1、预习： （1）看书：课文P117-118 （2） 导学案38 批阅:_______ 小组长:_________ x y xy 2263)1(÷4 1441) 2(222--÷+--a a a a a
分式知识点总结 （一） 分式的相关概念 考点一：分式的定义:__________________________________ 【例1】下列代数式中：222 ,,,,2x x y ax x y x x y π+- +，是分式的有： ______. 考点二：分式有意义的条件:____________________________________________- 【例2】当x 时，分式31 -+x x 有意义；当x 时，分式32-x x 无意义。 考点三：分式的值为0的条件:________________________________________- 【例3】分式39 2 --x x ：当x ______时分式的值为零。 考点四：考分式的值为正、负的条件 【例4】（1）当x =___________时，分式x -84 为正； （2）当x =________________时，分式22 3x x -+为非负数. （二）分式的基本性质及有关题型 1．分式的基本性质：A A M A M B B M B ?÷==?÷ 【例1】若把分式xy y x 2+中的x 和y 都扩大3倍，那么分式的值（ ） A 、扩大3倍 B 、不变 C 、缩小3倍 D 、缩小6倍 考点一：分数的系数变号 【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号. （1）b a ---=_______（2）y x y x --+-=__________ 考点二：化简求值题 【例1】已知：21 =-x x ，则221 x x +=_______________. .【例2】已知a+b=5， ab=3，则=+b a 1 1 _______。 （三）分式的运算 1．确定最简公分母的方法：_____________________________________________________
分式方程及应用练习 1．分式方程 2x =3的解是________；分式方程5231x x =-的解是________． 2．已知公式1221P P V V =，用P 1、P 2、V 2表示V 1=________．3．已知y=46mx n x -，则x=________． 4．一项工程，甲单独做需m 小时完成，若与乙合作20小时可以完成，则乙单独完成需要的时间 是（ ） A ．2020m m -小时 B ．2020m m +小时 C ．2020m m -小时 D ．2020m m +小时 5．我市要筑一水坝，需要规定日期内完成，如果由甲队去做，?恰能如期完成，如果由乙队去做，需超过规定日期三天，现由甲、乙两队合做2天后，?余下的工程由乙队独自做，恰好在规定日期内完成，求规定的日期x ，下面所列方程错误的是（ ） A ． 2x +3x x +=1 B ．2x =33 x + C ．（1x +13x +）×2+13x +（x-2）=1 D ．1x +3x x +=1 6．物理学中，并联电路中总电阻R 和各支路电阻R 1、R 2满足关系 1R =11R +2 1R ，若R 1=10，R 2=15，求总电阻R ． 7．为改善环境，张村拟在荒山上种植960棵树，由于共青团员的支持，每日比原计划多种20棵， 结果提前4天完成任务，原计算每天种植多少棵？设原计划每天种植x 棵，根据题意得 方程_______ _． 8．某河两地相距s 千米，船在静水中的速度为a 千米/时，水流速度为b 千米/时，船往返一次所 用的时间为（ ） A ． 2s a b + B ．2s a b - C ．s a +s b D ．s a b ++s a b - 拓展创新题 10．某车间有甲、乙两个小组，?甲组的工作效率比乙组的工作效率高25%，因此，甲组加工2 000
八年级数学下册 3.4 分式方程（1）导学案北 师大版 3、4 分式方程（1）学习目标： 1、通过对实际问题的分析，感受分式方程是刻画现实世界的有效模型，归纳分式方程的概念。 2、在活动中培养学生乐于探究合作学习的习惯，培养学生努力寻找解决问题的进取心，体会数学的应用价值。学习重点：根据实际问题中的数量关系列出分式方程，归纳出分式方程的定义。学习难点：根据实际问题中的数量关系列出分式方程。学习过程：问题1：某市从今年1月1日起调整居民用水价格,每立方米水费上涨0、4元、小丽家去年12月的水费是15元,而今年7月份的水费是25元、如果设去年每立方米水费为x元。那么今年每立方米水费为 _________ 元。小丽家去年12月的用水量是________立方米。今年7月份的用水量是____________立方米问题2： 有两快面积相同的小麦实验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦9000 ㎏和15000 ㎏，已知第一块的小麦实验田每公顷的产量比第二块少3000㎏，如何设未知数列方程？问：（1）如果设第一块小麦实验田的每公顷的产量为 x ㎏,
那么第二块实验田每公顷的产量为_______ ㎏、（2）第一块试验田有__________公顷？第二块试验田有__________公顷？ (3）、你能发现这个问题中的等量关系吗？第一块试验田面积=第二块试验田面积(4）、你能根据面积相等列出方程吗？问题3：从甲地到乙地有两条路可以走：一条全长600 km普通公路，另一条是全长480km 的高速公路，某客车在高速公路上行驶的平均速度比普通公路上快45km/h，由高速公路从甲地到乙地的所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间？1）、你能发现这个问题中的等量关系吗？2）、你能根据等量关系列出分式方程吗？解：设走高速公路需时间x小时，可列方程，比较左右两边的方程, 有什么不同?分母中含有_________的方程叫做分式方程练习1：下列各式中，是分式方程的是( ) A、x+y=5 B、 C、 D、=0练习2：为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款，已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款总额5000元，第二次捐款人比第一次多20人，而且两次人均捐款额正好相等，如果设第一次捐款的人数为x人，那么你能列出分式方程吗？
八年级数学下册 5.4 分式方程导学案3（新 版）北师大版 1、经历探索分式方程应用的过程，会检验根的合理性； 2、经历“实际问题情境建立分式方程模型求解解释解的合理性”的过程，进一步提高分析问题和解决问题的能力，增强学数学、用数学的意识、重点探索分式方程应用的过程难点、会检验根的合理性 导学过程组间交流，展示成果：导学过程导学后反思知识回顾： 1、解分式方程的一般步骤： 2、解方程 3、列一元一次方程解应用题的一般步骤分哪几步？自主探究，发现问题： 1、列分式方程解应用题有哪些必要的步骤？ 2、列分式方程解应用题要注意哪些问题？小组合作，解决问题：按“审---设---列---解---验---答”的步骤解决问题、李明计划在一定日期内读完200页的一本书，读了5天后改变了计划，每天多读5页，结果提前一天读完，求他原计划平均每天读几页书、解答方案：设李明原计划平均每天读书x页，用含x的代数式表示：(1)李明原计划读完这本书需用天；(2)改变计划
时，已读了页,还剩页；(3)读了5天后，每天多读5页，读完剩余部分还需天；(4)根据问题中的相等关系，列出相应方程；解这个方程得，经检验，是所列方程的解 (5)李明原计划平均每天读书页、(用数字作答)完成教材P129~130的对应习题运用检测，组内互评： 1、已知的解为负数，试求m的取值范围、 2、 A、B两地的距离是80公里，一辆公共汽车从A地驶出3小时后，一辆小汽车也从A地出发，它的速度是公共汽车的3倍，已知小汽车比公共汽车迟20分钟到达B地，求两车的速度、3、某市今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨25%，小明家去年12月份的水费是18元，而今年5月份的水费是36元，已知小明家今年5月份的用水量比去年12月份多6立方米，求该市今年居民用水的价格、4、4、用如图的长方形和正方形纸板分别作侧面和底面，做成如图的竖式和横式的两种无盖纸盒、现在需要生产竖式纸盒与横式纸盒的个数比是5： 3、为使长方形和正方形纸板恰好都能用完，进料时长方形和正方形纸板的张数比应是多少? 教学反思：
分式方程应用题 1、温（州）--福（州）铁路全长298千米．将于2009年6月通车，通车后，预计从福州直达温州的 火车行驶时间比目前高速公路上汽车的行驶时间缩短2小时．已知福州至温州的高速公路长331千米，火车的设计时速是现行高速公路上汽车行驶时速的2倍．求通车后火车从福州直达温州所用的时间（结果精确到0.01小时）． 2、某商店在“端午节”到来之际，以2400元购进一批盒装粽子，节日期间每盒按进价增加20%作为 售价，售出了50盒；节日过后每盒以低于进价5元作为售价，售完余下的粽子，整个买卖过程共盈利350元，求每盒粽子的进价． 4、甲、乙两个清洁队共同参与了城中垃圾场的清运工作．甲队单独工作2天完成总量的三分之一， 这时增加了乙队，两队又共同工作了1天，总量全部完成．那么乙队单独完成总量需要（ ） Ａ．6天 Ｂ．4天 Ｃ．3天 Ｄ．2天 5、炎炎夏日，甲安装队为A 小区安装66台空调，乙安装队为B 小区安装60台空调，两队同时开工 且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装2台．设乙队每天安装x 台，根据题意，下面所列方程中正确的是（ ） A ．66602x x =- B ．66602x x =- C ．66602x x =+ D ．66602x x =+ 6、张明与李强共同清点一批图书，已知张明清点完200本图书所用的时间与李强清点完300本图书 所用的时间相同，且李强平均每分钟比张明多清点10本，求张明平均每分钟清点图书的数量． 7、有两块面积相同的试验田，分别收获蔬菜900kg 和1500kg ，已知第一块试验田每亩收获蔬菜比第 二块少300kg ，求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克．设一块试验田每亩收获蔬菜x kg ，根据题意，可得方程（ ） A ．9001500300x x =+ B ．9001500300 x x =- C ．9001500300x x =+ D ．9001500300x x =- 8、进入防汛期后，某地对河堤进行了加固．该地驻军在河堤加固的工程中出色完成了任务．这是记 者与驻军工程指挥官的一段对话: 9 2天后，再由两队合作10天就能完成全部工程．已知乙队单独完成此项工程所需天数是甲队单独完成此项工程所需天数的45，求甲、乙两个施工队单独完成此项工程各需多少天？ 10、南水北调东线工程已经开工，某施工单位准备对运河一段长2240m 的河堤进行加固，由于采用 新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20m ，因而完成河堤加固工程所需天数将比原计划缩短2天，若设现在计划每天加固河堤x m ，则得方程为 ． 11、某超级市场销售一种计算器，每个售价48元．后来，计算器的进价降低了4%，但售价未变， 从而使超市销售这种计算器的利润提高了5%．这种计算器原来每个进价是多少元？（利润=售 价-进价，利润率100%=?利润进价 ） 12、某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长2400m 的道路．为了减少施工对城市交通所造成的 影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8小时完成任务．求原计划每小时修路的长度．若设原计划每小时修x m ，则根据题意可得方程 ． 13、今年4月18日，我国铁路实现了第六次大提速，这给旅客的出行带来了更大的方便．例如，京 沪线全长约1500公里，第六次提速后，特快列车运行全程所用时间比第五次提速后少用8 71小时．已知第六次提速后比第五次提速后的平均时速快了40公里，求第五次提速后和第六次提速后的平均时速各是多少？ 米数.