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北师大版初三上册数学课后习题答案

北师大版九年级上册数学

第4页练习答案

解：因为在菱形ABCD中，AC±BD于点O，所以∠AOB=90°.

在Rt△ABO中，OB=√(AB^2-AO^2 )=√(5^2-4^2 )=3（cm）.

因为在菱形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，所以BD=2OB=6cm.

1.11.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴BC=AB,BC//AD,∴∠B+∠BAD=180°（两直线平行，同旁内角互补）.

∵∠BAD=2∠B,∴∠B+2∠B=180°，∴∠B=60°.∵BC=AB，

∴△ABC是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形的等边三角形）.

2.解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=DC=CB=BA,∴AC±BD,AO=1/2 AC= 1/2×8=4，DO= 1/2 BD= 1/2×6=

3.在Rt△AOD中，由勾股定理，得AD=√(AO2+DO2)=√(42+32)=5.∴菱形ABCD的周长为

4AD=4×5=20.

3.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB,AC±BD，DO=BO,∴△ABD是等腰三角形，∴AO是等腰△ABD低边BD上的高，中线，也是∠DAB的平分线，∴AC平分∠BAD.

同理可证AC平分∠BCD,BD平分∠ABC和∠ADC.

4.解：有4个等腰三角形和4个直角三角形.

第7页练习答案

解，所画菱形AB-CD如图1-1-32所示，使对角线AC=6cm，BD=4cm.

1.21.证明：在□ABCD中，AD//BC,∴∠EAO=∠FCO（两直线平行，内错角相等）.

∵EF是AC的垂直平分线，∴AO=CO.在△AOE和△COF中，

∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE=CF.∵AE//CF,

∴四边形AFCE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.

∵EF±AC,∴四边形AFCE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）.

2.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC±BD,OA=OC,OB=OD.又∵点E,F,G,H,分别是OA,OB,OC,OD 的中点，

∴OE=1/2OA,OG=1/2 OG,OF= 1/2 OB,OH= 1/2 OD,∴OE=OG,OF=OH,

∴四边形EFGH是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）.

∵AC⊥BD,即EG⊥HF,∴平行四边形EFGH是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）.

3.解：四边形CDC′E是菱形.

证明如下：由题意得，△C′DE≌△CDE.所以∠C′DE=∠CDE,C^' D=CD,CE=C^' E.又因为AD//BC,所以∠C′DE=∠CED,所以∠CDE=∠CED,所以CD=CE（等角对等边），所以CD=CE=C′E=C′D,所以四边形CDC′E是菱形（四边相等的四边形是菱形）.

第9页练习答案

1.解：（1）如图1-1-33所示.∵四边形AB-CD是菱形，∴AB=BC=CD=DA=1/4×40=10（cm）.

∵对角线AC=10cm，∴AB=BC=AC,∴△ABC是等边三角形，∴∠B=∠BAC=∠ACB=60°.

∵AD//BC,∴∠BAD+∠B=180°，∴∠BAD=180°-∠B=180°-60°=120°，∴∠BCD=∠BAD=120°，∠D=∠B=60°.

（2）如图1-1-34所示，连接BD，交AC于点O，∴AO=1/2 AC= 1/2×10=5（cm）.

在Rt△AOB中，∠AOB=90°，由勾股定理，得BO=√(AB^2-AO^2 )=√(〖10〗^2-5^2 )=5√3 （cm），∴BD=2BO=2×5√3=10√3 （cm），∴这个菱形另一条对角线的长为10√3 cm.

2.证明：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，

∴∠B=90°-∠BAC=90°-60°=30°.

∵FD是BC的垂直平分线，∴EB=EC,∴∠ECB=∠B=30°（等边对等角）.

∴∠ECA=∠ACB-∠ECB=90°-30°=60°.

在△AEC中，∠EAC+∠ECA+∠AEC=180°，∴∠AEC=180°-∠EAC-∠ECA=180°-60°-60°=60°.

∴△AEC是等边三角形，∴AC=CE.在Rt△BDE中，∠BDE=90°，

∴∠BED=90°-∠B=90°-30°=60°.∴∠AEF=∠BED=60°（对顶角相等）.

∵AE=CF,AF=CE,∴AF=AE,

∴△AEF是等边三角形（有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形）.

∴AF=EF，∴AF=EF=CE=AC,∴四边形ACEF是菱形（四边相等的四边形是菱形）.

1.31.证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，

∴AD=CD,AB=CB,∠A=∠C.

∵BE=BF,∴AB-BE=CB-BF,即AE=CF.

在△ADE和CDF中，.

（2）∵△ADE≌△CDF,∴DE=DF,∴∠DEF=∠DFE（等边对等角）.

2.已知：如图1-1-35所示，四边形ABCD是菱形，AC和BD是对角线.

求证：S菱形ABCD=1/2 AC?BD.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD,AO=CO,BO=DO.∴

S△AOB=S△AOD=S△BOC=S△COD=1/2 AO.BO.

∴S菱形ABCD=4×1/2 AO?BO=1/2×2AO?2BO=1/2 AC?BD.

3.解：在菱形ABCD中，AC⊥BD，∴∠AOB=90°，AO= 1/2 AC= 1/2×16=8，BO= 1/2 BD= 1/2×12=6. 在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB=√(AO^2+BO^2 )=√(8^2+6^2 )=10.

∵S菱形ABCD=1/2 AC?BD= 1/2×16×12=96，

又∵DH⊥AB,∴S菱形ABCD=AB?DH,

∴96=AB?DH,即96=10DH,DH=9.6.

∴菱形ABCD的高DH为9.6.

4.证明：∵点E,F,G,H分别是AB,CD,AC,BD,的中点，∴GF是△ADC的中位线，EH是△ABD的中位线，∴GF//AD,GF=1/2 AD,EH//AD,EH=1/2AD,

∴GF//EH,GF=EH,∴四边形EGFH是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），又∵FH是△BDC的中位线，∴FH=1/2 BC.

又∵AD=BC,∴GF=FH,∴平行四边形EGFH是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）.

5.略

第13页练习答案

解：在矩形ABCD中，AO=4，BD=AC=2AO=8.因为∠BA=90°，所以在Rt△BAD中，由勾股定理，得AD=√(BD^2-AB^2 )=√(8^2-6^2 )=2√7.

所以BD与AD的长分别为8与2√7.

1.4

1.解：如图1-2-33所示，设这个矩形为ABCD，两条对角线相交于点O，OA=OB=3.在△AOB中，∠OAB=∠OBA=45°，于是∠AOB=90°，AB=√(OB^2+OA^2 )=3√2,同理AD=3√2,所以BC=AD=3√2 AB=DC=3√2

所以这个矩形的各边长都是3√2.

2.解：如图1-2-34所示，

设这个矩形AB-CD两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AC=BD=15，∴AO=1/2AC=7.5，BO=1/2 BD=7.5，∴OA=OB,

∴△AOB是等边三角形，∴AB=7.5.

3.解：四边形ADCE是菱形.

证明如下：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，∴CD=1/2 AB,AD= 1/2 AB,

∴AD=CD.∵AE//CD,CE//AD,∴四边形ADCE是平行四边形.

又∵AD=CD,∴平行四边形ADCE是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）

4.已知：如图1-2-35所示，

在△ABC中，BO为AC边上的中线，BO=1/2 AC.

求证：△ABC是直角三角形.

证明：如图1-2-35所示，延长BO到D，使BO=DO,连接AD,CD.

∵AO=CO,BO=DO,∴四边形ABCD是矩形.∴∠ABC=90°.

∴△ABC是直角三角形.

第16页练习答案

证明：∵四边形ABCDS是平行四边形，∴AB=DC.

∵M是AD的中点，∴AM=DM.又∵MB=MC，∴△ABM≌△DCM（SSS）,

∴∠A=∠D.又∵AB//DC,∴∠A+∠D=180°，∴∠A=∠D=90°.

∴平行四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）.

1.51.解：（1）四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）.

（2）当△ABC是直角三角形，即∠BAC=90°时，四边形ABEC是矩形.

2.解：四边形ACBD是矩形.证明如下：如图1-2-36所示.

∵CD//MN,∴∠2=∠4.∵BD平分∠ABN,∴∠1=∠4，∴∠1=∠2，∴OB=OD（等角对等边）.同理可证OB=OC,∴OC=OD.∵O是AB的中点，∴OA=OB,

∴四边形ACBD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）.

又∵BC平分∠ABM,∴∠3=1/2∠ABM.∵BD平分∠ABN,∴∠1= 1/2∠ABN.

∵∠ABM+∠ABN=180°，∴2∠3+2∠1=180°，∴∠3+∠1=90°，即∠CBD=90°.

∴平行四边形ACBD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）

3.解：做法如下：如图1-2-37所示，

（1）连接AC,BD;

（2）过A,C两点分别作EF//BD,GH//BD;

（3）同法作FG//AC,EH//AH,与EF,GH交于四个点E，F,G,H,则矩形EFGH即为所求，且S矩形EFGH=2S菱形ABCD.

第18页练习答案

证明：∵四边形ABCD是由两个全等的等边三角形ABD和CBD组成，

∴AB=AD=CD=BC,∴四边形ABD和CBD组成，∴AB=AD=CD=BC,

∴四边形ABCD是菱形.∵M,N分别是BC和AD的中点，∴DN=1/2 AD,BM= 1/2 BC,∴DN=BM.∵BN=DM,

∴四边形BMDN是平行四边形.

∴∠DBN=1/2∠ABD= 1/2×60°=30°，∠DBM=60°，∴∠NBM=∠DBN+∠DBM=30°+60°=90.

∴平行四边形BMDN是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）.

1.61.解：在矩形ABCD中，AC=BD=4，∠ABC=90°，∠ACB=30°，∴AB= 1/2 AC= 1/2×4=

2.在

Rt△ABC中，由勾股定理，得BC=√(AC^2-AB^2 )=√(4^2-2^2 )=2√3.

∴S矩形ABCD=BC?AB=2√3×2=4√3.

2.解：在矩形ABCD中，∠BAD=90°，即∠BAE+∠EAD=90°.

∵∠EAD=3∠BAE,∴∠BAE+3∠BAE=90°，∠BAE=22.5°.

∴∠EAD=3∠BAE=3×22.5°=67.5°.∵AE⊥BO,∴∠AEB=90°,∴∠BAE+∠ABE=90°，即22.5°+∠ABE=90°，∴∠ABE=67.5°.

∵AC=BC,OA=1/2 AC,OB= 1/2 BD,∴OA=OB,∴∠OAB=∠ABE=67.5°.

∵∠EAO+∠BAE=∠OAB,∴∠EAO=∠OAB-∠BAE=67.5°-22.5°=45°.

3.证明：∵D是BC的中点，∴BD=CD.

∵四边形ABDE是平行四边形，∴AE//BC,AE=BD,ED=AB（平行四边形的性质）.∴AE=CD.

∵AE//CD,∴四边形ADCE是平行四边形（一组对边平行且相等的平行四边形是矩形）.

∵AB=AC，∴ED=AC,∴平行四边形ADCE是矩形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）. ※4.解：将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合得到的图形如图1-2-38所示.

折痕为EF，则AE=CE,EF垂直平分AC，连接AC交EF于点O，在矩形ABCD中，∠B=90°，BC=8cm，设CE=x cm，则AE=x cm，BE=BC-CE=（8-x）cm.

在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE2=AB2+BE2,X2=62+（8-x）2，解得x=25/2，即EC=25/4cm.

在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=√(AB^2+BC^2 )=√(6^2+8^2 )=10cm.

∴OC=1/2=AC=1/2×10=5cm.

∵EF⊥AC,∴∠EOC=90°.在Rt△EOC中，由勾股定理，得

EO2=EC2-OC2,EO=√(EO^2-OC^2 )=√(（25/4）^2-5^2 )=15/4 cm，∴折痕EF=2EO=2× 15/4=15/2 cm. ※5.解：如图1-2-39所示，

连接PO.S矩形ABCD=AB.BC=3×4=12.在Rt△ABC中，AC=B√(AB2+BC2)=√(32+42)=5.又因为

AC=BD,AO= 1/2 AC,DC= 1/2 BD,

所以AO=DO=5/2.所以S△AOD=S△APO+S△POD= 1/2 AO.PE+ 1/2 DO?PE= 1/2 AO（PE+PE）

=1/2×5/2 （PE+PE）=5/4 （PE+PE）.又因为S△AOD= 1/4 S矩形ABCD= 1/4×12=3，所以5/4 （PE+PE）=3，解得PE+PE= 12/5.

第21页练习答案

1.解：以正方形的四个顶点为直角顶点的等腰直角三角形共有四个，以正方形的两条对角线的交点为顶点的等腰直角三角形也有四个，所以共有八个等腰直角三角形.

2.：△ADF≌△ABF,△DCF≌△BCF,△ADC≌△ABC.

以△ADF≌ABF为例加以证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=AB,∠DAF=∠BAF.∵AF=AF,∴△ADF≌ABF（SAS）.

1.71.解：设正方形的边长为为想x cm，则x2+x2=22，解得x=√2，即正方形的边长为√2 cm.

2.解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠DCB=90°，AB=BC=DC.

∵△CBE是等边三角形，∴BE=EC=CB,∠EBC=∠ECB=60°.

∴∠ABE=30°.

∴AB=BE,

∴∠AEB=BAE=(180°-∠ABE)/2=(180°-30°)/2=75°.

3.证明：如图1-3-24所示，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=D,∠BAD=∠D=90°，AB=DA.

∵PD=QC,

∴AP=DQ

∴△ABP≌△DAQ.

∴BP=AQ,∠1=∠2.

∵∠2+∠3=90°，

∴∠1+∠3=90°，

即BP⊥AQ.

※4.解：过正方形两条对角线的交点任意做两条互相垂直的直线，即可将正方形分成大小，形状完全相同的四部分.答案不唯一，如图1-3-25所以方法仅供参考.

第24页练习答案答案：满足对角线垂直的矩形是正方形或有一组邻边相等的矩形是正方形.满足对角线相等的菱形是正方形或有一个角是直角的菱形是正方形证明结论如下：

（1）对角线垂直的矩形是正方形.

（2）已知：如图1-3-7（1）多事，四边形ABCD是矩形，AC,BD是对角线，且AC⊥BD.求证：四边形ABCD是正方形.

证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC平分BD.

又∵AC⊥BD，∴AC是BD的垂直平分线.

∴AB=AD.∴四边形ABCD是正方形.

（4）有一个角是直角的菱形是正方形.

已知，如图1-3-7（4）所示，四边形ABCD是菱形，∠A=90°.

求证：四边形ABCD是正方形.

证明：∵四边形ABCD是菱形，∴四边形ABCD是平行四边形.

又∵∠A=90°，∴四边形ABCD是矩形.

又AB=BC，∴矩形ABCD是正方形.

1.81.答案：对角线相等的菱形是正方形.

已知：如图1-3-7（3）所示，四边形ABCD是菱形，AC,BD是对角线，且AC=DC.

求证：四边形ABCD是正方形.

证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=BC.

又∵AB=BA,BD=AC,∴△ABD≌△BAC（SSS）.∴∠DAB=∠CBA.

又∵AD//bc,∴∠dab+∠cba=180°.∴∠DAB=∠CBA=90°.

∴四边形ABCD是正方形.

2.证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=CB,AD//CB,

∴∠ADF=∠CBE.

在△ADF和=∠CBE中，

∴△ADF≌△CBE（SAS），

∴AF=CF,∠AFD=∠CEB.

∵∠AFD+∠AFE=180°，∠CEB+∠CEF=180°，

∴∠AFE=∠CEF（等角的补角相等）.

∴AF//CE（内错角相等，两直线平行）.

∴四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.

∵AD=AB,

∴∠ADF=∠ABE.

在△AFD和AEB中，

∴△AFD≌△AEB（SAS）.

∴AF=AE,

∴四边形AECF是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）.

3.解：四边形EFGH是正方形.

在正方形ABCD中，AB=BC=CD=AD,∠A=∠B=∠C=∠D=90°.

因为AE=BF=CG=DH,所以AB-AE=BC-BF=CD-CG=AD-DH,

即BE=CF=DG=AH.

所以△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS），所以∠AEH,HE=EF=FG=GH.所以四边形EFGH 是菱形.

因为∠AEH+∠AHE=90°，

所以∠DHG+∠AHE=90°，

所以∠EHG=90°，所以菱形EFGH是正方形.

4.解：重叠部分的面积等于正方形ABCD面积的1/4.

证明如下：重叠部分为等腰直角三角形时，重叠部分为面积为正方形ABCD面积的1/4，即

S△AOB=S△BOC=S△COD=S△AOD= 1/4S正方形ABCD.

重叠部分为四边形是，如图1-3-26所示.设OA′与AB相交于点E,OC′与BC相交于点F.

∵四边形ABCD是正方形，

∴OA=OB,∠EAO=∠FBO=45°，AO⊥BD.

又∵∠AOE=90°-∠EOB,∠BOF=90°-∠EOB,

∴∠AOE=∠BOF,

∴△AOE≌△BOF.

∴S△AOE+S△BOE=S△BOE+S△BOE,

∴S△AOB=S四边形EBFO.

又∵S△AOB=1/4 S正方形EBFO.

∴S四边形EBFO=1/4 S正方形ABCD.

第一章复习题

1.解：设该菱形为菱形ABCD，两对角线交于点O，则△AOB为直角三角形，直角边长分别为2cm 和4cm，则有勾股定理，得AB=√(OA^2+OB^2 )=√(2^2+4^2 )=2√5 （cm），

即林习惯的边长为2√5 cm.

2.解：由OA=OB=√2/2 AB,可知OA^2+OB^2=AB^2,则∠AOB=90°.

因为OA=OB=OC=OD,所以AC,BD互相垂直平分且相等，

故四边形ABCD必是正方形.

3.解：不一定是菱形，因为也可能是矩形.

4.已知：如图1-4-20所示，菱形BACD中，对角线AC,BD相交于点O,AC=60cm，周长为200cm.求（1）BD的长；（2）菱形的面积.

解：（1）因为菱形四边相等，对角线互相垂直平分，所以AB=1/4×200=50（cm），

AC⊥BD且OA=OC= 1/2 AC= 1/2×60=30（cm），OB=OD.在Rt△AOB中，

OB=√(AB2-AO2)=√(502-302)=40（cm）.

所以BD=2OB=80cm.

（2）S菱形ABCD=1/2 AC?BD= 1/2×60×80=2 400（cm^2 ）.

5.已知：如图1-4-21所示，在四边形AB-CD，对角线AC⊥BD,E,F,P,Q分别为边AB,BC,CD,DA的中点.

求证：四边形EFPQ为正方形.

证明：∵E,Q分别为B,AD的中点，

∴四边形EFPQ为平行四边形.

∵AC=BD,∴EF=EQ.

∴□EFPQ为菱形.

∵AC⊥BD,∴EF⊥EQ.

∴∠QEF=90°.

∴菱形EFPQ是正方形.

6.解∵AC=EC,∴∠CEA=∠CAE.由四边形ABCD是正方形.得AD//BE, ∴∠DAE=∠CEA=∠CAE.

又∠DAC=∠DAE+∠CAE=45°，

∴∠DAE=1/2∠DAC= 1/2×45°=22.5°.

7.解：（1）是正方形，因为对角线相等的菱形必为正方形.

（2）是正方形，因为这个四边形的对角线相等，四条边也相等.

8.证明：如图1-4-22所示，

∵AD平分∠BAC,∴∠1=∠2.

∵DE//AC,∴∠2=∠3.

∴∠1=∠3.∴AE=DE.

∵DE//AC,DF//AB,

∴四边形AEDF是平行四边形.

又AE=DE,∴□AEDF是菱形.

9.证明：如图1-4-23所示，

∵BE⊥AC,ME为Rt△BEC的中线，

∴ME=1/2BC.

同理MF=1/2BC,∴ME=MF.

10.已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC=BD=l.求正方形的周长和面积.解：正方形ABCD中，AB=BC,∠B=90°.在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2,2AB2=l2,所以AB=√2/2l.所以正方形的周长

=4AB=4×√2/2 l=2√2 l,S四边形ABCD=AB^2=（√2/2 l）^2=1/2 l^2.

11.证明：∵CP//BD,DP//AC,

∴四边形CODP是平行四边形.

∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD.

∵OC=1/2 AC,OD= 1/2 BD,∴OC=OD

∴四边形CODP是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）.

12.证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AC=BD.

∵OA=OC,OB=OD,

又∵AM=BP=CN=DQ,

∴OA-AM=OC-CN,即OM=ON,OB-BP=OD-DQ,即OP=OQ,

∴四边形MPNQ是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）.

∵AM+MN+NC=AC,BP+PQ+DQ=BD,

∴MN=PQ,∴四边形MPNQ是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）.

13.证明：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD平分∠ACB,

∴∠FCD=1/2∠ACB=45°.

∵DF⊥AC,∴∠DFC=90°.

在Rt△FCD中，∠FDC=90°-∠FCD=90°-45°=45°，

∴∠FCD=∠FDC,∴FC=FD.

∵DE⊥BC,∴∠DEC=90°.

∴∠DFC=∠FCE=∠DEC=90°.

∴四边形DFCE是矩形（有个三角是直角的四边形是矩形）.

∵FC=FD,∴四边形CEDF是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）.

14.解：由AP=4t cm，CQ=l cm，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=DC-CQ=（20-t）cm.

∴DQ=DC-CQ=（20-t）cm.

当四边形APQD是矩形时，则有DQ=AP,

∴20-t=4t，解得t=4

∴当t为4时，三角形APQD是矩形.

15解：△BFD是等腰三角形，理由如下：

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD//BC,∴∠ADB=∠DBC.

∵∠FBD=∠DBC,

∵∠FBD=∠ADB,∴BF=DF.

∴△BFD是等腰三角形.

16.解由题意知，矩形ABCD≌矩形GCDF,

∴AB=FG,BC=GC,AC=FC,

∴△ABC≌△FGC,

∴∠ACB=∠FCG.

∵∠ACB+∠ACD=90°，

∴∠FCG+∠ACD=90°，

即∠ACF=90°.

∵AC=CF,∴△ACF是等腰直角三角形.

∴∠AFC=45°.

17.解不一定，因为还可能是菱形，若要判断这块纱巾是否为正方形，还需要检验对角线是否相等.

18.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BC//DA.

∴∠DAB+∠ABC=180°.

∵AH平分∠DAB,BH,平分∠ABC,

∴∠HAB=1/2∠DAB,∠HBA= 1/2∠ABC.

∴∠HAB+∠HBA=90°.

∴∠H=90°.

同理可证∠F=90°，∠HEF=90°.

∴四边形EFGH是矩形.

19.解：略.提示：如图1-4-24所示图形仅供参考.

第32页练习答案

1.解：设直角三角形的三边长分别为m-1，n，n+1（n>1，且n为整数，）则（n-1）2+n2=（n+1）2.

2.解：∵（3x+2）2=4（x-3）2，

∴9x2+12x+4-4x2+24x-36=0，

∴5x2+36x-32=0.其中二次项系数为5，一次项系数为36，常数项为-32.（答案不唯一）

3.解：设竹竿长为x尺，

则门框宽为（x-4）尺，高为（x-2）尺.由勾股定理，得（x-4）2+（x-2）^2=x2，即x2-12x+20=0. 2.11.解：（1）设这个正方形的边长是xm，根据题意，得（x+5）（x+2）=54，即x2+7x-44=0.

设这三个连续整数依次为x，x+1，x+2，根据题意，得x（x+1）+x（x+2）+（x+1）（x+2）=242，即x2+2x-80=0.

（答案不唯一）

根据题意，得x（8-x）=15.

整理，得x2-8x+15=0. 列表：

由表格知x=5.（当x=3时，也满足方程，但不符合实际，故舍去）

答：可用16m长的绳子围城一个15m2的矩形，其次为5m，宽为3m.

3.解：根据题意，得10+2.5t-5t2=5，即2t2-t-2=0. 列表：

所以1

所以1.2

答：他完成规定动作的事假最多不超过1.3s.

第34页练习答案

解：设这五个连续整数第一个数为x，则另外四个数分别为x+1，x+2，x+3，x+4.根据题意，得（x+1）2+（x+2）2+x2=（x+3）2+（x+4）2.

整理，得x2-8x-20=0. 列表：

∴x=-2或x=10.

因此这五个连续整数依次为-2，-1,0,1,2或10,11,12,13,14.

2.2 1.解：设苗圃的宽为xm，则长为（x+2）m.

根据题意，得x（x+2）=120，即x2+2x-120=0.列表：

由表格知x=10.（当x=-12时，也满足方程，但不符合实际情况，故舍去）

答：苗圃的宽为10m，长为12m.

2.解：能.设矩形的长为xm，则宽为（8-x）m.

第37页练习答案

（1）x_1=5+√7，x_2=5-√7.

（2）x_1=7+√57，x_2=7-√57.

（3）x_1=(√13-3)/2，x_2=-(√3+3)/2.

（4）x_1=3+√11，x_2=3-√11.

2.3 1.解：（1）移项，得x2+12x=-25.

配方，得x2+12x+62=-25+36，（x+6）2=11，

即x+6=√11或x+6=-√11.∴x_1=√11-6，x_2=-√11-6.

（2）配方，得x2+4x+22=10+22，（x+2）2=14，

即x+2=√14 或x2=-√14.

∴x_1=√14-2，x_2=-√14-2.

（3）配方，得x2-6x+（-3）2=11+（-3）2，（x-3）2=20，

即x-3=2√5 或x-3=-2√5.

∴x_1=2√5+3，x_2=-2√5+3.

（4）化简，得x2-9x=-19，

配方，得x2-9x+（-9/2）^2=-19+（-9/2）^2，（x-9/2）^2=5/4，

即x-9/2=√5/2 或x- 9/2=-√5/2，

∴x_1=(9+√5)/2，x_2=(9-√5)/2.

2.解：设道路的宽为xm，根据题意，得（35-x）（26-x）=850.

整理，得x2-61x+（-61/2）2=-60+（-61/2）2.

∴（x-61/2）^2=(3 481)/4.开平方，得x- 61/2=±59/2.

解得x_1=1，x_2=60（不合题意，舍去）.

答：道路的宽应为1m.

3.解：设增加69人后，增加的行数，列数都是x，则（x+8）（x+12）=69+8×12. 整理，得x2+20x=69.

配方.得x2+20x+102=69+102.

∴（x+10）2=169.

开平方，得x+10=±13.

解得x_1=3，x_2=-23（不合题意，舍去）

答：增加的行数，列数都是3.

第39页练习答案

解（1）移项，得3x2-9x=-2. 两边同除以3，得x2-3x=-2/3.

配方，得（x-3/2）2=19/12. 开平方，得x-3/2=±√57/6.

∴x_1=(9+√57)/6，x_2=(9-√57)/6.

（2）移项，得2x2-7x=-6. 两边同除以2，得x2-7/2 x=-3.

配方，得（x-7/4）2=1/16. 开平方，得x-7/4=±1/4.

∴x_1=2，x_2=3/2.

（3）移项，得4x2-8x=3. 两边同除以4，得x2-2x=3/4.

配方，得（x-1）2=7/4. 开平方，得x-1=±√7/2.

∴x_1=(2+√7)/2，x_2=(2-√7)/2.

2.4 1.（1）x_1=1，x_2=1/6.（2）x_1=3，x_2=-6/5.

（3）x_1=4，x_2=-13/4.

（4）x_1=(-1+√21)/5，x_2=(-1-√21)/5.

2.解：设共有x只猴子，根据题意，得x=（1/8 x）2+12.解得x1=16，x_2=48. 答：共有16只或48只猴子.

解：如图2-2-4所示，过点Q作QH⊥AB,垂足为H. 设经过ts时，点P和点Q的距离是10cm. 则CQ=2tcm，AP=3tcm.

∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°.

∵∠QHB=90°，

∴四边形QHBC是矩形，

∴BH=CQ=2t，HQ=BQ=BC=6cm，

∴PH=AB-AP-BH=16-3t-2t=（16-5t）cm.

在Rt△PHQ中，∠PHQ=90°，由勾股定理，得PQ2=PH2+HQ2.

当PQ=10cm时，102=（16-5t）2+62. ∴（16-5t）2=64，

解得t_1=8/5，t_2=24/5，

经检验：t_1=8/5s， t_2=24/5 s时都符合题意，所以当t_1=8/5 s和t_2=24/5 s时，点P和点Q 的距离是10cm.

第43页练习答案

1.解：（1）原方程变形为2x2-7x+5=0，这里a=2，b=-7，c=5，

∵b2-4ab=（-7）^2-4×2×5=9>0，

∴原方程变形为4x2-4x+3=0，

这里a=4，b=-4，c=3，∵b2=-32<0，

∴原方程没有实数根.

（3）原方程变形为4y2-2.4y+0.36=0，这里a=4，b=-2,.4，c=0.36，

∵b2-4ac=（-2.4）2-4×4×0.36=5.76-5.76=0，

∴原方程有两个相等的实数根.

2.解：（1）∵a=2，b=-9，c=8，

∴b2-4ac=（-9）2-4×2×8=17>0，∴x=(9+√17)/4，

即x_1=(9+√17)/4，x_2=(9-√17)/4.

（2）∵a=9，b=6，c=1，∴b2-4ab=36-4×9×1=0，

∴x=(-6±0)/18=-1/3，即x_1=x_2=-1/2.

（3）∵a=16，b=8，c=-3，∴b2-4ac=64-4×16×（-3）=256，

∴x=(-8±√256)/32=(-8±16)/32，即x_1=1/4，x_2=-3/4.

（4）原方程化为x2-3x+5=0.

∵a=1，b=-3，c=5，∴b2-4ac=（-3）2-4×1×5=-11<0，

∴原方程没有实数根.

3.解：设中间的一条边长为n，则另两条边长分别为n-2和n+2.

由勾股定理，得n2+（n-2）2=（n+2）2，

解得n_1=8，n_2=0（不合题意，舍去）.

∴这个三角形的三条边分别为6,8,10.

2.5 1.解：（1）原方程变形为5x2+x-7=0，

这里a=5，b=1，c=-7，因为b2-4ac=12-4×5×（-7）=141>0，

所以原方程有两个不相等的实数根.

（2）这里a=25，b=20，c=4.因为b2-4ac=202-4×25×4=0，所以原方程有两个相等的实数根.

（3）原方程变形为4x2+3x+1=0，

这里a=4，b=3，c=1，因为b2-4ac=32-4×4×1=-7<0，

2.解：（1）∵a=2，b=-4，c=-1，

∴b2-4ab=16-4×2×（-1）=24>0，

∴x=(-b±√(b^2-4ac))/2a=(4±2√6)/4，

∴x_1=(2+√6)/2，x_2=(2-√6)/2.

（2）5x+2=3x2变形为3x2-5x-2=0.

∵a=3，b-5，c=-2，

∴b2-4ac=25-4×3×（-2）=49>0，

∴x=(-b±√(b2-4ac))/2a=(5±7)/6，

∴x_1=2，x_2=-1/3.

（3）（x-2）（3x-5）=1变形为3x2-11x+9=0.

∵a=3，b=-11，c=9，

∴b2-4ac=121-108=13>0，

∴x=(-b±√(b^2-4ab))/2a=(11±√13)/6.

∴x_1=(11+√13)/6，x_2=(11-√13)/6.

（4）0.2x2+5=3/2 x变形为0.2x2-3/2 x+5=0，

∵a=0.2，b=-3/2，c=5，

∴b2-4ac=（-3/2）2-4×0.2×5=-7/4<0，

∴原方程没有实数根.

3.解：设门的高为x尺，则宽为（x-6.8）尺.

根据题意，得102=x2+（x-6.8）2

整理，得2x2-13.6x-53.76=0.

解得x_1=9.6，x_2=-2.8（不合题意，舍去）.

∴x=9.6.∴x-6.8=2.8.

答：门的高度为9尺6寸，宽为2尺8寸.

4.解设木箱的长为x dm，则宽为（x-5）dm，于是有8x（x-5）=528，

解得x_1=11，x_2=-6（不合题意，舍去）.所以x=11.所以x-5=11-5=6.

答：木箱的长为11dm，宽为6dm.

第44页练习答案

解：根据题意，得（16-x）（12-x）=1/2×16×12.

解得x_1=24（不合题意，舍去），x_2=4.

∴x=4，∴图中的x为4.

2.6 1.解设金色纸边的宽是x cm，根据题意，得（90+2x）（40+2x）×72%= 90×40，即x2+65x-350=0，解得x_1=5，x_2=-70（不合题意，舍去）.

答：金色纸边的宽是50cm.

2.解：设鸡场的一边（靠墙的一边）长为xm，则另外两边长均为(40-x)/2 m.

（1）若x?(40-x)/2=180，解得x_1=20+2√10（不合题意，舍去），x_2=20-2√10.

∴鸡场的面积能达到180m2.

若x?(40-x)/2=200，解得x_1=x_2=20.

∴鸡场的面积能达到200m2.

（2）若x?(40-x)/2=250，则x2-40x+500=0，方程无实数根.

∴鸡场的面积不能达到250m2.

3.解：设圆柱底面半径为Rcm，则15?2πR+2πR2=200π，

解得R_1=5，R_2=-0（不合题意，舍去）.

∴圆柱底面半径为5 cm.

※4.解：如图2-3-2所示，过点P做x轴的垂线，垂足为M，根据题意，得S△pab=S梯形

pmob-S△boa-S△pma，

即1/2 （1+a）×14-1/2 a2-1/2×1×（14-a）=18，

解得a_1=3，a_2=12.

所以a的值为3或12.

北师大版初三数学复习计划

北师大版初三数学复习计划 Prepared on 21 November 2021

九年级数学中考备考复习计划一、复习的整体思路初三数学总复习，通常分三个阶段。第一阶段：全面复习基础知识，夯实“三基”。通过第一阶段的复习，使学生系统的掌握基础知识，基本技能和基本方法，形成清晰的知识网络和稳定的知识框架。第二阶段：综合运用知识，强化能力培养。第二阶段的复习既不是知识的复习，更不是知识的压缩，而是一个知识总综合、巩固、完善、提高的过程。即注重知识的整合，又注重查缺补漏，力求使各部分知识成为一个有机的整体。实现基础知识重点化、重点知识网络化、网络知识题型化、题型设计生活化。在这一阶段要以数学思想方法为主线，学生的综合训练为主题，克服重复，突出重点。在数学应用方面，注意数学知识与生活的联系，穿插专题复习，培养学生渗透题型生活化的意识，以此提高学生对阅读理解题的审题能力。第三阶段：考前模拟，建立自信。此阶段注重提高学生的整体能力，包括知识的深化巩固，能力的培养提高，解体的技巧和方法，运算速度和准确率等方法，要注意及时评价，及时反馈。二、复习的整体策略和方法整体策略为以课本为主，紧扣教材，注重基础知识，基本技能和基本方法的训练和落实，决不放弃课本。

整体方法为：以小题组训练为主，强化落实，力求一课一练，一张一测，注重反馈和评价，不断总结。三、复习课时安排第一阶段：按照初中数学知识体系，整体可划分为“数与式、方程(组)与不等式(组)、函数与函数图像、图形初步、三角形、四边形、圆、对称旋转、三角函数、统计与概率”共10个单元。具体时间可划分及课时安排如下：

北师大版初三数学知识点总结

北师大版初三数学上册知识点汇总第一章证明(二) ※等腰三角形的“三线合一”：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 ※等边三角形是特殊的等腰三角形，作一条等边三角形的三线合一线，将等边三角形分成两个全等的直角三角形，其中一个锐角等于30o，这它所对的直角边必然等于斜边的一半。 ※有一个角等于60o的等腰三角形是等边三角形。 ※如果知道一个三角形为直角三角形首先要想的定理有： ①勾股定理：2 22c b a =+（注意区分斜边与直角边） ②在直角三角形中，如有一个内角等于30o，那么它所对的直角边等于斜边的一半 ③在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（此定理将在第三章出现） ※垂直平分线．．．．．是垂直于一条线段．．并且平分这条线段的直线．．。（注意着重号的意义） <直线与射线有垂线，但无垂直平分线> ※线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。 ※线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 ※三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等。（如图1所示， AO=BO=CO ） ※角平分线上的点到角两边的距离相等。 ※角平分线逆定理：在角内部的，如果一点到角两边的距离相等，则它在该角的平分线上。角平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。 ※三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三边距离相等，交点即为三角形的内心。 (如图2所示，OD=OE=OF) 第二章一元二次方程 ※只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为02 =++c bx ax （a 、b 、c 为常数，a ≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程．．．．．．。 ※把02 =++c bx ax （a 、b 、c 为常数，a ≠0）称为一元二次方程的一般形式，a 为二次项系数；b 为一次项系数；c 为常数项。 ※解一元二次方程的方法：①配方法 <即将其变为0)(2 =+m x 的形式> ②公式法 a ac b b x 242-±-= （注意在找ab c 时须先把方程化为一般形式） A C B O 图1 图2 O A C B D E F

北师大版,初三,九年级数学数学上册,课后习题答案

北师大版，初三，九年级数学数学上册，课后习题答案第4页练习答案解：因为在菱形ABCD中，AC±BD于点O，所以∠AOB=90°. 在Rt△ABO中，OB=√(AB^2-AO^2 )=√(5^2-4^2 )=3（cm）. 因为在菱形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，所以BD=2OB=6cm. 1.11.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴BC=AB,BC//AD,∴∠B+∠BAD=180°（两直线平行，同旁内角互补）. ∵∠BAD=2∠B,∴∠B+2∠B=180°，∴∠B=60°.∵BC=AB， ∴△ABC是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形的等边三角形）. 2.解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=DC=CB=BA,∴AC±BD,AO=1/2 AC= 1/2×8=4，DO= 1/2 BD= 1/2×6= 3.在Rt△AOD中，由勾股定理，得AD=√(AO2+DO2)=√(42+32)=5.∴菱形ABCD的周长为 4AD=4×5=20. 3.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB,AC±BD，DO=BO,∴△ABD是等腰三角形，∴AO是等腰△ABD低边BD上的高，中线，也是∠DAB的平分线，∴AC平分∠BAD. 同理可证AC平分∠BCD,BD平分∠ABC和∠ADC. 4.解：有4个等腰三角形和4个直角三角形. 第7页练习答案解，所画菱形AB-CD如图1-1-32所示，使对角线AC=6cm，BD=4cm. 1.21.证明：在□ABCD中，AD//BC,∴∠EAO=∠FCO（两直线平行，内错角相等）.

∵EF是AC的垂直平分线，∴AO=CO.在△AOE和△COF中， ∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE=CF.∵AE//CF, ∴四边形AFCE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）. ∵EF±AC,∴四边形AFCE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）. 2.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC±BD,OA=OC,OB=OD.又∵点E,F,G,H,分别是OA,OB,OC,OD 的中点， ∴OE=1/2OA,OG=1/2 OG,OF= 1/2 OB,OH= 1/2 OD,∴OE=OG,OF=OH, ∴四边形EFGH是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）. ∵AC⊥BD,即EG⊥HF,∴平行四边形EFGH是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）. 3.解：四边形CDC′E是菱形. 证明如下：由题意得，△C′DE≌△CDE.所以∠C′DE=∠CDE,C^' D=CD,CE=C^' E.又因为AD//BC,所以∠C′DE=∠CED,所以∠CDE=∠CED,所以CD=CE（等角对等边），所以CD=CE=C′E=C′D,所以四边形CDC′E是菱形（四边相等的四边形是菱形）. 第9页练习答案 1.解：（1）如图1-1-33所示.∵四边形AB-CD是菱形，∴AB=BC=CD=DA=1/4×40=10（cm）.

北师大版九年级数学上册知识点总结

九（上）数学知识点答案第一章证明（一） 1、你能证明它吗？（1）三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等，对应角也相等判定：SSS、SAS、ASA、AAS、（2）等腰三角形的判定、性质及推论性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）（3）等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60度；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。判定定理：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。或者三个角都相等的三角形是等边三角形。（4）含30度的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2、直角三角形（1）勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。（2）命题包括已知和结论两部分；逆命题是将倒是的已知和结论交换；正确的逆命题就是逆定理。（3）直角三角形全等的判定定理定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL） 3、线段的垂直平分线（1）线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。（2）三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。（3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线。 4、角平分线（1）角平分线的性质及判定定理性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。（2）三角形三条角平分线的性质定理性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。（3）如何用尺规作图法作出角平分线

北师大版九年级数学知识点汇总

北师大版九年级数学 , 知识点汇总第一章特殊平行四边形一、平行四边形 1、定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 2、性质：（1）平行四边形的对边平行且相等。（2）平行四边形的对角相等，邻角互补。）

（3）平行四边形的对角线互相平分，两条对角线把平行四边形分成四个面积相等的三角形。（4）平行四边形是中心对称图形。 3、判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形。（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形。 4、面积：S平行四边形=底ⅹ高二、菱形 1、定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。《 2、性质：（1）菱形具有平行四边形的所有性质。（2）菱形的四条边都相等。（3）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形。（4）菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形（两条）。 3、判定：（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形。（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。（3）四条边都相等的四边形是菱形。 4、面积：S菱形=底ⅹ高；S菱形=对角线乘积的一半三、矩形 1、定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。、 2、性质：（1）矩形具有平行四边形的所有性质。（2）矩形的四个角都是直角。（3）矩形的对角线相等且互相平分，两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形。（4）推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。（5）矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形（两条）。 3、判定：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形。（2）对角线相等的平行四边形是矩形。（3）有三个角是直角的四边形是矩形。 4、面积：S矩形=底ⅹ高

北师大版九年级数学上册知识点总结

北师大版初中数学知识点汇总九年级(上册) 班级姓名第一章证明(二) 1、三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等，对应角也相等判定：SSS、SAS、ASA、AAS、 2、等腰三角形的判定、性质及推论性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”） 3、等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60度；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。判定定理：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。或者三个角都相等的三角形是等边三角形。含30度的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 4、直角三角形（1）勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。（2）命题包括已知和结论两部分；逆命题是将倒是的已知和结论交换；正确的逆命题就是逆定理。（3）直角三角形全等的判定定理定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL） 5、线段的垂直平分线（1）线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。（2）三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。（3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线。 6、角平分线（1）角平分线的性质及判定定理性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。

北师大版九年级数学上册期末试卷

观风海中学九年级期末测试测试题一 (满分：150分，考试用时120分钟) 一、选择题(本大题共15个小题，每小题3分，共45分) 1.已知一元二次方程x 2－5x ＋3＝0的两根为x 1，x 2，则x 1x 2＝( ) A ．5 B ．－5 C ．3 D ．－3 2．下列几何体中，俯视图与主视图完全相同的几何体是( ) A ．圆锥 B ．球 C ．圆柱 D ．长方体 3．已知2是关于x 的方程x 2－3x ＋a ＝0的一个解，则a 的值是( ) A ． 5 B ．4 C ．3 D ．2 4．(黔西南中考)如图，在菱形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，AO ＝4，BO ＝3，则菱形的边长AB 等于( ) A ．10 B.7 C ．6 D ．5 5．如图，若要使平行四边形ABCD 成为菱形，则可添加的条件是( ) A ．AB ＝CD B ．AD ＝BC C ．AB ＝BC D ．AC ＝BD 6．关于x 的一元二次方程kx 2＋2x －1＝0有两个不相等实数根，则k 的取值范围是( ) A ．k>－1 B ．k ≥－1 C ．k ≠0 D ．k>－1且k≠0 7．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体是( ) 8．下列对正方形的描述错误的是( ) A ．正方形的四个角都是直角 B ．正方形的对角线互相垂直 C ．邻边相等的矩形是正方形 D ．对角线相等的平行四边形是正方形 9．小颖将一枚质地均匀的硬币连续掷了三次，你认为三次都是正面朝上的概率是( ) A.12 B.13 C.14 D.18 10．班上数学兴趣小组的同学在元旦时，互赠新年贺卡，每两个同学都相互赠送一张，小明统计出全组共互送了90张贺年卡，那么数学兴趣小组的人数是多少？设数学兴趣小组人数为x 人，则可列方程为( )

北师大版初中数学知识点总结

初中数学知识点总结第一章实数考点一、实数的概念及分类 1、实数的分类正有理数有理数零有限小数和无限循环小数实数负有理数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如 32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3 π +8等； …等；（4）某些三角函数，如sin60o 等考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数：实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。 2、绝对值：一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。 3、倒数：如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。考点三、平方根、算数平方根和立方根 1、平方根：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）。一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。正数a 的平方根记做“a ± ”。 2、算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。 0≥a 正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 ==a a 2 a （a ≥0） ==a a 2 -a （a <0）；注意a 的双重非负性：

初三数学上册全册教案(北师大版)

初三数学上册全册教案（北师大版）北师大版九年级数学上全册精品教案证明．你能证明它们吗？3课时．直角三角形2课时．线段的垂直平分线2课时．角平分线1课时你能证明它们吗? 教学目标：知识与技能目标：．了解作为证明基础的几条公理的内容。．掌握证明的基本步骤和书写格式．过程与方法．经历“探索——发现——猜想——证明”的过程。．能够用综合法证明等区三角形的有关性质定理。情感态度与价值观．启发、引导学生体会探索结论和证明结论，即合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系．．培养学生合作交流、独立思考的良好学习习惯．重点、难点、关键．重点：探索证明的思路与方法。能运用综合法证明问

题．．难点：探究问题的证明思路及方法．．关键：结合实际事例，采用综合分析的方法寻找证明的思路．教学过程：一、议一议：．还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？．你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗？给出公理和定理：．等腰三角形两腰相等，两个底角相等。．等边三角形三边相等，三个角都相等，并且每个角都等于延伸．二、回忆上学期学过的公理本套教材选用如下命题作为公理: 两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行; 两条平行线被第三条直线所截,同位角相等; 两边夹角对应相等的两个三角形全等; 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等; 三边对应相等的两个三角形全等; 全等三角形的对应边相等,对应角相等. 三、推论两角及其中一角的对边对应相等的两个三角

形全等。证明过程：已知：∠A=∠D,∠B=∠E,Bc=EF 求证：△ABc≌△DEF 证明：∵∠A+∠B+∠c=180°， ∠D+∠E+∠F=180° ∴∠c=180°- ∠F=180°- 又∵∠A=∠D,∠B=∠E ∴∠c=∠F 又∵Bc=EF ∴△ABc≌△DEF 推论等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。随堂练习：做教科书第4页第1，2题。课堂小结：通过这节课的学习你学到了什么知识？作业：基础作业：P5页习题1.11、2。你能证明它们吗教学目标：

北师大版九年级上册数学全册各章知识点汇总

最新新北师大版九年级数学(上册)知识点汇总第一章特殊平行四边形第二章一元二次方程第三章概率的进一步认识第四章图形的相似第五章投影与视图第六章反比例函数第一章特殊平行四边形 1.1菱形的性质与判定菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. ※菱形的性质：具有平行四边形的性质，且四条边都相等，两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角. 菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴. ※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 四条边都相等的四边形是菱形. 1.2 矩形的性质与判定 ※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形 .矩形是特殊的平行四边形. ．． ※矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角.（矩形是轴对称

图形，有两条对称轴） ※矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义). 对角线相等的平行四边形是矩形. 四个角都相等的四边形是矩形. ※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 1.3 正方形的性质与判定正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形. ※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质.（正方形是轴对称图形，有两条对称轴） ※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；邻边相等的矩形是正方形；对角线相等的菱形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形. 正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)： ※梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形. ※ ※ 鹏翔教图3

※等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等. 同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形. ※三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. ※夹在两条平行线间的平行线段相等. ※在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半第二章一元二次方程 2.1 认识一元二次方程．．．．．． 2.2 ．．．用．配方法求解．．．．．一元二次方程．．．．．． 2.3 用公式法求解一元二次方程 2.4 用因式分解法求解一元二次方程 2.5 一元二次方程的跟与系数的关系 2.6 应用一元二次方程 ※只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为02=++c bx ax （a 、b 、c 为常数，a ≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程．．．．．． . ※把02=++c bx ax （a 、b 、c 为常数，a ≠0）称为一元二次方程的一般形式，a 为二次项系数；b 为一次项系数；c 为常数项. ※解一元二次方程的方法：①配方法 <即将其变为0)(2 =+m x 的形式> ②公式法 a ac b b x 242-±-= （注意在找abc 时须先把方程化为一般形式） ③分解因式法把方程的一边变成0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解.

新北师大版九年级上册数学知识点

新北师大版九年级上册数学知识点第一章特殊平行四边形 1.1菱形的性质与判定菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 ※菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。 ※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。对角线互相垂直的平行四边形是菱形。四条边都相等的四边形是菱形。 1.2矩形的性质与判定 ※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。 ※矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。（矩形是轴对称图形，有两条对称轴） ※矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。对角线相等的平行四边形是矩形。四个角都相等的四边形是矩形。 ※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 1.3正方形的性质与判定正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。

※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有两条对称轴） ※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；邻边相等的矩形是正方形；对角线相等的菱形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形。正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)： ※梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 ※两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。 ※一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。 ※等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。 ※三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 ※夹在两条平行线间的平行线段相等。 ※在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半第二章一元二次方程 2.1认识一元二次方程 2.2用配方法求解一元二次方程 2.3用公式法求解一元二次方程 2.4用因式分解法求解一元二次方程 2.5一元二次方程的跟与系数的关系

北师大版初中数学知识点总结

初中数学知识点总结第一章实数考点一、实数的概念及分类 1、实数的分类正有理数有理数零有限小数和无限循环小数实数负有理数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等；（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）某些三角函数，如sin60o等考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数：实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。 2、绝对值：一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。 3、倒数：如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。考点三、平方根、算数平方根和立方根 1、平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。正数a的平方根记做“”。 2、算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。（0）；注意的双重非负性： -（<0）0 3、立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。注意：，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。考点四、科学记数法和近似数 1、有效数字：一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。 2、科学记数法：把一个数写做的形式，其中，n是整数，这种记数法叫做科学记数法。考点五、实数大小的比较 1、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。 2、实数大小比较的几种常用方法（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。（2）求差比较：设a、b是实数，

北师大版初中数学知识体系知识讲解

初中数学知识体系D-1 第一章数式与平面直角坐标系 1、数：实数、数轴、相反数、倒数、绝对值、科学记数、近似数、有效数字、平方根、立方根、实数的混合运算 2、整式：列代数式、单项式、多项式、去括号、合并同类项、平方差公式、完全平方公式、因式分解、、非负的三种情况（绝对值、平方、平方根）、整式的混合运算 3、分式：分式的意义、约分和通分、分式的混合运算 4、幂：同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方、零指数幂、负数指数幂、大小比较 5、二次根式：二次根式的意义、二次根式的的性质、二次根式的混合运算 6、平面直角坐标系：象限、点到坐标轴的距离第二章方程与不等式

1、一元一次方程：等量关系、解一元一次方程的步骤(去括号、去分母、移项、合并同类项) 2、二元一次方程组：解二元一次方程组的步骤、代入消元法、加减消元法、整体消元法 3、一元二次方程：根的判别式、根与系数关系、直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法 4、分式方程：解题步骤（提公因式、公式法、十字相乘、分组分解）、增根、验根 5、不等式：不等式的基本性质、不等式组的解集、不等式中字母的取值范围第三章函数 1、函数：变量关系、函数自变量的取值范围、函数表示方法、分段函数、画函数图像 2、一次函数：一般形式、正比例函数、待定系数法、图像和性质、平移 3、二次函数：一般形式、常见表达式、

顶点坐标及其意义、图像与性质、平移 4、反比例函数：一般形式、图像与性质、k的意义 5、三角函数：正弦、余弦、正切、特殊角的三角函数值、锐角三角函数的性质、等角代换法、参数法、构造法第四章平面与空间几何 1、几何基础：点、线、面、体、角、展开图、欧拉公式、平移、轴对称、中心对称、三视图、平行投影与中心投影、尺规作图、几何证明 2、三角形：四线、边角关系、等腰三角形、等边三角形、勾股定理、全等三角形的性质、全等三角形的判定条件、倍长中线法、截长补短法、比例的基本性质、合比与等比性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定 3、平行四边形：平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定、中点四边形

(完整版)北师大版初中数学知识点汇总(最全)

侧面是曲面底面是圆面圆柱，:???侧面是正方形或长方形底面是多边形棱体柱体，:侧面是曲面底面是圆面圆锥，:???侧面都是三角形底面是多边形棱锥锥体，:?????????有理数?????---)3,2,1:()3,2,1:(ΛΛ如负整数如正整数整数)0(零?????----)8.4,3.2,31,21:(Λ如负分数分数)8.3,3.5,31,21:(Λ如正分数北师大版初中数学七年级上册知识点汇总第一章丰富的图形世界 ¤1. ¤2. ¤3. 球体：由球面围成的（球面是曲面） ¤4. 几何图形是由点、线、面构成的。 ①几何体与外界的接触面或我们能看到的外表就是几何体的表面。几何的表面有平面和曲面； ②面与面相交得到线； ③线与线相交得到点。 ※5. 棱：在棱柱中，任何相邻两个面的交线都叫做棱．。 ※6. 侧棱：相邻两个侧面的交线叫做侧棱．．，所有侧棱长都相等。 ¤7. 棱柱的上、下底面的形状相同，侧面的形状都是长方形。 ¤8. 根据底面图形的边数，人们将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……它们底面图形的形状分别为三边形、四边形、五边形、六边形…… ¤9. 长方体和正方体都是四棱柱。 ¤10. 圆柱的表面展开图是由两个相同的圆形和一个长方形连成。 ¤11. 圆锥的表面展开图是由一个圆形和一个扇形连成。 ※12. 设一个多边形的边数为n(n≥3，且n 为整数)，从一个顶点出发的对角线有(n-3)条；可以把n 边形成(n-2)个三角形；这个n 边形共有 2 )3(-n n 条对角线。 ◎13. 圆上两点之间的部分叫做弧．，弧是一条曲线。 ◎14. 扇形，由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形。 ¤15. 凸多边形和凹多边形都属于多边形。有弧或不封闭图形都不是多边形。第二章有理数及其运算 ※ ※数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（三者缺一不可）。 ※任何一个有理数，都可以用数轴上的一个点来表示。（反过来，不能说数轴上所有的点都表示有理数） ※如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。（0的相反数是0）

北师大版九年级数学上册全册教案

第一章特殊平行四边形 1.1 菱形的性质与判定（一）学习目标： ①通过折、剪纸张的方法，探索菱形独特的性质。 ②通过学生间的交流、计论、分析、类比、归纳、运用已学过的知识总结菱形的特征。教学重点：菱形的概念和菱形的性质，菱形的面积公式的推导。教学难点：菱形的性质的理解及菱形性质的灵活运用。学习过程：活动一：自学课本例题以上的内容，完成下列问题： 1. 如何从一个平行四边形中剪出一个菱形来？的四边形叫做菱形，生活中的菱形有。 2. 按探究步骤剪下一个四边形。 ①所得四边形为什么一定是菱形？ ②菱形为什么是轴对称图形？有对称轴。图中相等的线段有：图中相等的角有： ③你能从菱形的轴对称性中得到菱形所具有的特有的性质吗？自己完成证明。平行四边形菱形？

性质：证明：活动二：对比菱形与平行四边形的对角线菱形的对角线：平行四边的对角线：活动三：菱形性质的应用 1.菱形的两条对角线的长分别是6cm和8cm，求菱形的周长和面积。 2.如图，菱形花坛ABCD的边长为20cm，∠ABC=60° 沿菱形的两条对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积。

课效检测：一、填空（1）菱形的两条对角线长分别是12cm ，16cm ，它的周长等于，面积等于。（2）菱形的一条边与它的两条对角线所夹的角比是3：2，菱形的四个内角是。（3）已知：菱形的周长是20cm ，两个相邻的角的度数比为1：2，则较短的对角线长是。（4）已知：菱形的周长是52 cm ，一条对角线长是24 cm ，则它的面积是。二、解答题已知：如图，在菱形ABCD 中，周长为8cm ，∠BAD=1200 对角线AC ，BD 交于点O ，求这个菱形的对角线长和面积。教学设计反思本节课的主要教学内容为菱形的定义和性质。学生已经学习了平行四边形的性质，这是本节的知识基础。关于菱形的定义和性质，就是在平行四边形的基础上，进一步强化条件得到的。 A B C D O

北师大版九年级数学教材分析

北师大版九年级数学教材分析九年级上册数学教材分析 1.本册容结构 ⑴本册容分属几何、代数、概率三个领域，具体牵涉到：几何：图形与证明——特殊的平行四边形；认识图形——视图与投影。代数：方程——一元二次方程；函数——反比例函数。概率：建立概率概念——概率的频率定义与多种求值方法。 ⑵不同容之间的联系（逻辑框架与方法） 1.本册容与教材其他各册相关容的联系：特殊的平行四边形；“一元二次方程”、“反比例函数”和“一元一次函数”、“一元二次函数”；“视图与投影”和“空间图形”、“平行”、“相似”；“频率与概率”与先前的概率实验等。 2.各部分容的设计要点：（关于证明学习的要点说明——不能够仅仅将证明的教学基本目标定位成确认命题的正确性；还应当包括对证明本身的学习：证明的必要性，数学证明的含义，证明的基本过程，证明的基本方法，由证明而获得的理解和发现。）第一章特殊的平行四边形：对“公理”意义的进一步理解；关注“证明的基本方法”、“获得证明策略的不同思路”、“由证明而导致的新发现”，特别地，对于“反证法”的逻辑合理性的理解。（1）证明的思路与以前直观探索的联系；出现的新命题的探索及证明的思路。证明方法的学习、获得证明的策略；本册主要是对这些结论进行理论的证明。但这并不意味着我们在前几册中的直观探索就没有用处了，事实上，前面学生借助折纸、画图等活动进行直观探索的过程和方法为本章的证明提供了铺垫，为学生提供了定理相应的证明思路。如在证明等腰三角形的两个底角相等时，教材先给出了证明的思路，即由当时利用折纸来探索此结论的方法，而想到通过连接底边的中线构造全等三角形，从而证明两个角相等。除了学生已经直观探索过的命题外，教材中还涉及了一些学生没有探索过的新命题。这些命题的获得有的是直接通过证明得到的，而有的则创设了一些问题情景，通过合情推理获得的，但此时证明是必须的。要使学生意识到证明是探索活动的自然延续和必要发展，使学生经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，体会合情推理与论证推理在获得结论中各自发挥的作用，进一步发展学生的推理证明意识和能力。如对于命题“直角三角形中，300所对的边等于斜边的一半”，教材引导学生拼摆三角板，去发现其边之间的关系，但我们不能只满足于结论的获得，要积极探索证明的思路和方法。事实上，探索的过程为证明时辅助线的添加提供了思路，为证明奠定了基础，这些都希望教师在教学时能够充分的意识到。教材还注意引导学生探索证明的不同思路和方法，并进行适当的比较和讨论，开阔学生的视野，培养学生的思维能力，如在一种证明结束后提出问题“你还有其他的证明方法吗？与同伴交流”。此外，教材还注意渗透数学的思想方法，如由特殊结论到一般结论的归纳思想、类比、转化的思想方法等。如在证明等腰梯形的两个底角相等时，教材在分析证明思路时指出将等腰梯形的两个底角转化为等腰三角形的两个底角，从而证明其相等——明确方法的学习。（2）关注命题的拓展、引申，引导学生发现规律，发展概括抽象的能力。证明加深理解特殊的平行四边形的设计上注意到了对学生数学学习方法的指导和思维能力、水平的指导和培养，

北师大版初三数学上册知识点汇总

九年级数学上册知识点汇总第一章证明(二) ※等腰三角形的“三线合一”：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 ※等边三角形是特殊的等腰三角形，作一条等边三角形的三线合一线，将等边三角形分成两个全等的直角三角形，其中一个锐角等于30o，这它所对的直角边必然等于斜边的一半。 ※有一个角等于60o的等腰三角形是等边三角形。 ※如果知道一个三角形为直角三角形首先要想的定理有： ①勾股定理：222c b a =+（注意区分斜边与直角边） ②在直角三角形中，如有一个内角等于30o，那么它所对的直角边等于斜边的一半 ③在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（此定理将在第三章出现） ※垂直平分线．．．．．是垂直于一条线段．．并且平分这条线段的直线．．。（注意着重号的意义） <直线与射线有垂线，但无垂直平分线> ※线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。 ※线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 ※三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等。（如图1所示， AO=BO=CO ） ※角平分线上的点到角两边的距离相等。 ※角平分线逆定理：在角内部的，如果一点到角两边的距离相等，则它在该角的平分线上。角平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。 ※三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三边距离相等，交点即为三角形的内心。 (如图2所示，OD=OE=OF) 第二章一元二次方程 ※只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为02=++c bx ax （a 、b 、c 为常数，a ≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程．．．．．．。 ※把02 =++c bx ax （a 、b 、c 为常数，a ≠0）称为一元二次方程的一般形式，a 为二次项系数；b 为一次项系数；c 为常数项。 ※解一元二次方程的方法：①配方法 <即将其变为0)(2=+m x 的形式> ②公式法 a ac b b x 242-±-= （注意在找abc 时须先把方程化为一般形式） ③分解因式法把方程的一边变成0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解。 A C B O 图1 图2 O A C B D E F

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